Resumo Sinais e Sistemas Representação de Sinais Periódicos em Séries de Fourier lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Resposta de SLITs a exponenciais complexas Série de Fourier de sinais contínuos () Convergência da série de Fourier Propriedades da Série de Fourier de sinais discretos () Propriedades da A série de Fourier e os SLITs Filtragem Sinais e Sistemas p.1/34 Sinais e Sistemas p.2/34 Objectivo Função Própria de um Sistema p(t) será uma função própria de um sistema caracterizado pela transformação T( ) se: T(p(t))=P p(t) Problema: precisamos uma forma eficaz de determinar a saída de um SLIT quando na sua entrada tem um sinal periódico. Solução: vamos começar por estudar a resposta do SLIT a exponenciais complexas. neste caso P é o valor próprio associado à função própria p(t). Sinais e Sistemas p.3/34 Sinais e Sistemas p.4/34
Funções Próprias dos SLITs Função de Transferência Os sinais exponenciais complexos são funções próprias dos SLITs x(t)=e st y(t)= ou seja: + + h(τ)e s(t τ) dτ=e st h(τ)e sτ dτ } {{ } y(t)=h(s)e st H(s) H(s)= + h(t)e st dt No caso geral, H(s) pode ser um valor complexo: H(s) = H R (s)+ jh I (s) = H(s) e j H(s) em que H(s) é o valor próprio associado à função própria e st. Sinais e Sistemas p.5/34 Sinais e Sistemas p.6/34 Soma de Exponenciais Complexas Combinação Linear de Exponenciais Para analisar SLITs é útil decompor o sinal de entrada em termos de uma soma de funções próprias: x(t)= e s kt Neste caso, a saída poderá ser obtida através de: y(t)= H(s k )e s kt k k Conjunto das funções de base exponenciais complexas harmonicamente relacionadas: φ k (t)=e jkω0t = e jk(2π/t)t, k Todas estas exponenciais têm período T (embora não sendo o período fundamental). A combinação linear destas exponenciais tem também período T: x(t)= e jkω 0t = e jk(2π/t)t Sinais e Sistemas p.7/34 Sinais e Sistemas p.8/34
Série de Fourier Contínua () Determinação dos Coeficientes À representação de um sinal periódico pela combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas dá-se o nome de série de Fourier: x(t)= e jkω0t T 0 T 0 T 0 x(t)e jnω0t = x(t)e jnω 0t dt = x(t)e jnω 0t dt = x(t)e jnω 0t dt T e jkω0t e jnω0t 0 = a n T [ T e jkω 0t e jnω 0t dt 0 ] e j(k n)ω0t dt Sinais e Sistemas p.9/34 Sinais e Sistemas p.10/34 Série de Fourier Contínua Condições de Dirichlet x(t) = = 1 T T e jkω0t x(t)e jkω0t dt O somatório da série de Fourier converge se se verificarem as seguintes condições: Condição 1: x(t) tem de ser absolutamente integrável num período: x(t) dt< T Condição 2: x(t) tem um número finito de máximos e mínimos em cada período. Condição 3: x(t) tem um número finito de discontinuidades num intervalo de tempo finito e essas discontinuidades são finitas. Sinais e Sistemas p.11/34 Sinais e Sistemas p.12/34
Propriedade da Linearidade Propriedade do Deslocamento Se e então: x(t) y(t) b k Ax(t)+ By(t) A + Bb k x(t t 0 ) x(t)e jlω0t e jkω 0t 0 l O deslocamento temporal só afecta a fase dos coeficientes da. O seu módulo mantém-se inalterável. Sinais e Sistemas p.13/34 Sinais e Sistemas p.14/34 Inversão Temporal Propriedade da Multiplicação x(t) x( t) a k A inversão temporal resulta na inversão da sequência dos coeficientes de Fourier. x(t) y(t) x(t)y(t) b k + l= a l b k l Sinais e Sistemas p.15/34 Sinais e Sistemas p.16/34
Propriedades do Conjugado Propriedades de Simetria x (t) x ( t) a k a k R[x(t)] e = 1 2 [+ a k ] ji[x(t)] o = 1 2 [ a k ] x e (t)= 1 2 [x(t)+ x ( t)] R[ ] x o (t)= 1 2 [x(t) x ( t)] ji[ ] Sinais e Sistemas p.17/34 Sinais e Sistemas p.18/34 Relação de Parseval Sequências Periódicas A relação de Parseval para sinais periódicos contínuos vale: 1 x(t) 2 dt= 2 T T A relação de Parseval afirma que a potência média de um sinal periódico é igual à soma da potência média das componentes harmónicas. x(n) é uma sequência periódica de período N: x(n+ N)= x(n) A série de Fourier é uma soma pesada de exponenciais complexas harmónicas: x(n)= e j 2π N kn k=<n> Sinais e Sistemas p.19/34 Sinais e Sistemas p.20/34
Exponenciais Complexas Discretas Série de Fourier Discreta () N=8 2 π N Análise: = 1 N N 1 n=0 x(n)e j 2π N kn e j 2π N (k)n = e j 2π N (k+ln)n 1 N 1 { e j 2π N 1 se k=mn, kn = N 0 no caso contrário. n=0 N 1 Síntese: x(n) = e j 2π N kn k=0 x(n) Sinais e Sistemas p.21/34 Sinais e Sistemas p.22/34 Propriedade da Linearidade Propriedade do Deslocamento Se e x(n) y(n) b k x(n m) x(n)e j 2π N nl e j 2π N km l então: Ax(n)+ By(n) A + Bb k O deslocamento temporal só afecta a fase dos coeficientes da. O seu módulo mantém-se inalterável. Sinais e Sistemas p.23/34 Sinais e Sistemas p.24/34
Propriedades do Conjugado Propriedades de Simetria x (n) x ( n) a k a k R[x(n)] e = 1 2 [+ a k ] ji[x(n)] o = 1 2 [ a k ] x e (n)= 1 2 [x(n)+ x ( n)] R[ ] x o (n)= 1 2 [x(n) x ( n)] ji[ ] Sinais e Sistemas p.25/34 Sinais e Sistemas p.26/34 Propriedade da Multiplicação Relação de Parseval x(n) y(n) x(n)y(n) b k l=<n> a l b k l A relação de Parseval para sinais periódicos discretos: 1 N n=<n> x(n) 2 dt= k=<n> 2 A relação de Parseval afirma que a potência média de um sinal periódico é igual à soma da potência média das componentes harmónicas. Sinais e Sistemas p.27/34 Sinais e Sistemas p.28/34
SLITs Contínuos Se o sinal de entrada contínuo estiver representado na forma de uma série de Fourier, a saída de um SLIT pode ser calculada por: x(t)= e jkω 0t = y(t)= H( jkω 0 )e jkω 0t em que H( jω) é a resposta em frequência do sistema com resposta impulsiva h(t): H( jω)= + h(t)e jωt dt SLITs Discretos No caso dos SLITs discretos, se o sinal de entrada estiver representado na forma de uma série de Fourier, podemos determinar a sua saída com: x(n)= e jkω0n = y(n)= H(e jkω0 )e jkω0n k=<n> k=<n> em que H(e jω ) é a resposta em frequência do sistema com resposta impulsiva h(n): H(e jω )= n= h(n)e jωn Sinais e Sistemas p.29/34 Sinais e Sistemas p.30/34 Filtragem Filtros selectivos Tipos de filtros Filtros de balanceamento em frequência: servem para moldar o espectro de um sinal (por exemplo, o controle de graves e agudos de um amplificador) Filtros selectivos em frequência: seleccionam ou removem componentes em frequência do sinal (por exemplo, o ruído de 50 Hz). 1 ω c 0 H( jω) ω c { 1, ω ωc H( jω)= 0, ω >ω c Rejeição Passagem Rejeição Os filtros selectivos apresentam bandas de passagem e bandas de rejeição. Sinais e Sistemas p.31/34 Sinais e Sistemas p.32/34
Tipos de Filtros Selectivos Conclusões Passa-baixo: deixam passar as componentes com frequência abaixo de um dado valor. Passa-alto: deixam passar as componentes com frequência acima de um dado valor. Passa-banda: deixam passar as componentes com frequência dentro de uma dada gama. Rejeita-banda: rejeitam as componentes com frequência dentro de uma dada gama. A série de Fourier decompõe uma sequência periódica numa combinação linear de exponenciais complexas com frequências harmónicas. As exponenciais complexas são funções próprias dos SLITs Os coeficientes da série de Fourier do sinal à saída de um SLIT podem ser obtidos multiplicando os coeficientes do sinal de entrada pela resposta em frequência do SLIT. Os filtros são SLITs com uma resposta em frequência apropriada para remoção ou alteração de componentes em frequência do sinal de entrada. Sinais e Sistemas p.33/34 Sinais e Sistemas p.34/34