Sebenta de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Sebent de Álgebr Liner e Geometri Anlític Pulo Jorge Afonso Alves

Cpítulo 1 Mtrizes Objectivo Neste cpítulo vmos introduzir um novo conceito, o de mtriz; os diferentes tipos de mtrizes existentes; estudr lgums operções que se podem efectur com mtrizes e s sus proprieddes; dr o conceito de operção elementr; clculr crcterístic de um mtriz, quer pel definição, quer utilizndo operções elementres, que chmremos método d condensção e, finlmente, clculr invers de um mtriz.

Mtrizes Introdução Exemplo: Considere seguinte tbel de dupl entrd d multiplicção: * 3 4 5 6 1 18 4 30 7 14 1 8 35 8 16 4 3 40 Est tbel dá-nos os resultdos d multiplicção de 6, 7 e 8 por, 3, 4 e 5. Por exemplo, n 3ª linh, 4ª colun está o número 8, resultnte d multiplicção de 7 por 4. A entidde mtemátic que represent um tbel deste género é um mtriz. Definição: Um mtriz A = [ ij ] mxn, i = 1,,, m, j = 1,,, n, do tipo mxn é um qudro com m linhs e n coluns cujos elementos ij são esclres, representndo-se por: 11 1 L 1 n 11 1 L 1n L 1 L n A = 1 n M M O M ou A = M M O M L m 1 m mn m1 m L mn As mtrizes são representds, normlmente, por letrs miúsculs (A, B, C, ) e os seus elementos pel respectiv letr minúscul com dois índices, o primeiro, normlmente representdo pel letr i, corresponde o número d linh e o segundo, normlmente representdo pel letr j, corresponde o número d colun, sendo então representdo por ij. Excepcionlmente podem precer mtrizes representds por letrs minúsculs, por exemplo, n representção de um sistem sob form de mtriz, Ax = b, como iremos ver num outro cpítulo. A mtriz, A, é delimitd por prênteses rectos ou por prênteses curvos. Dqui pr frente vmos utilizr notção de prênteses rectos.

Mtrizes Exemplo: O exemplo nterior pode ser convertido num mtriz B=[b ij ] 4x5. Substituindo o operndo * pelo número 0 obtém-se seguinte mtriz 0 3 4 5 6 1 18 4 30 B = 7 14 1 8 35 8 16 4 3 40 O resultdo d multiplicção de 7 por 4, que se encontr n 3ª linh, 4ª colun, mtemticmente represent-se por b 34 = 8. 3 Podemos então concluir que s mtrizes são ferrments que nos vão judr n vid rel, nomedmente progrmr, n resolução de sistems (circuitos eléctricos), n orgnizção de informção, etc. Mtrizes do mesmo tipo são mtrizes com o mesmo número de linhs e o mesmo número de coluns, isto é, A = [ ij ] mxn e B = [b ij ] pxq são do mesmo tipo se e só se m=p e n=q. Exemplo: Dds s 4 mtrizes são do mesmo tipo s mtrizes C e D e mtrizes E e F. (ests mtrizes vão servir pr exemplificr lguns conceitos) Elementos homólogos, de mtrizes do mesmo tipo, são os que têm índices iguis, isto é, pertencem respectivmente à mesm linh e à mesm colun, isto é, dds dus mtrizes A = [ ij ] mxn e B = [b ij ] mxn diz-se que o elemento ij d mtriz A é homólogo do elemento b ij d mtriz B. Exemplo: Ns mtrizes C e D são elementos homólogos, os elementos c 3 = 6 e d 3 = f; c 1 = e d 1 = b; c 33 = 9 e d 33 = i; etc. Exemplo: Ns mtrizes E e F são elementos homólogos, os elementos e 13 = 33 e f 13 = l; e 1 = e f 1 = k; e 3 = 66 e f 3 = o; etc.

4 Mtrizes Digonl principl, em mtrizes com o mesmo número de linhs e coluns, são os elementos cujo índice d linh é igul o d colun, isto é, dd mtriz A = [ ij ] nxn, os elementos ij com i=j são os elementos d digonl principl. Not: Só existem digonis principis em mtrizes qudrds. Exemplo: As digonis principis ns mtrizes C e D são s seguintes N mtriz C: c 11 = 1 c = 5 c 33 = 9 N mtriz D: d 11 = d = e d 33 = i Elementos opostos, ocupm posições simétrics reltivmente à digonl principl, isto é, dd mtriz A = [ ij ] mxn, diz-se que o elemento ij é o oposto do elemento ji. Exemplo: N mtriz C, os elementos c 1 = e c 1 = 4 são elementos opostos. Tipos de mtrizes Alguns tipos de mtrizes Descrição Mtriz linh Mtriz com um só linh A = [ 1j ] 1xn A = [ 11 1 L 1 n ] Mtriz colun Mtriz com um só colun A = [ i1 ] mx1 11 A = 1 M m 1 Mtriz rectngulr Mtriz com m linhs e n coluns A = [ ij ] mxn 11 1 L 1 n A = 1 L n M M O M m 1 m L mn Mtriz qudrd Mtriz cujo número de linhs é igul o número de coluns A = [ ij ] nxn 11 1 L 1 m A = 1 L m M M O M m 1 m L mm Mtriz nul Mtriz A = [ ij ] mxn com ij = 0 i j

Mtrizes Mtriz digonl Mtriz tringulr superior Mtriz tringulr inferior Mtriz identidde (ou unidde) Mtriz qudrd, A = [ ij ] nxn, cujos elementos cim e bixo d digonl são iguis zero, e pelo menos um elemento d digonl principl é diferente de zero 11 0 L 0 0 L 0 A = ij 0 i {1,, n} M M O M 0 0 L nn Mtriz qudrd, A = [ ij ] nxn, cujos elementos bixo d digonl são todos nulos 11 1 L 1 n 0 L A = n M M O M 0 0 L nn Mtriz qudrd, A = [ ij ] nxn, cujos elementos cim d digonl são todos nulos 11 0 L 0 A = 1 L 0 M M O M m 1 m L mm Mtriz digonl, A = [ ij ] mxm, cujos elementos d digonl são todos iguis um 1 0 L 0 0 1 L 0 I mxm = M M O M 0 0 L 1 5 Iguldde de mtrizes Dus mtrizes, A = [ ij ] mxn e B = [b ij ] mxn, são iguis, se e só se, são do mesmo tipo e todos os seus elementos homólogos são iguis, isto é, ij = b ij, i = 1,,,m, j = 1,, n.

6 Mtrizes Mtriz trnspost Mtriz que se obtém d mtriz dd, A = [ ij ] mxn, trocndo ordendmente s sus linhs pels sus coluns, design-se por A T = [ ji ] nxm. Exemplo: As mtrizes trnsposts ds mtrizes C e F são: Proprieddes Dds s mtrizes, A = [ ij ] mxn e B = [b ij ] mxn : I (A T ) T = A Exemplo: II (A + B) T = A T + B T III (AB) T = B T A T Exercício: Encontre lgums mtrizes que stisfçm s proprieddes nteriores. Exercício: "Algums proprieddes cim nem sempre se verificm.", dig em que csos é que isto contece, pr cd um ds proprieddes. Mtriz simétric: Mtriz qudrd em que A = A T.

Mtrizes Operções com mtrizes 7 Adição de mtrizes Só se podem dicionr mtrizes do mesmo tipo. Dds dus mtrizes A = [ ij ] mxn e B = [b ij ] mxn d som dests mtrizes result um outr mtriz C = [c ij ] mxn (do mesmo tipo) cujos elementos são iguis à som dos elementos homólogos de A e B: c ij = ij + b ij (i = 1,,,m; j = 1,, n). Proprieddes Dds s mtrizes, A = [ ij ] mxn, B = [b ij ] mxn, C = [c ij ] mxn e D = [d ij ] mxn : I - Comuttividde: A + B = B + A Exemplo: II Associtividde: (A + B) + C = A + (B + C) III Existênci de elemento neutro (mtriz nul): A + 0 = 0 + A = A IV Existênci de elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = 0 V Se A = B e C = D, então A + C = B + D Exercício: Encontre lgums mtrizes que stisfçm s proprieddes nteriores. Multiplicção de um mtriz por um esclr Dd mtriz A = [ ij ] mxn, d multiplicção do esclr k pel mtriz A result um outr mtriz C = [c ij ] mxn, do mesmo tipo, cujos elementos são iguis o produto do esclr, k, por cd elemento d mtriz A: c ij = k ij, i = 1,,, m, j = 1,, n.

8 Mtrizes Subtrcção de mtrizes Dds dus mtrizes A = [ ij ] mxn e B = [b ij ] mxn subtrcção dests mtrizes corresponde à dição de um outr mtriz que result d segund por multiplicção dest pelo esclr -1, isto é, A - B = A + (-1)B. Exemplo: C - D = C + (-1)D Proprieddes Dds s mtrizes, A = [ ij ] mxn, B = [b ij ] mxn e k e t esclres reis: I k(a + B) = ka + kb II (k + t) A = ka + ta III (kt) A = k (ta) = t (ka) IV 1A = A V A = B ka = kb Exercício: Encontre lgums mtrizes que stisfçm s proprieddes nteriores. Multiplicção de mtrizes Dds dus mtrizes A = [ ij ] mxn e B = [b ij ] nxp, onde o número de coluns d primeir é igul o número de linhs d segund, o produto dests mtrizes é um outr mtriz, C = [c ij ] mxp tl que c ij = ik b kj (i= 1,,,m; j= 1,, p). k =1 n

Mtrizes Exemplo: 9 FC= j m k n 1 l 4 o 7 5 8 3 j *1+ k * 4 + l *7 6 = m*1 + n * 4 + 0*7 9 j * + k *5 + l *8 m * + n *5 + o *8 j *3 + k *6 + l *9 m *3 + n *6 + o *9 Proprieddes Dds s mtrizes, A = [ ij ] mxn, B = [b ij ] mxn, C = [c ij ] mxn e D = [d ij ] mxn : I Associtividde (A B) C = A (B C) II Existênci de elemento neutro A I = I A = A III Distributividde d multiplicção à direit e à esquerd em relção à dição (A + B) C = A C + B C A (B + C) = A B + A C IV A = B e C = D A C = B D Exercício: Encontre lgums mtrizes que stisfçm s proprieddes nteriores. Not: Normlmente multiplicção de mtrizes NÃO É COMUTATIVA, ms qundo tl contece s mtrizes dizem-se permutáveis, isto é, Mtrizes permutáveis: Mtrizes A e B tis que AB = BA. Exercício: Encontre lgums mtrizes permutáveis. Exercício: Demonstre que multiplicção de mtrizes não é comuttiv.

10 Mtrizes Combinção liner de linhs e coluns 11 1 n 1 Dds s mtrizes colun A n 1 = M, A =,..., A k =, e dd um M M m 1 m mn 1 mtriz C, diz-se que C é combinção liner de A, A, K, A, se e só se 1 n α 1, α, K, α R : C = α 1 A + α A + K + α n A = α i A i i =1 n 1 n n Dependênci e independênci liner Coluns linermente dependentes As mtrizes colun A 1, A, K, A n, dizem-se linermente dependentes se e só se: α 1, α, K, α n R\{0}: α 1 A 1 + α A + K + α n A n = 0 Coluns linermente independentes As mtrizes colun A, A, K, A, dizem-se linermente independentes se e só se: 1 n α 1 A 1 + α A + K + α n A n = 0 α 1 = α = K = α n = 0 Anlogmente pr s linhs. Exercício: Dê definição de combinção liner, dependênci e independênci liner pr s linhs. Not: A dependênci e independênci liner ds coluns (linhs) de um mtriz não se lter qundo se efectum operções elementres.

Mtrizes 11 Crcterístic de um mtriz Definição A crcterístic de um mtriz corresponde o número máximo de coluns (linhs) linermente independentes. Not: O número máximo de linhs linermente independentes é igul o número máximo de coluns linermente independentes. 1 3 Exemplo: Pr mtriz A = 0 4 5 4 6 clcule ) ) s linhs linermente independentes; b) s coluns linermente independentes; c) crcterístic d mtriz A. α = δ 1,, ) + β( 0,4, 5) + δ(,4, 6)= ( 0,0, 0) β = 0 α( 3 L 1, L e L 3 são linermente dependentes; β = 0 β( 0,4, 5) + δ(,4, 6)= ( 0,0, 0) δ = 0 L e L 3 são linermente independentes; α ( 1,, 3 ) + δ (,4, 6 ) = ( 0,0, 0 ) α = δ L 1 e L 3 são linermente dependentes; α = 0 α( 1,, 3) + β( 0,4, 5)= ( 0,0, 0) β = 0 L 1 e L são linermente independentes; Concluindo, temos dois conjuntos de dus linhs linermente independentes, {L, L 3 } e {L 1, L }. b) C 1, C e C 3 são linermente dependentes, porque L 1, L e L 3 o são; α = 0 α ( 1,0, ) + β (, 4, 4 ) = ( 0,0, 0 ) β = 0 C 1 e C são linermente independentes;

1 Mtrizes β = 0 β (,4, 4 ) + δ ( 3, 5, 6 ) = ( 0,0, 0 ) δ = 0 C e C 3 são linermente independentes; α = 0 α ( 1, 0, ) + δ ( 3, 5, 6 ) = ( 0, 0, 0 ) δ = 0 C 1 e C 3 são linermente independentes; Concluindo temos três conjuntos de dus coluns linermente independentes, {C,C 3 }, {C 1,C 3 } e {C 1,C }. c) A crcterístic de um mtriz é igul o número máximo de linhs/coluns linermente independentes. Logo, ds línes nteriores, podemos concluir que crcterístic d mtriz é igul. Operções elementres sobre mtrizes Existem três operções elementres: I) Permut de dus linhs (coluns); II) Multiplicção de um linh (colun) por um número diferente de zero; III) Adição os elementos de um linh (colun) os elementos correspondentes de um outr linh (colun) prlel multiplicd por um número qulquer. Exemplo: Aplicndo operção elementr tipo I) à mtriz C vem: Aplicndo operção elementr tipo II) à mtriz C vem: Aplicndo operção elementr tipo III) à mtriz C vem:

Mtrizes 13 Mtrizes equivlentes Dus mtrizes dizem-se equivlentes, e escreve-se A ~ B, se um dels puder ser obtid d outr relizndo um número finito de operções elementres. Exemplo: As mtrizes do exemplo nterior são mtrizes equivlentes, isto é, Método d condensção Vmos presentr o método d condensção. Veremos posteriormente como utilizr este método no cálculo d crcterístic, d invers e do determinnte de um mtriz e n resolução de sistems de equções lineres. A condensção de um mtriz A = [ ij ] mxn consiste ns seguintes fses: ) Tome-se 11 0 (se 11 = 0, troc-se primeir linh com outr, de modo que 11 sej não nulo, est operção chm-se pivotgem, se primeir linh for tod nul, troc-se com últim linh e repete-se o rciocínio), designndo-se este por elemento redutor ou pivot; b) Fixdo o elemento 11, procurm-se esclres λ i tis que λ i 11 + i 1 = 0, i =,..., m ; som-se à linh i primeir multiplicd por λ i, nulndo-se, ssim, todos os elementos bixo de 11, diz-se então que se condensou primeir colun; c) N mtriz obtid procede-se do mesmo modo, dest vez tomndo como elemento redutor, e ssim sucessivmente, té um determindo elemento rr. A condensção termin, obtendo-se mtriz condensd A', qundo já não existem:

14 Mtrizes i) mis coluns, ou sej, r = n A'= ' 11 ' 1 L ' 1n 0 ' L ' n M M O M 0 0 L ' rn 0 0 L 0 M M O M 0 0 L 0 ii) mis linhs, ou sej, r = m A' = ' 11 0 ' ' 1 L L ' 1 ' m 1 m +1 ' 1 n ', ' L L ' m, m +1 n M M O M M O M 0 0 L ' ' +1 L ' mm m,m mn iii) pens linhs nuls, ou sej, r < m ' 11 0 ' ' 1 L L ' r ' 1 ' 1, r +1 L ' 1 n ' L ' r, r +1 n M M O M M O M A' = 0 0 L ' rr ' r, r +1 L ' rn 0 0 L 0 0 L 0 M M O M M O M 0 0 L 0 0 L 0 Note-se que tods s mtrizes A' contêm um submtriz tringulr superior de ordem máxim, r, de elementos digonis não nulos. A pssgem d mtriz inicil, A, pr mtriz condensd, A', foi relizd utilizndo unicmente operções elementres, logo s mtrizes A e A' são equivlentes.

Mtrizes 15 Exemplo: Vmos plicr o método d condensção váris mtrizes Crcterístic de um mtriz utilizndo o método d condensção Como independênci liner não se lter qundo se efectum operções elementres, crcterístic de um mtriz pode ser obtid por condensção, e corresponde à ordem d submtriz tringulr superior d mtriz condensd, ou sej, cr(a) = r. Exemplo: No exemplo ddo pr exemplificr s operções elementres vimos que s mtrizes C, C I, C II, C III, C IV, C V e C VI são mtrizes equivlentes, isto é, form obtids ums ds outrs trvés de operções elementres, e pode escrever-se Logo, têm mesm crcterístic, cr(c) = cr(c I ) = cr(c II ) = cr(c III ) = cr(c IV ) = cr(c V ) = cr(c VI )

16 Mtrizes Exemplo: Dos exemplos d condensção de mtrizes, temos: A mtriz condensd contém um submtriz tringulr superior de ordem 3, logo crcterístic dest mtriz é 3. A mtriz condensd contém um submtriz tringulr superior de ordem, logo crcterístic dest mtriz é. A mtriz condensd contém um submtriz tringulr superior de ordem 3, logo crcterístic dest mtriz é 3. Invers de um mtriz Invers esquerd e invers direit de um mtriz Sej A = [ ij ] mxn. Chm-se invers esquerd d mtriz A, qulquer mtriz M do tipo nxm tl que M A = I, onde I é mtriz identidde de ordem n. Chm-se invers direit d mtriz A, qulquer mtriz N do tipo nxm tl que A N = I, onde I é mtriz identidde de ordem m. Definição de invers de um mtriz Chm-se invers d mtriz A um mtriz, que se represent por A -1, tl que A -1 A = A A -1 = I Not: Um condição necessári pr um mtriz ter invers, é que sej qudrd. No entnto, nem tods s mtrizes qudrds têm invers.

Mtrizes 17 Exercício: Dê um exemplo de um mtriz qudrd que não tenh invers. Proprieddes Dds s mtrizes, A = [ ij ] mxn, B = [b ij ] mxn e k esclr inteiro: I (A B) -1 = B -1 A -1 II Se A é qudrd e invertível então (A -1 ) -1 = A III I -1 = I IV A -1 (A B) = 0 B = 0 V Se A é qudrd e invertível então (A k ) -1 = (A -1 ) k VI - (A T ) -1 = (A -1 ) T Exercício: Encontre lgums mtrizes que stisfçm s proprieddes. Cálculo d invers de um mtriz por condensção A invers de um mtriz A pode ser clculd trvés d relizção de um número finito de operções elementres sobre linhs (coluns), este método chm-se método d condensção. Neste método o objectivo é, plicndo operções elementres às linhs: -1 ou operções A I ~ I A elementres I sobre linhs -1 operções A ~ A I elementres sobre linhs ou, plicndo operções elementres às coluns: operções operções A ~ I I ~ A elementres elementres I ou coluns I A sobre -1 A sobre coluns -1

18 Mtrizes 1 Exemplo: A = 3 4 1 1 0 1 1 0 ~ ~ 3 1 L=L1 + L 3 4 0 1 L=L-3L1 0 1 1 0 1 1 0 1 ~ ~ 3 1 1 L=L/- 0 3 0 1 A 1 1 = 3/ 1 / Exercícios 1 - Considere s seguintes mtrizes sobre R: 1 0 3 1 3 1 3 A = 1 4 B = 1 C = 4 1 5 3 1 3 4 5 3 4 5 D = 4 E = 0 1 4 F = 3 3 1 ) Pr s mtrizes A, B e C, identifique: i) 1,, 3 ii) b 11, b 1, b 3 iii) c 13, c 31, c 33 b) Pr s mtrizes A, B, C, D, E, F, se possível clcule: i) C+E ii) AB e BA iii) D - 3F iv) CB+D v) (3)(A) e 6A vi) A(BD) e (AB)D vii) A(C+E) e AC+AE viii) 3A+A e 5A ix) DF+A x) (-4A)(3C) e (-1)(AC) T xi) A T e (A T ) xii) (C+E) T e C T +E T xiii) (AB) T e B T A T xiv) (BC) T e C T B T

Mtrizes 19 - Dds s seguintes mtrizes sobre R: 1 0 1 1 1 0 A = 1 3 B = 0 1 C = 3 1 0 1 0 1 3 1 5 Determine mtriz X tl que: ) A+X T =B T +C b) (A+B) T +X=B-C T c) X+AB=C T A d) X+B -A=I+C e) (A+X) T =BC+A 1 1 3 - Dd mtriz A =, verifique se 3A+A =A(3I+A). 1 b c c d 4 - Dds mtriz A = e B = sobre R, mostre que são b b c d d permutáveis. 5 - Sejm i,j ℵ e A=[ ij ] um mtriz nxn. Dig, justificndo, se são verddeirs ou flss s seguintes firmções: ) (A+I) =A +A+I b) (A+B) =A +AB+B c) se AB=BA, então (A+B)(A-B)=A -B 1 6 - Sej A =, encontre f(a) onde f(x)=x 3-4X+3. 4 3 7 - Encontre tods s mtrizes B que permutm com mtriz A dd em 6. 8 - Determine um mtriz B de ª ordem, sem elementos nulos, tl que B =0. 1 0 1 3 4 1 0 1 9 - Pr A = 5 3, B = 0 e C = 3 1 0 1 0 3 0 0 1 1 0 ) simplifique expressão AB+5B+B T B-M=0 b) determine o vlor de M d expressão nterior c) verifique se A e B são permutáveis d) verifique se A e C são permutáveis

0 Mtrizes 1 0 1 1 1 3 10 - Pr M =, clcule MM T e clssifique mtriz produto. 1 0 1 3 3 1 3 11 - Pr mtriz A= 1 3 5 clcule 0 4 6 ) s linhs linermente independentes b) s coluns linermente independentes c) crcterístic de A 1 - Clcule crcterístic ds seguintes mtrizes: 1 1 3 1 1 1 1 0 0 1 A= 0 1 1 B= 1 1 0 1 1 C= 0 1 0 D= 0 1 3 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 13 - Dds s mtrizes A, B e C determine s mtrizes X que verifiquem s condições: 1 1 3 1 0 A= B= 1 5 C= 0 1 0 8 ) AX=B +C b) BX=A T +BC c) XC=(AB) d) XC=(A-B) 1 b 1 b 3 4 e B= 1 1 1 1 14 - Dds s mtrizes A= 5 0 1 10 1 b 7 3 b 0 1 1 ) Clcule AB b) Determine e b, tl que A=B -1 1 3 1 3 1 3 1 3 15 - Pr A= 5 3 B= 0 4 5 C= 4 6 D= 0 4 5 1 0 8 5 3 3 6 9 4 6 ) Verifique que (AB) -1 =B -1 A -1 b) Utilizndo o método d condensção clcule cr(a), cr(b), cr(c) e cr(d)

Mtrizes 1 16 - Clcule crcterístic ds seguintes mtrizes: 1 1 1 A= B= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 π π cis cis 5 4 4 cis0 cisπ 1 17 - Dds s mtrizes, e 1 cis π 3 π π 0 cis 3 cis cis 3 π π 0 cis 0 ) Identifique cd um ds mtrizes cim indicds com s letrs A, B e C tl que D=AB= L L L i. b) Clcule mtriz D. c) Simplifique expressão X = (B T A T C) T +AB d) Determine o vlor d mtriz X. π 4 10 i cis cis( π) 1 18 - Dds s mtrizes A = + i, B = e C = 3 4 ) Determine C -1, utilizndo o método d condensção. b) Simplifique expressão AB+ACB+X = 0. c) Determine o vlor d mtriz X. 1 0 0 1 19 - Dds s mtrizes A = B = 1 1 1 1 1 ) Verifique se (AB) T = B T A T. b) Determine o vlor d mtriz X tl que X = (AB) T xa+ B T A T xa. 3π 3π cis 1 + i i cis 1 0 - Dds s mtrizes A= 3, B= e C= i 1 π 1 3 cis cis 0 ) Simplifique expressão AX+BX+X-C=0. b) Determine mtriz X que verific condição AX+BX+X-C=0. Soluções 1 - ) i) ;1;4 ii) 1;; iii) 3;;3 5 5 8 1 3 14 8 18 19 b) i) 4 9 ii) ; 4 5 10 16 iii) 9 5 3 4 1 7 8 17

Mtrizes 6 1 18 iv) IMP v) 1 6 4 5 10 15 viii) 10 5 0 5 4 5 xii) 5 3 8 9 4 58 4 vi) 66 4 8 8 vii) 34 4 04 48 64 ix) IMP x) 16 36 76 14 16 xiii) 8 9 xiv) IMP; IMP 38 41 xi) 1 1 ; A 3 4 - ) d) 1 5 6 3 3 0 3 3 4 1 1 1 1 1 0 b) 4 1 0 1 7 7 4 5 6 e) 3 10 11 0 11 c) 7 3 4 3 1 3 6 17 3 - Verddeir 5 - ) Verddeir b) Fls c) Verddeir 6-15 5 104 119 y + w y 7 - y w 8 - Por exemplo: 1 1 1 1 9 - ) (A+5I+B T )B-M=0 5 1 1 b) M = 11 3 19 10 30 c) Não Permutáveis d) Não Permutáveis 6 0 3 0 15 14 10-9 11 3 14 11 3 Mtriz Simétric 11 - ) s 3 linhs b) s 3 coluns c) 3 1 - Cr(A)= Cr(B)=3 Cr(C)=3 Cr(D)=3

Mtrizes 3 15 3 3 0 15 57 1 5 13 - ) b) 7 7 c) d) 8 7 36 3 58 3 0 6 5 7 7 8 8 1 10b b 1 + b 1 b + 7 b + 3 6 4 5 + b 6 b +10 14 - ) 0 4 b 11 7 10b + 3 b 1 + b + b + b + 19 b) Por exemplo =4 b=3 15 - ) Verddeir b) Cr(A)=3; Cr(B)=3; Cr(C)=1; Cr(D)= 16 - Se -1 1 0 Cr(A) = 3 Se = -1 = 1 = 0 Cr(A) = Se -1 1 0 Cr(B) = 3 Se = 0 Cr(B) = 3 Se = 1 Cr(B) = 3 Se = -1 Cr(B) = Resumo: Se -1 Cr(B) = 3 Se = -1 Cr(B) = 0 i 17 - ) B, A, C b) c) X = (C T + I)(AB) d) IMP 3 i 1 96 8 i 18 - ) 3 1 b) X = - A(I + C)B c) 8 4 i 4 4 4 4 19 - ) Verddeiro b) X = (AB) T A = + 6 + + 4 14 + 0 - ) X = (A + B + I) -1 C b) 1 1 1 0 6

4 Mtrizes

Cpítulo Determinntes Objectivo O objectivo deste cpítulo é introduzir o conceito de determinnte de um mtriz, ver lgums regrs prátics pr o clculr, redução d ordem de um determinnte utilizndo o teorem de Lplce e s sus proprieddes. Além disso, veremos como clculr invers de um mtriz utilizndo determinntes, bem como definição e o cálculo dos vlores próprios e vectores próprios de um mtriz.

6 Determinntes Introdução Permutção de n elementos Permutção Sej S = {1,,..., n} o conjunto dos inteiros de 1 n, dispostos em ordem crescente. Um rerrnjo j 1 j... j n dos elementos de S é chmdo um permutção de S. Exemplo: 431 é um permutção de S = {1,, 3, 4}. Inversão Um permutção j 1 j... j n de S = {1,,..., n} tem um inversão se um inteiro mior j r precede um inteiro menor j s. Exemplo: 431 é um permutção de S = {1,, 3, 4} e temos 4 > um inversão 4 > 3 um inversão 4 > 1 um inversão > 1 um inversão 3 > 1 um inversão Concluindo em 431 temos cinco inversões. Permutção principl Permutção por ordem crescente, isto é, sem inversões. Exemplo: 134 é permutção principl de S = {1,, 3, 4}. Clsses Um permutção é de clsse pr se o número totl de inversões for pr. Um permutção é de clsse ímpr se o número totl de inversões for ímpr. Not: As permutções principis são considerds de clsse pr. Exemplo: Em 413 temos 4 > 1 um inversão 4 > 3 um inversão 4 > um inversão 3 > um inversão Temos qutro inversões, logo permutção é de clsse pr.

Determinntes Exemplo: N permutção do exemplo nterior temos cinco inversões, logo 431 é de clsse ímpr. 7 Pr construir um permutção do conjunto S = {1,,..., n}, podemos colocr qulquer um dos n elementos de S n primeir posição, qulquer um dos restntes n-1 elementos n segund posição, qulquer um dos restntes n- elementos n terceir posição, e ssim sucessivmente, té que n-ésim posição só pode ser preenchid pelo elemento que flt. Donde, podemos concluir que existem n (n -1) (n - )... 3 1 permutções em S, ou sej, n! permutções. Exemplo: Conjunto Número de Permutções Inversões Clsses permutções S = {1} 1! = 1 1 - pr S = {1, }! = *1 = 1 1 - pr 1 >1 ímpr S = {1,, 3} 3! = 3**1 = 6 13 31 31 13 13 31 - >1, 3>1 3>1, >1 3> >1 3>, 3>1, >1 pr pr pr ímpr ímpr ímpr N tbel cim podemos verificr que o número de permutções pres e ímpres pr cd conjunto S é igul. Generlizndo, pr n > 1, S = {1,,..., n} tem n! n! permutções pres e permutções ímpres. Teorem de Bezout: Se num permutção trocrmos entre si dois elementos permutção mud de clsse.

8 Determinntes Determinnte Dd mtriz A = [ ij ] nxn, definimos o determinnte d mtriz A, e escrevemos A, det(a) ou simplesmente, como A = ± 1j1 j K nj (1) n onde o somtório é relizdo pr tods s permutções, j 1 j... j n, do conjunto S = {1,,..., n}. O sinl é escolhido positivo ou negtivo consonte permutção j 1 j... j n sej pr ou ímpr, respectivmente. Em cd termo, ± 1j1 j K nj, do determinnte d mtriz A, os subíndices reltivos n às linhs estão n su ordem nturl, enqunto que os subíndices reltivos às coluns estão n ordem j 1 j... j n. Como permutção j 1 j...j n é simplesmente um rerrnjo dos números de 1 n, não contém repetições. Assim, cd termo do determinnte d mtriz A é o produto de n elementos de A com sinl proprido, com exctmente um elemento de cd linh e um elemento de cd colun. Como estmos somr tods s permutções do conjunto S = {1,,..., n}, o determinnte d mtriz A tem n! termos n equção (1). Exemplo: A = [ 11 ] n = 1 1! = 1 permutção Só tem permutção principl, de clsse pr, logo A = 11. Exemplo: 11 1 A = 1 n =! = *1 = permutções Pel equção (1) vem 11 (permutção de clsse pr) 1 1 (permutção de clsse ímpr) Logo, A =? 11? 1 1 ou sej, A = + 11-1 1 Not: Só é possível clculr determinntes de mtrizes qudrds. A ordem de um determinnte é igul o número de linhs (coluns).

Determinntes 9 Pr simplificr, "porque qundo s coiss se complicm, vêm os Mtemáticos e simplificm", surgirm lgums regrs prátics. Regrs prátics Pr mtrizes x 11 1 A = = + 1 11 1 1 Pr mtrizes 3X3, temos regr de Srrus: 11 1 13 A = 3 = + 33 + 13 + 3 31 11 1 31 3 33 11 1 13 11 1 3 31 1 13 3 3 33 1 1 1 3 ou ind, 11 1 13 A = 3 termos positivos 1 31 3 33 11 1 13 A = 1 3 termos negtivos 31 3 33 NOTA: Ests regrs prátics pr o cálculo de determinntes só podem ser plicds mtrizes de ordem inferior ou igul três. Como se poderá clculr o determinnte de um mtriz de ordem superior três? Podemos utilizr definição, ms tem desvntgem de ser pouco eficiente. Por exemplo, pr o cálculo do determinnte de um mtriz de ordem 4, vmos ter 4! = 4*3**1 = 4 prcels, correspondentes às respectivs permutções de um conjunto de qutro elementos. Novmente pr simplificr o cálculo do determinnte de um mtriz, surgiu o teorem de Lplce.

30 Determinntes Antes de vermos o teorem de Lplce vmos prender dois novos conceitos. Menor complementr de um elemento, ij, de um mtriz A, é o determinnte d mtriz que se obtém d mtriz A, suprimindo-lhe linh i e colun j, ou sej, linh e colun que cruzm nesse elemento. Complemento lgébrico de um elemento, ij, de um mtriz A, é o produto do menor complementr desse elemento por (-1) i+j, onde i e j são s ordens d linh e d colun, respectivmente, que se cruzm nesse elemento, e represent-se por A ij. Exemplo: 1 3 4 1 0 Sej A =. 1 1 1 3 1 1 5 O menor complementr do elemento 44 é 1 3 lgébrico é A 44 = (-1) 4+4. 1 0 1 1 1 3 1 0 1 1 e o respectivo complemento Teorem de Lplce O determinnte de um mtriz A é igul à som dos produtos que se obtêm multiplicndo cd um dos elementos de um ds sus linhs (ou coluns) pelo respectivo complemento lgébrico. Exemplo: Vmos desenvolver o determinnte d mtriz A, do exemplo nterior, segundo 4ª linh: det(a) = 41 A 41 + 4 A 4 + 43 A 43 + 44 A 44 3 4 1 3 4 1 4 1 + 4 = 3 (-1) 0 + 4 + 1 (-1) 1 3 + 4 + ( 1) (-1) 1 0 + 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 + 4 + 5 (-1) 1 0 1 1 = (-3)(-8) + (-1) + (-10) + 5(-4) = 33

Determinntes Proprieddes 31 O vlor do determinnte de um mtriz não se lter qundo se trocm, ordendmente, s sus coluns com s sus linhs, isto é, A = A T Demonstrção: Sejm A = [ ij ] e A T = [b ij ] onde b ij = ji, 1 i n, 1 j n). Então, por (1), temos A T = ± b 1j1 b j Kb nj = ± K j1 1 j j n () n n Reordenndo os fctores do termo j1 1 j K j n, de form que os índices de linh n estejm ordendos, vem b 1j1 b j Kb nj n = j1 1 j K j n = k n 1 1 k K nk n Supondo que s permutções, k 1 k... k n, que determin o sinl ssocido 1k 1 k K nk n, e j 1 j... j n, que determin o sinl ssocido b 1j1 b j Kb nj, são mbs pres ou mbs ímpres. n Exemplo: 13b 4 b 35 b b 41 b 5 = 31 4 53 14 5 = 14 5 31 4 53 O número de inversões n permutção 4513 é seis e em 3451, tmbém é seis. E como os termos e o sinl correspondentes em (1) e () coincidem, conclui-se que A = A T. Not: Dest propriedde conclui-se que podemos plicr s proprieddes tnto às linhs como às coluns. 1 4 Exemplo: A = 1 0 = 0 8 4 (0 4 + ) = 10 1 1 1 1 1 A T = 0 = 0 4 8 (0 4 + ) = 10 4 1

3 Determinntes Se os elementos de um linh (colun) d mtriz A forem todos nulos, então A = 0. Demonstrção: Suponhmos que r-ésim linh d mtriz A é formd por zeros. Cd termo d definição de determinnte d mtriz A, em (1), contém um fctor d r-ésim linh, então cd termo do determinnte d mtriz A será nulo, logo A = 0, isto é, A = ± 1j1 j K r 1jr 1 0 K nj = ± 0 = 0 r+1j r +1 n 1 4 Exemplo: 0 0 0 = 0 + 0 + 0 (0 + 0 + 0) = 0 1 1 Se um mtriz B result d mtriz A pel troc d posição reltiv de dus linhs (coluns) de A, então B = - A. Demonstrção: (linhs) Suponhmos que mtriz B provém d mtriz A devido à troc d posição reltiv ds linhs r e s d mtriz A, com r < s. Temos então que b ij = ij, i r; i s, b rj = sj, b sj = rj Logo, por (1), B = ± b 1j1 b j Kb rj Kb sj Kb r s nj n = = ± 1j1 j K sj K rj K r s nj n = = ± 1j1 j K rj K sj K s r nj n = = A

Determinntes 33 A permutção j 1 j...j s...j r... j n result d permutção j 1 j...j r...j s... j n devido à troc d posição de dois números. Logo, pelo teorem de Bezout, há um mudnç n clsse d permutção, isto é, o número de inversões n primeir difere do número de inversões d segund por um "quntidde" ímpr. Isto signific que o sinl de cd termo em B é simétrico do sinl do termo correspondente em A. Assim, B = - A. (coluns) Aplicndo primeir propriedde à mtriz A e à mtriz B estmos pernte o cso de troc de dus linhs, já demonstrdo. 1 4 Exemplo: 1 0 = 10 1 1 Trocndo primeir linh com segund, obtemos o determinnte 1 0 1 4 = 4 + 0 ( 4 8 + 0) = 10 1 1 Se um mtriz B é obtid de um mtriz A, multiplicndo um linh (colun) d mtriz A por um número rel k, então B = k* A. Demonstrção: Suponhmos que r-ésim linh d mtriz A=[ ij ] é multiplicd por k pr se obter mtriz B = [b ij ]. Então, b ij = ij se i r e b rj = k* rj. De (1), obtemos B = ± b 1j1 b j Kb rj Kb r nj n = = ± 1j1 j Kk rj K s nj n = = k ± 1j1 j K rj K s nj n = = k A

34 Determinntes Not: Podemos simplificr o cálculo de A, encontrndo o máximo divisor comum de cd linh e colun de A. 1 4 Exemplo: 1 0 = 10 1 1 Multiplicndo 1ª linh por, obtemos o determinnte 4 8 1 0 = 0 16 8 (0 8 + 4) = 0 1 1 Se dus linhs (coluns) d mtriz A forem iguis, então A = 0. Demonstrção Suponhmos que s linhs r e s d mtriz A são iguis. Se trocrmos s posições reltivs ds linhs r e s d mtriz A obtemos um nov mtriz, B. Por um ldo, B = - A (por um propriedde nterior). Por outro ldo, como B = A então B = A. Logo A = - A * A = 0 A = 0 1 4 Exemplo: 1 4 = + 8 + 8 ( + 8 + 8) = 0 1 1 Um determinnte de um mtriz com dus linhs (coluns) prlels proporcionis é nulo. Demonstrção: A = 1 M 11 1 n 1 L k 1 i L 1 i L 1 n L k i L i L n M O M O M O M n L k ni L ni L nn

Determinntes Por um propriedde nterior 35 A = k 11 1 L 1 i L 1 i L 1n 1 L i L i L n M M O M O M O M n 1 n L ni L ni L nn Este determinnte tem dus coluns iguis, logo, por um propriedde nterior, concluímos que A = 0. Exemplo: 1 4 3 6 1 = 6 + 4 + 4 (4 + 4 6) = 0 1 1 Se cd elemento de um linh (colun) do determinnte de um mtriz é igul à som de dus prcels, ele poder-se-á decompor n som de dois determinntes, que se obtêm dquele substituindo os elementos dess linh (colun) sucessivmente pels primeirs e pels segunds prcels dess soms, mntendo inlterds s restntes linhs (coluns). Demonstrção: Pel definição (1) A = ± 1j1 j K iji K njn (1) () (m) (m prcels), então Se iji = b iji + b iji +K+ b iji (1) () A = ± 1j1 j K(b iji + b iji + K + b (m) iji )K njn Aplicndo propriedde distributiv d multiplicção em relção à dição obtemos (1) A = ± K b K + + + K + ± ± 1 j 1 1 j 1 1 j 1 j j j K b K b ij i ( ) ij i ( m ) ij i K K nj n nj n nj n + ou sej, A = A 1 + A +... + A m

36 Determinntes 1 + 1 + 4 + ( 1) 1 4 1 1 Exemplo: 1 0 = 1 0 + 1 0 = 10 + 0 = 10 1 1 1 1 1 1 Se um mtriz B for obtid de um mtriz A dicionndo cd elemento d r-ésim linh (colun) d mtriz A, o elemento correspondente d s-ésim linh (colun) d mtriz A, r s, multiplicdo por k, então B = A. Demonstrção: Temos b ij = ij pr i r e b rj = rj + k* sj e r j, por exemplo, pr r < s, por (1) vem B = ± b 1j1 b j Kb rj Kb nj = r n = ± 1j1 j K( rj + k sj )K sj K nj r r s n Aplicndo propriedde distributiv d multiplicção em relção à dição B = ± 1j1 j K rj K sj K nj + ± 1j1 j Kk sj K sj K nj r s n r s n = A + k ± 1j1 j K sj K sj K r s nj n ms, 11 1 L 1 n 1 L n M M O M s1 s L ± sn j1 1 K j j sj K sj K j n = = 0 r s n M M O M s1 s L sn M M O M n1 n L nn Logo, B = A + 0 = A. 1 4 Exemplo: 1 0 = 10 1 1

Determinntes Somndo à ª linh 1ª multiplicd por 1, obtemos o determinnte 1 4 0 = + 0 + 4 (8 + 4 + 0) = 10 1 1 37 O determinnte de um mtriz tringulr superior ou tringulr inferior é igul o produto dos elementos d digonl principl. Demonstrção: Recordndo definição de determinnte de um mtriz A = ± 1j1 j K iji K njn onde o somtório é relizdo pr tods s permutções, j 1 j j n, do conjunto S = {1,,..., n} e o sinl é escolhido positivo ou negtivo consonte permutção j 1 j... j n sej pr ou ímpr, respectivmente. Com efeito, se pr um dos ldos d digonl principl todos os elementos d mtriz são nulos, então todos os termos diferentes do termo principl têm pelo menos um fctor nulo, logo, A = 11 K nn 1 4 1 4 1 4 Exemplo: 1 0 = 10 1 0 = 0 = 1 ( 5) = 10 L =L +L 1 L 3 =L 3 L 1 1 1 1 1 0 0 5 Invers de um mtriz utilizndo determinntes Pr o cálculo d invers de um mtriz utilizndo determinntes necessitmos de prender mis um definição, de mtriz djunt, que vmos representr por Adj(A).

38 Determinntes Mtriz Adjunt Mtriz djunt de um mtriz qudrd, A, é mtriz que se obtém d mtriz A d seguinte form: ) Clculm-se os complementos lgébricos de todos os elementos de A; b) Constrói-se, prtir de A, mtriz Adj(A), substituindo cd elemento de A pelo seu complemento lgébrico. Invers d mtriz A 1 1 A 1 = ( Adj( A )) T = Adj( A T ) A A Exemplo: 1 1 A = A = 3 4 3 4 = 4 6 = A 11 = (-1) 1+1 4 =4 A 1 = (-1) 1+ 3 =-3 4 3 Adj( A) = A 1 = (-1) +1 =- A = (-1) + 1 =1 1 T = 3 1 1 4 1 4 1 A = = 1 3 1 3/ 1/ Vlores próprios e vectores próprios Definição: Dd um mtriz qudrd A, diz-se que um número rel λ é um vlor próprio de A se existir um mtriz colun, não nul, X, com elementos pertencentes R, tl que AX = λx Qulquer mtriz colun, não nul, X, que verifique relção nterior, é chmd um vector próprio de A ssocido λ. Sej A = [ ij ] um mtriz qudrd de ordem n, então

Determinntes 39 11 1 L 1n x 1 x 1 AX = λx 1 L n x = λ x M M O M M M n 1 n L nn x n x n Aplicndo multiplicção de mtrizes, temos 11x 1 + 1 x +... + 1 n x n = λx 1 ( 11 λ)x 1 + 1x +... + 1 n x n = 0 1 x 1 + x +... + n x n = λx 1x 1 + ( λ)x +... + n x n = 0......... x 1 + x +... + x n = λx n 1 n nn n n 1 x 1 + n x +... + ( nn λ)x n = 0 Que é equivlente, n form mtricil, 11 λ 1 L 1 n x 1 0 1 λ L n x = 0 M M O M M M n 1 n L nn λ x n 0 ou sej, ( A λ I ) X = 0, sendo 0 mtriz colun nul de tipo n 1. Definição: Sej A um mtriz qudrd de tipo n n. O determinnte f (λ) = A λi = 11 λ 1 L 1 n 1 λ L n M M O M n 1 n L nn λ é designdo por polinómio crcterístico de A. A equção f (λ) = A λi = 0 é designd por equção crcterístic de A. Teorem: Os vlores próprios d mtriz A são s rízes reis do polinómio crcterístico de A. Depois de obter todos os vlores próprios de A, resolvendo equção A λi = 0, substituindo n iguldde (A λi)x = 0, λ por cd um dos vlores próprios e

40 Determinntes resolvendo o sistem dí resultnte, obtém-se o conjunto dos vectores próprios de A ssocidos cd vlor próprio. Exemplo: Sej, A = 5 3 pr encontrr os vlores próprios de A, resolvemos 1 3 equção A - λi =0 5 λ 3 = 0 λ 8λ + 1 = 0 λ = λ = 6 1 3 λ Temos então como vlores próprios pr mtriz A, λ 1 = e λ = 6. Vmos então clculr os vectores próprios ssocidos cd um deles. Pr λ 1 =, substituímos λ n iguldde (A-λI)X=0, obtendo 5 λ1 3 x 1 0 3 3 x 1 0 3 x 1 + 3 x = 0 x 1 = x λ = 1 1 = 1 3 x x 0 1 0 x 1 + x = 0 0 = 0 Então, o conjunto dos vectores próprios ssocidos λ 1, que vmos designr por V λ1, é V λ1 = x : x 0 x Pr λ = 6, substituímos λ n iguldde (A-λI)X=0, obtendo 5 λ 3 x 1 0 1 3 x 1 0 x 1 + 3 x = 0 x 1 = = 3 x = 1 3 λ x 0 1 3 x 0 x 1 3 x = 0 0 = 0 Então, o conjunto dos vectores próprios ssocidos λ, que vmos designr por V λ, é V λ = 3x : x 0 x

Determinntes 41 Exercícios 1. Encontre o número de inversões pr cd um ds seguintes permutções de S = {1,,3,4,5}. ) 5134 b) 4513 c) 4135 d) 1354 e) 3541 f) 1345. Determine se cd um ds seguintes permutções de S = {1,,3,4} é pr ou ímpr. ) 413 b) 143 c) 134 d) 314 e) 143 f) 431 3. Verifique pr o conjunto S = {1,, 3} o teorem de Bezout. 4. Dds s seguintes mtrizes sobre R: 1 3 3 B = b A = b + C = 4 3 4 5 5 1 ) Clcule os determinntes ds mtrizes A e C utilizndo definição. b) Clcule os determinntes ds mtrizes A, B e C utilizndo s regrs prátics. k k 5. Determine os vlores de k, pr os quis: = 0. 4 k 6. Clcule os determinntes: 1 0 1 0 4 1 8 ) b) 3 1 4 c) 1 7 4 5 7 1 5

4 Determinntes 7. Aplicndo proprieddes e os resultdos do exercício nterior, clcule os determinntes: 1 4 0 1 1 0 30 ) 0 1 b) 1 c) 0 0 0 d) 6 6 4 1 5 5 1 7 56 3 3 3 1 0 1 0 1 1 3 e) 3 3 4 f) 6 6 8 g) 0 1 0 15 7 15 7 3 6 1 0 0 4 0 1 0 8. Clcule o vlor do determinnte 0 0 1 0 1 0 3 0 1 0 0 5 ) Aplicndo o Teorem de Lplce à 1ª linh; b) Aplicndo o Teorem de Lplce à 3ª linh; c) Aplicndo proprieddes. 9. Sejm i,j N e A=[ ij ] e B=[b ij ] um mtriz nxn. Dig, justificndo, se são verddeirs ou flss s seguintes firmções: ) A 0 b) A = 0 se e só se A = 0 c) -A = - A d) AB = BA

Determinntes 43 10. Utilizndo pens s proprieddes dos determinntes, prove que: 3 ) 101 1 3 4 + b b + c c + d d + 5 0 9 305 10 b + c c + d d + + b =0 b) 408 c + d d + + b b + c 0 0 1 d + + b b + c c + d =0 b d e g h c) b c e f h i c f d i g =0 d) b c d + b + b + c + b + c + d + b 3 + b + c 4 + 3 b + c + d 3 + b 6 + 3 b + c 10 + 6 b + 3 c + d = 4 11. Utilizndo pens s proprieddes dos determinntes, clcule: ) b b b b c c b c d 1 bc bc + b c b) 1 c c + c 1 b b + b c) x + z x + y x y y x x x x + b 1 0 3 b d) + b e) b b + 3 b 1 b b 3 b 5 3 b b 1 3 f) α + 1 α + 3 α + 1, pr α 0 e β 0 (sol: -9) + β 1 + β β 1. Clcule: 1 1 1... 1 1 1... 1 ) 1 1 3... 1............... 1 1 1... n b) 1 1 1... 1 1 3... 3 3 5... 3 3.................. n 1 n 1 n 1... n 3 n 1 n n n... n n 1

44 Determinntes 1 1 1... 1 1 0 1... 1 c) 1 1 0... 1............... 1 1 1... 0 d) 1...... 3........................ n 1... n 1 3... n 1 1 1... 1 6 6... n 1 1 + 1... 1 e) 3 6 1... 3 n h) 1 1 1 + b... 1... n... n... 3 n............ n + n 1... 1... 1......... 1 + n 1 3 1 1 3 k 3...... 1 3 1 + x x 1 13... 1 0... i) 4 4 4 k... 4 j) x 1 1... 0.............................. n n n... n k x 1 1... 1 1 n 0 k) 1 x... 1 x... 1 x........................ 1 x... 1 x 1 + x 3... n 1 + x 3... n i) 1 3 + x... n............... 1 3... n + x 13. Determine s rízes ds equções: 1 + x 3 4 0 x 1 x 1 1 + x 3 4 ) = 0 b) 0 x = 0 c) x x = 0 1 3 + x 4 x 0 x 3 4 1 3 4 + x d) x x b c b c b c x b x c b c x = 0 e) x d x d d d x x x x x x d x e = 0 f

Determinntes 45 1 1 1 x 13 x 6 7 x 10 f) x + 1 + 1 b + 1 = 0 g) 3 x 5 8 6 x 4 x 6 = 0 x + x + b + b 3 x + 14 x + 19 11 6 x x b c x c b h) = 0 b c x c b x 14. Mostre que b ) c b c d c d d d b c = 0 se +b+c+d = 0 b b + c 0 c b b + c b b 0 b) = c c c + b 0 3 x + z y + z z w + z 1 x x x k + x k + y k + z k + w 1 y y y 3 c) = yzw xzw xyw xyz 1 z z z 3 1 1 1 1 1 w w w 3 15. Ds mtrizes que se seguem, invert s que forem invertíveis: 0 1 1 1 1 1 6 A= 0 1 1 0 D= B= C= 1 1 1 0 3 9 0 0 1 1 16. Determine e b de form que s mtrizes A e B sejm invertíveis: 1 1 1 0 1 1 1 1 b 1 A= 1 B= 1 1 3 b 0 1 1 1 b

46 Determinntes 0 1 1 1 1 1 17. Sendo A= 0 1 1 1 1 ) Clcule A -1 utilizndo o método d djunt; b) Represente um mtriz de 5ª ordem cujo determinnte sej igul o det(a). 18. Sejm A=[ ij ] nxn e B=[b ij ] nxn mtrizes regulres: ) Sbendo que det(ab) = det(a)*det(b) mostre que det(a)*det(a -1 ) = 1 b) Mostre que det(a+b) det(a) + det(b) c) Mostre que (A*B) -1 = B -1 * A -1 1+ i 1+ i 1+ i 19. Sbendo que 3 3 = 1 i e utilizndo somente s proprieddes, 1+ i + i i x+ xi i + 1 resolv equção x+ xi 3 i + = + i, presentndo o resultdo n form mis simples. x+ xi 3 i 0. Sbendo que x y z x y 1 3 z = e utilizndo somente proprieddes, clcule x x 3 x x +1 y + z + 3. x + x y + y z + z

Determinntes 47 1. Determine o vlor do determinnte d mtriz A, utilizndo somente proprieddes 1 i 1+ i 1 i 3 3 1 i A = i 1 i + 3 3 π 3 cis + 4 4 0 4. Determine os vlores e vectores próprios ds mtrizes 1 1 6 3 14 9 ) b) 1 c) 6 11 d) 5 3 3 0 (Obs: Em d) e e) os vlores próprios são inteiros.) 1 5 6 8 e) 1 13 16 3 1 3 4 4 5 Soluções 1. ) 5 b) 7 c) 4 d) 4 e) 7 f) 0. ) + b) - c) + d) - e) + f) + 4. ) 3; 79 b) 3; b - ; 79 5. k=0 k= 6. ) -5 b) 13 c) 3 7. ) 3 b) -3 c) 0 d) 0 e) 39 f) 78 g) 0 8. -66 9. ) Fls b) Fls c) Fls d) Verddeir 11. ) (b-)(c-b)(d-c) b) 0 c) x(y-x)(z-y) d) (+b)(+b)(+b) e) b(+b)(-b) f) -9 1. ) (n-1)! b) (n-1)! c) 1 d) -(n-)! e) n! f) (n+x)x n-1

48 Determinntes g) (x-1)(x-)... (x+1-n) h) bc... n i) (-k) n- j) 1+x(1-1 ) h) (n-1-x)(-1-x) n-1 13. ) (10+x)x 3-10; 0 (ríz tripl) b) -(x+)(x -x+4) -; 1 ± 3 i c) -x(-x)(x -) 0; ; ± d) -x 3 (+b+c+d-x) +b+c+d; 0 (ríz tripl) e) x(x-)(x-d)(x-f) 0; d; f; f) (-x)(b-x)(-b) ; b sse b 48 g) (5x-5)(x-1)(10x+96) ; 1(ríz dupl) 5 h) (-x++b+c)(-x+-b-c)(-x-+b-c)(x++b-c) +b+c; -b-c; -+b-c; --b+c 1 1 15. ; IMP; 0 1 1 1 0 1 1 3 3 1 1 1 1 ; 0 0 1 1 3 0 3 1 0 16. 1 b 11 ± 81 10 17. ) 3 11 1 9 1 4 0 3 1 0 b) 3 10 1 8 0 A 1 0 19. -6/5+/5i 0. x 1. -+i. ) λ=1 [x 0] T ; λ= [x x] T b) λ=4 [x -x/3] T ; λ=3 [x -x] T c) λ=0 [x x/3] T ; λ=5 [x -x] T d) λ=1 [x x x] T ; λ= [x x x] T e) λ=1 [x x -x] T ; λ=-1 [x x 0] T ; λ=-3 [-z -4z z] T

Cpítulo 3 Sistems de Equções Lineres Objectivo Neste cpítulo vmos introduzir um novo processo de resolver sistems de equções lineres, utilizndo os conhecimentos dquiridos sobre mtrizes e su crcterístic. Veremos como discutir um sistem de equções lineres, em função de um, ou mis, prâmetros. Finlmente, iremos ver dois csos prticulres de sistems, sistems de Crmer, resolvidos utilizndo determinntes, e sistems homogéneos, resolvidos utilizndo mtriz invers.

50 Sistems de Equções Lineres Introdução Vmos considerr um sistem de equções lineres, ou sej, 11 x1 + 1 x +...+ 1n x n = b 1 1 x1 + x +... + n x n = b... i1 x1 + i x +... + in xn = b i... m 1 x 1 + m x +... + mn x n = b m onde ij, i = 1,...,m, j = 1,...,n e b i, i = 1,...,m são esclres conhecidos pertencentes R e x j, j = 1,...,n são esclres determinr, tmbém pertencentes R. Teremos então um sistem de m equções lineres n incógnits, x j, j = 1,...,n, com coeficientes ij, i = 1,...,m, j = 1,...,n e com termos independentes b i, i = 1,...,m. Definindo s mtrizes: 11 1 L 1n x 1 b 1 1 L n x b M M O M M M A = x = b = i 1 i L in xi b i M M O M M M m 1 m L mn xn b m onde A é designd como mtriz do sistem ou mtriz dos coeficientes, x como mtriz ds incógnits e b como mtriz dos termos independentes, este sistem pode ser representdo sob form mtricil como Ax = b. Vmos, lém disso, definir um nov mtriz A, que designremos por mtriz complet do sistem, como

Sistems de Equções Lineres 51 11 1 L 1n b 1 1 L n b M M O M M A = i 1 i L in b i M M O M M m 1 m L mn b m Chmmos solução do sistem qulquer ponto ( c, c,..., c ) R tl que, fzendo 1 n n ( x, x,..., x ) = ( c, c,..., c ) s m equções do sistem se verificm. 1 n 1 n Se o sistem não tiver soluções diz-se impossível, e no cso de ter, pelo menos, um solução diz-se possível. Se existir pens um solução o sistem diz-se determindo e se existir mis do que um solução indetermindo. Resolução de sistems Resolver um sistem é determinr tods s sus soluções ou concluir que ests não existem. Dois sistems dizem-se equivlentes se e só se têm s mesms soluções. A equivlênci entre sistems permite resolver um sistem, resolvendo outro, equivlente o sistem ddo. Os métodos de resolução de sistems consistem precismente em pssr do sistem inicil pr outros, em pssgens sucessivs, todos equivlentes entre si, de modo que o último sej um sistem muito simples, do qul sej imedito determinr s sus soluções, que serão, tmbém, s do problem inicil. Vmos ver um método de resolução de sistems de equções lineres: o método d condensção, bsedo n condensção d mtriz complet do sistem.

5 Sistems de Equções Lineres Método d condensção Sej o sistem definido nteriormente, Ax = b, de m equções n incógnits. Consideremos mtriz complet do sistem A, de tipo m (n +1), e vmos proceder à su condensção utilizndo operções elementres sobre linhs e coluns té obtermos um mtriz que contenh um submtriz tringulr inferior, de ordem r, de elementos digonis não nulos. ' 11 ' 1 L ' 1r ' 1, r+ 1 L ' 1n b' 1 0 ' L ' r ', r + 1 L ' n b' M M O M M O M M 0 0 L ' rr ' r,r +1 L ' rn b' r 0 0 L 0 0 L 0 b' r +1 M M O M M O M M 0 0 L 0 0 L 0 b' m Note-se que, durnte condensção d mtriz A, nunc podemos relizr nenhum operção elementr sobre colun dos termos independentes, nem tods s operções elementres sobre linhs e coluns. Vejmos que corresponde cd operção elementr n equivlênci de sistems: Operções elementres sobre linhs: I) corresponde à troc de ordem de dus equções; II) corresponde à multiplicção de mbos os membros de um equção por um esclr qulquer; III) corresponde à som de um equção com o produto de outr equção por um esclr qulquer.

Sistems de Equções Lineres 53 Operções elementres sobre coluns: I) corresponde à troc dos coeficientes de dus incógnits, ou sej, à troc d ordem ds incógnits; II) corresponde à multiplicção dos coeficientes de um incógnit por um esclr qulquer; III) corresponde à som dos coeficientes de um incógnit com o produto dos coeficientes de outr incógnit por um esclr qulquer. Então, poderemos relizr tods s operções elementres sobre linhs, pois pr tods els se obtém um mtriz que represent um sistem equivlente o nterior, ms pens operções elementres de tipo I sobre coluns, o que corresponde à troc de ordem ds incógnits, devendo por isso ser notd e tid em cont no finl d resolução do problem. Obtivemos ssim um nov mtriz que represent um sistem equivlente o primeiro, como vimos prtir d correspondênci entre operções elementres sobre linhs e coluns de um mtriz e s operções elementres possíveis de relizr sobre um sistem de modo obter um sistem equivlente. É evidente, prtir d observção d nov mtriz, que o novo sistem só será possível se s últims r equções forem stisfeits, ou sej, se e só se b ' i = 0, i = r + 1,..., m, o que nos lev o seguinte teorem: Teorem: É condição necessári e suficiente pr que um sistem de equções lineres sej possível que mtriz dos coeficientes e mtriz complet tenhm mesm crcterístic, isto é, cr( A ) = cr( A )

54 Sistems de Equções Lineres Temos então, como consequênci imedit do teorem, que se cr( A) cr( A) o sistem é impossível. x 1 x = 1 Exemplo: Consideremos o sistem x 1 + x + 3x 3 = 1 x 1 + 3x 3 = 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 A = 1 3 1 ~ 0 1 3 0 ~ 0 1 3 0 1 0 3 L =L +L 1 L L L 3 1 = 3 3 L = L 3 L 1 0 1 3 0 0 0 1 Temos, então, cr(a) = cr( A) = 3, logo o sistem é impossível (SI). No cso de o sistem ser possível, obtemos o sistem equivlente o primeiro: ' 11 x 1 + ' 1 x +... + ' 1r x r + ' 1, r+1 x r+1 +... + ' 1n x n = b' 1 ' x +... + ' r x r + ', r+1 x r+1 +... + ' n x n = b'... ' rr x r + ' r r +1 x r+1 +... + ' rn x n = b' r, Este novo sistem contém pens r equções, que chmremos equções principis, designndo s restntes por equções não principis ou redundntes. As incógnits correspondentes à mtriz tringulr superior são designds por incógnits principis e s restntes por incógnits não principis. Teremos, ssim, r incógnits principis e n-r incógnits não principis. Note-se que, se r=n, não existem incógnits não principis e, portnto, o sistem será reduzido : ' 11 x 1 + ' 1 x +... + ' 1n x n = b' 1 ' x +... + ' n x n = b'... ' nn x n = b' n

Sistems de Equções Lineres sendo, portnto, um sistem possível e determindo, bstndo pens pr encontrr su solução relizr substituição sucessiv dos vlores ds incógnits x n, x n 1,..., x, x 1. 55 Exemplo: Consideremos o sistem x 1 x 3 = 1 x 1 + x = x 1 + x + x 3 = 1 x 1 + 3x = 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A = 0 1 4 ~ 0 1 4 ~ ~ 1 1 1 L = 0 L L 1 0 0 L 3 = L 3 L 0 0 4 8 3 L = L 3+ L 1 L = 3 0 L = 4 L 4 L 4 L 4 3 L 1 0 3 4 0 0 4 8 1 0 1 1 ~ 0 1 4 L 4 = L 4 L 30 0 4 8 0 0 0 0 Temos, então, cr(a) = cr( A) = r = 3, n = 3, n r = 0, logo o sistem é possível e determindo (SPD). Além disso, contém um equção não principl, que é, por coincidênci, últim. Pssemos o sistem condensdo equivlente, e prtir deste à solução do sistem: x 1 x 3 = 1 x 1 = 1 x 1 = 1 x + x 3 = 4 x + = 4 x = 0 S = (1,0,) 4x 3 = 8 x 3 = x 3 = Se r<n, pr resolver o sistem bstrá pssr pr o segundo membro s incógnits não principis, obtendo-se: ' 11 1 x + ' 1 x +... + ' x b ' 1, r +1 x... ' x 1 r r = ' 1 r +1 1 n n ' x +... + ' r r x = b ' ', r +1 x r +1... ' n x n... ' rr r x = b ' r ' r,r +1 x r +1... ' rn x n

56 Sistems de Equções Lineres Neste cso, o sistem terá váris soluções, dizendo-se, portnto, indetermindo. O número de incógnits não determinds é igul o de incógnits não principis, n-r, designndo-se este número por gru de indeterminção do sistem, e o sistem diz-se possível e n-r vezes indetermindo. As soluções do sistem inicil são encontrds do mesmo modo que no cso nterior, ou sej, por substituição sucessiv dos vlores ds incógnits x r, x r 1,..., x, x 1. Exemplo: Consideremos o sistem x 1 + x x 3 + 3x 4 = x x + 3x 3 x 4 = 1 1 x 1 3x + 4x 3 4x 4 = 1 x 1 + 7x 6x 3 +10x 4 = 5 4x 1 x + 6x 3 x = 4 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 0 5 5 7 3 A = 1 3 4 4 1 ~ 0 5 5 7 3 ~ L =L -L 1 L3 =L 3 -L 7 6 10 5 1 1 L 4 =L 4 -L 1 0 5 5 7 3 L 5 =L 5-4L 1 4 6 0 10 10 14 6 1 1 3 0 5 5 7 3 ~ 0 0 0 0 0-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L 3 =L 3 L L 4 =L 4 +L L 5 =L 5 L Temos então cr(a) = cr( A) = r =, n = 4, n r =, logo o sistem é possível e duplmente indetermindo (SPD). Além disso, contém três equções não principis, por coincidênci s três últims e dus incógnits não principis, x 3 e x 4. Obtemos o sistem condensdo equivlente: x 1 + x x 3 + 3 x 4 = x 1 + x = + x 3 3 x 4 5 x + 5 x 3 7 x 4 = 3 5 x = 3 5 x 3 + 7 x 4 x 1 + ( 3 / 5 + x 7 / 5 x )= + x 3 x 4 x 1 = 4 / 5 x 1 / 5 x x = 3 / 5 + x 7 / 5 x x = 3 / 5 + x 7 / 5 x 3 4 3 3 4 3 4 3 4 S = 4 x 3 1 x 4, 3 + x 3 7 x 4, x 3, x 4 5 5 5 5

Sistems de Equções Lineres Discussão de sistems 57 Por vezes surgem csos em que não necessitmos de resolver um sistem de equções lineres, ms pens de o clssificr. Normlmente, nesse tipo de sistems os coeficientes ds incógnits dependem de um ou mis prâmetros e o que se pretende é simplesmente determinr se o sistem é impossível, possível e determindo ou possível e indetermindo, e, neste último cso, qul o gru de indeterminção, em função dos ditos prâmetros, sem nunc chegr resolver relmente o sistem. Assim, mtriz obtid por condensção prtir d mtriz complet, não necessit de representr um sistem equivlente o inicil, podendo, portnto, relizr-se tods s operções elementres sobre coluns, excluindo, unicmente, últim, sobre qul continu não se poder relizr qulquer operção. x + x x 1 3 = 3 1 Exemplo: Consideremos o sistem ( ) x 1 x 4x 3 = + 1 x 1 + x + ( + 3)x 3 = 3 1 1 3 1 1 1 3 1 A = 1 4 +1 ~ 3 + 9 1 ~ 1 0 1 L =L 4 + ( +) L = L 3 L 1 1 + 3 3 L 3 0 1 + 3 6 +1 1 1 3 1 ~ 0 1 4 3 + 9 1 L = L +L 3 3 0 0 1 3 + 3 Observndo os elementos d digonl principl, verificmos que estes se nulm qundo 1 = 0 = 1 Logo, teremos 1 = 0 = ±1 1 1 cr( A ) = cr( A ) = 3 n = 3 sistem possível e determindo (SPD) = 1 1 1 1 1 1 1 0 0 5 5 ~ 0 5 0 5 cr( A ) = cr( A ) = n = 3 0 0 0 0 C C 3 0 0 0 0 sistem possível e simplesmente indetermindo(sp1d)

58 Sistems de Equções Lineres 1 1 1 4 cr( A ) = = 1 0 1 13 cr( A ) = 3 0 0 0 6 sistem impossível (SI) Exemplo: Consideremos o sistem 4x 1 x + bx 3 = 1 x 1 + x + 3x 3 = 4x 1 + x + bx 3 = b 4 b 1 4 b 1 4 b 1 A = 1 3 ~ L = 4 4 1 4 ~ 0 4 1 + b 3 4L L =L +L1 4 b b 4 b b L3 =L3 +L1 0 0 b b 1 Observndo os elementos d digonl principl, verificmos que estes se nulm qundo 4 = 0 = Logo, teremos b = 0 b = 0 b 0 cr( A ) = cr( A ) = 3 SPD n = 3 4 b 1 1 4 b 1 1 = 0 0 1 + b 6 ~ 0 1 + b 0 6 ~ C C3 3 0 0 b b b 1 0 b 0 b b 1 4 b 1 4 b 1 ~ ~ 0 1 0 7 b L = L LL 0 1 0 7 b 3 L = L3 bl L L3=6 L =6L3 0 1b 0 6b 6 3 0 0 0 b b 6 cr(a) A = Vmos ver, pr =, qundo se nul o último elemento d colun dos termos independentes b b 6 = 0 b = b = 3 = (b = b = 3) cr( A ) = cr( A ) = n = 3 SP1I = b b 3 cr( A ) = cr( A ) = 3 SI

Sistems de Equções Lineres Sistems de Crmer 59 Vmos gor ver um cso prticulr dos sistems possíveis e determindos, que pode ocorrer qundo o número de equções é igul o número de incógnits, ou sej, qundo m = n. Definição: Um sistem de equções lineres diz-se um sistem de Crmer se forem stifeits s condições seguintes: ) O número de incógnits é igul o número de equções; b) O determinnte d mtriz do sistem é não nulo. Consideremos então o sistem: 11 x 1 + 1 x +... + 1 n x n = b 1 1 x 1 + x +... + n x n = b... n 1 x 1 + n x +... + nn x n = b n ou, n form mtricil, Ax = b, com 11 1 L 1n x 1 b 1, x = b 1 L n x A = e b =. M M O M M M L b n 1 n nn x n n

60 Sistems de Equções Lineres O número de equções e de incógnits é o mesmo, e, portnto, se A 0 então estmos pernte um sistem de Crmer, cuj solução pode ser obtid utilizndo s chmds fórmuls de Crmer: O vlor de cd incógnit, x i, i = 1,..., n, pode ser obtido prtir do quociente x i = i, i = 1,..., n onde o denomindor é o determinnte d mtriz dos coeficientes, = A, e o numerdor, i, é o determinnte d mtriz que se obtém d mtriz dos coeficientes, A, substituindo colun de ordem i, isto é, colun dos coeficientes d incógnit x i, pel colun dos termos independentes, b. x 1 + x x 3 = 1 Exemplo: Sej o sistem de equções lineres x 1 x + x 3 = 3 3x 1 + x + x 3 = 4 1 1 1 então A = 1 e A = -4. Clculemos os determinntes i, i = 1,,3. 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 3 1 = 1 = 3 = 8 3 = 1 3 11 4 1 1 3 4 1 3 1 4 1 1 8 11 11 x 1 = = x = = x 3 = = 4 4 4 4 4 Vejmos outro método de resolução de um sistem de Crmer, Ax = b, utilizndo invers d mtriz do sistem, A 1, que existe sempre, pois A 0. Multiplicndo à esquerd mbos os membros de Ax = b por A 1, tem-se A 1 Ax = A b, e, como 1 A 1 A = I, teremos Ix = A 1 b, ou sej, x = A b. 1

Sistems de Equções Lineres 61 1 1 1 Exemplo: Utilizndo o exemplo nterior, temos A = 1 3 1 1 3 / 4 1 / 1 / 4 1/ 4 Logo A -1 = 1 1 1, e portnto, x = A -1 b =. 5 / 4 1 / 3 / 4 11/ 4 Sistems homogéneos Definição: Um sistem de m equções lineres n incógnits diz-se um sistem homogéneo se todos os termos independentes ds equções do sistem forem nulos, ou sej, se tivermos 11 x 1 + 1 x +... + 1n x n = 0 1 x 1 + x +... + n x n = 0......... m 1 x 1 + m x +... + mn x n = 0 ou, n form mtricil, Ax = 0, com 0 mtriz colun nul com m elementos. Este sistem é sempre possível, pois dmite, pelo menos solução nul, x j = 0, j = 1,...,n. Vejmos em que condições ele dmite soluções não nuls. Teorem: Um sistem homogéneo, Ax = 0, dmite soluções não nuls se e só se cr( A) = r < n. Neste cso, o sistem será indetermindo, com gru de indeterminção n-r. Do teorem nterior, conclui-se que o sistem tem soluções não nuls se e só se A = 0, ou sej, se mtriz do sistem, A, for singulr. No cso de A 0, ou sej, se mtriz A for regulr, o sistem dmite pens solução nul, sendo, portnto, possível e determindo.

6 Sistems de Equções Lineres

Sistems de Equções Lineres 63 x 1 + x x 3 = 0 Exemplo: x 1 x + 3x 3 = 0 x 1 3x + x 3 = 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 3 0 ~ 0 L =L L 1 0 5 5 ~ 0 5 5 0 L 3 =L 3 L 1 0 1 3 5 3 L 3 =L 3 L 0 0 0 0 0 0 cr( A ) = cr( A ) = 3 n = 3 SPD x + y z = 0 x + y = 0 x = 0 5 y + 5 z = 0 5 y = 0 y = 0 S = ( 0,0, 0 ) z = 0 z = 0 z = 0 x 1 + x x 3 = 0 Exemplo: x 1 x + 3x 3 = 0 x 1 3x + 4x 3 = 0 1 1 1 1 1 1 ~ 1 3 ~ 0 5 L L L 0 5 5 = 1 3 L 1 3 4 L L L 1 0 5 5 = L 3 L 3 = 3 0 5 0 0 cr( A ) = cr( A ) = n = 3 SP1I x + y z = 0 x + z z = 0 x = z S = ( z, z, z ) 5 y + 5 z = 0 y = z y = z

64 Sistems de Equções Lineres Exercícios: 1. Ddos os seguintes sistems: x y + z + w = 1 ) x y + z w = 1 x y + z + 5w = 5 x + y = 5 b) x + z = 4 x + y z = 1 c) x y + z + t = 1 + x y z + 4t = x z = x + 7 y 4 z + 4t = 4 y + z = 3 + x y + z + t = 4 x y z = 1 y z + w = 1 x y z + t = 1 d) e) x = 1 f) x y + z = 0 3 x + t = 5 x y + z w = 1 4x y z + t = 3 x + z = 1 + x + y + w = 1 6x + 3 y + 3t = 3 + y + z w = 0 x + y 4 z + 3t = g) h) x y 5 z + 3w = 1 3 x + y z + t = 1 3 y 7 z + w = x + z = 0 i) Resolv, qundo possível, os sistems, utilizndo o método d condensção e clssifique-os; ii) Verifique se lgum dos sistems é de Crmer e, cso firmtivo, resolv-o, utilizndo s fórmuls de Crmer.. Que vlores deverá tomr o prâmetro pr o sistem seguinte sej de Crmer? x + y ( + 1)z = 1 x y + 3z = 1 x + 3y + 4z =

Sistems de Equções Lineres 65 3. Fç discussão dos sistems: x + y + 3z t = 1 x + ( 1)y + ( )z = 1 3x + y + z t = 1 ) b) ( )x + ( 1)y + ( ) z = x + 3 y + z + t = 1 x + y + z t ( 1)x + ( 1)y + ( 1)z = 1 = x + y z = ( +1)x + ( +1)y + z = 1 3x + y z + 4t = 1 c) d) ( +1)x + y + ( +1)z = 3x + 3y mz t = p 1 = x + y z + t p ( +1)x + 3y + ( + ) = z x + y z + t = 3 x + z = 4 my + z + 3t = 0 e) x + y + z = 5 f) x y z = 3 b my + (m 3) z 6 t = p 3my + 3 z + 9 t = p 4. Determine um relção entre os prâmetros, b, c e d, de modo que o sistem x + y + z = 1 4 y + bz = 0 sej: x + y + cz = d ) Possível e determindo; b) Possível e indetermindo; c) Impossível. x y + z = 4 5. Ddo o sistem x y z = 6 ) O sistem é indetermindo. Justifique firmção. b) Acrescente um 3ª equção de modo que o sistem sej i) Possível e determindo; ii) Impossível; iii) Possível e indetermindo.

66 Sistems de Equções Lineres Soluções: 1. ii) ) (y-z,y,z,1) SPI b) (,1,) SPD c) 7z, + 3z, z, 1 SP1I 35 5 7 d) SI e) (1/,-5/4,3/4) SPD f) (1-w,0,1+w,w) SP1I g) SI h) (-,11,-,-8) SPD ii) e),h). 3 3. ) 1 SI =1 SPD b) m 3 SPD m=3 p=5 SP1I m=3 p 5 SI c) 1 - SPD =1 =- SI d) 0 1 3 SPD =0 =1 SP1I =3 SI e) 0-1 SPD =0 SI =-1 b= SP1I =-1 b SI f) p 0 SI m 1 p=0 SP1I m=1 p=0 SPI 4. ) b-4c+4 0 b) b=4c-4 d=1 c) b=4c-4 d 1

Cpítulo 4 Geometri Anlític Objectivo Neste cpítulo vmos começr por fzer um breve revisão sobre geometri nlític no espço, e tentr dr um perspectiv diferente dest. Irão ser ddos novos conceitos, nomedmente, o produto vectoril, o produto misto e o cálculo d distânci entre um ponto e um rect e entre um ponto e um plno.

68 Geometri Anlític Introdução Comecemos por rever lguns conceitos de geometri no espço, dquiridos no secundário. Colineriedde Dois vectores são colineres qundo têm mesm direcção, isto é, qundo podem ser representdos sobre mesm rect. Teorem: Se dois vectores não nulos, v 1, v, pertencentes R 3, são colineres, é possível determinr um e um só número rel k, tl que v 1 = k v, isto é, 3 v 1 = k v k R, v 1, v R Exemplo: Se, v 1 = (1,, 3) e v = (, 4, 6), então v 1 e v são colineres, isto é, 1 v 1 = v Complnridde Três ou mis vectores são complnres qundo são representdos por segmentos orientdos de um mesmo plno. Teorem: Se três vectores, v 1, v e v 3, são complnres e os dois primeiros são não colineres, então o terceiro é combinção liner dos dois primeiros e est combinção liner é únic. v 3 = α v 1 + β v α, β R, v 1, v, v 3 R 3 Exemplo: Se v = ( 1,, 3 ), v = ( 3,, 5), v 3 = (4, 4, 8) e v 1 e v são não 1 colineres, então, v 3 = 1 v 1 + 1 v.

Geometri Anlític Teorem: Ddos três vectores v 1, v e v 3 não complnres, qulquer vector, v, do 69 espço é combinção liner dos três primeiros e est combinção liner é únic. v = α v 1 + β v + λ v 3 α, β, λ R, v 1, v, v 3 R 3 Exercício: Encontre um conjunto de três vectores não complnres. Referenciis em R O pr de vectores v 1, v de R, não colineres, é chmdo bse do plno, pois prtir deles é possível obter qulquer vector do plno, isto é, um terceiro vector, v, de R, é combinção liner dos dois primeiros e est combinção liner é únic, isto é v = β v 1 + α v α, β R, v 1, v, v R Os esclres β e α são s coordends de v em relção à bse { v 1, v } e o vector v represent-se como o pr ordendo (β,α). Ao vector β v 1 chm-se projecção de v sobre v 1 segundo direcção de v, α v Q P v v 1 β v 1 v = Q - P nlogmente o vector α v é projecção de v sobre v segundo direcção de v 1. Ao comprimento do vector v, chmmos módulo do vector e representmos por v.

70 Geometri Anlític As bses mis utilizds são s bses ortonormds. A bse { i, j } chm-se bse ortonormd se os seus vectores forem unitários (comprimento igul à unidde) e forem perpendiculres, isto é i j i = j = 1 Exemplo: Referencil em R {(1, 0), (0, 1)} y (0, 1) j x O i (1, 0) Referenciis em R 3 3 O estudo feito pr R, pode ser generlizdo pr R. Ddos três vectores v 1, v 3 e v 3 não complnres, { v 1, v, v 3 } é um bse de R, se qulquer vector, v, do espço é combinção liner dos três vectores d bse, isto é, v = α v 1 + β v + λ v 3 α, β, λ R, v 1, v, v 3 R 3 Os esclres α, β e λ são s coordends de v em relção à bse { v 1, v, v 3 } e o vector v represent-se como o terno ordendo (α, β, λ).

Geometri Anlític 71 Um bse no espço, R 3, { i, j, k } chm-se bse ortonormd se os seus vectores forem unitários (comprimento igul à unidde) e ortogonis (perpendiculres) dois dois, isto é i j j k k i i = j = k = 1 y 1º octnte (0, 1, 0) j ( 0, 0, 1) k O i ( 1, 0, 0) x z Exemplo: Referencil em R 3 {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} Produto esclr ou produto interno Ddo o triângulo OAB e plicndo lei dos cosenos 1 o triângulo temos: B v θ π/ θ π θ O v 1 A v v 1 = v 1 + v v 1 v cos θ (1) Por outro ldo, pels proprieddes dos módulos 1 Fzendo c = v, b = v 1 e = v, então, c = b -, e, pelo teorem de Pitágors e pel definição de coseno e seno, obtemos lei dos cosenos no triângulo OAB: c = ( + b cos(π θ )) + b cos(θ π ) = ( b cosθ ) + ( b senθ ) = b cosθ + b cos θ + b sen θ = = b cosθ + b =

7 Geometri Anlític ( v v1 ) = v v1 = v1 + v v1 v () Donde, de (1) e (), vem: 1 + v v1 v cosθ = 1v + v v v v 1 ou sej, v 1 v = v 1 v cos θ o qul chmmos produto esclr, que representmos por v 1 v, v 1 v ou v 1 v. Módulo de um vector Ddo um vector v = (, b, c) v = v v cos0 = v v = v o qul chmmos módulo de um vector. Proprieddes do produto esclr Pr todo v 1 = (, b, c ', b ', ), v = ( c ') e v = ( ', 3 ' b '', c '') e k R, é fácil verificr que: i) v 1 v 1 0 e v 1 v 1 =0 se e só se v = ( 0,0, 0) 1 ii) Anulmento do produto v 1 v = 0 v v v 1 = 0 v = 0 1 iii) Comuttividde v 1 v = v v 1 iv) Distributividde d multiplicção em relção à dição v 1 ( v + v 3 )= v 1 v + v 1 v 3

Geometri Anlític 73 v) (k v 1 ) v = k( v 1 v ) = v 1 (k v ) Exercício: A prtir d definição de produto esclr demonstre s proprieddes nteriores. Expressão crtesin do produto esclr Fixdo um referencil crtesino ( O, i, j, k ) se u = (, b, c) e v = (', b', c') neste referencil temos u = i + b j + c k e v = ' i + b' j + c'k u v = ( i + b j + c k ) ( ' i + b' j + c' k ) (3) Aplicndo (3) s proprieddes do produto esclr obtemos: u v = ( i + b j + c k ) ( ' i + b ' j + c ' k ) = = ' i + b ' i j + c ' i k + b ' ji + bb ' j j + bc ' j k + c ' k i + cb ' k j + cc ' k = = ' i + bb ' j j + cc ' k + (b' +b ')i j + (c' +c ') i k + (bc' +cb ')k j (4) Em prticulr, se os três vectores d bse forem unitários e perpendiculres entre si, o referencil diz-se ortonormdo e tem-se i = j j = k = 1 i j = jk = k i = 0 (5) substituindo (5) em (4) vem u v = ' +bb ' +cc ' que é expressão crtesin do produto interno num referencil ortonormdo ou em coordends crtesins.

74 Geometri Anlític Num referencil ortonormdo, podemos escrever u = u = + b + c. Exemplo: Ddo um referencil ortonormdo determine (-1, -4, -). Exemplo: Ddo um referencil tl que (-1, -4, -) = ( 1) + ( 4) + ( ) = 1 ângulo ( ) r r r r π r r π i, j = ângulo ( i, k ) = ; ângulo ( j, k ) = ; 3 r j r r = ; i = k = 1 determine (-1, -4, -). (-1, -4, -) = ( 1i 4 j k ) ( 1i 4 j k ) = = i + 4 i j + i k + 4 j i + 16 j j + 8 j k + k i + 8k j + 4 k Ms, i i = i = 1 j j = j = 4 k k = k = 1 i j = j i = i j cos π = 0 j k = k j = j k cos π 3 = 1 * 1 * = 1 k i = i k = i k cos π = 0 Então, fzendo s respectivs substituições, obtemos: (-1, -4, -) = 85 Exercício: Compre os resultdos obtidos nos dois exemplos nteriores. Ângulo entre dois vectores O ângulo θ entre dois vectores v 1, v, não nulos, vri entre 0 e π. Vejmos como determiná-lo. D definição de produto esclr de dois vectores v 1 v vem: v 1 v = v v cos θ 1 onde θ é o ângulo formdo pelos dois vectores, v 1 v. Resolvendo em ordem θ obtém-se:

Geometri Anlític 75 v θ = rccos v 1 v 1 v ou sej o ângulo formdo pelos vectores v 1 e v. Exemplo: Clculr o ângulo entre os vectores v 1 =(1,1,-) e v =(-,1,1) (1,1,-)(,1,1) cos θ = = (1,1,-) (-,1,1) + 1 1 + 1 + 4 4 + 1+ 1 = 3 6 6 = 3 1 = 6 θ = rccos 1 π = 3 Condição de ortogonlidde de dois vectores D propriedde ii) do produto esclr podemos concluir que: dois vectores não nulos, v 1 e v, são ortogonis se e só se o produto esclr entre eles for nulo, isto é, se: v 1 v = 0 Exemplo: Os vectores v 1 = ( 1,, 3 ) e v = (-1, - 1, 1) são ortogonis, porque v 1 v = 1*(-1)+*(-1)+3*1=0 Ângulos directores e cosenos directores de um vector Ddo o vector u = i + b j + c k. Os ângulos directores de u são os ângulos α, β e γ que u form com os vectores d bse i, j e k, respectivmente. y 1º octnte j u z O x i k

76 Geometri Anlític Os cossenos dos ângulos directores são os seus cossenos directores, isto é, cosα, cosβ, e cosγ, ou sej, cos α = u i = (, b, c )( 1,0,0) u i + b + c 1 + b + = c cos β = u j u j = (, b, c )( 0,1,0 ) + b + c = 1 b + b + c cos γ = u k = (, b, c )( 0,0,1) u k + b + c 1 + b + = c c Produto vectoril Considerem-se dois vectores u e v, que podemos supor representdos por segmentos orientdos com origem num mesmo ponto, P. Chm-se produto vectoril ou externo, e represent-se por u v ou u v, o vector, w, ssim C u X v v B crcterizdo: P θ u A ) w é perpendiculr o plno PAB b) o triedro u, v, w é directo, isto é, um observdor orientdo segundo w verá u relizr um rotção, de ângulo inferior π, d su direit pr su esquerd, se pretender que u rode de modo ficr ssente sobre linh de cção de v ;

Geometri Anlític 77 c) w = u v = u v sen θ Interpretção geométric Geometricmente, o módulo do produto vectoril dos vectores u e v é igul à áre do prlelogrmo ABCD: A C v h θ u B D Demonstrção: A áre do prlelogrmo é igul à bse vezes ltur, isto é: A ABCD = u h, onde, h = v sen θ, ou sej, A ABCD = u v sen θ Como u v = u v sen θ então u v = A ABCD. Proprieddes Pr todo v 1 = (, b, c ), v = (, ' b, ' c ') e v = ( ', 3 ' b '', c '') e k R, é fácil verificr que: i) v 1 v1 = 0, qulquer que sej v 1 ii) O produto vectoril não é comuttivo, é ntissimétrico v 1 v = v v1 iii) Distributividde d multiplicção em relção à dição v 1 (v + v 3 ) = v 1 v + v 1 v 3 iv) v 1 v = 0 se e só se um dos vectores é nulo ou v 1 e v são colineres. v) ( k v ) v = k v 1 v ) = v ( k v ) 1 ( 1

78 Geometri Anlític Expressão crtesin do produto vectoril Fixdo um referencil crtesino ( O, i, j, k ) se u = (,b,c) e v = (',b',c'), neste referencil temos u = i + b j + c k e v = ' i + b ' j + c ' k. Num referencil ortonormdo temos: i i = j j = k k = 0 i j j k = j i = k = k j = i (6) k i = i k = j Por (6) e pels proprieddes do produto esclr obtemos: u v = ( i + b j + c k ) ( ' i + b ' j + c ' k ) = = (bc ' cb ') i + ( c ' c ') j + ( b ' b ') k = b c c b = i j + k b ' c ' ' c ' ' b ' ou sej, i j k u v = b c = ( ' ', b' ', c' ') ' b ' c ' onde ('', b'', c'') u e ('', b'', c'') v.

Geometri Anlític 79 Exemplo: Determine áre do prlelogrmo em que os vectores u = ( 1,, 3 ) e v = ( 3,, 5) são os ldos desse prlelogrmo. i j k u v = 1 3 = ( 4, 4, 4) 3 5 Áre = ( 4, 4, 4) = 4 1 + 1 + ( 1) = 4 3 Condição de prlelismo c u v = (0,0,0) se e só se u // v, ou sej, = b = ' b' c' Produto misto Ddos três vectores v 1 = (, b ', b ', c ') e v = ( '', b '', c ''), chm-se produto, c), v = ( 3 misto o número rel que se obtém d expressão v 1( v v 3 ), e represent-se por ( v 1, v, v 3 ). Interpretção geométric Geometricmente, o produto misto de três vectores v 1, v e v 3, é igul, em módulo, v X v 3 D h θ v 1 C h v 3 A o volume do prlelepípedo: v B

80 Geometri Anlític Demonstrção O volume do prlelepípedo é igul à áre d bse vezes ltur, isto é: V = A b h ms A b = v v 3 e h = v cos θ, logo, 1 V = v v 3 v cos θ = v v v 3 cos θ = (v, v, v 3 ) 1 1 1 Proprieddes Pr todo v 1 = (, b, c ), v = ( ', b ', c '), v 3 = ( '', b '', c ' ' ) e v 4 = ( '', ' b ''', c ''') e k R, é fácil verificr que: i) ( v 1, v, v 3 ) = 0 se um dos vectores é nulo, se dois deles são colineres, ou se os três são complnres. ii) O produto misto é independente d ordem circulr dos vectores, isto é, ( v 1, v, v 3 ) = ( v, v 3, v 1 ) = ( v 3, v 1, v ) Not: Se trocrmos de posição dois vectores consecutivos o produto misto mud de sinl, isto é, ( v 1, v, v ) = -( v, v 1, v 3 ). 3 iii) ( v 1, v, v + v 4 ) = ( v 1, v, v ) + ( v 1, v, v 4 ) 3 3 ( v 1 + v, v 3, v ) = ( v 1, v 3 v 4 ) + ( v, v 3, v 4 ) 4 ( v 1, v + v 3, v ) = ( v 1, v v 4 ) + ( v 1, v 3, v 4 ) 4

Geometri Anlític 81 iv) ( v 1, v,k v 3 ) = ( v 1,k v, v 3 ) = (k v 1, v, v 3 ) = k ( v 1, v, v 3 ) Expressão crtesin do produto misto Fixdo um referencil crtesino ( O,, j, k) i, 1 v = (, b, c ), ( ', ', ') b c v = e ( ' ', b' ', '') v =, neste referencil temos v 1 = 3 c + i b j+ ck, v = ' + i b ' j+ c ' k, v 3 = '' i + b '' j + c '' k. Num referencil ortonormdo temos: b ' c ' ' c ' ' b ' v v 3 = i j + k b '' c '' '' c '' '' b '' logo, b c b ' c ' ' c ' ' b ' ( v 1, v, v 3 ) = v 1 ( v v 3 ) = b + c = ' b ' c ' b '' c '' '' c '' '' b '' '' b '' c '' Observção: Atendendo à expressão crtesin do produto misto é fácil verificr s sus proprieddes. Exemplo: Verifique se os vectores v 1 = ( 1,, 3 ), v = ( 3,, 5) e v 3 = (4, 4, 8) são complnres. 1 3 ( v 1,v, v 3 ) = 3 5 = 16 + 36 + 40 (4 + 0 + 48) = 0 4 4 8 Logo, são complnres.

8 Geometri Anlític Rect Rect definid por um ponto e um vector Sej r um rect que pss pelo ponto A = (x 0, y 0, z 0 ) e tem direcção do vector não nulo u = (, b, c). Pr que um ponto P = (x, y, z), pertencente R 3, pertenç à rect r, é necessário e suficiente que os vectores AP e u sejm colineres, isto é: AP = λ u, λ R ou sej, P - A = λ u Equção vectoril d rect Resolvendo em ordem P vem: P = A + λ u (7) ou (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + λ (, b, c) (8) A qulquer um ds equções (7) e (8) chmmos equção vectoril d rect r. O vector u = (, b, c) é chmdo vector director d rect r, e represent-se por d r, e λ o prâmetro.

Geometri Anlític 83 Equções prmétrics d rect Sbemos, por (8), que (x, y, z) = (x 0 +λ, y 0 +bλ, z 0 +cλ) então x = x 0 + λ y = y 0 + b λ z = z 0 + c λ que chmmos equções prmétrics d rect r. Equções crtesins d rect No sistem nterior podemos resolver primeir equção em ordem λ, e substituir ns outrs dus, obtendo + x x b 0 y = y 0 + x x z = z c 0 0 (9) ou x x y y z z = = b c 0 0 0 (10) A qulquer um ds equções (9) e (10) chmmos equções crtesins d rect r.

84 Geometri Anlític Exemplo: Determine s equções vectoril, prmétrics e crtesins d rect, r, que pss pelo ponto A = (1,, 3) e tem direcção do vector u = (, 5, 7). r: (x, y, z) = (1,, 3) + λ (, 5, 7) equção vectoril x = 1 + λ r : y = + 5 λ equções prmétrics z = 3 + 7λ x 1 y z 3 r : = = 5 7 equções crtesins Rect definid por dois pontos A rect definid pelos pontos A = (x 0, y 0, z 0 ) e B = (x 1, y 1, z 1 ) é rect que pss por um dos pontos A ou B e tem direcção do vector u = AB = (x 1 -x 0, y 1 -y 0, z 1 -z 0 ). Rects prlels os eixos coordendos Os eixos Ox, Oy e Oz são rects prticulres Ox: y = 0 Oy: x = 0 Oz: x = 0 z = 0 z = 0 y = 0 Um rect r é prlel o eixo Ox se e só se o seu vector director for prlelo o vector director d rect Ox, ou sej, i = (1, 0, 0). Ddo um ponto A = (x', y', z') pertencente à rect r, r // Ox y = y' z = z' Anlogmente pr r // Oy e r // Oz. r // Oy x = x' z = z' r // Oz x = x' y = y' Not: Dus rects são prlels se e só se os seus vectores forem colineres.

Geometri Anlític Plno 85 Plno definido por um ponto e dois vectores Sej π um plno que contém o ponto A = (x 0, y 0, z 0 ) e é prlelo os vectores, não nulos e não colineres, u = (, b, c) e v = (', b', c'). Pr que um ponto P = (x, y, z), pertencente R 3, pertenç o plno π, é necessário e suficiente que AP se poss escrever como combinção liner de u e v, isto é AP = λ 0 u +λ 1 v, λ 0,λ 1 R ou sej P - A = λ 0 u +λ 1 v Equção vectoril do plno Resolvendo em ordem P vem: P = A + λ 0 u + λ 1 v (11) ou (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + λ 0 (, b, c) + λ 1 (', b', c') (1) A qulquer um ds equções (11) e (1) chmmos equção vectoril do plno π. Equções prmétrics do plno Sbemos, de (1), que (x, y, z) = (x 0 +λ 0 +'λ 1, y 0 +bλ 0 +b'λ 1, z 0 +cλ 0 +c'λ 1 ) então x = x 0 + λ 0 + 'λ 1 y = y 0 + bλ 0 + b' λ 1 z = z 0 + cλ 0 + c' λ 1 que chmmos equções prmétrics do plno π.

86 Geometri Anlític Equção crtesin do plno Do sistem nterior, podemos tirr λ 0 e λ 1 e obtemos A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0 (13) ou Ax + By + Cz + D = 0 (14) com A = bc' - b'c, B = -c' + 'c, C = b' - 'b e D = -(Ax 0 + By 0 + Cz 0 ). A qulquer um ds equções (13) e (14) chmmos equção crtesin do plno π. Ao vector formdo pelos coeficientes ds incógnits x, y, z d equção (14), (A,B,C), chmmos vector norml do plno, e design-se por N π, este vector é perpendiculr o plno. Logo, N π pode ser obtido prtir do produto vectoril de dois vectores quisquer, não colineres, do plno, isto é i j k N π = u v = b c ' b' c' Plno definido por um ponto e pelo seu vector norml A equção crtesin do plno pode ser obtid por: x x 0 y y0 z z0 b c = 0 A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0 ' b' c'

Geometri Anlític 87 Plno definido por três pontos O plno definido pelos pontos A = (x 0, y 0, z 0 ), B = (x 1, y 1, z 1 ) e C = (x, y, z ), é o plno que pss por um dos pontos A, B ou C e é prlelo os vectores, não nulos e não colineres, u e v, definidos pelos três pontos, por exemplo. u =B - A e v =C - A. Exemplo: Determine s equções vectoril, prmétrics e crtesin do plno, π, que pss pelo ponto A = (1,, 3) e contém s direcções dos vectores u = (, 5, 7) e v = (0, 1, 1). π: (x, y, z) = (1,, 3) + λ0(, 5, 7) + λ1= (0, 1, 1) equção vectoril x = 1 + λ 0 π : y = + 5λ 0 z = 3 + 7λ 0 + λ 1 equçõesprmétrics + λ 1 x -1 y - z - 3 π : 5 7 = 0 equção crtesin 0 1 1 Plnos prlelos os plnos coordendos Os plnos coordendos, xoy, yoz e xoz, são plnos prticulres, de equções crtesins xoy: z = 0 yoz: x = 0 xoz: y = 0 Um plno π é prlelo o plno xoy se e só se o seu vector norml for prlelo o vector norml o plno xoy, ou sej, k = (1, 0, 0). Ddo um ponto A = (x', y', z') pertencente o plno π, π // xoy z = z' Anlogmente pr π // yoz e π // xoz π // yoz x = x' π // xoz y = y'

88 Geometri Anlític Intersecção de dois plnos Ddos dois plnos α : Ax + By + Cz + D = 0 e β : A' x + B' y + C' z + D' = 0, podemos sber su posição reltiv e qul su intersecção, prtir d resolução do α sistem β Se o sistem for possível e simplesmente indetermindo, então su intersecção é um rect. β α Se o sistem for possível e duplmente indetermindo, então os plnos são coincidentes. α=β Se o sistem for impossível, então estmos pernte dois plnos prlelos, ou sej, A B C = = = constnte A' B' C' α β

Geometri Anlític 89 Intersecção de três plnos Ddos três plnos α : Ax + By + Cz + D = 0, β : A'x + B'y + C'z + D' = 0 e γ : A' ' x + B' ' y + C' ' z + D'' = 0, sbemos su posição reltiv prtir d resolução do α sistem β. γ Se o sistem for possível e determindo, então su intersecção é um ponto. γ β Ι α Se o sistem for possível e simplesmente indetermindo, então su intersecção é um rect. γ β α

90 Geometri Anlític Se o sistem for possível e duplmente indetermindo, então os plnos são coincidentes. α=β=γ Se o sistem for impossível, então podem contecer qutro situções: α // β // γ α β γ (α β ) // γ α β = γ α // γ, α β = rect e α γ = rect β γ α

Geometri Anlític 91 α β = rect e β γ = rect e α γ = rect α β γ Intersecção de um rect com um plno Ddos um rect r: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + λ (, b, c) e um plno α : Ax + By + Cz + D = 0,sbemos su posição reltiv prtir d resolução do r sistem. α Se o sistem for possível e determindo, então su intersecção é um ponto. Ι α

9 Geometri Anlític Se o sistem for possível e simplesmente indetermindo, então su intersecção é um rect. r α Se o sistem for impossível então rect é prlel o plno, ou sej, d r N α. r α Ângulos Ângulo entre dus rects Dds dus rects r: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + λ 0 (, b, c) e s: (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + λ 1 (', b', c'), o ângulo, θ, formdo pels dus rects é igul o menor ângulo formdo pelos vectores directores de r e s. D definição de ângulo entre dois vectores, d r e d s, vem e como 0 θ π, 0 cos θ 1, temos d d s r d rd s θ = rccos

Geometri Anlític 93 d rd s θ = rccos d d r s ou sej o ângulo formdo pels rects r e s. Se estivermos pernte um referencil ortonormdo, temos: d rd s θ = rccos = rccos d r d s + b ' + bb' + cc' + c ' + b' + c' x = 3 + λ x + y 3 z Exemplo: Clculr o ângulo entr e s rects r : y = λ e s : = = 1 1 z = 1 λ dr=(1,1,-) cos θ = ds=(-,1,1) (1,1,-) (-,1,1) + 1 3 3 1 = = = = (1,1,-) (-,1,1) 1 + 1 + 4 4 + 1+ 1 6 6 6 1 π θ = rccos = 3 Rects ortogonis Num referencil ortonormdo s rects r e s são ortogonis se e só se ' + bb' + cc' = 0 Ângulo entre dois plnos Ddos dois plnos α : Ax + By + Cz + D = 0 e β : A' x + B' y + C' z + D' = 0, o ângulo, θ, formdo pelos dois plnos é igul o menor ângulo que formm os vectores normis de α e β. D definição de ângulo entre dois vectores, N α e N β, vem: e, como 0 θ π, 0 cos θ 1, temos N β N N α β α θ = rccos N

94 Geometri Anlític N αn β θ = rccos N Nβ α ou sej o ângulo formdo pelos plnos α e β. Se estivermos pernte um referencil ortonormdo, temos: N αn β AA' + BB' + CC' θ = rccos = rccos N α N β + B + C A' + B' + C' A Exemplo: Clculr o ângulo entre os plnos α : x-3y+5z-8=0 e β : 3x+y+5z-4=0 N α =(,-3,5) N β =(3,,5) (,-3,5)(3,,5) 6 6 + 5 5 5 5 cos θ = = = = = (,-3,5) (3,,5) 4 + 9 + 5 9 + 4 + 5 38 38 38 38 5 θ = rccos 38 Plnos ortogonis Num referencil ortonormdo os plnos α : Ax + By + Cz + D = 0 e β : A' x + B' y + C' z + D' = 0 são ortogonis se e só se AA' + BB' + CC' = 0 Ângulo entre um rect e um plno Ddos um rect r: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + λ 0 (, b, c) e um plno α : Ax + By + Cz + D = 0, o ângulo, φ, formdo pel rect e pelo plno, é igul o complementr do ângulo θ, que rect r form com o vector norml o plno α, ou sej, o ângulo formdo pelo vector director d rect, d r, e o vector norml o plno, N α. Como θ + φ = d r e N α, vem π, então cos θ = sen φ e d definição de ângulo entre dois vectores,

Geometri Anlític 95 d α d N α r r N φ = rcsen e, como 0 θ π, 0 cos θ 1, temos d r N α φ = rcsen d N α r ou sej o ângulo formdo pel rect r e pelo plno α. Se estivermos pernte um referencil ortonormdo, temos: d rn α φ = rcsen = rcsen d N r α + b A + bb + cc + c A + B + C x = 1 λ Exemplo: Clculr o ângulo entre rect r : y = λ e o plno α : x+y-5=0 z = 3 + λ dr=(-,-1,1) N α =(1,1,0) (-,-1,1) 1,1,0) 1+ 0 3 3 3 3 sen θ = = = = = = (-,-1,1) (1,1,0) 4 + 1+ 1 1+ 1+ 0 6 3 3 π θ = rcsen = 3 Ortogonlidde entre um rect e um plno Num referencil ortonormdo um rect, r, e um plno, α, são ortogonis se e só se o vector director d rect r for prlelo o vector norml do plno α. b c = = = constnte A B C

96 Geometri Anlític Distâncis Distânci de um ponto um plno Ddo um ponto P (x 0, y 0, z 0 ) e um plno α : Ax + By+ Cz +D = 0, pr clculrmos distânci de P α temos três pssos: 1º Determinr rect, r, que contém o ponto P e é perpendiculr α. x = x 0 + λ A r: y = y + λ B 0 z = z 0 + λ C º Determinr o ponto I, de intersecção de r com α r I: α 3º Determinr distânci entre os pontos P e I d(p, α ) = d(p, I) = P - I Exemplo: Clculr distânci do ponto P(-4,,5) o plno α : x+y+z+8=0 x = 4 + λ 1º y = + λ z = 5 + λ x = 4 + λ x = 0 / 3 y = + λ y = / 3 º I: z = 5 + λ z = 7 / 3 x + y + z + 8 = 0 ( 4 + λ ) + ( + λ ) + (5 + λ ) + 8 = 0 λ = 4 / 3 I (-0/3,/3,7/3) 3º d(p,α ) = d(p,i) = 0 4 + 3 + 3 7 + 5 3 = 64 9 + 16 9 + 64 9 = 144 9 1 = = 4 3

Geometri Anlític 97 Distânci de um ponto um rect Ddo o ponto P de coordends (x 0, y 0, z 0 ) e rect r: (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + λ 0 (, b, c), pr clculrmos distânci de P r temos três pssos: 1º Determinr o plno, α, que contém o ponto P e é perpendiculr r α : (x-x 0 ) + b(y-y 0 ) + c(z-z 0 ) = 0 º Determinr o ponto, I, de intersecção de r com α. r I: α 3º Determinr distânci entre os pontos P e I. d(p, r) = d(p, I) = P - I x = y = z + 3 Exemplo: Clculr distânci do ponto P(,0,-3) à rect s : 1 1º α : (x-)+(y-0)+(z+3)=0 α : x+y+z-1=0 x = 0 + λ x = 0 y = + λ y = º I: z = -3 + λ z = 3 x + y + z -1 = 0 (λ ) + ( + λ ) + (-3 + λ ) 1 = 0 λ = 0 I(0,,-3) 3º d(p,α )=d(p,i) = ( 0) + (0 ) + ( 3 + 3) = 4 + 4 = 8 =

98 Geometri Anlític Exercícios 1. Verifique se são colineres os pontos: ) A = (1,,3), B = (1,3,5), C = (,-1,4) b) A = (1,,-1), B = (0,1,-), C = (-,-1,-4). Determine áre do triângulo formdo pelos pontos A = (1,0,-), B = (5,1,0) e C = (3,-1,4). 3. Um prlelipípedo é gerdo pelos vectores r = ( 1,1, 1), b r = (,1, 0) e c r = δ ( 1, 1, 1). Clcule δ de modo que o volume do prlelipípedo sej igul 6 uniddes. 4. Sendo P 0 = (5,-5,6) e P 1 = (4,-1,1) pontos d rect r, determine s sus equções: ) Vectoril; b) Prmétrics; c) Crtesins. 5. Determine um sistem de equções crtesins d rect r que pss pelos pontos A = (,4,0) e B = (3,7,1). 6. Determine s equções prmétrics ds seguintes rects: r r r v = i j 5 k r. = 5 z 6 r 1 : x = y 1 = z 1 r 5 6 : x + y = z 5 7. Determine ordend e cot do ponto P, cuj bciss é, e que pertence à rect que pss pelo ponto A = (3,-1,4) e tem direcção do vector 8. Citr um ponto e um vector director de cd um ds seguintes rects: x + 1 z 3 = r 1 : 3 4 y = 1 x = t r : y = 1 3 r : x = y = z z = t 4 y x 3 = 0 0 : r 5 : x = r 4 z 4x = 10 y = 0

Geometri Anlític 9. Determine s equções crtesins ds rects: 99 ) r 1 : pss pelo ponto A = (1,-,4) e é prlel o eixo Ox; b) r : pss pelo ponto B = (3,,1) e é perpendiculr o plno xoz. 10. Verifique se os pontos P = (3,,-1) e Q = (1,1,-1) pertencem à rect de equção vectoril P = (,4,1) + k(-1,,). 11. Determine um equção d rect que: ) Pss pelo ponto P 0 = (-1,,3) e é prlel à rect definid pelo ponto r M = (1,0,-1) e pelo vector v = (,1, 3) ; b) Pss pelo ponto P 0 = (1,3,-) e é prlel à rect que pss pelos pontos A = (-1,,1) e B = (5,-4,1). 1. Determine rect r representd pelo seguinte sistem de equções crtesins e determine um equção vectoril dest rect x + y + z = 0 x y z = 0 13. Determine um equção vectoril e um representção crtesin dos eixos Ox, Oy e Oz. 14. Determine m e n, de modo que sejm prlels s seguintes rects: x = 3 + 8λ r 1 : y = 4 6λ r : x +1 = y = z 3 n m z = + λ 15. Determine m de modo que sejm ortogonis s seguintes rects: x = 1 + λ y = mx 3 r 1 : y = 3 λ r : z = x z = 5λ

100 Geometri Anlític x = 3 + λ 16. Considere s rects r 1 : y = λ e r : x + = y 4 = z. Determine: z = 1 λ ) posição reltiv ds rects; b) o ângulo formdo pels rects; c) o ponto de intersecção ds rects. 17. Estudr posição reltiv ds rects: x = 1 3 λ ) r 1 : y = 4 6 λ r : x = y + 3 = z z = 3 λ z = x b) r 1 : r : x = y = z y = 3 c) r 1 : x + 5 y 7 z + x 3 y + 5 7 z 14 = = r : = = 5 4 6 5 35 d) r 1 : x y 3 z 1 x 5 y z 1 = = r : = = 1 1 4 e) r 1 : x y 3 z 1 x +1 y z + 3 = = r : = = 1 1 18. Comente firmção: Dus rects complnres são sempre concorrentes. 19. Verifique s posições reltiv ds rects r e s: x = α + 7 r : y = α z = 3 α + 3 s : x 3 4 = y + 4 z + 3 = 6 0. Clcule equção vectoril do plno que pss nos pontos P 1 = (1,0,3), P = (1,3,-1) e P 3 = (1,3,1). 1. Clcule equção crtesin do plno que pss em A = (1,,3) e contém s direcções dos vectores u r = (, 3, 4 ) e v r = ( 1,, 3 ).

Geometri Anlític 101. Sejm os pontos não colineres, A = (,-3,1), B = (4,9,-4) e C=(,6,-). Determine s equções do plno que pss por eles: ) vectoril; b) prmétrics; c) crtesins. 3. Determine equção crtesin do plno: ) que pss pelo ponto P 0 = (,1,-) e é perpendiculr à rect x = 4 + 3 α r : y = 1+ α ; z = α b) que pss pelo ponto P 1 = (-3,,1) e contém rect x = 4 r : y = 3 ; z = α x = 1 + 3 β c) contém s rects r 1 : y = 4 β e z = 3 x 3 = r : 6 z = 3 y 4 8. 4. Verifique se s seguintes rects estão no mesmo plno e, se estiverem, clcule equção desse plno. ) P=(1,,3)+k(-1,,3) e Q=(0,1,1)+t(1,1,-); b) P=(1,-1,1)+k(,1,1) e Q=(1,0,1)+t(,1,1). 5. Determine s equções prmétrics dos plnos xoy, xoz, yoz. 6. Considere os plnos α: kx + ky + z - 1 = 0 β: x + y - z + k = 0 π : x + ky + z = 0 e determine, se existirem, os vlores de k tis que: ) Os 3 plnos se intersectm num ponto; b) Os 3 plnos se intersectm segundo um rect; c) Os plnos α e β são perpendiculres.

10 x 1 y 7. Considere rect r : = = z 3 Geometri Anlític ) Determine um equção vectoril do plno α que pss pelo ponto P = (1,,0) e é perpendiculr à rect r; b) Verifique se rect s, que pss pelo ponto A = (0,0,8) e tem direcção do vector u r = ( 1, 1, 1), está contid no plno α. 8. Determine posição reltiv dos plnos: ) x + y + z = 0 x - y - 8z = 0 x + y + z - 3 = 0; b) x + 3y + 4z + 1 = 0 x + y - z + = 0 3x + 4y + 3z + 3 = 0; c) P = (1,-,0) + t(,1,3) + k(5,4,0) P = (4,0,) + t(7,5,3) + k(1,1,-1). 9. Determine s equções prmétrics d rect de intersecção dos plnos: ) 3x + 3y - z + 7 = 0 x + 6y + z - 6 = 0; b) x - 3y + z - 1 = 0 x + 3y - z - = 0. 30. Quis os ângulos entre os vectores? r r ) u = (, 5, 3) e v = ( 1,5, ) ; r r b) u = (, 3, 4 ) e v = ( 1,1, 1). r 31. Mostre que os vectores u = ( 1, 3, 4 ) e v r = ( 8, 4, 1) são perpendiculres. 3. Dds s equções crtesins dos plnos π : x + y z = 0 e 1 x 1 y + α : 3x y + z 1 = 0 e rect r : = = z determine: 4 ) o ângulo entre os plnos; b) o ângulo entre o plno π e rect r; c) intersecção dos plnos; d) intersecção do plno π com rect r.

Geometri Anlític 33. Determine o ângulo entre os plnos: 103 ) x + y - z = y - z = 8; b) x - 3y + 4z = 8 x - 6y + 8z = 8; c) P = (1,0,3) + t(-,3,5) + k(0,1,1) P = (0,0,3) + t(5,,3) + k(7,,3). 34. Determine o ângulo entre s seguintes rects e plnos: ) x + y - z = P = (0,3,1) + α (3,0,5); b) x - 6y + 8z = 8 P = (5,4,1) + α (3,0,). 35. Determine os vlores de m e n, pr que o plno π : ( m 1) x y + nz 3 = 0 sej prlelo o plno α : 4 x + 4 y z = 0. 36. Determine o vlor de m, de modo que os plnos π : mx + y z = 0 e α : 3 x my + z 1 = 0 sejm perpendiculres. 37. Determine distânci entre os pontos P = (7,3,4) e Q = (1,0,6). y 38. Determine distânci do ponto P = (,0,7) à rect r : x = = z + 3. 39. Determine distânci do ponto P = (-4,-7,-5) o plno π : x + 4y + z + 8 = 0. x = 1 γ y = x + 3 40. Determine distânci entre s rects r : e s : y = 1 + 4 γ z = x z = 3 4 γ 41. Determine distânci entre os plnos π : x y + z = 5 e α : 4 x 4 y + z + 14 = 0. x = 3 4. Determine distânci d rect r : o plno π : x + y - 1 = 0. y = 4

104 Geometri Anlític 43. Considere o plno π definido por (x,y,z) = (1,,3)+k(1,0,1)+t(0,,1), k,t R e o plno β definido pelos pontos A = (1,,3), B = (,0,1) e C = (0,0,0). Determine justificndo: ) intersecção dos plnos ddos; b) o ângulo formdo pelos plnos; c) rect r que pss pelo ponto P = (1,1,1) e não intersect nenhum dos dois plnos; d) distânci entre rect r e cd um dos plnos. 44. Determine t tl que o ponto T = (t, -1, 5) diste 5 uniddes do plno α que contém o ponto A = (1, -1, -) e é prlelo os vectores u = (0, 1, 1) e v = (, 1, 0). 45. Determine s equções crtesins d rect t, que pss pelo ponto A = (-,1,3) e é perpendiculr às rects r e s 1 x x = γ = z r : 3 s : y = 1+ γ y = z = 3 γ 46. Ddo um prism ortogonl tl que A = (1, 1, 0), B = (0,, 0), C = (-1, 1, 0) ) Determine o plno β definido pelos pontos A, B e C; b) Determine rect que pss por A e é perpendiculr β ; c) Determine projecção ortogonl dos pontos A, B, C n outr bse do prism, sbendo que ltur deste é um unidde (sem utilizr fórmul d distânci); d) Clcule o volume do prism utilizndo interpretção geométric de produto misto.

Geometri Anlític 47. Considere os pontos A = (1,1,0), B = (1,3,-1), C = (1,,1) e o plno 105 β : (, x y, z ) = ( 1,0, 0) + k (,1, 1) + λ( 1, 1, ) ) Determine equção crtesin do plno α que contém o ponto A e é prlelo o plno π, sbendo que π é perpendiculr o vector de coordends (,,6) e contém o ponto B. b) Determine rect que contém o ponto C e é perpendiculr o plno β. c) Determine distânci do ponto C o plno β. d) Determine o ponto C, simétrico de C em relção o plno β. 48. Ddo um referencil tl que r r π r r r r π r r r ângulo( i, j ) =, i k, 3 ângulo( j, k ) = j = 1, i = k = 3, Verifique se são perpendiculres s rects x 1 = y x = 3 + y r: s: z = z = y 49. Ddo um referencil tl que r r π r r π r r π r r r ângulo( i, j ) = ; ângulo( i, k ) = ; ângulo( j, k ) = ; j = 4; i = ; k = 1 4 3 Determine o ângulo que rect r: x = y z = 4 + y fz com o plno α : z = 4.

106 Geometri Anlític Soluções: 1. ) Não b) Sim. 5 5 3 3. δ = ± 7. y=1, z=9 14. n = -4; m = 3 15. m = -8 16. ) Complnres, concorrentes, não perpendiculres b) θ = π/3 c) I = (4, 1, -3) 17. ) Prlels (não coincidentes) b) Não complnres c) Perpendiculres, reverss (não complnres) d) Prlels (não coincidentes) e) Complnres, concorrentes, não perpendiculres 18. Fls 19. Coincidentes 4. ) Não b) Sim 6. ) k ± 1 b) Impossível c) k = 1/ 7. b) Sim 8. ) Intersectm-se num ponto b) Intersectm-se num rect c) Plnos coincidentes 11 85 6 87 30. ) rccos b) rccos 190 87 3 14 5 1 3. ) π/ b) rcsen c) rect d),, 14 3 3 3 6 5 39 33. ) rccos b) 0 c) rccos 3 39

Geometri Anlític 107 34. ) rcsen 10 51 b) rcsen 11 338 338 35. m = -1/, n = 1/ 36. m = 1/ 37. 7 38. 18 3 39. 19 6 6 40. 13 41. 4 4. 5 17 5 43. ) rect b) rccos 45 44. -8 d) d(r,π) = 1, d(r,β) = 5 5 46. ) z=0 b) x=1;y=1 c) d) 47. ) x+y+3z= b) x-1=-y=1-z c) 3 d) (3,0,-1) 48. Não 49. rcsen 44 + 1