LISTA INCRÍVEL DE MATEMÁTICA DISCRETA II DANIEL SMANIA 1 Amostras, seleções, permutações e combiações Exercício 1 Quatos bytes (8 bits) existem de modo que ele coteha exatamete quatro 1 s? Exercício 2 Verifique que Mostre que se 1 etão é par ( ) = ( ) 1 1 ( ) 2 Exercício 3 De quatos modos distitos podemos colocar bolas iguais em caixas de modo que cada caixa coteha o máximo uma bola? Exercício 4 Quão grade a população de uma cidade pode ser se ão há duas pessoas cujos omes tem as mesmas três letras iiciais? Exercício 5 Um clube possui 5 homes e 4 mulheres a De quatos modos podemos forma um comite com três pessoas? b De quatos modos podemos formar um comite com 3 hoems e 4 mulheres? c De quatos modos podemos formar um comite de 6 pessoas e um cero par de homes de recusa a pertecer a um mesmo comite? Exercício 6 Seja p 1, p 2,, p pessoas (distitas) a De quatos modos podemos colocar destas pessoas em uma fila? b De quatos modos podemos colocar destas pessoas em uma fila se p 1 se recusa a ficar ao lado de p 2 a fila, dado que p 2 tem uma séria aversão a bahos? c De quatos modos podemos colocar destas pessoas em uma fila se p 1 se recusa a ficar em uma fila com p 2? ( p 2 ão toma baho a MUITO tempo) Exercício 7 Use um argumeto combiatorial para mostrar que (2)!/2 e (3)!/(2 3 ) são úmeros iteiros 1
2 DANIEL SMANIA Exercício 8 Mostre que ( 2 )!/(!) +1 é um úmero iteiro Exercício 9 Mostre que o úmero de palavras com j + bits de modo que ela coteha bits 1 e j bits 0 e tal que ão haja dois 1 cosecutivos é ( ) j + 1 Exercício 10 Um alfabeto com m letras pode ser trasmitido através de um caal de comuicação Ecotre o múmero de diferetes mesages (palavras) com letras, se a as letras podem ser usadas com repetições em uma palavra b das m letras permitidas, l delas só podem ser usadas como a primeira ou última letra da palavra As outras letras podem aparecer com repetições e sem restrições quato a sua posição c das m letras permitidas, l delas só podem ser usadas como a primeira ou última letra da palavra As outras letras podem aparecer com repetições e em qualquer posição, exceto a primeira e última Exercício 11 Quatas diferetes mãos de 10 cartas podem ser obtidas de um baralho com 52 cartas? Exercício 12 Quatos subcojutos com dois elemetos de {1, 2, 3,, 2} existem de modo que a soma de seus elemetos é par? Exercício 13 Quatos subcojutos do cojuto {1, 2, 3,, } existem com exatamete três elemetos e tal que o subcojuto ão possua dois úmeros cosecutivos? Exercício 14 Ecotre o coeficiete de a 7 b 6 em (a + b) 13 Exercício 15 Ecotre o coeficiete de x 6 y 3 em (2x 1 + y) 9 Exercício 16 Ecotre o coeficiete de x em (x 3 x 2 ) Exercício 17 Verifique que Exercício 18 Verifique que ( Exercício 19 Mostre que ( ) ( ) 0 1 )( ) j + ( ) 2 = 3 = ( j Sug: Use a fórmula do biômio de Newto Exercício 20 Mostre que )( j j ) ( ) ( ) + ( 1) = 0 2 ( ) 2 + 1 = 2 2
LISTA INCRÍVEL DE MATEMÁTICA DISCRETA II 3 Exercício 21 Mostre que ( ) ( ) 2 = 2 + 2 2 2 a Algebricamete b Utilizado um argumeto combiatorial Exercício 22 Mostre que (3 ) ( ) ( ) = 3 + 6 + 3 3 3 2 a Algebricamete b Utilizado um argumeto combiatorial Exercício 23 Três iteiros são selecioados dos iteiros 1, 2,, 1000 De quatos modos podemos selecioais estes três iteiros de modo a que sua soma seja divisível por 3 Sug: Você provavelmete terá que se lembrar de coisas que apredeu em matemática Discreta I aqui Exercício 24 Verifique que ( ) ( ) ( ) + 2 + + ( + 1) = 2 + 2 1 0 1 Exercício 25 Verifique que ( ) 2 ( ) 2 ( + + 0 1 2 ) 2 + + ( ) 2 + + r de uma maeira combiatorial e de uma maeira algébrica ( ) 2 = ( ) 2 Exercício 26 Cosidere o cojutos das palavras de tamaho geradas pelo alfabeto {0, 1, 2} A Mostre que o úmero de palavras as quais o digito 0 aparece um úmero par de vezes é (3 + 1)/2 B Mostre a idetidade ( 0 ) 2 + ( 2 ) 2 2 + + ( ) q ode q = se é par, e q = 1 se é impar 2 q = 3 + 1, 2 Exercício 27 Fixe x ]0, 1/2[ Mostre que existe uma costate C com a seguite propriedade: para quaisquer úmeros aturais j e tais que j/ < x temos ( ) j ( ) ( ) C j i j i=0 Sug Verifique e use que se i/ < x etão ( ) i 1 x 1 x ( ) i Exercício 28 Um bêbado ada em um praia após o show do Rollig Stoes Ele pode dar um passo para frete ou um passo para trás de cada vez Supoha que em cada passo o bêbado ada 1m (para frete ou para trás) Quatas são as possíveis trajetórias do bêbado após passos? Quatas são as possíveis trajetórias do bêbado em que ele volta a sua posição iicial após passos?
4 DANIEL SMANIA Exercício 29 De quatos modos 16 obejtos podem ser divididos em quatro grupos de tamaho igual? Exercício 30 Calcule o úmero de palavras de comprimeto 2, s = s 1 s 2 s 2, com s i { 1, 1}, tais que f() = s i 0 para todo 2 Sug: Defia uma ova fução g() tal que { f() 1 m g() = (f() + 2) m < 2 ode m é o meor atural tal que f(m) = 1, se houver tal atural Caso cotrário tome m = 2m Exercício 31 Seja C o úmero de palavras de comprimeto 2, s = s 1 s 2 s 2, com s i { 1, 1}, tais que j s i 0 para todo j < 2, e além disso 2 s i = 0 Mostre que C = 1 ( ) 2 + 1 Os úmeros C são chamados de Catala umbers Sug: Procure por Catala Numbers o Google ;-) 2 Relações de recorrêcia lieares homogêeas Exercício 32 Ecotre as soluções gerais das relações de recorrêcia lieares homogêeas abaixo Quado as codições iiciais forem dadas, ecotre a solução particular os valores iicias dados a s = 3s 1 2s 2, s 0 = 0, s 1 = 1 b s = 2s 1 + 3s 2, s 0 = 1, s 1 = 5 c s = 2s 1 s 2, s 0 = a, s 1 = b d s = 2s 2, s 0 = 0, s 1 = 5 e s = π 2 s 2, s 0 = a, s 1 = b Exercício 33 Defia a = ( ) +, 1 2
LISTA INCRÍVEL DE MATEMÁTICA DISCRETA II 5 e a 0 = 1 e b 0 = 0 1 ( ) + b =, 1 2 + 1 a Verifique que a +1 = a + b +1, 0, b +1 = a + b, 0 b Mostre que a e b satisfazem relações de recorrêcia lieares de ordem dois c Expresse a e b em termos dos úmeros de Fiboacci Exercício 34 Seja r o úmero de palavras de comprimeto e com alfabeto {0, 1, 2, 3} tal que o padrão 33 uca ocorra Ecotre a recorrêcia liear satisfeita pela sequêcia r Solucioe esta recorrêcia liear e calcule r 9 Exercício 35 Seja h o úmero de palavras de comprimeto e com alfabeto {1, 2, 3} tal que os padrões 11 e 12 uca ocorram Ecotre a recorrêcia liear satisfeita pela sequêcia h Solucioe esta recorrêcia liear 3 Relações de recorrêcia lieares ão homegêeas Exercício 36 Ecotre as soluções gerais das relações de recorrêcia lieares ão homogêeas abaixo a s = 4s 1 + 1 b s = 3s 1 + 1 c s = 6s 1 + 2 + 3 d s = 5s 1 + 4s 2 + + 2 e s = 2s 1 + 3s 2 + 1/2 Exercício 37 Calcule as seguites somas a s m = m ( 1) b s m = m 2 c s m = m ( + 2) d s m = m ( + 1)( + 2)
6 DANIEL SMANIA Sug: Ecotre uma relação de recorrêcia satisfeita por s m e solucioe a recorrêcia com os valores iiciais apropriados 4 Fórmula de Stirlig Exercício 38 Mostre que os Catala umbers defiidos o Exercício 31 satifazem Sug: Fórmula de Stirlig C 4 3/2 π Exercício 39 GRANDE Desafio!! Dada uma palavra de comprimeto, s=s 1 s 2 s, ode s i {0, 1}, podemos cosiderar a média M(s) = 1 s i Seja x um úmero real em ]0, 1/2[ Seja K o úmero de palavras s de comprimeto tais que M(s) < x Defia h(x) = x l x + (1 x) l(1 x) l(1/2) Verifique que h > 0 em ]0, 1/2[ Mostre que ( K ) 1/ lim = e h(x) 2 O que acotece com esta mesma sequêcia se tomarmos x = 1/2? e para x > 1/2? Sug: Use o Exercício 27 e a fórmula de Stirlig E-mail address: smaia@icmcuspbr URL: wwwicmcuspbr/~smaia/