11 - Movimento Ondulatório

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1 PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Pro. Anderson Coser Gaudio Departaento de Física Centro de Ciências Exatas Uniersidade Federal do Espírito Santo Últia atualização: 8//006 :7 H - Moiento Ondulatório Fundaentos de Física Hallida, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 996 Cap. 7 - Ondas I Física Resnick, Hallida, Krane 4ª Edição, LTC, 996 Cap. 9 - Moiento Ondulatório Física Resnick, Hallida, Krane 5ª Edição, LTC, 003 Cap. 8 - Moiento Ondulatório Pro. Anderson (Itacaré, BA - Fe/006)

2 Probleas Resolidos de Física HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 996. FUNDAMENTOS DE FÍSICA CAPÍTULO 7 - ONDAS I EXERCÍCIOS E PROBLEMAS Escrea a equação para ua onda se propagando no sentido negatio do eixo x e que tenha ua aplitude de 0,00, ua reqüência de 550 Hz e ua elocidade de 330 /s. (Pág. 3) A equação geral de ua onda progressia que se propaga no sentido x é: kx t sen xt, ( + ω ) Para copor a equação, é preciso apenas deterinar o alor da aplitude da onda ( ), do núero de onda angular (k) e da reqüência angular (ω). A aplitude oi dada no enunciado. A reqüência angular pode ser calculada a partir da reqüência (): ω π π 550 Hz 3.455, 759 rad/s rad/s O núero de onda angular está relacionado co a elocidade de propagação da onda: Logo: ( 3.455,759 rad/s) ( 330 /s) k ω 0, 479 rad/ 0,5 rad/ ( 0,00 ) sen, ( 0,5 rad/) x+ ( rad/s xt ) t. A equação de ua onda transersal se propagando nua corda é dada por (,0, ) sen ( 0 ) x( 600 s xt ) t (a) Ache a aplitude, reqüência, elocidade e o copriento de onda. (b) Ache a elocidade escalar áxia de ua partícula da corda. (Pág. 3) Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

3 Probleas Resolidos de Física (a) Coparando-se a unção de onda ornecida pelo enunciado co a unção de onda geral de ua onda transersal progressia: kx t sen xt, ( ω ) Podeos identiicar iediataente a aplitude :,0 A reqüência ale: ( 600 rad/s) ω 95, 499 Hz π π 95,5 Hz A elocidade de propagação da onda ale: ω k 30 /s ( 600 rad/s) ( 0 rad/) O copriento de onda λ ale: ( 30 /s) λ 0,34 λ 0,3 ( 95,499 s ) (b) A elocidade de ua partícula da corda u, localizada na coordenada x é dada por: u ( xt, ) kx t t t ( xt, ) sen ( ω ) u kx t ω cos xt, ( ω ) A elocidade u será áxia (u ax ) quando a unção cosseno or ±. u ax ω u ax,0 600 s u, /s ax 5. Proe que, se ua onda transersal está se propagando ao longo de ua corda, então a inclinação de qualquer ponto da corda é nuericaente igual à razão entre a elocidade escalar da partícula e a elocidade escalar da onda naquele ponto. (Pág. 3) Considere a seguinte onda transersal progressia: kx t sen xt, ( ω ) O gráico da unção acia, no instante t e interalo 0 x 4π/k, está representado na igura abaixo: Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

4 Probleas Resolidos de Física x x A inclinação da corda (decliidade da unção) e x x é dada por x de (x,t) e relação a x, no ponto x x. x x ( x, que é a deriada parcial k cos kx ωt () ) A razão entre a elocidade escalar transersal, u, e a elocidade escalar da onda,, no ponto x x ale: u x t x ω cos( kx ωt) Coo: ω k Teos: ux k cos( kx ωt) () Coparando-se () e (): ux, x x que é o que queríaos proar. 6. Ua onda de reqüência 500 Hz te ua elocidade de 350 /s. (a) Quão aastados estão dois pontos que tê ua dierença de ase de π/3 rad? (b) Qual é a dierença de ase entre dois deslocaentos, nu deterinado ponto, e tepos separados de,00 s? (Pág. 3) Seja (x,t) ua onda transersal que progride no sentido positio de x: kx t sen xt, ( ω + φ ) Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

5 Probleas Resolidos de Física Sendo conhecidas a reqüência e a elocidade de propagação, podeos deterinar k e ω, que serão usados adiante. ω π ω π k () (a) Deseja-se deterinar a distância, sobre o eixo x, que corresponda a ua dierença de ase φ π/3. Considere o seguinte esquea: λ ( π) x ( π/3) x Há pelo enos duas aneiras de calcular x. A prieira é por coparação: λ x π π /3 λ x 6 Coo: π π λ k π Na equação acia, k oi substituído por (): ( 350 /s) x 0, Hz x 0,7 A segunda ora de calcular x é considerando-se a existência de duas ondas, e, deasadas de π/3: sen kx t, xt ( ω ) π (, ) sen kx ωt xt 3 As unções e estão representadas no gráico abaixo: Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

6 Probleas Resolidos de Física x x x x Coo os pontos x e x corresponde a 0 e 0, respectiaente, teos: 0 π sen ( kx ωt) sen kx ωt 3 π kx ωt kx ωt 3 π k( x x) 3 π x x x 3k Utilizando-se (): π x x x π 3 x 6 (b) Vaos utilizar o prieiro étodo usado no ite (a) para o cálculo de Δφ. T Δt π Δ φ π Δt φ Δ ( )( 3 t ) Δ φ π Δ π 500 s,00 0 s π rad Δφ 3,4 rad 0. A tensão nu io preso e abos os extreos é duplicada se que haja qualquer udança consideráel e seu copriento. Qual é a razão entre as elocidades das ondas transersais nesse io, antes e depois do auento de tensão? (Pág. 3) Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

7 Probleas Resolidos de Física Vaos utilizar o índice para a situação inicial e para a inal. As elocidades e ale: τ τ Nas equações acia, τ é a tensão e é a densidade linear de assa das cordas. A razão pedida é: τ τ 5. Ua corda esticada te ua assa por unidade de copriento de 5,0 g/c e ua tensão de 0 N. Ua onda senoidal nessa corda te ua aplitude de 0, e ua reqüência de 00 Hz e se propaga no sentido de x decrescente. Escrea ua equação para essa onda. (Pág. 3) A equação geral para ua onda transersal que se propaga no sentido de x decrescente é: kx t sen xt, ( + ω ) A aplitude oi dada no enunciado. Vaos calcular o núero de onda angular k. ( 0,50 kg/) ( 0 N) k π π π π π π ( 00 Hz) 40, 496 rad/ λ τ τ k 40 rad/ A reqüência angular ω ale: Logo: ω π π 00 Hz 68,385 rad/s ω 630 rad/s ( 0, ) sen, ( 40 rad/) x+ ( 630 rad/s xt ) t 7. Ua onda senoidal transersal senoidal está se propagando ao longo de ua corda no sentido de x decrescente. A Fig. 7-4 ostra u gráico do deslocaento coo unção da posição, no instante t 0. A tensão na corda é 3,6 N e sua densidade linear é 5 g/. Calcule (a) a aplitude, (b) o copriento de onda, (c) a elocidade da onda e, (d) o período da onda. (e) Ache a elocidade áxia de ua partícula da corda. () Escrea ua equação descreendo a Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

8 Probleas Resolidos de Física onda progressia. (c) λ (Pág. 3) x (c) A análise do gráico ostra que: (a) Aplitude: 5,0 c (b) Copriento de onda: λ 40 c (c) Velocidade de propagação: (d) Período: τ /s ( 3, 6 N) (,5 0 kg) ( /s) 0, 40 T λ 0,0333 s T 33 s (e) A elocidade áxia u ax de u eleento de corda é dada por (er Probl. - Ite (b)) u ax ω Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

9 Probleas Resolidos de Física π π 0,050 9,447 /s T uax u 9, 4 /s ax 0, 0333 s () Para copor a unção de onda, precisaos deterinar a reqüência angular ω, π π ω 88, 4955 rad/s T 0, 0333 s ω 90 rad/s o núero de onda angular k, π π k 5, 7079 rad/ λ 0, 40 k 6 rad/ e a constante de ase φ. No instante t 0, o deslocaento ertical da onda é (5,0) 4,0 c. Ou seja: (5,0) 0,040 kx φ (5,0) sen ( + ) ( ) 0,040 0,050 sen 5,7079 rad/ 0,050 + φ ( ) sen 5,7079 rad/ 0,050 + φ 0,80 Há dois ângulos entre 0 e π rad cujo seno é igual a 0,80: φ 0,97... rad e φ,4... rad. A análise da elocidade ertical do eleento de onda e x 0 é capaz de indicar o alor correto. A elocidade ertical do eleento de onda e x no instante t, u (x,t), ale: u ( xt, ) kx t ω cos ω + φ t t ( xt, ) sen ( ω + φ) ( kx t ) Para φ 0,97... rad, no instante t 0, a elocidade ertical do eleento de onda e x 0, u (0,0) ale: u 90 rad/s 0,050 cos 0 0 0,97 rad 5,7 /s 0,0 + Para φ,4... rad: u 90 rad/s 0,050 cos 0 0,4 rad 5,7 /s 0,0 + Segundo o enunciado, a onda oienta-se no sentido x, ou seja, para a esquerda. Isto iplica e que, no instante t 0 (que é o instante retratado na Fig. 7-4), o eleento de corda que cruza o eixo esteja se oendo no sentido +, ou seja, para cia (u > 0). Portanto, a constante de ase correta é φ φ 0,97... rad. Finalente: x t+ ( xt, ) 0,050 sen 6 rad/ + 90 rad/s 0,93 rad 30. U io de 0,0 de copriento e de assa 00 g é tracionado por ua tensão de 50 N. Se dois pulsos, separados no tepo de 30,0 s, são gerados, u e cada extreidade do io, onde eles se encontrarão pela prieira ez? (Pág. 3) Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

10 Probleas Resolidos de Física Considere o seguinte esquea da situação: t0 0 t0 Δt 0 d L x t t O pulso oi gerado no instante t 0 0, enquanto que o pulso e t 0 Δt 30,0 s. A elocidade escalar dos pulsos é a esa e dada por: τ τ L onde τ é a tensão no io, é a densidade linear de assa do io, é a sua assa e L o seu copriento. Vaos analisar o oiento, co elocidade constante, do pulso : x x + t t 0 x 0 τ L d 0+ 0 ( t ) t d () τ L Agora aos analisar o oiento do pulso : x x + t t 0 x 0 τ L d L+ t Δt t L d +Δt τ L τ L Coo os pulsos deerão encontrar-se no ponto d no eso instante de tepo, conclui-se que t t. Igualando-se () e (): τ L d L d t τ L +Δ τ L τ L 3 50 N 0,0 ( 0,0 ) ( 30,0 0 d L t s ) 7,377 +Δ + 0,00 kg d 7,37 () Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

11 Probleas Resolidos de Física 33. A potência P é transitida por ua onda de reqüência nua corda sob tensão τ. Qual é a potência transitida P e teros de P (a) se a tensão da corda or auentada para τ 4 τ e (b) se, ao inés, a reqüência or diinuída para /? (Pág. 3) A situação é caracterizada pelos seguintes parâetros: P, e τ. (a) P? para τ 4 τ A potência transitida na situação é dada por: P ω Onde: Logo: τ ω π P τ π () 4 Na situação, tereos: P 4τ 4 Diidindo-se () por (): P P 4τ τ P P (b) P? para / Agora, na situação, tereos: π () τ P 4π (3) 4 Diidindo-se (3) por (): P P 4 P P Ua onda senoidal transersal é gerada nua extreidade de ua longa corda horizontal, por ua barra que se oe para cia e para baixo entre extreos que dista,00 c. O oiento é contínuo e repetido regularente 0 ezes por segundo. A corda te ua Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

12 Probleas Resolidos de Física densidade linear de 0 g/ e é antida sob ua tensão de 90,0 N. Ache (a) o alor áxio da elocidade transersal u e (b) o alor áxio da coponente transersal da tensão. (c) Mostre que os dois alores áxios, calculados acia, ocorre para os esos alores de ase da onda. Qual é o deslocaento transersal da corda nessas ases? (d) Qual é a áxia potência transerida ao longo da corda? (e) Qual é o deslocaento transersal quando esta transerência áxia de potência acontece? () Qual é a transerência ínia de potência ao longo da corda? (g) Qual é o deslocaento transersal quando esta transerência ínia de potência ocorre? (Pág. 3) (a) A elocidade áxia u ax de u eleento de corda é dada por (er Probl. - Ite (b)) 3 uax ω π π 0 s 5,00 0 3,7699 /s u 3,77 /s ax (b) A coponente transersal da tensão (τ ) é dada, para pequenas aplitudes, por: τ τ x ( xt, ) Note que se / x 0 (corda na horizontal, tal coo na parte superior de u pulso), tereos τ 0. Logo, para ua unção de onda transersal progressia do tipo: kx t sen xt, ( ω ) A coponente transersal da tensão será: τ τ. k cos( kx ωt) O alor áxio de τ (τ,ax ) ocorrerá quando ( kx ωt) ω τ,ax τ. k τ. τ. π τ cos ±. 3 τ,ax π τ π 0 s 5, ,0 kg/ 90, 0 N,389 N τ,ax,4 N (c) Coo oi deonstrado nos itens (a) e (b), u ax e τ,ax ocorre quando cos (kx ωt) ±. O deslocaento transersal () é zero quando cos (kx ωt) ±, pois sen (kx ωt) 0. (d) A potência áxia é dada por: duax dkax dxuax τ Pax ( π ) 4π 4π dt dt dt P π ax 4 P τ 3 ax 4π 0 s 5,00 0 0,0 kg/ 90,0 N 46,706 W P 46,7 W ax (e) A potência áxia P ax ocorre quando a elocidade transersal e a deoração da corda ore áxios (energias cinética e potencial áxias). Isso ocorre no eso deslocaento transersal e que u ax ocorre (cos (kx ωt) ± ), ou seja, e 0. Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

13 Probleas Resolidos de Física () A transerência ínia de potência ocorre quando a elocidade transersal e a deoração da corda ore ínias. Coo e a elocidade transersal é zero, a energia cinética tabé é zero. E a energia potencial tabé é zero. Logo, a potência ínia tabé é zero. (g) A potência P é ínia quando 0,500 c. 38. Ua onte S e u detector de ondas de rádio D estão localizados ao níel do solo a ua distância d (Fig. 7-6). Ondas de rádio de copriento λ chega a D, pelo cainho direto ou por relexão, nua certa caada da atosera. Quando a caada está nua altura H, as duas ondas chega e D exataente e ase. À edida que a caada sobe, a dierença de ase entre as duas ondas uda, gradualente, até estare exataente ora de ase para ua altura de caada H + h. Expresse λ e teros de d, H, e h. Considere o esquea abaixo: B A h (Pág. 33) H d/ d/ S D d Se as ondas que chega ao detector (D) pelos cainhos SD e SAD estão e ase, a dierença entre as distâncias percorridas dee ser igual a nλ, onde n é u núero inteiro: d d nλ SAD SD / d + 4 ( 4 ) / H d nλ d + H d nλ () A perda de sinal obserada e D quando a onda percorre o cainho SBD é deida à intererência destrutia que ocorre quando esta encontra a onda que percorreu o cainho SD. Isto signiica que o cainho SBD é aior do que SAD e apenas λ/. Ou seja: Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

14 Probleas Resolidos de Física λ dsbd dsd nλ + () Substituindo-se o alor de nλ de () e (): / / λ d + 4( H + h) d ( d + 4H ) d + / / λ d + 4 H + h d + 4H 4. Deterine a aplitude de ua onda resultante da cobinação de duas ondas senoidais que se propaga no eso sentido, possue esa reqüência, tê aplitudes de 3,0 c e 4,0 c e dierença de ase de π/ rad. (Pág. 33) Seja e as equações das ondas transersais que se propaga no sentido de x crescente: π sen kx t cos kx t, xt ω + ( ω ) sen kx t, xt ( ω ) A cobinação (sobreposição) das duas ondas resulta e: + kx t + kx t () (, ) (, ) (, ) cos( ω ) sen xt xt xt ( ω ) A deterinação da aplitude da unção (x,t) pode ser eita por eio da localização dos seus pontos de áxio,, ou ínio,. ( xt, ) k sen ( kx ωt) + kcos( kx ωt ) 0 x ( ω ) cos( ω ) sen kx t kx t tan kx ( kx ωt) ωt tan () Isto signiica que sepre que kx ωt assuir o alor tan ( / ), o alor de (x,t) será u ponto de áxio ou ínio. Substituindo-se () e (): (, ) cos tan sen tan xt + ( 4,0 c) ( 4,0 c) ( 3, 0 c) ( 3, 0 c) ( 3,0 c) cos tan + 4,0 c sen tan 5,0 c Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

15 Probleas Resolidos de Física 46. Ua corda de iolão, de náilon, te ua densidade linear de 7, g/ e está sob ua tensão igual a 50 N. Os suportes ixos estão distanciados 90 c. A corda está oscilando de acordo co o padrão de onda estacionária ostrado na Fig Calcule (a) a elocidade escalar, (b) o copriento de onda e (c) a reqüência das ondas cuja superposição origina essa onda estacionária. (a) A elocidade escalar da onda ale: ( 50 N) τ 44,3375 /s 40 /s ( 7, 0 3 kg/) (Pág. 33) (b) A Fig. 7-7 ostra que a ibração ocorre no terceiro harônico (n 3), logo o copriento de onda ale: L λ n λ 0,60 (c) A reqüência ale: 0,90 ( ) 3 ( 44,3375 /s) ( 0,60 ) 40,566 Hz λ 40 Hz 49. Ua corda de copriento igual a 5 c te assa,00 g. Ela é esticada sob ua tensão de 7,00 N entre dois suportes ixos. (a) Qual é a elocidade da onda nessa corda? (b) Qual é a ais baixa reqüência de ressonância para essa corda? (Pág. 33) (a) A elocidade escalar de propagação da onda ale: τ τl 7,00 N,5 66,437 /s 66, /s (, kg) (b) Ua corda ressonante ixa e abas as extreidades é capaz de acoodar u núero inteiro de eios coprientos de onda: L n λ, n,, 3,... Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

16 Probleas Resolidos de Física Coo: Logo: λ n L n n L Onde,, 3, etc. são as reqüências de ressonância para n,, 3, etc. A ais baixa reqüência de ressonância é : ( 66,437 /s) 6,4575 Hz L,5 6,5 Hz 5. U io de,50 te assa 8,70 g e é antido sob ua tensão de 0 N. O io é rigidaente seguro e abas as extreidades e leado a ibrar. Calcule (a) a elocidade das ondas nesse io, (b) os coprientos de onda que produze ondas estacionárias, co u e dois eios coprientos de onda, nesse io e (c) as reqüências das ondas que produze ondas estacionárias, nas esas condições do ite anterior. (Pág. 33) (a) A elocidade escalar de propagação da onda ale: τ τl 0 N,50 43,8389 /s 44 /s ( 8, kg) (b) A onda estacionária co u eio copriento de onda dee satisazer à seguinte condição: L L λ λ L,50 λ 3, 00 A onda estacionária co dois eios coprientos de onda dee satisazer à seguinte condição: L Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

17 Probleas Resolidos de Física λ L λ L λ, 50 (c) A reqüência de ua onda estacionária pode ser calculada por eio de: λ Para λ 3,00 : ( 43,8389 /s) ( 3, 00 ) 47, ,9 Para λ,50 : ( 43,8389 /s) (, 50 ) 95,896 95,9 53. A corda A está esticada entre dois grapos separados por ua distância l. A corda B, de esa densidade linear e subetida à esa tensão que a corda A, está esticada entre dois grapos separados por ua distância 4l. Considere os prieiros oito harônicos da corda B. Qual deles - se algu - te ua reqüência de ressonância igual a algua reqüência de ressonância de A? (Pág. 34) Pelo ato de abas as cordas tere a esa densidade linear de assa e estare sujeitas à esa tensão, a elocidade escalar das ondas transersais produzidas nessas cordas dee ser iguais, ou seja, A B B. Para ua corda que te suas extreidades ixas, teos as seguintes reqüências de ressonâncias (eja a solução Probl. 49, ite b): n n, n,, 3, etc. l As oito prieiras reqüências da corda B são: n B 4l 8l n 5 5 B 5 8l n B 4 4l n 6 3 B 6 4l ( l) n B3 n 7 B7 8l 8l n 4 B4 n 8 B8 l l Analisando-se as possíeis reqüências de ressonância da corda A, teos: Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

18 Probleas Resolidos de Física n n A A l n 5 5 A 5 l () l l n 6 3 A 6 l () l n 3 3 A3 l etc. n 4 A4 l etc. Veos que apenas duas reqüências de ressonância de B coincide co as reqüências de A. São elas: A B4 A B8 54. Duas ondas estão se propagando na esa corda, uito coprida. U ibrador no extreo esquerdo da corda gera ua onda dada por π x + )t ( 6,0 c cos,0 8,0 s enquanto u outro no extreo direito da corda gera a onda π x )t ( 6,0 c cos,0 8,0 s (a) Calcule a reqüência, o copriento de onda e a elocidade escalar de cada onda. (b) Deterine os pontos onde não existe oiento (os nós). (c) E quais pontos o oiento da corda é áxio? (Pág. 34) (a) Coparando-se as unções das ondas ornecidas no enunciado co ua unção geral da onda transersal progressia: cos xt, ( kx ωt) Veos que as reqüências das duas ondas são idênticas e ale: π ( 8,0 s ω ) ( 8, 0 s ) π π 4,0 s Da esa ora, os coprientos de onda são iguais: π π λ 4(,0 ) k π (,0 ) λ,0 Ide para a elocidade escalar das duas ondas: λ (,0 )(,0 s ) Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

19 Probleas Resolidos de Física 4,0 /s (b) Vaos construir a onda resultante da sobreposição das duas ondas dadas, que corresponde à soa das duas unções de onda: π π x+ t + x A expressão acia pode ser representada por: ( 6,0 c) cos (,0 ) ( 8,0 s ) cos (,0 ) ( 8,0 s ) ( 6, 0 c cosα + cos β Aplicando-se a identidade trigonoétrica: cosα + cos β cos ( α + β) + cos ( α β ) Tereos: ) π π π π x x t + ( ) ( 6,0 c cos,0,0 ) cos ( 8,0 s ) + ( 8,0 s ) π ( π c cos,0 ) x cos ( 8,0 s ) t Ua representação geral para a onda estacionária acia pode ser: cos ( x) ωt Onde (x) é a aplitude da onda estacionária e cada ponto x da corda. Os nós da onda estacionária corresponde aos pontos da corda onde (x) 0, ou seja: π cos (,0 ) xnó 0 Isto iplica e: π (,0 ) xnó n+ π, n 0,,, 3, etc. xnó n+ (, 0 ), n 0,,, 3, etc. (c) Os antinós ocorrerão e: π cos x antinó (,0 ) n (, 0 ) x antinó Veja o esquea da onda estacionária: nós nπ, n 0,,, 3, etc., n 0,,, 3, etc. antinós t t x () Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

20 Probleas Resolidos de Física 56. Ua corda está esticada entre suportes ixos separados por 75,0 c. Obserou-se que te reqüências ressonantes e 40 e 35 Hz e nenhua outra neste interalo. (a) Qual é a reqüência de ressonância ais baixa dessa corda? (b) Qual é a elocidade de onda para essa corda? (Pág. 34) (a) A órula geral para as reqüências ressonantes nua corda esticada co abas as extreidades ixas é (eja a solução Probl. 49, ite b): n n, n,, 3, etc. l Coo não há outras reqüências ressonantes entre as duas reqüências dadas, conclui-se que essas reqüências são harônicos consecutios. ou seja: n n 35 Hz l ( n+ ) n+ 40 Hz l Fazendo-se a dierença entre essas reqüências: ( n+ ) n n+ n l l l Logo: n n ( 40 Hz) ( 35 Hz) + 05 Hz (b) Para o prieiro harônico, o copriento de onda é: λ L Veja o esquea: L λ/ Logo, a elocidade escalar da onda será: λ L 0, s 57,5 /s 58 /s 58. Dois pulsos se propaga ao longo de ua corda e sentidos opostos, coo na Fig (a) Se a elocidade de onda é,0 /s e os pulsos estão a ua distância de 6,0 c e t 0, esboce os padrões resultantes para t 5,0, 0, 5, 0 e 5 s. (b) O que aconteceu co a energia e t 5 s? Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

21 Probleas Resolidos de Física (Pág. 34) (a) Após u interalo de tepo Δt, o pulso da esquerda (pulso ) terá executado u deslocaento: Δ x Δ t Enquanto que o pulso da direita (pulso ): Δ x Δ t Após Δt, a posição de cada pulso será: x x,0 +Δ x x,0 + Δt x x,0 +Δ x x,0 Δt Portanto, a distância d entre os pulsos será: d x x x Δt x + Δ t x Δtx Δ t,0,0,0,0 d x x Δ t d Δ t,0,0 0 ( 0,060 ) ( 4,0 /s) d Δ t Nas equações acia, representaos d 0 coo a distância original entre os pulsos. Portanto, após Δt 5,0 s: 3 d 0,060 c 4,0 /s 5,0 0 s 0,04 d 40 c t 5,0 s Após Δt 0 s: 3 d 0,060 c 4,0 /s 0 0 s 0,0 d 0 c t 0 s Após Δt 5 s: 3 d 0,060 c 4,0 /s 5 0 s 0,0 d 0 c t 5 s Após Δt 0 s: Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

22 Probleas Resolidos de Física 3 d 0,060 c 4,0 /s 0 0 s 0, d 0 c t 0 s Após Δt 5 s: 3 d 0,060 c 4,0 /s 5 0 s 0, 4 d 40 c t 5 s (b) Quando os pulsos estão iajando, transporta energia cinética (deido à elocidade transersal das partículas de corda) e energia potencial (deido ao estiraento da corda para orar o pulso). Quando os pulsos se toca, seus deslocaentos transersais, de sinais opostos, anula-se, até desaparecere quando da sobreposição total. Coo não há ais deslocaento transersal nesse instante, não haerá energia potencial arazenada na onda. Deido à conseração da energia ecânica do sistea, toda a energia transportada estará na ora de energia cinética. 6. A ibração de u diapasão a 600 Hz estabelece ondas estacionárias nua corda presa nas duas extreidades. A elocidade escalar da onda na corda é 400 s. A onda estacionária te dois coprientos de onda e ua aplitude de,0. (a) Qual é o copriento da corda? (b) Escrea ua equação para o deslocaento da corda e unção da posição e do tepo. (Pág. 34) Considere o seguinte esquea da situação: L λ (a) O copriento da corda ale: ( 400 /s) L λ, Hz L, 33 (b) A equação de ua onda estacionária pode ser representada por: ' ω (, ) sen kx cos t sen kx cosωt xt Na equação acia, é a aplitude das ondas que originara a onda estacionária e aplitude da onda estacionária. Para copor a unção da onda estacionária, precisaos apenas deterinar k e ω. A reqüência angular ale: Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC ' é a

23 Probleas Resolidos de Física ω π π 600 Hz 3.769,9 rad/s O núero de onda angular ale: Logo: ( 3.769,9 rad/s) ( 400 /s) k ω 9,447 rad/ x ( xt, ),0 sen 9, 4 rad/ cos rad/s t 6. Nua experiência co ondas estacionárias, ua corda de 90 c de copriento está conectada ao terinal de u diapasão elétrico e oscilando perpendicularente ao seu copriento, na reqüência de 60 Hz. A assa da corda é 0,044 kg. (a) A que tensão dee ser a corda subetida (pesos estão presos na outra ponta) para ela ibrar co dois coprientos de onda? (b) O que aconteceria se o diapasão osse girado de ora a ibrar paralelaente ao copriento da corda? (Pág. 34) Considere o seguinte esquea: λ L (a) A tensão na corda pode ser obtida por eio da anipulação de alguns parâetros enolidos na coposição da onda, tais coo a densidade linear de assa, a elocidade escalar da onda, a assa da corda, o copriento da corda L e a reqüência de ibração : L ( ) τ λ L L L 0,044 kg 0,90 60 Hz τ 35,64 N 4 4 τ 36 N 63. Considere ua onda estacionária que é a soa de duas ondas idênticas se propagando e sentidos opostos. Mostre que a energia cinética áxia e cada eio copriento de onda dessa onda estacionária é π. (Pág. 34) Seja a equação de onda estacionária: Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

24 Probleas Resolidos de Física ( xt, ) sen kx cosωt A elocidade transersal de u eleento do eio que conduz a onda é: ( xt, ) u(, ) ω senkxsenωt xt t A elocidade transersal áxia é atingida quando sen ωt ±, ou seja, e (x,t) 0. Logo: uax( x) ω senkx () Considerando-se eio copriento de onda transersal, coo no esquea que segue: L x dx d uax(x) A energia cinética áxia de u eleento de assa d da corda é dado por: dkax( x) duax( x) dxuax( x ) () Substituindo-se () e (): dk ax( x) dx ωsenkx ω sen ( kx) dx A energia cinética áxia e eio copriento de onda será dado pela integral: λ / λ Kax, λ / ω sen ( kx) dx ω senk 0 4 4k λ Coo kλ π (eriique!), tereos: ω λ λω 4 Kax, λ / Da relação ω/k: ω k π π π λ λ ωλ kλ λ ωλ 4π Substituindo-se (4) e (3): K π ax, λ / (3) (4) 65. Ua corda, subetida a ua tensão de 00 N e presa e abas as extreidades, oscila no segundo harônico de ua onda estacionária. O deslocaento da corda é dado por 0,0 sen π x/ senπ t onde x 0 nua das pontas da corda, x é dado e etros e t e segundos. Quais são (a) o Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

25 Probleas Resolidos de Física copriento da corda, (b) a elocidade escalar das ondas na corda e (c) a assa da corda? (d) Se a corda oscilar nu padrão de onda estacionária reerente ao terceiro harônico, qual será o período de oscilação? (Pág. 34) Considere o seguinte esquea, que ostra ua onde estacionária que ibra e seu segundo harônico: L Coparando-se a equação da onda estacionária ornecida no enunciado co a equação geral de ua onda estacionária: π ( xt, ) ( sen kx) cosωt ( sen kx) sen ωt+ Podeos concluir que o núero de onda angular k ale: π k E que a elocidade angular ω ale: k π s (a) Coo a onda estacionária ibra no segundo harônico, isto signiica que há dois eios coprientos de onda (eio copriento de onda para cada harônico) no copriento L da corda. λ π π L λ k π L 4,0 (b) A elocidade de propagação da onda transersal ale: ( π s ) ω k π 4 /s (c) A assa da corda ale: τ τ L ( 4 /s) τ L 00 N 4,0,3888 kg, 4 kg (d) O esquea a seguir ostra ua onda estacionária ibrando e seu terceiro harônico: Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

26 Probleas Resolidos de Física λ L Quando a onda ibra e seu terceiro harônico, teos: λ L 3 L λ 3 O período da onda estacionária será: λ L 4,0 T, s /s T, s 67. Ua onda estacionária resulta da soa de duas ondas transersais progressias dadas por 0, 050cos( π x 4π t) ( π π ) 0,050cos x+ 4 t onde x, e estão e etros e t e segundos. (a) Qual é o enor alor positio de x que corresponde a u nó? (b) E quais instantes no interalo 0 t 0,50 s a partícula e x 0 terá elocidade zero? (Pág. 34) A onda estacionária resultante da sobreposição de e corresponde à soa dessas duas ondas: ( π π ) ( π π ) + 0,050 cos x 4 t + cos x+ 4 t Aplicando-se a identidade trigonoétrica: cosα + cos β cos ( α + β) + cos ( α β ) Tereos: 0,050.cos ( π x 4πt+ πx+ 4πt) cos ( πx4πtπx 4πt) 0,0 cosπ x cos( 4π t) ( π ) 0,0 cos x cos 4π t () Ua representação geral para a onda estacionária acia pode ser: cos ( x) ωt (a) Os nós da onda estacionária ocorrerão sepre que cos πx 0, ou seja, quando: π x n+ π, n 0,,, 3, etc. Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

27 Probleas Resolidos de Física O enor alor positio de x onde há nó corresponde ao alor de n 0: π πx 0 + π x O esquea a seguir ostra a onda estacionária no instante t 0, e 0 x 5: x (b) A elocidade transersal da corda u é dada por: ( 0,0 cosπx cos 4πt) u t t 0,0.4π cosπx sen 4πt u 0, 40π cosπxsen 4πt E x 0, a elocidade transersal será zero sepre que sen 4πt 0. ou seja: 4π t nπ, n 0,,, 3, etc. n t 4 Entre 0,0 e 0,5 s, inclusie, a partícula da corda e x 0 terá elocidade zero nos seguintes instantes: t 0 s, t ¼ s e t ½ s. Hallida, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC

28 Probleas Resolidos de Física RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 996. FÍSICA CAPÍTULO 9 - MOVIMENTO ONDULATÓRIO PROBLEMAS Na Fig. 7a, a corda n. o te densidade linear de assa 3,3 g/, e a corda n. o é 4,87 g/. Elas estão esticadas deido ao peso de u bloco cuja assa é M 5 g. (a) Calcule a elocidade de onda e ua corda. (b) O bloco agora é diidido e dois (co M + M M e o aparelho é rearranjado coo aparece na Fig. 7b. Deterine M e M para que as elocidades de onda nas duas cordas seja iguais. (Pág. 9) (a) A igura abaixo ostra o diagraa das orças que age na polia central da Fig. 7a, onde F é a tensão na corda e P é o peso da assa M: Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 9 Moiento Ondulatório 8

29 Probleas Resolidos de Física F F z x P A partir do diagraa é ácil concluir que: F P Mg Mg F A elocidade de ua onda transersal nua corda é dada por: F Logo, a elocidade da onda na corda ale: ( 5 g)( 9,8 /s ) F Mg 7,579 /s 3,3 g/ 7,5 /s A elocidade da onda na corda ale: ( 5 g)( 9,8 /s ) Mg, 6863 /s 4,87 g/,7 /s (b) O enunciado agora exige que as elocidades e abas as cordas seja iguais: F F Mg Mg () M M Mas existe a seguinte restrição: M+ M M M M M () Igualando-se () e (): Logo: M M ( 3,3 g/)( 5 g) ( 3,3 g/) ( 4,87 g/) + + M 07 g M 304 g 06,7738 g Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 9 Moiento Ondulatório 9

30 Probleas Resolidos de Física. O tipo de borracha usada e alguas bolas de beisebol e de gole obedece a lei de Hooke nua para apla aixa de alongaentos. Ua tira desse aterial te copriento L e assa. Quando ua orça F é aplicada, a tira auenta de ΔL. (a) Qual é a elocidade (e teros de, ΔL e constante de orça k) para ondas transersais nessa tira? (b) Usando sua resposta à parte (a), ostre que o tepo necessário para u pulso transersal percorrer o copriento da tira de borracha é proporcional a / Δ L se Δl << L e é constante se Δl >> L. (Pág. 9) Considere o seguinte esquea da situação: L, k Elástico ΔL (a) A elocidade da onda transersal na tira é dada por: F () A orça F aplicada na tira produz ua deoração que é proporcional ao ódulo da orça (lei de Hooke), sendo que no equilíbrio, F corresponde à tensão na tira: F kδl A densidade linear da tira,, é a razão entre a sua assa, que é constante, e seu copriento, que depende do grau de estiraento: L +Δ L Substituindo F e e (): kδl L+ΔL kδl L + ΔL (b) A elocidade de u pulso que percorre a tira ale: Δx Δ t Para u deslocaento Δ x L+ΔL, o interalo de tepo ale: L +ΔL Δ t () Substituindo-se a expressão de obtida no ite (a) e (): F Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 9 Moiento Ondulatório 30

31 Probleas Resolidos de Física L+ΔL Δ t kδl ( L +Δ L ) Δ t ( +ΔL) L kδl Para Δl << L, tereos: L Δt kδl ΔL Para Δl >> L, tereos: Δt constante k ( +ΔL) ( L) L kδ L L+Δ. Ua corda uniore de assa e copriento L está dependurada do teto. (a) Mostre que a elocidade de ua onda transersal nessa corda é ua unção de, a distância a partir do extreo inerior, e é dada por g. (b) Mostre que o tepo necessário para ua onda transersal percorrer o copriento da corda é t L/ g. (c) A assa da corda aeta os resultados de (a) e (b)? (Pág. 9) Considere o seguinte esquea: L ( ) (a) A tensão na corda é ariáel. Nu dado ponto da corda, a tensão é igual ao peso da porção da corda abaixo daquele ponto. No esquea acia, a tensão no ponto P, localizado a ua altura da extreidade inerior da corda, ale: F g g ( ) ( ) Logo, a elocidade da onda transersal na corda ale: F ( ) ( ) g Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 9 Moiento Ondulatório 3

32 Probleas Resolidos de Física ( ) g (b) O tepo que a onda lea para percorrer o copriento da corda pode ser obtido da seguinte ora: d ( ) g dt d dt g t L d dt 0 0 g t g t L g L 0 g (c) A assa da corda não interere nos resultados dos itens (a) e (b). 3. U io não uniore de copriento L e assa M te densidade linear de assa ariáel, dada por kx, onde x é a distância a ua extreidade do io e k ua constante. (a) Mostre que M kl /. (b) Mostre que o tepo t necessário para que u pulso gerado e ua das extreidades do io chegue à outra extreidade é t 8 ML/9F, onde F é a tração no io. (Pág. 9) (a) A assa da corda pode ser calculada a partir da deinição da densidade linear de assa: d ( x) kx dx M d 0 0 L kxdx kl M (b) O tepo que a onda lea para percorrer a extensão da corda pode ser calculado a partir da deinição da elocidade: ( x) dx F F dt kx ( x) kx dx dt F t k dt F 0 0 L xdx Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 9 Moiento Ondulatório 3

33 Probleas Resolidos de Física t k F 4kL 3 9F 3 L Do ite (a), teos: M k L Logo: 8ML t 9F 3 7. Ua onda progride unioreente e todas as direções, a partir de ua onte puntiore. (a) Justiique a seguinte expressão para o deslocaento do eio a qualquer distância r da onte: Y sen k( rt ). r Considere a elocidade, direção de propagação, periodicidade e intensidade da onda. (b) Quais são as diensões da constante Y. (Pág. 9) (a) No esquea abaixo, a ua distância r da onte sonora F, a intensidade da onda é I e a área da rente de onda é A. Pode-se airar que a potência transitida P é a esa para cada rente de onda. r I F I A I r A A Logo: Mas: I Ou seja: P P I A I A / ρω I Substituindo-se () e () e sipliicando-se: A A r () () Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 9 Moiento Ondulatório 33

34 Probleas Resolidos de Física π r 4 4 πr r r r Cte Y O tero constante oi arbitrariaente chaado de Y. A aplitude de deslocaento da onda sonora ale: Y (3) r A equação geral de ua onda sonora progressia, e teros de deslocaento é: ( x, t) sen( kx ω t + φ) Considerando-se que a constante de ase φ 0 (arbitrário) e que a coordenada x é r: sen( kr ω ) (4) ( r, t ) t Multiplicando-se e diidindo-se o arguento da unção seno de (4) por k, o núero de onda angular, e substituindo-se o alor de dado por (3): Y ( r, ) sen k( r t) (5) r t E (5), oi usada a identidade ω/k. (b) Coo e r dee ter diensão L, cuja unidade SI é o etro, a constante Y deerá ter diensão L. 37. Ua onda progride unioreente e todas as direções, a partir de ua onte puntiore. (a) Justiique a seguinte expressão para o deslocaento do eio a qualquer distância r da onte: Y/r sen k(r-t). Considere a elocidade, direção de propagação, periodicidade e intensidade da onda. (b) Quais são as diensões da constante Y. (Pág. 0) Resnick, Hallida, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 9 Moiento Ondulatório 34

35 Probleas Resolidos de Física RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 003. FÍSICA CAPÍTULO 8 - MOVIMENTO ONDULATÓRIO EXERCÍCIOS PROBLEMAS Resnick, Hallida, Krane - Física - 5 a Ed. - LTC Cap. 8 Moiento Ondulatório 35