Cpítuo 9 Indutânci 9.1 Indutores e Indutânci Neste cpítuo, estudmos os indutores e sus indutâncis, cujs proprieddes decorrem diretmente d ei de indução de Frdy. Cpcitores: Recpitução Lembre-se que, no cso de um cpcitor, crg eétric cumud ns pcs de um cpcitor é proporcion à votgem entre s pcs: q V. A cpcitânci C foi definid como constnte de proporcionidde: q = CV 9.1) ou C = q/v. Ou sej, entre s pcs do cpcitor, tem-se um diferenç de potenci V C V C = q C 9.) Indutores Como o cpcitor, um indutor é um eemento de circuito, sob o qu existe um cert votgem. O exempo típico é um soenóide, peo qu pss um corrente vriáve. Est ger um vrição do fuxo mgnético trvés do indutor, que induz um votgem induzid em sus extreminds. Em nogi o trtmento dos cpcitores, o fuxo mgnético tot em um indutor formdo por N espirs é proporcion o cmpo mgnético, que por su vez é proporcion à corrente eétric ns espirs: Φ T B i. A constnte de proporcionidde é indutânci L: Φ T B = Li 9.3) ou L = Φ T B /i. Pe Lei de Frdy, diferenç de potenci no indutor é V L = Φ T B / t, i.e. V L = L di dt 9.4) A unidde de indutânci é o Henry [H]=[T][m ]/[A]=[V][s]/[A] 77
78 CAPÍTULO 9. INDUTÂNCIA 9. Indução Mútu 9..1 Soenóide Figur 9.1: Indutânci mútu de dois soenóides Nussenzveig). Considere dois soenóides concêntricos de rios R 1 e R, correntes i 1 e i, N 1 e N espirs, e comprimento. O cmpo crido peo soenóide 1 é B 1 = µ N 1 i 1, < r < R 1 ) 9.5) Portnto o fuxo mgnético Φ 1) produzido sobre s N espirs do soenóide por B 1 fic Φ 1) = N B 1 da = N B 1 πr1) N 1 = N µ i 1)πR1) Portnto, πr1 = µ N 1 N i 1 9.6) Φ 1) = L 1 i 1 9.7) L 1 = µ N 1 N πr 1 e L 1 é uto-indutânci. Simirmente, 9.8) B = µ N i, < r < R ) 9.9) Portnto o fuxo mgnético Φ 1) produzido sobre s N 1 espirs do soenóide 1 por B fic e temos Φ 1) = N 1 B da 1 = N 1 B πr1) πr1 = µ N 1 N i 9.1) Φ 1) = L 1 i 9.11) L 1 = µ N 1 N πr 1 = L 1 9.1) 9.3 Auto-indução 9.3.1 Soenóide Se fizermos os dois soenóides coincidirem i.e. R 1 = R = R, etc.), ou se simpesmente considerrmos o fuxo de um soenóide sobre ee mesmo, temos Φ = µ N πr i 9.13)
9.3. AUTO-INDUÇÃO 79 Portnto su uto) indutânci fic L = µ N πr 9.14) Note que L N, pois o fuxo em cd espir é proporcion N, já que depende de tods s outrs, e o fuxo tot produz mis um N. Adinte, estremos sempre nos referindo à uto-indutânci, qu chmremos simpesmente de indutânci. 9.3. Cbo Coxi Considere um cbo coxi, como mostrdo n Fig 9., formdo por um fio condutor ciíndrico de rio, envovido por cp ciíndric contutor de rio b. A corrente pss em um sentido no condutor interno, retornndo no outro sentido pe cp extern. O cmpo B tem inhs de cmpo circures, como no circuito C. Pe Lei de Ampere πρb = µ i B = µ i ˆϕ 9.15) πρ Suponh que b e o fuxo no fio interno pode ser desprezdo. Considere o retânguo ADD A, onde AD =. O fuxo neste retânguo fic Portnto, indutânci é dd por 9.3.3 Toróide B d S = AD Φ = = µ ) i b π n b L = µ ) b π n Figur 9.: Indutânci de um cbo coxi Nussenzveig). Bρ)dρ = µ i π b dρ ρ 9.16) 9.17) Considere o toróide com N espirs circures, mostrdo ns Figs 7.1 e 9.3, com rio médio = e rio d seção circur = b. O ponto P tem coordends ρ, ϕ). A inh de cmpo que pss por P, é um círcuo de rio r = PP, onde r = ρ cos ϕ 9.18) A Lei de Ampere dá em P: πrb = Nµ i 9.19) Figur 9.3: Indutânci de um toróide Nussenzveig).
it) = E R + Ke tr/l 9.8) 8 CAPÍTULO 9. INDUTÂNCIA ou sej Bρ, φ) = Nµ i π 1 ρ cos ϕ Portnto o fuxo mgnético Φ trvés ds N espirs do toróide fic Φ = N B da = N µ i b π dϕ ρdρ π ρ cos ϕ A segund integr é dd por Portnto π dϕ ρ cos ϕ = 9.) 9.1) π ρ 9.) b Φ = N ρdρ µ i ρ = N µ i ) b ρ = N µ i ) b e indutânci fic L = N µ b ) 9.3) 9.4) Pr b, temos L N µ 1 1 b / ) = N µ b / ) = N µ πb )/π) = N µ A/π), como seri obtido proximndo B = const. em tod seção circur do toróide. 9.4 Circuito RL 9.4.1 Corrente crescendo Figur 9.4: Circuito RL. Hidy). Integrndo it)e tr/l = Considere um circuito RL conectdo um bteri E switch ) e com corrente crescendo: E Ri L di dt = 9.5) A soução pr it) pode ser obtid de mneir idêntic o circuito RC: di dt + R L i = E L Mutipicndo por e tr/l, temos: d dt E L etr/l dt + K = E R etr/l + K 9.6) it)e tr/l) = E L etr/l 9.7)
9.5. CIRCUITO LC 81 Como i) =, temos = i) = E R + K K = E R 9.9) e soução fic it) = E R 1 e tr/l) 9.3) 9.4. Corrente decrescendo Suponh que gor bteri sej desconectd do circuito RL switch b). Temos Ri L di dt = 9.31) Note que V L tem o sentido oposto à vrição de fuxo mgnético, ou à vrição d corrente no tempo. Como gor corrente está decrescendo, V L terá sentido oposto o cso nterior. Ms isso já está grntido pe equção cim, pois gor di/dt <, que já produz o sentido correto. A soução pr it) fic: Como i) = E/L, temos 9.5 Circuito LC di dt + R i = it) = Ke tr/l L it) = E R e tr/l 9.3) Pr um circuito LC, temos q C Ldi dt = di dt = q 9.33) LC No sentido escohido, o cpcitor está descrregndo e portnto temos i = dq/dt. Derivndo temos d i dt = i LC = ω i 9.34) 1 onde ω = 9.35) LC Figur 9.5: Circuito LC. Hidy). A soução fic it) = A cosω t + ϕ) 9.36) e portnto crg qt) = A ω sinω t + ϕ) 9.37) Como não há dissipção de energi por resistores, s crgs e correntes ficm oscindo, trnsferindo energi do cpcitor pr o indutor e vice-vers.
8 CAPÍTULO 9. INDUTÂNCIA 9.6 Energi do Cmpo Mgnético Considere um circuito RL conectdo um bteri E e com corrente crescendo: Mutipicndo ess equção por i, temos E Ri L di dt = 9.38) Ei = Ri + Li di dt = 9.39) O primeiro termo é potênci provid pe bteri e o segundo termo potênci dissipd peo resistor. Portnto, o útimo termo é potênci rmzend no indutor: du B = Li di dt dt = L di dt = d ) Li U B = Li 9.4) dt A densidde de energi mgnétic em um soenóide de comprimento e áre A fic então: u B = U B vo = Li / A 9.41) Pr o soenóide, L = µ N A e B = µ N u B = Li A = i µ N ) i A A = µ N i e podemos interpretr energi como rmzend no cmpo mgnético. 9.6.1 Exempo: Cbo coxi Pr o cbo coxi, vimos que = B µ 9.4) B = µ i ˆϕ 9.43) πρ o que dá um densidde de energi u B = 1 ) µ i = µ i µ πρ 8π ρ 9.44) Portnto energi tot em um segmento de comprimento do cbo fic b π U B = u B dv = dz ρdρ dϕ u B b π = dz ρdρ dϕ µ i 8π ρ = µ i = µ i 4π n b ) = 1 [ µ π n b ) ] i b 8π π) = 1 Li 9.45) dρ ρ