(9) - O ELITE RESOLVE IT - MTEMÁTI MTEMÁTI QUESTÃO osidere as seguites afirmações sobre úmeros reais: I. Se a epasão decimal de é ifiita e periódica, etão é um úmero racioal. II.. III. l e + ( log )( log 9) é um úmero racioal. É (são) verdadeira (s): a) ehuma. b) apeas II. c) apeas I e II. d) apeas I e III. e) I, II e III. lterativa D Julgado os ites: I. ORRETO. omo essa é a defiição de dízima periódica, temos que toda dízima periódica é um úmero racioal. II. INORRETO. Maipulado o somatório: ( ) + + + + 8 Veja que a soma acima represeta uma soma de PG ifiita de razão. ssim, podemos calcular: + + + + 8 ( ) Portato,. ( ) III. ORRETO. Veja: ( ) l e + log log 9 le + log log + + le ( log ) log ( log ) ( log ) Mudado de base: Temos: log log log log + ( log) ( log) + ( log) + log Dessa maeira, l e ( log )( log 9) racioal. +. Portato, é um úmero QUESTÃO Sejam, e os subcojutos de defiidos por Etão ( \ ) a) { i, + i} b) { i, + i} c) { + i} d) { i} e) { + i} { : 9} { : + < 7 } { :z 6 }. z z+ i <, z z i z + z+ é o cojuto: lterativa Seja z a+ bi, z. Iicialmete, determiemos os elemetos de cada cojuto dado: { : 9} z z+ i < De acordo com a defiição do cojuto, temos: z+ i a+ bi + i a+ + b i ( a ) ( b ) ( a ) ( b ) + + < 9 + + < 9 ssim, os elemetos de são os potos iteriores à circuferêcia de O, e raio R 9. cetro { : 7 } z z+ i < alogamete, os elemetos de serão: 7 9 z+ i a+ bi + i a+ ( b+ ) i a + ( b+ ) < a + ( b+ ) < Ou seja, são os potos iteriores à circuferêcia de cetro O (, ) 7 e raio R. { :z 6 } z + z+ Para determiarmos os elemetos do cojuto, resolvemos a seguite equação do grau: () () ± ± 6 6 6 i z + 6z+ z z ± i Logo, { u, v} { i, i} +. Dado que \ { e }, temos que os elemetos deste cojuto são os potos iteriores da circuferêcia do cojuto que ão estão o iterior da circuferêcia. Desta forma, os elemetos do cojuto ( \ ) são os úmeros compleos o iterior da circuferêcia do cojuto cuja distâcia ao cetro da circuferêcia do cojuto é maior que a medida de R, assim: [ ] d(u,o ) + < 9 Logo, o poto u está o iterior da circuferêcia determiada pelo cojuto. [ ] dv (,O ) + 7 < 9 Logo, o poto v está o iterior da circuferêcia determiada pelo cojuto. alculemos, agora, as distâcias de u e v ao poto O : [ ] 7 d(u,o ) + > d [ ] Portato, o úico elemeto do cojuto ( \ ) 7 (v,o ) + < é o compleo + i, isto é, ( \ ) { + i}. baio, segue a ilustração u O v Im O Re
(9) - O ELITE RESOLVE IT - MTEMÁTI QUESTÃO + i Se z, etão o valor arcse( Re( z) ) + arctg( Im( z )) é i igual a: a) b) c) d) e) lterativa D + i Maipulado a epressão i : + i + i + i + i i + i Trasformado para a forma trigoométrica, sabemos que: + i cos + i se cis ssim, desevolvedo o úmero compleo z: Lembrado que: Voltado: + i z z cis i z z cisα z z cis α, com z cis z cis z cis cis Dessa maeira, a forma algébrica de z é dada por: z cis z + i tes de calcularmos a epressão arcse( Re( z) ) + arctg( Im( z )), lembramos que a imagem da fução arcse é, e da fução arctg é,. ssim: arcse( Re( z) ) + arctg( Im( z) ) arcse + arctg + 6 Portato, arcse( Re) arctg( Im) z + z. QUESTÃO Seja uma circuferêcia tagete simultaeamete às retas r : + y e s: + y 9. área do círculo determiado por é igual a: a) 7 b) c) d) 8 e) 9 lterativa E Observe que ambas as retas são paralelas, assim a distâcia etre as retas será igual ao diâmetro da circuferêcia. Escrevedo as equações das retas as formas a distâcia etre as retas será: a + by + c e a + by + c ' d(r,s) c c' + 9 d(r,s) a + b + E a área do círculo, portato, será: drs (, ) R d (r,s) 9 QUESTÃO a, a, a, a sequêcia defiida da seguite forma: a, Seja + para. osidere as afirmações a seguir: a e a a a I. Eistem três termos cosecutivos, ap, ap+, ap+, que, esta ordem, formam uma progressão geométrica. II. a7 é um úmero primo. III. Se é múltiplo de, etão a, é par. a) apeas II. b) apeas I e II. c) apeas I e III. d) apeas II e III. e) I, II e III. lterativa D Primeiro observemos que essa se trata da famosa sequêcia de Fiboacci, ode a partir dos primeiros termos formamos o próimo por somar seu dois termos atecessores. I FLS. Para averiguar isso, vamos escrever os primeiros termos as sequêcia e checar sua paridade: Sequêcia,,,,, 8,,,,, 89,,... Paridades ii,, piipii,,,,,, pii,,, p,... Etão úmeros cosecutivos da sequêcia sempre tem ecessariamete úmeros impares e úmero par. gora três úmeros abc,, em progressão geométrica devem satisfazer ecessariamete a propriedade da média geométrica, que diz que: b ac Se esses são termos cosecutivos da sequêcia de Fiboacci, temos duas possibilidades: b é o valor par, mas etão a e c são ímpares e portato ac é ímpar. SURDO. a ou c é o valor par, mas etão ac é par e SURDO. b é ímpar. ssim é impossível que esses valores formem uma progressão geométrica. II VERDDEIR. asta calcular os termos até o sétimo. a a a + a + a + a6 + 8 a 8+ Etão a 7, ou seja, um úmero primo. 7 III VERDDEIR. asta lembrar da sequêcia de paridades Paridades i,, i p,,, i i p,,, i i p,,, i i p,... ssim fica claro que para todo múltiplo de, o valor a é par.
(9) - O ELITE RESOLVE IT - MTEMÁTI QUESTÃO 6 a b osidere a equação, com a e b úmeros iteiros positivos. Das afirmações: I. Se a e b, etão é uma solução da equação. II. Se é solução da equação, etão, e. III. ão pode ser solução da equação. É (são) verdadeiras(s): a) apeas II. b) apeas I e II. c) apeas I e III. d) apeas II e III. e) I, II e III. lterativa E (I) orreta. osiderado, e, para a e b, a equação fica: ( ) + + 8 ± ( 8) ou Portato, de fato é uma solução da equação. (II) orreta. De fato, como codição de eistêcia para a equação, as frações ão podem ter deomiador ulo. ssim: (II) orreta. Supoha que etão: fosse solução da equação. Teríamos a b a b 9 6 9a b a b Se a e b fossem úmeros iteiros, teríamos uma igualdade etre úmeros iteiros em que o lado esquerdo é múltiplo de, porém o lado direito ão, o que é um absurdo. QUESTÃO 7 osidere o poliômio p dado por p( ) + a + b 6 com a, b. Sabedo-se que p admite raiz dupla e que é uma raiz de p, etão o valor de b a é igual a: a) 6. b). c) 6 d). e). lterativa Sabedo que é raiz de p(), temos: p + a + b 6 a+ b gora, para maipularmos as outras duas raízes descohecidas de p(), temos dois casos: º caso: é raiz dupla de p(). Se for raiz dupla de p(), etão r é a raiz faltate. ssim, pelas Relações de Girard: ( 6 ) r r Dessa maeira, se tora raiz tripla do poliômio, o que tora o euciado falso. Portato, ão é raiz dupla. º caso: ão é raiz dupla de p(). omo ão é raiz dupla, etão tomemos a raiz dupla r. Novamete, pelas Relações de Girard: ( 6) r r r r ± Veja que r ão covém pelo argumeto acima, etão temos que r é a raiz que procuramos. plicado a soma das raízes: Sabedo que a+ b, temos: Portato, QUESTÃO 8 Seja p o poliômio dado por a + ( ) + ( ) a b a b b 8 b a 8 b a. j p( ) aj, com aj, j,,,, j e a. Sabedo-se que i é uma raiz de p e que p (), etão o resto da divisão de p pelo poliômio q, dado por q +, é igual a a). b) + c) + d). e) + lterativa O poliômio q pode ser reescrito, a forma fatorada, como: q + + q + omo o poliômio q tem grau, etão o resto r da divisão será da forma: r( ) a + b + c Logo, sedo t o quociete dessa divisão, temos que: p( ) q( ) t( ) + r( ) + t( ) + a + b + c omo p tem coeficietes reais e i é raiz de p, etão pelo teorema das raízes cojugadas, i também deve ser raiz de i. ssim, temos que: pi () i + i t( i) + a i + b i + c p( i) ( i) + i t( i) + a ( i) + b ( i) + c p() + t() + a + b + c pi () a+ b i+ c p( i) a b i + c p() a+ b + c Somado e subtraido as duas primeiras equações etre si, vem que: Portato: a c a b b a b c + + c r( ) +
(9) - O ELITE RESOLVE IT - MTEMÁTI QUESTÃO 9 osidere todos os triâgulos retâgulos com os lados medido a, a e a. Detre esses triâgulos, o de maior hipoteusa tem seu meor âgulo, em radiaos, igual a a) arctg b) arctg c) arctg d) arctg e) arctg lterativa Iicialmete, devemos aalisar as possibilidades de se formar um triâgulo retâgulo de lados a, a e a. Lembrado que a hipoteusa de um triâgulo retâgulo é o lado de maior medida, podemos dizer que o lado que mede a ão poderá ser hipoteusa já que, a > a, para qualquer a real positivo. Deste modo, basta que aalisemos dois casos, que são listados abaio: º caso: a é a medida do maior lado e, portato, hipoteusa. Sedo assim, pela relação de Pitágoras, segue: a a + a omo a deve ser um real positivo, pois represeta a medida de um lado do triâgulo, etão: a a + a a a a Logo, o triâgulo retâgulo será o da ilustração abaio: α º caso: a é a medida do maior lado e, portato, hipoteusa. Sedo assim, pela relação de Pitágoras, segue: a a + a omo a deve ser um real positivo, pois represeta a medida de um lado do triâgulo, etão: a a a a a a a a a + + Logo, o triâgulo retâgulo será o da ilustração abaio: α Sedo assim, o triâgulo formado o segudo caso é o que apreseta maior hipoteusa detre as duas situações. lém disso, como o meor âgulo é oposto ao meor lado, etão α represeta o meor âgulo. Logo, QUESTÃO Os valores de [, ] que satisfazem a equação se( ) cos( ) a) arccos e b) arcse e c) arcse e d) arccos e e) arccos e Reescrevedo a equação do euciado, temos: se( ) cos( ) se( ) + cos( ) lterativa Elevado ambos os lados da equação ao quadrado, segue que: [ se( ) ] [ + cos( ) ] se ( ) + cos( ) + cos ( ) ( cos ( ) ) + cos( ) + cos ( ) cos ( ) + cos( ) Logo, cos( ) ± ( ) ± 8 cos( ) cos( ) ou cos Portato, respeitado [, ], temos: QUESTÃO cos( ) cos( ) arccos Sejam α e β úmeros reais tais que α, β α+β ], [ as equações α α cos cos + Etão, o meor valor de a). b). c). d). e cos( α+β) é igual a β β cos cos + 7 7 e). Fazemos um troca de variável para cada equação: α cos β cos y e satisfazem lterativa ssim, ficamos com: α α cos cos + + + β β cos cos + y y + y y + 7 7 7 7 7 7 tg α α arctg
(9) - O ELITE RESOLVE IT - MTEMÁTI ou cos y ou y α α ou cos β β cos ou cos Para o âgulo α, usado a relação do arco duplo temos que: α α, cos cos cosα ou cosα Estado α o itervalo ], [, descartamos a possibilidade cosα e ficamos com: Já para o âgulo β, temos que: cos α α ou α β <β< < < Nesse itervalo, o cosseo tem a limitação: ssim, das possibilidades β < cos < β β β β cos ou cos cos ± ou cos ±, a úica que covém é β cos. Logo: β β 6 Portato, os pares ordeados ( αβ, ) que satisfazem a todas as restrições são de modo que: αβ,,,,, ou αβ 7 cos( α+β ) cos + cos ou 6 cos( α+β ) cos + cos 6 ssim, o meor valor de cos( α+β ) é: cos α+β QUESTÃO i Seja ( a ij ) a matriz tal que aij ( j ), i, j. osidere as afirmações a seguir: I. Os elemetos de cada liha i formam uma progressão aritmética de razão i. II. Os elemetos de cada colua j formam uma progressão geométrica de razão. III. tr é um úmero primo. É (são) verdadeira(s) a) apeas I. b) apeas I e II. c) apeas II e III. d) apeas I e III. e) I, II e III. matriz é dada por: 7 9 6 8 8 6 8 6 7 6 8 8 lterativa E Julgado cada afirmação: (I) orreta. De fato, temos ao logo de cada liha progressões aritméticas, cujas razões são (ª liha), (ª liha), 8 (ª liha), 6 ( ª liha) e ( ª liha): (II) orreta. De fato, temos ao logo de cada colua progressões geométricas de razão. (III) orreta. O traço da matriz é dado por: que é um úmero primo. tr + 6 + + 6 + 7, QUESTÃO osidere a matriz M ( m ij ) tal que mij j i +, i, j,. Sabedo-se que k det M k, etão o valor de é igual a a). b). c) 6. d) 7. e) 8. lterativa Temos: Observe que: Por idução, teríamos que: M M M M M 6 M M M 6 8 M M k k M ssim, a soma das potêcias de M é dada por: k 6 S M k + + + +, ode S é a soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética de primeiro termo e razão. Tal soma é dada por: ( + ) S +, de modo que: Portato: k M k k + k + + M
(9) - O ELITE RESOLVE IT - MTEMÁTI Segue que: r k + det M k + + Por pesquisa de raízes racioais, descobrimos que 6 é raiz desse poliômio. ssim, pelo dispositivo de riot-ruffii: Logo: 6 7 + 6 + 7 + 6 ou + 7+ omo a equação + 7+ ão tem raízes reais, pois seu discrimiate é: ficamos com 6. 7 9 <, QUESTÃO osidere os potos (, ), (,) e a reta r : y + 6. Das afirmações a seguir: I. dr (, ) dr (, ). II. é simétrico de em relação à reta r. III. é base de um triâgulo equilátero, de vértice (,) ou (,) É (são) verdadeira(s) apeas: a).i. b).ii. c).i e II. d).i e III. e).ii e III. I VERDDEIR. Lembrado que a fórmula da distâcia do poto (, ) a + by + c é dada por Etão (, ) d r d (, r) Portato, as distâcias são iguais. a + by + c d a + b + 6 9 + + 6 9 + lterativa D y a reta II FLS. Para um poto ser simétrico a outro em relação a uma reta, devemos ter que o segmeto deve ser perpedicular à reta além dos potos equidistarem da mesma: r Ou seja, ão é o simétrico de em relação a reta r. III VERDDEIR. asta averiguar que para os potos dados, o triâgulo é equilátero. Pelo euciado d(, ) + 6 6. Etão d, ± + 7+ 9 6 d(, ) ( ± ) + ( ) 7+ 9 6 Etão como d( ) d( ) d( ),,, 6, a afirmação é verdadeira. QUESTÃO Dados o poto, e a reta r : + y, cosidere o 6 triagulo de vértices, cuja base esta cotida em r e a medida dos lados e é igual a. Etão, a área e o perímetro desse 6 triagulo são, respectivamete, iguais a a) e. b) e. c) e. d) e. e) e. lterativa E Primeiramete vamos calcular a distâcia do poto até a reta, que correspode a altura relativa a base do triâgulo. Etão temos o seguite esboço + 6 d + 6 P ' 6 Etão podemos descobrir o valor de aplicado Pitágoras o triâgulo Δ P : No etato, ossos potos são alihados verticalmete e ossa reta ão é horizotal: ' + 6 gora podemos calcular todos os valores pedidos. Perímetro + +.e 6 6 Área. 6
(9) - O ELITE RESOLVE IT - MTEMÁTI QUESTÃO 6 osidere as afirmações a seguir: I. O lugar geométrico do poto médio de um segmeto, com comprimeto fiado, cujos etremos se deslocam livremete sobre os eios coordeados é uma circuferêcia. II. O lugar geométrico dos potos (,y) tais que 6 + y y y é um cojuto fiito o plao cartesiao III. Os potos (,), (, -) e (,) pertecem a uma circuferêcia. Destas, é (são) verdadeira(s) a) peas I b) peas II c) peas III d) I e II e) I e III. lterativa I. VERDDEIR. Precisamos costruir uma equação paramétrica para descrever as coordeadas do osso poto. Vamos cosiderar uma situação o primeiro quadrate, pois, por simetria, isso se refletirá os outros quadrates. O osso parâmetro a será a distâcia do vértice até a origem. Observe o esboço abaio: a Etão, as coordeas do poto médio, serão iguais à metade de cada cateto do osso triâgulo. Sedo assim, temos as equações paramétricas: a a y Para retirar da forma paramétrica elevamos ao quadrado as equações: a a y + y Que é a equação de uma circuferêcia. II. FLS. Observe que podemos colocar em evidecia a equação: a 6 + y y y 6 + y y y Etão é um objeto que satisfaz a equação, mas este correspode ao eio y, que cotém ifiitos potos. III. FLS. Observe que quaisquer potos ão alihados defiem uma circuferêcia. asta etão, que testemos o alihameto dos potos. Fazemos isso através do determiate: + 9+ + Etão, os potos estão alihados e ão defiem circuferêcia. QUESTÃO 7 Seja D um trapézio isósceles com base maior medido, o lado D medido 9 e o âgulo D ˆ reto. distâcia etre o lado e o poto E em que as diagoais se cortam é: a) 8 b) 7 8 c) 8 d) 7 8 e) 8 lterativa E No triâgulo retâgulo D determiamos a medida do segmeto D utilizado o Teorema de Pitágoras: ( D) 9 + D Seja M a projeção ortogoal do poto E, ecotro das diagoais, sobre o lado do trapézio isósceles. Desta forma, desejamos determiar a medida do segmeto EM. Note que M é poto médio do segmeto, assim M M. Observe, aida, que o triâgulo D é semelhate ao triâgulo EM, ou seja, ΔD ΔEM ; caso âgulo-âgulo, etão: EM M D D 9 8 9 D E / M / QUESTÃO 8 Num triâgulo PQR, cosidere os potos M e N pertecetes aos lados PQ e PR, respectivamete, tais que o segmeto MN seja tagete à circuferêcia iscrita ao triâgulo PQR. Sabedo-se que o perímetro do triâgulo PQR é e que a medida de QR é, etão o perímetro do triâgulo PMN é igual a: a). b) 6. c) 8. d). e). 7
(9) - O ELITE RESOLVE IT - MTEMÁTI lterativa Deotemos por S, T, U e V os potos de tagêcia dos segmetos MN, PR, RQ e PQ a circuferêcia iscrita o triagulo PQR. ssim, RU RT, QU QV e, como RQ temos que RU + RT + QU + QV. Desta forma, como o perímetro do triâgulo PQR é, PT + PV, isto é Eq. PT + PV PM + MV + PN + NT Temos aida que MS MV, NS NT e, substituido estas duas últimas igualdades a equação ( ) obtemos o perímetro do triâgulo PMN: P N T S ( PM + MV ) + ( PN + NT ) ( PM + MS) + ( PN + NS) QUESTÃO 9 osidere uma circuferêcia, o primeiro quadrate, tagete ao eio O e à reta r : y. Sabedo-se que a potêcia do poto O (,) em relação a essa circuferêcia é igual a, etão o cetro e o raio de são, respectivamete, iguais a. a) (, ) e b), e c) (, ) e d) (, ) e M e) (, ) e R V lterativa Segue abaio a ilustração que descreve a situação do euciado. y U Q ( ) ± c omo a circuferêcia está o primeiro quadrate, etão c. Podemos otar, também, que: Mas, Logo, tg θ r tg θ r r tg θ r tg 8 cos cos θ θ tg tg cos + θ 8 + cos ( ) tg tg tg 8 8 + 8 + tg tg tg 8 8 8 Portato, r tg r ( ) r 8 (, ) e r QUESTÃO Uma taça em forma de coe circular reto cotém um certo volume de um líquido cuja superfície dista h do vértice do coe. dicioado-se um volume idêtico de líquido a taça, a superfície do líquido, em relação à origial, subirá de: a) h b) c) ( ) d) h h e) h lterativa baio temos uma represetação da taça com a distâcia h da superfície do líquido até o vértice e o quato a superfície do líquido subirá () após adicioar mais líquido. c E D Podemos otar que: y θ tg( θ ) θ lém disso, as coordeadas de são tais que: ( r) omo a potêcia da origem em relação à circuferêcia é igual a, etão: c, 8 O volume de líquido a situação fial será o dobro que a situação iicial, etão: V V fial Sabedo que os sólidos são semelhates, é válida a seguite relação: iicial h iicial Vfial h+ h+ h+ V h h h h h h
(9) - O ELITE RESOLVE IT - MTEMÁTI QUESTÃO osidere as fuções f, f, f :, sedo f( ) +, f( ) + e f( ) igual ao maior valor etre f ( ) e f ( ), para cada. Determie: a) Todos os tais que f ( ) f ( ). b) O meor valor assumido pela fução f. c) Todas as soluções da equação f( ). a) Temos que: f( ) f( ) + + + 6 + osideramos três casos para a abertura dos módulos: Para < : 9 + 6 ( + ) 9 Esse valor covém, pois satisfaz a restrição <. Para < : + 6 ( + ) Esse valor ão covém, pois ão satisfaz a restrição <. Para : + 6 ( + ) Esse valor covém, pois satisfaz a restrição. Em suma, os valores de tais que f ( ) f ( ) são: 9 ou. b) Os gráficos das fuções f e f estão esboçados a seguir: f omo f( ) má { f ( ), f ( ) }, isto é, a fução associa a cada o maior dos valores etre as images f ( ) e f ( ), o gráfico de f será: 9/ / y y / Pelo gráfico, observamos que o meor valor que a fução assume é: y MÍN / f f c) Observe pelo gráfico que: 9 f( ), se < f( ) 9 f( ), se < ou Portato, a equação f( ) fica reescrita como: 9 (I) Para < : f( ) f( ) + (satifaz a restrição) ou (ão satifaz a restrição) 9 (II) Para < ou : f( ) f( ) + + ± 7 (satifaz a restrição) ou (ão satifaz a restrição) ssim, a equação f( ) tem como cojuto verdade: 7 { } V, QUESTÃO osidere o poliômio p dado por pz 8z +βz 7z β em que β é um úmero real. a) Determie todos os valores de β sabedo-se que p tem uma raiz de módulo igual a e parte imagiária ão ula. b) Para cada um dos valores de β obtidos em a), determie todas as raízes do poliômio p. a) omo p(z) é um poliômio de coeficietes reais e com raiz complea w (com parte imagiária diferete de zero), temos que w também será raiz. Portato, as raízes de p são w, w e r, com r. Podemos escrever: w a+ bi e w a bi. Utilizado as relações etre as raízes (Girard), segue: β w + w + r 8 7 w w + w r + w r 8 β w w r 8 Veja que w. ssim, temos que: a + b a + b Lembrado que w w w, podemos maipular o sistema acima: β a+ bi + a bi + r β 8 a+ r 8 7 7 w w + a bi r + a+ bi r + ar 8 8 β β w w r r 8 8 Isolado a em fução de β : β β β β a+ r a a 8 8 8 8 Substituido a seguda equação: 9
(9) - O ELITE RESOLVE IT - MTEMÁTI 7 β β 7 + ar + β β ± 8 8 8 8 Portato, β ou β. b) Tomado β : β r r r 8 8 6 β a a a 8 8 6 a + b a + b b ± 6 Portato, as raízes são + i i,,. 6 6 6 gora, para β : β r r r 8 8 6 β ( ) a a a 8 8 6 a + b a + b b ± 6 Portato, as raízes são +, i i,. 6 6 6 QUESTÃO Sabe-se que,,, D e E são cico úmeros reais que satisfazem às propriedades: (i),,d,e são dois a dois distitos; (ii) os úmeros,, e os úmeros,, E, estão, esta ordem, em progressão aritmética; (iii) os úmeros,,d,e, estão, esta ordem, em progressão geométrica. Determie,,D,E.,,, + r, + r e Pela iformação (ii) podemos escrever como (, E, ) também é progressão aritmética, temos (, E, ) (, + r, + r). Etão: (, DE,,, ) (, + r,+ r, D,+ r) gora, pela iformação (iii), temos que ( DE,,, ) é uma progressão geométrica. Vamos deotar sua razão por q, etão: Uido isso temos + r E + r q e q + r + r + r + r ( + r) ( + r) ( + r) + r + r + 6r + r + 8r r + 9r + 6r + r + r E como a iformação (i) os garate que r, temos que r + r, etão (, DE,,, ),,, D,. Por fim, utilizado ovamete a iformação (iii) q q D ( ) Etão ( DE),,,,,,. QUESTÃO Seja Μ dado por { + : } M z az z e z, com a. Determie o maior elemeto de M em fução de a. Primeiramete, como temos um úmero compleo com módulo uitário, vamos escreve-lo como z cisθ cosθ+ iseθ. gora, queremos maimizar a epressão E z + az. Perceba que como a epressão é ão egativa, podemos maimizar seu quadrado. Etão, utilizado a relação w w w : E z + az z + az z + az zz + az zz z + az zz + a zz az z az + Utilizado etão que zz z : E + az z + az + a az Etão E a cos( ) z az + + a ( z + z ) + a Re z + a cos θ + θ, e esse valor é maimizado quado cos( θ ), ou seja, máimo é θ (z i ) ou + E a E a + má θ (z i ) e o valor QUESTÃO Seja S o cojuto de todos os poliômios de grau que têm três dos seus coeficietes iguais a e os outros dois iguais a. a) Determie o úmero de elemetos de S. b) Determie o subcojuto de S formado pelos poliômios que têm como uma de suas raízes. a) Seja má p( ) a + a + a + a + a Detre seus cico coeficietes, basta escolher quais os três que serão iguais a. Logo, o total de poliômios as codições apresetadas: poliômios b) Se for raiz do poliômio, temos que: p( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) + a ( ) + a a + a + a a + a omo dois coeficietes são iguais a, e os restates iguais a, etão o meor valor que o lado esquerdo assume é, equato o maior valor que o lado direito assume é. Ou seja, a úica maeira de essa igualdade se verificar é se os dois lados forem iguais a. Ficamos com as opções: a a a a a a ou ou a a a a a a a a a Portato, o subcojuto de S pedido é: { + + + +, + + + +, + + + + } QUESTÃO 6 Três pessoas, aqui desigadas por, e, realizam o seguite eperimeto: recebe um cartão em braco e ele assiala o sial + ou o sial, passado em seguida a, que matém ou troca o sial marcado por e repassa o cartão a. Este, por sua vez, também opta por mater ou trocar o sial do cartão. Sedo de / a probabilidade de escrever o sial + e de / as respectivas probabilidades de e trocarem o sial recebido, determie a probabilidade de haver escrito o sial de + sabedo-se ter sido este o sial ao térmio do eperimeto.
(9) - O ELITE RESOLVE IT - MTEMÁTI Iicialmete, vamos determiar as probabilidades dos evetos de escolha de sial. I. pessoa : desigado por + e os evetos de assialar o cartão sial + e sial, respectivamete, temos as seguites probabilidades: P( + ) e P( ) P( ) + II. pessoas e : sedo M o eveto de mater o sial e T o de troca de sial, temos as probabilidades: PT e P( M) P( T ) probabilidade que estamos procurado é dada por: ( + + ) P ( + + ) P( ) P, ode + é o eveto de termiar com sial +. ssim, vejamos as possibilidades do eveto + : Probabilidade + + + + - + - - + - + + + Dessa maeira, a probabilidade do eveto + é: P ( ) + + 7 Repare que o para começarmos com sial +, basta olharmos para as duas lihas iiciais da tabela. Daí, temos os seguites casos: Probabilidade + + + + - + Logo, a probabilidade de ocorrer o eveto é: + + P( + + ) + 7 Portato, a probabilidade que procuramos é dada por: ( + + ) P P( + + ) 7 P( ) + 7 QUESTÃO 7 Seja um iteiro positivo tal que se. a) Determie. b) Determie se. a) Da epressão do cosseo do arco duplo, temos que: cos se cos Sedo iteiro positivo, etão. Portato: 6 6 b) Sedo 6, segue do euciado que: se Da relação fudametal da Trigoometria: + + + ± se cos cos cos omo, etão ficamos com o sial positivo: + cos gora, usado ovamete a epressão para o arco duplo, vem que: + cos cos se + se ± omo, etão ficamos com o sial positivo: Observação Podemos epressar cos + se de outro modo, fazedo: cos cos cos cos + se se + 6 6 6 6 + cos ssim, a resposta também pode ser epressão da seguite maeira: 6 + cos se 6 se 8 QUESTÃO 8 Sejam α e β úmeros reais ão ulos. Determie os valores de b, c, d, bem como a relação etre α e β para que ambos os sistemas lieares S e T a seguir sejam compatíveis idetermiados. + by α c + y α S T c + y β + dy β Sedo α e β ão ulos, para que cada um dos sistemas lieares apresetados seja possível e idetermiado, devemos ter uma relação de proporcioalidade etre os coeficietes correspodetes em cada equação: b α c β, c α d β Reescrevedo uma úica cadeia de igualdades, temos: c b c α d β
(9) - O ELITE RESOLVE IT - MTEMÁTI Da primeira igualdade: c 8 c c c ± Voltado à cadeia de igualdades, temos: c α b d β ou c α b d β b b c ou c d d β α β α QUESTÃO 9 Sabe-se que a equação + y y + 8y 6 represeta a reuião de duas retas cocorretes, r e s, formado um âgulo agudo θ. Determie a tagete de θ. Podemos pesar em ossa equação como uma equação de segudo grau em y (ou em, mas veremos que é mais coveiete em y essa situação): + y y + y 8 6 + + + y y 8 6 Etão, lembrado que a codição para que a equação geral de segudo grau represete um par de retas, é ter o discrimiate igual a um triômio quadrado perfeito. Segue que: ( 8) ( 6) 9 6 6 ( 7 ) Δ + + + + Etão as retas serão dadas por: ( 8) ( 7 ) + ± + y y + ou y + ssim os coeficietes agulares de ossas retas são m e m. Logo, a tagete do âgulo agudo etre as retas é dado por: m m tg θ tg( θ ) 7. + m m + QUESTÃO Na costrução de um tetraedro, dobra-se uma folha retagular de papel, com lados de cm e cm, ao logo de uma de suas diagoais, de modo que essas duas partes da folha formem um âgulo reto e costituam duas faces do tetraedro. Numa seguda etapa, de maeira adequada, completa-se com outro papel as faces restates para formar o tetraedro. Obteha as medidas das arestas do tetraedro. Segue abaio a ilustração que represeta a situação descrita o euciado. ' Sedo assim, das 6 arestas do tetraedro D ' cm e ' D cm D ' já estão defiidas. Note que a diagoal do retâgulo origial também será uma das arestas e sua medida, pelo teorema de Pitágoras, será: ( ) + cm Note que a seta aresta a defiir será D. ' Deste modo, para obter a medida desta aresta, devemos obter iicialmete os lados H ' e DH. Deste modo, pelas relações métricas o triâgulo retâgulo ', temos: 9 ' ( H ) ( H) ( H) 9 9 ( H ' ) ( H) ( H) ( H ' ) ( H ' ) ( DH ) Note que Portato, E por Pitágoras, temos: ( H ) ( H ) 9 7 ( HH ) ( HH ) + 7 + 9 ( HH ) ( DH ) ( DH ) ( DH ) ( DH ) E, por fim, pelo teorema de Pitágoras o triâgulo DH, ' segue que: 9 D ' DH + H ' D ' + ( D ' ) 7 cm Equipe desta resolução Matemática lessadro Foseca Esteves oelho Darcy Gabriel ugusto de amargo uha Thais de lmeida Guizellii Digitação e Diagramação Douglas arvalho Gerso Oliva Lucas Rubi Rosa Revisão e Publicação Dailo José de Lima Fabiao Goçalves Lopes Felipe Eboli Sotorilli H H D