PME 300 MECÂNICA II Terceira Prova 6 de junho de 08 Duração da Prova: 0 inutos (não é peritido usar quaisquer dispositivos eletrônicos) Questão (3,5 pontos). Ua pequena conta P de assa, representada na figura ao lado através de ua pequena esfera, pode deslizar se atrito ao longo de u arae helicoidal cilíndrico, de raio a e passo constante h. O eixo da hélice Oz é vertical. Sabe-se que as equações paraétricas da hélice são dadas por ( x acos; y asin; z h ), co orientado de fora destrógira e edido a partir do plano xz. A conta é liberada do repouso, de ua altura z H, sob a ação da gravidade, g. Desconsiderando a rotação da conta e torno de seu próprio eixo e toando coo a coordenada generalizada que descreve sua posição ao longo da curva, pede-se: (a) Classifique a natureza do vínculo estabelecido pelas equações paraétricas da hélice. Justifique sua resposta. As equações paraétricas constitue u vínculo holônoo, de natureza geoétrica. De fato, a posição do ponto aterial que representa a pequena conta fica escrita ( PO) acosi asin jh k, no sistea cartesiano indicado na figura ao lado. (0,) (b) Escreva as funções de energia cinética T T( ) e de energia potencial V V( ). Note que o vínculo estabelecido pelas equações paraétricas constitui a fora integral do vínculo cineático ( vv ) asini cos jh ak, que dá a velocidade de P ao longo da hélice. (0,3) O A energia cinética, relativaente ao sistea Oxyz, é dada por: ( ) (sin cos h h T T v a ) a 4 a 4 a. (0,5) () A função de energia potencial (gravitacional) é dada por: V( ) gz gh (0,5) () (c) Da equação de Lagrange, deduza a equação de oviento da conta ao longo da hélice, na coordenada. Na ausência de forças generalizadas não conservativas, a Equação de Lagrange pode ser escrita, na coordenada : d T T V 0. dt (3) Ou, definida a função Lagrangiana L(, ) T( ) V ( ), coo: d L L 0 dt. (4) Segue então que derivadas parciais e teporais são: T T L h V L gh 0; ; ; 4 a a d T h a 4 dt a E a equação de oviento é assi:. (0,5) (5) Av. Prof. Mello Moraes 3 05508-970 São Paulo SP BRASIL
h =0 gh a 4 a ou g h h a a 4 a ou g a h a h a. (0,5) (6) (d) Considere agora ua ação dissipativa viscosa linear entre conta e arae representada pela Rayleighiana R ( ) C, co C ua constante. Deterine, então, a velocidade tangencial liite de queda, v L. Co a dissipação de natureza Rayleighiana a equação de Lagrange fica escrita: d L L R 0 dt, (7) Que conduz à equação de oviento: h + =0 gh a C. (0,5) (8) 4 a A velocidade tangencial liite corresponde à aceleração tangencial nula, i.e., 0. Assi gh L =-. (9) C E coo a velocidade tangencial é dada por: ( h v ) 4 t a a A velocidade tangencial liite fica expressa, quando e queda, por: v L a h gh C 4 a (0) (0,5) () Av. Prof. Mello Moraes 3 05508-970 São Paulo SP BRASIL
Questão (3,5 pontos) A figura representa u sistea dinâico coposto por u anel rígido de raio a ligado a ua haste diaetral tabé rígida, abos feitos de ua esa barra delgada. Ua ola não-linear prende u pequeno bloco de assa ao anel. A ola te assa desprezível, copriento natural (indeforado) igual ao raio do anel e sua força de restauração é regida por ua função de energia potencial elástica: 4 V ( E x ) K ; 0; 0 x K 4 3x K K3. O bloco pode deslizar sobre a haste. O contato co a haste é lubrificado e ipõe ao bloco ua força dissipativa viscosa, linearente proporcional à velocidade relativa, de coeficiente C. O sistea gira e torno de u eixo fixo Oz, perpendicular à haste diaetral, sob a ação de u otor elétrico que a ele aplica u torque, (t). O ancal proporciona torque reativo de natureza viscosa, linearente proporcional a, co coeficiente B. É conhecido o oento de inércia J do subsistea rígido coposto pelo anel e pela haste diaetral e torno do eixo Oz. Considere as coordenadas generalizadas ( x, ). Pede-se: (a) Construa as funções de energia cinética, T T(,, x x), e de energia de dissipação de Rayleigh, R R(x, ), do sistea. z O x T T(,, x x ) J [ x ( x )] x [ J x ], (0,5) () R ( x, ) [ Cx B ]. (0,5) () (b) Através do foraliso da Mecânica Analítica de Lagrange, deduza as equações que rege o oviento do sistea sob a ação do torque () t. Equações de Lagrange: d T T V R Q nc j ; co q x; q dt q j q j q j qj. (3) Derivadas parciais e teporais: T T T T x ; x ; 0; [ J x ] x x VE 3 VE R R Kx K3x ; 0; Cx ; B x x. (0,5) (4) d T d T x ; [ J x ] xx dt x dt Deais forças generalizadas não conservativas: nc nc nc nc Q Qx 0; Q Q ( t). (0,5) (5) Equações de oviento: 3 x x Kx K3x Cx 0 [ J x ] xx B ( t) ou. (0,5) (6) x x Cx KK3x x 0 [ J x ] xx B ( t) Av. Prof. Mello Moraes 3 05508-970 São Paulo SP BRASIL
(c) Considerando a rotação conhecida e controlada (através do torque), de valor constante,, deterine as possíveis posições de equilíbrio dinâico do bloco, x, ao longo da haste. Considere dois casos: e, co K. Co a rotação constante,, o sistea de equações (6) fica escrito: x x Cx KK3x x 0. (7) xx B ( t) Ou seja, o torque a ser aplicado deve ser controlado por u atuador externo, de tal fora a anter a aceleração angular nula. A Eq. (7.a) pode então ser escrita: C K3 x x x x0. (0,5) (8) A condição de equilíbrio (dinâico), relativo à haste, é dada portanto pela condição xx x x0. Assi, a EDO (8) se transfora e ua equação algébrica, na fora: K3 x x 0, (9) que adite três possíveis posições de equilíbrio do bloco, relativaente à haste: 0 x (0,5) (0) K3 A prieira raiz é a posição de equilíbrio trivial. Coo K3 0, as duas raízes siétricas só existirão (i.e., serão reais) se ; ou seja, se a rotação iposta à haste for igual ou superior à rotação crítica K. Se só existirá ua posição de equilíbrio, a trivial. No caso liítrofe e que, as duas raízes siétricas coalesce co o equilíbrio trivial. Av. Prof. Mello Moraes 3 05508-970 São Paulo SP BRASIL
Questão 3 (3,0 pontos) Baseado no sistea coposto pelo pêndulo articulado e assa de posição variável proposto no EMSC#3 de 08, representado pelas seguintes funções de energia cinética, potencial e dissipativa, pede-se: T T ( x, x, ) L x x () 3 V V ( x, ) k( x a) g( x L) cos e ( ) c () a) Obtenha as equações de oviento linearizadas e torno da posição de equilíbrio e calcule as freqüências naturais f e f do sistea desacoplado não aortecido. b) Os gráficos abaixo apresenta duas histórias teporais do oviento angular do pêndulo e oviento de translação da partícula (gráficos à esquerda) siulado para. 0 Hz e as seguintes condições iniciais: ( 0) / 80, ( 0) 0. 0, x( 0) L e x ( 0) 0. 4. O gráfico à direita ostra a projeção de trajetórias de fase no plano ( x, x ) da partícula no sistea aortecido. Descreva o oviento de fora sucinta, analise e interprete os resultados e justifique o coportaento obtido baseado nos fundaentos de dinâica. Questão Bônus (,5 ponto) Parte I. Baseada na palestra do dia 9/06, sobre Dinâica de Sisteas de Massa Variável. (a) Cite ao enos dois cientistas que atuara no tea dinâica de sisteas ecânicos de assa variável, destacando o contexto e sua principal contribuição. Cite ao enos dois exeplos de probleas abordados na palestra, ilustrando-os. (b) Enuncie o Princípio de Relatividade de Galileu. Mostre que a Equação atribuída a Mechersky satisfaz este princípio. Parte II. Copleento da Questão - Ainda co constante, construa a função de energia potencial efetiva, V ( x) VE ( x) VC ( x), co V x C /, que é conhecida coo função potencial centrífuga. Analisando esta função, discuta a estabilidade dos possíveis pontos de equilíbrio. Av. Prof. Mello Moraes 3 05508-970 São Paulo SP BRASIL
Resolução da 3 Questão (3,0 pontos): A partir das funções de energia cinética, potencial e dissipativa: T 3 T ( x, x, ) L x x () V V ( x, ) k( x a) g( x L) cos e ( ) c () a) Linearize as equações e calcule as frequências naturais f e f e torno da posição de equilíbrio do sistea desacoplado não aortecido ( 0 e x L ): (,0 pontos) k a b q Q para i =, i, kq k k i, k k i 7L a, e a, (3) 3 V V 0 g( x ) cos e torno da orige b gl, x L, L (4) V V V 0 V 0,, g sen b,, 0 x x xl b xl (5) x x V V, 0 k e torno da orige b k x L x x, (6) Para a coordenada q utilizando os teros da atriz Hessiana acia, obtê-se: 7L gl c 3 nc a, a, x b, b, x Q (6g / 7L) (3c / 7L ) (7) Para a coordenada a q x x a b x b 0 x kx 0 x ( k / ) x 0 (8),,,, Portanto as freqüências naturais são: f 6g / 7L e f k / Av. Prof. Mello Moraes 3 05508-970 São Paulo SP BRASIL
b) O oviento inicial do sistea consiste doinanteente no oviento oscilatório da assa co frequência duas vezes aior que a oscilação do pêndulo, coo pode ser observado na figura inferior à esquerda. Verifica-se que ao longo do tepo a agnitude da oscilação angular do conjunto auenta (ver figura superior à esquerda e torno de 3 segundos) caracterizando a ressonância paraétrica. Neste caso há transferência de energia do odo de oscilação da partícula (que te sua aplitude reduzida), para o odo de oscilação angular. Na figura à direita (gráfico do plano de fase) está apresentada a órbita da trajetória da partícula onde se destaca, as aplitudes de x = 0.03 etros, que ocorre até o instante 4 segundos e x = 0.05 etros a partir do instante 4 segundos. (,0 pontos) Av. Prof. Mello Moraes 3 05508-970 São Paulo SP BRASIL
Questão 4 (,5 ponto). Parte I. Baseada na palestra do dia 9/06, sobre Dinâica de Sisteas de Massa Variável. (a) Cite ao enos dois cientistas que atuara no tea dinâica de sisteas ecânicos de assa variável, destacando o contexto e sua principal contribuição. Cite ao enos dois exeplos de probleas abordados na palestra, ilustrando-os. (0,5) I - Inúeros são os cientistas que se dedicara ao tea. De fundaental iportância podeos citar:. Von Buquoy, cientista tcheco, de orige belga, início do século XIX; pioneiro e responsável pela prieira forulação explícita da equação de oviento de corpos de assa variável; ilustrou o equacionaento através do problea da corrente sendo suspensa de ou caindo sobre ua esa.. Arthur Cayley, ateático britânico, eados do século XIX; forulou o problea da corrente sob a ótica da Mecânica Analítica. 3. Ivan V. Meschchersky, cientista russo, final do século XIX e início do século XX; responsável pela foralização da equação de oviento de sisteas ateriais de assa variável e pela introdução de seu ensino no leste europeu; a que se atribui a fora da segunda lei de Newton aplicável a pontos ateriais de assa variável, conhecida coo equação de Meschchersky. 4. Levi-Civita, ateático italiano, início do século XX; tratou o problea eleentar de sisteas de assa variável quando a assa agregada/perdida te velocidade nula co respeito ao referencial inercial considerado. 5. McIver, cientista inglês, século XX, década de 70; responsável pela extensão do Teorea do Transporte de Reynolds, através de forulação da Mecânica Analítica, no âbito de sisteas de assa variável. 6. Livja Cveticanin, cientista sérvia, final do século XX e presente; foralização da ecânica analítica no contexto de sisteas de assa variável e autoria de livro específico no tea, aplicado à dinâica de áquinas que exibe variação de assa. 7. Hans Irschik, ecanicista austríaco, final do século XX e presente; revisão do tea e dedução das equações de Lagrange para volues não-ateriais. II Exeplos de probleas abordados na palestra:. Diversas versões do problea da corrente : que cai a partir de ua esa; que cai sobre ua esa; e U.. Problea do foguete: prieiro e segundo probleas de Tsiolkovsky. 3. Dinâica da coluna d água no interior de u tubo aberto e que atravessa a superfície livre de u líquido, na presença de capo gravitacional. 4. Colapso vertical de torres e edifícios. 5. Lançaento de cabos subarinos; 6. Problea de ipacto de u corpo sólido contra a superfície de u líquido (ipacto hidrodinâico). 7. Problea eleentar de ua partícula cuja assa varia co a posição. (b) Enuncie o Princípio de Relatividade de Galileu. Mostre que a Equação atribuída a Mechersky satisfaz este princípio. (0,5) O Princípio de Relatividade de Galileu afira que as leis fundaentais da física são as esas e todos referenciais inerciais. No caso e análise, considerando-se dois referenciais inerciais, define-se: (i) v coo a velocidade da partícula edida e relação a u dos referenciais e (ii) v coo a velocidade da partícula edida e relação ao outro. Seja v rel a velocidade relativa entre os dois referenciais inerciais, de fora que, v = v + v rel v = v. Assi, a Equação de Mechersky pode ser transforada de u referencial para o outro coo segue: F = d d v dt dt w = dv dt + d dt v d dt w = dv dt + d dt (v + v rel ) d dt (w + v rel ) = d dt v d dt w Ou seja, a identidade, na fora, ostra a invariância da equação de Mechersky co respeito à escolha do referencial inercial. Av. Prof. Mello Moraes 3 05508-970 São Paulo SP BRASIL
Observa-se ainda que, ao contrário, a siples relação F = d dt obedece ao Princípio de Relatividade de Galileu. De fato, F = d dt v = dv dt + d dt v = dv dt + d dt (v + v rel ) = d dt v d dt v rel v depende da escolha do referencial e, portanto, não Parte II. Copleento da Questão. Ainda co constante, construa a função de energia potencial efetiva, V( x) VE ( x) VC ( x), co VC x, que é conhecida coo função potencial centrífuga. Analisando esta função, discuta a estabilidade dos possíveis pontos de equilíbrio. (0,5) Teos: 4 4 4 3 4 3 V( x) K x K x x K x K x, () cuja derivada é dada por: 3 V ( x ) K K x 3 K K x x 3 dx. () A condição de equilíbrio é dada por V( x) 0, que recupera a Eq. (9) da resolução da questão, cujas raízes são dadas pela Eq. (0). O ponto de equilíbrio e estudo será estável se V( x) 0. Ou seja, se a segunda derivada da função potencial for aior do que zero naquela posição. A segunda derivada é dada por: dv V ( x ) K 3 K x 3 3 K x 3 3 K x 3 dx. (3) Nos possíveis pontos de equilíbrio, x 0 e x, teos: V(0) e V( ) 3K 3K 3 3 K3. (4) Assi: (i) Caso : só existe u ponto de equilíbrio, o trivial, x 0. O equilíbrio é estável, pois V(0) 0. (ii) Caso : existe três pontos de equilíbrio, x 0 e x. O ponto de equilíbrio trivial é instável (u ponto de sela), pois V V( ) 0. (0) 0. Os pontos de equilíbrio x são estáveis, pois (iii) Caso liítrofe : os pontos de equilíbrio x coalesce co o ponto de equilíbrio trivial x 0. Nesta situação V( x) 0. É o liiar da estabilidade de uns e outros. Trata-se, na linguage da teoria de sisteas dinâicos, de ua bifurcação estrutural. Av. Prof. Mello Moraes 3 05508-970 São Paulo SP BRASIL