Esudo Comparaivo de Modelos de Gerenciameno de Risco de Mercado com uma Careira Composa por Aivos Típicos de um Fundo de Ações Auores: Anonio Francisco de Almeida e André Ghirardi Resumo O cálculo do Value a Risk (VaR) esá sendo basane uilizado como forma de gerenciar riscos de mercado pelas insiuições financeiras, e o Comiê de Basiléia recomenda seu uso como insrumeno para a supervisão bancária. Ese rabalho compara rês modelos de esimaiva da volailidade para o cálculo do VaR (volailidade calculada pelo desvio padrão, RiskMerics TM e GARCH). São uilizados rês criérios de avaliação para comparar esses rês modelos: o backesing conforme proposo pelo Comiê de Basiléia, uma função de verossimilhança e uma função de perda. Para isso, é uilizada uma careira composa por quaro aivos (IBOVESPA, PETROBRÁS, TELESP e CDI), onde os movimenos na composição da careira seguem a lógica de um fundo de ações real de um banco do sisema financeiro nacional. - Inrodução Alguns problemas recenes com bancos que operam nos mercados inernacionais chamaram a aenção do mundo financeiro para a fragilidade dos conroles de riscos, denre eles: o colapso do Barings Bank da Inglaerra causado por um correor que abriu um rombo de cerca de US$,4 bilhão, devido a operações fraudulenas no mercado fuuro em Cingapura; a quebra do Daiwa Bank, do Japão, onde um operador de íulos públicos na agência em New York conseguiu esconder perdas acumuladas durane onze anos; e mais recenemene, o fundo de hedge noreamericano Long-Term Capial Managemen (LTCM) que foi socorrido em seembro de 9, após perder US$ 4 bilhões nos mercados globais de capiais. Alguns auores, denre eles Jorion (9), defendem que a exisência de procedimenos inernos de conrole de riscos poderiam eviar esses ipos de ocorrências. Uma caegoria de risco financeiro classificada como risco de mercado é aquela associada às oscilações de preços dos aivos (volailidade). Uma das formas de mensurar o risco de mercado é o cálculo do Value a Risk VaR. O VaR serve a uma série de propósios (Jorion, 9) ais como o fornecimeno de informações dos riscos de uma operação, podendo, inclusive, ser uilizado nos relaórios aos acionisas, uma vez que os dados são apresenados em ermos de poencial de perdas em moeda (fácil enendimeno); pode ser usado para definir limies para as operações, ajudando a decidir aonde alocar o capial disponível; e os dados de VaR podem ser uilizados para relacionar desempenho ao risco. As insiuições financeiras esão implemenando sisemas de gerenciameno de riscos cenralizado, usando o VaR. Além disso, a regulação bancária inernacional requer nível de capial mínimo baseado no VaR, segundo os criérios do Comiê de Basiléia. O Comiê de Basiléia para supervisão bancária criado em 5 é composo de represenanes de auoridades de supervisão bancária e bancos cenrais da Bélgica, Canadá, França, Alemanha, Iália, Japão, Luxemburgo, Holanda, Suécia, Suiça, Reino Unido e Esados Unidos, e em o BIS como sua secrearia permanene.
Ese rabalho compara rês abordagens de cálculo do risco de mercado a parir do VaR (desvio padrão, RiskMerics TM e GARCH). A comparação enre as rês écnicas é feia usando os criérios do procedimeno de backesing, recomendados pelo Comiê de Basiléia, e ambém pela aplicação de funções objeivo para enriquecer a análise comparaiva. Para isso, foi uilizada uma careira composa de quaro aivos (IBOVESPA, ações PETROBRÁS PN, TELESP PN e CDI), com dados de julho de 994 a dezembro de 9, buscando reproduzir, por regressões esaísicas, os reornos de uma careira real de um fundo de ações de um banco do sisema financeiro nacional. - O Cálculo do VaR O VaR é a esimaiva da quanidade que poderá ser perdida em uma careira (conjuno de invesimenos da insiuição financeira), em função das oscilações dos preços dos aivos no mercado considerado como a pior perda esperada, em um inervalo de empo, sobre condições normais de mercado em um dado inervalo de confiança. Para o cálculo do VaR de apenas um aivo em uma careira (Jorion, 9): VaR = W0. σ. α. () onde, VaR W 0 σ α = Value a Risk = Valor aplicado = Volailidade = Faor de segurança (obido da abela da curva de disribuição Normal) = Tempo da aplicação ou holding period Para o cálculo do VAR de uma careira com mais de um aivo (Bessada, 9): VaR c = VaR + VaR n + +... VaRn +. ρ. VaR. VaR +. ρ n. VaR. VaR... () sendo ρ in é o coeficiene de correlação enre os aivos i e n..- A esimaiva da volailidade pelo desvio padrão Exisem diversas alernaivas disponíveis na lieraura para o cálculo da volailidade (σ), denre elas a que represena uma inerpreação quase que naural é a esimaiva pelo desvio padrão. Nesse caso, a volailidade é calculada como o desvio padrão do logarimo neperiano da axa de reorno diária (r i ) dos preços do aivo (Bessada, 9). _ σ r i r (3) = n i As equações abaixo apresenam as relações uilizadas para compuar os preços e reornos dos aivos: P P R = (4) P
onde: P é o preço e R é o reorno do aivo no empo. Em bases logarímicas êm-se: p = ln P ) (5) ( ( + R ) = ( p p ) r = ln (6) Um problema em se rabalhar com reornos compuados em ermos de mudanças relaivas (ou diferenças de preços relaivas) é que sua modelagem pode conduzir a esimaivas de preços negaivos, enquano que ao se rabalhar com os logarimos dos preços isso não ocorre. Em geral, os modelos de gerenciameno de riscos de mercado medem as mudanças no valor da careira em ermos do logarimo das variações dos preços dos aivos (reornos compuados coninuamene). A abela mosra que na agregação ao longo do empo é mais conveniene se rabalhar com reornos compuados coninuamene, pois leva a relações lineares mais simples. Por ouro lado, na agregação enre diferenes aivos o uso da expressão para reornos compuados por mudanças relaivas é mais conveniene do pono de visa de simplicidade maemáica. Dessa forma, assumese que o reorno da careira é uma média ponderada dos reornos compuados coninuamene: r p N i= w. r i i (7) Tabela Agregação de reornos Agregação Ao longo do empo Enre aivos Reornos compuados em ermos de mudanças relaivas R it = ( + R i ) T = R p = wi. R N = i Reorno coninuamene compuado T r it = r r i = r p = ln wi. e i Obs: T=empo final; N=número oal de aivos; o índice p refere-se à careira; o índice i refere-se aos aivos; w i são os percenuais (pesos) aplicados em cada aivo.. O modelo do RiskMerics TM O RiskMerics TM (ver referências bibliográficas) é um pacoe compuacional desenvolvido pelo banco JPMorgan que consise de uma meodologia para esimar o risco de mercado com base no VaR. Um modelo de mensuração do risco em como objeivo prever as mudanças fuuras no valor da careira, o que geralmene é feio por esimaivas dos reornos fuuros de cada um dos aivos que a compõem. O RiskMerics TM uiliza uma classe de modelos que descreve a evolução dos reornos como um caminho randômico (random walk) heerocedásico: p = µ σ. ε ; ε ~ N( 0, (8) + p + ) Como r =p -p -, e µ é o reorno médio, que o RiskMerics TM assume como igual a zero, em-se: r = σ. ε (9) 3
Percebe-se que no modelo proposo a variância, σ, é função do empo, caracerizando um processo heerocedásico, o que esá de acordo com as propriedades das séries emporais dos reornos financeiros, de acordo com observações empíricas. Dessa forma, o modelo do RiskMerics TM baseia-se no fao de as variâncias dos reornos serem heerocedásicas (não consanes) e auocorrelacionadas. Além disso, as covariâncias são ambém auocorrelacionadas, e considera-se, ainda, que os reornos são normalmene disribuídos. Uma forma de capurar as dinâmicas da volailidade é usar a média móvel exponencial das observações hisóricas dos reornos, onde as úlimas observações recebem os maiores pesos para a esimaiva da volailidade (Exponenially Weighed Moving Average EWMA). Essa aproximação em duas vanagens sobre o modelo de pesos igualmene disribuídos ao longo da série (como no modelo ciado em.). Primeiro, a volailidade reage mais rápido a choques no mercado. Segundo, após um choque de preço, a volailidade declina exponencialmene, na medida em que o peso dessa observação é reduzido com o empo. Assim, o RiskMerics TM calcula a volailidade a parir da seguine expressão: σ = T _ ( λ). λ. r r (0) = O parâmero λ (0<λ<) é o faor de decaimeno e deermina os pesos relaivos aplicados às observações dos reornos e a efeiva quanidade de dados usada na esimaiva da volailidade, assim, quano menor λ, maior o peso nos dados mais recenes. O manual do RiskMerics TM recomenda o uso de λ=0,94. Uma facilidade do esimador com ponderação exponencial é que ele pode ser apresenado de forma recursiva, assumindo que uma série infinia de dados esá disponível e que a média dos reornos é zero: σ ( λ) r, = λ. σ +.,, + () O subscrio + é inerpreado como a previsão em +, a parir das informações disponíveis aé o empo. O fao de que a esimaiva da variância do período depende da variância do período anerior é consisene com a afirmação de que exise auocorrelação nos quadrados dos reornos. O modelo EWMA é usado ambém para as esimaivas de covariâncias e correlações, da mesma forma que as previsões de volailidade: T j σ = ( λ). λ. r r. r r () j= σ De forma análoga, a forma recursiva para a expressão acima é dada por: ( ). r r = λ. σ + λ.,, + (3) A esimaiva da correlação é obida pela seguine expressão: σ, + ρ = (4), + σ. σ, +, +.3- O modelo GARCH 4
Os modelos economéricos radicionais levavam em consideração que a variância do ermo disúrbio era consane (Enders, 995). Uma classe de processos esocásicos denominada de Auoregressive Condiional Heeroskedasic (ARCH) foi inroduzida por Engle (). Com o objeivo de generalizar os processos ARCH, Bollerslev (6) apresenou o modelo GARCH Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasic. Modelos do ipo GARCH permiem capurar movimenos persisenes na volailidade dos aivos, sem er de esimar uma grande número de parâmeros (Barcinski e al., 9). Um processo GARCH(p,q) é dado por: ε = y x ' b (5). q p = + + 0 α i. ε i β i. i= i= ~ N ( 0, h ) h α h (6) i ε (7) α > ; α 0 e β 0 (8) 0 0 i i onde, ε é o ermo aleaório no empo, enquano que h é a variância condicional. O processo GARCH permie a inclusão de componenes auoregressivos e de média móvel na variância heerocedásica. O pono chave dos modelos GARCH é que a variância condicional dos disúrbios da seqüência de y consiui um processo ARMA (Enders, 995). Bollerslev (6) apresenou, ainda, a seguine condição para que o processo seja esacionário: α + β (9) < Bollerslev sugeriu que a esimaiva do modelo de regressão GARCH seja feia por máxima verossimilhança, com a seguine função a ser maximizada: L l T ( θ ) T. l ( θ ) T = = ( θ ) = 0,5.log( h ) 0,5. ε. h, Exisem muias exensões dos modelos GARCH, enre elas cia-se o GARCH-M, que em como moivação o fao de que o reorno esperado de um aivo é função do seu risco. Os modelos TARCH e EGARCH baseiam-se no fao de que movimenos de baixa nos reornos provocam choques maiores na volailidade do que movimenos de ala (Sanos, 9). O modelo GARCH(,) é ciado por Carmona (9) e ambém por Farias Filho (9), como a versão mais simples e mais usada dessa família. Vale desacar, que o modelo EWMA descrio no RiskMerics TM é equivalene a um processo GARCH inegrado (IGARCH), sem o ermo consane, ou seja, com α =-β e α 0 =0. 3- Avaliação dos modelos A comparação de modelos de gerenciameno de riscos não é uma arefa simples, pois ela depende de faores como: os aivos que esão sendo uilizados, o período de observação, e o criério de avaliação. Boudoukh e al. (9), invesigaram o desempenho de quaro méodos de gerenciameno de riscos uilizando o erro quadráico médio (MSE) e os coeficienes de regressão das volailidades esimadas com os quadrados dos reornos de íulos do Tesouro americano. Esse esudo conclui que o méodo do RiskMerics TM é superior ao do desvio padrão da série hisórica e ao GARCH(,). (0) 5
Alexander e Leigh (9), compararam os mesmos rês méodos de gerenciameno de riscos usando dados de índices de ações da Alemanha, França, Grã-Breanha, Japão e Esados Unidos, além dos preços de roca das moedas desses países com o dólar. Os criérios de avaliação uilizados por esses auores foram a raiz quadrada da média dos desvios enre as volailidades esimadas e os reornos quadráicos (RMSE), um criério de verossimilhança e o procedimeno do backesing conforme proposo pelo Comiê de Basiléia. Relaivamene aos criérios de RMSE e verossimilhança, em aplicações com horizone de um dia, não foi possível idenificar qual o melhor méodo de gerenciameno de riscos, pois o melhor desempenho era função do aivo selecionado e do criério de avaliação escolhido. No enano, o criério de avaliação do backesing revelou que o méodo GARCH(,) apresenou melhor desempenho na maioria dos casos. Farias Filho (9), usando o criério RMSE comparou o desempenho do RiskMerics TM com o GARCH(,) usando dados do IBOVESPA de 9, resulando em uma melhor avaliação para o primeiro modelo. Sanos (9), analisando o comporameno do mercado fuuro do IBOVESPA, no período de agoso de 995 a janeiro de 9, comparou o modelo ingênuo (desvio padrão), com os modelos do RiskMerics TM e GARCH(,) usando o criério RMSE e ouras formas equivalenes, concluindo que o modelo GARCH apresenou melhor desempenho. No enano, ao subdividir o período em dois inervalos de empo menores, Sanos idenificou que para o primeiro inervalo o modelo GARCH apresenou melhor desempenho, enquano que no segundo inervalo os diversos criérios uilizados não permiiram afirmar qual o melhor méodo. 3.- O Backesing Bancos adoam freqüenemene modelos de gerenciameno de riscos de mercado como, por exemplo, as écnicas discuidas aneriormene. Exise, no enano, um grande desafio para os bancos cenrais, e ambém para as insiuições financeiras, em avaliar os modelos de gerenciameno para qualificá-los como adequados ou não. A princípio, o objeivo da auoridade de supervisão não seria esabelecer um modelo de gerenciameno de riscos para as insiuições financeiras, o que poderia desesimular a busca por novos modelos mais refinados. Nesse senido, o Comiê de Basiléia sugeriu, em 9, o uso de uma esraégia que passou a ser conhecida como modelo inerno de conrole para por em prova os modelos uilizados pelos bancos, permiindo apenas avaliar se o modelo usado é adequado ou não, sem er que enrar em dealhes sobre a escolha, consrução e deerminação dos parâmeros do mesmo. Essa esraégia apoiou-se no procedimeno de backesing. O backesing consise em comparar diariamene os resulados obidos pela careira da insiuição (lucro ou prejuízo) com as medidas de risco (VaR) realizadas pelo modelo de gerenciameno (Comiê de Basiléia, 9). A esimaiva de perda feia pelo cálculo do VaR deve ser superior ao evenual prejuízo que venha a ocorrer no dia em análise, caso conrário, o modelo esará prevendo uma perda inferior àquela ocorrida, o que poderá ocasionar problemas para a insiuição. No enano, espera-se que uma fração de resulados não saisfaça esse criério, endo em visa o inervalo de confiança adoado no cálculo do VaR (99% conforme esabelecido pelo Comiê de Basiléia). O Comiê de Basiléia sugere que as insiuições financeiras sejam obrigadas a maner uma deerminada quanidade de capial mínimo para cobrir seus riscos de invesimeno. Dessa forma, Os ouros criérios uilizados por Sanos (9) foram o erro absoluo médio, erro quadráico percenual médio e erro absoluo percenual médio. 6
o resulado da avaliação do modelo de gerenciameno de risco de mercado é uilizado no cálculo desse requisio mínimo de capial da insiuição. Esse cálculo é feio em função de um faor muliplicador sobre o VaR 3. O Comiê de Basiléia recomenda que quano pior o poder de previsão do modelo de gerenciameno de risco de mercado, ou seja, maior o número de vezes que o risco calculado for menor que a perda efeiva, maior seja o faor muliplicador sobre o VaR, o que redunda em maior requisio mínimo de capial. O faor de muliplicação é disribuído em rês zonas: verde, amarela e vermelha, de acordo com a abela. No exremo, a auoridade de supervisão bancária poderia aé mesmo desaconselhar o uso de deerminado modelo de gerenciameno de risco, caso os resulados do backesing sejam não saisfaórios. Para o cálculo do requisio de capial uiliza-se o VaR para um holding period de 0 dias, o que significa que o VaR diário é muliplicado pela raiz quadrada de 0. Além disso, o requisio de capial é o maior valor enre os seguines números: o VaR do dia anerior ou a média do VaR dos úlimos sessena dias muliplicada pelo faor. Esse faor pode ser acrescido de uma quanidade que é função da avaliação feia pelo backesing, de acordo com a seguine abela: Tabela Avaliação do modelo de gerenciameno de risco de acordo com o backesing Zona Número de exceções em 50 Acréscimo no faor de observações muliplicação Verde 0 a 4 0 Amarela 5 6 7 8 9 Vermelha 0 ou mais 0,4 0,5 0,65 0,75 0,85 O Comiê de Basiléia reconhece que o backesing possui algumas limiações, denre elas o fao de que a careira do banco não se maném esáica de um dia para o ouro, havendo variações de posição (compra e venda de aivos) ao longo de um mesmo dia. Assim, o resulado da careira, lucro ou prejuízo, no dia seguine não pode ser associado exclusivamene às variações de preços dos aivos da careira avaliada pelo modelo no dia anerior, o que conaminaria esaisicamene o resulado, já que os modelos de gerenciameno de riscos de mercado consideram a careira esáica (sem mudança na sua composição). Embora essa limiação seja reconhecida pelo Comiê de Basiléia como uma resrição ao uso do backesing, acredia-se que ao se rabalhar com um horizone fuuro de empo de apenas um dia, esse problema seja minimizado. Dessa forma, o Comiê sugere a uilização de duas alernaivas no cálculo das perdas, faculando a auoridade de supervisão a escolha da mais adequada: a) as perdas são calculadas imaginando uma careira hipoéica, onde sua composição é manida consane do início ao fim do dia (podendo variar de um dia para ouro); b) as perdas são calculadas a parir da diferença no valor da careira enre o fim e o início do dia, o que leva em consideração a compra e venda de aivos. 3 O faor recomendado é igual a 3 7
A primeira alernaiva apresena maior rigor esaísico, enquano que a segunda permie que seja avaliada a esraégia de negócios da insiuição. Relaivamene à freqüência de aplicação do backesing, o desejo de uilizar o maior número de observações possível deve ser balanceado com a necessidade de esabelecer bases de regulação e fiscalização. O Comiê de Basiléia recomenda que o ese seja aplicado rimesralmene usando os dados observados dos úlimos meses. Além disso, o Comiê recomenda ambém que os modelos de gerenciameno de riscos uilizem um período mínimo de um ano de dados hisóricos para o cálculo do VaR. 3.- Funções Objeivo para a avaliação dos modelos Assumindo-se a normalidade condicional e média igual a zero para os reornos, a esimaiva da variância é equivalene à esimaiva da função densidade de probabilidade dos reornos, e a avaliação da esimaiva pode ser feia comparando como a disribuição esimada represena os dados reais. Isso é exaamene o que os méodos de verossimilhança fazem. Assumindo que a disribuição dos reornos é normal e em média igual a zero, a função logarímica de verossimilhança, excluído o ermo consane, é dada por: LF = N [( r / σ ) + ln( σ )] = Na avaliação de cada modelo de gerenciameno de risco, pode ser compuada a quanidade da equação (), para cada aivo, e o valor médio 4 para a careira pode ser calculado. Quano menor o valor de LF, melhor a avaliação da previsão. Oura alernaiva de avaliação para os modelos é baseada em uma função definida pela raiz quadrada dos erros quadráicos médios (RMSE): RMSE = N ( / N ). ( = ) () σ () r Novamene, quano menor RMSE, melhor a previsão. Essa alernaiva é ineressane, endo em visa o fao de que LF assume normalidade condicional, embora essa consideração possa ser violada (Alexander e Leigh, 9). Exise um problema no uso de funções como RMSE e LF na avaliação de modelos de gerenciameno de riscos. Esses criérios avaliam a capacidade do modelo em esimar a curva de disribuição dos reornos. No enano, a grande preocupação com o risco é a capacidade de prever exceções, já que o Value a Risk procura capar os piores cenários. Assim, as caudas da disribuição de probabilidades são mais imporanes do pono de visa de risco. 4- A Careira uilizada para os eses Com o objeivo de aplicar o procedimeno de backesing em uma careira que seguisse uma lógica real de operação do mercado na variação de sua composição, foram uilizados os valores das coas de um fundo de ações de um banco do sisema financeiro nacional, simulando uma careira hipoéica que reproduzisse da melhor forma o reorno desse fundo. A careira uilizada para os eses é formada pelo índice IBOVESPA, por ações PETROBRÁS PN, TELESP 4 Embora mais coerene pudesse ser uma média ponderada na composição dos aivos, opou-se nesse rabalho pela média simples, para verificar a capacidade de previsão conjuna das volailidades pelo modelo. 8
PN e por Cerificados de Depósio Inerbancários (CDI). A composição dessa careira foi variada em inervalo regular de empo (5 dias), escolhido arbirariamene. O fundo da insiuição bancária é composo de no mínimo 5% do volume aplicado em ações, sendo que parcela dos recursos pode ser aplicada em renda fixa, desde que não ulrapasse o limie de 49% do volume aplicado. Dessa forma, com os valores das coas do fundo, foram realizadas regressões com os dados do IBOVESPA (de julho de 994 a dezembro de 9). O coeficiene esimado pelo modelo de regressão foi assumido como a composição hipoéica do fundo em IBOVESPA, com resrição de variação enre 0. e : RENT = C. RENT () fundo IBOVESPA IBOVESPA Isso significa que o fundo hipoéico foi composo de uma careira com um percenual do invesimeno em IBOVESPA variando enre 0% e 00% (sendo que essa composição foi alerada de 5 em 5 dias). Para deerminar a parcela invesida em ações da PETROBRÁS, TELESP e em CDI, foram feias regressões com os dados de renabilidades do fundo (RENT fundo ) e de várias careiras hipoéicas (RENT carhipo ), ver equação (), criadas variando a composição remanescene (00% menos a composição em IBOVESPA), de al forma que se obivesse um balanço enre o coeficiene de correlação da regressão (R muli ) e o parâmero esimado da regressão (X). O objeivo seria chegar a valores de R muli e de X o mais próximo possível de um: RENT = () fundo X. RENT car. hipo. Como resulado das regressões da equação (), a lógica da composição da careira foi definida da seguine forma: C IBOVESPA é obida do resulado da regressão, de 5 em 5 dias, da equação (). A composição em ações PETROBRÁS é dada por: C PETROBRÁS =(-C IBOVESPA ).0,; enquano que a composição em ações TELESP: C TELESP =(-C IBOVESPA ).0,; e, finalmene, a composição em renda fixa: C CDI =(-C IBOVESPA ).0,6 = -C IBOVESPA -C PETROBRÁS -C TELESP. A regressão dos reornos do fundo com os reornos da careira hipoéica acima apresenaram R muli =0,747, X=0,7049 e esaísica =36,8. É imporane desacar que a regressão dos dados do fundo de ações com o IBOVESPA, para o período de julho de 994 a dezembro de 9, resulou em um R muli =0,7049, X=0,486 e =33,. A composição da careira hipoéica segundo os parâmeros apresenados garane que não haja menos de 56% do monane invesido aplicado em ações ou no índice. 5- Os resulados A careira hipoéica, criada conforme a descrição acima, foi uilizada para os cálculos diários do VaR, com os dados dos reornos do IBOVESPA, das ações PETROBRÁS PN, TELESP PN e do CDI, no período de julho de 994 a dezembro de 9. Os cálculos do VaR foram feios omando como base os parâmeros esabelecidos pelo Comiê de Basiléia para o backesing, conforme seção 3.. O CDI foi raado como um aivo sem risco. O backesing foi aplicado com uma freqüência rimesral, o que resulou em simulações no período, sendo que os dados de julho de 994 a junho de 995 foram uilizados para os cálculos dos parâmeros dos modelos relaivos à primeira simulação (julho de 995 a junho de 9). Os resulados são apresenados nas abelas 3 a 6 e nas figuras a 3, que se seguem, sendo que as abreviauras DP, RM e GH correspondem aos méodos com o desvio padrão médio, RiskMerics TM e GARCH, respecivamene. Nas abelas 3 e 4 são apresenados os percenuais de 9
erro, onde o erro é considerado como o número de vezes em que o VaR é menor em valor absoluo do que a perda ocorrida. A posição vendida corresponde à curva relaiva aos valores posiivos dos reornos (reorno posiivo significa prejuízo para quem deém posição vendida, pois indica aumeno de preços), enquano que a posição comprada corresponde à curva relaiva aos valores negaivos dos reornos. As avaliações correspondem ao período de um ano anes das daas apresenadas nas abelas. Tabela 3 Backesing posição vendida (Erro %) Daa da avaliação Modelo Ou Ou Ou 99 DP,,6,0 3,4 4,44 6,48 8,43 6,77 5, 4,84 4,5 RM,04,6,6,0,8 3,4,4,99,0 0,8 0,8 GH 0,00 0,00 0,00 0,40,0,83 4,8 3,59,4 3,63 0,8 Melhor Desemp. GH GH GH GH GH GH RM RM RM RM RM/ GH Tabela 4 Backesing posição comprada (Erro %) Daa da avaliação Modelo Ou Ou Ou 99 DP 0,00 0,8,,43 3,3 6,88 9,3 8,37 8,83 6,45 4,9 RM, 0,40, 0,8,,,6,59,0 3,63 3,8 GH 0,00 0,00 0,00 0,00 0,40,0 4,4 4,38 4,4 3,63 3,8 Melhor Desemp. GH GH GH GH GH RM RM RM RM RM/ GH RM/ GH A análise das abelas 3 e 4 revela claramene a desvanagem do méodo baseado no desvio padrão dos reornos com pesos disribuídos igualmene, o que era de se esperar, pois a exisência de um reorno incomum conamina o cálculo, persisindo durane o período de um ano (50 dias considerados), além disso odas as informações passadas em o mesmo peso no cálculo da volailidade. Os méodos do RiskMerics TM e do GARCH, por apresenarem pesos diferenciados às informações passadas oferecem um clara vanagem sobre a esimaiva da volailidade pelo simples cálculo do desvio padrão. Essas duas abelas indicam que aé a avaliação de julho de 9, o GARCH apresenou um desempenho superior relaivamene ao RiskMerics TM, sendo que essa endência foi praicamene inverida no período seguine, à exceção apenas das úlimas avaliações. De acordo com a abela, um número de 0 erros em 50 observações (4%) leva à classificação do modelo na zona vermelha, o que sugere problemas com o mesmo. O modelo baseado no desvio padrão enconra-se nessa zona na maior pare dos períodos invesigados (abelas 3 e 4). O modelo do RiskMerics TM em momeno algum caiu na zona vermelha, enquano 0
que o modelo GARCH a aingiu rês vezes nas avaliações de 9 (posição comprada), que abrangeram o período correspondene à crise asiáica, no quaro rimesre de 9. A observação das abelas 5 e 6, no enano, indica o conrário, revelando que o GARCH foi o melhor modelo nesse período. A análise das abelas 5 e 6, não demonsra uma níida separação de períodos com desempenho superior para qualquer um dos méodos, inclusive, não permie que o méodo dos desvios padrão possa ser avaliado como endo um desempenho ão ruim, como o foi pelo criério do backesing. Esses resulados esão de acordo com o reporado na lieraura discuida no iem 3 dese rabalho. Vale desacar que a função de verossimilhança e o RMSE calculados de acordo com a equações () e () são médias dos valores obidos para cada um dos aivos com risco. Percebe-se que diferenes criérios de avaliação podem levar a diferenes resulados na análise do desempenho de um méodo de gerenciameno de riscos. O fao de que as avaliações com as funções objeivos não permiiram uma níida diferenciação de desempenho de modelos mais sofisicados como o RiskMerics TM e o GARCH, do modelo baseado apenas nos desvios padrões, é um indicaivo de que exise algum problema com esses dois criérios. Como eles procuram avaliar o desempenho ao longo de oda a curva de disribuição de resulados, ao conrário de avaliar os ponos críicos sob o enfoque do risco (caudas da disribuição), ficam impedidos de capar as fraquezas do modelo. Além disso, as funções objeivo calculam o desempenho considerando as variâncias de cada aivo e não levam em consideração as covariâncias enre eles. Tabela 5 Avaliação pela função de verossimilhança * Daa da avaliação Modelo Ou Ou Ou 99 DP 3, 3,6 3,77,34 3,5 3,3 3, 3,4,99,4,35 RM, 3,5 3,7,4 3,38 3,,88 3,46,99,6,35 GH 3,30 3,3 3,80,4 3,44 3,35 3,6 3,77 3,47,30,3 Melhor Desemp. GH DP GH RM/ GH DP GH GH GH GH DP DP/ RM * Valores muliplicados por. Tabela 6 Avaliação pelo RMSE * Daa da avaliação Modelo Ou Ou Ou 99 DP, 0,4,, 0,6, 3,3 3,9 5,4,7,4 RM,3 0,7,4,,3,0 6,3,5 5,8 0,,8 GH 0,9,8,,,0,,9,, 3,9,3
Melhor Desemp. GH DP GH GH DP DP/ GH GH GH GH DP DP * Valores muliplicados por x0-5 As figuras a 3 apresenam as curvas de previsão do VaR (comprada e vendida) para o período de julho de 995 a dezembro de 9. A figura deixa evidene a falha do modelo do desvio padrão no cálculo do VaR, com vários ponos fora dos limies de risco de perda. O número de erros para a curva superior correspondeu a 4,30%, enquano para a inferior esse percenual foi de 4,44% (zona vermelha da abela ). Para o RiskMerics TM, figura, os percenuais foram de,86% e,% para as curvas superior e inferior, respecivamene, sendo que o modelo GARCH apresenou,39% e,%. 0. Backesing - Avaliação do período: jul/995 a dez/9 Modelo do Desvio Padrão VaR (Base da Careira=R$ ) 0. 0-0. -0. /07/95 /0/95 /0/ /04/ /07/ /0/ /0/ /04/ /07/ /0/ /0/ /04/ /07/ Figura Avaliação do Backesing para modelo do desvio padrão dias /0/
0. Backesing - Avaliação do período: jul/995 a dez/9 Modelo do RiskMerics VaR (Base da Careira=R$ ) 0. 0-0. -0. /07/95 /0/95 /0/ /04/ /07/ /0/ /0/ /04/ /07/ /0/ /0/ /04/ /07/ Figura Avaliação do Backesing para modelo do RiskMerics TM dias /0/ 0. Backesing - Avaliação do período: jul/995 a dez/9 Modelo GARCH(,) VaR (Base da Careira=R$ ) 0. 0-0. -0. /07/95 /0/95 /0/ /04/ /07/ /0/ /0/ /04/ /07/ /0/ /0/ /04/ /07/ dias /0/ Figura 3 Avaliação do Backesing para modelo GARCH(,) 3
6- Conclusões A avaliação de modelos de gerenciameno de riscos depende do criério de desempenho uilizado. Diferenes criérios levam a diferenes inerpreações dos modelos. Do pono de visa do risco, o ineressane é que os criérios procurem idenificar a ocorrência de falhas nas previsões, imporando para avaliação os ponos onde a previsão de perda foi inferior à efeivamene ocorrida (caudas da disribuição de reornos). Criérios de avaliação que procuram capar o desempenho da previsão ao longo de oda a curva de disribuição dos reornos não necessariamene serão os melhores criérios do pono de visa do risco. Os resulados sugerem que um mesmo modelo de gerenciameno de risco, avaliado por um mesmo criério, pode apresenar desempenho saisfaório em deerminados períodos, enquano que em ouros não. Isso é um grande problema sob o aspeco operacional para os bancos, bem como para a auoridade de supervisão bancária. Para os bancos, é imporane que se esabeleçam roinas consanes de avaliação dos modelos uilizados, sob diferenes criérios, para verificar a acurácia do mesmo. Para a auoridade de supervisão, denro do enfoque do Comiê de Basiléia, é imporane o desenvolvimeno de rabalhos quaniaivos que permiam revisar periodicamene os faores de muliplicação na definição da exigência de capial. Um enfoque que pode ser esudado como alernaiva de avaliação é a definição de funções objeivo que ponderem diferenemene os erros para evenos pouco prováveis (caudas da disribuição de probabilidades). Ao invés de ponderar da mesma forma um erro de previsão pequeno ou grande, como o faz o backesing quando assume o valor se erro e zero se acero, poder-se-ia aribuir pesos maiores a erros de maior magniude. Dessa forma, caso a perda supere o VaR calculado em um valor grande, o peso aribuído à essa observação seria maior que aquele aribuído caso o valor do erro fosse pequeno. Referências Bibliográficas Alexander, C. O., Leigh, C. T.; (9); On he Covariance Marices Used in Value a Risk Models ; The Journal of Derivaives; spring. Bollerslev, T.; (6); Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy ; Journal of Economerics; nº 3; pgs. 307-37. Barcinski, A., Almeida, B., Garcia, M., Silveira, M.; (9); Esimação da Volailidade do Reorno das Ações Brasileiras Um Méodo Alernaivo à Família GARCH ; Resenha da BM&F; nº 6; pgs. -39. Bessada, O. M. (9); Modelos de Gerenciameno de Risco em Insiuições Financeiras ; Anais da 7 ª Semana de Conabilidade do Banco Cenral do Brasil. Boudoukh, J.; Richardson, M.; Whielaw, R. F.; (9); Invesigaion of a Class of Volailiy Esimaors ; The Journal of Derivaives; spring. Carmona, C. U.; (9); Um Esudo do Modelo CAPM com Variâncias não Esacionárias aravés da Meodologia GARCH-M ; Tese de Douorado em Engenharia de Produção; PUC RJ. Comiê de Basiléia (9); Supervisory Framework for he use of Backesing in Conjuncion wih he Inernal Models Approach o Marke Risk Capial Requiremens. 4
Enders, W.; (995); Applied Economeric Time Series ; John Wiley. Engle, R. F.; (); Auoregressive Condiional Heeroscdasiciy wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Inflaion ; Economerica; Vol. 50; Nº 4; pgs. 7-007. Farias Filho, A. C.; (9); Avaliação do Value a Risk do Índice Bovespa Usando os Modelos GARCH, TARCH e RiskMerics TM para se Esimar a Volailidade ; Disseração de Mesrado em Adminisração; Fundação Geúlio Vargas SP. Jorion, P. (9); Value a Risk: The New Benchmark for Conrolling Marke Risk ; ediora McGraw-Hill. Manual do RiskMerics TM ; (9); hp://www.jpmorgan.com/riskmanagemen. Sanos, J. E.; (9); Previsão de Volaiidade no Brasil: RiskMerics TM, GARCH, Volailidade Implícia ou uma Combinação desses Modelos? Um Esudo Empírico ; Tese de Douorado em Adminisração; Fundação Geúlio Vargas SP. 5