IES "Aga de Raíces" de Cee EXERCICIOS DE XEOMETRÍA PAU GALICIA 1 a) (Xuño 2001) En que posición elativa poden esta tes planos no espazo que non teñen ningún punto en común? b) (Xuño 2001) Detemine a posición elativa dos planos π : x 2 y + 3z = 4, σ : 2x + y + z + 1 e ϕ : 2 x + 4 y 6 z 2 a) (Xuño 2001) Ángulo que foman dúas ectas b) (Xuño 2001) Detemine o ángulo que foman a ecta, que pasa polo punto (1, -1, 0) e tal que o seu vecto diecto é x 7 y + 6 z v = ( 2,0,1), e a ecta s de ecuación: = = 4 4 2 3 a) (Setembo 2001) Sexan u e v dous vectoes Compobe que se ( u + v) ( u v) entón u = v b) (Setembo 2001) Calcule os vectoes unitaios que sexan pependiculaes aos vectoes u = ( 3, 4,1) e v = ( 2,1,0 ) 4 a) (Setembo 2001) Definición de distancia mínima entes dúas ectas no espazo Casos posibles b) (Setembo 2001) Calcule a distancia ente as ectas e s, onde ten po ecuacións ( : x = 3 y = 5 z ) e a ecta s pasa polos puntos A = (1, 1, 1) e B = (1, 2, -3) 5 (Xuño 2002) Ache a distancia do plano π : 4 x 10 y + 2 z = 1 ao plano = 2λ + 3µ σ : y = λ + µ = λ µ 6 (Xuño 2002) Detemina o vecto (ou vectoes) unitaios v = ( a, b,c) π adiáns co vecto u = ( 1,1,1 ) π e un ángulo de adiáns con w = ( 2,0, 2) 4 6 con a > 0, b > 0 e c > 0, que foman un ángulo de 7 a) (Setembo 2002) Deduza as ecuacións vectoial, paaméticas e implícita (ou xeal) dun plano deteminado po un punto e dous vectoes diectoes b) (Setembo 2002) Dados os puntos P = (3, 4, 1) e Q = (7, 2, 7), detemine a ecuación xeal do plano que é pependicula ao segmento PQ e que pasa polo punto medio dese segmento 8 a) (Setembo 2002) Definición e intepetación xeomética do poduto vectoial de dous vectoes b) (Setembo 2002) Dados os vectoes u = ( 2,0, 4) e v = ( 1,0, α), paa que valoes de α o módulo do vecto u + v u v vale 4? ( ) ( ) 9 a) (Xuño 2003) Definición de módulo dun vecto Popiedades b) (Xuño 2003) Detemine os valoes de a e b, a > 0, paa que os vectoes = ( a, b, b), v = ( b,a, b) e v ( b, b,a) sexan unitaios e otogonais dous a dous v1 2 3 = 10 a) (Xuño 2003) Ángulo que foman unha ecta e un plano b) (Xuño 2003) Detemine o ángulo que foman o plano π : x + 2 y 3z + 4 e a ecta 2 x y 3 y + 2 z = 12 PAU GALICIA Bloque: Xeometía 1 :
IES "Aga de Raíces" de Cee 11 a) (Setembo 2003) Que significa xeometicamente que tes vectoes do espazo tidimensional sexan linealmente dependentes? b) (Setembo 2003) Dados os vectoes ( 1, 2,1 ), u = ( 1,3, 2), v = ( 1,1,0 ) e v ( 3,8,5) u 1 e u 2 dependen linealmente dos vectoes v 1 e v2 u1 2 1 2 = =, demoste que os vectoes Detemine a ecuación xeal do plano que pasa pola oixe e contén os vectoes v 1 e v2, e detemine a posición elativa dos vectoes u 1 e u2 especto a ese plano 12 a) (Setembo 2003) Definición de poduto escala de dous vectoes Intepetación xeomética b) (Setembo 2003) Detemine a ecuación que satisfán os vectoes otogonais á ecta xeometicamente o esultado obtido 2 x + y z : Intepete y + 3z 13 a) (Xuño 2004) Distancia ente dúas ectas que se cuzan b) (Xuño 2004) Ache a distancia ente as ectas e s de ecuacións: = α : y = 1 = 1 α = 1+ β s : y = 2 = 2β 14 a) (Xuño 2004) Ángulo que foman dúas ectas Condición de pependiculaidade b) (Xuño 2004) Detemine o ángulo que foman a ecta que pasa polos puntos A = (1, 0, -1) e B = (0, 1, -2) e a ecta de z 2 ecuación: x = = 2 1 15 (Setembo 2004) Compobe que os puntos A = (1, 0, 3), B = (-2, 5, 4), C = (0, 2, 5) e D = (-1, 4, 7) son coplanaios De todos os tiángulos que se poden constuí tendo como vétices tes deses cato puntos, cal é o de maio áea? Obteña o valo de dita áea 1 z 16 (Setembo 2004) Ache a ecuación xeal do plano π que contén á ecta : = = e é paalelo á ecta s que 2 4 2 pasa polos puntos P = (2, 0, 1) e Q = (1, 1, 1) Calcule a distancia de s a π 17 (Xuño 2005) Calcule a distancia ente as ectas de ecuacións z 4 : x = = e 3 7 y 2 z 3 s : x 2 = = 3 4 18 (Xuño 2005) Demoste que os puntos P = (0, 0, 4), Q = (3, 3, 3), R = (2, 3, 4) e S = (3, 0, 1) son coplanaios e detemine o plano que os contén 19 a) (Setembo 2005) Que condición deben cumpi os coeficientes das ecuacións xeais de dous planos paa que estes sexan pependiculaes? b) (Setembo 2005) Ache o ángulo que foman os planos π : 2 x y + z 7 e σ : x + y + 2 z = 11 20 a) (Setembo 2005) Definición de poduto mixto de tes vectoes Pode ocoe que o poduto mixto de tes vectoes sexa ceo sen se ningún dos vectoes o vecto nulo? Razoe a esposta b) (Setembo 2005) Paa u, v, w, tes vectoes no espazo tales que u = 2, v = 3 e w = 5, ache os valoes mínimo e máximo do valo absoluto do seu poduto mixto PAU GALICIA Bloque: Xeometía 2
IES "Aga de Raíces" de Cee 3 21 a) (Xuño 2006) Definición e intepetación xeomética do poduto vectoial de dous vectoes de R u = 1, 2, 2 v = 1,0,1 b) (Xuño 2006) Calcula os vectoes unitaios e pependiculaes aos vectoes ( ) e ( ) c) (Xuño 2006) Calcula a distancia da oixe de coodenadas ao plano deteminado polo punto (1, 1, 1) e os vectoes u = 1, 2, 2 v = 1,0,1 ( ) e ( ) + 2 y 2 z + 6 22 (Xuño 2006) Dado o plano π : 2 x + λ y + 3 e a ecta : : 7 x y 2 z a) Calcula o valo de λ paa que a ecta e o plano π sexan paalelos Paa ese valo de λ, calcula a distancia ente e π b) Paa algún valo de λ, a ecta está contida no plano π? Xustifica a esposta c) Paa algún valo de λ, a ecta e o plano π son pependiculaes? Xustifica a esposta 23 a) (Setembo 2006) Dados os vectoes u = ( 1,0, 1) e v = ( 1,1,0 ) otogonais aos dous vectoes dados, calcula os vectoes unitaios de b) (Setembo 2006) Sexa π o plano deteminado polo punto P(2, 2, 2) e os vectoes u = ( 1,0, 1) e v = ( 1,1,0 ) o ángulo que foma o plano π coa ecta que pasa polos puntos O(0, 0, 0) e Q(2, -2, 2) c) (Setembo 2006) Calcula o punto simético de O(0, 0, 0) especto do plano x y + z 2 3 R que son Calcula 24 (Setembo 2006) Os lados dun tiángulo están sobe as ectas x 1 z + 1 1 : = = 1 1 2 = 2 + t 2 : y = 2 + t = 1 y z 1 3 : z a) Calcula os vétices do tiángulo É un tiángulo ectángulo? Razoa a esposta b) Calcula a ecuación do plano π que contén ao tiángulo Calcula a intesección do plano π cos eixes OX, OY e OZ 25 a) (Xuño 2007) Os puntos A(1, 1, 0), B(0, 1, 1) e C(-1, 0, 1) son vétices consecutivos dun paalelogamo ABCD Calcula as coodenadas do vétice D e a áea do paalelogamo b) (Xuño 2007) Calcula a ecuación do plano que pasa polo punto B(0, 1, 1) e é pependicula á ecta que pasa polos puntos A(1, 1, 0) e C(-1, 0, 1) = 1 26 (Xuño 2007) Dadas as ectas : y = 2 + λ e = 2 + 2 λ a) Estuda a súa posición elativa b) Calcula a ecuación do plano que contén as dúas ectas x y + 1 z + 2 s : = = 1 2 2 27 a) (Setembo 2007) Calcula m paa que os puntos A(2, 1, -2), B(1, 1, 1) e C(0, 1, m) estean aliñados b) (Setembo 2007) Calcula o punto simético do punto P(-2, 0, 0) especto da ecta que pasa polos puntos A(2, 1, -2) e B(1, 1, 1) 28 (Setembo 2007) Dadas as ectas x : 1 z 2 = = e 1 3 s : = 1+ λ y = 3 + 2λ = 1+ λ PAU GALICIA Bloque: Xeometía 3
IES "Aga de Raíces" de Cee a) Estuda a súa posición elativa b) Calcula a ecuación do plano que contén á ecta e é paalelo á ecta s 29 a) (Xuño 2008) Sexan u e v dous vectoes tales que u = 3, v = 4, u v = 5 Calcula o ángulo que foman os vectoes u e v Calcula o poduto mixto [, v, u v] u, sendo u v o poduto vectoial de u e v b) (Xuño 2008) Dadas as ectas : x 3 z + 1 = = 3 2 2 ecuación do plano que pasa polo punto P(1, 1, 1) e contén a e = 1+ 6λ s : y = 4λ estuda a súa posición elativa e calcula a = 4λ 30 a) (Xuño 2008) Son coplanaios os puntos A(1, 0, 0), B(3, 1, 0), C(1, 1, 1) e D(3, 0, -1)? En caso afimativo, calcula a distancia da oixe de coodenadas ao plano que os contén b) (Xuño 2008) Calcula o punto simético do punto P(0, 0, 1) especto do plano π : x 2 y + 2 z 1 31 a) (Setembo 2008) Calcula a distancia da oixe de coodenadas ao plano que pasa polo punto P(1, 1, 2) e é 4 x + y z pependicula á ecta : y + z b) (Setembo 2008) Calcula a áea do tiángulo que ten po vétices os puntos de intesección do plano π : x 2 y + 2 z 3 cos eixes de coodenadas É un tiángulo ectángulo? 32 a) (Setembo 2008) Dados os planos π 1 : x 2 y + 2 z 1 e calcula a distancia ente eles b) (Setembo 2008) Dado o punto P(2, 1, 7), calcula o seu simético especto ao plano π 2 = 3 + 2λ + 2µ π2 : y = 2λ 2µ estuda a súa posición elativa e = 1+ λ 3µ 33 (Xuño 2009) Sexa a ecta que pasa polos puntos P(0, 8, 3) e Q(2, 8, 5) e a ecta s : y y 2z a) Estuda a posición elativa de e s Se se cotan, calcula o punto de cote b) Calcula a ecuación da ecta que pasa po P e é pependicula ao plano que contén a e s + 7 34 (Xuño 2009) Sexa π o plano que pasa polos puntos A(1, -1, 1), B(2, 3, 2) e C(3, 1, 0) e a ecta dada po x 7 y + 6 z + 3 : = = 2 1 2 a) Calcula o ángulo que foma a ecta e o plano π Calcula o punto de intesección de e π b) Calcula os puntos da ecta que distan 6 unidades do plano π 35 (Setembo 2009) Dados os planos π 1 : x + y + z 1 e π 2 : y z + 2 e a ecta a) Calcula o ángulo que foman π 1 e π2 Calcula o ángulo que foman π 1 e b) Estuda a posición elativa da ecta e a ecta intesección dos planos π 1 e π2 : x 2 y + 1 z 1 = = 1 1 PAU GALICIA Bloque: Xeometía 4
IES "Aga de Raíces" de Cee 36 a) (Setembo 2009) Calcula a ecuación da ecta que pasa polo punto P ( 2,3,5) e é pependicula ao plano = 1+ 2λ π : y = 2 + 2λ + µ = 2 + 3λ + µ b) (Setembo 2009) Calcula a distancia do punto P(2, 3, 5) ao plano π Calcula o punto de π que está máis póximo ao punto P(2, 3, 5) 37 (Xuño 2010) Sexa a ecta que pasa polo punto P ( 1, 1, 2) a ecta que pasa polos puntos A ( 1,0,0 ) e B( 1, 3, 4) e é pependicula ao plano α : x + 2 y + 3z + 6 Sexa s a) Estuda a posición elativa das ectas e s Se se cotan, calcula o punto de cote 1,0,0 P 1, 1, 2 e é paalelo a α b) Calcula a distancia do punto A ( ) ao plano β que pasa polo punto ( ) 38 (Xuño 2010) Dada a ecta y = 1 : z + 4 a) Calcula a ecuación do plano α que pasa polo punto ( 0, 2, 2) po vétices os puntos de intesección de α cos eixes de coodenadas b) Calcula a ecuación xeal do plano que contén á ecta e é pependicula ao plano α 39 (Setembo 2010) Dada a ecta + y + z 3 : 3x + 5 y + 3z 7 Q e contén á ecta Calcula a áea do tiángulo que ten a) Calcula a ecuación xeal do plano π pependicula a e que pasa polo punto P ( 2, 1, 2) b) Calcula o punto Q no que cota a π Calcula o ángulo que foma o plano π con cada un dos planos coodenados 40 (Setembo 2010) Dadas as ectas = 3 3λ : y = 4 λ = 6 4 x 3 2 s : 5 y 4 z 4 a) Estuda a súa posición elativa Se se cotan, calcula o punto de cote e o ángulo que foman e s b) Calcula, se existe, o plano que as contén 41 a) (Xuño 2011) Son coplanaios os puntos A ( 1,0, 2), B( 0, 1,1), C ( 1, 2,0) e D ( 0, 2, 2) ecuación do plano que os contén? Se existe, calcula a b) (Xuño 2011) Calcula a ecuación xeal e as ecuacións paaméticas do plano que é pependicula ao plano : 2 x + y 3z + 4 1,1,2 Q 2,3,6 α e contén a ecta que pasa polos puntos P ( ) e ( ) 42 a) (Xuño 2011) Calcula a ecuación do plano que pasa polo punto ( 1, 2, 3) 2 x + y + 2 : 3x z + 1 b) (Xuño 2011) Calcula a distancia d do punto Q ( 1,0, 2) punto da ecta que tamén diste d do plano β P e é pependicula á ecta ao plano β : x 2 y + 3z + 12 Calcula, se existe, outo = 2 λ + µ 43 a) (Setembo 2011) Dado o plano π : y = λ, calcula a ecuación da ecta que pasa polo punto P ( 1, 2,1) e é = λ + µ pependicula a π Calcula o punto de intesección de e π PAU GALICIA Bloque: Xeometía 5
IES "Aga de Raíces" de Cee b) (Setembo 2011) Están aliñados os puntos A ( 2,0,3), B ( 0,0,1) e C ( 2,1,5) distancia ente o plano que deteminan estes tes puntos e o plano π do apatado a)? Se non están aliñados, calcula a 44 a) (Setembo 2011) Estuda a posición elativa da ecta e Q ( 1,1,1 ) Calcula a distancia de a s x 1 : = = 1 2 z 1 e a ecta s que pasa polos puntos P ( 0, 2,1) b) (Setembo 2011) Calcula a ecuación xeal do plano π que é paalelo á ecta e contén á ecta s 45 (Xuño 2012) Dados os puntos A ( 3,0, 2), B( 1, 2,0), C ( 1, 1,3) e ( λ, λ 2, λ) D : a) Detemina o valo de λ paa que A, B, C e D sexan coplanaios Paa algún valo de λ son A, B, C e D vétices consecutivos dun paalelogamo? b) Calcula as ecuacións paaméticas do plano π que pasa polo punto C e é pependicula á ecta que pasa polos puntos A e B 46 a) (Xuño 2012) Se v = 6, w = 10 e v + w = 14, calcula o ángulo que foman os vectoes v e w b) (Xuño 2012) Calcula as ecuacións paaméticas e a ecuación xeal do plano que pasa polos puntos A ( 1,5,0 ) e B ( 0,1,1) e é paalelo á ecta 3x + 2 y 3 : 2 y 3z 1 47 (Setembo 2012) Dado o plano π : x 2 y + 3z + 6 : a) Calcula a áea do tiángulo de vétices os puntos de cote de π cos eixes de coodenadas b) Calcula a ecuación xeal do plano que é pependicula ao plano π, paalelo á ecta que pasa polos puntos ( 0,3,0) C( 0,0, 2) e pasa pola oixe de coodenadas c) Calcula o punto simético da oixe de coodenadas especto do plano π : x 2 y + 3z + 6 B e = 3 + λ + 2µ 48 a) (Setembo 2012) Estuda a posición elativa dos planos π1 : x + y + z 5, π2 : y = 1 λ µ = 1 + µ Se se cotan nunha ecta, escibe as súas ecuacións paaméticas b) (Setembo 2012) Calcula a ecuación do plano π 3, que pasa pola oixe de coodenadas e é pependicula a π 1 e π 2 Calcula a intesección de π 1, π 2 e π 3 3x + y + z 6 49 (Xuño 2013) Dados o plano π : x + y z 1 e a ecta : : 2 x + y 2 a) Estuda a posición elativa de e π Calcula a distancia de a π b) Calcula a ecuación xeal ou implícita do plano que contén a e é pependicula a π 50 a) (Xuño 2013) Calcula as ecuacións paaméticas da ecta que pasa pola oixe de coodenadas e é pependicula ao 1,0, 2 2,1,3 C 3,0,0 plano π deteminado polos puntos A ( ), B ( ) e ( ) b) (Xuño 2013) Calcula os posibles valoes de a paa que o punto ( ) a,a,a P equidiste da ecta e do plano π do apatado anteio PAU GALICIA Bloque: Xeometía 6
IES "Aga de Raíces" de Cee 51 (Setembo 2013) Dadas as ectas 2 y + z + 1 : 2 y z 2 = 2 + t s : y = 3 + 2 t = 2 + 2 t t R a) Estuda a posición elativa de e s Se se cotan, calcula o punto de cote Se deteminan un plano, calcula a ecuación xeal ou implícita dese plano b) Estuda a posición elativa de e o plano π : 4 x 4 y + 2 z + 7 Calcula a distancia de a π = 3 + 3λ + µ 52 (Setembo 2013) Dado o plano α : y = 3λ + µ λ R, µ R : = 3 + λ µ a) Calcula as ecuacións en foma continua da ecta que pasa polo punto P ( 2, 3, 4) Calcula o punto de cote de con α e é pependicula ao plano α b) Calcula a ecuación implícita ou xeal do plano que pasa polos puntos P ( 2, 3, 3) e Q ( 3, 2, 4) ao plano α c) Calcula as ecuacións paaméticas da ecta intesección do plano β : 5 x 4 y + z 19 co plano α e é pependicula 53 a) (Xuño 2014) Calcula o punto simético do punto ( 2,0, 2) b) (Xuño 2014) Sexa a ecta pependicula ao plano : 3x + 2 y + z 3 P especto ao plano π : 3x + 2 y + z 3 π e que pasa polo punto ( 2,0, 2) 2 x y 3z Consideemos a ecta s : z 10 Estuda a posición elativa de e s Calcula a ecuación do plano paalelo a s que contén a P 54 a) (Xuño 2014) Define o poduto vectoial de dous vectoes Dados os vectoes u = ( 2, 2,0 ) e v ( 1,1, 1 ) os vectoes unitaios e pependiculaes aos dous vectoes u e v b) (Xuño 2014) Calcula o valo de a paa que a ecta Paa ese valo de a, calcula a distancia da ecta ao plano x : 2 =, calcula y 2 z 2 = = non cote ao plano π : 5 x + a y + 4 z = 5 6 4 = 2 + 2λ µ 55 (Setembo 2014) Dado o plano π : y = 1 2λ + µ λ R, µ R e a ecta = 4 + 3µ : + a) Estuda a posición elativa de π e Se se cotan, calcula o punto de cote b) Calcula o ángulo que foman π e Calcula o plano que contén a e é pependicula a π y = 3 z 4 = 1+ λ + y 2 z 5 56 (Setembo 2014) Dadas as ectas : e s : y = 2 2λ y 5z 1 = 5 a) Estuda a súa posición elativa Se se cotan, calcula o punto de cote b) Calcula a ecuación implícita ou xeal do plano que contén a e a s Q 1,1, 4 á ecta s c) Calcula a distancia do punto ( ) λ R PAU GALICIA Bloque: Xeometía 7