MEMÓRIAS EM REDE COM CONEXÕES LOCAIS E ALEATÓRIAS

Uiversidade Estadual de Pota Grossa Programa de Pós-Graduação em Ciêcias Área de cocetração - Física MEMÓRIAS EM REDE COM CONEXÕES LOCAIS E ALEATÓRIAS ROBSON CONRADO BONETTI PONTA GROSSA 2007

ROBSON CONRADO BONETTI MEMÓRIAS EM REDE COM CONEXÕES LOCAIS E ALEATÓRIAS Dissertação apresetada ao Programa de Pós-Graduação em Ciêcias, área de cocetração Física, da Uiversidade Estadual de Pota Grossa, como parte dos requisitos ecessários à obteção do grau de Mestre em Ciêcias. Orietador: Prof. Dr. Atoio M. Batista PONTA GROSSA 2007

Ficha catalografica elaborada pelo setor de processos tecicos BICEN/UEPG. Boetti, Robso Corado ~ B712m Memorias em rede com coexoes locais e aleatorias / Robso Corado Boetti. Pota Grossa, 2007. 72 f. ~ Dissertaçao (mestrado em Ciecias) ^ Uiversidade Estadual de Pota Grossa Pr. Orietador: Prof. Dr. Atoio M. Batista ~ 1. Padroes de memoria formaçao. 2. Memorias em rede. ~ 3. Coexoes aleatorias. I. Batista, Atoio M. II. Uiversidade Estadual de Pota Grossa. Mestrado em Ciecias. ^ ~ CDD 530

TERMO DE APROVAÇÃO ROBSON CONRADO BONETTI MEMÓRIAS EM REDE COM CONEXÕES LOCAIS E ALEATÓRIAS Dissertação aprovada como requisito parcial para obteção do grau de Mestre o Programa de Pós-Graduação em Ciêcias área de cocetração Física da Uiversidade Estadual de Pota Grossa, pela seguite baca examiadora: Pota Grossa, 22 de maio de 2007. i

ii À miha esposa Melissa.

Siceros agradecimetos: à miha esposa, aos meus pais, aos meus irmãos, ao Dr. Atoio M. Batista, aos amigos e professores. iii

Resumo Uma aplicação de modelos de mapas acoplados foi utilizada para explicar a formação de padrões de memórias, observadas em experiêcias de odas de desidade de carga em NbSe 3. Cosideramos um acoplameto local para estudar o tempo trasiete das memórias. Também aalisamos a formação das memórias em uma rede com acoplametos locais e globais. O tempo trasiete foi obtido variado os acoplametos ão-locais para o caso liear e para o caso ão liear estudamos a formação de múltiplas memórias. iv

Abstract A applicatio of coupled maps models has bee used i order to explai the formatio of memories patters, observed i charge desity waves experieces i NbSe 3. We have cosidered a local couplig i order to study trasiet time of memories. We have also aalyzed the memories formatio i a lattice with local ad o local coupligs. The trasiet time was obtaied varyig the o local coupligs for liear case ad for o-liear case we studyed the formatio of multiples memories. v

Coteúdo 1 Itrodução 1 2 Coceitos básicos 6 2.1 Mapas................................... 6 2.2 Mapa logístico............................... 8 2.3 Potos fixos em mapas.......................... 12 2.4 Expoete de Lyapuov.......................... 14 3 Redes de mapas acoplados 18 3.1 Coceitos básicos............................. 20 3.1.1 Codições iiciais e de cotoro................. 21 3.1.2 Diâmica local.......................... 22 3.1.3 Tipos de acoplametos...................... 23 3.2 Acoplameto local............................ 27 vi

3.2.1 Domíios e kiks......................... 29 3.3 Acoplameto global............................ 32 3.4 Redes complexas............................. 33 3.4.1 Grafos aleatórios......................... 34 3.4.2 Redes de mudo pequeo.................... 38 3.4.3 Redes sem escala......................... 42 4 Memórias em redes de mapas acoplados 44 4.1 Tempo trasiete das memórias..................... 48 4.2 Padrões das memórias.......................... 52 4.3 Memórias com coexões aleatórias.................... 54 5 Coclusões 61 A Grafos 64 Bibliografia 68 vii

Capítulo 1 Itrodução Sistemas diâmicos espaço-temporais com um úmero ifiito de graus de liberdade têm sido amplamete estudados a comuidade cietífica devido à sua iterdiscipliaridade e aplicabilidade em várias áreas cietíficas. Este iteresse é motivado em virtude do grade úmero de problemas práticos ode a diâmica espacial desempeha um papel sigificativo: sistemas óticos, feômeos de turbulêcia observados em fluidos e plasmas, física do estado sólido, química, redes eurais [1], formação de padrões em sistemas aturais, redes de mudo pequeo [2], redes sem escala [3], sistemas diâmicos acoplados em biologia e tecologia, detre outros [4]. Para o estudo destes sistemas diâmicos têm-se que utilizar um modelo espaço-temporal [5], ode temos a possibilidade da ocorrêcia de caos. As redes de mapas acoplados são modelos úteis para ivestigar sistemas espacialmete extesos e foram itroduzidos em diâmica ão-liear o iício dos aos 80 [5, 6, 7] como modelos simples para o estudo de sistemas caóticos espaçotemporais os quais o espaço e o tempo são discretos, porém a variável de estado é cotíua. A evolução temporal do sistema é determiada tato pelo comportameto idividual de cada sítio da rede, como também pelo tipo de acoplameto etre eles, podemos citar em especial o acoplameto do tipo local, que coecta seus dois vizi- 1

hos mais próximos [5] e o acoplameto do tipo global, o qual a diâmica de um mapa é determiada por todos os outros [8]. Desta maeira, é possível ivestigar a evolução espaço-temporal do sistema, caracterizada por uma grade variedade de aspectos, como domíios, kiks, atikiks, caos espaço-temporal [9]. As redes de mapas acoplados estão presetes em vários ramos da ciêcia, como biologia, química, geofísica, em sistemas tecológicos e egeharias [7] e estão sedo estudadas por iúmeros grupos de pesquisa o mudo. Os sistemas estedidos de mapas acoplados são usados com freqüêcia para o estudo da diâmica espaço-temporal, porque sua implemetação é mais simples em relação a sistemas hierarquicamete superiores. As redes de mapas acoplados quado comparadas a outros sistemas com extesão espacial, como é o caso das equações difereciais parciais e das cadeias de osciladores acoplados, são computacioalmete mais fáceis de se maipular. As equações difereciais parciais requerem uma quatidade muito grade de iformações (uma fução cotíua) para especificar o estado e exige grades recursos computacioais para a simulação [10]. As redes de mapas acoplados apresetam maior complexidade quado comparadas aos autômatos celulares ode o tempo, o espaço e a variável de estado são discretos, devido à capacidade de produção de iformação local. O osso trabalho será baseado em redes de mapas acoplados. Uma aplicação de modelos de redes de mapas acoplados foi utilizado para explicar a formação de padrões de memórias de curta duração em um sistema diâmico ão-liear com muitos graus de liberdade. Coppersmith e colaboradores [11] usaram uma rede de mapas acoplados para simular o efeito de memórias em experiêcias de odas de desidade de carga (ODC), as quais seqüêcias de pulsos elétricos periódicos são aplicados em cerâmicas semicodutoras de NbSe 3. A rede de mapas acoplados surge do modelo de uma cadeia de partículas em um potecial periódico seoidal, o qual também é usado para o estudo de terremotos. A formação desses padrões sugere o estudo de redes complexas, como por exemplo, uma rede de 2

eurôios, ode o espaço e o tempo são discretos e a variável de estado é cotíua, podedo dessa maeira armazear padrões complexos de iformações. Trabalhos recetes em redes de mapas acoplados mostram outras formas de acoplametos. Uma destas formas é a coectividade aleatória ão-local, que ão apreseta uiformidade espacial, ou seja, a existêcia de uma rede regular de coexões ou a preseça de coexões etre todos os elemetos e pode ser usada em redes eurais, redes de coexões e circuitos elétricos [12]. As redes complexas descrevem o mudo atual uma grade variedade de sistemas de bastate iteresse itelectual, cietífico e tecológico. Como exemplo, redes de iteração social são formadas por pessoas ligadas umas as outras através do lazer ou relações de trabalho, a rede de colaboração etre atores de ciema etre outras [2, 13]; a iteret é uma rede complexa formada por computadores coectados etre si; a World Wide Web é uma rede virtual de págias coectadas através de hiperliks [14, 15]. Esses são apeas algus dos muitos exemplos existetes a atureza e o mudo atual que chamaram a ateção da comuidade cietífica para o estudo dos mecaismos que determiam a diâmica de crescimeto das redes complexas. Através da Teoria dos Grafos teve iício o estudo de redes complexas, sedo que o começo era utilizado o estudo de grafos regulares. Após 1950, redes grades sem um perfil orgaizacioal bem defiido passaram a ser tratadas como grafos aleatórios através dos trabalhos de Paul Erdös e Alfréd Réyi [16], depois que Erdös mostrou que métodos probabilísticos podiam ser utilizados para resolver problemas da teoria de grafos. Todo sistema complexo apreseta algum tipo de pricípio orgaizacioal que, em geral, ifluecia sua topologia. Desevolvimetos tecológicos recetes causaram um grade avaço o estudo de redes complexas. A iformatização dos processos de aquisição de dados permitiu a costrução de grades bacos de dados com iformações sobre a topolo- 3

gia de várias redes reais. O aumeto da capacidade de cálculo dos computadores viabilizou o estudo das redes formadas por milhões de sítios. A crescete iteração etre pesquisadores de diferetes áreas, permitiu que os mesmos tivessem acesso a dados sobre as redes de diversas aturezas. Impulsioado por esses fatores, vários coceitos e métodos foram ivestigados e propostos os últimos aos. Devido ao fato de serem amplamete empregadas a modelagem de uma série de feômeos, como formação de padrões, diâmica de populações, processos de difusão e em redes biológicas, as redes com topologias regulares como as empregadas em mapas localmete e globalmete acoplados parecem ser um pouco razoável para represetar a coectividade presete as redes complexas, caracterizadas, detre outros aspectos, por uma grade quatidade de ós coectados com diferetes úmeros de coexões. Resultados empíricos sobre essas redes complexas mostram a ecessidade de modelos mais adequados para sua represetação. Recetemete, dois ovos modelos de rede parecem represetar, de forma mais adequada, essas redes complexas: as redes sem escala [3] e as redes de mudo pequeo [13]. Aqui, ossa escolha foi pelo uso de redes de mudo pequeo, as quais julgamos mais adequadas para comparações com os modelos regulares e para o estudo da diâmica de seus elemetos. Em redes de mudo pequeo temos coexões etre os sítios vizihos e algumas coexões aleatórias ão-locais, privilegiado a represetação a qual a distâcia média etre os sítios da rede é pequea, o coeficiete de agrupameto é alto e a distribuição das ligações é semelhate à de uma rede aleatória decaido expoecialmete. Temos como exemplos: propagação de iformações a iteret e trasmissão de doeças. A dissertação está segmetada da seguite forma: No capítulo dois temos como objetivo itroduzir algus coceitos básicos relacioados a mapas, sistemas ode a variável de estado é cotíua e o tempo é discreto, abordados o decorrer do trabalho. Este capítulo aborda temas 4

como sistemas diâmicos, mapas, potos fixos em mapas, aálise da estabilidade liear, mapa logístico, bifurcação e expoete de Lyapuov. No capítulo três mostramos algumas características e coceitos de mapas acoplados em uma rede uidimesioal, bem como as formas de acoplametos mais ecotradas a literatura [6]. Neste capítulo foi abordado o acoplameto local, usado o mapa logístico para exemplificar algus coceitos sobre a diâmica espaçotemporal desta classe de sistemas diâmicos e a formação de domíios espaciais e também foi abordado o acoplameto global. Na seção seguite, redes complexas, grafos aleatórios, redes de mudo pequeo e redes sem escala são abordadas. No capítulo quatro ivestigamos a formação de memórias em uma rede de mapas acoplados, com um acoplameto do tipo local, que modela partículas coectadas por molas sujeitas a perturbações periódicas exteras. Aalisamos os padrões de memórias formados, bem como os parâmetros do sistema que iflueciam o tempo trasiete ecessário para a formação desses padrões. Faremos a aálise da formação de memórias em rede do tipo mudo pequeo com coexões aleatórias e aalisamos a probabilidade das coexões de termos ou ão múltiplas memórias em fução dos parâmetros da rede. No capítulo cico apresetamos as coclusões deste trabalho bem como as sugestões para os trabalhos futuros. 5

Capítulo 2 Coceitos básicos 2.1 Mapas Iúmeros modelos atuais de iteresse tem o tempo como variável discreta (ou seja, assume apeas valores iteiros t = 0, 1, 2,...), e descrevem a evolução o tempo de um sistema diâmico expressado o seu estado como uma fução do istate aterior. Uma das pricipais utilizações dos mapas é auxiliar a aálise de sistemas cotíuos. Tais modelos discretos são deomiados equações a difereças, relação de recorrêcia, mapas iterados ou simplesmete mapas. Eles têm sido bastate utilizados em sistemas diâmicos, o estudo de formação de padrões e o estudo de caos [17]. Mapas são relações de recorrêcia, computacioalmete mais fáceis de tratar do que as equações difereciais, pois o uso de modelos cotíuos ou discretos evolvem uma escolha que tem por base vários fatores, aalíticos e computacioais. Modelos discretos uidimesioais são os mais simples possíveis pois evolvem apeas uma variável diâmica. Como exemplo de mapas citamos o mapa logístico, muito usado o estudo de caos. Podemos obter o mapa logístico seguido a versão 6

discreta do modelo logístico de Pierre-Fraçois Verhulst (1804 1849) que prologado as idéias de Malthus, icluiu a oção de fatores iibidores. Malthus em seu livro Esaio sobre o Pricípio da População [18], publicado em 1798, relacioou a população P +1 de uma geração +1 com a população P da geração [19], com base a suposição de que a população aumetava progressivamete a depedêcia de um fator costate de crescimeto. Descreveu essa população pela relação matemática (2.1): P +1 = rp, (2.1) ode = 0, 1, 2,... idica as sucessivas gerações populacioais e r é o fator de crescimeto por geração relacioado com a taxa de crescimeto (ou seja, a taxa de atalidade meos a taxa de mortalidade). Essa relação também descreve um crescimeto expoecial ilimitado para r > 1 e um decaimeto até a extição para r < 1 [19]. Thomas Malthus em 1798, afirmava que a população crescia em uma progressão geométrica, equato que os meios de subsistêcia aumetavam em uma progressão aritmética de forma bem mais leta, cocluido que em breve ão haveria alimeto para todos. Precoizado o cotrole da procriação, Verhulst em 1838 iseriu o coceito de fatores iibidores, sugerido que a taxa de crescimeto de uma população r, ão seria costate mas aumetaria de uma maeira expoecial com o passar do tempo. Supodo que essa população possa aumetar até um valor máximo P max, ode se esgotariam todos os recursos aturais, podemos colocar uma depedêcia em relação ao úmero máximo da população: ( P +1 = rp 1 P ), (2.2) P max dividido os dois membros da equação (2.2) pelo úmero máximo de idivíduos dessa população e sedo x = P /P max obtemos: x +1 = rx (1 x ), (2.3) o que resulta o mapa logístico [20] com r sedo o parâmetro de cotrole o itervalo de 0 < r 4 e x a variável de estado o itervalo de 0 x 1, muito usado o 7

estudo de caos pois apreseta um grade iteresse devido à sua diâmica apresetar potos críticos (atratores e repulsores), órbitas de diferetes períodos, etc. 2.2 Mapa logístico O mapa logístico (2.3) apreseta certos comportametos, quado o seu parâmetro de cotrole r é variado (órbitas periódicas, atratores, repulsores, bifurcações etc...). A Figura (2.1) mostra a evolução da variável de estado do mapa logístico para diferetes valores do parâmetro de cotrole (r = 2, 8; r = 3, 3; r = 3, 5; r = 3, 9) e com uma codição iicial x 0 igual a 0, 1 para todos. Observamos que o mapa logístico a mesma codição iicial pode apresetar diferetes comportametos, com apeas a variação do parâmetro de cotrole r. Na Figura (2.1a), com parâmetro de cotrole r = 2, 8, a codição iicial evolui para o poto fixo x = 0, 642891. Na Figura (2.1b), com parâmetro de cotrole r = 3, 3, o sistema evolui para uma órbita de período 2 apresetado os valores x = 0, 476158 e x = 0, 822753 para a variável de estado. Na Figura (2.1c), com parâmetro de cotrole r = 3, 5, o sistema evolui para uma órbita de período 4 com os seguites valores para a variável de estado x = 0, 385327, x = 0, 8273, x = 0, 493294 e x = 0, 872818. Para a Figura (2.1d), com r = 3, 9 o mapa logístico apreseta sesibilidade às codições iiciais, pois duas codições iiciais muito próximas, x 0 = 0, 1 (círculos) e x 0 = 0, 2 (losago), levam a órbitas completamete diferetes passado um certo itervalo de tempo. O mapa logístico (2.3) apreseta duplicação de período com a variação do parâmetro de cotrole. A partir de um certo valor o mapa logístico apreseta uma cascata de duplicação de período [21] até atigir um valor ode o úmero de períodos é ifiito, como pode ser visto a Tabela (2.1). Para o valor do parâmetro de cotrole r = 3, 568759 o mapa logístico apreseta comportameto com ausêcia 8

de periodicidade. Para algus valores de r > r = 3, 569946 o mapa logístico apreseta jaelas de periodicidade, que são caracterizadas por órbitas de período ímpar e também podem sofrer bifurcações, em r = 3, 83 temos a ocorrêcia da maior jaela, como pode ser visto a Figura (2.2). 1 1 x 0,5 x 0,5 (a) 0 1 25 50 0 1 (b) 25 50 x 0,5 x 0,5 0 (c) 25 50 0 (d) 10 20 30 40 50 Figura 2.1: Evolução temporal da variável de estado cosiderado: (a) r = 2, 8, o sistema tem um poto fixo x = 0, 642891, (b) r = 3, 3, o sistema possui uma órbita periódica alterado etre os valores de x = 0, 476158 e x = 0, 822753, (c) r = 3, 5, o sistema possui uma órbita periódica de período 4 com os seguites valores x = 0, 385327, x = 0, 8273, x = 0, 493294 e x = 0, 872818, (d) r = 3, 9 com duas codições iiciais próximas o sistema é aperiódico. Utilizado o diagrama de bifurcações do mapa logístico, podemos observar melhor a cascata de duplicação de período até o comportameto caótico. Podem ser observados também as iúmeras jaelas de periodicidade, para valores do parâmetro de cotrole r > r. Na região de bifurcações ou periódica, as bifurcações estão associadas a um tipo de rota para o caos cohecida como duplicação de período ou rota de 9

Feigebaum. Em 1978, Mitchell Feigebaum percebeu que as razo es das dista cias dos para metros etre duas bifurcac o es de perı odo sucessivas se aproximam de uma costate a medida em que o perı odo tede a ifiito [21]. Esta costate e chamada costate de Feigebaum [22, 23]. Tabela 2.1: Tabela com algus valores dos para metros de cotrole, ode ocorre bifurcac a o de perı odos [4]. Perı odos 3 2 3,449 4 3,54409 8 3,5644 16 3,568759... 32... 3,569946 1 (a) x x 1 r 0,5 0 1 2 r 3 4 (b) 0,5 0 3,5 3,6 3,7 r 3,8 3,9 Figura 2.2: (a) Diagrama de bifurcac o es para o mapa logı stico (2.3), com uma codic a o iicial x0 igual a 0, 1, com 1032 iterac o es sedo desprezadas 1000 como trasiete, (b) jaelas de periodicidade do mapa logı stico. Nesta forma de bifurcac a o o poto fixo que era esta vel ates da bi10

furcação tora-se istável e surgem dois ovos potos fixos estáveis. Neste regime periódico, cosiderado r como o valor de r ode um período de ciclo 2 1 muda para 2, ocorre a seguite lei de escala r = r cte.δ para 1, ou seja, ode δ é chamada primeira costate de Feigebaum, r r 1 lim = δ, (2.4) r +1 r δ = 4, 6692609, (2.5) essa costate dá uma medida de quato a difereça etre os valores do parâmetro de cotrole associados a duas bifurcações sucessivas é reduzida. Costata-se também que as distâcias d dos potos fixos mais próximos de x = 0, 5 (Figura 2.3) têm uma razão costate, d d +1 = σ, (2.6) ode a costate σ mede o fator de escala segudo o qual as distâcias etre potos sobre o atrator o eixo são reduzidas, sedo deomiada como a seguda costate de Feigebaum [24], e tem seu valor dado por σ = 2, 50290785. (2.7) x 1/2 d1 d2 d 3 0 r r r r 1 2 3 00 r Figura 2.3: Distâcia d para os potos fixos próximos de x = 1/2 para órbitas superestáveis. 11

2.3 Potos fixos em mapas O poto x é mais comumete chamado poto fixo do mapa f(x), pois ele é um poto que mapeia a si mesmo, ou seja, a fução que descreve o mapa, o poto fixo possui o mesmo valor do poto fixo. Esta defiição se aplica a qualquer tipo de mapa, seja ele liear ou ão-liear. De um modo geral, os mapas uidimesioais são escritos a seguite forma geral: x +1 = f(x ), (2.8) com = 0, 1, 2,... sedo os valores discretos do tempo e f(x ) uma fução que em osso caso é ão-liear. Dada uma codição iicial x 0, os demais valores são obtidos por iteradas sucessivas do mapa (2.8). O poto fixo é a solução da equação assim temos para o mapa logístico (2.3) x = f(x ), (2.9) x = x r(1 x ), (2.10) equivalete a uma equação do segudo grau, cujas raízes são ( x 1 = 0 e x 2 = 1 1 ), (2.11) r portato, há dois potos fixos. Para uma órbita periódica de período m temos um cojuto de m potos x 1, x 2, x 3,..., x m tais que um mapeia o outro, de forma cíclica, ou seja: x i+1 = f(x i ), x 1 = f(x m), (2.12) com i = 1, 2,..., m 1. Aplicado sucessivamete as codições acima a qualquer um dos potos, por exemplo x m, vemos que x m = f(x m 1) = f(f(x m 2)) = f(f(f(x m 3))) =...f m (x m), (2.13) 12

ode f m é a m-ésima iterada do mapa. A aálise da estabilidade liear ou local do poto fixo é feita através do estudo das iterações do mapa as suas vizihaças. Seja x uma iteração do mapa próxima ao poto fixo x, com x pertecedo a uma pequea vizihaça de x. Podemos defiir uma distâcia etre estes potos como δ = x x, (2.14) com δ e x variado com o tempo à medida que o mapa é iterado. Logo, das equações (2.8) e (2.14) a distâcia evolui para δ +1 = x +1 x = f(x ) x = f(x + δ ) x, (2.15) expadido a fução do mapa f(x) em uma série de Taylor em toro de x = x, em potêcias de δ : ( ) df(x) f(x + δ ) = f(x ) + δ + O(ε 2 ), (2.16) dx x=x ode os termos da expasão cotedo potêcias de δ de ordem igual ou superior a 2 foram desprezados, de modo que, para que esta liearização seja válida, δ deve ser suficietemete pequeo. O termo que multiplica δ é a derivada do mapa f(x), calculada o poto fixo x = x, portato uma costate. Etão a equação (2.15) se tora ( ) ( ) df(x) δ +1 = f(x ) + δ x dx = df(x) δ dx. (2.17) x=x x=x Se δ +1 < δ as iterações estão covergido para o poto fixo x. Logo é estável (atrator), pois a cada ova iteração a órbita aproxima-se do poto fixo e podemos escrever ( ) df(x) < 1. (2.18) dx x=x 13

Caso δ +1 > δ as iterações estão divergido do poto fixo x. Logo é istável (repulsor), pois a cada ova iteração a órbita afasta-se do poto fixo e podemos escrever ( ) df(x) > 1. (2.19) dx x=x Aida podem ocorrer os casos para f (x) x=x = 1 ode o critério falha, pois a liearização efetuada ão é suficiete para esclarecer se o poto fixo é ou ão estável e para f (x) x=x = 0 ode o poto mais estável é eqüidistate dos extremos sedo chamado de super-estável. 2.4 Expoete de Lyapuov Os expoetes de Lyapuov avaliam a sesibilidade às codições iiciais, verificado a divergêcia expoecial o tempo de trajetórias vizihas, represetado um dos critérios para defiir o caos em sistemas diâmicos. Cosiderado duas codições iiciais próximas x 1 (t) e x 2 (t) e admitido-se que elas evoluam ao logo do tempo de modo a produzirem órbitas x 1 (t + t) e x 2 (t + t) (Figura 2.4), a diâmica caótica do sistema faz com que as duas curvas iicialmete próximas afastem-se. x 2 (t+ t) x 1 (t + t) x 2 (t) x (t) 1 Figura 2.4: Ilustração da divergêcia de duas codições iiciais próximas. 14

O expoete de Lyapuov mede esta separação expoecial em trajetórias vizihas (Figura 2.5). O comportameto caótico é caracterizado pela existêcia de, pelo meos, um dos expoetes de Lyapuov positivo. Para situações em que temos mais de um expoete de Lyapuov positivo fica caracterizado o hipercaos [25]. ε x 0 x 0 + εe λ ( x 0 ) ε f x 0 f ( ) ( x 0 + ε) Figura 2.5: Divergêcia expoecial de duas codições iiciais próximas, ode é o úmero de iterações. Em um mapa uidimesioal cosiderado que ε mede a distâcia etre dois potos iiciais, após uma iteração obtemos ε = εe λ(x0), ode λ é a taxa expoecial de expasão de ε até a distâcia ε. Como resultado de uma úica iteração temos ε = f(x 0 + ε) f(x 0 ). Escrevedo a equação em termos de uma expasão expoecial da forma f(x 0 + ε) f(x 0 ) = ε e λ(x 0) e iterado o mapa vezes obtemos f (x 0 + ε) f (x 0 ) = ε e λ(x 0), (2.20) que pode ser escrita como λ(x 0 ) = 1 l f (x 0 + ε) f (x 0 ) ε como λ depede de e ε, o limite ε 0 e leva a 1 λ(x 0 ) = lim lim ε 0 l 1 λ(x 0 ) = lim l f (x 0 + ε) f (x 0 ) ε df (x 0 ) dx 0, (2.21), (2.22). (2.23) 15

Isto sigifica que e λ(x 0) é o fator médio pelo qual a distâcia etre os potos adjacetes próximos varia após um úmero grade de iterações. Reescrevedo a equação pela regra da cadeia df 2 (x) = df[f(x)] = f [f(x dx x0 dx 0 )]f (x 0 ) = f (x 1 )f (x 0 ), (2.24) x0 ode x 1 = f(x 0 ), logo temos em (2.23) separado o produtório em somas 1 λ(x 0 ) = lim l 1 f (x i ), (2.25) i=0 1 1 λ(x 0 ) = lim l f (x i ). (2.26) i=1 A geeralização para m dimesões é imediata. O espectro de Lyapuov para R m é defiido por 1 (e λ 1, e λ 2,..., e λm ) = lim (módulo dos autovalores de J(x i )) 1, (2.27) ode J(x i ) é a matriz Jacobiaa do mapa calculada em x i = F i (x 0 ), ou seja e podemos escrever o expoete λ(x 0 ) da forma i=0 J(x i ) = F i x i, (2.28) 1 1 λ(x 0 ) = lim l(módulo dos autovalores de J(x i )) 1. (2.29) i=0 Na Figura (2.6) valores egativos do expoete de Lyapuov caracterizam um comportameto covergete, como periódico ou de poto fixo. Na Figura (2.6c) percebe-se que isto ocorre para os valores iiciais de r, ode o diagrama do expoete está abaixo de zero, sedo igual a zero os potos que idicam mudaças qualitativas de comportameto (potos de bifurcação). Na Figura (2.6d) temos os valores positivos para o expoete de Lyapuov idicado caos. Após aproximadamete r = 3, 5 o expoete tora-se positivo, e a partir daí que surgem as primeiras 16

o rbitas cao ticas (a o-perio dicas). Tambe m podemos ver que a regia o em que ocorrem as jaelas de periodicidade o expoete tora-se egativo ovamete, voltado logo depois a ser positivo. 1 (a) x x 1 0,5 0 1 3 2 r 3 (b) 0,5 0 3,5 4 3 (c) 3,6 3,7 3,8 3,9 3,6 3,7 3,8 3,9 (d) r 0 λ λ -3 0-6 -9-12 1 2 r 3 4-3 3,5 r Figura 2.6: Diagrama de bifurcac o es: (a) 1 < r < 4, (b) 3, 5 < r < 3, 9. Expoete de Lyapuov: (c) 1 < r < 4, (d) 3, 5 < r < 3, 9. Quato mais egativo e o expoete de Lyapuov, mas ra pido a se rie coverge para os valores fiais. Quado o expoete e positivo, o sistema apreseta comportameto cao tico. Logo o expoete de Lyapuov e um idicador de caos e tambe m mede a velocidade com que duas o rbitas arbitrariamete pro ximas se afastam ou se aproximam a medida em que o tempo passa. 17

Capítulo 3 Redes de mapas acoplados As redes de mapas acoplados são sistemas diâmicos que apresetam espaço discreto, tempo discreto e variáveis de estado cotíuas, ode os mapas são acoplados de modo a formarem uma malha, em que, cada sítio, coecta-se a outros sítios, de modo que cada sítio da rede ifluecia e é também iflueciado por outros sítios da rede. Estes sistemas podem mostrar comportametos assitóticos diferetes, como a formação de grupos de elemetos que etram em sicroização e passam a demostrar a mesma diâmica [26] represetado uma capacidade de se autoorgaizarem [27]. A Tabela (3.1) apreseta uma classificação dos sistemas em relação ao espaço, tempo e variáveis de estado. Em sistemas de equações difereciais parciais o espaço, o tempo e a variável de estado são cotíuos. Em sistemas de equações difereciais iteradas temos o diferecial o tempo como sedo discreto. Nos sistemas que evolvem cadeias de osciladores que são equações difereciais ordiárias acopladas, a variável de estado e o tempo são cotíuos e o espaço é discreto. Para sistemas de autômatos celulares o espaço, o tempo e a variável de estado são discretos. O uso ou escolha de um ou outro sistema leva a uma questão a facilidade de implemetação de tal sistema. Por exemplo, podemos utilizar equações 18

difereciais parciais que são sistemas hierarquicamete superiores (todas as gradezas são cotíuas) devido à sua geeralidade, mas o tempo computacioal ecessário pode torar-se um problema e para efetuarmos a itegração umérica ecessitamos discretizar o espaço e o tempo. Podemos utilizar os autômatos celulares, mas devido ao fato do tempo, espaço e a variável de estado serem discretos podemos perder em geeralidade [4]. Tabela 3.1: Tabela referete a classificação dos sistemas espacialmete estedidos. Sistema Espaço Tempo Variável de Estado equações difereciais parciais cotíuo cotíuo cotíua equações difereciais iteradas cotíuo discreto cotíua cadeias de osciladores discreto cotíuo cotíua redes de mapas acoplados discreto discreto cotíua autômatos celulares discreto discreto discreta A estratégia para modelar feômeos diâmicos em sistemas espacialmete extesos por redes de mapas acoplados é baseada os seguites passos: Escolher um cojuto de variáveis de estado macroscópicas uma rede. Num sistema físico-químico, por exemplo, tais variáveis podem ser a temperatura, o campo de velocidades do fluido ou a cocetração local de alguma substâcia. A dimesão e a topologia da rede devem ser escolhidas de acordo com o sistema físico a ser modelado; decompor o processo subjacete ao feômeo em compoetes idepedetes. Por exemplo, para um sistema fluido ão-homogêeo e codutor de calor, os processos de covecção, reação, difusão, etc; substituir cada compoete por uma diâmica paralela simples a rede. A diâmica cosiste uma trasformação ão-liear das variáveis de estado em 19

cada sítio da rede e um termo de acoplameto etre vizihos adequadamete escolhidos; levar a cabo cada uidade diâmica da rede, ou processo, sucessivamete. A maior motivação, segudo [4], para o estudo das redes de mapas acoplados tem sido a ivestigação de caos espaço-temporal, etedido como a diâmica caótica em sistemas espacialmete irregulares, ode o úmero efetivo de graus de liberdade diverge quado o tamaho dos sistemas aumeta. Algus tipos de mapas e acoplametos permitem que o úmero de graus seja variado através de uma perturbação suficietemete grade. O caos espaço-temporal é criado pela diâmica ão-liear local e pela difusão espacial. Nas redes de mapas acoplados estes procedimetos são cosiderados separadamete. 3.1 Coceitos básicos A dimesão espacial da rede a maioria dos casos é iteira (M = 1, 2,...), embora haja casos sobre redes fractais (como o tapete de Sierpiski) [28], as quais M ão é um úmero iteiro. A cada sítio da rede espacial atribuímos uma variável de estado real D-dimesioal x (i) R D, ode i (i = 1, 2,..., N) é o ídice que faz referêcia ao i-ésimo sítio uma rede uidimesioal com N sítios (cosiderado M = 1). O tempo é discretizado a forma usual = 0, 1, 2,..., tal que x (i) variável do sítio i o tempo, como está represetado a Figura (3.1). seja a i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5 i = N Figura 3.1: Figura esquemática para um acoplameto local de N sítios. 20

A diâmica da variável de estado é goverada por dois fatores: A diâmica local do sítio i, através da fução f(x); pela diâmica dos demais sítios da rede, através do acoplameto. mapas acoplados é: De forma geral, a equação que defie uma rede uidimesioal de x (i) +1 = f ( ) x ( ) (i) + C (i) x (j), (3.1) ode C (i)( ) x (j) é um termo geérico de acoplameto do sítio i com os demais sítios da rede, esse termo de acoplameto depede do j = 1, 2, 3,..., N sítios da rede, iclusive o próprio sítio i. O vetor N-dimesioal ( ) x (1), x (2),..., x (N), que represeta o estado da rede o tempo, é dito o seu padrão este istate. 3.1.1 Codições iiciais e de cotoro Uma rede de mapas acoplados sedo um sistema espacialmete exteso, precisa de codições de cotoro adequadas (os extremos da rede: i = 0 e i = N + 1): Fixas: x (0) = a, x (N) = b, usualmete a = b = 0; periódicas: x (0) = x (N) e x (N+1) = x (1), ou em geral x (i) = x (N+i) para todo i (mais utilizado); livres: x (0) e x (N) podem ter quaisquer valores; mistas: uma extremidade fixa e outra livre, que utilizaremos este trabalho. Devem ser também, especificadas codições iiciais em = 0 para todos os sítios da rede, destacam-se: 21

Perfil costate: x (i) 0 = costate; perfil seoidal: x (i) 0 = A + Bsi ( ) 2πi N ; perfil gaussiao: x (i) 0 = Cexp ( ) (i j) 2 N ; perfil aleatório: x (i) 0 = úmero pseudo-aleatório detro de um certo domíio, como [0, 1]. Certas características, como veremos, depedem desta escolha. Outras ão, razão pela qual os perfis aleatórios são preferíveis em muitas aplicações [4]. 3.1.2 Diâmica local A diâmica local diz respeito à diâmica de cada sítio em separado. Esta tem sido ivestigada por meio de mapas de baixa dimesioalidade e bem cohecidos. O exemplo mais utilizado é o mapa logístico x f(x) = rx(1 x), (3.2) ode x [0, 1] é a variável de estado e r [0, 4] é o parâmetro de cotrole do mapa. Além deste, merecem destaque os mapas lieares por partes, como o mapa do padeiro para x [0, 1], x f(x) = 2x (mod. 1), (3.3) e o mapa do seo-círculo x f(x) = x + ω + K se(2πx) (mod. 1), (3.4) 2π ode x [0, 1] é uma variável agular, 0 ω < 1 é a freqüêcia atural e K > 0 mede a ão-liearidade do sistema. 22

Héo Quato a mapas bidimesioais (D = 2), podemos citar o mapa de x +1 = A (x ) 2 + By y +1 = x (3.5) e o mapa padrão de Chirikov-Taylor p +1 = p + Kse(θ +1 ) θ +1 = θ + p. (3.6) mapas acoplados como Quato ao tipo de diâmica local, podemos classificar as redes de Homogêeas: quado os mapas são idêticos em todos os sítios; ão-homogêeas: quado os mapas ão são idêticos devido às mudaças os seus parâmetros para cada sítio da rede ou os mapas são diferetes. As redes homogêeas são mais comus os estudos computacioais, mas em algus casos como o estudo de sicroização [29], é mais apropriado usar redes ão-homogêas com parâmetros aleatoriamete distribuídos um dado itervalo de tempo. 3.1.3 Tipos de acoplametos Os acoplametos geralmete estudados são os locais, ão-locais e globais que levam em cosideração a ligação etre os sítios, embora hajam diferetes formas de acoplameto etre mapas. Nos acoplametos locais, a diâmica de um dado sítio i é determiada apeas pelos sítios vizihos mais próximos: i + 1 e i 1. Já os acoplametos ão-locais permitem que o sítio i seja iflueciado por um 23

úmero arbitrário de outros sítios. Um tipo geérico de acoplameto local é dado pelo termo de acoplameto C (i) j=i,i±1 ( x (i) ) = ε0 g ( x (i) ) + εr g ( x (i+1) ) + εl g ( ) x (i 1) (3.7) ode o vetor ε = (ε 0, ε R, ε L ) é chamado de úcleo do acoplameto. Pode-se destacar quatro casos iteressates [10]: Acoplameto aditivo: ε 0 = 0, ε R = ε L ; acoplameto Laplaciao ou difusivo: ε 0 2 = ε R = ε L ; acoplameto totalístico: ε 0 = 2, ε 3 R = ε L = 1; 3 acoplameto uidirecioal: ε 0 = ε L, ε R = 0. Os três primeiros casos são modelos para um sistema com difusão simétrica, ao passo que o último correspode ao acoplameto assimétrico, o qual pode ser ecotrado em modelos de fluxos abertos (ope flow lattices) [10]. mapas acoplados localmete O acoplameto Laplaciao é o mais utilizado os estudos de redes de x (i) +1 = g ( x (i) ) ε + 2 [ g ( x (i 1) ) 2g ( x (i) ) + g ( x (i+1) )], (3.8) ode ε é a itesidade do acoplameto. O ome é decorrete do fato que o termo de acoplameto pode ser cosiderado como a discretização de uma derivada seguda espacial 2 g(x) 1 [ ( ) g x (i 1) 2g ( x (i)) + g ( x (i+1))], (3.9) x 2 2 ode o parâmetro de rede espacial é igual a um: x = (i+1) i = 1. Estas derivadas ocorrem em termos difusivos de equações de reação e difusão [4]. casos de iteresse: A fução g(x) defie a diâmica de acoplameto. Há apeas dois 24

Acoplameto Liear: g(x) = x; acoplameto Futuro: g(x) = f(x). Sedo que este último tem como vatagem o fato da variável de estado em cada sítio permaecer detro do mesmo domíio que teria o mapa isolado, e assim os mapas da rede cotiuam ormalizados. Além do mais, os mapas dos sítios i ± 1 são iterados ates de serem acoplados ao sítio i, forecedo uma melhor aproximação ao mapeameto estroboscópico de uma cadeia aáloga de osciladores a tempo cotíuo. A iteração simultâea dos vizihos é uma aproximação melhor do estado correte da rede, em relação ao simples uso de seus valores o istate precedete. Como exemplo, um acoplameto laplaciao futuro é dado por x (i) +1 = f ( ) x (i) ε + 2 = (1 ε)f ( x (i) [ ( ) ( ) ( )] f x (i 1) 2f x (i) + f x (i+1) ) + ε 2 [ f ( x (i 1) ) + f ( x (i+1) )]. (3.10) No etato, poderíamos permutar os processos, primeiro acoplado os valores dos vizihos e depois aplicado a fução do mapa ao resultado x (i) +1 = f ( (1 ε)x (i) + ε 2 [x(i 1) + x (i+1) ] ), (3.11) esta substituição ão deve alterar qualitativamete ehum dos resultados obtidos com a primeira forma do acoplameto (3.10). O caso extremo de acoplameto ão-local é chamado de acoplameto global, ode o sítio i acopla com a média de todos os sítios da rede, e por esse motivo também é chamado de acoplameto do tipo campo médio [8], x (i) +1 = (1 ε)f ( ) x (i) ε + N 1 ode N é o úmero de sítios a rede. N j=1;j i f ( ) x (j), (3.12) Outro exemplo de acoplameto ão-local é o acoplameto tipo lei de potêcia, que leva em cota a distâcia de um sítio i em relação a outro sítio a rede 25

[30], ode cada sítio da rede pode estar acoplado com um grade úmero de sítios mais afastados, x (i) +1 = f ( ) x (i) ε + η(α) N j=1 1 [ ( f x (i+j) j α ) ( )] + f x (i j), (3.13) ode o parâmetro α (α [0, )) cotrola o alcace do acoplameto. O somatório expressa a cotribuição dos sítios tato à direita quato à esquerda de um dado sítio e η represeta um fator de ormalização N 1 η(α) = 2 j = 1 α 2( 1 + 1 α 2 + 1 α 3 +... + 1 ), (3.14) α N α j=1 ode N = N 1. (3.15) 2 O sistema com um acoplameto do tipo lei de potêcia possui dois casos limites em relação ao valor de α (alcace do acoplameto): Acoplameto do tipo global quado o valor de α = 0; acoplameto do tipo local para o valor de α. Para α = 0 temos η = N 1 e podemos escrever a somatória a mesma forma do acoplameto global do tipo campo médio (3.12). Se α somete os termos com j = 1 ão desaparecem em ambas as somatórias, logo η 2 e apeas os sítios, i + 1 e i 1 cotribuem para o acoplameto, resultado o acoplameto local laplaciao futuro (3.10). Existe também um modelo de mapas acoplados, chamado redes de mudo pequeo [13], em aalogia com o feômeo de mudo pequeo [2] que apresetam além das iterações locais, um pequeo úmero de acoplametos ão-locais, distribuídos aleatoriamete sobre a rede [31], sedo uma iterpolação etre redes coectadas regularmete e aleatoriamete [13]. Estas redes surgem, com freqüêcia, 26

em uma série de sistemas com alto poder de complexidade. As iterações ão-locais estão presetes em feômeos sociais, como redes de amigos, redes de colaboração etre artistas que atuaram jutos em um filme [2], cotatos sexuais. Aparecem a biologia, por exemplo o metabolismo de células, redes de proteías e coexões eurais [1]. Surgem as malhas de distribuição de eergia e telefoia, em desehos de circuitos elétricos e em redes de relacioameto etre classes de uma liguagem de programação. Também estão presetes a world wide web, redes de hyperliks etre documetos, roteadores ou emails e propagação de doeças [13]. 3.2 Acoplameto local Uma rede de mapas acoplados é um sistema diâmico que pode ser usado para descrever variações o espaço e tempo em processos de iteresse físico. Uma grade classe de sistemas pode ser modelada por uma equação de difusão e reação periodicamete forçada. Partido do modelo uidimesioal para uma variável de estado u(x, t) [32], u t = D 2 u + G(t)R(u), (3.16) x2 ode u = f(x, t), x é a posição, t é o tempo, D é a costate de difusão, R é a reação ão liear e G é uma fução periódica o tempo. Pode ser represetada por uma freqüêcia de perturbações impulsivas com período τ coforme G(t) = δ(t kτ). (3.17) k=0 Itegrado (3.16) sobre um itervalo ifiitesimal [τ ε, τ + ε], τ+ε u τ+ε lim ε 0 τ ε t dt D 2 u τ+ε τ ε x dt R(u) δ(t kτ)dt = 0, (3.18) 2 τ ε k=0 e como ε é muito pequeo, a itegral com a seguda derivada espacial aula-se. Assim, fazedo a itegração, obtem-se o seguite resultado para a equação (3.18) u(x, τ + ε) = u(x, τ ε) + R ( u(x, τ ε) ). (3.19) 27

No itervalo [τ + ε, ( + 1)τ ε], somete a difusão age sobre o sistema, assim derivado u em relação ao tempo t obtemos du dt = u ( ) ( ) iw, ( + 1)τ ε u iw, τ + ε, (3.20) τ sedo τ a difereça etre os tempos + 1 e, w o itervalo espacial etre os sítios i e i + 1. Para e du dx = u ( ) ( ) i(w + 1), τ + ε u iw, τ + ε, (3.21) w d 2 u dx = u ( ) [ ( )] ( ) (i + 1)w, τ + ε 2 u iw, τ + ε u (i 1)w, τ + ε, (3.22) 2 w 2 a equação (3.16) temos Assim, defiido u (i) u ( iw, ( + 1)τ ε ) u ( iw, τ + ε ) τ D u( (i + 1)w, τ + ε ) 2 [ u ( iw, τ + ε )] u ( (i 1)w, τ + ε ) u (i) +1 = f ( u (i) = w 2. (3.23) = u(ix, τ ε), ecotramos o sistema para mapas acoplados ) + ao f ( u (i) ) + al f ( u (i 1) ) + ar f ( u (i+1) ), (3.24) ode o mapa local é f(u) = u + R(u), (3.25) e a O = 2ε, a L = a R = ε, (3.26) com ε = Dτ/w 2, que é a costate de acoplameto [32]. Fialmete, substituido os valores das equações (3.26) a equação (3.24) e trocado a variável u para x, temos o acoplameto para mapas chamado de laplaciao local a forma x (i) +1 = (1 ε)f ( x (i) ) ε + 2 28 [ f ( x (i 1) ) + f ( x (i+1) )], (3.27)

ode ε a costate de acoplameto. Devido às froteiras da rede, o acoplameto local, utiliza-se codições de cotoro que podem ser: fixas, periódicas, etc. Como o mapa tem a ecessidade de um valor iicial, para que os próximos valores sejam obtidos por iterações, uma rede de mapas acoplados também ecessita de valores iiciais, os quais podem ser: fuções periódicas, fuções aleatórias, gaussiaas, costates, etc. 3.2.1 Domíios e kiks Para aalisarmos de uma forma quatitativa o acoplameto local de mapas, utilizaremos o mapa logístico (2.3) ode x [0, 1] e r [1, 4], sedo r o parâmetro de cotrole e x a variável de estado. Cosideraremos codições de cotoro periódicas e usaremos o acoplameto (3.27). Em uma rede de mapas acoplados, a diâmica em um dado sítio será aturalmete perturbada pela preseça dos demais sítios da rede, fazedo com que o diagrama de bifurcação da Figura 2.2 (sítio isolado) perca completamete sua estrutura quado o sítio passa a iteragir com outros sítios da rede. A lembraça que um dado sítio guarda da diâmica de quado o mesmo era isolado depede da itesidade do acoplameto ε [33]. Ao realizarmos o acoplameto local de mapas é possível verificar que a cada iteração, existem cojutos de sítios deomiados domíios, os quais estes sítios que pertecem a um determiado cojuto, estão correlacioados espacialmete. Os domíios são separados etre si por kiks e atikiks e podem ser visualizados através dos gráficos variável de estado versus sítio. Para r < 3 o comportameto assitótico da rede é sempre um poto fixo estável do mapa isolado para qualquer valor do acoplameto ε e idepedete das codições iiciais. Aumetado 29

o valor de r, a rede de mapas acoplados exibe duplicação de período dos domíios, e depois da cascata de duplicação, o sistema exibe comportameto caótico. Para eteder a formação dos domíios aalisaremos um sistema desacoplado para o valor de r em que os mapas apresetam período 2. Devido às codições iiciais os sítios adjacetes podem ter soluções com fases diferetes em um dado istate de tempo, por exemplo, o sítio i pode exibir: x (i) 1, x (i) 2,..., e o sítio i+1: x (i+1) 2, x (i+1) 1,... Para o sistema acoplado esta estrutura persiste, mas os kiks são suavizados e estedidos sobre vários sítios da rede devido à difusão. Com o passar das iterações um atikik toma o lugar de um kik e vice-versa, formado um odo estacioário cetrado em um ciclo periódico istável, que foi estabilizado devido ao acoplameto [34]. Logo a estrutura dos domíios é fixa e depede das codições iiciais, havedo a coexistêcia de muitos atratores diferetes o sistema [32]. Na Figura (3.2) temos situações de padrões estacioários com os domíios apresetado comportametos regulares. Alterado o valor da codição iicial ocorrem alterações os domíios, idicado assim que o tamaho e a distribuição dos domíios depedem da codição iicial [9]. Variado o parâmetro de cotrole r (aumeto da ão-liearidade), ocorre uma dimiuição a distâcia etre os kiks e os domíios maiores começam a se torar istáveis e dividem-se em domíios meores. Na Figura (3.3) vemos esta dimiuição quado variamos o parâmetro de cotrole de ão liearidade de 3, 5 para 3, 57, respectivamete. Estes valores de r correspodem, o mapa desacoplado, ao regime de bifurcações próximo ao poto de acumulação, a partir do qual iicia-se o regime caótico [9]. Quado aumetamos o valor do parâmetro de cotrole até um determiado valor acima deste poto de acumulação r para o mapa isolado, há uma trasição para o regime caótico em parte dos sítios da rede. Na Figura (3.3) podemos observar que o iício do regime caótico (r = 3, 65) a existêcia dos domíios é preservada podedo existir algus domíios que apresetam regimes periódicos, e o decorrer do aumeto da ão liearidade (r = 3, 9) a estrutura colapsa 30

pela fusão dos domíios. 1,0 (a) domiio 1,0 (b) kik x 0,6 atikik x 0,6 0,2 1 26 52 78 104 130 i 0,2 1 26 52 78 104 130 i Figura 3.2: (a) codição iicial x i 0 = 0, 5 + 0, 4se(2πiN 1 ), (b) codição iicial x i 0 = 0, 25 + 0, 2se(2πiN 1 ). Cosiderado N = 128, ε = 0, 2 e r = 3, 5. 1 (a) 1 (b) x 0,6 x 0,6 0,2 1 26 52 78 104 130 1 (c) 0,2 1 26 52 78 104 130 1 (d) x 0,6 x 0,6 0,2 1 26 52 78 104 130 i 0,2 1 26 52 78 104 130 i Figura 3.3: Sítio versus amplitude para parâmetros de cotrole (a) r = 3, 5, (b) r = 3, 57, (c) r = 3, 65 e (d) r = 3, 9. Cosiderado ε = 0, 2 e N = 128. 31

Na Figura (3.4) a cofiguração dos domíios depede também do acoplameto, ocorredo a dimiuição do úmero de potos fixos estáveis com o aumeto do acoplameto. 1,0 (a) 1,0 (b) x 0,6 x 0,6 0,2 1 26 52 78 104 130 i 0,2 1 26 52 78 104 130 i Figura 3.4: Sítio versus amplitude com (a) ε = 0, 1, (b) ε = 0, 25. Cosiderado r = 3, 57 e N = 128. 3.3 Acoplameto global No acoplameto local o alcace do acoplameto é pequeo e o sítio i iterage apeas com os seus primeiros vizihos. O limite oposto correspode ao acoplameto global, ode as iterações tem alcace ifiito [35], e de acordo com a maeira com que os sítios da rede iflueciam o sítio i, temos diferetes formas de acoplameto global. Das formas possíveis podemos citar: Acoplameto globar liear x (i) +1 = f ( ) x (i) ε + N 1 32 N j=1;j i x (j) ; (3.28)

acoplameto global futuro x (i) +1 = ( 1 ε ) f ( ) x (i) ε + N N j i f ( ) x (j), (3.29) ode é o tempo discreto, N o tamaho da rede e i (i = 0, 1, 2,..., N) é o ídice de cada elemeto a rede. Para o acoplameto global a diâmica do sítio i é determiada pelo campo médio [8] de todos os sítios da rede, pois o termo de iteração é a verdade a média espacial de todos os sítios da rede. O acoplameto global pode simular sistemas que possuem forças de logo alcace a Física e a Biologia [35] e recetemete podemos citar situações de um acoplameto do tipo global como a diâmica vortex em fluidos (que possui iterações ão lieares e um logo alcace) [36], a diâmica eural que é um sistema ão-liear com acoplameto global [37], o processameto de iformação biológica e as possíveis aplicações em egeharia [37], em modelos de populações ode um aumeto da coexão etre populações isoladas coduz a sicroização em fase da população local e um aumeto perigoso para a extição global [38]. 3.4 Redes complexas No mudo atual muitos sistemas têm sua estrutura formada por uma rede complexa que pode ser modelada através de um grafo. Devido a alta complexidade e diâmica dessas redes, geralmete é iviável descrever a sua topologia para eteder determiadas propriedades. Para isso existem várias represetações a modelagem das redes reais, permitido assim uma aproximação das redes para facilitar a compreesão de suas propriedades. Em particular, três modelos destacam-se a represetação destes tipos de redes. Modelos de redes aleatórias, em que as coexões em um cojuto de ós são 33

realizadas de forma aleatória [39], e eram, até muito recete, o modelo mais empregado. Nos últimos aos, modelos de redes de mudo pequeo [13, 40] e modelos de redes sem escala [39, 41] vêm sedo empregados como estruturas que melhor represetam iúmeras características das redes complexas ecotradas. Modelos de redes de mudo pequeo privilegiam a represetação da distâcia média e do coeficiete de agregação de redes complexas, equato os modelos de redes sem escala efatizam à represetação da distribuição de coexões baseado-se em redes que apresetam crescimeto [39, 42], ou seja, redes em que o úmero de elemetos, ou ós, cresce com o tempo. Por outro lado, modelos de rede mudo pequeo, represetam adequadamete uma série de redes complexas que se observam [13, 40], e podem ser costruídas a partir de redes regulares, ão requeredo o crescimeto da rede. 3.4.1 Grafos aleatórios Grafos são estruturas matemáticas que melhor represetam redes reais. É uma oção simples, abstrata e ituitiva, usada para represetar a idéia de alguma espécie de relação etre os objetos. Os grafos são úteis para represetar várias estruturas que aparecem a prática, como exemplo, estruturação de dados, resolução e modelagem de problemas, abstração de problemas computacioais. Uma represetação usual para um grafo é um cojuto de potos, represetado os ós, e lihas represetado as coexões etre dois ós. Os primeiros estudos sobre grafos e suas propriedades foram dos matemáticos húgaros Paul Erdös e Alfred Réyi [2, 43, 44], destacado-se os trabalhos sobre grafos aleatórios com coexões distribuídas aleatoriamete. Aalisado a formação das redes sociais, eles demostraram que bastava uma coexão etre cada um dos covidados de uma festa, para que todos estivessem coectados ao fial dela e quato mais ligações eram adicioadas, maior a probabilidade de serem gerados agrupametos, ou seja, grupos de ós mais coectados. Portato, uma festa poderia 34

ser um agrupameto de pessoas que de tempos em tempos estabeleciam relações com outros grupos. Erdös e Réyi acreditavam que a coexão etre esses ós era aleatória, o setido de que esses ós se agregavam aleatoriamete, cocluido que todos os ós de uma determiada rede, deveriam ter mais ou meos a mesma quatidade de coexões, ou igualdade as chaces de receber ovas ligações costituido-se, assim, como redes igualitárias [44]. Logo, quato mais complexa era a rede aalisada, maiores as chaces dela ser aleatória. Na teoria dos grafos aleatórios de Erdös, parte-se de um úmero previamete dado de ós e em seguida eles são coectados. Mais exatamete, parte-se de N ós e ehuma ligação, e em seguida coecta-se aleatoriamete com probabilidade P cada par de ós (Figura 3.5). Essa probabilidade pode ser calculada como a fração etre as ligações atuais e a totalidade das ligações possíveis [N(N 1)/2)]. Num gráfico aleatório cada ó i possui um determiado úmero de ligações z i. O úmero médio de ligações por sítio, ou a coectividade média z da rede (grafo), é dado por z = 1 N N i=1 z i = 1 [N(N 1)] 2P N 2 = P (N 1) P N, (3.30) ode a aproximação fial é válida para N muito grade, ou seja, N. 00 11 00 11 00 11 00 11 (a) (b) (c) Figura 3.5: Costrução de gráficos aleatórios com 10 vértices e coectado-os com probabilidade (a) P = 0, (b) P 0, 1 e (c) P = 0, 2. Uma das propriedades topológicas existete esse tipo de espaço é o 35