1 Elvs Yur Maman Vargas Modelagem de trncas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalzadas no método híbrdo dos elementos de contorno Tese de Doutorado Tese apresentada como requsto parcal para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-graduação em Engenhara Cvl do Departamento de Engenhara Cvl da PUC-Ro Orentador: Prof. Ney Augusto Dumont Ro de Janero Setembro de 2015
2 Elvs Yur Maman Vargas Modelagem de trncas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalzadas no método híbrdo dos elementos de contorno Tese apresentada como requsto parcal para obtenção do grau de Doutor pelo Programa de Pósgraduação em Engenhara Cvl do Departamento de Engenhara Cvl do Centro Técnco Centífco da PUC-Ro. Aprovada pela Comssão Examnadora abaxo assnada Prof. Ney Augusto Dumont Orentador Departamento de Engenhara Cvl PUC-Ro Prof. Raul Rosas e Slva Departamento de Engenhara Cvl PUC-Ro Prof. Alexandre Antono de Olvera Lopes Petrosoft Desgn Prof. Jose Claudo de Fara Telles Unversdade Federal do Ro de Janero Prof. Leandro Palermo Junor Unversdade de Campnas Prof. José Eugeno Leal Coordenador Setoral do Centro Técnco Centífco PUC-Ro Ro de Janero, 14 de setembro de 2015
3 Todos os dretos reservados. É probda a reprodução total ou parcal do trabalho sem autorzação do autor, do orentador e da unversdade. Elvs Yur Maman Vargas Graduou-se em Engenhara Cvl na UNSAAC (Unversdad Naconal de San Antono Abad del Cusco Perú) em 2005. Em 2011 obteve o grau de mestre no curso de Mestrado em Engenhara Cvl na PUC Ro na área de Estruturas. Atualmente atua na lnha de pesqusa do método híbrdo dos elementos de contorno. Maman Vargas, Elvs Yur Fcha Catalográfca Modelagem de trncas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalzadas no método híbrdo dos elementos de contorno / Elvs Yur Maman Vargas; orentador: Ney Augusto Dumont. 2015. 119 f. ; l. ; 30 cm Tese (doutorado) - Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero, Departamento de Engenhara Cvl, 2015. Inclu bblografa 1. Engenhara cvl - Teses. 2. Elementos de contorno. 3. Métodos híbrdos. 4. Mecânca da fratura. 5. Funções de tensão de Westergaard. 6. Fator de ntensdade de tensão. 7. Zona plástca. I. Dumont, Ney Augusto. II. Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero - Departamento de Engenhara Cvl. III. Título. CDD: 624
Para meus pas Rosa e Vdal, pelo amor, apoo e estímulo. Para mnha rmã Chrs pela compreensão e confança. Ao Peru, pelo legado das culturas antgas. 4
5 Agradecmentos Ao Deus por ter me conceddo a vda. À CAPES, ao CNPq e à PUC-Ro, pelos auxílos conceddos, sem os quas este trabalho não podera ter sdo realzado. Ao meu professor Ney Dumont pela orentação, confança e amzade. Ao meu professor Alexandre Lopes pelas mportantes contrbuções e palavras de apoo. Aos professores da PUC-Ro, pelos ensnamentos transmtdos nos estudo de pósgraduação. Aos professores da UNSAAC no Peru, pelos ensnamentos do fascnante mundo da engenhara. A todos aqueles educadores que foram parte de mnha formação tanto pessoal como profssonal. Aos meus pas e rmãos pela educação, atenção e carnho. À Melssa por ter me acompanhado nas etapas mas decsvas deste trabalho. A todos os famlares que de uma forma ou de outra me estmularam ou me ajudaram. Aos amgos de nfânca, juventude e a todos aqueles cuja amzade resstu ao tempo. Aos amgos das peladas, da dança, do parque da cdade, das salas 610 e 617 na favelnha, aos cusqueños, peruanos, colombanos, bolvanos, equatoranos e tantos outros amgos ganhados no Brasl pelo apoo, pacênca e compreensão que tornaram esta jornada mas agradável. Ao Brasl e a sua gente que sempre me fez sentr em casa.
6 Resumo Maman Vargas, Elvs Yur; Dumont, Ney Augusto (orentador). Modelagem de trncas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalzadas no método híbrdo dos elementos de contorno. Ro de Janero, 2015. 119p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenhara Cvl, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. Apresenta-se uma formulação do método híbrdo dos elementos de contorno para a análse de problemas planos de potencal e de elastcdade que, apesar de completamente geral para domínos fntos, é mas aproprada a aplcações de mecânca da fratura. A formulação exge ntegrações apenas ao longo do contorno e usa como soluções fundamentas, para nterpolar campos no domíno, funções generalzadas do tpo Westergaard, nspradas numa proposta feta por Tada et al. em 1993. Os concetos de elementos de contorno são semelhantes aos concetos apresentados por Crouch e Starfeld em 1983, mas em um contexto varaconal que permte nterpretações mecâncas das equações matrcas resultantes. Problemas de topologa geral podem ser modelados, como lustrado para domínos nfntos ou multplamente conexos. A formulação é dretamente aplcável à solução de problemas de placas com entalhes ou trncas curvas nternas ou de bordo, pos permte a descrção adequada de altos gradentes de tensão, sendo uma ferramenta smples para a avalação de fatores de ntensdade de tensão. Além dsso, é possível determnar, num processo teratvo, a zona plástca ao redor da ponta de uma trnca. Esta tese tem foco no desenvolvmento matemátco da formulação para problemas de potencal e de elastcdade. Város exemplos numércos de valdação são apresentados. Palavras-chave Elementos de contorno; métodos híbrdos; mecânca da fratura; funções de tensão de Westergaard; fator de ntensdade de tensão; zona plástca.
7 Abstract Maman Vargas, Elvs Yur; Dumont, Ney Augusto (Advsor). Crack modelng usng generalzed Westergaard stress functons n the hybrd boundary element method. Ro de Janero, 2015. 119p. DSc. Thess - Departamento de Engenhara Cvl, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. A partcular mplementaton of the hybrd boundary element method s presented for the two dmensonal analyss of potental and elastcty problems, whch, although general n concept, s suted for fracture mechancs applcatons. The formulaton requres ntegratons only along the boundary and uses fundamental solutons to nterpolate felds n the doman. Generalzed Westergaard stress functons, as proposed by Tada et al n 1993, are used as the problem s fundamental solutons. The proposed formulaton leads to dsplacement-based concepts that resemble those presented by Crouch and Starfeld, although n a varatonal framework that leads to matrx equatons wth sound mechancal meanngs. Problems of general topology, such as n the case of unbounded and multply-connected domans, may be modeled. The formulaton, whch s drectly applcable to notches and generally curved, nternal or external cracks, s especally suted for the descrpton of the stress feld n the vcnty of crack tps and s an easy means of evaluatng stress ntensty factors. The plastc phenomenon s taken nto account around the crack tp through an teratve process. Ths thess focuses on the mathematcal fundamentals of the formulaton of potental and elastcty problems. Several valdatng numercal examples are presented. Keywords Boundary elements; hybrd methods; fracture mechancs; Westergaard stress functons; stress ntensty factors; plastc zone.
8 Sumáro 1 Introdução 21 2 Método Híbrdo dos Elementos de Contorno 23 2.1. Formulação do problema 23 2.2. Tensões e deslocamentos assumdos 23 2.3. Equações matrcas que governam o problema 24 2.4. Solução do problema 26 3 Mecânca da Fratura 27 3.1. Crtéro Energétco de Grffth 27 3.2. Campo de tensões próxmo à trnca 28 3.3. Fator de Intensdade de Tensão 29 3.4. Sére de Wllams 30 3.5. Funções de tensão de Westergaard 32 3.6. Integral J 34 3.7. Zona plástca 35 4 Funções de Tensão de Westergaard Generalzadas 39 4.1. Formulação de Tada, Ernst e Pars baseada em deslocamentos. 42 4.2. Funções de tensão para trncas de comprmento a 1 e rotação θ 1. 43 4.3. Semtrnca de abertura elíptca na ponta da trnca 44 4.4. Semtrnca de abertura polnomal na face da trnca 44 4.5. Semtrnca de rotação na ponta da trnca 45 4.6. Semtrnca de rotação na face da trnca 46 4.7. Sngulardades das funções de tensão 46 5 Formulação para Problemas de Potencal 48 5.1. Construção da solução fundamental 48 5.2. Integração da matrz H 50 5.3. Campo de potencas e gradentes em pontos nternos 53
9 6 Formulação para Problemas da Mecânca da Fratura Lnear Elástca 58 6.1. Expressões analítcas do campo de deslocamentos 58 6.2. Expressões analítcas do campo de tensões 60 6.3. Avalação numérca do campo de tensões para uma trnca curva geral 60 6.4. Avalação numérca da abertura da trnca 64 6.5. Fator de ntensdade de tensão 67 7 Formulação para a Smulação da Zona Plástca 73 7.1. Equações báscas 73 7.2. Dervação do termo resdual para o calculo teratvo 75 7.3. Algortmo de busca lnear para a obtenção da frontera plástca 77 7.4. Solução teratva do problema não lnear 79 7.5. Avalação numérca do termo resdual 81 7.6. Smulação confável do campo de tensões ao redor da ponta da trnca 83 7.7. O problema não-lnear: testes e problemas de convergênca 87 7.8. Consderações fnas no cálculo da zona plástca 91 8 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 93 8.1. Conclusões 93 8.2. Sugestões para trabalhos futuros 94 9 Referêncas Bblográfcas 96 10 Apêndce 101 10.1. Estudo do comportamento das funções de tensão na orgem da trnca 101 10.2. Estudo de sngulardades em problemas de potencal 108 10.3. Expressões analítcas para a ntegração da matrz H em problemas de potencal quando elementos de forma polnomal são usados 116
10 Lsta de fguras Fgura 1. Sstema de coordenadas e modos de carregamento. 29 Fgura 2. Trnca horzontal numa placa nfnta de espessura fna. 32 Fgura 3. Contorno Γ ao redor da ponta da trnca. 34 Fgura 4. Curvas tensão-deformação, materas elasto-plástcos. 36 Fgura 5. Estmatvas da zona plástca ao longo da projeção do exo da trnca. 37 Fgura 6. Uso de trncas de forma elíptca para smular contornos curvos (Adaptado de Dumont e Lopes, 2003). 39 Fgura 7. Uso de trncas sem-elíptcas para smular contornos curvos (Adaptado de Maman, 2011; Dumont e Maman, 2011). 40 Fgura 8. Uso de semtrncas elíptcas e polnomas para smular contornos curvos (Adaptado de Maman e Dumont, 2015). 41 Fgura 9. Elementos usados para dscretzar uma trnca curva geral, em termos de abertura e sobreposção (Adaptado de Maman e Dumont, 2015). 42 Fgura 10. Semtrncas de comprmento a 1 e rotação θ 1 usadas para representar efetos de abertura e rotação relatva (Adaptado de Maman e Dumont, 2015). 44 Fgura 11. Construção de um elemento de descontnudade a partr de duas semtrncas. 49 Fgura 12. Ilustração dos cnco casos na avalação numérca da matrz H. 51 Fgura 13. Ilustração de um corpo dscretzado com 12 elementos de contorno lneares. 51 Fgura 14. Recorte para a modelagem numérca de um corpo multplamente conexo. 54 Fgura 15. Potencal ao longo da reta AB da Fgura 14. 55 Fgura 16. Gradentes em x ao longo da reta AB da Fgura 14. 55 Fgura 17. Gradentes em y ao longo da reta AB da Fgura 14. 56
11 Fgura 18. Estudo de convergênca ao longo da reta AB da Fgura 14 em termos de potencas. 57 Fgura 19. Estudo de convergênca ao longo da reta AB da Fgura 14 em termos dos gradentes. 57 Fgura 20. Ilustração de uma trnca dscretzada com n parâmetros nodas (elementos), n + 1 segmentos e n + 2 pontos geométrcos. 61 Fgura 21. Trnca horzontal reta em um domíno nfnto (Adaptado de Maman e Dumont, 2015). 62 Fgura 22. Campo de tensões para a trnca da Fgura 21 dscretzada com elementos de forma elíptca (Adaptado de Dumont e Lopes, 2002; Maman, 2011). 62 Fgura 23. Campo de tensões para a trnca da Fgura 21 dscretzada com elementos combnados de abertura ou deslzamento (Maman e Dumont, 2015). 63 Fgura 24. Campo de tensões para a trnca da Fgura 21 dscretzada com elementos combnados de abertura e rotação (Maman e Dumont, 2015). 64 Fgura 25. Abertura da trnca da Fgura 21 usando város elementos de dscretzação (Maman e Dumont, 2015). 65 Fgura 26. Abertura da trnca da Fgura 21 para váras dscretzações da trnca (Maman e Dumont, 2015). 66 Fgura 27. Deslocamentos de abertura da trnca reta da Fgura 21a (Maman e Dumont, 2015). 67 Fgura 28. Fator de ntensdade de tensão para a trnca da Fgura 21, a partr dos parâmetros * p e deslocamentos num ponto de coordenadas x = 0.01 (Maman e Dumont, 2015). 69 Fgura 29. Fator de ntensdade de tensão para a trnca da Fgura 21, a partr de tensões em pontos e por comparação com a sére de Wllams (Maman e Dumont, 2015). 70 Fgura 30. Curva tensão-deformação para a análse elasto-plástca em termos de tensões ncas (esquerda); e superfíce de escoamento em termos de tensões prncpas ( σ, σ ) com o estado de tensões I II representado pelo ponto P( σ, σ ) (Dumont e Maman, 2013). 76 I II
12 Fgura 31. Busca lnear (Regula-Fals) e processo de dscretzação da zona plástca (Adaptado de Dumont e Maman, 2013). 78 Fgura 32. Estudo de convergênca para a avalação da zona plástca, em termos de regula-fals, para três setores angulares, como mostrado na parte dreta da Fgura 31 (Dumont e Maman, 2013). 82 Fgura 33. Convergênca na avalação do vetor resdual de deslocamentos equvalentes *res d, como ntroduzdo na Equação (7.5), para 1 (esquerda) e 16 elementos de trnca e um número crescente de setores (dreção angular) (Dumont e Maman, 2013). 82 Fgura 34. Estudos de convergênca para a avalação do vetor resdual de deslocamentos equvalentes *res d, como ntroduzdos na Equação (7.5) para 1 (esquerda) e 16 elementos de trnca e dferentes números de pontos de Gauss na dreção radal (Dumont e Maman, 2013). 83 Fgura 35. A partr do topo: tensões σ xx, σ yy e a tensão equvalente de Von Mses σ eq (em MPa) ao longo do exo vertcal 4 4 ( 10,10 ) y = m m localzada a x 4 = 10 m à dreta da ponta da trnca, para varas dscretzações da trnca, com seus correspondentes erros na parte dreta (Dumont e Maman, 2013). 85 Fgura 36. A mesma representação de tensões da Fgura 35 dada uma reta vertcal 100 vezes maor (Dumont e Maman, 2013). 85 Fgura 37. Contornos de zona plástca obtdos elastcamente para o estado plano de deformações (esquerda) e o estado plano de tensões (Dumont e Maman, 2013). 86 Fgura 38. Contornos da zona plástca para o estado plano de deformações. Trnca dscretzada com ne = 1, carregamento unaxal remoto de σ = 0.1σ, aplcado em um passo (esquerda) yy Y e em 5 passos (Dumont e Maman, 2013). 88 Fgura 39. Contornos da zona plástca para o estado plano de deformações. Trnca dscretzada com ne = 16, carregamento unaxal remoto de σ = 0.01σ, aplcado em um passo (esquerda) yy Y e em 5 passos (Dumont e Maman, 2013). 89
13 Fgura 40. Contornos da zona plástca para o estado plano de deformações. Trnca dscretzada com város elementos, carrega- mento unaxal remoto de σ = 0.01σ, para um materal yy elasto-plástco perfeto (esquerda) e para um materal elasto- plástco b lnear com rgdez de endurecmento de E 5 (Dumont Y e Maman, 2013). 89 Fgura 41. Contornos da zona plástca para o estado plano de defor- mações. Trnca dscretzada com város elementos de trnca, carrega- mento unaxal remoto de σ = 0.01σ (esquerda), como obtda por um yy materal elasto-plástco (dreta) com uma curva tensão-defor-mação não-lnear para σ σ, dado de acordo com a relação de Ramberg- Y Y Osgood (tensões em MPa) (Dumont e Maman, 2013). 90 Fgura 42. Zona plástca elastcamente calculada para város níves de carregamento remoto obtdos com ne = 16 elementos de trnca, meddos ao longo de y = 0 (esquerda) e x = 0 (dreta) (Dumont e Maman, 2013). 90 Fgura 43. Zona plástca elastcamente e plastcamente calculada para város níves de carregamento remoto obtdos com ne = 1 elementos de trnca, meddos ao longo de y = 0 (esquerda) e x = 0 (Dumont e Maman, 2013). 91 Fgura 44. Casos de ntegração da Matrz H em problemas de potencal. 117
14 Lsta de tabelas Tabela 1. Campo de tensões e deslocamentos para modos I e II (Anderson, 1995). 30 Tabela 2. Resumo das sngulardades das funções de tensão propostas. 46 Tabela 3. Numero dos nós das esqunas das dferentes dscretzações da Fgura 14. 56
15 Lsta de símbolos Caracteres latnos: A a a c a 1 a n + 1 B b b k, {b} C Comprmento do semexo de uma trnca reta, ponto extremo da elpse Comprmento do semexo de um elemento de trnca Comprmento crítco da trnca Comprmento do semexo do prmero elemento de trnca Comprmento do semexo do ultmo elemento de trnca Ponto extremo da elpse Comprmento do entalhe elíptco Deslocamentos do sstema nterno equvalentes ao campo de deslocamentos referentes às forças de massa Constantes arbtráras do campo de deslocamentos referentes à solução fundamental C Tensor da relação consttutva kl d j, {d} Deslocamentos nodas do sstema externo * d k, {d*} E E kl, [E] f Deslocamentos nodas equvalentes do sstema nterno Módulo de Young, módulo de elastcdade Projetor ortogonal Função admensonal de θ F( θ*, λ ) Função admensonal de θ * e λ F, { F } F kl, [F] G G c H kl, [H] J Forças de massa prescrtas Matrz de flexbldade do sstema nterno Taxa de lberação de energa de deformação Taxa crítca de lberação de energa de deformação Matrz de ncdênca cnemátca Constante complexa Integral J
16 K Fator de ntensdade de tensão K Fator de ntensdade de tensão relaconados aos modos I, II e I, II, III III de fratura K t K kl, [K] k N L p, {p} * p, {p*} * p, {p*} q, {q} R r t k, {t} T, {T} T, {T} * T, {T*} Fator de concentração de tensões Matrz de rgdez do sstema externo Constante de potencal Funções de nterpolação Forças nodas equvalentes Forças sngulares Função de transformação de forças referente à solução fundamental Fluxo Rao do crculo Módulo do vetor posção (rao) Forças nodas do sstema externo, equvalentes às forças de massa Forças de superfíce Forças de superfíce prescrtas Forças de superfíce referentes à solução fundamental I, II u Deslocamentos segundo o exo x de coordenadas devdo aos modos I e II de trncamento u, {u} u, {u} * u, {u*} Deslocamentos, potencas Deslocamentos prescrtos, potencas prescrtos Deslocamentos referentes à solução fundamental *n u, * p u, *n {u } Deslocamentos totas referentes às forças de massa *p {u } Deslocamentos referentes à solução partcular da equação de equlíbro u, [u] * u, [u*] Funções de nterpolação de deslocamentos Função de transformação de deslocamentos referente à solução fundamental
17 U ( ) 0 ε Densdade de energa nterna de deformação c U0 ( σ ) Densdade de energa nterna na forma complementar U σ Densdade de energa nterna na forma complementar, c* 0 ( ) V kl, [V] v referente ao sstema nterno Matrz cujas colunas formam a base das forças sngulares que correspondem a forças nodas equvalentes nulas Espaço nulo I, II v Deslocamentos segundo o exo x de coordenadas devdo aos v 0 v l w W W kl, [W] x, {x} modos I e II de trncamento Espaço nulo decorrente da ortogonaldade a deslocamentos de corpo rígdo Espaços nulos adconas provenentes de cada par de nós com a mesma coordenada Comprmento da placa Energa de deformação Matrz cujas colunas formam a base dos deslocamentos de corpo rígdo Coordenadas cartesanas Caracteres gregos: Trabalho não recuperável assocado à deformação permanente na ponta da trnca Delta de Drac Φ Funções de tensão de Ary Φ Função de tensão de Westergaard (modfcada ou I, II generalzada) para os modos I e II de trncamento Φ ' I, II Dervada da função de tensão de Westergaard (modfcada ou generalzada) para os modos I e II de trncamento Φ '' I, II Segunda dervada da função de tensão de Westergaard para Γ os modos I e II de trncamento Contorno do corpo elástco, contorno arbtráro em torno da ponta da trnca
18 Γ J Γ u Γ σ Regão do contorno relaconado à Integral J Regão do contorno onde se têm deslocamentos ou potencas prescrtos Regão do contorno onde se têm forças ou gradentes prescrtos Γ * Contorno referente à solução fundamental Γ 0 Γ 0 Π Π g Π R Ω Regão do contorno correspondente à parte externa da superfíce esférca Regão do contorno contda na superfíce esférca Energa potencal total Forma generalzada da energa potencal total Potencal de Hellnger-Hessner Domíno do corpo elástco Ω * Domíno referente à solução fundamental Ω 0 δ ε γ η j λ, λ Regão onde a força sngular é aplcada Delta de Kronecker Deformações Trabalho necessáro para formar uma nova superfíce de trnca Cossenos dretores de um elemento de superfíce Multplcadores de Lagrange µ Módulo de elastcdade transversal ν π θ θ ρ σ σ σ c Coefcente de Posson Constante Ângulo do sstema de coordenadas polares Ângulo de rotação da trnca em relação ao exo postvo de x Rao de curvatura Tensão normal Tensão normal aplcada no meo nfnto Tensão crítca a partr da qual o crescmento da trnca é nstável
19 σ n σ σ * σ I, II *n σ * p σ τ τ τ τ I, II ξ, η Tensão normal nomnal Tensões normas, tensões Tensões normas, tensões devdo aos modo I e II de trncamento Tensões referentes à solução fundamental Tensões totas referentes às forças de massa Tensões referentes à solução partcular da equação de equlíbro Tensão csalhante aplcada Tensão csalhante aplcada no meo nfnto Tensões csalhantes Tensões csalhantes devdo aos modos I e I de trncamento Coordenadas paramétrcas I ( ) Parte magnára de um número complexo R ( ) Parte real de um número complexo
20 Eu tente 99 vezes e falhe, mas na centésma tentatva eu consegu, nunca dessta de seus objetvos mesmo que esses pareçam mpossíves, a próxma tentatva pode ser a vtorosa. Albert Ensten