Lista de Férias Bases Matemáticas/FUV Encontre uma epressão para a função inversa: + 3 a) 5 2 + e b) e c) 2 + 5 d) ln( + 3) 6 Prove a partir da definição de ite que: a) 3 ( + 6) = 9 b) = c) 2 = 4 2 d) 4 = 4 3 e) 3 = 4 3 f) = 2 4 2 Esboce os gráficos das funções: a) cos(3 + π) b) 3 sen() c) + sen() d) 2 3 Faça o gráfico da equação + y = + y. 4 Faça o gráfico f() = 2 2 4 5 Calcule a) 2 b) c) 0 6 2 3 3 3 c d) cotg() 0 e) 0 cotg(2) cossec() f) sen( ) 2 + 2 7 Prove que a função f() = ite quando 0 8 Calcule os seguintes Limites: 3 + a) 2 + b) c) /2 d) 2 ( + ) 3 3 + 8 3 6 2 5 + ( 2 3 8 3 ) e) ( + h) 3 3 h h f) 3 5 2 + 8 4 2 4 5 6 g) 3 + 2 0 3 3 + 2 + 9 Calcule os seguintes iites: a) 2 + 4 2 0 2 + 9 3 não possui
3 b) 3 + 2 3 c) 9 5 2 2 d) 4 + 5 3 e) 2 + 7 4 3 2 5 + 6 0 Ache os seguintes Limiites: a) sen 4 0 b) sen(n) 0 sen(m) c) sen sen a a a d) 2 e) π/4 tan π + 2 sen cos tan Prove pela definição que as seguintes funções são contínuas nos pontos especificados: a) f() = 4 em = b) f() = em = 0 c) f() = em = 4 d) f() = 5 2 em = Limites Laterais 2 Calcule os ites laterais: a) + b) f() f() c) onde + { 3 se f() = 2 se < f() f() d) onde { 3 se f() = 2 se < f() f(2) e) onde 2 + 2 { 3 se 2 f() = 6 2 se < 2 f) 3 g) + 3 3 Suponha que para todo Calcule 0 g(). g() 4. 4 Calcule os seguintes ites usando o teorema do confronto: a) 2 sen ( 0 b) 0 3 2 sen ) 2 ( ) 2 5 Seja f() = a função maior inteiro. Para que valores de a eiste a f(). 6 Eiste um número a tal que o ite 3 2 + a + a + 3 2 2 + 2 eiste? Caso afirmativo encontre a e o valor do ite. 7 Seja f() = a) Esboçe o gráfico de f() b) Se n for um inteiro calcule: f() e f() n n + c) Para quais valores de a eiste a f() 2
8 Encontre os valores da constante c para os quais a função f é contínua: { c + se 3 f() = c 2 se > 3 9 Encontre os valores da constante c para os quais a função f é contínua: { f() = 2 c se < 4 c + 20 se 4 20 Use o teorema do valor intermédiario para provar que eiste uma raiz da equação no intervalo especificado: a) 4 + 3 = 0 (, 2) b) 3 (0, ) c) cos() = (0, ) d) ln = e (, 2) 3 + c) 0+ d) 3+ e) 0+ 2 3 2 6 + 9 sen() 3 2 24 Calcule os seguintes Limites ( a) + k ) ( ) b) + ( ) + c) 2 d) ( + sen()) 0 e) ln( + ) 0 f) (ln(2 + ) ln( + 2)) 2 Use o teorema do valor intermediário para provar que eiste um número c tal que c 2 = 2. (Ou seja, demonstre a eistência de 2) 22 Calcule os seguintes ites: a) 4 + 5 3 4 4 + 5 3 4 b) 3 + 3 + 5 c) 4 + + + 3 d) 2 e) + 5 f) + 23 Calcule os seguintes ites: a) 4+ b) 0 7 4 25 O que ocorre com as raizes da equação a 2 b + c = 0 Se o coeficiente a tende a zero e os coeficientes b, c ficam constantes? 26 Demonstrar que todo polinômio de grau impar possui pelo menos uma raiz real. 27 Ache as constantes k e b de modo que [ ] k + b 3 + 2 = 0 + Qual o significado da reta k + b? 28 Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. (Esboce os gráficos e confira usando algum software computacional) a) y = + 4 3 b) y = 2 + 3 0 3
c) y = 3 + 3 + d) y = 4 4 + 29 Encontre se 4 para todo > 5. < f() < 42 + 3 2 30 Calcule a derivada das seguintes funções: a) u 2 + u 2 b) + c) e + e e a + d) (a) 2 e) a + e e a + f) sec() g) sec() tg() h) cossec() i) sen() cos() j) cos() + 2 cos()+ k) cos(sen(e )) l) m) ( t ) 5 2 t + + a) = 2 = 2 b) = 2 =. c) = 2 =.0 d) = 2 = + h 32 A que valor tende o ite da secante no último caso quando h 0? 33 Ache a razão y para a função y = a) no ponto 2 e = b) no ponto 2 e = 0. c) no ponto 2 e = 0.0 34 Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do ite do quociente de Newton: f (a) = h 0 f(a + h) f(a) h a) derivada de f() = no ponto a = 0 b) derivada de f() = no ponto a = c) derivada de f() = 2 no ponto a = d) derivada de f() = 2 no ponto a = 2 e) derivada de f() = 3 no ponto a = f) derivada de f() = 4 no ponto a = 0 g) derivada de f() = no ponto a = 4 h) derivada de f() = 3 no ponto a = 8 i) derivada de f() = j) derivada de f() = no ponto a = no ponto a = n) 2 32 3 Ache o coeficiente angular da reta secante a parabola y = 2 2 se as abscissas dos pontos de intersecção são iguais a: 35 Prove que d d cos() = sen() 36 Mostre d d e = e ). d d a = ln(a)a. (Use que 4
37 Escreva a equação da reta tangente as curvas y = f() no ponto especificado: a) y = 3 no ponto = 3 b) y = 7 + 3 no ponto = c) y = sen() no ponto = π d) y = 2 no ponto = 2 e) y = cos() + 2 no ponto = 0 38 Quantas retas tangentes a curva y = + passam pelo ponto (, 2). Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva? 39 Encontre as derivadas das seguintes funções: a) f() = 3 4 + 5 + 8 b) f() = 7 + 6 6 + 5 5 + 4 + 3 3 + 2 + π c) f() = a 2 + b + c d) f() = a m + b m+n e) f() = π + ln(4) 2 + 5 + ln(7) f) f() = 2 5 3 g) f() = a 2 + a+4 2 + a a h) f() = a 3 2 40 Seja b 3 2 cosh() := e + e senh() := e e 2 Esboce os gráficos de senh() e de cosh(). Mostre que: a) cosh 2 () senh 2 () = b) senh( ) = senh() c) cosh( ) = cosh() d) (senh()) = cosh() e) (cosh()) = senh() 4 Calcule as seguintes derivadas: 2 a) f() = ( + 3 5 2 ) 30 b) f() = 2 c) f() = (3 2 sen()) 5 d) f() = 3 a + b 3 e) f() = 3 sen 2 () + cos 3 () f) f() = sen(5) + cos( 7 ) + tg( g) f() = sen( 2 5 + ) + tg( a ) h) f() = log 0 (sen()) i) f() = ln(e + 5 sen() 4 3 ) m j) f() = a + bn a b n k) f() = 4 (a 2 3 ) 2 l) f() = 3 cotg( ) 42 Em que ponto a tangente a parábola y = 2 + 7 + 3 é paralela a reta 5 + y 3 = 0. 43 Achar a equação da tangente e da normal a curva y = 3 + 2 2 4 3 no ponto 2, 5. 44 Dado f() = 3 3 2 2 +3+. Encontre os pontos do gráfico de f nos quais a tangente é horizontal. 45 Dado o polinômio p() = a 3 + b 2 + c + d. Determine a, b, c, d se p(0) = p() = 2 p (0) = e p (0) = 0. 46 O deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante é dado pela equação y(t) = 0 + 4 sen(0πt) a) Encontre a velocidade da partícula após t segundos b) Em quais instantes de tempo a partícula está parada? c) Em quais instantes de tempo a partícula está subindo? 5
47 O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função eponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mola é s(t) = 2e.5t sen(2πt) onnde s é medida em centímetros e t em segundos. a) Encontre a velocidade após t segundos. b) Encontre os instantes de tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes. c) Mostre que t s(t) = 0. Interprete o significado desse ite. 6
Respostas dos Eercícios 8 a) b) 0 c) 6 f) 0 g) /3 0 a) 4 b)n/m c) cos(a) e) / 2 3 0 6 5; -. 8 /3 22 a) b) c) - d) /2 e) f)/2 23 a) b) c) d) e) 24 a) e k b) e 2 (Dica: Use o item a) c) /4 d) e e) f) ln(2) 3 a)- d) -h 33 a) -/6 b) -5/2 c) -50/20 34 a) b) c) 2 d) 4 e) 3 f) 0 38 Dois pontos, ( 2 ± 3, ( 3)/2) 39 b)2+9 2 +4 3 + 4 +36 5 +7 6 d)am m + b(m + n) m+n 4 a) 30( + 3 5 2 ) 29 (3 0) b) 2 c) 0 cos()(3 2 sen()) 4 b 2 d) (a + b 3 ) f) 2 5 sen(5) 7 sen( 7 ) + sec2 ( ) 2 h) cotg() log 0 e j) 2abmn n (a + bn ) m (a b n ) m+ l) 43 (a 2 3 )(a 5 3 ) 43 y 5 = 0 + 2 = 0 3 7