Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo...Dai de graça o que de graça recebeste... A oção de que um dólar hoje é preferível a um dólar em algum mometo o futuro é bastate ituitiva para a maioria das pessoas compreederem, sem usarem modelos e matemática. Etretato, os pricípios de valor presete forecem apoio adicioal a esta declaração, e permitem-os calcular quato exatamete um dólar daqui a algum tempo o futuro vale em dólares de hoje e, aida, mover o fluxo de caixa o tempo. O valor presete é um coceito, ituitivamete atraete, simples de computar, e tem uma gama extesa de aplicações. Ele é útil o ato de tomar decisões, ido de decisões pessoais simples comprar uma casa, poupaça para a educação das criaças e estimar o redimeto a aposetadoria, para decisões complexas de fiaças corporativas escolhedo em qual projeto ivestir, como também o correto fiaciameto combiado com estes projetos. Liha de Tempo e Notação Lidado com fluxos de caixa que estão em potos diferetes o tempo tora-se mais fácil usar uma liha de tempo que mostra o istate e a quatia de cada fluxo de caixa uma série deles. Assim, uma série de fluxos de caixa de $100 ao fial de cada um dos próximos 4 aos, pode ser desehada uma liha de tempo como esta da Figura 3.1. Na figura, o 0 refere-se ao agora. Um fluxo de caixa que ocorre o istate 0 está, portato, já o valor presete e ão precisa ter seu valor ajustado o tempo. Uma distição deve aqui ser feita etre um período de tempo e um poto o tempo. A porção da liha de tempo etre 0 e 1 refere-se ao período 1, que, este exemplo, é o primeiro ao. O fluxo de caixa que ocorre o poto "1" do tempo se refere ao fluxo de caixa que ocorre o fial do período 1. Fialmete, a taxa de descoto, que é 10% este exemplo, é especificada para cada período sobre a liha de tempo e pode ser diferete para cada período. Estado os fluxos de caixa o iício de cada ao em vez do fial de cada ao, a liha de tempo teria que ser redesehada como aparece a Figura 3.2.
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 2 Note que em termos de valor presete, um fluxo de caixa que ocorre o começo do ao 2 é o equivalete de um fluxo de caixa que ocorre o fial do ao 1. Os fluxos de caixa podem ser ou positivos ou egativos; fluxos de caixa positivos são chamados de etrada de caixa e fluxos de caixa egativos são chamados de saída de caixa. Para propósitos de otação, assumiremos o seguite para o capítulo que se segue: Notação VP VF FC t PGTO A R G N ou Sigifica Valor Presete Valor Futuro Fluxo de Caixa o fial do período t Auidade ou Pagametos: Fluxos de Caixa Costates por vários períodos Taxa de Descoto Razão de crescimeto esperada Número de aos sobre os quais os fluxos de caixa são recebidos ou pagos As Bases Ituitivas para o Valor Presete Existem três razões do por quê um fluxo de caixa o futuro vale mais que um similar fluxo de caixa hoje: (1) Os idivíduos preferem o cosumo presete ao cosumo futuro. Teria de ser oferecido à pessoa mais o futuro para ela abrir mão do cosumo presete. Se a preferêcia pelo cosumo atual é forte, terá que se oferecer aos idivíduos muito mais em termos do cosumo futuro para abrirem mãos do cosumo atual, uma troca que é capturada por uma alta taxa real de retoro ou taxa de descoto. Reciprocamete, quado a preferêcia pelo cosume atual é fraca, os idivíduos se cotetarão com muito meos em termos de cosumo futuro e, por extesão, uma baixa taxa real de retoro ou taxa de descoto. (2) Quado existir iflação moetária, o valor atual dimiui com o tempo. Quato maior a iflação, maior a difereça o valor etre um fluxo de caixa hoje e o mesmo fluxo de caixa o futuro. (3) Um fluxo de caixa prometido ão poderia ser liberado por várias razões: o prometedor poderia fugir dos pagametos, aquele a quem se prometeu o pagameto poderia ão estar por lá para receber o pagameto; ou alguma outra cotigêcia poderia itervir para evitar o pagameto prometido ou reduzi-lo. Qualquer icerteza (risco), associada com o fluxo de caixa o futuro reduzirá o valor do fluxo de caixa. O processo pelo qual os fluxos de caixa futuros são ajustados para refletirem estes fatores é chamado de descoto, e a magitude destes fatores é refletida a taxa de descoto. A taxa de descoto icorpora todos os fatores mecioados acima. De fato, a taxa de descoto pode ser vista como uma composição do retoro real esperado (refletido as
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 3 preferêcias de cosumo o agregado sobre a população ivestidora), a taxa de iflação esperada (para capturar a deterioração o poder de compra do fluxo de caixa) e a icerteza associada com o fluxo de caixa. A Mecâica do Valor o Tempo O processo de descotar fluxos de caixa futuros coverte-os em fluxos de caixa em termos de valores presetes. Reciprocamete, o processo de composição coverte os fluxos de caixa presetes em fluxos de caixas futuros. Primeiro Pricípio do Valor o Tempo: Os fluxos de caixa em diferetes potos do tempo ão podem ser comparados e agregados. Todos os fluxos de caixa têm que ser levados ao mesmo poto o tempo ates que as comparações e agregações sejam feitas. Existem cico tipos de fluxos de caixa - fluxo de caixa simples, auidades, auidades crescetes, perpetuidades e perpetuidades crescetes, que serão discutidos abaixo. Fluxos de Caixa Simples. Um fluxo de caixa simples é um fluxo de caixa úico um período de tempo futuro especificado; ele pode ser desehado sobre uma liha de tempo: ode CF t = o fluxo de caixa o tempo t. Este fluxo de caixa pode ser descotado de volta ao presete usado uma taxa de descoto que reflita a icerteza do fluxo de caixa. Simultaeamete, fluxos de caixa o presete podem ser compostos para se chegar a um fluxo de caixa esperado o futuro. I. Descotado um Fluxo de Caixa Simples. Ao descotar um fluxo de caixa se covertem em valor presete os dólares e habilita-se o usuário a fazer várias outras coisas. Primeiro, covertidos os fluxos de caixa em valor presete, eles podem ser agregados e comparados. Segudo, se os valores presetes são estimados corretamete, o usuário deverá ficar idiferete etre o fluxo de caixa futuro e o valor presete daquele fluxo de caixa. O valor presete de um fluxo de caixa pode ser escrito como segue FC Valor Presete de um Fluxo de Caixa Simples = 1+ t ( r) t
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 4 ode FC t = Fluxo de Caixa o fial do período t. r = Taxa de Descoto. As outras coisas permaecem iguais, o valor presete de um fluxo moetário dimiuirá com os aumetos da taxa de descoto e cotiuará dimiuido aida mais o futuro quado o fluxo de caixa ocorrer. Ilustração: Descotado um Fluxo de Caixa Assuma que você seja o doo da Ifosoft, uma pequea firma de software. Você está atualmete alugado seu espaço para o escritório, e espera fazer um pagameto da quatia total ao proprietário do bem imobiliário de $500.000 dez aos a partir de hoje. Assuma que uma taxa de descoto apropriada para este fluxo de caixa seja 10%. O valor presete deste fluxo de caixa pode etão ser estimado: $ 500.000 Valores Presetes dos Pagametos = = $192.772,00 10 ( 1,10) Este valor presete é uma fução decrescete da taxa de descoto, como ilustrado a Figura 3.4. Figura 3.4 - Valor Presete de $ 500.000 em 10 aos Valor Presete 500000 450000 400000 350000 300000 250000 200000 150000 100000 50000 0 Valor Presete 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% Taxa de Descoto
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 5 II. Compodo um Fluxo de Caixa Fluxos de caixa atuais podem ser movidos para o futuro compodo o fluxo de caixa uma taxa de descoto apropriada. Valor Futuro do Fluxo de Caixa Simples = FC0 (1+ r) t, ode FC 0 = Fluxo de Caixa agora. r = Taxa de Descoto. Novamete, o efeito de composição aumeta com a taxa de descoto e o período de composição. Ilustração: O Poder da Composição Ações, Bôus (Bods) e Letras de Câmbio. Quado o tamaho do período de propriedade é estedido, pequeas difereças as taxas de descoto podem coduzir a grades difereças o valor futuro. Num estudo dos retoros das ações e bôus etre 1926 e 1997, Ibbotso e Siquefield ecotraram que as ações a média atigiram 12.4%, os bôus do tesouro atigiram 5.2%, e as letras do tesouro atigiram 3.6%. Assumido que estes retoros cotiuem o futuro, a Tabela 3.1 foreceos os valores futuros de $ 100 ivestidos em cada categoria o fial de vários períodos de holdig - 1 ao, 5 aos, 10 aos, 20 aos, 30 aos, e 40 aos. Tabela 3.1: Valores Futuros dos Ivestimetos Classes de Ativos Período de Propriedade Ações Bôus do Tesouro Letras do Tesouro 1 $112.40 $105.20 $103.60 5 $179.40 $128.85 $119.34 10 $321.86 $166.02 $142.43 20 $1,035.92 $275.62 $202.86 30 $3,334.18 $457.59 $288.93 40 $10,731.30 $759.68 $411.52 As difereças o valor futuro do ivestimeto a estas diferetes taxas de retoros são pequeas para períodos de composição curtos (tais como 1 ao) mas toram se maiores quado o período de composição é exteso. Por exemplo, com um horizote de tempo de 40 aos, o valor futuro do ivestimeto em ações, uma media de retoro de 12,4%, é mais do que 12 vezes maior que o valor futuro do ivestimeto em bôus do
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 6 tesouro e uma média de retoro de 5,2% mais do que 25 vezes o valor futuro do ivestimeto as letras do tesouro uma média de retoro de 3,6%. A Regra do 72: Um Atalho para estimar o Efeito da Composição Num aperto, a regra de 72 forece uma resposta aproximada à questão "Quão rapidamete esta quatia dobrará de valor?", dividido 72 pela taxa de descoto ou de juros, usadas a aálise. Assim, um fluxo de caixa crescete a 6% ao ao dobrará de valor em aproximadamete 12 aos, equato um fluxo de caixa crescete a 9% dobrará de valor em aproximadamete 8 aos. III. A Freqüêcia do Descoto e Composição. A freqüêcia de composição afeta ambos os valores futuros e presete dos fluxos de caixa. Nos exemplos acima, os fluxos de caixa foram assumidos serem descotados e compostos aualmete, isto é, os pagametos dos juros e redimetos foram computados o fial de cada ao, baseados o balaço o iício do ao. Em algus casos, etretato, os juros devem ser calculados mais freqüetemete, tais como com base mesal ou semestral. Nestes casos, os valores: presete e futuro - podem ser muitos diferetes daqueles computados uma base aual; a taxa de juros estabelecida, uma base aual, pode desviar sigificativamete da taxa de juros efetiva ou verdadeira. A taxa de juro efetiva pode ser calculada, como segue: Taxa de Juro Aual Estabeleci da Taxa de Juro Efetiva = 1 + -1 ode = úmero de períodos de composição durate o ao (2=semestral; 12=mesal). Por exemplo, uma taxa de juro aual de 10%, se existe uma composição semestral, produz uma taxa de juros efetiva de: Taxa de Juros Efetiva = 1,05 2-1 =,10125 ou 10,25% Quado a composição se torar cotíua, a taxa de juros efetiva pode ser calculada como segue: Taxa de Juros Efetiva = exp r - 1 ode, exp = fução expoecial.
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 7 r = taxa de juros aual estabelecida. A Tabela 3.2 forece as taxas efetivas como uma fução da freqüêcia da composição. Tabela 3.2: Efeito da Freqüêcia de Composição sobre as Taxas de Juros Efetivas Freqüêcia Taxa t Fórmula Taxa Aual Efetiva Aual 10% 1 1.10-1 10% Semestral 10% 2 (1+.10/2) 2-1 10.25% Mesal 10% 12 (1+.10/12) 12-1 10.47% Diária 10% 365 (1+.10/365) 365-10.5156% 1 Cotíua 10% exp (.10) -1 10.5171% Como você pode ver, quato mais freqüete tora-se a composição, a taxa efetiva cresce, e o valor presete dos fluxos de caixa futuros dimiui. Auidades Uma auidade é um fluxo de caixa costate que ocorre em itervalos regulares por um período fixo de tempo. Defiido PGTO como auidade, a liha de tempo para uma auidade pode ser desehada como segue: Uma auidade pode ocorrer o fial de cada período, como esta liha de tempo, ou o iício de cada período. I. Valor Presete de uma Auidade o Fial do Período O valor presete de uma auidade pode ser calculado tomado cada fluxo de caixa e descotado para o presete e daí adicioado os valores presetes. Alterativamete, uma fórmula poderia ser usada o cálculo. No caso das auidades que ocorrem o fial de cada período, esta fórmula pode ser escrita como: VP da Auidade = VP(PGTO, i, 1 1- (1+ i) ) = PGTO i
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 8 ode PGTO = Auidade i = Taxa de Descoto = Número de aos. Coseqüetemete, a otação que usaremos o resto deste texto para o valor presete de uma auidade será VP(PGTO, i, ) 1. Ilustração: Estimado o Valor Presete das Auidades Assuma ovamete que você seja o doo da Ifosoft, e que você teha de escolher etre comprar uma copiadora de R$ 10.000,00 à vista ou pagado $ 3.000,00 por ao em 5 aos pela mesma copiadora. Se o custo de oportuidade é 12%, qual delas você escolheria? 1 1- VP de $ 3.000,00 auais durate 5 aos = $ 3.000,00 0,12 ( 1,12) 5 = $10.814,00 O valor presete das prestações excede o preço à vista; portato, você vai querer pagar $ 10.000,00 a vista agora. Por outro lado, o valor presete poderia ter sido estimado descotado cada um dos fluxos de caixa para o presete e agregado os valores presetes como ilustrado a Figura 3.5. 1 Existem outras como FAC(,i) ou a i.
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 9 Ilustração: Valor Presete de Auidades Múltiplas Supoha que você seja um cosultor de um fudo de pesão do The Home Depot, e que você está tetado estimar o valor presete de suas obrigações de pesão esperadas, cuja quatia em termos omiais seja o seguite: Aos Fluxo de Caixa Aual 1-5 $ 200.0 milhões 6-10 $ 300.0 milhões 11-20 $ 400.0 milhões Se a taxa de descoto é 10%, o valor presete destas três auidades pode ser estimado como segue: Valor Presete da primeira auidade = $ 200 milhões * VP (PGTO, 10%, 5) = $ 758 milhões. Valor Presete da seguda auidade = $ 300 milhões * VP (PGTO,10%,5) / 1,10 5 = $ 706 milhões. Valor Presete da terceira auidade = $ 400 milhões * VP (PGTO,10%,10) / 1.10 10 = $ 948 milhões. Os valores presetes da seguda e terceira auidades podem ser estimados em dois passos: Primeiro, o valor presete padrão da auidade é calculado sobre o período em que a auidade é recebida, segudo, esse valor presete é levado de volta para o presete. Assim, para a seguda auidade, o valor presete de $ 300 milhões a cada ao por 5 aos é calculado como $ 1.137 milhões; este valor presete realmete é a partir do fim do quito ao. É descotado de volta mais 5 aos para se chegar ao valor presete hoje que é $ 706 milhões. Valor Presete Acumulado = $ 758 milhões + $706 milhões + $948 milhões = $2,412 milhões. II. Fatores de Amortizações Auidades Dados os Valores Presetes Em algus casos, o valor presete dos fluxos de caixa é cohecido e a auidade precisa ser estimada. Este é freqüetemete o caso com empréstimos de cassas e automóveis, por exemplo, ode o mutuário recebe o empréstimo hoje e paga-o em prestações mesais iguais por um exteso período de tempo. Este processo de ecotrar uma auidade quado o valor presete é cohecido é examiado abaixo:
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 10 Auidade dado o Valor Presete = PGTO(VP, i, ) = VP 1- i 1 ( 1+ i) Ilustração: Calculado As Prestações Mesais Sobre Um Empréstimo de Uma Casa Supoha que você esteja tetado emprestar $200.000,00 para comprar uma casa sob a hipoteca covecioal de 30 aos com pagametos mesais. A taxa percetual aual do empréstimo é 8%. Os pagametos mesais deste empréstimo podem ser estimados usado fórmula devida para a auidade: Taxa de juro mesal sobre o empréstimo = TPA/ 12 = 0,08/12 = 0,0067 0,0067 Pagametos Mesais sobre a Hipoteca = $ 200.000 1 1- ( 1,0067) 360 = $1.473,11 Este pagameto mesal é uma fução crescete das taxas de juros. Quado as taxas de juro caem, os proprietários dos imóveis usualmete têm de escolher o re-fiaciameto, ão obstate exista um custo adicioal para se fazer isso. Examiemos esta questão de se re-fiaciar ou ão posteriormete este capítulo. III. Valor Futuro Das Auidades o Fial dos Períodos Em algus casos, um idivíduo pode plaejar depositar uma auidade fixa em cada período por vários períodos e querer saber quato ele ou ela terão o fial do período. O valor futuro de uma auidade o fial do período pode ser calculado como segue: VF de uma Auidade = VF(PGTO, i, ) = PGTO ( 1+ i) i 1 Assim, a otação que usaremos através deste texto para o valor futuro de uma auidade será VF(PGTO, i, ). Ilustração: Cota Idividual de Aposetadoria (CIA) A Cota Idividual de Aposetadoria (CIA) permite algus cotribuites guardar $2.000 por ao para aposetadoria e iseto de taxação sobre os gahos dos redimetos estas cotas. Se um idivíduo começa a depositar diheiro uma CIA cedo a sua vida de
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 11 trabalho, o valor a aposetadoria pode ser substacialmete maior que a quatia omial realmete colocada ela. Por exemplo, assuma que este idivíduo deposite $ 2.000 ao fim de cada ao, começado quado ela teha 25 aos, para uma aposetadoria esperada a idade de 65 aos, e que ela espera coseguir 8% ao ao os seus ivestimetos. O valor esperado da cota a data de sua aposetadoria pode ser estimado como segue: 40 (1.08) 1 Valor Esperado do IRA guardado aos 65 aos = $ 2.000 = $ 518.113 0.08 A iseção de taxa adicioa substacialmete ao valor porque ela permite o ivestidor mater o retoro pré-fixado em 8% coseguido o ivestimeto CIA. Se o redimeto foi taxado em digamos 40%, a taxa de retoro pós teria caído a 4,8%, resultado em um valor esperado muito mais baixo: 40 (1.048) 1 Valor Esperado do IRA guardado ao 65 aos se taxado = $ 2.000 = $ 230.127 0,048 Como você pode ver, os fudos dispoíveis a aposetadoria cai em mais de 55% como uma coseqüêcia da perda da perda de iseção de impostos (taxação). IV. Auidade Dado o Valor Futuro Idivíduos ou egociates que têm uma obrigação fixa a atigir ou uma meta a cumprir (em termos de poupaça) algumas vezes o futuro precisam saber quato eles deveriam guardar em cada período para atigir esta meta. Se você está dado o valor futuro e procurado a auidade PGTO (VF, i, ) em termos de otação: Auidade dado o Valor Futuro = PGTO(VF,i, ) = VF ( 1+ i) 1 Ilustração: Provisão de Fudo de Amortização (Sikig Fud) sobre um Bôus. Em qualquer empréstimo com prestações balão 2, somete os pagametos das taxas são feitos durate a vida do empréstimo, equato o pricipal é pago o fial do período. Compahias que emprestam diheiro usado o pagameto balão ou bôus covecioal (que compartilham as mesmas características) freqüetemete depositam diheiro em fudos de amortizações (sikig fuds) durate a vida do empréstimo para assegurar que elas teham o suficiete a maturidade para pagar o pricipal sobre o empréstimo ou o valor de face dos bôus. Assim, uma compahia que tem um bôus com valor de face de $ 100 milhões vecedo daqui a 10 aos, precisaria guardar a seguite quatia cada ao (assumido uma taxa de juros de 8%): i 2 Uma grade prestação feita o fial de um empréstimo fiaceiro, permitido que pequeas prestações sejam feitas durate o prazo, para permitir ao tomador usar a difereça em outras aplicações até que o pagameto fial seja devido. Balão = soma pricipal
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 12.08 Provisão de Sikig Fud a cada ao = $ 100.000.000 = $ 6.902.950 10 ( 1.08) 1 A compahia precisará guardar $6.9 milhões o fial de cada ao para garatir que existam fudos suficietes ($ 10 milhões) para aposetar os bôus a maturidade. V. Efeito de Auidades o Iício de Cada Ao As auidades cosideradas até agora este capítulo são fluxos de caixa o fial do período (postecipadas). Mas, o valor presete e o valor futuro, serão afetados se os fluxos de caixa ocorrerem o iício de cada período ao ivés do fim. Para ilustrar este efeito, cosidere uma auidade de $ 100 o fial de cada ao os próximos 4 aos, com uma taxa de descoto de 10%. Cotrastado isto com uma auidade de $ 100 o iício de cada ao para os próximos quarto aos, com a mesma taxa de descoto. Desde que a primeira destas auidades ocorre exatamete agora, e os fluxos de caixa restates tomam a forma de uma auidade o fial do período sobre 3 aos, o valor presete desta auidade pode ser escrito como segue: VP de$100 o iício 1 1- de cada um dos próximos 4 aos = $100 + $100 0,10 ( 1,10) 3 Em geral, o valor presete de uma auidade o iício do período por aos pode ser escrito como segue:
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 13 1- VP de Auidades o Iício do Período sobre aos = PGTO + PGTO ( 1+ i) Este valor presete será maior que o valor presete de uma auidade equivalete ao fial de cada período. O valor futuro de uma auidade o iício de cada período tipicamete pode ser estimado permitido um período adicioal de composição para cada fluxo de caixa: i 1 1 VF de uma Auidade o iício de cada período = PGTO (1+ i) ( 1+ i) i 1 Este valor futuro será maior que o valor futuro de uma auidade equivalete o fial de cada período. Ilustração: CIA Poupado o Iício de Cada Período ao ivés do Fial. Cosidere ovamete o exemplo de um idivíduo que deposita $2.000, o fial de cada ao os próximos 40 aos uma cota CIA a 8%. O valor futuro destes depósitos atige $ 518.113 o fial do ao 40. Se os depósitos fossem feitos o iício de cada ao ao ivés do fim, o valor futuro teria sido maior: Valor Esperado do IRA (iício do ao) = $ 2.000 (1,08) ( 1,08) 40 1 = $ 559.562 0,08 Como você pode ver, os gahos de se fazer pagametos o iício de cada período pode ser substacial. Auidades Crescetes Uma auidade crescete é um fluxo de caixa que cresce à razão costate por um período específico de tempo. Se A é o fluxo de caixa atual, e g é a razão de crescimeto esperada, a liha de tempo para uma auidade crescete apreseta-se como segue: Note que, para se qualificar como uma auidade crescete, a razão de crescimeto em cada período tem que ser a mesma que a razão de crescimeto o período aterior.
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 14 O Processo de Descotar. Na maioria dos casos, o valor presete de uma auidade crescete pode ser estimado usado a seguite fórmula: VP de uma Auidade Crescete = A(1+ g) 1- (1+ g) (1+ r) O valor presete de uma auidade crescete pode ser estimado em todos os casos, meos um ode a razão de crescimeto é igual a taxa de descoto. Neste caso, o valor presete é igual à soma omial das auidades sobre o período, sem o efeito do crescimeto. r - g VP de uma Auidade Crescete por aos (quado r = g) = A Note também que esta formulação fucioa mesmo quado a razão de crescimeto é maior do que a taxa de descoto. Esta plailha de cálculo permite você estimar o valor presete de uma auidade crescete. Ilustração: O Valor de uma Mia de Ouro Supoha que você teha os direitos de uma mia de ouro para os próximos 20 aos, este período você plaeja extrair 5.000 oças de ouro por ao. O preço atual por oça de ouro é $300, mas é esperado aumetar em 3% ao ao. A taxa de descoto apropriada é 10%. O valor presete do ouro que será extraído desta mia pode ser estimado como segue: 20 (1,03) 1-20 (1,10) VP doouroextraído = $ 300 *5.000*(1,03) 0,10-0,03 = $16.145.980 O valor presete do ouro que se espera extrair desta mia é $ 16.146 milhões; é uma fução crescete da razão de crescimeto esperada o preço do ouro. A Figura 3.6 ilustra o valor presete como uma fução da razão de crescimeto esperada.
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 15 Figura 3.6: Valor Presete do Ouro Extraído como uma fução da Razão de Crescimeto 50000000 45000000 Valor Presete do Ouro Extraído 40000000 35000000 30000000 25000000 20000000 15000000 10000000 5000000 Valor Presete do Ouro 0 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% Razão de Crescimeto dos Preços do Ouro Verificação de coceitos: Se a razão de crescimeto e a taxa de descoto crescem de 1%, o valor presete do ouro que será extraído desta mia cresce ou decresce? Por quê? Perpetuidades. Uma perpetuidade é um fluxo de caixa costate em itervalos regulares para sempre. O valor presete de uma perpetuidade pode ser escrito como VP da Perpetuidade = ode A é a perpetuidade. O valor futuro de uma perpetuidade é ifiito. Ilustração: Avaliado um Cosole Bod. Um cosole bod 3 é um bôus que ão tem maturidade e paga um cupom fixo. Assuma que você teha um cupom de cosole bod a 6%. O valor deste bôus, se a taxa de juros é 9%, é como segue: A r Valor do Cosole Bod = $60 /.09 = $667 O valor de um cosole bod será igual ao seu valor de face (que é usualmete $1000) somete se a taxa do cupom é igual à taxa de juros. 3 Um bôus do govero sem maturidade. Popular a Grã Bretaha. A fórmula para avaliar estes bôus é simples. O pagameto do Cosol dividido pelo Redimeto (a forma percetual) a maturidade é o preço do bôus.
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 16 Perpetuidade Crescete. Uma perpetuidade crescete é um fluxo de caixa que é esperado crescer à razão costate para sempre. O valor presete de uma perpetuidade crescete pode ser escrito como: FC1 VP das Perpetuiddades Crescetes = (r - g) ode FC1 é o fluxo de caixa esperado o próximo ao, g é a razão de crescimeto costate e r é a taxa de descoto. Equato uma perpetuidade crescete e uma auidade crescete compartilha várias características, o fato que uma perpetuidade crescete permaece para sempre põe restrições a razão de crescimeto. Ela tem de ser meor que a taxa de descoto para esta fórmula fucioar. Ilustração: Avaliado uma Ação com Crescimeto Estável os Dividedos Em 1992, Southwester Bell pagou $2,73 por dividedos de ação. Seus gahos e dividedos cresceram em 6% ao ao etre 1988 e 1992 e era esperado crescerem à mesma razão o logo prazo. A taxa de retoro requerida pelos ivestidores em ações de risco equivalete era 12,23%. Dividedo Atual por ação = $ 2,73 Razão de Crescimeto Esperada os Lucros e Dividedos = 6% Taxa de Descoto = 12,23% Valor da Ação = $2,73 *1.06 / (.1223 -.06) = $46,45 Como um aparte iteressate, a ação era egociada realmete a $ 70 por ação. Este preço poderia ser justificado usado uma razão de crescimeto maior. O valor da ação está plotado a figura 3.7 como uma fução da razão de crescimeto esperada.
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 17 80 Figura 3.7: SW Bell - Valor versus razão de crescimeto Valor da Ação 70 60 50 40 30 20 10 0 Valor da Ação 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% Razão de Crescimeto Esperada 7% 8% A razão de crescimeto teria de ser aproximadamete 8% para justificar um preço de $ 70. Esta razão de crescimeto é freqüetemete referida como uma razão de crescimeto implicada. Combiações e Fluxos de Caixa Irregulares No mudo real, vários tipos diferetes de fluxos de caixa podem existir simultaeamete, icluido auidades, fluxos de caixa simples e algumas vezes perpetuidades: Algus exemplos estão discutidos abaixo. Um bôus covecioal paga um cupom fixo a cada período de seu tempo de vida, e o valor de face do bôus a maturidade. Em termos de uma liha de tempo: C C C C 0 1 2 3... C: Cupom Aual do Straight Bod VF: Valor de Face do Straight Bod : M aturidade do Straight Bod Como os cupos são fixados e pagos em itervalos regulares, eles represetam uma auidade, equato o valor de face do bôus é um fluxo de caixa úico que tem de ser descotado separadamete. O valor de um straight bod pode, etão, ser escrito como segue: Valor do Straight Bod = Cupom (VP de uma Auidade para a vida do bôus) + Valor de Face (VP de um Fluxo de Caixa Úico) Ilustração: O Valor de um Straight Bod
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 18 Digamos que você esteja tetado avaliar um straight bod com maturidade de 15 aos e uma taxa de cupom de 10,75%. A taxa de juros atual dos bôus com este ível de risco é 8,5%. VP dos fluxos de caixa sobre o bôus = 107,50* VP(A,8.5%,15 aos) + 1000/1.08515 = $ 1.186,85 Se a taxa subir para 10%, VP dos fluxos de caixa sobre o = 107,50* VP (A,10%,15 aos)+ 1000/1.1015 = $1.057,05 Variação percetual o preço = ($1057,05 - $1186,85)/$1186,85 = - 10.94% Se a taxa cair para 7%, VP dos fluxos de caixa sobre o bôus = 107,50* VP (A,7%,15 aos)+ 1000/1.0715 = $1.341,55 Variação percetual o preço = ($1341.55 - $1186.85)/$1186.85 = +13,03% Esta resposta assimétrica para a variação a taxa de juros é chamada covexidade. Ilustração: Cotrastado Bôus de Curto Prazo com Logo Prazo Digamos agora que você esteja avaliado quatro bôus diferetes - 1 ao, 5 aos, 15 aos, e 30 aos com a mesma taxa de cupom de 10,75%. A Figura 3.8 cotrasta as variações os preços destes três bôus como uma fução da variação as taxas de juros.
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 19 Proposição 1 sobre a Precificação de Bôus: Quato maior a maturidade de um bôus, mais sesível é as variações as taxas de juros. Ilustração: Cotrastado Bôus de Cupos Baixos e Cupos Altos Supoha que você esteja avaliado quatro bôus diferetes, todos com a mesma maturidade - 15 aos - mas de diferetes taxas de cupom - 0%, 5%, 10,75% e 12%. A Figura 3.9 cotrasta os efeitos das variações as taxas de juros sobre cada um destes bôus. Proposição 2 sobre a Precificação de Bôus: Quato mais baixa a taxa de cupom de um bôus, mais sesível é para variar com as taxas de juros. No caso de uma ação de uma compahia, que espera um crescimeto alto o futuro próximo e um crescimeto mais baixo e mais estável para sempre após isto, o valor esperado dos dividedos tomam a forma seguite: D 0 (1+g) D 0 (1+g) 2 D 0 (1+g) 3 D 0 (1+g) D 0 (1+g) (1+g ) 0 1 2 3... +1 Para sempre Período de Alto Crescimeto Período de Crescimeto Estável D 0 : Dividedos por ações atuais g = Razão de crescimeto esperada um período de alto crescimeto ( aos) g = Razão de crescimeto esperada após o período de alto crescimeto Os dividedos sobre o período de crescimeto alto represetam uma auidade crescete, equato os dividedos após isto satisfazem as codições de uma perpetuidade crescete. O valor da ação pode etão ser escrito como a soma de dois valores presetes.
Bertolo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo 20 P 0 = D 0 (1 + g) *(1 + g) * 1 (1 + r) r g D+ 1 + ( r g )(1 + r) Descotado uma Auidade Crescete + Perpetuidade Crescete. ode P 0 = Valor Presete dos dividedos esperados. g = Razão de crescimeto extraordiário para os primeiros aos ( = Período de alto crescimeto) g = Razão de crescimeto para sempre após o ao D0 = Dividedos Atuais por ação D t = Dividedos por ações o ao t r = Taxa de retoro requerida -> Taxa de Descoto Ilustração: O Valor de uma Ação de Alto Crescimeto Em 1992, Eli Lilly teve um gaho de $ 4,50 por ação, e pagou dividedos de $ 2,00 por ação. Os aalistas esperavam ambos crescerem 9.81% por ao, os próximos 5 aos. Após o quito ao, a razão de crescimeto era esperada cair a 6% ao ao, para sempre, equato a razão de pagametos era esperada aumetar para 67,44%. O retoro requerido a Eli Lilly é de 12,78%. O preço o fial do período de alto crescimeto pode ser estimado usado a fórmula de perpetuidade crescete: Preço Termial = DPS 6 / (r - g ) = EPS 6 * Razão de Pagametos em Crescimeto Estável / (r - g ) = EPS 0 (1+g) 5 (1+g ) / (r - g ) = $ 4.50*1.09815*1.06*0.6744/(.1278-.06) = $75.81 O valor presete dos dividedos e o preço termial podem etão ser calculado como segue: