ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO EFICIENTES PARA O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO TRIDIMENSIONAL.

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1 UNIVERIDADE DE ÃO PAULO ECOLA DE ENGENHARIA DE ÃO CARLO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ETRUTURA ALGORITMO DE INTEGRAÇÃO EFICIENTE PARA O MÉTODO DO ELEMENTO DE CONTORNO TRIDIMENIONAL. Eng º VALERIO JUNIOR BITENCOURT DE OUZA Dssertação apresentada ao Departamento de Estruturas, Escola de Engenhara de ão Carlos, Unversdade de ão Paulo, como parte dos requstos para a obtenção do título de Mestre em Engenhara de Estruturas. ORIENTADOR: Prof. Dr. HUMBERTO BREVE CODA ão Carlos 00

2 Não percas tempo ulgando as pessoas, assm não terás tempo para amá-las. Madre Teresa de Calcutá.

3 Aos meus Pas.

4 AGRADECIMENTO A Deus, por me ter dado serendade e pacênca nos momentos mas dfíces de mnha vda. À Coordenadora de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível uperor CAPE, pela bolsa de estudo concedda. Ao Professor Humberto Breves Coda, pela extraordnára orentação e amzade dspensada à mnha pessoa. Ao grupo de Mecânca Computaconal: Arthur, Marcelo e Patrc pela amzade e déas dscutdas. Ao Professor Wlson érgo Venturn pelos conhecmentos transmtdos e colaboração em partes deste trabalho. A todos os professores que contrbuíram dretamente para a mnha formação profssonal e pessoal. Aos funconáros do Departamento de Engenhara de Estruturas, que de alguma forma colaboraram para a realzação deste trabalho.

5 À Mara Nadr Mnatel e todos os funconáros das bblotecas pela auda na revsão das referêncas bblográfcas. Aos amgos de turma: Andrea, Ewerton, Fábo, Lucano, Lus Cláudo, Luz Paulo, Malu, Renê, Rcardo, Robson, Rogéro, Valentm, entre outros, pelos ncentvos e momentos de descontração proporconados. Aos amgos: Alexandre, Bruno, Crstano, Fabríco, Felppe, Gesane, Lorenzo e todos aqueles que não tveram seus nomes aqu ctados, pela colaboração dreta ou ndreta para a realzação deste trabalho. Fnalmente, a mnha Famíla pelo apoo e estímulo, sem os quas este trabalho não tera sdo possível.

6 UMÁRIO LITA DE FIGURA... LITA DE GRÁFICO... LITA DE TABELA... v LITA DE ABREVIATURA E IGLA... v LITA DE ÍMBOLO... x REUMO... x ABTRACT... x CAPÍTULO - INTRODUÇÃO... CAPÍTULO - REVIÃO BIBLIOGRÁFICA... CAPÍTULO - CONCEITO DE TEORIA DE ELATICIDADE TRIDIMENIONAL Introdução Notação ndcal Equações de equlíbro Relações entre deformação e deslocamento Relações entre tensão e deformação Equação de Naver-Cauchy Condções de contorno Delta de Drac...

7 CAPÍTULO 4 - OLUÇÃO FUNDAMENTAL Introdução olução fundamental de Kelvn olução hper-sngular... 8 CAPÍTULO 5 - EUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO Introdução Equação ntegral para pontos do domíno Equação ntegral para pontos do contorno Equação ntegral para a solução hper-sngular... 9 CAPÍTULO 6 - MÉTODO DO ELEMENTO DE CONTORNO Introdução Equaconamento algébrco Propredades geométrcas dos elementos Funções de nterpolação Função de nterpolação constante Função de nterpolação lnear Função de nterpolação quadrátca Processos de ntegração Integral não sngular Integral quase sngular e quase hper-sngular Integral sngular Montagem do sstema de equações Deslocamentos e tensões em pontos nternos Tensões em pontos do contorno... 6 CAPÍTULO 7 - APLICAÇÕE NUMÉRICA... 69

8 7.. Introdução Exemplo - óldo trdmensonal sob força axal Exemplo - óldo trdmensonal sob força transversal Exemplo - óldo sob força transversal com város comprmentos Exemplo 4 - Vga b-apoada sob força transversal no meo do vão Exemplo 5 - Esfera vazada sob pressão nterna Exemplo 6 - Casca esférca sob pressão nterna Exemplo 7 - Placa retangular com flexão pura Placa retangular com curvatura clíndrca Placa retangular com curvatura esférca Placa retangular com momentos unformes em duas bordas Exemplo 8 - Placa quadrada smplesmente apoada com carga unformemente dstrbuída... 5 CAPÍTULO 8 - CONCLUÕE... 8 ANEXO A... Valor prncpal de Cauchy para o elemento constante... Valor prncpal de Cauchy para o elemento lnear... ANEXO B... 5 Integras com varável em θ... 5 ANEXO C... 8 Formulação do MEC para forças concentradas... 8 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 9 OBRA CONULTADA... APÊNDICE I... I oluções analítcas de alguns problemas apresentados... I A. óldo submetdo à força longtudnal... I B. óldo submetdo à força transversal... II

9 C. Vga b-apoada submetda a uma carga concentrada no meo do vão IV D. Esfera vazada submetda à pressão nterna...v

10 LITA DE FIGURA Fgura. - Corpo trdmensonal...9 Fgura. - Tensões nternas e forças de superfíce...0 Fgura. - Valores prescrtos de contorno... Fgura 4. - Problema fundamental de Kelvn...7 Fgura 4. - Componentes dos tensores de deslocamentos e forças de superfíce...8 Fgura 5. - a Contorno expanddo no ponto ; b Corte AA...6 Fgura 6. - stema de coordenadas locas e globas...5 Fgura 6. - Coordenadas homogêneas...6 Fgura 6. - Elemento trangular constante...7 Fgura Elemento trangular lnear...9 Fgura Nós do elemento quadrátco...40 Fgura ubdvsão do elemento trangular plano...4 Fgura Esquema para ntegração quase sngular para o elemento lnear...44 Fgura Transformação para coordenadas homogêneas...45 Fgura Coordenada admensonal radal...46 Fgura Coordenada admensonal angular...46 Fgura 6. - ubelemento do rao R[θγ]...47 Fgura 6. - Coordenadas homogêneas generalzadas...49 Fgura 6. - Dvsão do elemento constante para a ntegral quase sngular...50 Fgura Dvsão do elemento quadrátco para a ntegral quase sngular...50 Fgura Integral sngular sobre o elemento constante...5 Fgura Relação entre d Γ, r e dθ...5 Fgura Defnção do rao em função do ângulo θ...5 Fgura Integral sem-analítca sobre o elemento lnear...56 Fgura Fluxograma da montagem das equações...6 Fgura Análse das tensões em ponto do contorno...64 Fgura 6. - Co-senos dretores...65

11 Fgura 7. - óldo trdmensonal com força dstrbuída de tração e propredades físcas e geométrcas...70 Fgura 7. - Dscretzações do exemplo...70 Fgura 7. - Dscretzações da formulação de forças concentradas...76 Fgura óldo trdmensonal submetdo a uma força transversal - a problema clássco e b problema equvalente soluconado pelo MEC...78 Fgura Dscretzações do sóldo do exemplo - elemento constante...79 Fgura Dscretzações do sóldo do exemplo - elemento lnear...8 Fgura Dscretzações do sóldo do exemplo - elemento quadrátco...86 Fgura Vga b-apoada com carregamento concentrado...9 Fgura Dscretzação da vga de 80cm ndcando carregamento e apoos para o elemento lnear...9 Fgura Dscretzação do sóldo do exemplo 4 ndcando carregamento e apoos para o elemento quadrátco...96 Fgura 7. - Esfera vazada...99 Fgura 7. - Corte no plano médo da esfera dscretzada...99 Fgura 7. - Casca esférca...04 Fgura Placa retangular com curvatura clíndrca - elemento lnear...07 Fgura Dscretzação da placa retangular - L=5cm - malha 8x8 - elemento lnear..07 Fgura Dscretzação da placa retangular - L=5cm - malha x - elemento quadrátco...09 Fgura Placa retangular com curvatura esférca - elemento lnear... Fgura Placa retangular com momentos unformes em duas bordas - elemento lnear... Fgura Placa quadrada smplesmente apoada...5 Fgura Dscretzação da placa quadrada L=40cm - malha 4x4 - elemento quadrátco...6 Fgura A. - Valor prncpal de Cauchy para o elemento constante... Fgura A. - Valor prncpal de Cauchy para o elemento lnear... Fgura A. - Formulação com forças concentradas...8 Fgura I. - óldo elástco sob força longtudnal...i Fgura I. - óldo elástco sob força transversal... II Fgura I. - Vga b-apoada sob flexão smples...iv Fgura I.4 - Esfera vazada... V

12 LITA DE GRÁFICO Gráfco 7. - Convergênca do elemento constante - exemplo...7 Gráfco 7. - Establdade da solução para o elemento constante - exemplo...7 Gráfco 7. - Establdade da solução para o elemento lnear - exemplo...7 Gráfco Establdade da solução para o elemento quadrátco - exemplo...74 Gráfco Convergênca da formulação de forças concentradas...77 Gráfco Convergênca do elemento constante - exemplo...79 Gráfco Establdade da solução para o elemento constante - exemplo...80 Gráfco ub-matrz da dagonal prncpal da matrz H - elemento constante - exemplo...8 Gráfco Establdade da solução para o elemento lnear - CMEC - exemplo...8 Gráfco Establdade da solução para o elemento lnear - HMEC - exemplo...8 Gráfco 7. - ub-matrz da dagonal prncpal da matrz H - elemento lnear - exemplo 85 Gráfco 7. - Establdade da solução para o elemento quadrátco - exemplo...87 Gráfco 7. - ub-matrz da dagonal prncpal da matrz H - elemento quadrátco - exemplo...88 Gráfco Comportamento do deslocamento com a varação do comprmento - elemento lnear...90 Gráfco Comportamento do deslocamento com a varação do comprmento - elemento quadrátco...9 Gráfco Establdade da solução para o elemento lnear - exemplo Gráfco Deslocamentos transversas para pontos sobre o exo central - vga 80cm - elemento lnear...94 Gráfco Deslocamentos transversas para pontos sobre o exo central - vga 60cm - elemento lnear...95 Gráfco Establdade da solução para o elemento quadrátco - exemplo Gráfco Deslocamentos transversas para pontos sobre o exo central - vga 80cm - elemento quadrátco...98

13 v Gráfco 7. - Deslocamentos transversas para pontos sobre o exo central - vga 60cm - elemento quadrátco...98 Gráfco 7. - Establdade do elemento lnear para a esfera com relação b/a=, Gráfco 7. - Establdade do elemento lnear para a esfera com relação b/a=, Gráfco Deslocamentos radas para r=a - elemento lnear...0 Gráfco Tensões crcunferencas para r=a - elemento lnear...0 Gráfco ub-matrz da dagonal prncpal da matrz H - elemento lnear - exemplo Gráfco Convergênca da placa retangular com curvatura clíndrca - L=5cm - elemento lnear...08 Gráfco Establdade da malha 8x8 - L=5cm - elemento lnear...08 Gráfco Establdade da malha x - L=5cm - elemento quadrátco...0 Gráfco Convergênca da placa retangular smplesmente apoada sob flexão smples - L=40cm - elemento quadrátco...6 Gráfco 7. - Establdade da malha 4x4 - L=40cm - elemento quadrátco...6

14 v LITA DE TABELA Tabela 7. - Deslocamentos axas com elemento constante 80 elementos - 40 GL...7 Tabela 7. - Reações de apoos com elemento constante 80 elementos - 40 GL...7 Tabela 7. - Deslocamentos axas com elemento lnear elementos - 48 GL...7 Tabela Reações de apoos com elemento lnear elementos - 48 GL...7 Tabela Deslocamentos axas com elemento quadrátco elementos - 6 GL...74 Tabela Reações de apoos com elemento quadrátco elementos - 6 GL...74 Tabela Número de condconamento - exemplo - elemento constante...75 Tabela Número de condconamento - exemplo - elemento lnear...76 Tabela Número de condconamento - exemplo - elemento quadrátco...76 Tabela Deslocamentos obtdos com forças concentradas...77 Tabela 7. - Número de condconamento para a formulação de forças concentradas...77 Tabela 7. - Deslocamentos transversas X do exemplo com elemento constante - 96 elementos...80 Tabela 7. - Número de condconamento - exemplo - elemento constante...80 Tabela Deslocamentos transversas X do exemplo com elemento lnear - 7 elementos - 8 GL...8 Tabela Número de condconamento - exemplo - 8 GL - elemento lnear...8 Tabela Deslocamentos transversas X do exemplo com elemento lnear - 44 elementos - 70 GL...84 Tabela Número de condconamento - exemplo - 70 GL - elemento lnear...84 Tabela Deslocamentos transversas X do exemplo com elemento lnear elementos GL...84 Tabela Número de condconamento - exemplo GL - elemento lnear...85 Tabela Deslocamentos transversas X do exemplo com elemento quadrátco - 6 elementos - 70 GL...87 Tabela 7. - Número de condconamento - exemplo - elemento quadrátco...87 Tabela 7. - Deslocamentos transversas X do exemplo com elemento lnear...89

15 v Tabela 7. - Número de condconamento - exemplo - elemento lnear...90 Tabela Deslocamentos transversas X do exemplo com elemento quadrátco...9 Tabela Número de condconamento - exemplo - elemento quadrátco...9 Tabela Deslocamentos transversas X do exemplo 4 - elemento lnear...94 Tabela Número de condconamento - exemplo 4 - elemento lnear...94 Tabela Deslocamentos transversas para pontos sobre o exo central - vga 80cm - elemento lnear...94 Tabela Deslocamentos transversas para pontos sobre o exo central - vga 60cm - elemento lnear...95 Tabela Deslocamentos transversas X do exemplo 4 - elemento quadrátco...97 Tabela 7. - Número de condconamento - exemplo 4 - elemento quadrátco...97 Tabela 7. - Deslocamentos transversas para pontos sobre o exo central - vga 80cm - elemento quadrátco...97 Tabela 7. - Deslocamentos transversas para pontos sobre o exo central - vga 60cm - elemento quadrátco...98 Tabela Deslocamentos radas para r=a - elemento lnear...0 Tabela Tensões crcunferencas para r=a - elemento lnear...0 Tabela Número de condconamento - exemplo 5 - elemento lnear...0 Tabela Deslocamentos radas para r=a - Ponto A - elemento lnear...04 Tabela Deslocamentos radas para r=a - Ponto B - elemento lnear...05 Tabela Tensões crcunferencas para r=a - Ponto A - elemento lnear...05 Tabela Tensões crcunferencas para r=a - Ponto B - elemento lnear...05 Tabela Número de condconamento - exemplo 6 - elemento lnear...06 Tabela Deslocamentos em placas retangulares com curvatura clíndrca - elemento lnear...09 Tabela Número de condconamento - curvatura clíndrca - elemento lnear...09 Tabela Deslocamentos em placas retangulares com curvatura clíndrca - elemento quadrátco...0 Tabela Número de condconamento - curvatura clíndrca - elemento quadrátco...0 Tabela Deslocamentos em placas retangulares com curvatura esférca - elemento lnear... Tabela Número de condconamento - curvatura esférca - elemento lnear... Tabela Deslocamentos em placas retangulares com curvatura esférca - elemento quadrátco... Tabela Número de condconamento - curvatura esférca - elemento quadrátco...

16 v Tabela Deslocamentos em placas retangulares com momentos unformes em duas bordas - elemento lnear... Tabela Número de condconamento - placas retangulares com momentos unformes em duas bordas - elemento lnear...4 Tabela Deslocamentos em placas retangulares com momentos unformes em duas bordas - elemento quadrátco...4 Tabela Número de condconamento - placas retangulares com momentos unformes em duas bordas - elemento quadrátco...4 Tabela Comparação dos fatores w00d/ql 4 - elemento quadrátco...7 Tabela Número de condconamento - exemplo 8 - elemento quadrátco...7

17 v LITA DE ABREVIATURA E IGLA MEC Método dos Elementos de Contorno MEF Método dos Elementos Fntos MDF Método das Dferenças Fntas D Bdmensonal D Trdmensonal CMEC Método dos Elementos de Contorno Comum HMEC Método dos Elementos de Contorno Híbrdo IA Integral ngular Calculada Analtcamente IA Integral ngular Calculada em-analtcamente IG Integral uase ngular Calculada Numercamente Com uadratura de Gauss FC Formulação com forças concentradas GL Graus de lberdade

18 x LITA DE ÍMBOLO x u p δ δs,q σ b Γ Ω p u n ε E G ν u ε σ P u, P, s q r r Coordenada cartesana na dreção Deslocamento na dreção Força de superfíce na dreção Delta de Kronecer Delta de Drac Componentes do tensor de tensões Componentes do vetor de forças volumétrcas Contorno Domíno Componentes de força de superfíce local ou prescrta Componentes de deslocamento local ou prescrto Componentes do vetor normal na dreção Componentes do tensor de deformações Módulo de elastcdade longtudnal Módulo de elastcdade transversal Coefcente de Posson olução fundamental para deslocamentos Tensor das deformações do problema fundamental Tensor das tensões do problema fundamental olução fundamental para força de superfíce Dervada da solução fundamental para deslocamentos Dervada da solução fundamental para força de superfíce Ponto fonte onde a força untára é aplcada Ponto onde será avalada a reação das forças untáras Dstânca entre os pontos s e q Componente cartesana de r na dreção

19 x r, Dferencação de r na dreção Vetor untáro na dreção e D ε c Ψ X Φ Φ c U n P n B n H G D C A X F J e ξ A w N L N ρ G Tensor dervado do tensor de deslocamentos fundamentas Tensor dervado do tensor de forças de superfíce fundamentas Rao nfntesmal Termo lvre Funções nterpoladoras Coordenadas cartesanas dos nós do elemento Função nterpoladora do elemento Função nterpoladora da célula Deslocamentos nodas do elemento Forças de superfíce nodas do elemento Forças volumétrcas nodas da célula Matrz do método dos elementos de contorno que multplca o vetor de deslocamentos Matrz do método dos elementos de contorno que multplca o vetor de forças de superfíce Matrz do método dos elementos de contorno que multplca o vetor de forças volumétrcas Matrz dos termos lvres Matrz do sstema de equações do MEC, cuas colunas correspondem a valores ncógntos Vetor que contém as ncógntas do sstema de equações do MEC Vetor que possu apenas valores conhecdos Matrzes Jacobanas de transformação Coordenada homogênea na dreção Área do elemento Peso da quadratura de Gauss ou Hammer ubdvsão do lado do elemento Lado do elemento Número de subelementos Rao admensonal

20 x gθ gr w θ w r U P T x ε σ F Número de pontos de Gauss para varação angular Número de pontos de Gauss para varação radal Peso dos pontos de Gauss para a varação angular Peso dos pontos de Gauss para a varação radal Vetor de deslocamentos nodas nas coordenadas locas Vetor de forças de superfíce nodas nas coordenadas locas Matrz de transformação entre os exos global e local Vetor de coordenadas cartesanas locas Componentes do tensor de deformações locas Componentes do tensor de tensões locas Fator de colocação do ponto fora

21 x REUMO OUZA, V. J. B. Algortmos de ntegração efcentes para o método de elementos de contorno trdmensonal. ão Carlos, 00. Dssertação Mestrado - Escola de Engenhara de ão Carlos, Unversdade de ão Paulo. Neste trabalho é analsado o problema elástco trdmensonal através do método dos elementos de contorno empregando a solução fundamental de Kelvn. ão utlzadas duas formulações prncpas: a formulação clássca e a formulação hper-sngular. A prmera utlza a solução fundamental de Kelvn clássca e a segunda aplca uma dervada dreconal da solução fundamental de Kelvn. O contorno é dscretzado utlzando-se elemento trangular plano com aproxmações constante, lnear e quadrátca. As ntegras sngulares são desenvolvdas analtcamente para o elemento constante, e sem-analtcamente para os elementos lnear e quadrátco. ão apresentadas técncas de ntegração de contorno consderando-se a efcênca e a precsão para a ntegral quase sngular. ão apresentados város exemplos numércos, nclusve problemas esbeltos, e seus resultados são comparados com valores conhecdos pela teora de elastcdade, ou anda, comparados com valores dsponíves na lteratura. Palavras-chave: elementos de contorno - técncas de ntegração - elastcdade trdmensonal.

22 x ABTRACT OUZA, V. J. B. Effcent ntegraton algorthms for the three-dmensonal boundary element method. ão Carlos, 00. Dssertação Mestrado - Escola de Engenhara de ão Carlos, Unversdade de ão Paulo. In ths wor the three-dmensonal elastc problem s analyzed by the boundary element method usng the Kelvn fundamental soluton. Two man formulatons are appled. The frst one uses the classcal Kelvn fundamental soluton and the other, hyper-sngular, uses a dervatve of the Kelvn fundamental soluton. The boundary s dscretzed by flat trangular elements wth constant, lnear and quadratc approxmatons. The sngular ntegrals are analytcally developed for constant elements, whle for lnear and quadratc elements a sem-analytcal process s employed. Dfferent technques to perform quas-sngular boundary ntegrals are presented and ther effcency and accuracy are compared. everal numercal examples are presented, ncludng slender problems. The results are compared wth nown solutons gven by the theory of elastcty, or wth other results found n the lterature. Keywords: boundary elements - ntegraton technques - three-dmensonal elastcty.

23 CAPÍTULO INTRODUÇÃO Atualmente á é possível resolver problemas elástcos trdmensonas D e bdmensonas D por meo do Método dos Elementos de Contorno MEC com extrema agldade e precsão. Porém, tem-se encontrado enormes dfculdades quando o problema se trata de peças esbeltas, pos as matrzes geradas pelo método tornam-se pouco consstentes. Isto pode ser observado quando se tenta calcular uma placa fna trdmensonal com uma solução fundamental para sóldos D. Para que se consga resolver os problemas de peças esbeltas D ou D é necessáro que se conheçam as lmtações que envolvem o método, e propor novas técncas para suplantar essas lmtações. Este trabalho nsere-se no contexto de buscar alternatvas para a melhora das característcas numércas das matrzes do método dos elementos de contorno com o ntuto de melhorar o comportamento das soluções de peças esbeltas modeladas pelo MEC D, váldas também para formulações bdmensonas. Neste trabalho também se propõem novas técncas de ntegração quase sngulares geras e precsas para elementos de contorno trdmensonas. Além dsso, propõem-se funções ponderadoras alternatvas no ntuto de melhorar o comportamento numérco das matrzes do MEC, a saber, funções hpersngulares dervadas da própra solução fundamental de Kelvn. A geração de matrzes consstentes deverá sanar problemas encontrados na resolução de peças esbeltas, placas e cascas delgadas por meo do MEC D.

24 Apresenta-se no capítulo uma revsão bblográfca que mostra a evolução do Método dos Elementos de Contorno, com a fnaldade de comparar os resultados numércos de problemas resolvdos nesta pesqusa com soluções obtdas por outros pesqusadores. A revsão bblográfca também fo realzada com o ntuto de soldfcar concetos e tomar conhecmento de outras alternatvas para o método, que não sea a usual, prncpalmente quando se trata da ntegração quase sngular. No capítulo são apresentados alguns fundamentos de elastcdade trdmensonal assm como a notação utlzada neste trabalho. O capítulo 4 trata da solução fundamental de Kelvn, utlzada para o problema elástco trdmensonal. Também é apresentada uma nova formulação, que utlza soluções hper-sngulares, cuas expressões são obtdas através da dferencação da solução fundamental de Kelvn em uma dreção qualquer. As equações ntegras de contorno, que relaconam deslocamentos de um ponto qualquer do domíno com deslocamentos e esforços no contorno de um corpo trdmensonal, são apresentadas no capítulo 5. Para utlzar as equações ntegras no Método dos Elementos de Contorno torna-se necessáro dscretzar o contorno em elementos, com a fnaldade de transformá-las em equações algébrcas para serem resolvdas numercamente. Para tal fnaldade fo elaborado o capítulo 6 que trata do equaconamento algébrco, das propredades geométrcas dos elementos, das funções de nterpolação e prncpalmente dos processos de ntegração empregados. Com a fnaldade de analsar a formulação apresentada, são resolvdas váras aplcações numércas no capítulo 7, comparando-se os resultados numércos com os obtdos através da teora da elastcdade e por outros pesqusadores. No capítulo 8 são apresentadas algumas dscussões com a fnaldade de conclur o presente trabalho. Os códgos computaconas são desenvolvdos na lnguagem Fortran e complados no ambente Fortran Powertaton 4.0 da Mcrosoft. O processamento dos exemplos fo realzado em um mcro computador PC utlzando um processador Pentum III 500MHz com 8MB de memóra RAM.

25 CAPÍTULO REVIÃO BIBLIOGRÁFICA A teora da elastcdade tem sdo bastante usada e desenvolvda ao longo da hstóra, e sto se deve ao fato de que era precso obter soluções analítcas para város problemas da mecânca dos sóldos. Infelzmente tas soluções só são possíves para um número lmtado de problemas, além de normalmente se adotar hpóteses smplfcadoras para se aplcar os concetos da teora da elastcdade tradconal. Dessa forma era precso encontrar soluções cuos valores eram aproxmados, surgndo, assm, as chamadas técncas aproxmadas, como, por exemplo, aproxmações por séres de Fourer. Tas técncas foram se desenvolvendo e deram orgem aos métodos numércos, esses métodos baseam-se em soluções que não são obtdas analtcamente, e sm com aproxmações numércas das equações dferencas que governam os problemas da engenhara. Os prmeros métodos numércos formulados em bases matemátcas foram o Método das Dferenças Fntas MDF e o Método dos Elementos Fntos MEF. Com o avanço da tecnologa, prncpalmente com o advento dos computadores, esses métodos foram se desenvolvendo numa velocdade extraordnára. Esses métodos aproxmam a equação dferencal que rege o problema a ser analsado, por meo de um sstema de equações que utlza valores de domíno e de contorno, sendo por sso também chamados de métodos de domíno. Para se obter uma resposta acetável, é necessára uma grande dscretzação de todo o domíno. Dessa forma, gera-se um sstema de equações com um grande número de varáves.

26 4 Devdo à necessdade de técncas que pudessem dmnur a dscretzação do problema, conseqüentemente o número de varáves do sstema de equações a ser resolvdo, surgram as técncas de contorno, as quas consstem em aproxmar o problema analsado apenas em termos de valores de contorno. Tas técncas têm como ponto de partda as equações ntegras. O mas antgo problema resolvdo desta forma de que se tem notíca, é o problema da tautócrona tempo gual, propredade esta utlzada na formulação de um pêndulo sócrono. Esta solução fo publcada em 8 e deve-se ao matemátco norueguês Nels Henr Abel. Város matemátcos depos de Abel utlzaram esta técnca para resolver outros problemas físcos, até culmnar com a prmera teora clássca das equações ntegras desenvolvda por Fredholm 90. Por volta dos anos cnqüenta, surgram város trabalhos neste contexto e que muto contrbuíram para o desenvolvmento dos métodos de contorno, prncpalmente de autores russos como Mushelshvl 95, Mhln 957, Kupradze 965 e mrnov 964 apud Brebba et al. 984, dos quas se destaca o trabalho de Kupradze, com o qual surgu a formulação ndreta dos métodos de contorno, cua base consste em obter soluções físcas a partr de fontes fctícas aplcadas no contorno. Em 967, surgu a prmera formulação dreta dos métodos de contorno, onde as varáves são valores que possuem sgnfcados físcos. Esta formulação surgu com o trabalho de Rzzo 967, que apresentava o método das ntegras de contorno como um método numérco. urgram város trabalhos após o de Rzzo 967, os quas servram para dvulgar o método das equações ntegras de contorno, destacando-se os trabalhos de Cruse & Rzzo 968, Cruse 968 apud Barbrato 999, Cruse 969, entre outros. A partr dos trabalhos ctados, Lachat 975 apud Barbrato 999 e prncpalmente Brebba 978, o qual apresentou uma formulação do método das equações ntegras de contorno a partr da técnca de resíduos ponderados, este método passou a ser denomnado de Método dos Elementos de Contorno MEC. Desde então, o MEC vem se desenvolvendo, passando a ser estudado em mutos centros de pesqusa em todo o mundo, servndo para análses em mecânca dos Para maores detalhes, ver notas bográfcas em IMMON, G. F Cálculo com geometra analítca. Tradução de e Har. V.. ão Paulo, McGraw-Hll. No segundo volume desta obra é apresentada uma solução deste problema. FREDHOLM, I. 90. ur une classe d équatons fonctonelles. Acta Math., v. 7, pp

27 5 sóldos, mecânca dos fludos, propagação de ondas, acústca, entre outras aplcações. Podendo anda ser acoplado com outros métodos numércos, como o Método dos Elementos Fntos. A elastcdade trdmensonal estátca e dnâmca tem sdo um campo bastante estudado, onde o prmero trabalho nesta área deve-se a Cruse 969. urgram város trabalhos nesta área, destacando-se no Brasl os trabalhos de Naaguma 979, Curotto 98 apud Barbrato 999, á & Telles 986, Barbrato 99, Coda 99, Calderón 996, Barbrato 999, entre outros. No presente trabalho estudar-se-á problemas com a elastcdade trdmensonal estátca através do Método dos Elementos de Contorno, mas utlzando uma nova abordagem. Ao nvés de utlzar apenas a solução fundamental como função ponderadora, também se faz uso das soluções hper-sngulares, ou anda uma combnação entre tas funções. As soluções hper-sngulares têm sdo largamente utlzadas em aplcações na área de mecânca da fratura, mas com uma abordagem dferente da que se propõe neste trabalho. Alguns trabalhos mas recentes utlzaram as soluções hper-sngulares como funções ponderadoras na resolução do problema potencal bdmensonal, dentre os quas se destacam: Rudolph 989, Ingber & Rudolph 990 e Telles & Prado 99, entre outros. Rudolph 989 utlza a dervada tangente ao elemento e a solução fundamental no mesmo nó, gerando um elemento com grau de lberdade gual a quatro, e, portanto uma função aproxmadora cúbca. Os resultados apresentados por ele são bastante satsfatóros para este elemento, sugerndo que possa ser utlzado no problema elástco. Ingber & Rudolph 990 formulam uma técnca híbrda, utlzando-se a dervada normal em alguns pontos estratégcos para tentarem reduzr o condconamento da matrz do sstema lnear. Formulam os três tpos a segur:. Dervada normal para pontos onde o fluxo é prescrto condção de contorno de Drchlet e a solução fundamental clássca onde o potencal é prescrto condção de contorno de Neumann;. olução clássca para pontos onde o fluxo é prescrto e a dervada normal onde o potencal é prescrto;. olução fundamental clássca em todos os nós.

28 6 Além dsso, apresentam exemplos numércos e comparam o erro absoluto obtdo em város pontos do domíno com o número de condconamento, que dz o quanto o sstema lnear é consstente, quanto menor o número de condconamento maor a consstênca do sstema lnear. Concluem que, para contorno suave, todas as três técncas produzem valores acetáves, sendo que a segunda formulação é a que apresenta resultados mas precsos apesar de possur um número de condconamento elevado, mas concluem que para o problema potencal bdmensonal o número de condconamento não é tão elevado que possa tornar o sstema lnear muto nconsstente, devdo à solução fundamental ser logarítmca. Telles & Prado 99 utlzam-se da solução hper-sngular, a dervada normal, também para o problema potencal, e comparam com a solução fundamental clássca, mas não apresentam resultados conclusvos a respeto da utlzação da solução hper-sngular, e sugerem que seam fetos mas testes combnando as duas soluções. Além da aplcação de soluções fundamentas hper-sngulares, pretende-se, neste trabalho, mplementar técncas de ntegração sngulares e quase-sngulares geras e precsas, tornando possível a solução de problemas esbeltos e a comparação entre as dversas soluções fundamentas empregadas. Espera-se gerar formulação confável do MEC possbltando, no futuro, a elaboração de software específco para o ensno e desenvolvmento centífco de problemas mas avançados.

29 CAPÍTULO CONCEITO DE TEORIA DE ELATICIDADE TRIDIMENIONAL.. Introdução erá mostrada a notação matemátca que deverá ser utlzada em mutas expressões ao longo do texto. Depos serão apresentadas as relações da elastcdade estátca para sóldos trdmensonas, mostrando as prncpas equações e constantes necessáras à formulação do MEC... Notação ndcal Váras expressões apresentadas neste texto são escrtas utlzando-se a notação ndcal. Dessa forma as expressões fcam mas elegantes e seu tratamento mas ágl na mplementação do códgo computaconal. O sstema de coordenadas cartesanas, normalmente representado pelos exos x, y e z, será representado por x, x e x, respectvamente; ou de manera genérca por x. Todas as varáves relaconadas com o índce referem-se à dreção cartesana. Por exemplo, deslocamento u, força de superfíce p, entre outras. uando aparecer um índce repetdo em uma expressão, este se refere a um somatóro. Por exemplo:

30 8 a = u p u p u p = = u p = u p, ==,,. a = a, =,,. a a O delta de Kronecer, determnado pelo símbolo δ, utlzado neste trabalho, tem a segunte defnção: δ, = 0, se se =. As dervadas parcas usualmente apresentadas em lvros de cálculo serão representadas apenas por uma vírgula. Por exemplo: ξ x = ξ,.4 u x = u,.5 Informações adconas sobre a notação ndcal aqu apresentada podem ser encontradas em Brebba & Domnguez 99 ou em Brebba et al Equações de equlíbro As forças atuantes em um corpo são admtdas como sendo de dos tpos: forças volumétrcas e forças de superfíce. As forças volumétrcas são determnadas por undade de volume, pos atuam sobre o volume do corpo. Já as forças de superfíce são determnadas por undade de área, pos estas atuam apenas sobre a superfíce do corpo.

31 9 x x Ω x Γ Fgura. - Corpo trdmensonal Consderando-se um elemento nfntesmal, em forma de um paralelepípedo fgura., de um corpo trdmensonal, sotrópco, elástco-lnear e homogêneo, defndo por um domíno Ω e contorno Γ fgura., sobre o qual atuam forças volumétrcas b e de superfíce p, o equlíbro de um ponto qualquer deste corpo é regdo pela segunte relação: σ, b = 0,, =,,.6 Onde: σ : é o tensor de tensões b : é o vetor de forças volumétrcas Além dsso, se não exstr momentos volumétrcos aplcados, a condção de equlíbro do corpo nos garante a smetra exstente no tensor de tensões: σ = σ.7 As componentes das forças de superfíce atuantes em um ponto qualquer do corpo podem ser expressas através das ses componentes do tensor de tensões, essa expressão é conhecda como fórmula de Cauchy : CAUCHY, A. L. 88. Exercces de mathématque. ur l équlbre et le mouvement d un systéme de ponts matérels par des forces d attracton ou de répulson mutuelle.

32 0 p = σ n, ==,,.8 Onde n representa os co-senos dretores dos ângulos entre a normal n, do plano tangente que passe através do ponto em estudo fgura., e o exo x. dx dx σ σ σ σ σ σ dx σ σ σ x x n x p p x p x x Fgura. - Tensões nternas e forças de superfíce.4. Relações entre deformação e deslocamento Para um corpo deformado em que apenas se consderem pequenas deformações, estas podem ser relaconadas com os deslocamentos através da relação: ε = u, u,, ==,,.9

33 .5. Relações entre tensão e deformação As tensões e deformações de um corpo lnearmente elástco, sotrópco e homogêneo são relaconadas através da le de Hooe : G ν σ = ε δ G ε, ==,,.0a ν Ou nversamente ε ν σ σ G ν = Ou de outra forma: δ, ==,,.0b σ = λ ε δ G ε.0c E que anda pode ser escrta de forma mas compacta: l σ = C εl.0d Com: C l G ν = δ δ ν l G δ δ δ δ l l. Onde: ν: coefcente de Posson E: módulo de elastcdade longtudnal δ : delta de Kronecer λ e G: constantes de Lamé, sendo G também conhecdo como módulo de elastcdade transversal. As constantes de Lamé são escrtas em função do coefcente de Posson e do módulo de elastcdade longtudnal: HOOKE, Robert De potenta resttutva, Londres POION,. D. 89. Mémore sur l équlbre et le mouvement des corps élastques. Pars, Mém. Acad. Vol. 8.

34 E ν λ = ν ν. E G =. ν ubsttundo-se a equação.9 na equação.0c, tem-se a expressão que relacona dretamente as tensões com o campo de deslocamentos: σ = λ u δ G u u, =,=,,.4,,,.6. Equação de Naver-Cauchy A equação dferencal que governa os deslocamentos de um corpo sóldo trdmensonal é denomnada de equação de Naver-Cauchy, a qual é obtda através da substtução da equação.9 na equação.0a e a resultante na.6, ou smplesmente a equação.4 na.6. b u, u, = 0 ν G.5 Ou anda: G u λ G u b 0.6,, =.7. Condções de contorno Para se resolver um problema elástco é necessáro que se conheçam as condções de contorno do corpo trdmensonal. NAVIER, L. M. H Resumé des leçons données à l école des ponts et chaussés sur l applcaton de la mechanque à l établssement des constructons et des machnes, Pars, th. Ed.

35 Consdere o contorno Γ de um corpo sóldo, composto por Γ e Γ, onde Γ = Γ Γ, de acordo com a fgura.. Defnem-se então os valores prescrtos de contorno que serão utlzados na análse do problema deslocamentos e forças de superfíce: u = u, Γ condções de contorno essencas.7 p = p, Γ condções de contorno naturas.8 Onde o traço sobre os valores ndca valores prescrtos. Lembrando que as condções de contorno não necessaramente são aplcadas em partes separadas do contorno. Γ p x x Γ Ω u x Γ Fgura. - Valores prescrtos de contorno.8. Delta de Drac O conceto da dstrbução Delta de Drac é muto mportante para a formulação do método dos elementos de contorno. A dstrbução Delta de Drac é uma função geral, a qual pode ser defnda como o lmte de uma função normal, a qual é zero para todos os pontos do domíno, exceto para o ponto em que o argumento da função é zero, neste ponto o lmte tende para um valor nfnto. Como defndo na equação.9a-b δ s, q = 0, δ s, q =, se se q s; q = s;.9a-b

36 4 Além dsso, a dstrbução Delta de Drac possu uma propredade muto utlzada na engenhara: Ω δ s, q dω =.0 E para uma função contínua qualquer, tem-se: Ω f q δ s, q dω = f s. Maores nformações a respeto da função delta de Drac podem ser obtdas em Brebba et al. 984.

37 CAPÍTULO 4 OLUÇÃO FUNDAMENTAL 4.. Introdução Para desenvolver uma formulação do método dos elementos de contorno é necessáro um conhecmento prévo da chamada solução fundamental, que é escolhda de acordo com o problema a ser soluconado. A solução fundamental que será utlzada neste trabalho fo desenvolvda por Wllam Thompson Lorde Kelvn, e é conhecda por solução fundamental de Kelvn. A solução fundamental de Kelvn é defnda como a resposta de um corpo elástco e de domíno nfnto, submetdo à ação de uma força estátca e untára. 4.. olução fundamental de Kelvn A solução fundamental de Kelvn, por ser a mas abrangente e mas smples de ser mplementada, tornou-se a mas utlzada e dfundda pela área técnca. Esta solução fo desenvolvda por Kelvn, de acordo com Love 944, e é determnada LOVE, A. E. H A treatse on the mathematcal theory of elastcty. 4 th. Ed. New Yor, Dover Publcatons.

38 6 consderando-se um domíno Ω, como um sóldo elástco, sotrópco, homogêneo e nfnto, como mostrado na fgura 4.. As expressões encontradas para a solução do problema fundamental de Kelvn em termos de deslocamentos e forças de superfíce, para o estado trdmensonal, são as seguntes: [ 4ν δ r, r ] u s, q =, 6πG ν r 4. Onde o prmero índce refere-se à dreção da carga untára aplcada e o segundo a dreção do efeto provocado, como mostrado na fgura 4.. Pela defnção apresentada na equação.9, tem-se que: [ ν r, δ r, δ r, δ r, r, r ] ε s, q =, 4. 6πG ν r Aplcando-se a le de Hooe, tem-se: [ ν r, δ r, δ r, δ r, r, r ] σ s, q =, 4. 8π ν r Enfm, aplcando-se a fórmula de Cauchy equação 4.8: [ ν δ r, r, ] r s, q = ν r, n r, n 8π ν r n P 4.4

39 7 Ω Γ s r x r r r x q u, p x Fgura 4. - Problema fundamental de Kelvn Onde: Ω : domíno que se estende ao nfnto Γ : contorno que também se estende ao nfnto x : corresponde aos exos cartesanos r: dstânca entre os pontos s e q r : componentes cartesanas de r s: ponto fonte com as forças untáras nas três dreções q: ponto onde serão avaladas as respostas às forças untáras u : deslocamentos fundamentas p : forças de superfíce fundamentas

40 8 p Ω Γ x p p x u u q x u u u u p p p F s F rs,q p p p u u u F Fgura 4. - Componentes dos tensores de deslocamentos e forças de superfíce 4.. olução hper-sngular Uma solução hper-sngular é um ponderador com ordem de sngulardade maor do que a solução fundamental. A solução hper-sngular utlzada neste trabalho é dervada da solução fundamental de Kelvn. É obtda dervando-se a solução fundamental de Kelvn segundo uma dreção qualquer. As expressões obtdas para as dervadas de deslocamentos e forças de superfíce são as seguntes: u s, q = u, x s s, q = 6πG ν r [ 4ν r, δ r, δ r, δ r, r, r, ] 4.5

41 9 [ ] = = n n n n r r n r r n r r r r r r r r n r r q s P s x q s P δ δ δ ν δ δ δ ν ν π,,,,,,,,, 5,,, 8,,, 4.6 A partr das expressões 4.5 e 4.6 pode-se faclmente determnar as dervadas destas na dreção normal aos elementos de contorno, como mostrado a segur: l l n x u n u = 4.7 l l n x P n P = 4.8 Com l =, e.

42 CAPÍTULO 5 EUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO 5.. Introdução Para se desenvolver uma formulação para o método dos elementos de contorno é necessáro que se tenha conhecmento das equações ntegras de contorno, as quas relaconam deslocamentos de um ponto qualquer do domíno com deslocamentos e esforços no contorno de um corpo trdmensonal através de ntegras envolvendo as soluções fundamentas. Tas equações podem ser obtdas através da técnca dos resíduos ponderados, utlzando a solução fundamental como função ponderadora, ou através do teorema da recprocdade de Bett. Neste trabalho utlzar-se-á a técnca dos resíduos ponderados, pos através desta o método dos elementos de contorno consegue ser assocado a outros métodos numércos, como, por exemplo, o método das dferenças fntas e o método dos elementos fntos. BETTI, E. 87. Teora dell elastcta. Il Nuovo Cmento. er., v6-0.

43 5.. Equação ntegral para pontos do domíno ea consderado um espaço nfnto e que contenha um sóldo trdmensonal de domíno Ω e contorno Γ dvddo em Γ deslocamentos prescrtos e Γ forças de superfíce prescrtas. u = u em Γ condções de contorno essencas 5. p p em Γ condções de contorno naturas 5. = Onde o traço em cma dos valores u e p ndca valores prescrtos de deslocamentos e forças de superfíce respectvamente. Através da técnca dos resíduos ponderados e utlzando-se uma solução fundamental qualquer como função ponderadora para aproxmar numercamente a equação de equlíbro da estátca equação.6, obtém-se:, = σ b u 0 5. Efetuando-se uma ntegral em todo o domíno do corpo estudado, a gualdade 5. não se altera, portanto: Ω, = σ u dω b u dω Ω A prmera ntegral da expressão 5.4 pode ser transformada para uma ntegral no contorno através de uma ntegração por partes: Ω, Γ σ, u dω = σ n u dγ σ u dω 5.5 Ω Aplcando-se a fórmula de Cauchy.8 na ntegral sobre o contorno Γ: Ω, Γ σ, u dω = p u dγ σ u dω 5.6 Ω Levando-se em consderação a smetra do tensor de tensões e a defnção apresentada em.9:

44 , = σ ε = σ σ u ε 5.7 endo: ε : campo de deformação do problema fundamental ubsttundo a relação obtda em 5.7 na ntegral sobre o domíno no lado dreto da gualdade 5.6 e o resultado em 5.4, tem-se: Γ p u dγ Ω σ ε dω b u dω = Ω Para se chegar a equação ntegral fnal, anda é necessáro se trabalhar a ntegral sobre o domíno, que contém o tensor de tensões, da expressão 5.8. Pela Le de Hooe, tem-se: l l l l σ ε = C ε ε = ε C ε = ε C ε = ε σ 5.9 l l l l A penúltma passagem na expressão 5.9 é devdo à smetra do tensor consttutvo elástco. E de forma análoga, mas nversa, à propredade 5.7, tem-se:, ε σ = u σ 5.0 Portanto a ntegral sobre o domíno na expressão 5.8, fca: Ω σ ε dω = u, σ dω 5. Ω Agora é precso transformar esta ntegral para uma ntegral sobre o contorno através de uma ntegração por partes: Ω, Γ u, σ dω = u n σ dγ u σ dω 5. Ω Aplcando-se a fórmula de Cauchy na ntegral sobre o contorno da expressão 5., e levando-se esse resultado à expressão 5.8, de acordo com a gualdade 5., obtém-se: Γ p u dγ u p dγ u σ, dω b u dω = 0 5. Γ Ω Ω

45 Lembrando anda que, sendo o campo de deslocamento fundamental, elástco e estátco, respetando assm a equação dferencal, tem-se: σ, b = E, portanto a expressão 5. fca escrta em sua forma fnal: Γ p u dγ Ω b u dω = Γ u p dγ Ω b u dω 5.5 Para transformar a expressão 5.5 numa forma ntegral sobre a qual se possa realzar uma análse numérca, é precso uma breve explcação do problema fundamental, como é descrto pela equação 5.4. Mas para um melhor entendmento torna-se necessáro dvdr o sstema de equações 5.4 nas três equações que representam o problema: σ σ σ,,, b b b = 0 = 0 = O problema fundamental é consttuído por casos de carregamento. No prmero aplca-se apenas uma força concentrada e untára na dreção, portanto: σ σ σ,,, δ s, q = 0 0 = 0 0 = Onde: δs,q: dstrbução Delta de Drac. Na equação 5.7, o índce adconal representa o prmero problema fundamental e, portanto, a dreção do carregamento concentrado. No segundo problema fundamental, a força concentrada e untára atua na dreção, o que resulta: σ σ σ,,, 0 = 0 δ s, q = 0 0 = 0 5.8

46 4 E de forma análoga, tem-se para o tercero problema fundamental: σ σ σ,,, 0 = 0 0 = 0 δ s, q = E de manera geral, tem-se: σ, b = Onde: b = δ δ s, q 5. endo δ o delta de Kronecer. O conunto de soluções dos problemas denomna-se solução fundamental do problema elastostátco u. ubsttundo-se os estados u e de seu carregamento correspondente b na expressão 5.5 e trocando-se devdamente o índce por, tem-se a equação ntegral de contorno para deslocamento. = Γ Γ u s p u s, d u p s, d b q u s, q dω 5. Γ Γ Ω Esta equação é chamada de Identdade omglana que determna valores de deslocamentos para pontos nternos através de deslocamentos e forças de superfíce do contorno, u e p respectvamente. Com a representação ntegral para deslocamentos em pontos nternos, poderse-á determnar a representação ntegral para tensões nos pontos nternos. Basta para sso aplcar a relação cnemátca.9 sobre a equação 5., lembrando que a dferencação será feta com relação à posção do ponto fonte s, e após sso, utlzar a le de Hooe.0. Obtendo-se assm a segunte expressão: σ s = D s, p dγ s, u dγ D s, q b q dω 5. Γ Γ Ω OMIGLIANA, C opra l equlbro d um corpo elástco sótropo. Il Nuovo Cmento. er., v. 7-0.

47 5 Onde: D e são tensores dervados dos tensores de deslocamentos e forças de superfíce do problema fundamental, e suas componentes para a solução fundamental de Kelvn são: D s, { ν [ δ r, δ r, r, ] r, r, r, } = δ 8π ν r 5.4 G s, = 4π ν r r n [ ν δ r, ν δ r, δ r, 5 r, r, r, ] ν n n δ r, n δ r, n r, r, 4ν n δ ν n r, r, Equação ntegral para pontos do contorno A Identdade omglana é válda apenas para pontos nternos; como para determnar os valores de deslocamentos de pontos do domíno é necessáro que se conheçam os valores de deslocamentos e forças de superfíce de todos os pontos do contorno, então é precso determnar os valores ncógntos de deslocamentos e forças de superfíce de todos os pontos do contorno. Para sso é necessáro escrever a equação ntegral de contorno para pontos do contorno, utlzando-se um artfíco que consste em transformar, ncalmente, o ponto de contorno em um ponto de domíno, sobre o qual pode-se aplcar a Identdade omglana. Esta técnca consste em acrescentar o contorno de uma superfíce esférca de domíno Ω ε, com centro no ponto fonte de contorno e de rao ε, conforme mostrado na fgura 5.. Dessa forma, o ponto do contorno transforma-se, transtoramente, em um ponto do domíno, estabelecendo-se para ele a Identdade omglana com o domíno e contorno acrescdos da parte esférca. Feto sso, determna-se o lmte das parcelas acrescdas anterormente para ε 0, resultando assm a Identdade omglana para pontos do contorno.

48 6 A Contorno Γ ε n r=ε s d Ω ε Γ A' a Γ Γ Contorno Γ ε n r=ε Γ ponto do contorno b Fgura 5. - a Contorno expanddo no ponto ; b Corte AA Com o acréscmo do contorno, a Identdade omglana fca da segunte forma: = Γ Γ u p u, d u p, d b q u, q dω 5.6 Γ ΓΓε Γ ΓΓε Ω Ωε Onde: Γ ε : contorno da superfíce esférca acrescda Γ : parte do contorno que fo expandda Ω ε : domíno da parte esférca acrescda

49 7 Desmembrando-se as partes das ntegras que contêm os acréscmos de contorno e domíno, Γ ε e Ω ε, respectvamente, tem-se: Ω Γ Γ Γ Γ = ε ε ε ΩΩ Γ Γ Γ Γ Γ Γ d q u q b d p u d p u d u p d u p u,,,,, 5.7 Para que o ponto pertença ao contorno Γ novamente é necessáro fazer o lmte de ε 0, assm Ω ε, Γ ε e Γ tenderão a zero também. É precso agora analsar as seguntes ntegras quando se faz o lmte ε 0: Ω Γ Γ Γ Γ = ε ε ε ΩΩ ε Γ ε Γ Γ ε Γ ε Γ Γ ε d q u q b d p u d p u d u p d u p u, lm, lm, lm, lm, lm A solução fundamental de Kelvn em termos de deslocamentos possu sngulardade /r, como o contorno acrescentado é esférco, gerará um termo r a área de uma esfera é 4πr, portanto as ntegras que contém deslocamentos fundamentas como núcleo podem ser avaladas dretamente. Analsando a prmera ntegral do lado dreto da gualdade 5.8, tem-se: Γ Γ = Γ Γ Γ ε d u p d u p,, lm A segunda ntegral do lado dreto da gualdade 5.8: 0, lm 0 = Γ Γ ε ε d u p 5.0 O mesmo caso acontece para a qunta ntegral do lado dreto da gualdade 5.8, pos quando ε 0, Ω ε também tende a zero e como a ntegral não possu sngulardade, pode ser avalada dretamente: Ω Ω = Ω ΩΩ ε ε d q u q b d q u q b,, lm 0 5.

50 8 A solução fundamental de Kelvn em termos de forças de superfíce possu sngulardade /r, e como o contorno gerará um termo r, as ntegras contendo forças de superfíce fundamentas não podem ser avaladas dretamente, ou sea, terão que ser avaladas em termos de valor prncpal de Cauchy. Analsando a tercera ntegral, tem-se que: lm ε 0 u p, dγ = u p, dγ 5. Γ Γ Γ Onde ndca que a ntegral está sendo avalada em termos de valor prncpal de Cauchy. Fnalmente analsando a quarta ntegral: lm ε 0 Γε u p, dγ = lm u ε 0 Γε [ u u lm ε 0 Γε ] p p, dγ, dγ 5. O prmero termo do lado dreto da gualdade 5. é nulo, pos o campo de deslocamentos obedece à condção de Hölder: [u u ] A.r, α 5.4 Onde: u e u : são os deslocamentos nos pontos e, respectvamente r,: dstânca entre os pontos e A e α: constantes postvas, sendo 0 α O segundo termo do lado dreto da gualdade 5. rá gerar um termo lvre, e caso o contorno sea suave, ou sea, o contorno possua uma únca tangente no ponto, tem-se o segunte valor: u lmε 0 p, dγ = δ u 5.5 Γ ε O valor da ntegral 5.5 pode ser verfcado com detalhes em Brebba & Domnguez 99.

51 9 Dessa forma a equação ntegral para pontos no contorno tem o segunte aspecto:,,, q d q u q b d u p d p u u c Ω Γ = Γ Ω Γ Γ 5.6 Onde:,,, = δ = c 5.7 Para pontos externos ao domíno pode-se obter uma expressão semelhante à 5.6, mas com o coefcente c gual a zero. Assm a expressão 5.6 torna-se uma expressão geral cuo coefcente c possu os seguntes valores: externos pontos p/ suave contorno do pontos p/ nternos pontos p/ 0 = δ = = δ c c c 5.8 O Método dos Elementos de Contorno tem orgem com a avalação numérca da expressão 5.6. Esta formulação é denomnada de formulação dreta, pos a equação 5.6 expressa deslocamentos e forças de superfíce de pontos do contorno do sóldo, e tas varáves possuem sgnfcado físco medato Equação ntegral para a solução hper-sngular A equação 5.6 é válda no caso da solução fundamental de Kelvn; para utlzar a solução hper-sngular é necessáro dervá-la em relação a uma dreção qualquer genercamente chamada de.,,, ] [ q d q s u q b s x d s u p s x d s p u s x s x s u s c Ω Γ = Γ Ω Γ Γ 5.9