INF 16 CAPÍTULO 7 - Itervalo de cofiaça É uma maeira de calcularmo uma etimativa de um parâmetro decohecido. Muita veze também fucioa como um tete de hipótee. A idéia é cotruir um itervalo de cofiaça para o parâmetro com uma probabilidade de 1 α (ível de cofiaça) de que o itervalo coteha o verdadeiro parâmetro. Ob: α é o ível de igificâcia, ito é, o erro que etaremo cometedo ao afirmarmo que, por exemplo, 95% da veze o itervalo θ ˆ 1 < θ < θˆ cotém θ. Nee cao, o erro eria de 5%. Nee capítulo veremo apea a fórmula fial para e obter um itervalo de cofiaça. No etato, pode-e demotrar facilmete que itervalo de cofiaça ão obtido com bae a teoria dicutida o capítulo obre tete de hipótee. O leitor itereado pode procurar uma da literatura apreetada o primeiro dia de aula, ou com o profeor. Itervalo de cofiaça para média e variâcia. Itervalo de cofiaça para média Será vito apea o itervalo de cofiaça para a média populacioal ( µ ) quado a variâcia ( σ ) populacioal é decohecida. I C.(1 α ) : X tα µ X + t. α Ex: A eguite amotra: 9, 8, 1, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extraída de uma população ormal. Cotruir o itervalo de cofiaça, de 95%, para µ. Solução: X = 8,7 (87) 793 = 10 10 1 4,0 I.C.(95%) : 8,7,6 10 µ 8,7 +,6 10 = 7,7 µ 10,13 pelo fato de µ e um parâmetro e ão uma v.a. o itervalo acima deve er iterpretado da eguite maeira: 95% do itervalo aim cotruído coterão a verdadeira média. 87
INF 16 Itervalo de cofiaça para a variâcia de uma população ormal ( 1) I.C.(1 α) : χ ( 1) σ maior χ meor ode χ maior e χ meor ão obtido a tabela de χ, com 1 grau de liberdade e ível de igificâcia de acordo com a figura abaixo: Exemplo: Coiderado a mema amotra do exemplo aterior, calcule o I.C. para σ ao ível de 90% de cofiaça (ou eja, α = 10% ). Solução: Temo: = 10, = 4, g.!. = v = 9; α = 10% etão: I.C.(90%) erá: 9.4 9.4 σ ou,13 σ 10, 81 16,9 3,33 Itervalo de cofiaça para proporção Ob: O método apreetado abaixo é apropriado quado for maior que 30. I. C.(1 α) erá: f Z α f (1 f ) p f + Z α f (1 f ) ode f é a etimativa da proporção p. Exemplo: Etre 500 peoa iquirida a repeito de ua preferêcia eleitorai, 60 motraram-e favorávei ao cadidato B. Calcular o itervalo de cofiaça ao ível de 90% para a porcetagem (ou proporção) do eleitore favorávei a B. 88
INF 16 Solução: temo = 500 x = 60 1 α = 90% x 60 f = = = 0,5 500 0,5.0,48 0,5.0,48 I. C.(90%) = 0,5 1,64 p 0,5 + 1,64 ou 500 500 Determiação do tamaho da amotra Será dicutido o fial dee capítulo. Exercício Propoto 1) Em uma fábrica, colhida uma amotra de 30 peça para avaliação, obtiveram-e a eguite iformaçõe obre o diâmetro da peça: X = 13,13 e =, 05 Cotruir um itervalo de cofiaça para a média edo α = 5%. R.: 1,60 µ 13, 66 ) Sedo X uma população tal que X ~ N( µ, σ ) em que µ e σ ão decohecido. Uma amotra de tamaho 15 foreceu o valore x = 8,7 e 7, 3. Determiar um itervalo de cofiaça de 95% para i x i = σ. R.: 0,85 σ 3, 95 3) Uma cetea de compoete foi eaiada e 93 dele fucioaram mai de 500 hora. Determiar um itervalo de cofiaça de 95% para a proporção. R.: 0,88 p 0, 98 89
INF 16 COMPLEMENTO DO CAPÍTULO 7 Exercício Propoto 1) A força de compreão de cocreto etá edo tetada por um egeheiro civil. Ele teta 1 amotra e obtém o eguite dado: 16 37 49 04 5 301 81 63 318 55 75 95 Aumido-e ditribuição ormal pede-e: a) Cotrua o I.C. (95%) para a força média. b) Cotrua o I.C. (99%) para a força média. c) Ao ível de 5% de igificâcia verificar e a verdadeira média da força de compreão difere de 80. Realizar o tete t para uma média. d) Repetir o item c, porém uado α = 1%. e) Repetir o item c, porém verificado e a verdadeira força média difere de 300. f) Compare a cocluõe obtida uado-e I.C. e tete de hipótee. )Tita para marcação em afalto de rodovia ão oferecida em dua core, braca e amarela. O tempo de ecagem dea tita é de muito iteree, e epecificamete, upeita-e que a tita amarela eca mai rápido do que a braca. Amotra foram obtida para a medição do tempo de ecagem (em miuto), em codiçõe reai da dua tita: tita braca 10 13 13 1 140 110 10 107 tita amarela 16 14 116 15 109 130 15 117 19 10 Aumido ditribuição ormal pede-e: a) Obteha o I.C. (95%) para o tempo médio de ecagem de cada tipo de tita; b) Realize um tete de hipótee para repoder à quetõe apreetada o euciado do problema. Ue α = 5% ; c) Obteha o I.C. (95%) para a variâcia do tempo de ecagem de cada tipo de tita; d) Realize um tete F para verificar e amba à tita apreetam a mema variabilidade o tempo de ecagem. Ue α = 5%. LEITURA COMPLEMENTAR (Faz parte do auto do curo, ma ão erá cobrado em prova)! θ L, ode! é o limite iferior do Se coiderarmo o itervalo itervalo, L é o limite uperior do itervalo, e θ é o parâmetro decohecido, etão o comprimeto L! do itervalo de cofiaça obervado é uma medida importate da 90
INF 16 qualidade da iformação obtida da amotra. A metade do itervalo, ou eja, θ! ou, é chamado de precião do etimador. L θ Aim, quato maior o itervalo de cofiaça, mai cofiate ó etaremo de que realmete o itervalo calculado coteha o verdadeiro valor de θ. Por outro lado, quato maior o itervalo, meo iformação teremo obre o verdadeiro valor de θ. Numa ituação ideal, obtemo um itervalo relativamete curto com alta cofiaça. Itervalo de cofiaça para a média, quado a variâcia é cohecida. Se X é a média de uma amotra aleatória de tamaho de uma população com variâcia cohecida % da média µ é dado por ode α σ, o I.C. 100 ( 1 α) σ X z µ X α + zα z é obtido da ditribuição ormal reduzida. Exemplo: Um artigo o Joural of Heat Trafer (1974) apreeta o dado abaixo referete à codutividade térmica (em Btu/hr.ft. o F) de uma amotra de 10 peça metálica (ferro). 41,60 41,48 4,34 41,95 41,86 4,18 41,7 4,6 41,81 4,04 Obteha o I.C. (95%) da média da codutividade térmica ea peça metálica. Solução: média = 41,94 devio-padrão = 0,30 z α = z0,05 = z0,05 = Aim I.C. (95%): 41,738 < µ 4,110 1,96 Ob.1: A fórmula apreetada acima apreeta bo reultado para amotra oriuda da população ormal, ou para amotra com 30 de população ão ormal. O ível de cofiaça ( 1 α) ão erá exato para amotra pequea de população ão ormai. Ob.: Dede que o comprimeto do I.C. mede a precião da etimação, podemo obervar que a precião é iveramete relacioada com o ível de cofiaça. O deejável eria obter um I.C. que foe curto o uficiete para o propóito de tomada de decião, e que também tivee uma cofiaça adequada. Uma maeira de coeguir io eria pela ecolha do tamaho da amotra para er grade o uficiete para dar um I.C. de um determiado comprimeto com uma cofiaça defiida. σ Ecolha do tamaho da amotra 91
INF 16 A precião do I.C. é zα σ. Ito igifica que em uar X para etimar µ, o erro E = X µ é meor ou igual a zα σ com cofiaça 100 (1 α). Io poderia er motrado graficamete. Se o tamaho da amotra pode er cotrolado, podemo ecolher de modo que ó etaremo 100 (1 α) % cofiate de que o erro a etimação do µ erá meor do que um erro epecífico E. Aim, o tamaho amotral apropriado erá aquele de tal que zα σ zα σ = E, ou eja, =. E Ob.1: Se ão for iteiro, ete deve er aproximado para cima para garatir que o ível de cofiaça ão fique meor que 100(1 α)%. Ob.: Oberve que E é o comprimeto do I.C. de iteree. Exemplo: Coiderado o dado do exercício aterior, upoha que queremo que o erro a etimação da codutividade média aquela peça metálica eja meor do que 0,10 Btu/hr.ft. o F, com 95% de cofiaça. Solução: Já que σ = 0,30 e z 0,05 = 1,96 1,96. 0,30 = 0,10 = 34,57 35 Obervemo a relação geral etre tamaho da amotra, comprimeto deejado do I.C. (E), ível de cofiaça 100 ( 1 α) % e devio padrão σ : Se E dimiui, o tamaho amotral aumeta, para σ e ível de cofiaça cotate; Se σ aumeta, aumeta, para E fixo e 100 ( 1 α) % fixo. Se o ível de cofiaça aumeta, aumeta, para E fixo e σ fixo. Problema Propoto 1) Um fabricate produz aéi de pitão para motore de automóvei. Sabe-e que o diâmetro do ael tem ditribuição aproximadamete ormal com devio padrão σ = 0,001mm. Uma amotra aleatória de 15 aéi apreetou diâmetro médio X = 74,036 mm. a) Cotrua o I.C. (99%) para o diâmetro médio do ael. b) Cotrua o I.C. (95%) para o diâmetro médio do ael. ) Supoha que a vida em hora de lâmpada de 75 Watt teha ditribuição aproximadamete ormal com variâcia σ = (5 h). Uma amotra aleatória de 0 lâmpada apreetou X =1014 hora. a) Cotrua o I.C. (95%) para a média de vida. 9
INF 16 b) Supoha que deejamo er 95% cofiate de que o erro a etimação da vida média é meor do que 5 hora. Qual tamaho amotral deveria er uado? c) Supoha que ó queiramo um comprimeto total do I.C. da média de vida er de 6 hora ao ível de cofiaça de 95%. Qual tamaho amotral deveria er uado? 3) Um Egeheiro Civil etá aaliado a força de compreão de cocreto. Força de compreão é ormalmete ditribuído com σ = 1000 (pi). Uma amotra aleatória de 1 corpo de prova apreetou X =350 pi. a) Cotrua o I.C. (95%) para a média da força de compreão. b) Cotrua o I.C. (99%) para a média da força de compreão. c) Compare o comprimeto do I.C. calculado em a e b. d) Supoha que eja deejado etimar a força de compreão com um erro meor do que 15 pi e uma cofiaça de 99%. Qual deverá er o tamaho amotral? I.C. para Média quado σ é decohecido Se X e ão, repectivamete, a média e o devio padrão de uma amotra aleatória de uma população com ditribuição ormal com variâcia σ decohecida, etão o I.C. de 100 (1- α)% da média é dado por X tα µ X + tα, ode t α é obtido da ditribuição t de Studet Exemplo: Coidere o 0 dado abaixo correpodete ao tempo de reitêcia ao fogo (em egudo) de determiada vetimeta apó tratameto com uma titura epecial: 9,85 9,93 9,75 9,77 9,67 9,87 9,67 9,94 9,85 9,75 9,83 9,9 9,74 9,99 9,88 9,95 9,95 9,93 9,9 9,89 Auma que o tempo de reitêcia ao fogo egue uma ditribuição ormal. Obter o I.C. (95%) do tempo médio de reitêcia ao fogo. R.: 9,8073 µ 9,8977. Dizemo etar 95% cofiate de que a média do tempo de reitêcia ao fogo etá etre 9,8073 e 9,8977 egudo. Ecolha do tamaho da amotra Quado ão cohecemo a variâcia σ, a determiação do tamaho amotral eceário para forecer o I.C. com o comprimeto de iteree ão é fácil, já que o comprimeto do I.C. depede de σ e do valor de. Além dio etra o I.C. de dua maeira: 1 e t σ, 1. Dea forma, a obteção de ocorre por meio de tetativa e erro, uado uma etimativa de σ baeada, talvez, em experiêcia paada. 93
INF 16 Outra poibilidade eria tomar uma amotra prelimiar (amotra piloto) de obervaçõe para etimar σ. Etão, uado o devio padrão amotral como uma aproximação para σ uamo a equação zα. σ = E para calcular o valor requerido de para forecer a acurácia e o ível de cofiaça deejado. 94