Análise Variacional de Segunda Ordem Não-Linear em Pilares de Concreto Armado com Uso de Relação Momento-Curvatura Analiticamente Ajustada

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1 Análse Varaconal de Segunda Ordem Não-Lnear em Plares de Concreto Armado com Uso de Relação Momento-Curvatura Analtcamente Ajustada Felpe Mranda da Slva Resumo Nesse trabalho, estudaremos os efetos de não lneardades físcas e geométrcas em um plar de estudo, em flexão composta reta, consderando uma análse varaconal smplfcada para se obter o campo de deslocamentos e esforços nternos no mesmo. Nestas estruturas, os efetos de segunda ordem devem ser sempre analsados, uma vez que estão sujetas a estados de flexocompressão e surgem, desta confguração, esforços adconas de flexão ntroduzdos pelas cargas compressvas. Sendo o materal concreto armado, esta análse se torna anda mas complexa pos engloba também a consderação das não lneardades físcas do materal. Incalmente, apresentamos os fundamentos teórcos para as análses aqu desenvolvdas, então dscorreremos sobre o ajuste da re lação momento-curvatura e, por fm, aplcaremos o método dos elementos fntos para obtenção dos campos desejados. Palavras-chave: Efetos de segunda ordem, Análse Varaconal, Plares de Concreto Armado, Relação Momento-Curvatura, Elastcdade Não-Lnear. Introdução O estudo de plares é uma das verfcações essencas quando do dmensonamento de mutas estruturas de concreto armado. Em múltplas obras da engenhara cvl, como edfícos e pontes, a consderação destes elementos estruturas é uma peça chave para se garantr o bom funconamento da estrutura como um todo. Sendo responsáves pela transmssão de cargas vertcas, os plares estão geralmente sujetos à condção de flexo-compressão, portanto surge a necessdade da consderação de efetos de segunda ordem e de análse de establdade do plar como um todo. Neste artgo, a consderação dos efetos de segunda ordem será realzada no âmbto da flexo-compressão reta de plares retangulares, e compreenderá as não lneardades geométrca e físca envolvdas. Para a prmera, deveremos consderar que o plar efetuará deslocamentos fntos, e nos posconar, portanto, no âmbto da teora da elastcdade fnta. Já para a segunda, é notóro que o concreto armado é um materal com relação tensão-deformação não-lnear, de modo que uma consderação mas precsa das deformações às quas o mesmo estará sujeto quando das solctações externas será realzada em se obtendo sua relação mo mento-curvatura, a qual será, então, ajustada va método dos mínmos quadrados. O modelo teórco que será desenvolvdo para abarcar ambas tas não lneardades será orundo do cálculo varaconal, sto é, resolveremos os plares no que dz respeto a seu campo de deslocamento através do funconal da energa potencal total do mesmo, consderando que o plar é feto de materal elástco não-lnear equvalente e que a forma energétca clássca do funconal seja preservada. Assm, não se leva em conta a energa de deformação dsspada na fssuração da seção, nem os efetos térmcos assocados, já que o modelo teórco equvalente realza o equlíbro da seção tal como se a seção fssurada não contrbuísse ao mesmo, tornando-o menos rígdo. Alguns outros resultados mportantes serão gualmente dervados, bem como serão expostas as mplcações daqueles. Então, apresentaremos os resultados de análse para um caso de plar va método dos elementos fntos, os quas serão obtdos através de um progra ma desenvolvdo em ambente Matlab, com fnaldade de apoar os cálculos desenvolvdos na monografa que deu orgem a este trabalho. B.Sc. Engenhero Cvl / EP-UFRJ , fmranda@ufrj.br

2 Felpe Mranda da Slva Fundamentos teórcos Incalmente, consdera-se a não lnearda de geométrca obtendo-se o tensor de deformações de Green, que consdera em s deformações de segunda or dem, não capturadas pela teora da elastcdade nfntes mal usual por meo do tensor de deformações de Cauchy (ALVES, 987). Consdera-se, no âmbto da teora de vgas, o vetor de deslocamentos meddo a partr da confguração ndeformada de cada plar como sendo d (x), cujas componentes são: d = u ( x,y ) (.) d = v ( x,y ) (.) d 3 = w = 0 (.3) cauchy j d, j d j, (.5) Para análse de colunas, este tensor pode se smplfcar para a segunte forma (VENÂNCIO, 975) (.6) xx x, y u, x y. v, xx v, x Em se supondo que o materal sga a le de Hooke generalzada, conforme: A. (.7) j jkl kl Será possível se calcular a energa de deformação nterna do sstema, que nesta abordagem de mas alta ordem envolverá termos adconas aos clásscos. Esse cálculo conduz ao resultado segunte, combnando.6 e.7: j. j E. xx U dv dv V V E. u v y. v V, x, x, xx dv (.8) Fgura Modelo de análse genérco. A qual, quando smplfcada, e se se desprezando a contrbução dos termos de ordem mas alta (ALVES, 995), leva a: L L U EJ. v, xxdx EA. u, xdx L, x, x EA. u. v dx (.9) Fgura Detalhe do sstema de exos na seção. Pode-se expressar o tensor das deformações de Green como sendo dado por: d d d. d (.4) j, j j, k, k, j cauchy a ordem j j Para estudo desse modelo va método dos elementos fntos, generalzamos o modelo estrutura para um sstema plano retculado genérco dscretzado em elementos fntos de vga, com nós tendo três graus de lberdade: um deslocamento no exo x, no exo y, e uma rotação em torno do exo z. Para efeto de smulação computaconal das condções de apoo, a esses nós são assocadas molas com rgdez dada segundo os três graus de lberdade, que, quando deformadas, armazenam energa potencal elás tca. Isto aumentará o funconal da energa potencal total, conforme se verá na expressão Engenhara Sendo o tensor de deformações de Cauchy expresso segundo: Estudo e Pesqusa. ABPE, v. 8 - n. - p jan./jun. 08

3 Análse Varaconal de Segunda Ordem Não-Lnear em Plares de Concreto Armado com Uso de Relação Momento-Curvatura Analtcamente Ajustada Fgura 3 Modelo de análse para uso do MEF. Adconando-se a contrbução das molas à energa de deformação, escrevemos: L L U Ù EJ. v, xxdx EA. u, x dx L, x, x EA. u. v dx j j j x j u j v j v, kx ky k j j j M j v, x Fy j v Fx j u sendo M j momento nodal externo aplcado ao nó j. (.0 Fx j força nodal externa aplcado ao nó j segundo a dreção x. Fy j força nodal externa aplcado ao nó j segundo a dreção y. j k x rgdez da j-ésma mola no nó j segundo a dreção x. j k y rgdez da j-ésma mola no nó j segundo a dreção y. j k rgdez flexonal da j-ésma mola no nó j segundo a dreção z. Ω trabalho das forças externas. Engenhara Estudo e Pesqusa. ABPE,. 8 - n. - p jan./jun. 08 O prncípo varaconal assocado a este funconal estabelece que, para que o sstema represente uma confguração de equlíbro realzável, a prmera varação da energa potencal total deve ser nula, sto é (ALVES, 995): δπ = 0 (.) Um coroláro de., gualmente notável, são as equações de equlíbro, resultado da aplcação das equações de Euller-Lagrange ao funconal (BUTKOV, 973), se escreve: EJ v EA u v... 0 (.), xx, xx, x, x, x v, x EA. u, x 0, x (.3) Observa-se, anda, que, para.3, na condção de rotações moderadas, é válda a smplfcação v, x, o que permte desacoplar as equações de equlíbro. e.3 e re-exprmr o funconal da energa potencal total gualmente desacoplado, no que dz respeto aos termos de deslocamento axal e transversal. Assm, sendo N a força normal compress va no plar: EA. u, x N (.4) Com a consderação.4, é possível desaco plar o comportamento flexonal (assocado aos 7

4 Felpe Mranda da Slva deslocamentos transversas e rotações) e de membrana (assocado aos deslocamentos axas). Assm, do ponto de vsta flexonal, um funconal de estudo equvalente se apresenta no segunte: L L U Ù EJ v, xx dx N v, x dx 0 0 sendo n o número de nós, que permte defnr o campo de deslocamentos do plar. Assm, devem ser verfcadas as seguntes relações: 0 v (.7) j v j j v j, x k y k (.5) 0 v, x (.8) j j M j v, x Fy j v Aproxmando-se v x nos elementos com as clásscas funções de Hermte, as quas geram um campo de deslocamentos aproxmados v x o qual é função dos deslocamentos nodas generalzados v e v, x pode-se escrever o funconal completo de forma aproxmada como: n j l j EJ v x dx ' j 0 ', xx O que estabelece as seguntes relações de equlíbro, em cada nó: 6 EJ v v 3, x l l v EJ EJ 3 v 3, x l l 6 6 EJ EJ EJ l l n l j 0, x j j N v x ' dx ' j x j v j j v, ky k (.6) 6 v v 3, x l l 6 N v v, x 5 l 0 (.9) j j M j v, x Fy j v onde EJ j é a rgdez flexonal de referênca no elemento j, tomada como a rgdez num extremo do elemento fnto; N j é o esforço normal de referênca no elemento j, tomado como a força normal num extremo do elemento fnto. n número de nós. x coordenada de posção em cada elemento fnto. l j comprmento do j-ésmo elemento fnto. v N 6 6, x 5 N l 5 l v N N N v v, x ky 5 l 0 Fy 0, 0n A mnmzação do funconal, como em., agora se assmla a uma mnmzação dreta daquele em função dos deslocamentos nodas, sendo esse o método de Raylegh-Rtz (BUTKOV, 973). Isso conduz a um sstema de equações não-lnear de tamanho n x n, 8 Engenhara Estudo e Pesqusa. ABPE, v. 8 - n. - p jan./jun. 08

5 Análse Varaconal de Segunda Ordem Não-Lnear em Plares de Concreto Armado com Uso de Relação Momento-Curvatura Analtcamente Ajustada 6 EJ v v, x l l 6 6 v EJ EJ v, x l l EJ 4 EJ 4 EJ l l 6 v v, x l l l N v v, x 0 30 v N N v, x 0 0 l l N N N 5 5 (.0) forças e momentos nodas dretamente aplcados aos nós, expresso por F ext. Então, para resolução do problema, as equações de equlíbro determnadas com a mnmzação do funconal da energa potencal total aproxmado permtram a construção do segunte sstema de equações: ext K j d j Kg j Kmol j d j F 0 (.) Onde as matrzes, em sstema ao menos sostátco, são tas que exste nversa para a matrz que re sulta da soma Kj Kgj Kmolj e d j é o vetor de deslocamentos nodas, cujas entradas ímpares são os deslocamentos vertcas dos nós e as entradas pares as suas rotações. A solução do sstema, no caso lnear elástco homogêneo, pode ser obtda então da segunte forma: ext d K K Kmol F (.) j gj j j Entretanto, a não-lneardade físca do materal será levada em consderação, de modo que o sstema deverá ser resolvdo de forma teratva, tratando a equação de equlíbro como uma relação de recorrênca tal que, em uma dada teração m: l v v, x k 0 30 M 0, 0n Juntas essas equações e as condções de contorno defnem um sstema não-lnear a ser determnado teratvamente. Nelas os termos assocados a EJ dão orgem à matrz de rgdez convenconal do sstema, expressa por K, os termos assocados a força normal dão orgem à matrz de rgdez geométrca do sstema, expressa por Kg, e os termos k e k geram uma matrz dagonal de rgdezes de mola, expressa por K mol, que, adconadas às matrzes de rgdez convenconal e geométrca, permte determnar o equlíbro do sstema, pos reflete as reações de apoo. Se o sstema for hpostátco, sto é, ter menos vínculos que os necessáros para estabelec mento do equlíbro, a matrz de rgdez das molas será tal que a obtenção das reações de apoo e des lo camentos não será possível. Essa formulação tem a vantagem de dspensar, na programação do método, o pvoteamento das matrzes de rgdez para explctar os deslocamentos não prescrtos que se deseja obter. Fnalmente, os termos Fy e M determnam o vetor de Engenhara Estudo e Pesqusa. ABPE,. 8 - n. - p jan./jun. 08 y m m d K d j ext gj j j K Kmol F (.3) A convergênca dos resultados será avalada por meo da convergênca do máxmo deslocamento vertcal em módulo obtdo em cada teração, sendo que, para uma dada tolerânca, há convergênca quando se verfca: max m m d d tolerânca (.4) As solctações podem ser de fndas com au xílo da matrz de rgdez própra da estrutura (VENÂNCIO, 975), de modo que, sendo S o vetor de solctações nternas em cada nó, deve-se verfcar: j gj j S K d K d (.5) Os deslocamentos de prmera ordem podem ser estmados, sabendo-se o campo de deslocamentos do 9

6 Felpe Mranda da Slva sstema d j, em se resolvendo o sstema, mas uma vez, mas consderando-se o esforço normal como sendo nulo. Assm, pode-se escrever que: a ordem ext j j j j j d K d Kmol F (.6) Com os deslocamentos de prmera ordem anterormente calculados, é possível determnar as reações de prmera ordem segundo: a ordem a ordem R Kmol d (.7) j j Com os deslocamentos de prmera ordem anteror mente calculados, é possível determnar as solctações solctantes nodas de prmera ordem segundo: a ordem a ordem j j gj j S K d K d (.8) c A c h c F cdydz b y dy b h/ h X c y dy (3.) Assm como a força atuante na -ésma armadura de aço: F ( y ) A (3.) s y s Sendo ( y ) a deformação específca na ar madura consderada Admtndo-se um campo de deformações que atende à hpótese de Naver-Bernoull da teora de vgas clássca, sto é, que tenha uma dstrbução lnear na seção, tem-se a segunte mudança de varáves: 3 Obtenção da relação M-k O funconal da energa potencal total, conforme apresentado em.5, é consttuído de termos que dependem da rgdez flexonal da seção do plar. Assm, a obtenção da relação momento-curvatura (M-k) na seção permtrá defnr esta rgdez necessára para se obter os campos de esforços e deslocamentos do plar, de modo que se possa capturar, por meo dessa relação, o comportamento não-lnear do concreto armado. Para obtenção da relação M-k, devemos resolver as equações de equlíbro estátco em cada seção. Assm, duas equações de equlíbro podem ser escrtas: uma em forças na dreção do exo local x e outra em momentos, em torno do exo local z (como dsposto na Fgura ). Dessa forma, admtndo-se como ncógntas a posção da lnha neutra a partr da face superor da seção e a curvatura da seção e sendo: M momento fletor na seção P força normal de compressão na seção A s área da -ésma armadura da seção y posção da -ésma armadura da seção X posção da lnha neutra a partr do topo da seção b largura da seção h altura da seção A força de compressão no concreto é defnda segundo a segunte ntegral dupla na regão comprmda: x onde k v h k y X,xx. Seja: (3.3) d x dy (3.4) k Isso equvale a desconsderar a contrbução quadrátca de segunda ordem que aparece na expressão de x, assm como dado na equação.3, dado que essa consdera o quadrado de rotações, que já são pequenas nos casos de estudo prátcos. Tem-se então que: k kx c x d x Fc b (3.5) 0 k e o momento produzdo por F c, em módulo, dado por: h M c b X k kx x c x x 0 (3.6) k k que permtem escrever as equações de equlí bro seguntes Equlíbro de forças:,, P F k X F k X (3.7) c s d 0 Engenhara Estudo e Pesqusa. ABPE, v. 8 - n. - p jan./jun. 08

7 Análse Varaconal de Segunda Ordem Não-Lnear em Plares de Concreto Armado com Uso de Relação Momento-Curvatura Analtcamente Ajustada Equlíbro de momentos: M M ( k, X F k, X (3.8) c s A resolução das equações de equlíbro fo mplementada em rotna Matlab auxlar, por meo do método de Newton-Raphson, conforme dsposto em ANTIA (004), de modo que, para determnadas posções de lnha neutra, calculou-se k que satsfzesse a equação 3.7, e, de posse desse valor, se pode determnar, com a equação 3.8, o momento equlbrante da seção. Assm, fo possível construr curvas de com porta mento M-k. As relações de tensão-deformação específca do aço e do concreto foram defndas conforme as curvas dspos tas na NBR 68:04 no tem 8. Cabe ressaltar que foram segudas também as recomendações dspostas no tem 5.3, a respeto da construção do dagrama em s. 4 Ajuste da relação M-k Quando da busca de curvas de ajuste para as relações M-k que resultaram das análses das equações de equlíbro, observou-se que a logartmzação dos dados de entrada, sto é, momentos e curvaturas, gerava curvas que obedecama um comportamento apro xmadamente lnear, em alguns trechos, separados por nflexões. Observou-se, anda, que, para váras seções analsadas, os pontos de nflexão do dagrama estavam assocados à plastfcação de elementos consttuntes da seção (fexes de armadura e concreto) conforme se verfcava o ncremento da carga. Há, portanto, tantos pontos possíves de nflexão quanto forem os elementos plastfcáves da seção. Havendo, assm, N nflexões, haverá N + trechos a analsar. Para defnção da curva de ajuste em cada trecho, logartmzou-se o dagrama e, no espaço log, realzou-se um ajuste lnear em cada trecho, segundo a expressão. ln ln Engenhara Estudo e Pesqusa. ABPE,. 8 - n. - p jan./jun. 08 M k a k b (4.) Equvalentemente, pode-se expressar essa re lação, anda, no espaço orgnal M x k exponencando ambos os lados da equação acma, de forma a obter: a M k b k (4.) b Sendo b e e a a. Ademas, usando que: Obtêm-se M k EJ v EJ k (4.3), xx a a EJ k b k b v, xx (4.4) Essa expressão assmla uma relação tensão-deformação específca elástca, mas não lnear. Assm, substtundo-se a relação 5.6 em.9 e aplcando-se a esta a equação de Lagrange, em uma dada regão do plar com parâmetros consttutvos a e b: b a a a, xx, xxx, x v v P v C (4.5) Sendo C uma constante real. A dervação da equação 5.8 aporta, anda, a relação segunte: a3 a, x, xx a k k k k P b a a 0 (4.6) A resolução dessa equação dferencal permte obter o campo de deslocamentos no plar de forma exata, consderando a relação momento-curvatura apro xmada conforme o dsposto neste trabalho. Dada a sgnfcânca dessa equação para o fenômeno de estudo, bem como seu alto grau de complexdade e não-lneardade, o estudo matemátco futuro dessa equa ção pode se tornar um facltador do entendmento do comportamento de plares de concreto armado. No caso elástco lnear clássco, os parâmetros a e b são tas que a =, EJ = b são constantes no plar, e a equação se reduza à sua forma clássca, que pode ser encontrada em TIMOSHENKO (985): EJ k P k (4.7), xx 0 5 Plar de Estudo Consderar-se-á, para as análses aqu realzadas, um plar de estudo com comprmento L = 7,0 m, cuja seção é esquematzada na Fgura 3. Esse está sujeto a um momento de prmera ordem de M sd, = 30 knm em torno do exo z, força de compressão de cálculo de N sd = 00 kn e tem armadura de 8 ϕ 5 mm. Como λ > 35 é necessára a verfcação das solctações de segunda ordem no mesmo. Fo consderada

8 Felpe Mranda da Slva também a fluênca do concreto, adotando-se um coefcente de φ =. Tabela Propredades do plar de estudo. fck 35 MPa fcd 5000 kpa fyd kpa Nsd 00 kn Msd,z 30 knm b 0,45 m h 0,3 m L 7 m d 0,03 m λz 80,89 λy 53,886 λ 35 Fgura 5 Relação M-k no espaço logartmzado. Assm, procedendo-se ao ajuste da relação momento-curvatura, para a seção consderada, obteve-se: Fgura 3 Esquematzação da seção do plar. 6 Resultados do estudo da relação M-k Fgura 6 Relações M-k orgnal e ajustada. Cujos parâmetros de ajuste são: Tabela Parâmetros de ajuste para relação M-k do plar. Aqu apresentaremos os resultados da análse da relação momento curvatura da seção, conforme dsposto no tem 3, e os resultados relatvos ao ajuste da relação momento curvatura, assm como dsposto no tem 4 deste artgo. Essa curva fo obtda com os valores de, fcd e P/, atuante na seção. Trecho a b 0,85 474,00 0,60 597, ,66 465,867 Trecho termna com a plastfcação da armadura a y = 0 cm. Trecho termna com a plastfcação da armadura a y = - 0 cm Trecho termna com a plastfcação da fbra superor do concreto 4 0,47 439,08 Trecho termna com dvergênca da resposta do programa Engenhara Fgura 4 Relação momento-curvatura do plar. Estudo e Pesqusa. ABPE, v. 8 - n. - p jan./jun. 08

9 Análse Varaconal de Segunda Ordem Não-Lnear em Plares de Concreto Armado com Uso de Relação Momento-Curvatura Analtcamente Ajustada Verfca-se, prontamente, que a rgdez da seção, assocada ao parâmetro b, reduz com o aumento do número de elementos plastfcados. A evolução das deformações em cada elemento da seção com o número de terações do programa é apresentada no gráfco segunte, com a formação dos trechos sendo ndcada pelas lnhas em vermelho. Fgura 8 Campo de deslocamentos transversas. Fgura 7 Evolução das deformações na seção com o número de terações. 7 Esforços e Deslocamentos: Resultados Os seguntes resultados foram obtdo com o programa desenvolvdo em Matlab. Consderamos que o plar é b-apoado, e sujeto aos esforços solctantes tas quas descrtos na Tabela 3, em flexão pura. Fgura 9 Dagrama de momentos fletores. Tabela 3 Esforços solctantes de cálculo no plar. Esforços solctantes Nsd 00,000 kn Msd,0 30,000 kn Msd 30,000 kn Os valores máxmos das Fgura 8 e Fgura 0 são apresentados na Tabela 4. Podemos já constatar, no entanto, que o momento fletor máxmo fo mas que dobrado em relação ao momento de prmera ordem, bem como os deslocamentos. Além dsso, a flecha máxma é da ordem de 0,60% da altura total da coluna. Fgura 0 Dagrama esforços cortantes. Engenhara Estudo e Pesqusa. ABPE,. 8 - n. - p jan./jun. 08 3

10 Felpe Mranda da Slva 8 Conclusões A segur tem-se as conclusões que puderam ser obtdas por meo desse trabalho. A obtenção da relação M-k com resolução de uma equação de equlíbro ao nvés de duas (3.7 e 3.8) dretamente potencalza bastante os cálculos, com tempo de análse da máquna nferor a s. Desta forma, também são ncorporados os efetos da dstrbução de armaduras na seção na resposta fnal da rgdez da seção, o que não é, a pror, destrnchado pelos métodos das curvatura e rgdez aproxmadas, mas smplfcados. O ajuste da relação M-k defndo conforme 4. revelou excelentes aproxmações desta em cada um dos trechos manfestados no dagrama, assocados à plastfcação dos elementos da seção, conforme se pode ver na Fgura 6. Essa forma de se entender a relação momento-curvatura na flexão smples reta, pode proporconar novas formas de se formular esse tpo de problemas em plares e, eventualmente, outras estruturas de concreto armado que demandem verfcações de ordem mas alta. O ponto alto dessa observação é a equação de equlíbro exata dervada com essa relação em 4.6, altamente não-lnear mas que, porém, pode se tornar um objeto de pesqusa mas aprofundado dada a sua sgnfcânca. A abordagem de elementos fntos com auxílo da nserção de molas no plar permte a smplfcação da resolução do sstema, que dspensa o pvoteamento das matrzes de rgdez e vetores de força, e anda permte consderar análses de segunda ordem com a presença de molas em pontos nternos do plar. Deste modo, o programa desenvolvdo para a análse desses efetos se torna mas robusto e de maor alcance, no sentdo de que pode ser usado para se modelar outros elementos estruturas como estacas de fundação ou vgas em concreto armado. Apresenta-se, também, os resultados para o valor do momento total solctante segundo o método do plar-padrão com curvatura aproxmada e com rg dez aproxmada, respectvamente. A NBR 68:04 no tem defne esses métodos aproxmados de avalação dos efetos de segunda ordem em plares de concreto armado. As análses em elementos fntos conduzram a resultados menos conservatvos para o campo de deslocamentos e momentos fletores no plar, vde a Tabela 5, que os da norma. Vale ressaltar que se consderou a fluênca do concreto nestas análses, o que não é levado em consderação pelos métodos da norma aqu usados. Tabela 5 Quadro-resumo com dscrepâncas relatvas médas. Dscrepâncas relatvas médas Método Deslocamentos Momentos MEF e CA 65, 44,3 MEF e RA 37,4 3,6 CA e RA 9,5,3 Fnalmente, observamos que o uso de métodos varaconas para análse de problemas físcos pode se mostrar extremamente útl em suas análses, às vezes mpossível de ser realzada de forma dreta. Além dsso, ele proporcona outros resultados que não são trvas de serem obtdas dretamente nestes problemas (como as equações de equlíbro mesmas), os quas podem ser usados, eventualmente, para renterpretação daqueles para se consegur novas formas de soluconá-los. Como recomendação para trabalhos futuros, sugere-se algumas nvestgações: nvestgação matemátca das propredades da equação 4.6; nvestgar formas de ajuste mas refnadas para a relação M-k, dado que ajustes polnomas no espaço logartmzado se mostraram promssores; formulação varaconal do campo de deslocamentos com auxílo de funções de aproxmação no contínuo; análse de establdade no plar a partr das propredades da Equação 4.6; consderação de outras normas estrangeras no desenvolvmento do programa em Matlab ; Tabela 4 Quadro-resumo dos resultados. 4 Engenhara Método de análse Deslocamento máxmo em mm Momento fletor máxmo em knm Programa va Elementos Fntos (MEF) 4, 76,340 Plar padrão com curvatura aproxmada (CA) 8,7 9,833 Plar padrão com rgdez aproxmada (RA) 6,5 96,756 Estudo e Pesqusa. ABPE, v. 8 - n. - p jan./jun. 08

11 Análse Varaconal de Segunda Ordem Não-Lnear em Plares de Concreto Armado com Uso de Relação Momento-Curvatura Analtcamente Ajustada construção de uma nterface gráfca amgável para rotna desenvolvda em ambente Matlab. extensão da formulação varaconal ncorporando as não lneardades para a flexão composta oblíqua. 9 Referêncas Bblográfcas ABNT, NBR 68:04 Projeto de estruturas de concreto Procedmento, Ro de Janero, 04. ALVES, R. V., 995, Instabldade Não-Lnear Elástca em estruturas retculadas espacas. Tese de D.Sc., COPPE/UFRJ, Ro de Janero, RJ, Brasl. ALVES, R. V., 06, Notas de Aula do Curso de Métodos Aproxmados. Ro de Janero. ANTIA, H. M., 995, Numercal Methods for Scentsts and Engneers. Delh, Tata McGraw-Hll. BUTKOV, E., 973, Mathematcal Physcs. New York, Addson-Wesley. MATHWORKS, 06, MATLAB. ODGEN, R. W., 997, Non-Lnear Elastc Deformatons. New York, Dover Publcatons. SANTOS, S. H. C, 06, Apostla de Concreto Arma do III. Ro de Janero. TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. M, 985, Theory of Elastc Stablty. ª ed. London, McGraw-Hll. VENÂNCIO, F. V., 975, Análse Matrcal de Estruturas. Ro de Janero, GB, Almeda Neves Edtores. WASHIZU, K., 975, Varatonal Methods n Elastcty and Plastcty. ª ed. Oxford, Pergamom Press. Engenhara Estudo e Pesqusa. ABPE,. 8 - n. - p jan./jun. 08 5