DETERMNAÇÃO DA FREQÜÊNCA NATURAL DE EXOS DE UM PROTÓTPO DE MN BAJA Bernrdo Pereir Foresti Engenhri Meâni o. Período Contto: bpf@e.mpus.ufmg.br Professor: Rodney Josué Biezuner Disipin: Geometri Aníti e Ágebr Liner RESUMO: O trbho que se segue present e expi um pição práti do que é ensindo n disipin de Geometri Aníti e Ágebr Liner. Um prte de seu onteúdo foi trnsrit prtir de um doumento origin desenvovido por Rfe A. C. Lrnj, Eder A. de Á. Mrtins, André Cervieri e Aberto Tmgn. ntegrntes do Grupo de Meâni Apid do Deprtmento de Engenhri Meâni d Eso de Engenhri d Universidde Feder do Rio Grnde do Su. O títuo do doumento é: ANÁLSE NUMÉRCA E EXPERMENTAL DE EXOS - APLCADA A UM PROTÓTPO DE MN BAJA t dissertção present omprção entre s náises numéri e experiment de um eixo trseiro de um protótipo de um veíuo utomotor do tipo mini bj e servirá omo iere teório dquio que se segue.. NTRODUÇÃO N indústri utomobiísti, hoje em di, existe um resente neessidde de testes em omponentes ind n fse de projeto fim de prever seu desempenho qundo em ondições de operção. Fenômenos vibrtórios omo ressonâni de omponentes utomotivos em reção às veoiddes de rotção do motor e tipos de terreno devem ser evdos em onsiderção, pois podem evr estrutur esforços e desgstes exessivos diminuindo su vid úti ou umentndo o desonforto do usuário. Atumente, onforme o reto de Coutinho (99, o proedimento utiizdo pe indústri pr testes sobre o omportmento vibrion é bsimente experiment, o que envove um to usto no desenvovimento do produto. Assim, é neessári impntção de métodos numérios simpes e preisos de form predizer s freqüênis nturis dos omponentes e fix de su tução. Pr tnto, o Método ds Mtrizes de Trnsferêni oferee não só rpidez e preisão, omo simpiidde e verstiidde onforme nos dizem Peste e Lekie (96, Thomson (978, Coutinho (99 e Mtos (997. O presente trbho present omprção entre os resutdos de náises dinâmis experimentis e numéris. A omprção é feit sobre o útimo eixo d trnsmissão de um protótipo de um veíuo utomotor do tipo mini bj, evndo-se em ont tod ompexidde do probem. Pr ompreensão d náise que será feit se fz neessário prévio onheimento de onteúdos d Meâni, em prtiur sobre Resistêni dos Mteriis, Ágebr Liner, Geometri Aníti e Meâni ibrtóri. Como form de uxíio se segue um gossário de termos:. GLOSSÁRO TERMNOLÓGCO Freqüêni Ntur: Se um sistem, pós um distúrbio inii, é deixdo pr vibrr por si próprio, freqüêni om qu ee osi sem presenç de forçs externs é onheid omo su freqüêni ntur. Um sistem vibrtório om n grus de iberdde terá, em ger, n freqüênis nturis distints.
Momento Fetor e Esforço Cortnte: Figur : Brr submetid esforços P P M b A D Q R O momento M d figur im é hmdo momento fetor d seção D. Seu vor pode ser obtido om o emprego d equção d estáti que estbeee que som dos momentos, em reção um ponto ququer (e D em prtiur, é nu. Assim: M R x P (x- - P (x-b O momento fetor M é o momento em D produzido por todos os esforços, tivos e retivos, que tum nque prte d estrutur que se onservou em equiíbrio (depois de bndond outr prte. Este momento deve tmbém ser equivente o momento ds tensões que se distribuem peos diversos pontos d seção D. As tensões normis, únis, que podem soiitr seção de form produzirem um binário de momento M, são de trção, em determind prte d seção, e de ompressão n outr prte. A forç pid em D, e que no so está ontid em D, reebe o nome de forç ortnte e se represent om etr Q. (Se est forç fosse inind em reção à seção trnsvers onsiderd, forç ortnte seri omponente pre à seção, e forç norm seri omponente perpendiur à seção. No exempo em questão, pr que hj equiíbrio, é neessário que: Q R P P Resumindo, pode-se dizer que: momento fetor num seção ququer é som gébri dos momentos produzidos peos esforços externos (tivos e retivos no entro de grvidde d seção onsiderd (e onsiderdos somente os esforços externos que tum num ds prtes d estrutur, isto é, à esquerd ou à direit do orte imginário efetudo o ongo d seção; forç ortnte (ou esforço ortnte, de mneir náog, é resutnte desses esforços projetd sobre seção onsiderd.. O PROBLEMA, SEU MODELAMENTO E A MATEMÁTCA APLCADA ismos o áuo d freqüêni ntur do eixo de um protótipo de rro. Pr t será usdo o Método de Mtriz de Trnsferêni. O método pido onsiste em: Dividir o eemento ompexo ujs proprieddes envovem muits vriáveis (muits vezes nem tods es são onheids em grupos mis simpes de proprieddes eástis e dinâmis menos ompids. Ou sej, um modeo é onstruído à prtir do eixo re e dividido em prtes.
b Assoir mtrizes às prtes. As rterístis estodinâmis ds prtes, juntmente om s vriáveis que irão terá-s, podem ser expresss por um mtriz. Portnto d prte poderá ter um mtriz ssoid si. Neste psso be reizr ssoição. Os vores ds vriáveis itds previmente são enontrdos trvés de experiênis simpes, onforme é dito dethdmente em Anáise Numéri e Experiment de Eixos Apid um Protótipo de Mini Bj.. Medir ou ur em um instnte t (o eixo está inerte e o veíuo desigdo os desomentos (verti e giro e s forçs interns (momento fetor e esforço ortnte. Tis vores irão ompor um vetor oun de qutro inhs hmdo vetor de estdo. d Submeter o eixo às vriáveis (igr o veíuo e pós guns instntes, om o veíuo igdo, medir ou ur novmente os desomentos e s forçs interns. Um novo vetor oun ( de qutro inhs é omposto. e Esrever mtemtimente o oorrido, ou sej, ompor o sistem iner A, onde A é um mtriz desobert onforme retdo no item (b. Todos os eementos d mtriz são onheidos, exeto freqüêni ntur, que pós mutipição mtrii será fimente enontrd. Dess form é souiondo o probem de enontrr freqüêni ntur de um eemento do eixo; ontudo, freqüêni ntur gob ind não foi enontrd. Observ-se que: Portnto M A A A n n A A n n n n n A n A n K A A A Definindo G A n A n K A A A tem-se: n G
Com o proedimento im, é possíve ssoir um tempo t ququer, om o momento no qu o eixo está inerte (t. D mesm form possibiit-se ssoição entre freqüêni de d subsistem om o sistem verddeirmente. f Pr enontrr freqüêni ntur gob, deve-se resover o sistem iner A inógnit será sempre freqüêni ntur. n G.. MATRZES As mtrizes que podem ser ssoids os vetores de estdo são: Mtriz A: σ ( ] (σ [ ] ( [ ( ] σ ( σ [ ] (σ [ σ onde E é móduo de Estiidde; σ é o prâmetro de freqüêni pr deformção por orte; é o prâmetro de freqüêni pr inéri rotion; é o prâmetro de rigidez; Λ é o inverso d som ds rízes rterístis;, são s rízes rterístis;, e são oefiientes d equção rterísti; frequêni ntur. os (osh /( Λ sen senh J E os osh ( EJ µ (σ (σ - EJ µi (σ (σ - GA µ σ y * y y y s Λ Λ Λ
Mtriz B: m t onde m é mss onentrd; é o momento de néri; w é freqüêni ntur, onforme eemento 6 d figur. Mtriz C: m k onde m é mss onentrd; é o momento de néri; é freqüêni ntur; k é onstnte de mo, onforme eemento d figur. Mtriz D: m k km m k onde m é mss onentrd soidári o eixo; m é mss onentrd suspens; é o momento de néri; é freqüêni ntur; k é onstnte de mo, onforme eemento d figur.. ALORES EMPÍRCOS Os vores que se seguem form obtidos experimentmente e serão substituídos ns mtrizes enumerds nteriormente. 5
Tbe : Ddos empírios Proprieddes Eemento L E G A µ m t K m sup m inf N [m] [x [x [x - P] P] [x -8 m ] [x - m ] 6,8 [kg] kg.m [x ] N/m] [kg] [kg],8,,8,98 7,7 6,8 6,5,,7,,8,98 7,7 6,8,8 9, 5,5 5,,,8,98 7,7 6,8 6,5,5 7,5,,8,98 7,7 6,8 8,6 5,56 9,56,,8,98 7,7 6,8, 8,67 5,5,,,8,98 7,7 6,8 6,5,,79,,8,98 7,7 Sendo: L o omprimento [m]; m mss distribuíd [kg]; m mss onentrd [kg]; E o móduo de estiidde [P]; o momento de inéri [m]; G o móduo de ishmento [P]; A áre d seção [m]; k o oefiiente de rigidez [N/m]; t o momento trnsvers de inéri [kg.m]; p o momento por de inéri [kg.m]. Cd eemento enumerdo n tbe orresponde um subsistem. Os subsistems serão desritos no próximo item.. MODELO DO EXO PARA ANÁLSE PELO MÉTODO DA MATRZ DE TRANSFERÊNCA O modeo pido foi montdo d seguinte form: o eixo (sistem representdo pe figur foi dividido em eementos (subsistems, d um representdo por um tipo de mtriz de trnsferêni. A figur mostr s dimensões prinipis e figur o modeo utiizdo. 6
Figur : Desenho do eixo om seus prinipis omponentes: ubo de rods; mnis de fixção do eixo n bnç; oro de ionmento e seu suporte; diso de freio om suporte. Figurs,: Desenho esquemátio do eixo trseiro de trnsmissão nisdo om sus prinipis dimensões e o modeo simpifido (inuindo suspensão, onde estão numerdos os eementos pr náise peo método de Mtriz de Trnsferêni. 7
Eemento (segmento de eixo: Mtriz A. Eemento (represent o onjunto rod e pneu do direito: Mtriz C. Eemento (segmento de eixo: Mtriz A. Eemento (represent o efeito do peso d bnç sobre o eixo, mo equivente d suspensão e o efeito do peso do hssi sobre t mo: Mtriz D. Eemento 5 (segmento de eixo: Mtriz A. Eemento 6 (represent oro de trnsmissão: Mtriz B. Eemento 7 (segmento de eixo: Mtriz A. Eemento 8 (represent o diso de freio: Mtriz B. Eemento 9 (segmento de eixo Mtriz A. Eemento (represent o efeito do peso d bnç sobre o eixo, mo equivente d suspensão e o efeito do hssi sobre t mo: Mtriz D. Eemento (segmento de eixo: Mtriz A. Eemento (represent o onjunto rod e pneu do direito: Mtriz C. Eemento (segmento de eixo: Mtriz A. Observ-se que os eementos que se ssemehm morfoogimente têm mesm mtriz de trnsferêni ssoid.. RESULTADOS NUMÉRCOS Os utores do trbho que originou o presente enontrrm numerimente os seguintes resutdos pr freqüêni ntur gob do eixo: Tbe : Resutdos obtidos numerimente..5 RESULTADOS EXPERMENTAS Os utores do trbho que deu origem este enontrrm trvés de proessos experimentis desritos em Anáise Numéri e Experiment de Eixos Apid um Protótipo de Mini Bj. os seguintes vores pr freqüêni ntur gob do eixo. Tbe : Listgem ds freqüênis obtids de um ruído brno omo sin de exitção. 8
Tbe : Listgem ds frequênis obtids d vrredur senoid. As figurs 5, 6 e 7 mostrm prehgem utiizd pr desobrir experimentmente o vor d freqüêni ntur. Figur 5: ist ter do veíuo om rod dinteir esquerd poid sobre mes vibrtóri. Figur 6: Dethe d bnç dinteir e fixção do eerômetro piezoeétrio de monitormento do sin de entrd. Figur 7: Dethe d suspensão trseir, s sets destm posição de fixção dos eerômetros no útimo eixo d trnsmissão. 9
. EXEMPLO DE SOLUÇÃO Supondo que o eixo do veíuo é omposto pens peos eementos,, 6, 8, e estmos interessdos em ur freqüêni ntur gob desse eixo. Já possuímos todos os ddos empírios, tis omo todos os vores que onstm n tbe d Subseção.. Por áuos espeífios enontrmos os vetores de estdo R e R, sendo que R foi enontrdo segundos depois de o rro ter sido igdo: > R:mtrix([ [],[],[],[] ]; R : > R:mtrix([ [],[],[-.],[6] ]; R : -. 6 Substituindo os ddos empírios em d mtriz, teremos seguinte ssoição: Eemento - represent o onjunto rod e pneu do do direito > Mtriz A > A:mtrix([ [,,,],[,,,],[,.,,], [-6.5*w^,,,] ]; A :. 6.5 w Eemento - represent o efeito do peso d bnç sobre o eixo, mo equivente d suspensão e o efeito do peso do hssi sobre t mo > Mtriz A > A:mtrix([ [,,,],[,,,],[,,,],[-9.*w^-.6*5.5*w^/(.8-5.5*w^,,,] ]; A : 9. w 5.99 w.8 5.5 w Eemento 6 - represent oro de trnsmissão > Mtriz A > A:mtrix([ [,,,],[,,,],[,-.5*w^,,],[-.5*w^,,,] ];
A :.5 w.5 w Eemento 8 - represent o diso de freio > Mtriz A > A:mtrix([ [,,,],[,,,],[,-5.56*w^,,],[-.6*w^,,,] ]; A : 5.56 w.6 w Eemento - represent o efeito do peso d bnç sobre o eixo, mo equivente d suspensão e o efeito do hssi sobre t mo > Mtriz A5 > A5:mtrix([ [,,,],[,,,],[,,,],[-8.67*w^-.*5.5*w^/(.-5.5*w^,,,] ]; A5 : 8.67 w 5.975 w. 5.5 w Eemento - represent o onjunto rod e pneu do direito > Mtriz A6 > A6:mtrix([ [,,,],[,,,],[,.,,],[-6.5*w^,,,] ]; A6 :. 6.5 w A mtriz que se origin d mutipição de A por A por A por A por A5 por A6 é mtriz de trnsferêni gob e determin tods s vriáveis que irão modifir os vetores de estdo. > G:mutipy(A,A,A,A,A5,A6;........ G :..6.6 w.. 7.5 w 5.99 w 5.975 w....8 5.5 w. 5.5 w
Lembrndo o que foi dito no item, RG*R, que pode ser esrito omo: RT, donde TG*R > T:mutipy(G,R;.. T :..6 w 7.5 w 5.99 w 5.975 w 6..8 5.5 w. 5.5 w gundo termo termo de R e T, temos: > sove( {.-.6*w^},{w}; { w -.559}, { w.559 } > sove( {-7.5*w^-5.99*w^/(.8-5.5*w^-5.975*w^/(.- 5.5*w^6},{w} ; { w -.89688},{ w.89688 },{ w -.76969}, { w.76969 }, { w -.899658},{ w.899658} Apens os resutdos positivos têm signifido físio. Cd resutdo equive um modo de vibrção do eixo. OBS: Todo Seção foi desenvovido trvés do softwre MAPLE versão 7... CONCLUSÕES De ordo om os utores que reizrm náise desrit, diferenç enontrd entre s náises numéri e experiment oorre prinipmente devido à ompexidde do probem. Porque há impossibiidde de se isor o omponente ser nisdo de todo o onjunto sem que oorrm terções nos resutdos se fz neessári orret observção e interpretção do fenômeno físio. Entretnto diferenç não invid o uso d náise numéri, se evrmos em ont náise espeífi do eixo trseiro onde mbs oinidirm om os resutdos. Foi possíve observr que o Método de Mtriz de Trnsferêni é simpes em omprção om ompexidde do probem e preiso se interpretdo om bom senso. Extrpondo, onuí-se que ritividde, presente n pição do método pr est probemáti, é pz dentre outrs oiss reduzir ustos. 5. BBLOGRAFA Ro, S. S., 995, Mehni ibrtions, Addison-Wesey, New York. Nsh, W. A., 98, Resistêni dos Mteriis Grhm, A., 988, Mtrix Theory nd Appitions for Engineers nd Mthemtiins, Eis Horwood Limited, Chihester. Lrnj, R.A.C., Mrtins, E.A.A., Cervieri, A., Tmgn, A. Anáise Numéri e Experiment de Eixos Apid um Protótipo de Mini Bj. Deprtmento de Engenhri Meâni, Grupo de Meâni Apid, Eso de Engenhri d Universidde Feder do Rio Grnde do Su.