ANÁISE MATRICIA DE ESTRUTURAS DE BARRAS PEO MÉTODO DE RIGIDEZ A análse matrcal de estruturas pelo método de rgdez compreende o estudo de cnco modelos estruturas báscos: trelça plana, trelça espacal, pórtco plano onde se nclu o caso partcular da vga, pórtco espacal e grelha plana. Em todos os casos admtese a estrutura composta por barras lgadas nternamente por nós. Aos nós estão assocados deslocamentos e cargas ou ações nodas. As barras (elementos) estão assocadas solctações de etremo de barra. Ao estudar-se uma estrutura pelo método de rgdez, assm como qualquer outro problema de elastcdade, três conuntos de equações devem ser satsfetos: -As equações consttutvas, -As equações de compatbldade, -As equações de equlíbro. No desenvolvmento do conteúdo as equações acma serão apresentadas. Desta forma, podemos defnr as seguntes etapas fundamentas na solução de um problema pelo método de rgdez por computador: 1. Identfcação estrutural. Cálculo da matrz de rgdez da barra e do vetor de cargas nodas equvalentes.montagem da matrz de rgdez global e do vetor de cargas global de toda a estrutura 4. Introdução das condções de contorno 5. Solução do sstema de equações 6. Cálculo das solctações nos etremos das barras e das reações nodas A segur desenvolveremos o método para o estudo das trelças planas. 1 - IDENTIFICAÇÃO ESTRUTURA Esta etapa consste em defnr-se a estrutura. Para sto devemos seleconar um sstema global de eos de referênca para a estrutura. Este sstema deverá consttur um tredro dreto. As coordenadas nodas são defndas em função destes eos. As barras são defndas através de sua conectvdade, ou sea, dos nós aos quas ela se conecta. A cada barra está assocado um sstema de eos local. Este sstema fca defndo através da ordem que são fornecdos os nós da barra, sto é, o eo é o eo geométrco da barra sendo seu sentdo estabelecdo do nó ncal ao nó fnal. Os eos y e z deverão concdr com os eos prncpas centras de nérca da seção transversal da barra, formando um tredro dreto.sea o eemplo abao: 1
000 1000 1 1 COORDENADAS NODAIS Número do nó y 1 0 0 0 0 X(número de nós) = Y(número de nós)= 4 0 4 0 CONECTIVIDADES Barra Nó Incal Nó Fnal 1 1 1 C (número do elem., 1 ) = conetvdade ncal da barra I C (número do elem., ) = conetvdade fnal da barra I PROPRIEDADES Para cada elemento da trelça deverá ser fornecdo o Módulo de Elastcdade ongtudnal (E) e a área de sua seção transversal (A). RESTRIÇÕES Nó restngdo R Ry CÒDIGO : 0 desl. Prescrto 1 0 0 1 desl. vre 1 0
CARGAS Para as trelças as cargas somente podem ser aplcadas nos nós. Nó carregado F Fy 1000-000 Da resstênca sabemos que o alongamento ou encurtamento de uma barra submetda somente a esforço normal aal é dado pela epressão abao y N =N./E.A -----N=E. A. / N Com os dados acma, o programa pode calcular o comprmento das barras : Barra 1 y =1 = y I=C(1,1)=1 nó ncal J=C(1,)= nó fnal =X() X(1)=-0= y=y()- Y(1)= -0= Assm, o comprmento da barra será: = + y = 4 +4 = 8 E, a nclnação da barra em relação aos eos globas, será: Cos θ = / Sen θ =y / 1QUADRANTE Convenção Cos θ = c Sen θ = s O sentdo dos eos locas será dado pelo snal do seno e do cosseno do ângulo. Para a barra 1, teremos:
c = y / + s = / + - + + + Cosseno Seno - MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ DA BARRA l = D D ' Dy y + F Dy Da resstênca ogo: ' D D F = N. /E.A----------N = E.A. / F =- E.A. / F y = E.A. / Substtundo = D D nas equações acma vem: F = -E.A.(D -D )/ = - E.A. D / + E.A.D / Ou F = E.A. (D D )/ = E. A. D / - E. A.D F = E. A. D / E. A. D / F = -E. A. D /+ E. A. D / Escrevendo a equação acma de forma matrcal teremos: 4
F EA/ 0 -E.A/ 0 D F y 0 0 0 0 D y -------- = ---------------------------------------------------------. ------ F -E.A/l 0 E.A/ 0 D F y 0 0 0 0 D y Assm teremos a EQUAÇÃO DA BARRA DE TREIÇA EM COORDENADAS OCAIS, esta equação epressa as forças nos etremos das barras com os deslocamentos nodas REAÇÕES CONSTITUTIVAS: F 1 = S 1. D 1 Onde: F 1 :Vetor de solctações nos etremos da barra em coordenadas locas. S 1 : Matrz de rgdez da barra em coordenadas locas. D 1: Vetor de deslocamentos nodas em coordenadas locas TRAÇÃO COMPRESSÃO y + y F - F F F A dreção da força do nó fnal (), ndca o snal correto do esforço. 5
INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA MATRIZ DE RIGIDEZ DA BARRA Imagnemos todos os deslocamentos guas a 0 eceto D = 1 y D =1 F F = E.A/ F y = 0 F = -E.A/ F y = 0 F ' Prmera coluna da matrz de rgdez. Imagnemos todos os deslocamentos guas a 0 eceto Dy = 1 Dy=1 F = 0 F y = 0 F = 0 F y = 0 Segunda coluna da matrz de rgdez Assm s (,) = corresponderá a força ou reação que ocorre na dreção devdo a um deslocamento untáro na dreção. ROTAÇÃO DE EIXOS Com o obetvo de epressar a equação matrcal da barra de trelça em coordenadas globas, vamos estudar o procedmento para a obtenção de quantdades vetoras em dferentes sstemas de referênca. Seam V e Vy as componentes do vetor V segundo o sstema de eos globas da estrutura, θ ângulo que o sstema eecuta com o eo global.desta forma, teremos: SISTEMA GOBA---> SISTEMA OCA V = V.cosθ + Vy.senθ Vy = -V.senθ +Vy.cosθ 6
y y Vy.cos Vy V Vy.sen V.cos V.sen MATRICIAMENTE V cos θ sen θ V =. Vy -sen θ cos θ Vy V = R.V De forma nversa, os vetores V e Vy podem ser decompostos segundo o sstema de eos globas: SISTEMA OCA ----->SISTEMA GOBA y V = V.cosθ - Vy.senθ Vy.cos Vy = V senθ + Vy cosθ Vy.sen Vy V V.cos V.sen MATRICIAMENTE V cosθ -senθ V =. Vy senθ cosθ Vy V = R -1. V V = R T. V R -1 = R T Em termos de deslocamentos teremos: D c s D D c s 0 0 D =. D y -s c Dy D y -s c 0 0 Dy = --------------------------------. ------- D 0 0 c s D D c s D =. D y -s c Dy D y 0 0 c s Dy D 1 = RT. D1 7
Sendo: D 1 = Vetor que contém os deslocamentos dos dos nós da barra em coordenadas locas. RT =Matrz de rotação total da barra,pos nclu os dos nós etremos. D1 = Vetor que contém os deslocamentos dos dos nós da trelça em coordenadas globas. R 0 RT = ----------- 0 R Da mesma forma, para a rotação das solctações nos etremos das barras teremos : F R 0 F = ----------. F 0 R F Agora vamos epressar a equação matrcal da barra de trelça em coordenadas globas.sabemos que: Mas F 1 = RT. F1 F 1 = S 1. D 1 D 1= RT. D1 Assm E RT. F1 = S 1. RT. D1 RT -1.RT. F1 = RT -1. S 1. RT. D1 Resulta F1 = S1. D1 É A EQUAÇÃO FUNDAMENTA DA BARRA DE TREIÇA EM COORDENADAS GOBAIS Onde S1 = RT -1. S 1. RT é a matrz de rgdez da barra de trelça em coordenadas globas Ou sea c -s 0 0 EA/ 0 -EA/ 0 c s 0 0 s c 0 0 0 0 0 0 -s c 0 0 ----------------------------. -----------------------------. ---------------------------- S1= 0 0 c -s -EA/ 0 EA/ 0 0 0 c s 0 0 s c 0 0 0 0 0 0 -s c 8
logo c c.s -c -c.s c.s s -cs -s S1 = EA/ ---------------------------- -c -c.s c c.s -c.s -s c.s s. MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GOBA E DO VETOR DE CARGAS GOBA DE TODA A ESTRUTURA Sea a trelça plana da fgura abao.as equações matrcas das barras que a consttuem em coordenadas globas são: 000 1000 1 Barra 1 1 1 F 1 1 s 1 11 s 1 1 s 1 1 s 1 14 D 1 1 1 1 F 1 y1 s 1 1 s 1 s 1 s 1 4 D 1 y1 F 1 1 1 S 1 11 S 1 1 D 1 1 ------ = -------------------------------. ---- 0u = ----------. F 1 s 1 1 s 1 s 1 s 1 4 D 1 F 1 S 1 1 S 1 D 1 F 1 y s 1 41 s 1 4 s 1 4 s 1 44 D 1 y Barra F s 11 s 1 s 1 s 14 D F y s 1 s s s 4 D y F S S D ------ = -------------------------------. ---- ou = -----------. F s 1 s s s 4 D F S S D F y s 41 s 4 s 4 s 44 D y 9
Barra 1 F 1 s 11 s 1 s 1 s 14 D 1 1 1 F y1 s 1 s s s 4 D y1 F 1 S 11 S 1 D 1 --- = --------------------------------. ---- 1 F s 1 s s s 4 D ou ---- = -------------. ---- F y s 41 s 4 s 4 s 44 D y F S 1 S D As condções de equlíbro em cada nó da estrutura estabelecem que as cargas eternas aplcadas nos nós devem ser guas a soma das solctações nos etremos das barras que concorrem neste nó.assm, a soma das cargas eternas aplcadas no nó da trelça acma deve ser gual a soma das solctações das barras 1 e no nó, ou sea: 1000 = F 1 + F = F -000 = Fy 1 + Fy = Fy Por outro lado, pela condção de compatbldade de deslocamentos temos : D 1 = D Dy 1 = Dy Segundo este racocíno para todos os nós da trelça temos A MATRZ DE RIGIDEZ GOBA DA ESTRUTURA EM COORDENADAS GOBAIS. F1 s111+s11 s1+s1 s1 s14 s1 s14 D1 Fy1 s1+s1 s+s s s4 s s4 Dy1 F s1 s s+s11 s4+s1 s1 s14 D =. Fy s41 s4 s4+s1 s44+s s s4 Dy F s1 s s1 s s+s s4+s4 D Fy s41 s4 s41 s4 s4+s4 s44+s44 Dy Para a trelça acma, os nós 1, e ocupam as super lnhas e super colunas da matrz. As super lnhas e super colunas terão tantas lnhas e colunas quantos forem o número de graus de lberdade por nó. Assm, o posconamento das submatrzes da matrzes de rgdez das barras da trelça acma serão: 10
F1 S11+S11 S1 S1 D1 F = S1 S+S S. D F S1 S S+s D Observa-se que a matrz de rgdez da trelça acma possu 6 lnhas e 6 colunas, ou sea, nós com graus de lberdade por nó.assm a matrz de rgdez de uma trelça com n nós será de dmensões.n X.n. O sstema de equações acma não pode ser resolvdo, uma vez que não foram aplcadas as condções de contorno da estrutura. 4 INTRODUÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO Para a trelça dada, temos: D1=Dy1=Dy=0 A elmnação da equação de um deslocamento, mplcara na destrução da banda da matrz e egra um rearrano das ncógntas do problema.um artfíco usado para ntroduzr um deslocamento nulo consste em fazer o elemento da dagonal prncpal gual a 1 e anular todas as restantes posções pertencentes a esta lnha e coluna 5 RESOUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES 6 CÁCUO DAS SOICITAÇÕES NOS EXTREMOS DAS BARRAS Sabemos que F1 = S1.D1 Assm, obtdos os deslocamentos, calculamos as solctações nos etremos das barras em coordenadas globas e utlzando a matrz de rotação da barra (RT) calculamos as solctações nos etremos das barras em coordenadas locas. As reações nodas são calculadas somando-se todas as forças que concorrem no nó em coordenadas globas. 11