Aálse Não Lear da Vbração de Torres Offshore Mult-Artculadas Gabrel Jug, Elvdo Gavasso Departameto de Costrução Cvl Uversdade Federal do Paraá Curtba, Brasl gabrel.jug@ufpr.br, gavasso@ufpr.br Torres artculadas são estruturas offshore complacetes ecoomcamete atratvas a dústra de óleo e gás, e são geralmete modeladas por barras rígdas udas por jutas uversas. Quado submetdas aos carregametos de alto-mar, essas plataformas podem exbr grades deslocametos, exgdo uma aálse ão lear. Neste trabalho, a técca dos modos ormas ão leares é utlzada para a obteção de modelos de ordem reduzda a fm de estudar a vbração de uma torre trartculada. Uma aálse utlzado dados umércos é realzada, e os modelos obtdos apresetam bos resultados quado comparados à solução umérca do problema. Palavras-chave: Estruturas offshore, vbração ão lear, modos ormas ão leares. I. INTRODUÇÃO Torres artculadas são uma classe de estruturas complacetes muto comumete utlzadas a dústra de óleo e gás, como uma alteratva de projeto atraete a partr de certas profuddades de exploração oceâca, uma vez que são mas leves que plataformas fxas []. Equato estruturas offshore fxas são dmesoadas para resstr às ações do ambete sem deslocametos cosderáves, estruturas complacetes, possudo frequêcas aturas de vbração de baxa magtude, são projetadas para permtr grades deslocametos []. Devdo à atureza dos carregametos aos quas a torre é submetda e as cosderações de projeto, uma aálse dâmca ão lear deve ser efetuada para uma correta abordagem do problema. Além dsso, o grade úmero de graus de lberdade ecessáros para descrever o problema de maera satsfatóra uma aálse paramétrca da estrutura fca lmtada com métodos usuas de dmesoameto, como o Método dos Elemetos Ftos []. Uma alteratva para cotorar estas dfculdades é a utlzação de modelos de ordem reduzda do problema. Os modos ormas ão leares (MNN) são uma ferrameta utlzada para obter de maera precsa modelos de ordem reduzda a aálse ão lear de sstemas osclatóros [4]. Pela captura da essêca ão lear do problema e por mater explctamete a depedêca da dâmca estrutural por parâmetros físcos, podem-se obter modelos aalítcos de ordem reduzda que facltam uma aálse paramétrca. O modelo reduzdo leva a um melhor etedmeto do comportameto ão lear da estrutura. Os MNN surgram como uma extesão da teora lear. No etato, eles ão exbem algumas das característcas fudametas da aálse modal lear como o prcípo da superposção dos efetos e sgulardade de soluções. Neste trabalho, a defção baseada as varedades varates dos MNNs é utlzada para estudar a vbração ão lear forçada de uma torre offshore do tpo trartculada [5]-[6]. As equações de movmeto são obtdas utlzado a equação de Euler-Lagrage. O modelo de ordem reduzda é calmete utlzado para o estudo do comportameto ão lear da torre em vbração lvre. A aálse da vbração lvre é utlzada para gahar etedmeto para a resposta da torre para o caso de vbração forçada sob a ação de uma força harmôca extera. A exctação harmôca dos oscladores de um grau de lberdade obtdos com a aálse pelos MNNs é estudada, mostrado formações mportates acerca da resposta da torre às exctações exteras dâmcas, como a ação de corretes, vetos e odas. II. MODELO ESTRUTURAL O modelo estrutural é baseado em membros rígdos udos por jutas uversas [7]. Forças restauradoras são modeladas como molas rotacoas de rgdez k. As cargas da plataforma e stalações são modeladas como uma massa cocetrada m o topo da torre. Cada membro estrutural do modelo possu comprmeto l, seção trasversal de área A, peso específco de materal e é cosderado um membro rígdo. O modelo resulta em um problema de três graus de lberdade, os âgulos de rotação de cada artculação - θ, como mostrado a Fg.. As equações de movmeto são obtdas pela aplcação de téccas varacoas, resultado em três equações dferecas acopladas em termos das coordeadas geeralzadas θ. As equações de movmeto resultates são trasformadas para a forma de equações de Cauchy, utlzado a regra de Cramer para realzar o desacoplameto dos termos de érca. As equações resultates são expaddas como uma sére polomal retedo os termos ão leares de até tercera ordem. A eerga potecal total, é expressa por: U V ()
A eerga cétca total da estrutura, T, depede somete dos deslocametos dâmcos da mesma e é composta de três parcelas: devdo à massa da plataforma, T plataforma, devdo à massa da colua, T coluas e devdo à massa adcoada, T adc, pelo fato de a estrutura vbrar detro d água, que são respectvamete guas à: Tplataforma l cos lse (8) coluas k cos k cos k T l A l l Al k k k l A l se l se (9) Fg.. Modelo estrutural para torre offshore tr-artculada. sedo U a eerga tera de formação elástca, dada por (), e V o potecal das cargas exteras atuates sobre a estrutura. A eerga tera de deformação resultate da deformação das molas rotacoas é expressa por: [ ( )], 0 0 () U k V W () O potecal das cargas exteras é gual ao egatvo do trabalho realzado por tas forças, como mostrado em (). As cargas exteras cosderadas a aálse elástca são o peso da plataforma e das coluas da torre, o empuxo e a força de correte, cujos trabalhos compõem o escalar total: W Wplataforma Wcoluas Wempuxo (4) O trabalho do peso da plataforma é dado por: plataforma W mg [ l ( cos )] (5) O trabalho assocado ao peso das coluas é dado por: l ( cos ) Wcoluas g l A l j ( cos j ) (6) j O trabalho realzado pelas forças de empuxo atuado sobre a estrutura submersa é dado por: l ( cos ) Wempuxo g wl A lj( cos j ) j (7) d 0 lse Tadc w CA, lkse k cos 8 k d 0 l cos w CA, lkcos k cos 8 k O Lagrageao obtdo para o sstema cosderado é: (0) Lg T () Pela aplcação de téccas varacoas a (), a dâmca global do sstema é goverada por três equações de movmeto obtdas por: Lg d Lg 0,.. dt III. MODOS NORMAIS NÃO LINEARES () A aálse modal ão lear realzada este trabalho utlza a aproxmação baseada a teora das varedades varates, proposta por Shaw e Perre [8]. Essas podem ser terpretadas como os subespaços de solução que goveram o comportameto dos graus de lberdade do sstema. Um modo ormal ão lear, defdo de acordo com essa teora, correspode a um movmeto lmtado pela superfíce descrta pelo espaço fase do sstema (subespaço das relações deslocameto-velocdade de um dado grau de lberdade). Esta superfíce é tagete, a posção de equlíbro, ao autoespaço formado pelos modos leares de vbração obtdos pela learzação do problema [9]. O movmeto correspodete a um modo ormal ão lear pode ser parametrzado pelo deslocameto e velocdade de um grau de lberdade do sstema, chamado de par mestre. Todos os demas graus de lberdade, chamados pares escravos, são relacoados ao par mestre através de equações de restrção. As equações de
restrção determam a geometra da superfíce gerada pelo espaço fase do sstema para cada modo, que compõe a solução do sstema. Caso essa fução de restrção seja dada por uma costate, a geometra da superfíce é caracterzada por um plao o espaço fase do sstema, e o modo correspodete é chamado um modo smlar, por ser aálogo a um modo ormal lear. Isso quer dzer, a relação etre deslocameto e velocdade de um dado grau de lberdade é costate durate o movmeto modal. Caso a fução de restrção ão seja costate, o modo é chamado ão smlar e a superfíce modal correspodete é curvlíea [0], caracterzado o modo ão lear. Neste trabalho, o método asstótco é utlzado para obteção dos modos ão leares. Nesse método, as equações ão leares de movmeto resultates para o sstema devem ser reescrtas a forma de equações de prmera ordem de Cauchy: y y f () sedo as coordeadas (rotações) e y as correspodetes velocdades. O vetor de forças geeralzadas {f} cosste de mometos ão leares fuções de {e {f}. O poto sobre as varáves deota a prmera dervada temporal. Como o sstema de equações de movmeto resultates da aplcação de () ão está a forma de Cauchy, sto é, possu acoplameto os termos ercas, a regra de Cramer é aplcada para realzar o desacoplameto. Etão, um par deslocameto-velocdade pode ser escolhdo arbtraramete como par mestre. Neste trabalho, o par deslocameto-velocdade referete ao prmero grau de lberdade é escolhdo como par mestre, e y : u v y (4) Os demas pares escravos são represetados em termos de u e v pelas fuções de restrção P e Q : P ( u, v),.. y Q ( u, v),.. (5) ode partcularmete, P (u,v) = u e Q (u,v) = v. O próxmo passo é elmar a depedêca explícta do tempo das equações. Isto é feto dervado as fuções de restrção com relação à varável temporal. Pela substtução das dervadas temporas resultates da utlzação da regra da cadea as equações de movmeto, (), e pelo uso das defções de pares mestres e escravos em (4) e (5), o segute sstema de equações dferecas parcas de seguda ordem é obtdo: P ( u, v) P ( u, v) Q ( u, v) v f( u, P ( u, v),... u v..., P ( u, v); v, Q ( u, v),..., Q ( u, v)),.. (6) f ( u, P ( u, v),..., P ( u, v); v, Q ( u, v),..., Q ( u, v)) Q ( u, v) Q ( u, v) v f( u, P ( u, v),..., P ( u, v);... u v... v, Q ( u, v),..., Q ( u, v)),.. (7) A determação das equações de restrção leva a uma redução da ordem do problema, tedo em vsta que sua substtução as equações de movmeto orgas leva à obteção de um osclador modal de um grau de lberdade. Exceto por casos muto partculares, ão exste solução exata fechada para as soluções parcas que goveram a geometra dos subespaços (varedades varates) expressos em (6) e (7). A solução pode ser obtda de maera aproxmada utlzado expasões em séres de Taylor sobre uma cofguração de equlíbro, tomada esta aálse como { }=0. Desta maera, as fuções de restrção são reescrtas, matedo até os termos de leardade cúbca: P( u, v) a u a v a u a uv a v 4 5 a u a u v a uv a v,.. 6 7 8 9 Q ( u, v) b u b v b u b uv b v 4 5 b u b u v b uv b v,.. 6 7 8 9 (8) (9) A substtução de (6) e (7) o sstema de equações de movmeto do sstema dado por () resulta um sstema algébrco de equações fução apeas dos coefcetes a j e b j, que podem ser determados de maera sequecal, dos cojutos de meor para maor ordem de ão leardade. A solução obtda é válda localmete, e o domío de valdade ão é cohecdo à pror, sedo determado apeas pela comparação com soluções umércas do problema orgal. A obteção dos modos ormas ão leares de um sstema pode ser sstematzada em suas etapas prcpas, para um melhor etedmeto dos procedmetos adotados []: ) Escolha do par de coordeadas mestre u e v; ) Expressar as coordeadas escravas em fução das coordeadas mestre, pelas suas fuções de restrção P(u,v) e Q(u,v); ) Utlzar a técca das varedades varates para elmar a depedêca explícta do tempo; 4) Ecotrar uma solução local aproxmada utlzado expasões polomas para as fuções de restrção; 5) Substtur as expasões as equações dferecas parcas que goveram a geometra das varedades varates; 6) Resolver as expasões polomas de P(u,v) e Q(u,v) pelo sstema de equações algébrcas resultate; 7) Substtur as coordeadas escravas pelas suas expasões polomas, as elmado do sstema, sto é, das equações de movmeto. Por meo destes passos obtêm-se os oscladores ão leares de um grau de lberdade relatvos aos modos ão leares de vbração do sstema, tatos quatos forem os graus
de lberdade do problema, em fução das coordeadas modas u e v. IV. ANÁLISE MODAL LINEAR O exemplo umérco desevolvdo este trabalho utlza parâmetros de expermetos físcos, sumarzados a Tabela I. As equações de movmeto do sstema são obtdas com a utlzação dos dados apresetados a Tabela I a aplcação da metodologa apresetada a seção deste trabalho em (). A learzação do sstema de equações de movmeto obtdo resulta o sstema lear desacoplado: 60, 4 60,80, 095 0 80,745,070 6,065 0 0, 00 77,5 56,59 0 (0) A solução do problema de autovalor para o sstema em (0) resulta as frequêcas e modos ormas leares de vbração da estrutura, e compõe a aálse modal lear do problema estudado. As três frequêcas aturas de vbração para o sstema resultam 0 = 0,46 rad/s, 0 = 6,047 rad/s e 0 = 4,80 rad/s. Sob a faldade de gahar um melhor etedmeto do modelo, calculam-se as frequêcas aturas de vbração para o modelo descosderado a atuação do empuxo e o efeto da massa adcoada, resultado as segutes frequêcas aturas de vbração: 0 = 0,67 rad/s, 0 = 9,40 rad/s e 0 =,7 rad/s. Como pode ser observado, a cosderação dos efetos hdrostátcos provoca a dmução das frequêcas aturas de vbração da estrutura, sto sgfca que a rgdez efetva da estrutura dmu quado esta vbra sob efeto do fludo em seu etoro, devdo ao aumeto ocasoado dos termos de massa da estrutura. Os autovetores resultates do sstema dado por (0) represetam os modos ormas leares de vbração do sstema, e cujas cofgurações estão represetadas grafcamete a Fg.. Materal Massa específca das coluas, Massa da plataforma, m Rgdez das molas, k TABELA I. Parâmetros umércos utlzados Alumío 770,000 kg/m³ 0,6 kg 8,800 Nm/ra Fg.. Modos omas leares de vbração. V. ANÁLISE MODAL NÃO LINEAR Para costrução da geometra dos subespaços de solução que goveram os modos ormas ão leares, é escolhdo como par mestre o deslocameto e velocdade referetes ao prmero grau de lberdade, e ; as coordeadas e velocdades relatvas aos demas graus de lberdade são reescrtas etão pelas fuções de restrção, fução do par mestre, respectvamete: u, v P u v Q u v,,,,,, P u v Q u v () Pela aplcação da metodologa descrta a seção, obtêmse os três oscladores de um grau de lberdade (tatos oscladores quatos graus de lberdade orgas do sstema), escrtos em fução do deslocameto modal do grau de lberdade escolhdo como mestre ( e ): u 0,8u 0, 60uv 0, 4u 0 () Comprmeto das coluas, l Dâmetro das coluas, d 0,70 m 0,05 m u 6, 57u 6, 78uv 9, 968u 0 () Área da seção trasversal, A,0 0-4 m² Massa específca da água, 999,000 kg/m³ Coefcete de massa adcoada, C A,000 Coefcete de érca, C M,000 Coefcete de arraste, C D,000 u 0, 070u,80uv 655, 59u 0 (4) Estes oscladores correspodem aos modos ormas ão leares de vbração do sstema. Como a sstematzação do processo de composção das equações que geram a geometra dos subespaços de solução (varedades varates) os oscladores são determados de forma aleatóra, é ecessáro
detfcar a correspodêca etre estes e os modos de vbração do sstema. Isso pode ser realzado pela aálse da costate que multplca o termo lear de deslocameto,, de cada osclador, que é gual ao quadrado da frequêca atural de vbração do modo correspodete, obtda a aálse lear, ou seja,. Por essa correspodêca, pode-se verfcar que o osclador represetado por () correspode ao prmero modo ão lear, () ao segudo modo e (4) ao tercero modo de vbração ão lear. Uma característca partcular de sstemas ão leares possível de ser capturada pela aálse modal ão lear, é que a relação etre frequêca de vbração e eerga o sstema ão é lear, ao cotráro do que ocorre a aálse lear. Isto pode ser verfcado pela aálse das curvas de ressoâca do sstema. Nestas curvas, com o aumeto da ampltude de movmeto, ou seja, aumeto da eerga mposta ao sstema, pode ser verfcada uma varação da frequêca atural de vbração do mesmo. As curvas de ressoâca são obtdas com aplcação do método do balaço harmôco, ode admte-se a segute substtução os oscladores modas represetados em (0): Fg.. Curva frequêca-ampltude para o prmero modo ão lear de vbração. u t X se t (5) Com a trodução do parâmetro admesoal, que represeta a relação etre a frequêca de vbração do sstema e a frequêca atural de vbração relacoada ao modo ão lear, /, as relações frequêca-ampltude para os três modos de vbração fcam guas a: 0,46X 0,79X 0,46X - 0,08X (6) 6, 047X Ω,808 X 6, 047X 9, 64X Ω (7) 4,80X Ω 5,56X 4,80X 6, 8X Ω (8) A equação (6) apreseta relação de gaho de rgdez com o aumeto da ampltude de vbração do sstema, como mostrado a Fg. ; (7) e (8) apresetam relações de perda de rgdez com o aumeto da ampltude de movmeto do sstema, como pode ser vsto a Fg. 4. Juto das soluções obtdas dos modelos reduzdos, são mostrados potos referetes às soluções umércas das equações orgas de movmeto do sstema, obtdas por (), utlzado tegração umérca pelo método de Ruge-Kutta. Observa-se as Fg., 4 e 5 a valdade da expasão das equações orgas em sére de Taylor para obteção dos modelos reduzdos, para os três modos ão leares, a medda que as soluções se afastam da posção de equlíbro cal, =. Outra ferrameta utlzada para aalsar o comportameto dos modelos reduzdos é o espaço fase do sstema, para cada modo. Cada órbta mostrada as Fg. 6 a 8 é gerada a partr de uma codção cal dada para a estrutura, mostrado a relação etre deslocameto, u, e velocdade modas, v, predtas equato a estrutura vbra lvremete. Fg. 4. Curva frequêca-ampltude para o segudo modo ão lear de vbração. Fg. 5. Curva frequêca-ampltude para o tercero modo ão lear de vbração.
Em cada gráfco de espaço fase são mostradas também órbtas obtdas pela tegração umérca das equações de movmeto orgas do sstema, de maera aáloga às curvas de ressoâca, as lhas cotíuas correspodedo às órbtas obtdas da tegração umérca das equações orgas de movmeto do sstema, equato as lhas tracejadas são obtdas pela tegração do modelo reduzdo. Pode ser observada a perda de precsão coforme a solução se afasta dos potos de orgem e o surgmeto de um comportameto dâmco osclatóro caótco. Fg. 6. Espaço fase para o prmero modo ão lear de vbração. VI. CONCLUSÕES A metodologa apresetada e utlzada este trabalho permte obter modelos de ordem reduzda para problemas de vbração que demadem a cosderação de ão leardades. Os modelos de ordem reduzda permtem rápda aálse paramétrca do comportameto do sstema osclatóro estudado, compodo uma de suas grades vatages o estudo de vbrações ão leares. Além dsso, apresetam bos resultados quado comparados aos resultados da tegração umérca. Por meo das ferrametas apresetadas, curvas de ressoâca e espaço fase do sstema, é possível aalsar os domíos de valdade do modelo reduzdo, sedo estes fução também das ecessdades de projeto do problema estudado o que dz respeto ao erro admssível da solução. Este estudo é parte de um trabalho em adameto, e o trabalho completo clurá aálse multmodal do problema e uma cosderação de efetos de corretes e odas marhas sobre a estrutura. Fg. 7. Espaço fase para o segudo modo ão lear de vbração. Fg. 8. Espaço fase para o tercero modo ão lear de vbração. VII. REFERÊNCIAS [] Chadrasekara S., et. al., Dyamc Respose Behavour of multlegged Artculated Tower wth & wthout TMD. Coferece Proceedg of MARTEC, 00. [] Ha S. M ad Bearoya, H (00) Vbrato of a Complat Tower Three-dmesos. J. of Soud ad Vb., 50(4):675-709. [] Pesheck E. et al. (00) Modal Reducto of a Nolear rotatg Beam Through Nolear Normal Modes. J of Soud ad Vb., 4:9-6. [4] Happawaa G. S. et. al. (995) A Aalytcal Soluto to No-smlar Normal Modes a Strogly No-lear Dscrete System. J of Soud ad Vb. 8:6-67. [5] Shaw S. W. ad Perre C. (99) Nolear Normal Modes ad Ivarat Mafold. J. of Soud ad Vb., 50:70-7. [6] Sellers L. L. ad Nedzweck J. M. (99) Respose Characterstcs of Mult-artculated Offshore Towers. Ocea Egg., :-0. [7] Gavasso E., et al., Nolear modal aalyss of mult-artculated offshore towers. Europea Nolear Oscllatos Coferece, 04 [8] Shaw S. W. ad Perre C. (99) Normal modes for o-lear vbratory systems. J. of Soud ad Vb., 64:85-4. [9] Jag, D. et al. (005) The costructo of o-lear ormal modes for systems wth teral resoace. It. J. of No-lear Mech. 40:79-746. [0] Rosemberg, R. (96) O ormal vbratos of a geeral class of olear dual-mode systems. J. Appl. Mech. 8: 75-8. [] Kersche, G. et al. (009) A.F. Nolear ormal modes, Part I: A useful framework for the structural dyamcst. Mech. Syst. Sg. :70-94.