3.Redução de ruído 3 3 Redução de ruído 3.. Algortmo NLM Como mor dos lgortmos pr redução de ruído o lgortmo NLM us o cálculo de méds como form de elmnr ruído. A dferenç está em que enqunto mor dos lgortmos us o fto de que s crcterístcs que estão próxms entre s n mgem tendem ter vlores semelhntes e portnto podem ser usds pr clculr méd o lgortmo NLM prte de outr suposção: mgens nturs tem crcterístcs que se repetem e que podem ser detectds globlmente e não loclmente. Pr remover o ruído de um pxel p o lgortmo procur crcterístcs semelhntes quels no entorno de p por tod mgem e trbu um peso cd pxel de cordo com semelhnç d su vznhnç com vznhnç de p. A fltrgem de p é portnto efetud trvés de um méd ponderd de todos os pxels d mgem. A questão de semelhnç pode ser explcd usndo Fgur 4: p p p4 p3 len.gry.tff Fgur 4 semelhnç
3.Redução de ruído 4 Vznhnçs de pxels como pr p p e p 3 levm os vlores ltos pr méd w ( p p ) e ( p p 3 ) w enqunto que vznhnçs muto dferentes como pr p e p4 produzem vlores bxos pr méd w ( p p 4 ). Os vlores dos pxels p e p 3 terão pesos muto ms ltos n méd computd pr p do que p 4. A semelhnç é computd usndo dstânc Eucldn ponderd d vznhnç de pxel. Est métrc fo provd dequd em [] e consstente e um mbente com ruído pos el ument dstânc entre dos pxels orgnlmente dêntcos por um constnte. Isto será demonstrdo depos ds defnções segur. Dd um mgem com ruído v= { v( ) I} o vlor estmdo ( v)() computdo como méd ponderd de todos os pxels d mgem: NL é Equção. NL ( v)() = w( ) v( ) I onde o peso pertence o ntervlo [0] e som de todos os pesos é w ( ) e ( ) 0 I w =. Um sstem de vznhnç pr I é um fmíl de I tl que pr todo. N. N N I : { N } I N = de subconuntos O subconunto N é chmdo de vznhnç ou nel de semelhnç pr. As nels de semelhnç podem ter tmnhos e formtos dstntos ms por smplcdde um nel retngulr será utlzd. A semelhnç entre os pxels e depende d semelhnç entre ntensdde dos níves de cnz dd pelos vetores v N ) e v N ). N Fgur 4 vznhnç dos pxels p p e p 3 é dd pel ( ( coleção dos níves de cnz de todos os pxels nos qudrdos que os crcundm. Ve Fgur 5 pr um exemplo. Fgur 5 Vznhnç de smlrdde
3.Redução de ruído 5 Pxels com vznhnçs de cnz smlr v N ) terão pesos mores no cálculo d méd do pxel. A semelhnç é computd usndo um versão com pesos d dstânc Eucldn. A dstânc Eucldn qudrátc (L ) entre dos vetores é defnd por: ( = ( x x ) y = ( y y... ) x... k Equção. d ( x y) = ( x y ) = x k e dstânc Eucldn qudrátc ponderd (L ponderd) é defnd como: k x = y Equção 3. d ( x y) = ( ) e 0 onde contrbução d dstânc em cd exo à dstânc totl é ponderd pelo coefcente. y k No lgortmo NLM os pesos =... k são defndos usndo um kernel Gussno bdmensonl. A função de kernel é versão bdmensonl d dstrbução norml dd pel equção: G + 4σ = e ( ) 4πσ A form gerl do kernel Gussno bdmensonl está exbd no ldo dreto d Fgur 6 e um kernel 5x5 está desenhdo no ldo esquerdo. Qundo o kernel é plcdo à vznhnç centrd no pxel p o pxel centrl (p) recebe o mor peso e os outros pxels d vznhnç recebem peso exponenclmente nverso à su dstânc p.
3.Redução de ruído 6 5x5 Gussn kernel Gussn kernel shpe 0. 0.08 0.06 weght 0.04 0.0 0 3 4 5 S S4 0.08-0. 0.06-0.08 0.04-0.06 0.0-0.04 0-0.0 Fgur 6 Kernel Gussno O exemplo cm defne um vznhnç de 5x5 pxels e um kernel Gussno estão defndos; d é computd entre vetores de tmnho 5. Os coefcentes do kernel são computdos prtr função Gussn bdmensonl com desvo pdrão : G ( ) 4 + 4 = e pr vlores de = 0 ; π os coefcentes são normlzdos de tl form que *5+ = G = (...) ( ) G ( ) k = = por O vetor do kernel 5 R neste cso está descrto Fgur 7: 7 7 7 3 5 3 7 x 577 5 7 5 7 3 5 3 7 7 7 Fgur 7 5x5 Kernel Gussno Note que som de todos os 5 componentes do vetor (depos de normlzdos por ) é e o peso de cd pxel no kernel é nversmente 577 proporconl à su dstânc o centro.
3.Redução de ruído 7 Depos de dscutr polítc de trbução de pesos podemos voltr defnção d dstânc. N e N são nels de semelhnç centrds no pxels e que se correspondem e portnto ( N) = ( v( N ) v( N ) v( )) e v ( N) = ( v( N ) v( N )... v( )) v... N k são mbos vetores de ntensdde de cnz com mesm crdnldde do kernel Gussno. A dstânc L ponderd v d pode ser escrt como: k ( N) v( N) = ( v( N ) v( N )) l= Após defnr dstânc podemos defnr como pesos são trbuídos cd pxel de cordo com Equção. Os pesos ssocdos à dstânc são defndos por: Equção 4. w( ) () v( N) v( N) ( ) h onde Z() é o ftor de normlzção: l = e Z l l N k Equção 5. Z() = I v( N) v( N) ( ) e h e o ftor de decmento h control o decmento d função exponencl e portnto o decmento dos pesos em função d dstânc Eucldn. Note que h é um ftor de fltrgem no sentdo de que é responsável por defnr os pesos dequdos de cordo com dstânc computd. Pr vlores pequenos de h um dstânc muto pequen deve ser computd pr ter lgum contrbução e pr vlores ltos de h mesmo dstâncs consderáves podem nfluencr o vlor do pxel. Isto sgnfc que se escolhermos um vlor de h muto lto podemos dstorcer mgem e se escolhermos um vlor de h muto bxo podemos não remover sufcentemente o ruído. A Fgur 8 mostr o decmento rápdo d função de ponderção pr vlores bxos de h como um função d dstânc. A curv no lto d fgur h = 0 dec vgrosmente com dstânc enqunto que curv n prte de bxo d fgur h = dec bruptmente e result em pesos bstnte pequenos pr dstâncs cm de d = 5.
3.Redução de ruído 8 Weght vs. Dstnce nd flterng fctor weght. 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 5 0 5 0 5 squre dstnce n vrnce unts 3 4 5 6 7 8 9 0 5 0 Fgur 8 Peso como um função d dstânc e do ftor de decmento A Fgur 9 demonstr que o efeto do ftor de decmento n mgem fltrd. No lto à esquerd mgem com ruído pr σ n =0. As 3 outrs mgens são fltrds pelo NLM com ftores de decmento dferentes. As mgens no topo à dret possuem h = 00 ; n prte de bxo à esquerd h = 00 ; e n prte de bxo à dret h = 000.
3.Redução de ruído 9 Fgur 9 Efeto do ftor de decmento n mgem fltrd A mgem n prte de bxo à esquerd está pouco fltrd e mostr um consderável nível de ruído. A mgem n prte de bxo à dret está muto fltrd e mutos detlhes fnos desprecerm unto com o ruído. A mgem no topo à dret fltrd de cordo com recomendção orgnl de present um bom equlíbro entre perd de detlhes e ruído resdul. h = 0σ Note que pr ruído brnco com desvo pdrão σ n e méd zero o vlor esperdo d dstânc L ponderd entre dus vznhnçs é ddo por: E v ( N ) v( N ) = u( N ) u( N ) + σ. A dstânc L ponderd ds dus vznhnçs d mgem com ruído possu n n um dstânc fx de σ n d dstânc ds mesms vznhnçs n mgem orgnl ntes d dção de ruído brnco. Se s dus vznhnçs orgnlmente
3.Redução de ruído 30 ( = 0) smlres forem comprds u ( N ) u( N ) s vznhnçs com ruído deverão ter um dstânc L ponderd de σ n. Isto mostr que dstânc L ponderd é de fto consstente entre mgem orgnl e mgem com ruído dconndo dus vezes vrânc do ruído à dstânc computd. 3.. Comentáros sobre NLM pr vídeo Depos de presentr os prncípos do NLM podemos comentr que o NLM não é específco pr mgens estátcs. NLM pode operr de form semelhnte nos qudros de um flme usndo pr computr méd pr os pxels de outros qudros. Isto é lógco pos probbldde de um sére de qudros consecutvos comprtlhr mutos pxels smlres é muto lt. Métodos nterores que tentrm usr méds tomds entre qudros usulmente enfrentm o problem de estmtv de movmento : necessdde de estmr o movmento reltvo entre dos qudros de tl form que o pxel fltrdo poss ser dentfcdo em qudros dferentes. O NLM no entnto não precs levr em consderção este problem pos pesqus por vznhnçs semelhntes pode ser fet sobre todos os pxels em qudros subseqüentes ou usndo um nel de busc que lmte pesqus em três dmensões em lugr de dus. Este lgortmo tem mesm complexdde (de tempo) que o lgortmo orgnl multplcd pelo número de qudros que prtcpr do cálculo d méd. A lt complexdde deste lgortmo mpede que se utlzdo em plcções res de processmento de vídeo. 3.3. Complexdde de tempo do NLM A complexdde do tempo do NLM pode ser escrt como ( n w) O onde n é o número de pxels n mgem e w é o tmnho d nel de vznhnç. Qundo se consder o uso do NLM pr mgens colords de 3Mpxel com três plnos de cores e um nel de vznhnç pequen de tmnho 5 o número de 0 4 operções tnge ( ) 3 3 5= 7.4 0. Isto é clrmente mprtcável em tempo rzoável. Por est rzão NLM defne um nel de busc dentro d qul busc por vznhnçs semelhnçs será efetud. Isto depende d suposção de
3.Redução de ruído 3 que em um mgem nturl crcterístcs próxms tendem ser semelhntes. Isto nos permte reduzr complexdde do tempo pr O ( nsw) qundo s é o tmnho d nel de busc. Repetndo o exemplo cm com um nel de busc 3 3 400 5= 9.44 0 operções. Isto nd é 0 0 de tmnho 400 temos ( ) d ordem de 00Gg operções. Note que usndo um nel de busc em lugr de pesqusr tod mgem o lgortmo modfcdo bndon dé de fltrr crcterístcs semelhntes n mgem que estão um dstânc mor do que nel de busc. N Fgur 0 o fltrr p podemos usr o vlor de p n fltrgem ms não o vlor de p 3 pos ele está for d nel de busc (ndcd pelo qudrdo brnco em volt de p ). Pr conclur mesmo scrfcndo crcterístcs do lgortmo orgnl o lgortmo modfcdo não reduz o tempo de processmento níves rzoáves. Outr form medt de reduzr complexdde ser reduzr o tmnho d nel de semelhnç. Isto pode cusr dstorções n mgem por flt de nformção sobre semelhnç. Os utores do NLM [] recomendm um nel de semelhnç de 9x9 ou 7x7 pr mgens em níves de cnz e um nel de semelhnç de 5x5 ou mesmo 3x3 pr mgens colords com pouco ruído. Podemos então conclur que não há mut mrgem pr celerr o lgortmo sem scrfcr est crcterístc mportnte. p p p3 len.gry.tff Fgur 0 Jnel de semelhnç