Trajetóra ótma de uma estrutura paralela para dferentes combnações dos ângulos de entrada Sezmára F. P. Saramago, Rafael G. Rosa Unversdade Federal de Uberlânda - Campus Santa Mônca, Av. João Naves de Ávla, 260, Santa Mônca, Uberlânda, MG, Brasl. E-mal: saramago@ufu.br, rafamec@gmal.com Plíno. J. Olvera Unversdade Federal de Goás - Campus Catalão, Av. Dr. Lamartne Pnto de Avelar, 20, CEP 7570-220, Catalão, GO, Brasl. e-mal: plno27@best.com.br. INTRODUÇÃO Os robôs manpuladores podem ser classfcados de acordo com város crtéros, tas como: graus de lberdade, estrutura cnemátca, geometra do espaço de trabalho e tecnologa de locomoção. Quanto a estrutura cnemátca os manpuladores podem ser seras ou paralelos. Os robôs seras possuem cadeas abertas, sendo que seus elementos mecâncos estão dspostos em sére, ao passo que os manpuladores paralelos apresentam estrutura cnemátca fechada e normalmente são formados por uma plataforma fxa e outra móvel. O objetvo deste trabalho é determnar a trajetóra ótma para a plataforma móvel de estruturas paralelas através da mnmzação de um funconal de energa e do tempo do percurso, sendo que as equações de movmento são defndas por B- splnes cúbcas. Algortmos Genétcos serão utlzados na solução do problema ótmo. A metodologa desenvolvda será aplcada ao CaPaMan (Cassno Parallel Manpulator), robô com estrutura paralela desenvolvdo no Laboratóro de Robótca e Mecatrônca em Cassno, Itála []. O CaPaMan é composto de uma plataforma fxa (PF) e uma móvel (PM) as quas são conectadas entre s por três pernas. Cada uma delas fxada à PF através de um mecansmo artculado de quatro barras, os quas se mantém sempre na vertcal e possuem juntas rotaconas. Os centros das bases destes mecansmos estão dspostos nos vértces de um trângulo eqülátero na PF, de modo que os planos que os contém, formam entre s ângulos de 20 o ; atrbundo desta forma propredades de smetra ao manpulador. O movmento do CaPaMan é gerado por três atuadores ndependentes stuados na junta rotaconal da manvela de entrada de cada mecansmo de quatro barras. Os ângulos α determnados pelas bases e as manvelas de entrada dos mecansmos de quatro barras são as varáves cnemátcas do manpulador. Assm, dados os ângulos ncas e fnas de cada atuador, pretende- se determnar a trajetóra que necessta de menor energa e menor tempo para ser realzada. Fgura. Arqutetura e parâmetros do CaPaMan. Para descrever o comportamento cnemátco e dnâmco do CaPaMan consdera-se dos sstemas. Um sstema nercal OXYZ é fxado à PF, sendo que a orgem O é o centro da PF. O outro sstema PX P Y P Z P é atado à PM e P é o centro da PM, o exo X tem a mesma dreção do segmento lgando os pontos O e O. O exo Z é perpendcular ao plano da PF e Y é tomado neste plano de modo a defnr um sstema cartesano. O sstema móvel PX P Y P Z P é fxado de modo que o exo X P seja concdente com a lnha que une os pontos P(x, y, z) e H. O exo Y P é colocado sobre a PM de manera que o sstema móvel seja ortogonal. Como os planos que contém os mecansmos de quatro barras formam entre s ângulos de 20, cada sstema cartesano de referênca O X Y Z para =,2,3 é tomado de manera que O concda com o centro da base a do mecansmo de quatro barras. O exo X é perpendcular ao plano do mecansmo de quatro barras, o exo Y concde com a base do mecansmo e Z é tomado de modo que o sstema de referênca O X Y Z seja cartesano. Desse modo cada X é grado de 20 em relação ao X medatamente anteror. A orentação do sstema móvel PX P Y P Z P fxo à PM é descrta em relação ao sstema nercal OXYZ pelos ângulos de Euler θ,ϕ e ψ, onde θ é a rotação em torno do exo Z, ϕ
é a rotação em torno do exo Y, rotação que nclna a PM em relação ao sstema nercal e ψ é uma rotação em torno do exo Z P. 2. MODELAGEM GEOMÉTRICA Realzou-se o modelo geométrco a fm de determnar as coordenadas do ponto central da plataforma móvel, P(x,y,z), em função das varáves de entrada α. Utlzando-se as propredades de smetra do CaPaMan [6] obtém-se a posção do ponto P e a orentação da plataforma móvel em termos dos ângulos de Euler θ,ϕ e ψ, em relação ao sstema fxo OXYZ: y y r x = 3 2 P ( ) c( ψ θ ), 3 2 y = y rp ( cθ + sθ ), z = ( z + z2 + z3 ) () 3 z = 3 z ψ tg 3 2 2 z z2 z3 2 y + y2 + y3 θ = sen 3 rp ( + ) ( ) ψ = 2 ϕ cos ± V (2) 3rP sendo V 2 2 2 = z + z2 + z3 z z2 z z3 z2 z3 y = m cα, z m s + h = α (3) onde, c e s representam o cosseno e seno de um dado ângulo. A matrz de transformação de coordenadas é dada por: cθ sθ R = sθ + cθ cϕ cθ sθ sθ + cθ cϕ cθ cϕ sθ cϕ (5) pontos dados podem ser transformados em coordenadas das juntas quando o modelo cnemátco nverso é calculado. Seja um polnômo cúbco escolhdo para descrever a trajetóra dos ângulos das juntas. B- splnes são freqüentemente usadas para nterpolar funções que representam trajetóras de sstemas mecâncos, pos permtem o controle contínuo entre dos segmentos adjacentes, possbltando transmssões suaves nos atuadores dos manpuladores. Seja cada trajetóra α k (t) modelada pela B-Splne cúbca unforme abaxo: m k α ( t) = p B ( t m 3, k =,2,3. (6) k = 0 k, d ) onde p k são os pontos de controle correspondentes da trajetóra α k (t), e B,d são as funções defndas pela fórmula de recorrênca de Cox deboor ( Olvera,2004), para d=3 obtém-se a splne cúbca: B B () t, = 0 t t f t + t t t t out t + d () t = B () t + B () t (7), d, d +, d + d t + d t + Como α k (t) é um polnômo cúbco, suas j- ésmas dervadas em relação ao tempo podem ser calculadas. No projeto de otmzação as varáves são os pontos de controle p k de cada trajetóra e o tempo total de percurso. 4. MODELO DINÂMICO Com o objetvo de determnar o torque necessáro em cada atuador, utlzou-se a formulação de Newton-Euler sendo que as propredades de smetra do CaPaMan facltaram a análse das forças envolvdas, consderando o manpulador como um corpo rígdo [8]. A posção, a velocdade e a aceleração da plataforma móvel são obtdas do modelo geométrco e cnemátco do CaPaMan. t 3. MODELAGEM DA TRAJETÓRIA E DAS CARACTERÍSTICAS CINEMÁTICAS Para determnar a trajetóra das juntas utlzamse os pontos ncas e fnas, P 0 e P m, da trajetóra do manpulador, em coordenadas cartesanas. Os Fgura 2. Forças na plataforma fxa e móvel.
Deste modo, o equlíbro dnâmco para a PM é representado pelas equações de Newton-Euler na forma: F = + Fext + G F n, N N ext = Nn + (9) onde, F ext é a força externa; N ext é o torque externo; G é o peso da plataforma móvel; F é a soma das forças de reação F (=, 2,3) nos pontos H da PM; N é o torque resultante em relação ao sstema de referênca OXYZ fxo na base PF. Além dsso, devem ser consderar as expressões: F = M, N n = I ω + ω I ω, F = F, n a P 3 ( u P ) F 3 = N = r P R (0) = onde, M é a massa da PM; a P é a aceleração do ponto central P; ω& e ω são a aceleração angular e velocdade; I é a matrz de nérca da plataforma móvel. Os torques de entrada de cada mecansmo artculado de quatro barras é calculado através do equlíbro dnâmco das pernas, sendo τ P, o torque devdo à nérca da plataforma móvel e τ M devdo à nérca das pernas do CaPaMan: τ = τp + τm () 5. PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO A energa nos atuadores necessára para executar uma dada trajetóra é calculada por: E n 0 = Tt = [ ( t ) α ( t )] τ & dt (2). A trajetóra ótma é aquela cujo tempo de percurso e a energa gasta pelos atuadores é mínma, observando que estes dos objetvos são confltantes entre s. Neste trabalho, o tempo e a energa são abordados de forma conjunta através de uma função mult-objetvo. Utlzando o método de ponderação dos objetvos, o problema de otmzação é defndo como: E Tt mn f = K + K 2 (3) E0 T0 onde, K e K 2 são fatores de ponderação, T t é o tempo total de percurso, T 0 é o tempo total do trajetóra ncal, E é a energa mecânca total da trajetóra, E 0 é a energa mecânca da trajetóra ncal, α l k e α u k são os ângulos ncas e fnas de cada mecansmo. Então, adotados N p pontos, para um manpulador com n=3 mecansmos, ao desenvolver a Eq. (6) para o deslocamento, obtém-se um total de n(n p +2) ncógntas a determnar. O número total de equações para cada mecansmo devdo ao deslocamento é N p. Torna-se necessáro, portanto, consderar conhecdas as velocdades ncas e fnas para obter duas novas equações (normalmente α& o = α& f =0 ). Desta forma, obtémse um sstema de n(n p +2) equações lneares e n(n p +2) ncógntas C j a serem determnadas. No problema de otmzação da trajetóra as varáves de projeto são os coefcentes dos polnômos C j e o tempo total T t. 6. SIMULAÇÃO NUMÉRICA Nestas smulações as splnes foram construídas consderando N p = 80 pontos. A velocdade dos pontos ncas e fnas é nula. Utlzou-se um programa elaborado no MATLAB para cálculo da energa, em conjunto com o programa de otmzação GAOT [3]. Durante o processo de otmzação fo adotado 200 ndvíduos e 200 gerações. Varando-se os fatores de ponderação da função mult-objetvo dada na Eq. (3), obtém-se o conjunto de soluções ótmas de Pareto (Osyczka, 98). Neste trabalho serão apresentadas apenas duas destas soluções, analsando a nfluenca nas trajetóras ótmas calculadas. 6.. Prordade à Energa Gasta Pelos Atuadores (K =0.8; K 2 =0.2): Fgura 3.Trajetóra dos mecansmos sujeto a α u [ α ( t ] α l ) (=,2,3) (2)
Fgura 4. Trajetóra do ponto central da plataforma móvel. No prmero caso em estudo os três mecansmos possuem os ângulos de entrada guas α =α 2 =α 3, varando de 50 a 30. Consderando o tempo total da trajetóra ncal T 0 =0,3 s, a energa ncal calculada vale E 0 = 684.65J. A varação dos ângulos de entrada são representados na Fg.3. Para este caso a trajetóra do ponto central da plataforma móvel resulta em uma translação vertcal, como pode ser observado na Fg. 4. O tempo ótmo obtdo fo T t = 0,56 s e a energa ótma 282.32 J (reduz em 58.7 % do valor ncal). O segundo caso consdera a segunte combnação dos ângulos de entrada: α =α 3 α 2, utlzando as seguntes varações: 50 < α =α 3 < 20, 60 < α 2 < 90. A varação dos ângulos de entrada são representados na Fg. 5(a) e (b) e a trajetóra curvlínea na Fg.5(c). A energa ncal é de E 0 = 433.88 J. O tempo ótmo obtdo fo T t =0,57 s e a energa ótma E= 77,79 J (reduz em 59 % do valor ncal). Fgura 5. Resultados obtdos para o caso 2: α =α 3 α 2,, K =0.8; K 2 =0.2. (a) Trajetóra dos mecansmos e 3, (b) Trajetóra do mecansmo 2,(c) Trajetóra do ponto central da plataforma móvel. O tercero caso consdera que os ângulos de entrada de cada mecansmo podem varar de forma ndependente: α α 2 α 3. A varação adotada para os ângulo de entrada são: 80 < α < 00, 60 < α 2 < 30, 50 < α 3 < 20. A varação dos ângulos de entrada são representados na Fg.6, e a trajetóra curvlínea na Fg. 6. O cálculo da energa ncal resultou em E 0 = 572,5 J. O tempo ótmo obtdo fo T t = 0,50s e a energa ótma E = 8,64J (reduz em 68,2 % do valor ncal). (a) (b) (c) Fgura 6. Resultados obtdos para o caso 3, varando os três ângulos: α α 2 α 3 =0.8; K 2 =0.2. (a) Trajetóra do mecansmo, (b) Trajetóra do mecansmo 2, (c) Trajetóra do mecansmo 3
Fgura7. Trajetóra do ponto central da plataforma móvel para o caso 3: α α 2 α 3 =0.8; K 2 =0.2. Nestes três casos obteve-se uma redução sgnfcatva de energa, mesmo que para sso o tempo total de energa fosse aumentado, resultado esperado pos estes objetvos são confltantes. Observe que as trajetóras são descrtas por curvas suaves, o que mplca em torques suaves. 6.2. Prordade ao Tempo de Percurso (K =0.2; K 2 =0.8): (a) (b) Fgura 8. Resultados obtdos para o caso 4, com três ângulos guas, α =α 2 =α 3, K =0.2; K 2 =0.8: (a) Trajetóra dos mecansmos, (b) Trajetóra do ponto central da plataforma móvel. No caso 4 consderou-se que os três mecansmos possuem os ângulos de entrada guas α =α 2 =α 3, varando de 50 a 30. Para verfcar a otmzação do tempo total de percurso adotou-se tempo total ncal T 0 = s, sendo a energa ncal calculada E 0 = 54.06J. A varação dos ângulos de entrada é representada na Fg. 8(a). Como esperado a trajetóra resulta em uma translação vertcal, como pode ser observado na Fg.8(b). O tempo ótmo obtdo fo T t = 0,55 s e a energa ótma 292.98 J (aumenta em 90 % do valor ncal). O caso 5 consdera que os ângulos de entrada, α =α 3 α 2, utlzando as seguntes varações: 50 < α =α 3 < 20, 60 < α 2 < 90. A varação dos ângulos de entrada são representadas na Fg. 9(a) e (b) e a trajetóra curvlínea na Fg.9(c). O cálculo da energa ncal resultou em E= 96.33 J. O tempo ótmo obtdo fo T t =0,558 s e a energa ótma E= 83.29J. Observe que o tempo reduz em 44% e a energa aumenta em 90,2%.
(a) (b) (c) Fgura 9. Resultados obtdos para o caso 5, α =α 3 α 2,, K =0.2; K 2 =0.8:(a) Trajetóras dos mecansmos e 3, (b) Trajetóra do mecansmo 2,(c) Trajetóra do ponto central da plataforma móvel. 7. CONCLUSÃO Neste trabalho é apresentada uma formulação genérca para a otmzação de trajetóras de estruturas paralelas. A trajetóra é modelada por B-splnes cúbcas. É apresentado um modelo analítco para a dnâmca nversa do CaPaMan, utlzando as equações de Newton-Euler. O problema ótmo fo defndo pela mnmzação da energa mecânca consumda pelos atuadores e do tempo para a realzação da trajetóra. Os resultados obtdos nos casos, 2 e 3 apresentam uma grande redução de energa, e consderando que o manpulador executa uma sére de processos repettvos, ao fnal de um período de trabalho esta economa será enorme. Já nos casos 4, e 5, o tempo de percurso fo reduzdo drastcamente, possbltando maor rapdez na execução das trajetóras, no entanto com um gasto maor de energa. Assm, como trata-se de um problema de otmzação mult-objetvo, dado um conjunto de soluções ótmas, cabe ao usuáro defnr aquela que melhor satsfaça as condções operaconas desejadas. Vale ressaltar que o códgo computaconal desenvolvdo permte trabalhar com dferentes combnações entre os ângulos de entrada, possbltando que a estrutura paralela seja capaz de executar dferentes tpos de trajetóras, tornando-a mas versátl e efcente. 8. REFERÊNCIAS [3]Houck, C.R., J.A. Jonez and M. G. Kay, A Genetc Algorthms for Functon Optmzaton: a Matlab Implementaton, NCSU-IE Techncal Reported, 995. [4]Osyczka, A., 98, An Approach to Multcrteron Optmzaton for Structural Desgn, Proceedngs of Internatonal Symposum on Optmum Structural Desgn, Unversty of Arzona. [5]Haupt, R.L. e S.E. Haupt, Pratcal Genetc Algorthm, John Wley G. Sons Inc; New York, pp.25-48, 998. [6]Rosa, R. G., Olvera, P.J., Saramago, S. F. P. Modelo Geométrco de um Robô com Estrutura Paralela. Famat Em Revsta, Uberlanda, v. 02, n., p. 3-35, 2004. [7]Saramago, S. F. P ; CARBONE, G.; CECCARELLI, M.; OLIVEIRA, P. J.; CARVALHO, J. C. M. Optmum path Plannng of Capaman(Cassno Parallel Manpulator) by Usng Inverse Dynamcs. In: 2nd Internatonal Symposum On Multbody Systems And Mechatroncs, 2005, Uberlânda. Musme2005. IFToMM, 2005. v., p. 332-343 [8]Tsa, L.W., 999, Robot Analyss: The Mechancs of Seral and Parallel Manpulators, John Wley & Sons, New York. []Ceccarell, M., Fgloln, G. Mechancal characterstcs of CaPaMan (Cassno Parallel Manpulator). In: proceedngs of 3 rd Asan conference on robotcs and ts applcaton, 996, Tokyo, pp.30-308. [2]Carvalho, J.C.M., Ceccarell, M., 200, A closedform formulaton for nverse dynamcs of a Cassno Parallel Manpulator, Multbody Sstem Dynamcs, Vol. 5,pp. 85-20.