INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Número: Fundamenos de Telecomunicações 22/3 EXAME Janeiro 25, 23 Duração: 2 minuos Nome: Preende conabilizar as noas dos eses? sim não Assinaura A resolução do exame é feia no enunciado que acaba de lhe ser disribuído. Não se esqueça de preencher odos os cabeçalhos com a sua idenificação. Idenifique com o seu número e no local apropriado odas as folhas de resposa ao exame. Leia com aenção os enunciados de odos os problemas. Sendo necessário desenhar gráficos, não se esqueça de os legendar compleamene. Jusifique as suas resposas. Noe que quem corrige em de ficar convencido de que quem responde sabe, de faco, o que esá a fazer. I-. PARTE I - valores Bom rabalho! Considere o sinal de AM x AM () = A c [+2 cos(2πf m )] cos(2πf c ), onde a frequência da poradora f c >> f m. a) Represene graficamene o sinal x AM () e o respecivo especro. b) Em que insanes de empo, ocorrem inversões de fase? c) Quano vale a poência do sinal x AM (). d) Represene graficamene a resposa de um deecor de envolvene ideal ao sinal x AM (). I-2. Considere o sinal periódico x() e o sisema de modulação da figura. Assuma que T=2 ms, f c = MHz e f =75 KHz. x() T 2T 3T 4T 5T T x() d x () Modulador de x c () d frequência de banda larga A c, f c, f a) Represene graficamene os sinais x () e x c (). b) Quano valem a poência e a largura de banda de x c ()? c) Explique porque pode usar a aproximação quase-esacionária. d) Nese caso, represene graficamene o especro de poência aproximado de x c (). I-3. Um sisema PCM binário usa um quanizador uniforme com 256 níveis de quanização. A axa de ransmissão dese sisema é 56 3 bps. Deermine o valor máximo da largura de banda dos sinais fone para os quais o sisema opera adequadamene.
I-4. Considere os sinais s () e s 2 (), definidos em 3T, e represenados na figura. s () s 2 () T 2T 3T - 3T - T/2 3T/2 5T/2 a) Deermine uma base oronormada que gera o espaço de sinal de dimensão mínima ao qual perencem s () e s 2 (). b) Suponha um sisema de ransmissão digial ernário que usa os sinais m (), m 2 () e m 3 () para sinalização. m () m 2 () m 3 () 6 2 3 2 3 T 2T 3T - 6-2 3 T 2T T/2 3T/2 5T/2 Represene eses sinais no espaço de sinal gerado pela base deerminada na alínea anerior. c) Supondo que os símbolos ernários são equiprováveis e que o ruído de canal é branco e gaussiano, deermine as regiões de decisão ópima do recepor de máxima verosimilhança. 3T -2 3 T 2T T/2 3T/2 5T/2 3T 2
Fundamenos de Telecomunicações 22/3 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO EXAME Janeiro 25, 23 Duração: 2 minuos Número: Nome: PARTE II - 6 valores Resolva apenas dois (à sua escolha) dos problemas seguines II-. Considere os sinais s () e s 2 () da figura. s () T/2 T - a) Represene graficamene as resposas impulsionais h () e h 2 () dos filros adapados aos sinais s () e s 2 (), respecivamene. b) Considere o filro adapado bidimensional da figura. s 2 () 3T/4 T/4 T - enrada h () h 2 () x () x 2 () Represene graficamene as saídas x () e x 2 () quando a enrada for s () e s 2 (). c) Suponha que o filro bidimensional da alínea anerior é usado como componene do recepor ópimo (mínima probabilidade de erro) de um sisema de ransmissão binária. Admia que os símbolos binários são equiprováveis e que o ruído de canal é branco e gaussiano. Desenhe o diagrama de blocos do recepor, especificando os insanes ópimos de amosragem e a regra de decisão. II-2. Considere uma fone discrea sem memória que gera símbolos m, m 2, m 3 e m 4 com probabilidades /3, /6, /4 e /4, respecivamene. a) Calcule a informação própria dos símbolos m e m 2. b) Calcule a enropia da fone. c) Deermine um código de Huffman que represene a fone. d) Represene a árvore de descodificação dese código. e) Calcule a eficiência do código. log 2 3 =.585 3
II-3. Considere o código de Hamming (7,4) com mariz de verificação de paridade H = a) Deermine a mariz geradora G. b) Quais são os pesos máximos dos padrões de erro que ese código pode corrigir e deecar? c) Diga, sem fazer qualquer cálculo, se a palavra é ou não uma palavra admissível do código? Porquê? d) Calcule o sindroma da palavra. e) Dada a palavra, qual é a palavra fornecida pelo descodificador de máxima verosimilhança como sendo a correcção da anerior? 4
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Número: Fundamenos de Telecomunicações 22/3 EXAME Janeiro 25, 23 Duração: 2 minuos Nome: PARTE III - 4 valores Resolva apenas um (à sua escolha) dos problemas seguines III-. Considere o sinal x b () = A m () cos(2πf ) + A 2 m 2 () cos(2πf 2 ). Os sinais m () e m 2 () são independenes, êm igual largura de banda B e igual poência P. As poradoras êm frequências f = 2B e f 2 = 5B. O sinal x b () modula em frequência uma poradora sinusoidal com ampliude A c e poradora f c = 6B, gerando o sinal x FM () com índice de modulação f = 6B. O canal em perdas de poência L = db e adiciona ruído branco w() com densidade especral de poência η/2. Suponha que o recepor preende reconsruir réplicas dos sinais m () e m 2 () usando a arquiecura represenada na figura seguine. Todos os filros são suposos ideais e êm ganhos uniários. 2 x FM () + w() A FPB d x FM () + n() Desmodulador FM B x b () + n b () FPB d FPB d C 2 cos(2πf ) C 2 2 cos(2πf 2 ) FPB x FPB x D D 2 m^ () m^ 2 () a) Especifique as frequências cenrais e respecivas larguras de banda dos 3 filros passa banda (FPB d ), e as larguras de banda dos 2 filros passa baixo (FPB x ). b) Especifique a ampliude A c da poradora de FM de al modo que a relação sinal ruído no pono A seja SNR A = 2 db. c) Nas condições da alínea anerior, deermine as expressões de SNR B, de SNR C, e de SNR C2. d) Especifique as ampliudes A e A 2 das poradoras de AM de al modo que SNR D = SNR D2. 2 Amia que a saída do desmodulador de FM fornece direcamene o desvio insanâneo de frequência do sinal FM. 5
III-2. Considere o sinal x() = s() + w(), onde s() é um sinal aleaório de média nula e esacionário em senido lao, com auocorrelação R s (τ). w() é ruído branco, independene de s(), com densidade especral de poência G W (f) = η. O filro da figura, com resposa impulsional h() e função de ransferência H(f), é desenhado por forma a minimizar o erro quadráico médio da saída, iso é, ξ = E{ε 2 ()}, onde ε() = y() s(). a) Mosre que x() h() H(f) y() ξ = R s () + h(τ)h(u)r x (u-τ) du dτ - 2 h(τ)r sx (τ) dτ () onde odos os inervalos de inegração são [-,+ ], e R x (τ) e R sx (τ) são a auocorrelação de x() e a correlação cruzada enre s() e x(), respecivamene. b) A minimização de () conduz ao filro ópimo cuja resposa impulsional verifica a equação h op (u)r x (u-τ) du = R sx (τ) (2) A parir de (2), calcule a função de ransferência H op (f) do filro ópimo em função dos especros de poência do sinal s() e do ruído w(), G s (f) e G W (f). c) Assuma que R s (τ) = 2B sinc(2bτ). Usando o resulado da alínea anerior, mosre que o erro quadráico médio mínimo é dado por 3 ξ min = η ( + η) - P s onde P s é a poência de s(). d) Faça y() = s () + n(), onde s () resula da filragem de s() e n() é a componene de ruído. Sejam P e P n as poências dos sinais s () e n(), respecivamene. Deermine a expressão da relação sinal/ruído de saída, SNR = P /P n 3 sinc(2bτ) (2B) - rec(f/(2b)) 6
Sisemas de Transmissão Analógica FORMULÁRIO Especro de poência do sinal FM de banda larga na aproximação quaseesacionária G(f) = P T (2f ) - [f X ((-f-f c )/f )) + f X ((f-f c )/f ))] Idenidades rigonoméricas 2j sinθ = exp(jθ) - exp(-jθ) 2 cosθ = exp(jθ) + exp(-jθ) 2 sinα sinβ = cos(α-β) - cos(α+β) 2 cosα cosβ = cos(α-β) + cos(α+β) 2 sinα cosβ = sin(α-β) + sin(α+β) sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ cos(α ± β) = cosα cosβ sinα sinβ 2 cos 2 θ = +cos(2θ) 2 sin 2 θ = -cos(2θ) 2 sinθ cosθ = sin(2θ) 7