Governo do Estado do Rio Grande do Norte Secretaria de Estado da Educação e da Cultura - SEEC UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE - UERN Pró-Reitoria de Ensino de Graduação PROEG Hoe Page: http://www.uern.br E-ail: proeg@uern.br UNIDADE: Capus Avançado de Natal Unidade II 3. Ondas ecânicas e Professor Dr. Edal Oliveira de Aleida
3. Ondas Transversais e Longitudinais Observando u eleento da corda enquanto oscila para cia e para baixo por causa da passage da corda. Constataos que o deslocaento dos eleentos da corda é sepre perpendicular à direção de propagação da corda, coo ostrado na Fig. 0. Este oviento é chaado de transversal, e dizeos que a onda que se propaga e ua corda é ua onda transversal. Fig. 0 Ua onda senoidal é produzida na corda Fig. 0 Ua onda sonora é produzido e u tubo cheio de ar Coo o oviento das oléculas de ar na Fig. 0 é paralelo à direção de propagação da onda, este oviento é chaado de longitudinal, e dizeos que a onda que se propaga no ar é ua onda longitudinal. Tanto as ondas transversais coo as ondas longitudinais são chaadas de ondas progressivas quando se propaga de u lugar a outro, coo no caso das ondas na corda Fig. 0 e no tubo Fig. 0. Observe que é a onda que se propaga, e não o eio aterial (corda ou ar) no qual a onda se ove.
3. Copriento de Onda e Frequência Iagine ua onda senoidal coo da Fig. 0 se propagando no sentido positivo de u eixo x. Quando a onda passa por eleentos sucessivos da corda os eleentos oscila paralelaente ao eixo. E u certo instante t o deslocaento do eleento da corda situado na posição x, coo está ostrada na equação Eq. 0 Aplitude e Fase x t senkx wt, Eq. 0 A aplitude de ua onda coo na Fig. 03 é o odulo do deslocaento áxio dos eleentos a partir da posição de equilíbrio quando a onda passa por eles. (O índice significa áxio) A Fase da onda é o arguento kx wt do seno da Eq. 0. Quando a onda passa por u eleento da corda e ua certa posição x a fase varia linearente co o tepo t. Copriento de onda e Núero de onda O copriento de onda λ de ua onda é a distância entre repetições da fora de onda. U copriento de onda típico está indicado na Fig. 03, que é u instantâneo da onda e t = 0. Nesse instante a Eq. 0 fornece, coo descrição da fora da onda,
Fig. 03 Ua onda e ua corda se propagando no sentido positivo de u eixo x. Podeos definir o núero de onda angular ( ou só nuero de onda) k k (Núero de onda angular) Eq. (0) Chaaos de k de núero de onda angular da onda e sua unidade no SI é radianos por etro. Coo o núero de onda pode ser definido coo /λ A frequência angular tabé pode ser definida por k (Núero de onda) Eq. (03) T (freqüência angular) Eq. (04)
segundo Chaaos de ω a freqüência angular da onda. Sua unidade no SI é o radianos por A freqüência da onda, sibolizada por f, é definida siplesente coo /T e está relacionada a ω por (freqüência) Eq. (05) f T A freqüência f é o núero de vibração por unidade de tepo executado pela onda ao passar por deterinado ponto hertz = Hz = vibração/s Constante de Fase Quando ua onda progressiva senoidal é expressa pela função de onda da Eq. 0, a onda nas proxiidades de x = 0 se parece co a Fig. 04 Para t = 0. Note que, e x = 0 o deslocaento é = 0 e a inclinação te o valor áxio positivo. Podeos generalizar a Eq. 0 introduzindo ua constante de fase φ na função de onda: sen kx wt Eq. (06) Fig. 04 Ua onda progressiva senoidal no instante t = 0 co ua constante de fase φ = 0
3.3 A Velocidade de ua Onda Progressiva A Fig. 05 ostra dois instantes da onda da Eq. 0, separados por u pequeno intervalo de tepo Δt. A onda está se propagando no sentido positivo de x (para direita), co toda fora de onda se deslocando de ua distância Δx nessa direção durante o intervalo Δt. A razão Δx/Δt (ou no liite diferencial, dx/dt) é a velocidade v da onda. Se o ponto A conserva seu deslocaento quando se ove a fase da Eq. 0, que deterina esse deslocaento, deve peranecer constante: Fig. 05 Dois instantâneos da onda nos instantes t = 0 e t = Δt
A Eq. 0 descreve ua onda que se propaga no sentido positivo de x. Podendo obter a equação de ua onda que se propaga no sentido oposto, substituindo t na Eq. 0 por t. Isso corresponda à condição; kx wt constante, Eq. 07 obtendo: Para deterinar a velocidade v da onda derivaos a Eq. 07 e relação ao tepo, dx k w dt dx w v. dt k 0 Eq. 08 Usando a Eq. 0 (k = π/λ) e a Eq. 04 (w = π/t) podeos escrever a velocidade da onda na fora: v w k f T Velocidade da onda. Eq. 09
Que (copare co a Eq. 07) requer que x diinua co o tepo. Assi, ua onda que se propaga no sentido negativo de x é descrito pela equação ( x, t) ( x, t) sen( kx sen( kx wt) wt) (x decrescendo) (x crescendo) Eq. 0 O sinal negativo (copare co a Eq. 0) confira que a onda está se propagando no sentido negativo de x e justifica a troca do sinal da variável tepo. Considereos agora ua onda de fora generalizada dada por ( x, t) sen( kx wt) Eq. A analise acia ostra que todas as ondas nas quais as variáveis x e t entra na cobinação kx ± wt serão ondas progressivas.
Exeplo 0: Ua onda que se propaga e ua corda é descrita pela equação t x, 0,0037sen7,x,7t, Onde as constantes nuéricas estão e unidades do SI (0,0037 ; 7, rad/ e,7 rad/s). (a) Qual é a aplitude da onda? (b) Quais são o copriento de onda, o período e a frequência da onda? (c) Qual é a velocidade da onda? (d) Qual é o deslocaento para x =,5 c e t = 8,9 s?
Solução do problea (a) Qual é a aplitude da onda? x, t 0,0037sen7,x,7t x, t senkx wt 0,0037 3,7 (b) Quais são o copriento de onda, o período e a frequência da onda? Coo k = 7, rad/ e w =,7 rad/s T f k w T rad 7,rad / rad,7rad / s,3s,3s 0,433Hz 0,087 8,7c
(c) Qual é a velocidade da onda? ν w k,7rad / s 7,rad / 0,0377 / s 3,77c / s (d) Qual é o deslocaento para x =,5 c e t = 8,9 s? x, t 0,0037sen7,x,7t rad x, t 0,0037sen 7, 0,5,7 8,9s x, t 0,0037sen6,rad 5,4rad x, t 0,0037sen 35,rad x, t 0,00370,588 x, t 0,009 x, t,9 rad s
Exeplo 0: Ua onda que se propaga e ua corda é descrita pela equação x, t senkx wt Onde as constantes nuéricas estão e unidades do SI ( = 0,0037 ; k = 7, rad/ e w =,7 rad/s). (a) Qual é a velocidade transversal u do eleento da corda no instante t = 8,9 s (b) Qual é a aceleração transversal a do eso eleento nesse instante? Solução do problea (a) Qual é a velocidade transversal u do eleento da corda no instante t = 8,9 s u t u u u u w,7rad / s3,7cos 7, 0,5,7 8,9s 8,8944 / scos6,rad 5,4rad 8,8944 / scos 35,rad 8,8944 / s 0,80 u 7,0 / s cos kx wt rad rad s
(b) Qual é a aceleração transversal a do eso eleento nesse instante? a a a a a a u t w w senkx wt x, t senkx wt x, t,9 w,9,7rad / s,9 7,3984rad / s,9 4, / s sen kx wt O sinal negativo quer dizer que a aceleração te ódulo 4, /s no sentido negativo de
3.4 Velocidade de Onda e ua Corda Esticada Considerando u pequeno segento de pulso da Fig. 06, de copriento Δl, que fora u arco de circunferência de raio R. Ua força de ódulo igual ao da tração tal puxa tangencialente cada extreidade deste seguiento Fig. 06 U pulso siétrico, visto a partir de u referencial no qual o pulso está estacionário e a corda parece se over da direita para a esquerda co velocidade v.
F τsenθ τ(θ) Aplicando a segunda lei de Newton que diz força é igual a assa vez aceleração τl R τl τ μv μlv μl v R l τ R Usaos aqui a aproxiação senθ ~ θ para pequenos ângulos e notaos que θ = Δl/R. A assa do seguiento é dado por μl µ é a densidade linear Assi, há ua aceleração centrípeta e direção ao centro do círculo expresso por Resolvendo esta equação para a velocidade escalar v, teos a v R v τ μ (velocidade) Eq.
Exeplo - 03: U alpinista, cuja assa é de 86 kg, desce ua corda, coo na figura abaixo. O guia deseja andar u sinal para ele dando u brusco toque na extreidade da corda. Quanto tepo levará para o sinal se deslocar 3 corda abaixo? A densidade linear µ da corda é de 74 g/ Dados: = 86kg l = 3 Densidade da corda µ = 74 g/ = 0,074 kg/ Solução do problea A velocidade escalar do pulso ao se deslocar pela corda é g (86kg)(9,8 / s ) v 07 / s 0,074kg / Note que, desprezando o peso da corda, toaos a tração na corda constante ao longo de seu copriento é igual ao peso do alpinista. t l 3 0, s v 07 / s 30
3.5 Energia e Potência de ua Onda Progressiva e ua Corda A energia cinética dk associada a u eleento da corda de assa d é dada por dk du Eq. 3 Fig. 07 No eleento () da corda, na posição =, a energia cinética e a energia potencial arazenadas são igualente nulas. No eleento (), na posição = 0, essas energia arazenadas tê seus valores áxios. A energia cinética depende do quanto o eleento da corda é esticada, à edida que a onda passa por ele.
Onde u é a velocidade escalar transversal do eleento oscilante da corda, dada pela Eq. 0 coo sen( kx wt) ( x, t) u t u sen( kx wt) t u 0. sen( kx wt) u wcos( kx wt).(0 w)cos( kx wt) Usando essa relação e substituindo d = μdx, reescreveos a Eq. 3 coo dk dk dk dk dt dk dt du dx dt dx w cos( kx wt) dx w w cos v w cos ( kx wt) cos ( kx wt) ( kx wt) Eq. 4
A taxa édia na qual a energia cinética é transportada é dk dt dk dt dk dt vw vw vw 4 cos kx wt Eq. 5 Na Eq. 4, obteos a édia sobre u núero inteiro de coprientos de onda e usaos o fato de que o valor édio do quadrado da função cosseno toado sobre u núero inteiro de copriento de onda é ½. P vw (potência édia) Eq. 6 Nesta equação os fatores μ e v depende do aterial e da tensão da corda. Os fatores w e depende do processo que gera a onda. O fato da potência édia transitida pela onda variar co o quadrado de sua aplitude e tabé co o quadrado de sua freqüência angular é u resultado geral. Verdadeiro para todos os tipos de onda.
Exeplo - 04: Ua corda te ua assa especifica µ = 55 g/ e está esticada co ua tensão τ = 45 N. Ua onda cuja freqüência f e aplitude são 0 Hz e 8,5, respectivaente, se propaga ao longo da corda. Qual a taxa édia de transporte de energia ao longo da corda P v w P P vw T f 00w.0,55kg 45N 0,55kg /.0Hz 754rad /.9,5 / 9,5 / s s. / s 754rad / s. 0,0085
3.6 O Principio da Superposição de Ondas Suponha que duas ondas se desloque siultaneaente ao longo da esa corda esticada. Seja (x,t) e (x,t) os deslocaento que a corda sofre se cada onda se propagasse sozinho. O deslocaento da corda quando as ondas se propaga ao eso tepo é então a soa algébrica ( x, t) ( x, t) ( x, t) Eq. 7 A Fig. 08 ostra ua sequência de instantâneos de dois pulso que se propaga e sentido oposto na esa corda esticada. Quando os pulso se superpõe o pulso resultante é a soa dos dois pulsos. Alé disso, cada pulso passa pelo outro coo se ele não existisse: Fig. 08 Ua série de instantâneos que ostra dois pulsos se propagando e sentidos opostos e ua corda esticada.
3.7 Interferência de Ondas O fenôeno de cobinação de ondas recebe o noe de interferência, e dizeos que as ondas interfere entre si. (O tero se refere apenas aos deslocaentos; a propagação das ondas não é afetada.) Suponha que ua das ondas que se propaga e ua corda, é dada por: senkx wt x, t E que ua outra, deslocada e relação à prieira, é dada por: Eq. 8 senkx wt x,t Eq. 9 Estas ondas tê a esa freqüência angular w, o eso núero de onda angular k e a esa aplitude. Elas propaga-se no eso sentido, x crescente, co a esa velocidade escalar difere apenas por u ângulo constante Φ chaado ângulo de fase. Segundo o princípio de superposição, a onda resultante é a soa algébrica das ondas e te u deslocaento, é dada por: ( x, t) ( x, t) ( x, t) sen( kx ( x, t) wt) sen( kx wt ). Eq. 0
Podeos escrever a soa dos senos de dois ângulos coo: senα senβ sen ( α β)cos ( α β) Eq. Aplicando esta relação na Eq. 9 obteos ' ( x, t) cos senkx wt Eq. A onda resultante difere das ondas individuais e dois aspectos; () a constante de fase é φ/, e () a aplitude é o ódulo do fator entre colchetes na Eq. ' cos Eq. 3 Se φ = 0 rad (ou 0 0 ), as duas ondas estão exataente e fase, coo na Fig. 09. Nesse caso, a Eq. se reduz a ' ( x, t) sen( kx wt) ( 0) Eq. 4 A onda resultante está plotada na Fig. 09. Observe, tanto na figura coo na Eq. 4, que a aplitude da onda resultante é duas vezes aior que a aplitude das ondas individuais.
cos cos cos ) ( cos ) ( cos ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( wt kx sen wt kx sen sen sen sen wt kx wt kx sen sen sen b a b a sen senb sena wt kx sen wt kx sen t x t x t x t x t x φ β α wt kx φ wt kx β α φ wt kx β α wt kx φ wt kx β α Passage da Eq. para a Eq. 4
Fig. 09 Duas ondas senoidais iguais, (x,t) e (x,t), se propaga e ua corda no sentido positivo de u eixo x. elas interfere para produzir ua onda resultante (x,t), que é a onda observada na corda. A diferença de fase φ entre as duas ondas é (a) 0 rad ou 0 0, (b) π rad ou 80 0 e (c) π/3 rad ou 0 0. As ondas resultantes correspondentes são ostradas e (d), (c) e (f). A tabela 0 ostra outros exeplos de diferenças de fase e as interferência que produze.
Tabela 0 Diferença de Fase e Tipos de Interferência ¹ Diferença de Fase e Graus Radianos Copriento de Onda Aplitude da Onda Tipo de Interferência 0 0 0 Totalente construtiva 0 ½ π 0,33 Interediária 80 π 0,50 0 Totalente destrutiva 40 4/3 π 0,67 Interediária 360 π,00 Totalente construtiva 865 5,,40 0,60 Interediária ¹ A diferença de fase é entre duas ondas de esa frequência e esa aplitude que se propaga no eso sentido.
Há certos valores de x para os quais a aplitude é zero, a saber, aqueles valores de x para os quais kx assue os valores 0, π,π, e 3π e assi por diante. Relebrando k = π/λ, podeos escrever esta condição coo x n λ, n = 0,,, 3,...(nodos) Eq. 5 Há tabé valores de x para os quais a aplitude te valor áxio, isto é,. Isto ocorre quando kx = π/, 3π/, 5 π/ e assi por diante. Lebrando novaente que k = π/λ, podeos escrever esta condição coo x n λ, n = 0,,, 3...(antinodo) Eq. 6 Este são os antinodos da figura (c). Os antinodos estão separados por eio copriento de onda e estão localizados no ponto édio entre dois nodos adjacentes.
Exeplo - 05: Duas ondas senoidais iguais, propagando-se no eso sentido e ua corda, interfere entre si. A aplitude das ondas é 9,8 e a diferença de fase φ entre eles é 00 o. (a) Qual é a aplitude da onda resultante e qual o tipo de interferência? (b) Que diferença de fase, e radianos e e coprientos de onda, faz co que a aplitude da onda resultante seja 4,9? Solução do problea: (a) Da Eq. 6 teos para a aplitude ' ' ' cos (9,8)(cos00 3 o / ) Podeos dizer que a interferência é interediária de duas foras. A diferença de fase está entre 0 e 80 º e, portanto, a aplitude está entre 0 e (=9,6 )
(b) Da Eq. 6 teos a condição ' 4,9 cos ()(9,8)cos 4,9 cos ()(9,8),6rad rad rad / copriento de onda / copriento de onda,636rad rad / copriento de onda 0,4copriento de onda
3.8 Ondas Estacionárias e Ressonância Considere ua corda de copriento l, presa nas duas extreidades. Coo as extreidades não pode se over, u nodo do padrão de onda estacionário deve existir e cada extreidade da corda. O copriento l deve ser, então, u últiplo inteiro de eios coprientos de onda, ou l = n(/)λ
Os coprientos de onda peritidos são, então: l λ, n =,, 3,... Eq. 7 n As freqüências peritidas segue-se a partir da equações (6) e (09) (v = fλ) velocidade = freqüência vez o copriento de onda f v nv, n =,, 3,... Eq. 8 l Soente se a corda esticada for sacudida nua das freqüência dadas pela equação (7), u padrão de onda estacionária se desenvolverá
Exeplo: Na disposição da figura abaixo, a freqüência f do vibrador é de 0 Hz, o copriento l da corda é de, e a densidade linear da corda é de,6 g/. Qual é a tração necessária na corda para que ela vibre nu odo de oscilação que apresenta u único ventre v v v v f l f n lf n lf n 4l f n 4l f n lf n Dados f = 0 Hz l =, µ =,6 g/ 0,006 kg/ Tal =? n = (4)(, ) (0Hz) (0,006kg / ) τ 5,76 4400Hz 0,00006kg / τ kg τ 33 s kg τ 33 s τ 33N