2.1. Introdução Números complexos.

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1 . Sinais e Sistemas.. SINAIS E SISEMAS... Introdução. Os conceitos de teoria de sinais e sistemas são necessários em quase todos os campos da engenharia electrotécnica e electrónica assim como em várias outras engenharias e disciplinas cientificas. Neste capítulo, faz-se uma descrição dos sinais e sistemas lineares classificando -os quanto á sua forma ou funcionalidade e, em conjunto com a análise de Fourier, descrever-se os sistemas no domínio dos tempos e da frequência para melhor conhecer as suas propriedades. A motivação para estudar estes conceitos fundamentais resulta da importância que eles têm na definição de modelos dos vários tipos de sistemas de telecomunicações, e em particular, os sinais utilizados para transmitir informação através de um canal de comunicação... Números complexos. a) Representação dos números complexos Um número complexo z pode ser expresso de diferentes formas: A forma cartesiana o u rectangular: z = a + jb (.. ) onde j = e a e b são números reais referidos como a parte real e a parte imaginária de z. a e b são frequentemente expressas como: a = Re{z} b = Im{z} onde Re significa parte real de e Im significa parte imaginaria de. A forma polar: z = r e j θ (.. ) onde r > é o módulo de z e θ é o ângulo ou fase de z. Estas quantidades são frequentemente expressas da seguinte forma: r = z θ = z 7

2 . Sinais e Sistemas. Im[z] b r z θ a Re[z] Figura. - Representação gráfica de z na forma cartesiana e polar. A formula de Euler é definida da seguinte forma: e jθ = cos(θ) + j sen(θ) (.. 3) Partindo da Figura. ou da formula de Euler, a relação entre a representação polar e cartesiana é a seguinte: a = r cos(θ) b = r sen(θ) b (.. 4) r = a + b θ = arctg a b) Adição, multiplicação e divisão Utilizando a forma cartesiana, definindo z = a + jb e z = a + jb temos, z ± z = (a ± a ) + j(b ± b ) (.. 5) z z = (a a - b b ) + j(a b + a b ) (.. 6) z z a = a + + ( aa = jb jb ( a = ( a + b b ) + j( a b + b a + jb )( a jb ) + jb )( a jb ) a b ) (.. 7) S e z e z forem convertidos para a forma polar em que z = r e j θ e z = r e j θ, a multiplicação e divisão de números complexos são simplificadas, temos então: z z = (r r ) e j(θ+θ) (.. 8) = e r (.. 9) z r j( θ θ ) z c) O número complexo conjugado O número complexo conjugado de z aparece frequentemente escrito como z* é um número complexo semelhante a z mas com o sinal da parte imaginária trocado. z* é definido da seguinte forma: z* = a jb = r e -j θ (.. ) d) Potência e raiz de um número complexo A potência de ordem n de um número complexo z é calculada do seguinte modo: 8

3 . Sinais e Sistemas. z n = r n e jnθ = r n [cos(nθ) + j sen(nθ)] (.. ) da qual se pode retirar a relação de DeMoivre: [cos(θ) + j sen(θ)] n = cos(nθ) + j sen(nθ) (.. ) A raiz de ordem n de um número complexo z é o número w tal que w n = z = e jθ, então para encontrar a raiz de ordem n de z tem que se resolver a equação w n - e jθ =, que tem grau n e também tem n raízes. Essas raízes são obtidas pela expressão: w k = n r e j[ θ + π (k )] n com k =,,, n (.. 3 ).3. Classificação de Sinais. Um sinal é uma função representando uma quantidade física ou uma variável, e tipicamente contem informação acerca do comportamento ou natureza do fenómeno. Matematicamente, um sinal é representado em função de uma variável independente t (tempo), e expresso por x(t). a) Sinais contínuos e sinais discretos no tempo. Um sinal x(t) é contínuo no tempo se t for uma variável contínua. Se t for uma variável discreta, ou seja, x(t) só está definido em alguns pontos, então x(t) é discreto no tempo. Como um sinal discreto só está definido em intervalos de tempo discretos, é muitas vezes identificado por uma sequência de números, designados por {Xn} ou x[n], onde n é um valor inteiro. A Figura. apresenta um exemplo sinais contínuos e discretos no tempo. (a) Figura. - Representação gráfica de: (a) sinal contínuo, (b) sinal discreto. Um Sinal discreto no tempo x[n] pode representar acontecimentos cuja variáv el independente é inerentemente discreta. Por exemplo, a temperatura média registada diariamente é uma variável que, pela sua natureza, envolve pontos discretos no tempo. Por outro lado, um sinal discreto x[n] pode ser obtido por amostragem de um sinal contínuo, em que x[n] = x(n a ), onde a é o intervalo de amostragem. (b) 9

4 . Sinais e Sistemas. b) Sinais analógicos e sinais digitais. Se um sinal contínuo x(t) tomar qualquer valor num intervalo (a, b), onde a pode ser - e b +, então x(t) é um sinal analógico. Se um sinal discreto x[n] tomar só um número finito de valores, então é um sinal digital. c) Sinais reais e sinais complexos. Um sinal x(t) é um sinal real se o seus valores forem reais, e x(t) é um sinal complexo se os seus valores formarem um número complexo. Um sinal complexo x(t) genérico é uma função da forma x(t) = x (t) + jx (t) onde x (t) e x (t) são sinais reais e j =. Note que, t pode representar uma variável contínua ou discreta. d) Sinais determinísticos e sinais aleatórios. Sinais determinísticos são sinais cujos valores estão completamente definidos para qualquer valor do tempo. Por isso, um sinal determinístico pode ser modelado por uma função do tempo t. Sinais aleatórios são aqueles que podem tomar valores aleatórios para cada valor do tempo e só pode ser caracterizado estatisticamente. e) Sinais pares e sinais ímpares. Um sinal x(t) ou x[n] é um sinal par se: x(-t) = x(t) (.3. ) Um sinal x(t) ou x[n] é um sinal ímpar se: x(-t) = -x(t) (.3. ) (a) Figura.3 Exemplo de um (a) sinal par e de um (b) sinal ímpar. Qualquer sinal x(t) pode ser descrito pela soma de dois sinais, um par e outro ímpar, ou seja: o n d e x(t) = x p (t) + x i (t) (.3. 3) x p (t) = ½{x(t) + x(-t)} é a parte par de x(t) x i (t) = ½{x(t) x(-t)} é a parte ímpar de x(t) (b) (.3. 4)

5 . Sinais e Sistemas. f) Sinais periódicos e sinais não-periódicos. Um sinal contínuo x(t) d i z-se periódico com período se existir um valor positivo não nulo para em que: x(t + ) = x(t), para todos os t (.3. 5) Ao menor positivo é chamado período, e o inverso do período é chamado de frequência fundamental f : f = em Hertz (Hz) (.3. 6) Qualquer sinal contínuo para o qual não existe um valor de que satisfaça a equação (.3.5 ) é chamado de não periódico o u aperiódico. Figura.4 - Exemplo de um sinal periódico. g) Sinais de energia e sinais de potência. Para qualquer sinal contínuo x(t), a energia normalizada E de x(t) é definida como: + E = x( t ) dt A potência média normalizada P de x(t) é definida como: P = lim x( t ) dt (.3. 7) (.3. 8) Baseado nas definições (.3. 7) e (.3.8 ), podem definir -se as seguintes classes de sinais:. x(t) é sinal de energia se e só se < E <, o que implica que P =.. x(t) é sinal de potência se e só se < P <, o que implica que E =. 3. Sinais que não satisfaçam nenhuma das propriedades anteriores são referidos como sinais nem de energia nem de potência. Note que, um sinal periódico é um sinal de potência se a energia contida num período é finita, então a potência média desse sinal deve ser calculada só para um período: P = x( t ) dt (.3. 9)

6 . Sinais e Sistemas..4. Sinais Contínuos Básicos. a) A função degrau unitário. A função degrau unitário u(t), também conhecida por função unitária de Heaviside, é definida da seguinte forma:,t > u ( t ) = (.4. ),t < Note que esta função é descontínua em t = e o seu valor nesse ponto é indefinido. Da mesma forma, a função degrau unitário atrasada no tempo é definida como:,t > t u ( t t ) = (.4. ),t < t (a) Figura.5 - (a) Função degrau unitário; (b) Função degrau unitário atrasada no tempo. (b) b) A função delta Dirac. A função impulso unitário δ(t), também conhecida por função delta Dirac ou simplesmente Dirac, desempenha um papel fundamental na análise de sistemas. A função δ(t) é frequentemente definida como o limite de uma função convencional com área unitária, mas com um intervalo de tempo infinitesimal (quando ε ), conforme ilustra a Figura.6. Figura. 6 - Aproximação da função Dirac através de uma função rectângulo.

7 . Sinais e Sistemas. A função dirac tem as seguintes propriedades:,t δ ( t ) = e =,t = δ ( t )dt (.4. 3) δ(t) δ(t-t ) (a) t t Figura.7 - Representação gráfica da Função Dirac na origem (a), atrasada no tempo (b). Algumas propriedades adicionais de δ(t) são: δ ( t ) = δ ( t ) (.4. 4) a δ ( t ) = δ ( t ) (.4. 5) (b) x ( t ) δ ( t ) = x( ) δ ( t ) se x(t) contínua em t = x ( t ) δ ( t t ) = x( t ) δ( t t ) se x(t)contínua em t = t qualquer sinal contínuo pode ser definido da seguinte forma: x( t ) t (.4. 6) = x( τ ) δ ( t τ ) dt (.4. 7) C) Sinais sinusoidais. Um sinal sinusoidal contínuo no tempo pode ser expresso da seguinte forma: x(t) = A cos(πf t + θ ) ou x(t) = A cos(ω t + θ ) (.4. 8) onde A é a amplitude (valor real), ω = πf a frequência angular em radianos por segundo (rad/s), e θ é o ângulo de fase em radianos. f é a frequência fundamental. Figura.8 - Sinal sinusoidal contínuo no tempo. 3

8 . Sinais e Sistemas. O sinal sinusoidal x(t) é periódico e tem período de: π = ou = ω f Utilizando a fórmula de Euler, o sinal da equação (.4.8 ) pode ser expresso como: A cos( f t ) A Re{ e j ( πf t+ θ ) π + θ = } (.4. 9) e a parte imaginaria pode ser expressa como: A Im{ e j( πf t+ θ ) } = A sen( πf t + θ ) (.4. ).5. Classificações dos sistemas. A) Representação de um sistema. Um sistema é um modelo matemático de um processo físico que relaciona o sinal de entrada (ou excitação) com o sinal de saída (ou resposta). Se x e y forem, respectivamente, os sinais de entrada e saída do sistema, então o sistema é visto como uma transformação (ou mapeamento) de x em y. Esta transformação é representada na notação matemática por: y = {x} (.5. ) onde é o operador que define a regra em que x é transformado em y. Múltiplas entradas e/ou saídas são também possíveis, conforme ilustra a Figura. 9, embora ao longo do texto só sejam referidos os sistemas de entrada e saídas únicas. (a) Figura.9 - Sistemas com única e múltiplas entradas e saídas. (b) B) Sistemas contínuos e sistemas discretos no tempo. Se os sinais de entrada e saída x e y são sinais contínuos, então esse sistema é chamado de sistema contínuo no tempo. Por outro lado, se os sinais de entrada e saída forem discretos, também o sistema o será. (a) Figura. - (a) Sistema contínuo no tempo; (b) Sistema discreto no tempo. (b) 4

9 . Sinais e Sistemas. C) Sistemas com memória e sem memória. Um sistema diz-se sem memória se a saída depender única e exclusivamente da entrada em qualquer momento. Caso contrário, o sistema diz -se com memória. Exemplo de um sistema sem memória: y(t) = k x(t), exemplos de sistemas com memória e contínuo: y(t ) = C t n x( τ )dτ, y [n] = x[k] para um sistema discreto. k= - D) Sistema causal e sistema não causal. Um sistema é chamado de causal quando a sua saída y(t) para qualquer tempo t = t depende só de x(t). Ou seja, a saída de um sistema causal depende só de valores actuais ou anteriores que ocorreram à entrada, e nunca de valores futuros. Logo, neste tipo de sistemas não é possível obter um sinal á saída sem antes aplicar um sinal à entrada. Exemplos de sistemas causais: y(t) = x(t+) e y[n] = x[-n]. Note que, todos os sistemas sem memória são causais, mas não o contrário. E) Sistemas lineares e sistemas não lineares. Se o operador da equação (.5. ) satisfaz as seguintes duas condições, então é u m operador linear e o sistema por ele representado é um sistema linear:. Aditividade: Dado que {x } = y e {x } = y então {x + x } = y + y para quaisquer sinais x e x.. Homogeneidade: {α x} = α y para qualquer sinal x e qualquer escalar α. Qualquer sistema que não satisfaça estas duas condições é classificado como sistema não linear. As duas condições anteriores podem ser combinadas numa só conhecida por propriedade da sobreposição, definida do seguinte modo: {α x + α x } = α y + α y onde α e α são quaisquer escalares. Exemplos de sistemas não lineares: y = x e y = cos(x). F) Sistemas variantes e invariantes no tempo. Um sistema é chamado de invariante no tempo se um deslocamento (atraso ou avanço) no tempo do sinal de entrada provoca o mesmo deslocamento no sinal de saída. Então, define-se que o sistema é invariante no tempo quand o {x(t - τ)} = y(t - τ) para qualquer valor de τ. Ao sistema que não satisfaça esta condição é chamado de variante no tempo. G) Sistemas estáveis e sistemas instáveis. Um sistema é estável implica que seja limitado em amplitude à entrada e à saída (BIBO - bounded-input / bounded-output), ou seja, se para qualquer entrada x limitada em amplitude definida como x k, corresponder uma saída y também limitada y k, onde k e k são constantes reais e finitas. 5

10 . Sinais e Sistemas. H) Sistemas com Feedback. Uma classe especial de sistemas de grande importância são aqueles que utilizam feedback. Num sistema com feedback, o sinal de saída é reutilizado novamente à entrada sendo somado ao sinal de entrada, conforme ilustra a Figura.. Figura. - Sistema com feedback..6. Resposta dos sistemas lineares e invariantes no tempo, integral de convolução. Duas das mais importantes propriedades de um sistema são a linearidade e a invariância no tempo (LI). Para este tipo de sistemas podemos descrever a relação entre a entrada e a saída em termos de uma operação de convolução que, através da resposta a um impulso de Dirac, se obtém a resposta do sistema e consequentemente, a resposta a qualquer sinal de en trada. A) Resposta impulsional. A resposta impulsional h(t) de um sistema LI (representado por ) é definida como a resposta do sistema quando a entrada é um impulso de Dirac δ (t), ou seja: h(t) = {δ (t)} (.6. ) B) Resposta a uma entrada arbitrária. Partindo da equação (.4.7 ), a entrada x(t) pode ser expressa como: x ( t ) = x( τ ) δ ( t τ ) dτ como o sistema é linear, a resposta y(t) do sistema a um sinal de entrada arbitrário x(t) pode ser expressa como: y ( t ) { x( τ ) δ ( t τ )dτ } = = { x( t )} = x( τ ) { δ ( t τ )} dτ como o sistema também é invariante no tempo, então: h(t - τ) = {δ (t - τ)} substituindo na equação anterior obtém-se: y ( t ) = x( τ ) h( t τ ) dτ (.6. ) A equação (.6. ) demonstra que um sistema LI contínuo no tempo é completamente caracterizado pela sua resposta impulsional h(t). 6

11 . Sinais e Sistemas. C) Integral de Convolução. A equação (.6. ) define a convolução de dois sinais x(t) e h(t) contínuos no tempo, e é representada da seguinte forma: y ( t ) = x( t ) h( t ) = x( τ ) h( t τ ) dτ (.6. 3) A equação é vulgarmente conhecida como integral de convolução. Então, obtemos a relação fundamental em que a saída de qualquer sistema LI contínuo no tempo é a convolução da entrada com a resposta impulsional do sistema. A Figura. ilustra a definição de resposta impulsional h(t) e a relação da equação (.6. 3). Figura. - Sistema LI contínuo no tempo. D) Propriedades do integral de convolução. O integral de convolução tem as seguintes propriedades:. Comutativa: x(t) * h(t) = h(t) * x(t). Associativa: {x(t) * h (t)} * h (t) = x(t) * {h (t) * h (t)} 3. Distributiva: {x(t) * {h (t) + h (t)} = x(t) * h (t) + x(t) * h (t) E) A operação convolução. Da equação (.6. 3) p o d e-se observar que a operação de convolução envolve quatro passos: y ( t ) = x( t ) h( t ) = x( τ ) h( t τ ) dτ. A resposta impulsional h(τ) é invertida no tempo relativamente à origem para se obter h(-τ), depois é transladada no tempo de t para se obter h[ -(τ - t)] = h(t - τ) que é uma função de τ com parâmetro t.. O sinal x(τ) e h(t - τ) são multiplicados ponto a ponto para todos os valores de τ com t fixo num valor qualquer. 3. O produto de x(τ)h(t - τ) é integrado para todos os valores de τ para se obter um único valor de saída de y(t). 4. Os pontos a 3 são repetidos fazendo variar t de - a + para se obterem todos os valores de y(t)..7. Análise de Fourier de sinais e sistemas. Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu a de Março de 768 em Auxerre, França. Fourier viveu durante o período conturbado após a revolução francesa e, por duas vezes esteve próximo da guilhotina devido às suas actividades políticas, mas não foi nessa área que ele mais se destacou. A motivação do trabalho de Fourier era o estudo do fenómeno físico da propagação e difusão do calor nos corpos. Em 87, Fourier tinha completado o 7

12 . Sinais e Sistemas. seu trabalho e descobriu que as séries de sinusóides harmónicas e relacionadas entre si eram bastante úteis para rep resentar a distribuição da temperatura através de um corpo, apercebendo-se do potencial que a sua descoberta representava Fourier tentou a sua publicação junto do Instituto de França. Na época, as séries trigonométricas eram um tema bastante discutido e polémico e, por essa razão, Fourier viu-lhe negado o direito de publicar o seu trabalho principalmente devido á feroz oposição de J. L. Lagrange. Depois de várias tentativas para conseguir que o seu trabalho fosse aceite e reconhecido, só 5 anos depois, em 8 atingiu o objectivo. Infelizmente, só no final da sua vida Fourier conseguiu algum reconhecimento pelo seu trabalho. Posteriormente, descobriu-se que existiam muitos outros problemas em ciências e engenharia onde os sinais sinusoidais e consequentemente, as séries de Fourier e transformadas, poderiam desempenhar um papel muito importante. Embora o estudo feito por Fourier estivesse incompleto e contivesse algumas imprecisões e que, actualmente já não esteja muito relacionado com a teoria actual, foi ele que primeiro abordou o tema e, por esse facto, as séries trigonométricas têm o seu nome como forma de reconhecimento e homenagem. No contexto desta disciplina, a série de Fourier e a respectiva transformada permitem converter sinais no domínio dos tempos em representações espectrais no domínio da frequência. Adicionalmente, a análise de Fourier é também essencial para descrever certos tipos de sistemas e as suas propriedades no domínio das frequências..7.. Representação de sinais periódicos utilizando a série de Fourier. A) Representação da série exponencial complexa de Fourier. A teoria da série de Fourier simplesmente diz que, se um sinal qualquer for periódico e obedecer ás condições de convergência, é possível ser aproximado através de uma soma infinita de senos e cosenos de frequências múltiplas da fundamental e amplitudes distintas para cada um deles. O conjunto das amplitudes de cada seno e coseno representam o sinal no domínio da frequência. A série exponencial complexa de Fourier de um sinal periódico x(t) com período fundamental é definida da seguinte forma: x( t ) = + c k= (.7. ) onde c k são conhecidos como os coeficientes complexos de Fourier e são definidos da seguinte forma: j π k f t ck = x( t )e dt (.7. ) j π k f t k e onde f = onde designa o integral de um qualquer período do sinal, de até ou de - / até / são os valores usualmente utilizados para definir os limites de integração. Fazendo k = na equação (.7. ) obtemos: c = x( t )dt (.7. 3) 8

13 . Sinais e Sistemas. e que indica que c é igual ao valor médio de x(t) durante um período. O termo c é conhecido como a componente dc ou contínua de x(t). Quando x(t) é um sinal real e periódico, a série de Fourier aparece também descrita sob a forma de série harmónica de Fourier e série trigonométrica de Fourier e, nesse caso, a série complexa de Fourier é matematicamente equivalente a ambas as formas de representação. Embora estas últimas séries sejam também muito comuns, é preferível utilizar a forma complexa da série de Fourier por ser mais genérica e normalmente mais conveniente. B) Convergência da série de Fourier. Um sinal periódico x(t) é possível ser representado por uma série de Fourier se satisfizer as seguintes condições de Dirichlet:. x(t) é absolutamente integrável em qualquer período, ou seja, x ( t ) dt <. x(t) tem um número finito de máximos e mínimos em qualquer intervalo finito t. 3. x(t) tem um número finito de descontinuidades em qualquer intervalo finito t, e cada uma dessas descontinuidades é também finita. Note que, as condições de Dirichlet são suficientes mas não necessárias para a existência da série de Fourier de um sinal, ou seja, se as condições de Dirichlet se verificarem está garantida a existência da série de Fourier, mas no caso de não se verificarem, mesmo assim pode existir a respectiva série de Fourier. Um exemplo ilustrativo é dado pelo sinal constituído por um trem de impulsos. C) Espectro de amplitude e fase de um sinal periódico. Se representarmos os coeficientes complexos de Fourier c k da expressão (.7. ) da seguinte forma: c k = c k e jφ k (.7. 4) O gráfico de c k em função da frequência f é chamado de espectro de amplitudes do sinal periódico x(t), e o gráfico φ k em função da frequência f é chamado de espectro de fase de x(t). Como o índice k só assume valores inteiros, os espectros de amplitude e fase não são linhas contínuas mas aparecem só em frequências discretas kf. P o r isso, eles são referidos como espectro discreto de frequência o u espectro de linhas. Para um sinal x(t) real e periódico temos c -k = de c k ). Então pode dizer-se que: c k ( k c significa complexo conjugado c -k = c k e φ k = - φ k (.7. 5) Observando as igualdades acima, pode concluir-se que o espectro de amplitude de um sinal real é uma função par, ou seja, simétrica relativamente á origem. O espectro de fase é uma função ímpar e por isso anti-simétrica relativamente á origem. 9

14 . Sinais e Sistemas. D) Potência contida num sinal periódico. No ponto.3 foi definida a potência média de um sinal periódico x(t) em qualquer período da seguinte forma: P = x( t ) dt se x(t) for representado pela série exponencial complexa d e Fourier, então a potência pode ser escrita como: + x( t ) dt = c k (.7. 6) k= A equação anterior é conhecida como a igualdade de Parseval (ou teorema de Parseval) para a série de Fourier..7.. A transformada de Fourier. A) Da série de Fourier à transformada de Fourier. Seja x(t) um sinal não periódico de duração finita, ou seja, x(t) = para t > (Figura. 3 (a)). Se definirmos x (t) como um sinal periódico formado pela repetição de x(t) com período fundamental ( Figura. 3 (b)). Se fizermos, então lim x ( t ) = x( t ). (a) Figura. 3 - (a) Sinal x(t) não periódico; (b) Sinal periódico formado pela repetição periódica de x(t). A série exponencial complexa de Fourier de x (t) é então: + j π k f t x ( t ) = ck e com f =, = k= j π k f t ck x ( t ) e dt (.7.7 ) C o m o x (t) = x(t) para t < / e também porque x(t) = fora desse intervalo, a equação de c k pode ser rescrita da seguinte forma: c = j π x ( t ) e k f t j π f t dt = x( t ) e k k dt Se definirmos X(f) como: X( f ) j = x( t ) e π f t dt (b) (.7. 8) Então a equação de c k dos coeficientes complexos de Fourier anterior pode ser expressa da seguinte forma: 3

15 . Sinais e Sistemas. c k = X( kf ) Substituindo na equação (.7. 8), o btemos: + j π k f t x ( t ) = X( kf ) e k= ou + j π f t = k x ( t ) X( kf )e f k= C o m o então f (torna-se infinitesimal). Se fizermos f = f, então a equação anterior toma a seguinte forma: x ( t ) por conseguinte, x( t ) = lim x + k= ( t ) = X ( k f )e + lim f k= j π k f t f X( k f )e j π k f t f (.7. 9) O somatório da equação (.7.9 ) pode ser interpretado como a área inferior á função j π f t X ( f )e, conforme se pode interpretar na Figura. 4. Consequentemente, obtém-se: j t x( t ) = X( f ) e π f df que é a representação de Fourier de um sinal x(t) não periódico. (.7. ) Figura. 4 - Interpretação gráfica da equação (.7.9 ). B) O par transformada de Fourier. A função X(f) definida pela equação (..8 ) é a definição da transformada de Fourier de um sinal x(t) não periódico, e a equação (.. ) define a transformada inversa de Fourier de X(f). Simbolicamente são representadas da seguinte forma: X( f x( t ) ) j = F{ x( t )} = x( t ) e π f t dt j = F { X( f )} = X( f ) e π f t df (.7. ) (.7. ) e também se pode dizer que x(t) e X(f) formam um par transformada de Fourier, representado por: x(t) X(f) Note que, como ω = π f, ao substituirmos nas equações (.. ) e (.7. ) obtemos as seguintes relações, jω t = F{ x( t )} = x( t ) e dt X( ω ) (.7. 3 ) 3

16 . Sinais e Sistemas. = = j ω ω ω t x( t ) F { X( )} X( ) e dω (.7. 4 ) π que têm o mesmo significado que as anteriores mas ut ilizando a frequência angular como variável da transformada. Como consequência, nos pares transformada de Fourier aparece o factor multiplicativo π. A utilização de uma ou outra forma é indiferente, por essa razão existem muitos autores que utilizam f e também existem muitos que utilizam ω. C) O espectro de Fourier. A transformada de Fourier X(f) de x(t) é, geralmente, complexa, e pode ser expressa como: X(f) = X(f) e jφ(f) (.7. 5 ) Por analogia com a terminologia utilizada para os coeficientes complexos da série de Fourier de um sinal periódico x(t), a transformada de Fourier X(f) de um sinal x(t) não periódico é a sua especificação no domínio da frequência e é referido como o espectro de x(t). Á parcela X(f) é chamado espectro de amplitudes de x(t), e φ(f) é chamado espectro de fase de x(t). Se o sinal x(t) é um sinal real, da equação (.7. ) podemos deduzir que: X( f ) = x( t ) e j π f t dt então conclui -se que X(-f) = X*(f), consequentemente X(-f) = X(f) e φ(f) = -φ(f). por isso, como no caso dos sinais periódicos, o espectro de amplitudes X(f) é uma função par (simétrica relativamente á origem) e o espectro de fase φ(f) é uma função ímpar (anti-simétrica relativamente á origem). D) Convergência da transformada de Fourier. al como no caso dos sinais periódicos, é condição suficiente mas não necessária para a convergência de X(f) que satisfaça as condições de Dirichlet Propriedades da transformada de Fourier. As propriedades da transformada de Fourier são um recurso bastante útil para simplificar o cálculo da transformada e evitar a utilização da expressão geral da transformada e, consequentemente, resolver o respectivo integral. A) Linearidade: a x (t) + a x (t) a X (f) + a X (f) (.7. 6 ) onde a e a são constantes. B) Deslocamento no tempo: x(t t ) e -jπ f t X(f) (.7. 7 ) 3

17 . Sinais e Sistemas. A equação (.7. 7 ) mostra que o efeito de u m deslocamento no tempo consiste simplesmente em adicionar um termo linear π f t ao espectro de fase φ(f) de x(t). Este efeito é conhecido como deslocamento linear de fase da transformada de Fourier X(f). C) Deslocamento na frequência: e jπ f t x(t) X(f f ) (.7. 8 ) A multiplicação de x(t) um sinal exponencial complexo e jπ f t é conhecida como modulação complexa. Portanto, a equação (.7. 8) mostra que a modulação complexa no domínio dos tempos corresponde a um deslocamento de X(f) no domínio da frequência. De notar que a propriedade do deslocamento na frequência (equação (.7. 8 )) é dual da propriedade de deslocamento no tempo (equação (.7. 7 )). D) Compressão/expansão da escala do tempo: f x( at ) X a a (.7. 9 ) onde a é uma constante real. Esta propriedade deduz- se directamente da definição da transformada de Fourier. A equação (.7. 9 ) indica que a compressão/expansão da variável tempo t por um factor de a causa um processo inverso de expansão/compressão da variável de frequência f de /a e da amplitude de X(f/a) pelo factor / a. Ou seja, se esta propriedade implica r uma compressão no tempo do sinal (a > ) resulta numa expansão no espectro da frequência e uma expansão do sinal no tempo (a < ) resulta na respectiva compressão do espectro da frequência. E) Inversão no tempo: x(-t) X(-f) (.7. ) A inversão do eixo do tempo de um sinal x(t) produz igual inversão do eixo da frequência na transformada X(f). A equação (.7. ) é facilmente obtida fazendo a = - na equação (.7. 9 ). F) Dualidade (ou Simetria): X(t) x(-f) (.7. ) A propriedade da dualidade da transformada de Fourier tem implicações bastante significativas porque nos permite obter a expressão de determinada transformada conhecendo a sua transformada inversa. Esta propriedade pode deduzir -se facilmente comparando as equações (.7. ) e (.7. ) da transformada de Fourier e da sua inversa, e concluir que são semelhantes diferindo na variável de integração e no sinal da exponencial. Como exemplo, um sinal no tempo do tipo rect(t) tem como transformada uma sinc(f), se no domínio da frequência existir uma rect(f) então, pela dualidade, a sua transformada inversa é sinc(t). 33

18 . Sinais e Sistemas. G) Diferenciação no domínio do tempo: dx( t ) j π f X( f ) (.7. ) dt A equação (.7. ) mostra que o efeito da diferenciação no domínio do tempo resulta na multiplicação de X(f) por jπf no domínio da frequência. H) Diferenciação no domínio da frequência: dx( f ) j π t x( t ) (.7. 3 ) df A equação (.7. 3 ) resulta da aplicação da propriedade da dualidade sobre a equação (.7. ). I) Integração no domínio do tempo: t X( ) x( τ )dτ X( f ) + δ ( f ) (.7. 4 ) j πf Como a integração é o inverso da diferenciação, a equação (.7. 4) mostra que a operação no domínio da frequência correspondendo á integração no domínio do tempo é a multiplicação por /(jπ f), mas é necessário um termo adicional para ter em conta uma possível componente contínua (dc) na saída do integrador. J) Convolução no tempo: x (t) * x (t) X (f) X (f) (.7. 5 ) A equação (.7. 5 ) é referida como teorema da convolução no tempo, ele declara que a convolução no domínio dos tempos é equivalente à multiplicação na frequência. Esta propriedade da convolução desempenha um papel muito importante no estudo dos sistemas e sinais em telecomunicações e é também utilizada na teoria de filtros. K) Multiplicação no tempo: x (t) x (t) X (f) * X (f) (.7. 6 ) A propriedade da multiplicação é a correspondente dual da equação (.7. 5 ) e é muitas vezes referida como o teorema da convolução na frequência. Portanto, a multiplicação no domínio do tempo é equivalente à convolução no domínio da frequência. L) Propriedades adicionais: S e x(t) é um sinal real, façamos x(t) = x p (t) + x i (t) onde x p (t) e x i (t) são as componentes par e ímpar de x(t), respectivamente. Se a transformada de Fourier de x(t) for: x(t) X(f) = A(f) + jb(f). Então, X(-f) = X*(f) (.7. 7 ) 34

19 . Sinais e Sistemas. x p (t) Re{X(f)} = A(f) (.7. 8 ) x i (t) jim{x(f)} = jb(f) (.7. 9 ) A equação (.7. 7 ) é condição necessária e suficiente para que x(t) seja um sinal real. As equações (.7. 8) e (.7. 9) mostram que, a transformada de Fourier de um sinal par é uma função real de f, a transformada de Fourier de um sinal ímpar é uma função puramente imaginária de f. M) Relações de Parseval: x ( λ )X ( λ )dλ X ( λ )x = ( λ ) dλ (.7.3 ) x ( t ) x ( t )dt = X ( f ) X ( f )df (.7.3 ) x( t ) dt = X( f ) df (.7.3 ) A equação (.7.3 ) é chamada de Identidade de Parseval (ou eorema de Parseval) para a transformada de Fourier. Repare que a função do lado esquerdo da igualdade na equação (.7.3 ) é a energia normalizada E d e x(t) (equação (.3.7 )). A identidade de Parseval diz -nos que a energia E pode ser obtida integrando X(f) para todas as frequências. Por essa razão, X(f) é frequentemente referido como o espectro de densidade de energia de x(t), e a equação (.7.3 ) é também conhecida como eorema da energia..8. Resposta em Frequência de Sistemas LI Contínuos no empo. A) Resposta em frequência: No ponto.6 foi demonstrado que a saída y(t) de um sistema LI contínuo no tempo é igual à convolucão do sinal de entrada x(t) com a resposta impulsional h(t), ou seja, y(t) = x(t) * h(t), aplicando a propriedade de convolução (equação (.7. 5 )) obtem-se Y(f) = X(f) H(f), onde Y(f), X(f) e H(f) são as transformadas de Fourier de y(t), x(t) e h(t), respectivamente. Podemos dizer que: Y( f ) H ( f ) = (.8. ) X( f ) A função H(f) é chamada de resposta em frequência do sistema. Estas relações estão representadas na Figura. 5. Como H(f) é uma função complexa, temos: H( f ) jθ H ( f ) = H( f ) e (.8. ) onde H(f) é chamado a magnitude da resposta do sistema, e θ H (f) a resposta de fase do sistema. 35

20 . Sinais e Sistemas. Figura. 5 - Relação entre entrada e saída num sistema LI. S e X ( f ) jθ X ( f ) = X( f ) e e Y( f ) ( f ) e j θ = Y( f ) Y então conclui-se que: Y(f) = X(f) H(f) e θ Y (f) = θ X (f) + θ H (f) (.8. 3) Ou seja, o espectro de amplitudes X(f) do sinal de entrada é multiplicado pela magnitude da resposta H(f) do sistema para se determinar o espectro de amplitudes do Y(f) do sinal de saída, a resposta de fase θ H (f) do sistema é adicionada ao espectro de fase do sinal de ent rada θ X (f) para se determinar o espectro de fase de θ Y (f) do sinal de saída. A magnitude da resposta do sistema H(f) é por vezes referida como ganho do sistema. B) ransmissão com e sem distorção Para a transmissão sem distorção através de um sistema L I é necessário que a forma exacta do sinal seja reproduzida na saída do sistema, independentemente de a sua amplitude seja diferente e esteja atrasado no tempo. Consequentemente, se x(t) é o sinal de entrada, para uma transmissão sem distorção requer-se que a saída seja: y(t) = K x(t - t a ) (.8. 4) onde t a é o tempo de atraso no tempo e K (> ) é o ganho constante. Ver a Figura. 6 (a) e (b). Fazendo a transformada de Fourier de ambos lados da equação (.8.4 ), obtém - se: j πfta Y( f ) = K e X ( f ) então, pode-se concluir que para ter uma transmissão sem distorção o sistema tem que ter a seguinte função transferência: jθ H ( f ) j π f t H( f ) = H( f ) e = K e a de onde se pode concluir que: H(f) = K e θ H (f) = -jπft d (.8. 5) Ou seja, a amplitude de H(f) deve ser constante em todas as frequências em que o espectro de x(t) tem amplitude diferente de zero, a fase de H(f) deve variar linearmente com a frequência. Ver a Figura. 6 (c) e (d). Distorção de amplitude e fase. Quando o espectro de amplitudes H(f) do sistema não é constante na banda de frequências do sinal x(t), as componentes de frequência do sinal de entrada são transmitidas com diferentes ampli tudes de ganho ou atenuação. A este efeito é chamado de distorção na amplitude. Quando o espectro de fase θ H (f) do 36

21 . Sinais e Sistemas. sistema não é linear com a variação de frequência, o sinal de saída tem uma forma de onda diferente da do sinal de entrada porque existiram d iferentes atrasos a frequências diferentes ao passar pelo sistema. Esta forma de distorção é chamada de distorção de fase. (a) (c) (b) Figura. 6 - ransmissão sem distorção. (d).9. Filtragem. Uma das operações mais essenciais em qualquer sistema de comunicação e não só, é a filtragem. Filtrar é o processo pelo qual as amplitudes da componente de frequência de um sinal são alteradas e algumas delas são mesmo eliminadas. Para os sistemas L I contínuos no tempo, o espectro à saída é igual à entrada multiplicada pela resposta em frequência do sistema, consequentemente, um sistema LI pode agir como um filtro do sinal de entrada. A palavra filtro é aqui utilizada para definir os sistemas que de alguma forma fazem selecção de frequências. A) Filtros ideais: Um filtro ideal selector de frequência é aquele que deixa passar um determinado conjunto de frequências e rejeita as restantes. A banda de frequências que o filtro deixa passar é referida como banda de passagem, e a banda de frequências rejeitada pelo filtro é chamada banda de corte. Os tipos mais comuns de filtros ideais selectores de frequência são os seguintes: 37

22 . Sinais e Sistemas.. Filtro Passa Baixo ideal: Um filtro passa baixo ideal (FPB x ) é especifica do da seguinte forma: f < fc H( f ) = (.9. ) f > fc conforme mostra a Figura. 7 (a). Á frequência f c, é chamada frequência de corte.. Filtro Passa Alto Ideal: Um filtro passa alto (FPA) é especificado d a seguinte forma: f < fc H( f ) = (.9. ) f > fc conforme mostra a Figura. 7 (b). Á frequência f c, também é chamada frequência de corte. 3. Filtro passa banda Ideal: Um filtro passa banda ideal (FPB d ) é especificado da seguinte forma: f < f < f H( f ) = (.9. 3) outros f conforme mostra a Figura.7 (c). 3. Filtro rejeita banda Ideal: Um filtro rejeita banda ideal (FRB) é especificado da seguinte forma: f < f < f H( f ) = (.9. 4) outros f conforme mostra a Figura.7 (d). (a) (b) (c) (d) Figura. 7 - Magnitude das respostas dos filtros ideais. 38

23 . Sinais e Sistemas. Na discussão anterior ainda nada foi referido acerca da resposta em fase dos filtros. Para evitar a distorção de fase no processo de filtragem, o filtro deverá ter uma característica linear na resposta de fase através da sua banda de passagem, ou seja, θ H (f) = -π f t d, onde t d é uma constante. Note que um filtro ideal é um sistema não causal porque não obedece á condição h(t) = para t <, ou seja, o filtro já tem resposta á saída mesmo antes de lhe ser aplicado um sinal á entrada. Por esta razão os filtros ideais não são realizáveis, embora se possam utilizar conceptualmente para simplificar a análise dos sistemas. B) Filtros reais. Os filtros reais são sistemas causais e realizáveis através de dispositivos electrónicos ao contrário dos filtros ideais. Estes são caracteriz ados pelo decaimento não abrupto mas aproximável por uma rampa entre a banda de passagem e a banda de corte, ou seja, vai existir uma banda de transição com largura f entre a banda de passagem e a banda de corte. Por outro lado, os filtros reais provocam também uma distorção de fase que, é tanto maior quanto mais estreita for a banda de transição. Um exemplo de um filtro passa baixo real e causal é um circuito constituído por uma resistência e um condensador, circuito RC, conforme ilustra a Figura. 8. A resposta em frequência deste circuito está representada na Figura. 9, como facilmente se pode concluir, ao colocar um sinal x(t) á entrada deste circuito, a saída y(t) vai sofrer uma distorção na amplit ude e na fase. Figura. 8 - Filtro passa baixo constituído por um circuito RC. Figura. 9 - Resposta em frequência do filtro RC passa baixo. 39

24 . Sinais e Sistemas... Largura de banda. A) Largura de banda de um filtro (ou sistema). Um dos conceitos mais importantes na análise de um sistema é a análise da sua largura de banda. Existem várias definições para a largura de banda de um sistema.. Largura de banda absoluta: A largura de banda LB de um filtro passa baixo ideal é igual á sua frequência de corte, ou seja, LB = f c (Figura. 7 (a)). Neste caso, LB é chamada de largura de banda absoluta. A largura de banda de um filtro passa banda ideal (FPB d ) é dada por LB = f - f (Figura. 7 (c)). Um filtro passa banda é chamado de banda estreita se LB << f, onde f = ½(f + f ) é a frequência central do filtro. Não se define largura de banda para filtros passa alto (FPA) e rejeita banda (FRB).. Largura de banda a 3 db (ou meia potência): Para filtros causais ou realizáveis, uma definição muito comum da largura de banda de um filtro (ou sistema) é a largura de banda a 3dB (LB 3dB ). No caso do filtro passa baixo, como o filtro RC descrito anteriormente na Figura. 8 - Filtro passa baixo constituído por um circuito RC., define-se LB 3dB como sendo a frequência positiva à qual o espectro de amplitude H(f) decresce relativamente ao valor máximo para um valor igual a H(f) /,conforme ilustra a Figura. (a). A largura de banda LB 3dB também é conhecida por largura de banda a meia potência porque uma atenuação do sinal de 3dB é equivalente a uma atenuação na potência por factor de. No caso de um filtro passa banda, a largura de banda LB 3dB é definida como a diferença entre as frequências onde H(f) decai para um valor igual a / do valor de pico H(f max ) como ilustra a Figura. (b). Esta definição da LB 3dB é útil para sistemas com uma resposta em termos do espectro de amplitudes constante e é um critério largamente aceite para medir a largura de banda dos sistemas, mas torna-se ambíguo e não único nos sistemas em que existem múltiplos pico s no espectro de amplitudes. Note que ambas as precedentes definições de largura de banda são definidas para o eixo positivo das frequências e somente para estas. (a) (b) Figura. - Largura de banda: (a) Filtro passa baixo; (b) Filtro passa banda. 4

25 . Sinais e Sistemas. B) Largura de banda do sinal. A largura de banda de um sinal pode ser definido como o conjunto de frequências positivas onde a maioria da energia ou potência decresce. Esta definição é ambígua e está sujeita a várias convenções. Uma convenção possível é dizer-se que a banda de passagem de um sinal deve conter 9% da energia ou potência desse sinal.. Largura de banda a 3dB: A largura de banda de um sinal x(t) também pode ser definido de forma similar á largura de banda de um filtro LB 3dB, usando o espectro de amplitudes X(f) do sinal. De facto, se for substituído H(f) por X(f) na Figura. 7 (a) a (c), obtém -se gráficos no domínio da frequências de sinais passa baixo, passa alto e passa banda.. Sinais de banda limitada: Um sinal x(t) é chamado de banda limitada se X(f) = quando f > f max, então para este tipo de sinais é usual definir f max como largura de banda. 4