Costrução de um modelo para o preço de veda de casas resideciais a cidade de Sorocaba-SP Recebido: 0/03/01 Aprovado: 5/09/01 Júlio César Pereira (UFSCar-SP/Brasil) - julio.pereira.ufscar@gmail.com, Rodovia João Leme dos Satos (SP-64), Km 110, 1805-780, Sorocaba-SP Salomão Garso (UFSCar-SP/Brasil) - salomaogars@hotmail.com Elto Gea de Araújo (UFMS-MS/Brasil) - egarauj@yahoo.com.br RESUMO Palavras-chave O presete artigo foi desevolvido com base em um estudo estatístico realizado o mercado imobiliário de Sorocaba, cidade localizada o iterior de São Paulo. Neste estudo, objetivou-se a utilização de métodos de regressão liear múltipla a modelagem do preço de veda de casas da cidade de Sorocaba-SP com base em suas características. Visado obter maior qualidade a predição dos preços de veda, foram utilizados métodos de seleção de variáveis, que garatem a utilização apeas das variáveis relevates ao problema, implicado em uma estimação mais fiel dos preços de veda. Além disso, uma das variáveis cotidas era qualitativa, o que demadou o uso de variáveis dummy. Através dos métodos citados, chegou-se à coclusão de que algumas variáveis coletadas ão deveriam fazer parte do modelo. Obteve-se assim, as variáveis importates para a costrução de um modelo de regressão liear múltipla adequado, que pode auxiliar de maeira eficiete a avaliação e estimação do preço de veda de imóveis situados em Sorocaba. Regressão Liear Múltipla; Seleção de Variáveis; Estimação do Preço de Veda de Casas. ABSTRACT Keywords This article is based o a survey about the real estate market i Sorocaba, a city i the iterior of Sao Paulo. The mai objective of this study was to use the multiple liear regressio modelig method for gaugig housig prices i Sorocaba. I order to obtai higher quality i the predictio of sales prices, various methods were used for selectig variables which ca the guaratee the use of oly usig variables that are relevat to the problem, therefore resultig i a more accurate estimatio of sale prices. I additio, a qualitative variable was icluded, which required the use of dummy variables. Usig the methods metioed we came to the coclusio that some of the variables collected should ot be part of the model. Thus through obtaiig the importat variables for the costructio of a appropriate multiple liear regressio model, we ca effectively assist i the evaluatio ad estimatio of the sales prices of real estate located i Sorocaba. Multiple Liear Regressio; Selectio of Variables; Estimatio of the Sales Prices of Houses. PEREIRA, J. C.; GARSON, S.; ARAÚJO, E. G. Costrução de um modelo para o preço de veda de casas resideciais a cidade de Sorocaba-SP. GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167.
Costrução de um modelo para o preço de veda de casas resideciais a cidade de Sorocaba-SP 1. INTRODUÇÃO O muicípio de Sorocaba, localizado o iterior do estado de São Paulo, tem passado por um grade desevolvimeto as últimas décadas. Sedo cosiderado o terceiro muicípio mais populoso do iterior paulista e o quarto mercado cosumidor do estado, com exceção da região metropolitaa, Sorocaba recebe grades ivestimetos os mais diversos setores, como idustrial e educacioal (PORTAL SOROCABA, 010). Cosequetemete, a cidade tem tido um grade crescimeto populacioal, levado a uma movimetação estrodosa o mercado imobiliário, que segudo Steier et al. (007), é uma das áreas mais diâmicas do setor terciário da ecoomia e a maior dificuldade em desevolver estudos acerca do mesmo é a grade heterogeeidade das características (atributos e variáveis) de cada imóvel, bem como as relações que elas podem guardar etre si. Além da utilidade como moradia, uma uidade imobiliária é também um ivestimeto fiaceiro, e a costrução de um modelo para predição de seu preço passa a ser ecessária para a observação de sua volatilidade, para a estimativa dos retoros esperados e para sua avaliação. Assim, os compradores poderão medir o retoro de seus ivestimetos e os geretes poderão estimar seus preços coforme parâmetros valorizados pelo mercado (ROZENBAUM; MACEDO- -SOARES, 007). Dada a grade quatidade de variáveis que podem ser utilizadas para explicar o preço de imóveis, é ecessário que haja uma seleção do cojuto de variáveis idepedetes a ser usado o modelo. Algumas vezes, muitas das variáveis evolvidas ão são importates para modelar adequadamete o preço do imóvel. Nessas situações tem-se iteresse em filtrar as variáveis cadidatas para obter um modelo que coteha o melhor cojuto possível de variáveis regressoras que expliquem a variável preço (Y). Dessa forma, espera-se obter um modelo fial que coteha variáveis regressoras suficietes, de modo a obter desempeho satisfatório do modelo a descrição, bem como previsão, da variável Y. Por outro lado, para mater os custos míimos de mauteção e torar um modelo de fácil utilização, é desejável que o modelo use o meor úmero possível de variáveis regressoras. Diate desse coflito etre usar uma quatidade suficiete de vaiáveis que descreva bem a variável Y e o meor úmero possível de variáveis para que o modelo seja de fácil iterpretação, é ecessária a utilização dos métodos de seleção de variáveis (MONTGOMERY; RUNGER, 008). Pelo iteso aquecimeto do mercado imobiliário de Sorocaba e pela dificuldade de predição e avaliação dos preços de veda de imóveis, o presete artigo tem por objetivo propor um modelo de regressão liear múltipla que auxilie a estimação dos preços de veda de imóveis da cidade de Sorocaba, a partir de suas características físicas e de sua localização. Para isso, foi cosiderada uma amostra de casas resideciais à veda a cidade. Além disso, foram utilizados métodos de seleção de variáveis, com o ituito de se obter um modelo de regressão liear adequado, que cotemple apeas as variáveis relevates ao estudo em questão e que estime de maeira fiel os preços de veda de uma casa situada em Sorocaba. Este artigo está estruturado da seguite forma: a seção é feita uma revisão de literatura, em que algus estudos semelhates ao assuto abordado são apresetados, de forma a ilustrar que tipos de modelos são desevolvidos para avaliação do mercado imobiliário; a seção 3 apreseta os materiais e métodos utilizados; a seção 4 são apresetados os resultados obtidos e discussões. Nas seções 5 e 6 são apresetadas as cosiderações fiais e as referêcias bibliográficas, respectivamete. 154 GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167.
Júlio César Pereira, Salomão Garso, Elto Gea de Araújo. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Em estudos do mercado imobiliário, é comum utilizar modelos de regressão liear múltipla, a fim de aalisar uma variável de iteresse (Y) em fução de diversas outras variáveis (x j ). Por exemplo, Nadal et al. (003) fez uso de uma amostra de 0 imóveis a cidade de Curitiba para o desevolvimeto de um modelo de regressão liear múltipla que auxiliasse a predição do preço de veda de um imóvel da cidade que havia sido desapropriado por fatores ambietais e turísticos. Foram utilizadas as variáveis idade aparete do imóvel, área equivalete, padrão da costrução, úmero de vagas a garagem e preço de veda do imóvel para chegar ao modelo de regressão liear, através do método dos míimos quadrados. Além disso, foram realizados algus testes para validação do modelo adotado, com o ituito de garatir a qualidade do modelo. Este é apeas um exemplo, etre diversos outros que empregam modelos de regressão para a modelagem do preço de veda de imóveis, como é o caso de Steier et al. (007), Rozebaum e Macedo-Soares (007), Gazola (00), Alves (005), Couto (007) e Braulio (005). A regressão liear é um método estatístico que estabelece uma relação etre uma variável resposta Y e outras variáveis idepedetes x. A regressão liear simples cosidera um úico regressor ou preditor x e uma variável depedete Y, equato a regressão liear múltipla relacioa Y com outras variáveis, como apresetado a seguir. Cosiderado-se k regressores o modelo de regressão liear múltipla pode ser expresso pela Equação 1, podedo ser escrito a forma reduzida, como a Equação (MONTGOMERY; RUN- GER, 008). y = β 0 + β 1 x 1 + β x + + β k x k + ε (1) k y = β 0 + β jx ij + ε i j=1 () Em que, β j, j = 0, 1,, k são os coeficietes de regressão, sedo parâmetros que represetam a variação esperada em y por uidade de variação em x j quado todos os outros regressores são matidos costates. Além disso, a regressão liear múltipla também pode ser trabalhada a forma matricial, como ilustra a Equação 3, em que represeta o úmero de observações utilizadas a amostra (MONTGOMERY; RUNGER, 008). x i1 x i x ik y 1. x i1 x i1 x i1 x i x i1 x ik x i1 y = 1..... β k.. x ik x ik x i1 x i1 x i x ik x ik y 1. β 1 β (3) GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167. 155
Costrução de um modelo para o preço de veda de casas resideciais a cidade de Sorocaba-SP Esse modelo é utilizado com o objetivo de eteder como Y se comporta após uma mudaça em uma ou mais variáveis idepedetes. Dessa forma, é possível fazer iferêcias sobre a variável resposta, tais como realizar predições de seu comportameto e obter estimativas por itervalo (CHARNET et al., 1999; MONTGOMERY; RUNGER, 008). Detre outros trabalhos que empregam técicas de regressão liear aplicadas ao mercado imobiliário, pode-se citar Steier et al. (007), que realizaram um estudo imobiliário a cidade de Campo Mourão, o Paraá, utilizado a aálise de agrupameto para criar grupos de imóveis com características mais homogêeas, para posteriormete utilizar a regressão liear múltipla, com o ituito de estimar preços de imóveis que seriam colocados à veda. Gazola (00) coletou dados referetes a apartametos da cidade de Criciúma, o estado de Sata Cataria, visado à estimação de preços de outros apartametos a partir de suas características por meio de uma regressão liear múltipla. As variáveis utilizadas foram a área total do imóvel, cosumo de eergia, distâcia à escola, acessibilidade, idade do imóvel, dormitórios, meio ambiete, região homogêea, zoa fiscal, padrão de etrada, classificação, coservação, garagem, suíte, depedêcia de empregada, elevador e pólos de valorização. Além disso, utilizou-se a técica de Ridge Regressio, que evita a multicoliearidade, que ocorre quado as variáveis idepedetes de uma regressão possuem relações lieares exatas ou aproximadamete exatas. No mesmo âmbito, Alves (005) avaliou preços de imóveis a cidade de Campo Mourão, o estado do Paraá, através de modelos de regressão liear e com o auxílio de um programa computacioal deomiado AMI (Aálise Multivariada de Imóveis), desevolvido através da liguagem computacioal MATLAB. A iterface do programa oferece como opções três diferetes tipos de regressões e forece o resultado de maeira imediata ao usuário. Além disso, Couto (007) realizou um estudo imobiliário a cidade de Porto, em Portugal, através de ferrametas estatísticas, detre elas, modelos de regressão liear múltipla, tedo sido seu trabalho voltado pricipalmete para imóveis destiados à habitação e com maior cocetração a tributação imobiliária. Braulio (005) desevolveu um modelo através de métodos estatísticos multivariados para avaliar imóveis em fução de suas pricipais características a cidade de Campo Mourão, assim como Alves (005). Porém, para apurar os dados coletados e garatir a cofiabilidade do modelo fial, foram utilizadas técicas de aálise multivariada, como aálise de agrupameto e diversos testes de seleção de variáveis, como a aálise de todas as regressões possíveis, o teste Stepwise (passo a passo), Seleção forward e Elimiação backward. O resultado obtido foi um modelo de regressão liear múltipla de alto ível de precisão o que diz respeito à predição de preços de casas, apartametos e terreos da cidade de Campo Mourão. Já o estudo de Rozebau e Macedo- -Soares (007), foi costruído um ídice de preço de imóveis através de um modelo de regressão liear múltipla. Estes autores, citado Sirmas et al. (005), elecam as seguites variáveis etre as mais presetes os estudos de avaliação do preço de imóveis, sedo elas: área privativa, úmero de quartos, localização, ameidades e idade do imóvel. Porém, a difereça do trabalho de Rozebau e Macedo-Soares (007) com o desevolvido por Braulio (005) é que o primeiro ão foram utilizados métodos de seleção de variáveis formais, mas estas foram selecioadas de maeira subjetiva através de um modelo hedôico, que permite aalisar a importâcia relativa a cada variável. 156 GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167.
Júlio César Pereira, Salomão Garso, Elto Gea de Araújo 3. MATERIAL E MÉTODO DA PESQUISA 3.1. Material Foi coletada uma amostra de 150 observações a partir dos websites de diversas imobiliárias da cidade de Sorocaba-SP. Foram cosideradas as iformações dispoíveis os sites, sedo as variáveis dispoíveis: o preço de veda da casa (Y), quatidade de dormitórios (x 1 ), área costruída em m (x ), área do terreo em m (x 3 ), úmero de vagas a garagem (x 4 ) e a localização do imóvel idicada pelo bairro (d), sedo que a amostra obtida cobriu todas as regiões da cidade. 3.. Métodos Os dados mecioados a seção aterior foram tratados utilizado-se técicas de regressão liear múltipla, a qual se procurou costruir um modelo para o preço de casas em fução das demais características dispoíveis. E a fim de elecar as variáveis realmete importates a formação do preço, foram empregados os métodos de seleção de variáveis. No que se segue são apresetados os métodos utilizados. 3..1. Seleção de Variáveis para a Modelagem do Preço Com o ituito de selecioar as variáveis relevates para a costrução de um modelo relacioado o preço de veda das casas resideciais e suas características dispoíveis, foram utilizados algus métodos de seleção de variáveis. Muitas vezes, em todas as variáveis ou regressores são relevates para o modelo, esse caso, é ecessário obter um subcojuto de variáveis que coteha apeas as que iflueciam o setido de melhorar o modelo. O objetivo ao se utilizar esses métodos é ecotrar um modelo de regressão liear que coteha o melhor subcojuto de regressores, de modo a desempehar sua fução de forma satisfatória. Porém, quato maior for o úmero de regressores, maior é o gasto de recursos para se trabalhar com o modelo, como o custo de mauteção e a dificuldade de utilização do modelo. Assim, a seleção de variáveis a verdade é um problema de otimização, em que o objetivo é ecotrar o melhor subcojuto de regressores que gere um modelo fiel (MONTGO- MERY; RUNGER, 008). Os métodos de seleção de variáveis utilizados são citados a seguir. 3..1.1. Todas as regressões possíveis Nessa abordagem, para se ecotrar o melhor modelo, foram testadas todas as equações de regressão possíveis, cosiderado as quatro variáveis quatitativas dispoíveis. Ou seja, foram ajustadas todas as equações existetes com apeas uma das variáveis cadidatas, todas existetes com duas e assim por diate, obtedo um total de 4 equações diferetes. Assim, todas as equações foram avaliadas de acordo com algus critérios apresetados a seguir, visado ecotrar o melhor modelo. GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167. 157
Costrução de um modelo para o preço de veda de casas resideciais a cidade de Sorocaba-SP Um dos critérios utilizados para aalisar e comparar as equações é o coeficiete de determiação múltipla (R p ), represetado pela Equação 4. SQ R (p) R p = = 1 SQ T SQ E (p) SQ T (4) Em que SQ R (p) é a soma quadrática da regressão, SQ E (p) é a soma quadrática dos erros e SQ t é a soma quadrática total, para um modelo com p variáveis. Coforme p aumeta, ocorre também um aumeto em R p. Assim, adicioam-se variáveis ao modelo até o poto que é visível que o aumeto em R p é praticamete desprezível. Essa técica é importate, pois mostra que existem modelos de regressão bos com úmeros diferetes de regressores. Existe um mometo em que se aumeta o úmero de regressores e a qualidade do modelo aumeta pouquíssimo, o que gera maior gasto de recursos pelo maior úmero de regressores. Outro critério utilizado é o quadrado médio do erro, dado pela Equação 5. MQ E (p) = SQ E (p) ( p) (5) Normalmete ocorre uma dimiuição o MQ E (p) quado p aumeta. Escolhe-se o míimo MQ E (p), pois a média quadrática devido ao erro seria meor, ão prejudicado a qualidade do modelo. Um terceiro critério utilizado foi a média quadrática total do erro, C p, para o modelo de regressão. Essa medida é defiida através da Equação 6. C p = SQ E (p) = + p (6) σˆ As equações que possuem tedeciosidade egligeciável têm valores de C p próximos de p, equato aquelas com tedeciosidades sigificates terão C p relativamete maiores do que p. Obviamete, o modelo escolhido é o que possui a média quadrática do erro mais próxima do valor de p, pois é o que possui meor tedeciosidade. Outro critério empregado, apresetado a Equação 7, é o chamado R p ajustado, que é basicamete uma modificação em R p que cosidera o úmero de variáveis o modelo. ( 1) R p = 1 = (1 R p ) ( p) (7) Percebe-se que R p decresce à medida que p aumeta, se a dimiuição de ( 1)(1 R p ) ão for compesada pela perda de um grau de liberdade p. Além disso, o modelo selecioado é o de valor máximo do R p, que a verdade é o mesmo que selecioar o valor míimo de MQ E (p) (MONTGOMERY; RUNGER, 008). 158 GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167.
Júlio César Pereira, Salomão Garso, Elto Gea de Araújo 3..1.. Regressão por etapas Segudo Charet et al. (1999), o método de regressão por etapas é o mais utilizado a seleção de variáveis de modelos de regressão, em que é costruída uma sequêcia de modelos adicioado ou removedo variáveis, em cada etapa. Os três métodos de regressão por etapas foram utilizados, sedo o Passo atrás, Passo a frete e Passo a Passo. No primeiro caso, iicialmete foram utilizadas todas as variáveis do modelo e feitos testes de sigificâcia (Teste F) por etapas, sedo que a cada etapa, uma variável poderia ser elimiada. A partir do mometo em que ão foi elimiada ehuma variável, as variáveis que restaram o processo foram as selecioadas. No método Passo a frete, iiciaram-se os testes com apeas uma variável, a de maior coeficiete de correlação amostral com a variável resposta y. Assim, foram realizados os testes, em que a cada etapa, poderia ser adicioada uma variável. Da mesma forma que o método Passo atrás, o mometo em que ehuma variável foi adicioada, o teste foi iterrompido e foram utilizadas o modelo fial as variáveis que restaram o cojuto. O método Passo a Passo é semelhate ao Passo a frete, possuido como difereça, o fato de que em cada etapa, alguma variável poderia ser descartada também. Ou seja, este método, variáveis foram adicioadas e descartadas a cada etapa. Obtivemos o subcojuto de variáveis selecioado para utilização o modelo fial quado ehuma variável foi icluída ou excluída do modelo (CHARNET et al., 1999). 3... Variáveis Dummy No presete estudo, foram utilizadas variáveis quatitativas, como quatidade de vagas a garagem, úmero de quartos, área útil e área do terreo. Porém, como o caso da utilização da variável bairro, muitas vezes existe a ecessidade de utilizar variáveis ão uméricas, chamadas de variáveis qualitativas e cohecidas a ecoometria como variáveis Dummy, que são biárias. Assim, em casos como iformações sobre gêero (masculio ou femiio), pessoas que possuem esio superior ou ão, empresas que dispoibilizam determiado serviço ou ão, as variáveis Dummy são utilizadas (WOOLDRIDGE, 010). Geralmete essas variáveis possuem valor 1 para uma das opções e zero para a outra, como ilustra o exemplo a Tabela 1. Tabela 1 Exemplo de utilização de variáveis Dummy para variáveis com íveis. Bairro de Sorocaba Variável Dummy Fote: Dados da pesquisa. Campolim 1 Não Campolim 0 Segudo Motgomery (008), quado a variável qualitativa possui mais de dois valores, é ecessária utilização de mais de uma variável Dummy, sedo que uma variável com t íveis pode ser modelada com t 1 variáveis idicativas, como ilustra o exemplo a Tabela. GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167. 159
Costrução de um modelo para o preço de veda de casas resideciais a cidade de Sorocaba-SP Tabela Exemplo da utilização de variáveis Dummy para variáveis com mais de íveis. Bairros de Sorocaba Variável Dummy 1 Variável Dummy Variável Dummy 3 Campolim 1 0 0 Jardim Vera Cruz 0 1 0 Jardim São Paulo 0 0 1 Cetro 0 0 0 Fote: Dados da pesquisa. A pricípio, o presete trabalho, os preços dos imóveis foram avaliados em fução das variáveis quatitativas, tedo sido a variável bairro trabalhada posteriormete, por ser uma variável Dummy e demadar tratameto estatístico difereciado. Para todos os tratametos estatísticos realizados o presete artigo, foi utilizado o software R Developmet Core Team (010). 4. ANÁLISE DE DADOS E RESULTADOS Ates de se iiciar o processo de ajuste de modelos e seleção de variáveis foi realizada uma aálise da correlação etre as variáveis quatitativas, cadidatas a regressores, x 1 (úmero de dormitórios), x (área do terreo), x 3 (área costruída), x 4 (úmero de vagas a garagem) e a variável resposta Y (preço do imóvel). O resultado obtido está expresso a Tabela 3. Tabela 3 Correlação etre as variáveis idepedetes quatitativas e a variável depedete. x 1 x x 3 x 4 Y x 1-0,48 0,35 0,17 0,39 x 0,48-0,84 0,45 0,88 x 3 0,35 0,84-0,51 0,86 x 4 0,17 0,45 0,51-0,48 Y 0,39 0,88 0,86 0,48 - Fote: Dados da pesquisa. Percebe-se que as variáveis x, x 3 apresetam fortes correlações com a variável y. Isso sigifica que a relação etre a área do terreo e área costruída das casas de Sorocaba é mais próxima de uma relação liear com o preço de veda, e havedo um crescimeto de uma dessas variáveis, o valor do preço da casa acompahará esse crescimeto. A Figura 1 corrobora com os resultados obtidos a Tabela 3, em que se ota forte associação etre as variáveis área do terreo e área costruída das casas com o preço de veda. Porém, observa-se aida que, a partir de uma certa medida do terreo (em toro de 400m ), os potos ficam um pouco mais dispersos (Figura 1b), equato que para a área costruída embora a dispersão também aumete com o aumeto da área, os potos aida se cocetram mais próximos de uma reta. Esses resultados idicam que a partir de um determiado poto, a área do terreo já ão é tão determiate para o preço quato a área costruída. 160 GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167.
Júlio César Pereira, Salomão Garso, Elto Gea de Araújo Figura 1 Diagrama de dispersão etre preço e área costruída da casa (a) e Diagrama de dispersão etre preço e área do terreo da casa (b). 0 0 Preço imóvel 1.000.000 Preço imóvel 1.000.000.000.000.000.000 00 400 600 800 500 1000 1500 Área costruída (a) Área do terreo (b) Fote: Dados da pesquisa. 4.1. Seleção das Variáveis Iicialmete foi utilizado o método Todas as regressões possíveis, sedo ajustados todos os possíveis modelos de regressão, cosiderado as variáveis idepedetes (x 1, x, x 3 e x 4 ). Os modelos cadidatos foram comparados através de algus idicadores, como coeficiete de determiação múltipla (R ), coeficiete de determiação múltipla ajustado (R p ), quadrado médio do erro (MQ E ) e média quadrática total do erro (C p ). A Tabela 4 apreseta os resultados dos idicadores para cada modelo de regressão liear. As lihas em egrito represetam os melhores idicadores a cada grupo de equações com as mesmas quatidades de variáveis. Tabela 4 Cálculo dos idicadores para seleção de variáveis de cada modelo cadidato. Variáveis usadas a equação cadidata R R ajustado MQ E C p C p p x 1 0,1550 0.168 7,0756E+10 469,816 467,816 x 0,783 0.7751 1,83E+10 31,468 9,468 x 3 0,7393 0.7306,183E+10 60,5690 58,5690 x 4 0,343 0.088 6,4114E+10 414,348 41,348 x 1 e x 0,7843 0.7771 1,8058E+10 31,9109 8,9109 x 1 e x 3 0,7497 0.7413,0958E+10 56,0978 53,0978 x 1 e x 4 0,3341 0.3119 5,5754E+10 346,549 343,549 x e x 3 0,868 0.811 1,4495E+10,0181-1.181 x e x 4 0,790 0.783 1,756E+10 7,6176 4,6176 x 3 e x 4 0,749 0.7343,157E+10 60,704 57,704 x 1, x e x 3 0,871 0.814 1,447E+10 3,6163-1.163 x 1, x e x 4 0,7911 0.7841 1,7491E+10 8,66 4,66 x 1, x 3 e x 4 0,753 0.7441,0734E+10 56,145 54,145 x, x 3 e x 4 0,881 0.84 1,439E+10 3,1344-1.344 x 1, x, x 3 e x 4 0,883 0.86 1,4371E+10 4,9605-1.605 Fote: Dados da pesquisa. GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167. 161
Costrução de um modelo para o preço de veda de casas resideciais a cidade de Sorocaba-SP A última liha da Tabela 4, represetada pela equação que possui todas as variáveis, apresetou os melhores idicadores. Porém, como mostra o gráfico do comportameto do coeficiete de correlação múltipla, ilustrado a Figura, existe um poto em que a adição de variáveis ao modelo ão gera grades difereças os idicadores. A equação que represeta este poto é a que possui apeas as variáveis x e x 3, sugerido que talvez ão seja vatajoso icluir as variáveis x 1 e x 4 o modelo, fato que ão implicaria em melhora sigificativa a qualidade do mesmo. Figura Comportameto do coeficiete de determiação múltipla para cada equação. Coeficiete de determiação múltipla 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0 x1 e x x1, x e x4 x1, x e x3 x1, x, x3 e x4 x3 e x4 x1, x3 e x4 x e x3 x, x3 e x4 x3 x x e x4 x1 e x x1 e x4 x4 x1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 Fote: Dados da pesquisa. Também foram aplicados os procedimetos de seleção de variáveis Passo a Passo, Passo a Frete e Passo Atrás. Esses procedimetos apresetaram os mesmos resultados que o método Todas as Regressões. Dessa forma, a Tabela 5 são apresetados os resultados apeas do método Passo a Passo divididos por etapas. As lihas em egrito a Tabela 5 idicam as variáveis que devem compor o modelo a cada etapa. Assim como o método Todas as Regressões, observa-se a Tabela 5 que o método Passo a Passo idica ão haver ecessidade de se utilizar um modelo com mais que duas variáveis regressoras detre as variáveis testadas. Tabela 5 Cálculo dos idicadores para seleção de variáveis de cada modelo cadidato usado o método Passo a Passo. Etapa Variável presete a Equação Teste F p-valor (Resultado) x 1,564 5.56e-06 *** 1 x 441,87.e-16 *** x 3 350,65.e-16 *** x 4 37,645 1.069e-08 *** x e x 1 1,079 Não Sigificativo x e x 3 31,488 1.78e-07 *** x e x 4 4,6869 0.0334 * 3 x, x 3 e x 1 0,1984 Não Sigificativo x, x 3 e x 4 0,89 Não Sigificativo Fote: Dados da pesquisa. 16 GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167.
Júlio César Pereira, Salomão Garso, Elto Gea de Araújo Os resultados dos métodos de seleção de variáveis aplicados idicam a ecessidade de se trabalhar apeas com as variáveis x e x 3, o que resultou em um modelo expresso através da Equação 8. Neste modelo, observa-se que a cada uidade aumetada a área útil das casas (x ), o valor do preço terá um acréscimo de R$ 989,40, cosiderado a área do terreo fixa, ou seja, a área costruída é um dos atributos pricipais a serem cosiderados pelos ivestidores imobiliários, sedo este mais relevate do que o tamaho do terreo. y = 3479,9 + 989,4x + 43,4x 3 (8) O fato das variáveis x 1 e x 4 (úmero de dormitórios e úmero de vagas a garagem) terem sido elimiadas do modelo de regressão liear pode parecer ão fazer setido, pelo fato da estimação do preço de veda de uma casa ser baseada apeas a área útil e a área do terreo. No etato, é perceptível o motivo que gerou este fato, sedo que a maioria das vezes, quato maior a área útil de uma casa, maior o úmero de dormitórios presetes ela e quato maior a área de um terreo, maior a possível quatidade de vagas a garagem; ou seja, para um terreo com área grade, mesmo que a quatidade de vagas auciadas ão seja grade, espera-se que seja possível dispoibilizar espaço para esse fim. Assim, as variáveis x 1 e x 4, de certo modo, são explicadas pelas variáveis x e x 3, o que tora irrelevate a preseça delas o modelo. 4.. Variável Bairro Na amostra coletada, existem casas de 3 bairros diferetes, havedo a ecessidade da utilização de variáveis Dummy, fato que prejudica a eficiêcia do modelo, visto que o objetivo do estudo é desevolver um modelo de regressão liear com o melhor desempeho possível e utilizado apeas variáveis relevates. Dessa forma, foi realizada uma aálise da difereça existete etre cada bairro, auxiliado o agrupameto dos bairros de características semelhates. Para isso, cosideraram-se as variáveis selecioadas ateriormete, x e x 3, e ajustou-se um modelo icluido as variáveis Dummy, represetado os 3 bairros. Esse modelo foi ajustado diversas vezes, tomado como base um bairro diferete em cada ajuste, ou seja, a cada ajuste um bairro diferete era represetado por todas as variáveis Dummy assumido valores iguais a zero. Com isso foi possível verificar, através do teste de sigificâcia dos coeficietes de regressão, quais bairros eram diferetes do bairro base. Os bairros que ão apresetaram difereças sigificativas foram colocados o mesmo grupo. Através do teste de sigificâcia dos coeficietes de regressão, bairros que possuem casas de características semelhates foram agrupados. Dessa forma, foram criados 5 grupos que icluem os 3 bairros coletados a amostra, como ilustra a Tabela 6. Cada grupo formado represeta, de certa forma, a similaridade social e de ifra-estrutura dos bairros que compõem o grupo. O grupo 1, por exemplo, cotém os bairros obres, ode reside a elite da cidade e ode se cocetram shoppig ceters e hipermercados. No grupo, pode-se dizer que se cocetram bairros populares, o grupo 3 bairros de classe média, o grupo 4 bairros atigos e bem localizados, equato que o grupo 5 bairros localizados os extremos da cidade e distates do cetro. GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167. 163
Costrução de um modelo para o preço de veda de casas resideciais a cidade de Sorocaba-SP Tabela 6 Grupos criados o agrupameto dos bairros. Grupo 1 Grupo Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 Campolim Nova Machester Pq Vitória Régia Cetro Cajuru Jd dos Estados Jd Sato Adré Éde Vila Sataa São Beto Trujilo Pq das Larajeiras Jd Casa Braca Jd Vera Cruz Vila Fiori Sata Rosália Simus Jd São Paulo Fote: Dados da pesquisa. Jd Europa São Corado Jd Guaíba Jd Tatiaa Jd Bertaha Assim, o úmero de variáveis Dummy o modelo foi reduzido de variáveis para apeas 4. Dessa forma, para realizar a estimação do valor de uma casa através do modelo fial, deve-se utilizar a Tabela 6 para saber em qual grupo a casa em questão está iserida. 4.3. Modelo Fial Após a realização dos diversos testes para seleção de variáveis que explicam a variável y (preço do imóvel), chegou-se a um cojuto de regressores composto pelas variáveis x e x 3, que represetam área costruída e área do terreo respectivamete, além das variáveis Dummy d 1, d, d 3 e d 4, que represetam os 5 grupos de bairros. O modelo de regressão fial é apresetado através da Equação 9. y = 900,7 + 887,7x + 451,9x 3 + 88051,8d 1 66601,1d 36061d 3 3951,7d 4 ε (9) Para utilização do modelo, devem-se substituir as variáveis x, x 3 a equação pela área costruída e área do terreo da casa que se deseja estimar o preço de veda. Para as variáveis Dummy, é preciso equadrar o bairro do imóvel em um dos 5 grupos expostos a Tabela 6. Assim, deve-se utilizar a Tabela 7 para atribuir os valores às 4 variáveis, depededo do grupo que está sedo cosiderado. Por exemplo, o caso da ecessidade de se estimar o preço de veda de uma casa o bairro Jardim Europa, percebe-se através da Tabela 6 que ele pertece ao grupo 3. Portato, de acordo com a Tabela 7, a variável d 3 deve ser igual a 1 e todas as outras variáveis Dummy devem ser ulas. Tabela 7 Valores das variáveis Dummy para cada grupo de bairros. Grupo d1 d d3 d4 1 1 0 0 0 0 1 0 0 3 0 0 1 0 4 0 0 0 1 5 0 0 0 0 Fote: Dados da pesquisa. 164 GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167.
Júlio César Pereira, Salomão Garso, Elto Gea de Araújo 4.4. Validação Preditiva A fim de realizar um teste de validação acerca da qualidade do modelo de regressão liear obtido, foram selecioadas ao acaso 10 casas da amostra utilizada, com o ituito de empregar o modelo para calcular seus preços de veda a partir de suas áreas costruídas, áreas do terreo e bairros. O resultado obtido ecotra-se a Tabela 8. Tabela 8 Utilização do modelo de regressão a previsão de preços de casas cotidas a amostra utilizada. Bairro x x 3 Preço observado Preço estimado Erro (%) Campolim 0 35 R$ 380.000,00 R$ 443.55,40 16,65% Campolim 341 360 R$ 500.000,00 R$ 58.46,0 16,50% Trujilo 515 40 R$ 90.000,00 R$ 764.036,00-16,95% Sata Rosália 364 644 R$ 650.000,00 R$ 71.18,90 10,95% Pq das Larejeiras 160 50 R$ 190.000,00 R$ 17.46,60 14,43% Jd Europa 00 15 R$ 60.000,00 R$ 39.3,40-8,00% Pq São Beto 70 144 R$ 130.000,00 R$ 156.33,30 0,17% Trujilo 40 300 R$ 300.000,00 R$ 311.037,60 3,67% Trujilo 13 664 R$ 550.000,00 R$ 606.14,0 10,% Pq Vitória Régia 69 15 R$ 100.000,00 R$ 110.733,40 19,73% Fote: Dados da pesquisa. Erro absoluto médio 13,73% Como se pode perceber, existe uma difereça etre os preços de veda utilizados o mercado e os estimados através do modelo de regressão. No bairro Campolim, por exemplo, observou-se erros de previsão de aproximadamete 16,5% para as duas casas sorteadas. Porém, isso ão implica em um padrão de erros aproximadamete iguais detro dos bairros. Os valores dos erros de previsão esse bairro poderiam ser diferetes caso tivessem sido sorteadas outras casas para a previsão. A exemplo disso, observa-se, por exemplo, o bairro Trujilo, em que o erro de previsão apresetou uma variação de -16,95% a 10,%. Essa variação possivelmete poderia ser explicada por variáveis ão medidas, como a localização do imóvel detro do bairro (proximidade com o shoppig ceter ou com a uiversidade localizados o bairro). De uma forma geral, o erro absoluto médio de previsão foi estimado em cerca de 13,70%. Esta difereça pode ser causada pela falta de algumas variáveis que poderiam agregar qualidade ao modelo, como idade, estado de coservação do imóvel e proximidade com cetros comerciais e escolas. Dessa forma, é possível que a falta de dados gere algumas imperfeições o modelo de regressão fial. Estes resultados idicam que o modelo proposto pode cotribuir a avaliação do preço de casas da cidade de Sorocaba, visto que ão ocorreu ehuma difereça maior do que 0,17% etre o preço estimado e o preço observado. Os resultados, o etato, mostram também a ecessidade de se dispoibilizarem mais iformações a respeito do imóvel, tais como idade, estado de coservação, etre outras, como já citado ateriormete, a fim de se avaliar de maeira mais eficiete o imóvel e cosequetemete estimar o preço de forma mais precisa. GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167. 165
Costrução de um modelo para o preço de veda de casas resideciais a cidade de Sorocaba-SP 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS A partir do modelo desevolvido para estimação de preços de veda de casas a cidade de Sorocaba, percebe-se a grade importâcia da prática de testes de seleção de variáveis ates da costrução efetiva de um modelo. Isso se deve ao fato de que em algus casos, a utilização de uma variável a mais o modelo traz um aumeto de qualidade tão ífimo o resultado fial, que ão justifica a utilização da variável em questão, pelo simples fato do objetivo pricipal, ao se trabalhar com regressão liear múltipla, ser a busca por um modelo eficaz e eficiete, ou seja, um modelo que cumpra com os objetivos propostos e ao mesmo tempo seja desevolvido com utilização míima de recursos. Outra vatagem dos testes de seleção de variáveis, que pode ser vista o presete estudo, ocorre quado são idetificadas variáveis que ão precisam fazer parte do modelo, pois são explicadas por alguma outra variável já presete. É o caso das variáveis úmero de quartos e úmero de vagas a garagem, que foram retiradas do modelo, pois eram desecessárias, dado que as variáveis área útil e área do terreo estavam o modelo. A aplicação dos diversos testes de seleção de variáveis idicou a irrelevâcia das variáveis que foram descartadas para o estudo proposto, porém, é importate haver uma iterpretação do motivo pelo qual as variáveis estatisticamete ão devem compor o modelo, o que ão ocorre comumete. No presete caso, etede-se que em geral, uma casa com grade área costruída possui maior úmero de dormitórios do que uma de meor área costruída. Do mesmo modo, quato maior a área do terreo de uma casa, maior a possibilidade desta possuir mais vagas a garagem. Assim, resultados estatísticos são iterpretados de maeira mais eficiete e tora-se mais fácil a exposição dos mesmos para público em geral. Com relação ao modelo fial, é ítida a cotribuição que este pode oferecer o mercado imobiliário, pelo fato de o preço da casa ser estimado com base em suas características e ser semelhate ao preço de veda das casas dos bairros de características semelhates. Desta forma, situações de casas superestimadas ou subestimadas seriam evitadas e, ao mesmo tempo, ocorreria grade facilidade da geração do preço do imóvel demadado pouquíssimo tempo e recursos, bastado apeas a utilização de um computador. Como sugestão para futuros estudos, seria iteressate a utilização de uma gama maior de variáveis relativas às casas, de modo a buscar um modelo de regressão aida mais realista. Seria, também, iteressate cogitar a possibilidade do desevolvimeto de um modelo de regressão liear que cotemplasse ão só casas, mas apartametos e imóveis comercias, o que ampliaria a gama de utilização do modelo e traria muitos beefícios para o mercado imobiliário, podedo iclusive ser utilizado em imobiliárias a estimação dos preços de imóveis à veda. Além disso, pelo fato do grade crescimeto da população uiversitária da cidade de Sorocaba, seria de suma importâcia a criação de um modelo que evolvesse preços de aluguéis de imóveis a cidade, os quais vêm tedo demada crescete os últimos aos, e que com o crescimeto do esio uiversitário público a cidade, tede a crescer aida mais. 166 GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas, Ao 7, º 4, out-dez/01, p. 153-167.
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