RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR DA UNICAMP-FASE PROFA MARIA ANTÔNIA C GOUVEIA O velocíetro é u istrueto que idica a velocidade de u veículo A figura abaio ostra o velocíetro de u carro que pode atigir k/h Observe que o poteiro o cetro do velocíetro gira o setido horário à edida que a velocidade aueta a) Supoha que o âgulo de giro do poteiro seja diretaete proporcioal à velocidade Nesse caso, qual é o âgulo etre a posição atual do poteiro ( k/h) e sua posição quado o velocíetro arca k/h? b) Deteriado velocíetro forece corretaete a velocidade do veículo quado ele trafega a k/h, as idica que o veículo está a 7 k/h quado a velocidade real é de k/h Supodo que o erro de aferição do velocíetro varie liearete co a velocidade por ele idicada, deterie a fução v() que represeta a velocidade real do veículo quado o velocíetro arca ua velocidade de k/h a) Cosiderado coo y o âgulo de giro do poteiro, y α v, sedo α ua costate real 7 Se para v k/h, y α a 8 7 Para v k/h, y 9 8 RESPOSTA: O âgulo etre a posição atual do poteiro ( k/h) e sua posição quado o velocíetro arca k/h ede 9 b) Cosiderado que a velocidade real é dada pela fução v() a b quado o velocíetro arca ua velocidade de k/h Se o velocíetro forece corretaete a velocidade do veículo quado ele trafega a k/h, etão, v() a b Se idica que o veículo está a 7 k/h quado a velocidade real é de k/h, etão v(7) 7a b a b a a,9 (L L) v(),9 7a b 8 b b RESPOSTA: A fução v(),9 represeta a velocidade real do veículo quado o velocíetro arca ua velocidade de k/h
A plata de u côodo que te,7 de altura é ostrada ao lado a) Por ora, e côodos resideciais co área superior a ², deve-se istalar ua toada para cada ou fração (de ) de períetro de parede, icluido a largura da porta Deterie o úero íio de toadas do côodo represetado ao lado e o espaçaeto etre as toadas, supodo que elas serão distribuídas uiforeete pelo períetro do côodo b) U eletricista deseja istalar u fio para coectar ua lâpada, localizada o cetro do teto do côodo, ao iterruptor, situado a, do chão, e a, do cato do côodo, coo está idicado a figura Supodo que o fio subirá verticalete pela parede, e desprezado a espessura da parede e do teto, deterie o coprieto íio de fio ecessário para coectar o iterruptor à lâpada a) O côodo represetado pela figura te períetro, icluido a largura da porta, de (, ),8 Para u úero íio de toadas, o espaçaeto etre elas deveria o áio ser de,8 O úero de toadas será etão dado por,,8 Coo o úero íio de toadas deve ser, o espaçaeto etre elas deve ser de RESPOSTA: Toadas co espaçaeto de, b) Coo a largura do côodo é de,, a distâcia do poto C, cetro do teto, à parede ode está o iterruptor E é de,, e está represetada a figura pelo segeto AB perpedicular ao plao dessa parede Sedo B o poto édio do segeto DE, AD, etão AB, Logo, AC,,,9, Assi, o coprieto íio de fio ecessário para coectar o iterruptor à lâpada é de,7,, RESPOSTA:, O úero áureo é ua costate real irracioal, defiida coo a raiz positiva da equação quadrática obtida a partir de a) Reescreva a equação acia coo ua equação quadrática e deterie o úero áureo b) A sequêcia,,,,, 8,,, é cohecida coo sequêcia de Fiboacci, cujo -ésio tero é, se ou ; defiido recursivaete pela fórula F() F( ) F( ), se > Podeos aproiar o úero áureo, dividido u tero da sequêcia de Fiboacci pelo tero aterior Calcule o o e o o teros dessa sequêcia e use-os para obter ua aproiação co ua casa decial para o úero áureo ± ± RESPOSTA: O úero áureo é,
b) Na sequêcia,,,,, 8,,,, a 9, a e a 89 Coo 89 88, úero áureo será RESPOSTA:, Ua curva e forato espiral, coposta por arcos de circuferêcia, pode ser costruída a partir de dois potos A e B, que se altera coo cetros dos arcos Esses arcos, por sua vez, são seicircuferêcias que cocorda sequecialete os potos de trasição, coo ilustra a figura ao lado, a qual supoos que a distâcia etre A e B ede c a) Deterie a área da região destacada a figura b) Deterie o coprieto da curva coposta pelos prieiros arcos de circuferêcia a) Observa-se que todas as secircuferêcias superiores tê cetro o poto A e todas as iferiores tê cetro e B Observa-se tabé que as edidas dos raios fora a sequêcia {,,,,, } A área da figura é a soa das áreas das duas seicircuferêcias de raios AD e BF 9π π π S π RESPOSTA: c b) Coo os raios fora a PA {,,,,,, }, o vigésio tero dessa sequêcia é r Se o coprieto de ua circuferêcia é dada pela relação C πr, a da seicircuferêcia é C s πr Etão os coprietos dos arcos da figura forada pelos arcos e questão costitue a sequêcia {π, π, π,, π}que sedo ua PA te coo soa dos teros ( π π) S π RESPOSTA: πc 7 U brilhate é u diaate co ua lapidação particular, que tora essa gea a ais apreciada detre todas as pedras preciosas a) E geologia, u quilate é ua edida de assa, que correspode a g Cosiderado que a assa específica do diaate é de aproiadaete, g/c, deterie o volue de u brilhate co,7 quilate
b) A figura ao lado apreseta a seção trasversal de u brilhate Coo é uito difícil calcular o volue eato da pedra lapidada, podeos aproiá-lo pela soa do volue de u troco de coe (parte superior) co o de u coe (parte iferior) Deterie, esse caso, o volue aproiado do brilhate Dica: o volue de u troco de coe pode ser obtido epregado-se a fórula π V h( R Rr r ),e que R e r são os raios das bases e h é a altura do troco a) Se u quilate é ua edida de assa, que correspode a g,g, etão a assa de,7 quilate é,7,,g Se a assa específica do diaate é de aproiadaete, g/c, etão a assa específica de u, diaate co,g é, c, RESPOSTA: O volue do brilhate é,c b) Na figura ao lado, os triâgulos FDE e FBC são seelhates, etão,, FH,, O volue do brilhate é: V V V V coe ABC π,8 π, π, V ( 7,,8,) coe FBC coe FDE π,π V,8π RESPOSTA: O volue do brilhate é,8π 8 O ostrador de deteriado relógio digital idica horas e iutos, coo ilustra a figura ao lado, a qual o dígito da uidade dos iutos está destacado O dígito e destaque pode represetar qualquer u dos dez algarisos, bastado para isso que se ative ou desative as sete partes que o copõe, coo se ostra abaio
a) Atribuido as letras a, b, c, d, e, f, g aos trechos do dígito destacado do relógio, coo se idica ao lado, pite o gráfico de barras abaio a porcetage de tepo e que cada u dos trechos fica aceso Observe que as porcetages referetes aos trechos f e g já estão pitadas b) Supodo, agora, que o dígito e destaque possua dois trechos defeituosos, que ão acede, calcule a probabilidade do algariso ser represetado corretaete a) A cada iutos u dos algarisos (,,,,,,, 7, 8 ou 9) ocupa por vezes a posição do dígito idicado, ou seja, cada algariso fica aceso iutos O trecho a copõe os eleetos do cojuto {,,,, 7, 8, 9}, logo fica aceso por 8 iutos o que equivale a 8% do tepo O trecho b copõe os eleetos do cojuto {,,,, 8, 9}, logo fica aceso por iutos o que correspode a % do tepo O trecho c copõe os eleetos do cojuto {,,,,, 8, 9}, ficado aceso por iutos o que correspode a 7% do tepo O trecho d copõe os eleetos do cojuto {,,, 8}, logo aceso por iutos o que correspode a % do tepo O trecho e copõe os eleetos do cojuto {,,,,, 8, 9}, ficado aceso por iutos o que correspode a 7% do tepo O trecho f copõe os eleetos do cojuto {,,,,,, 7, 8, 9}, ficado aceso por iutos o que correspode a 9% do tepo O trecho g copõe os eleetos do cojuto {,,,,, 7, 8, 9} logo fica aceso por 8 iutos o que equivale a 8% do tepo b) São sete trechos e o úero de aeiras de apeas dois estare defeituosos é 7 C 7, Os úicos trechos que ão copõe o, cofore figura ao lado, são o b e o d Etão soete eiste ua aeira de estado dois trechos defeituosos, o ser represetado corretaete Logo a probabilidade pedida é RESPOSTA:
9 U superercado vede dois tipos de cebola, cofore se descreve a tabela abaio: Tipo de cebola Peso uitário aproiado (g) Raio édio (c) Pequea Grade a) Ua cosuidora selecioou cebolas pequeas e grades, soado uidades, que pesara 7 g Forule u sistea liear que perita ecotrar a quatidade de cebolas de cada tipo escolhidas pela cosuidora e resolva-o para deteriar esses valores b) Geralete, as cebolas são cosuidas se casca Deterie a área de casca correspodete a g de cebolas pequeas, supodo que elas seja esféricas Sabedo que g de cebolas grades possue 9π c de área de casca, idique que tipo de cebola forece o eor desperdício co cascas a) Cosiderado coo o úero de cebolas pequeas e y o de cebolas úero de cebolas pequeas e y y o de cebolas grades te-se o sistea: y 7 Resolvedo este sistea: 7y 7 y y ( L L) y y 7 y 7 RESPOSTA: A cosuidora coprou cebolas grades e pequeas b) A cosuidora coprou g 8g de cebolas grades e 9g de cebolas pequeas Coo g de cebolas grades possue 9π c de área de casca, 8 y π 8 g de cebolas grades possue π c de área de casca 9π y π y g de cebolas pequeas correspode a ( : ) cebolas Sedo estas cebolas esféricas co raio édio de c, a soa das suas superfícies é de ( π ) 8π π R c RESPOSTA: As cebolas grades forece o eor desperdício co cascas Cosidere a fução f() p, defiida para real a) A figura ao lado ostra o gráfico de f() para u valor específico de p Deterie esse valor b) Supodo, agora, que p, deterie os valores de que satisfaze a equação f() a) Aalisado o gráfico percebe-se que a fução f() p te coportaetos diferetes os itervalos e < 8 que possue ua froteira cou Etão para, p p p RESPOSTA: O valor específico de p é p
, se < b) Cosiderado que e fazedo p e f(), e dois casos:, se I), se I) > II), se < II) 9 (ãosatisfaz, pois, > ) RESPOSTA: Para p e f(), o valor de é Ua bateria perde peraeteete sua capacidade ao logo dos aos Essa perda varia de acordo co a teperatura de operação e arazeaeto da bateria A fução que forece o percetual de perda aual de capacidade de ua bateria, de acordo co a teperatura de arazeaeto, T (e C), te a bt fora, P(T) a, e que a e b são costates reais positivas A tabela abaio forece, para duas teperaturas específicas, o percetual de perda de ua deteriada bateria de íos de Lítio Teperatura ( C) Perda aual de capacidade (%),, Co base a epressão de P(T) e os dados da tabela, a) esboce, abaio, a curva que represeta a fução P(T), eibido o percetual eato para T e T ; b) deterie as costates a e b para a bateria e questão Se ecessário, use log (),, log (),8 e log (), 7 a) b) Pela tabela P(), e P() a, a, { b b a, b log b b,7, b RESPOSTA: a, e b,, b log,, P(T),,T 7
8 Seja dada a atriz A, e que é u úero real a) Deterie para quais valores de o deteriate de A é positivo b) Toado C, e supodo que, a atriz A,, calcule B AC ) ( deta deta a) As raízes de ) ( deta são as raízes da equação ) ( ou ou ± ± deta Estudo da variação do sial de deta e deteriação da solução da iequação > : RESPOSTA: O deteriate de A é positivo para os valores de pertecetes ao itervalo,, b) Toado C, e supodo que, a atriz A,, AC 8 RESPOSTA: B 8
9 U círculo de raio foi apoiado sobre as retas y e y /, cofore ostra a figura abaio a) Deterie as coordeadas do poto de tagêcia etre o círculo e a reta y / b) Deterie a equação da reta que passa pela orige e pelo poto C, cetro do círculo a) Na figura o triâgulo retâgulo ADB e destaque te lado AB, BD e AD /, logo pelo Teorea de Pitágoras: y RESPOSTA: O poto de tagêcia etre o círculo e a reta y / è A, b) O triâgulo retâgulo OEB da figura ao lado, é cogruete ao triâgulo ODA BE OD e OE AD, B Coo ACBC Equação) (Equação 8 8 ( ), C A equação da reta r que passa pelo poto C e pela orige é y, RESPOSTA: y
U topógrafo deseja calcular a distâcia etre potos situados à arge de u riacho, coo ostra a figura a seguir O topógrafo deteriou as distâcias ostradas a figura, be coo os âgulos especificados a tabela abaio, obtidos co a ajuda de u teodolito a) Calcule a distâcia etre A e B b) Calcule a distâcia etre B e D a) No triâgulo ABC pela Lei dos Seos: se se RESPOSTA: A distâcia etre A e B é de b) No triâgulo BCD pela Lei dos Cosseos: y y cos y 7 y 7 RESPOSTA: A distâcia etre B e D é de 7 y