XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 Alocção de recursos e seqüencmento de tvddes no plnemento e controle de proetos Clrsse d Slv Ver (UFMG) cosver@terr.com.br Crlos Roberto Venânco de Crvlho (UFMG) crlos@ufmg.br Resumo Este rtgo present o desenvolvmento e proposção de um modelo pr um problem de locção de recursos e seqüencmento de tvddes no plnemento e controle de proetos. Comumente, este problem é trtdo n ltertur com dscretzção do tempo em períodos elementres, com s possblddes de quntddes de recursos pr execução de cd tvdde nclmente á defnds, e com s seqüêncs de execusão ds tvddes tmbém á estbelecds. Insprdo num modelo de sequencmento de produção, o problem estuddo consder o tempo e quntdde locd de recursos como vráves contínus. A locção smultâne de recursos renováves são modelds trvés de vráves bnárs de seqüencmento. Um proposção é fet pr tornr lner relção tempo de execução e quntdde de recurso utlzd pr relzção ds tvddes. A consstênc do modelo proposto é lustrd com resultdos numércos. Plvrs-chve: Admnstrção de Proetos, Alocção de Recursos, Seqüencmento de tvddes. 1. Introdução Os problems típcos d dmnstrção de proetos, em sum mor, são grndes e complexos e vêm exgndo utlzção de técncs cd vez ms efcentes. Esss técncs possuem um grnde plcbldde em dverss áres d ndústr. No entnto, segundo Brucer et l. (1999) ess temátc nstg tmbém os pesqusdores, pos os modelos dess áre são complexos e, conseqüentemente, dfíces de serem resolvdos. As técncs e ferrments de nturez quntttv propcm o plnemento, progrmção e o controle de um proeto consderndo spectos relevntes, como dmnstrção do tempo e locção de recursos. Pode-se destcr locção de recursos lmtdos pr execução de tvddes que os comprtlhm como um dos problems vts n dmnstrção de proetos. Cd vez ms um vst vredde de progrms mtemátcos tem sdo propost pr tentr resolver o problem de locção de recursos. Inserd nesse contexto, Progrmção Lner Inter Mst é um método d Progrmção Mtemátc propíco pr resolução dos problems borddos e consstente o sufcente pr poder gerr bons resultdos n resolução de problems típcos d dmnstrção de proetos. Dus ds vntgens d utlzção desse método, segundo Pfffenberger & Wler (1976), são flexbldde e cpcdde de representr s constntes e s vráves dos problems de um mner próxm o cenáro rel. A utlzção d Progrmção Lner Inter Mst, de cordo com os mesmos utores Pfffenberger & Wler (1976), tmbém permte obtenção de um solução ótm pr o problem.. O problem de seqüencmento de tvddes O Problem de Seqüencmento em Proeto com Restrção de Recurso - PSPRR - (Resource- Constrned Proect Schedulng Problem - RCPSP), segundo Brucer et l. (1999), é 1
XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 bscmente consttuído, por um conunto de n tvddes ( = 1,,..., n) e r recursos renováves. Cd tpo de recurso está dsponível em um quntdde constnte de R unddes. A tvdde é executd em p unddes de tempo sem ser nterrompd, ou se, restrção de não preempção deve ser respetd. Cd tvdde necesst de um quntdde constnte r de unddes do recurso pr ser executd. Os vlores de R, p e r são nteros não negtvos. As relções de precedêncs são defnds entre s tvddes. O obetvo é determnr dt de níco S pr cd tvdde = 1,..., n do proeto tl que quntdde de cd tpo de recurso utlzd, durnte um determndo período de execução, se menor ou gul à quntdde totl dsponível desses recursos; tods s relções de precedênc sem n stsfets e o mespn Cmx = mx = 1 C se mnmzdo, onde C = S + p é dt de conclusão d tvdde. Os problems dervdos d defnção básc do PSPRR são gerlmente NP-dfícl (GAREY & JOHNSON, 1975). Város modelos de progrmção lner nter e nter mst são propostos n ltertur. Entre eles, destcm-se os modelos propostos por Brucer & Knust (000) e Crler & Néron (003), onde s quntddes de recursos locdos são conhecds e s preempções de tvddes são dmtds. Mngozz et l. (1998) relx, tmbém, prclmente s restrções de precedêncs. O modelo qu proposto fo nsprdo nos modelos pr o problem do Job Shop de Mnne (1960) e o problem de ntegrção do Job Shop com um problem de dmensonmento de lote de produção de Lsserre (199). O problem estuddo consder o tempo e quntdde locd de recursos vráves contínus. A locção smultâne de recursos renováves são modelds trvés de vráves bnárs de seqüencmento. Um proposção é fet pr lnerzção d relção tempo de execução e quntdde de recurso utlzd pr relzção ds tvddes. Um exemplo numérco, utlzndo o módulo de resolução de problems lneres ntero msto do GLPK de Mholn (00), é mostrdo. 3. Contextulzção do problem estuddo O problem de locção de recursos em dmnstrção de proetos, estuddo qu neste rtgo, consste em defnr nclmente s quntddes máxms de cd tpo de recurso renovável que podem ser locds pr executr cd um ds tvddes de um proeto. Dess form, defne-se o tempo mínmo que cd tvdde pode ser executd, este tempo mínmo é clculdo qundo se utlz quntdde máxm de recurso pr execução d tvdde. Consderndo não dsponbldde d quntdde totl de cd recurso utlzd nclmente pr o cálculo dos tempos mínmos e ndvdus de execução de cd tvdde, o problem consste, então em defnr quntdde de cd recurso que deve ser retrd pr execução de cd tvdde do proeto; defnr seqüênc ds tvddes que utlzm um mesmo recurso, de mner que os recursos exstentes sem sufcentes e tngr um obetvo, por exemplo, mnmzr dt de térmno do proeto. Consderndo então lmtção d dsponbldde de recursos, o tempo de execução de cd tvdde é escrto qu como um relção lner d quntdde ser retrd de cd recurso utlzdo pel tvdde. A decsão do dmnstrdor do proeto consste em defnr s quntddes de cd tpo de recurso que devem ser utlzds pr executr cd um desss tvddes e relção de precedênc dequd entre s operções que utlzm de um mesmo recurso. Note que s conseqüêncs dests decsões nfluencrão dretmente no tempo totl e no custo totl de execução do proeto.
XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 4. Notções e defnções ncs Se p o tempo de execução de cd tvdde que utlz um determndo recurso (r() =) clculdo qundo é locd quntdde máxm q que se pode utlzr deste recurso pr executr tvdde. Assm, p é o vlor do lmte nferor pr o tempo de execução d tvdde. Observ-se que o vlor de p é sempre mor que zero (p > 0), ou se, exste um tempo mínmo pr execução de cd tvdde, ndependente d quntdde de recursos locd. Por outro ldo, execução de um tvdde qulquer que necesst do recurso é condcond à locção de um quntdde mínm q deste recurso. Ao locr quntdde mínm do recurso, necessár pr execução d tvdde, o tempo de execução dess tvdde ssume um vlor máxmo p. Assm, p é o vlor do lmte superor pr o tempo de execução d tvdde. Ao plner um proeto, propõe-se então, consderr os vlores dos tempos de execução de cd tvdde que utlz de lgum recurso como sendo p, sto é, locr mor quntdde possível q do recurso r() = em tods s tvddes que necesstm deste recurso pr su execução. Consderndo que quntdde totl Q do recurso dsponível é: Q = r( ) = Menor ou gul à quntdde totl máxm : q locd nclmente pr executr s tvddes que necesstm deste recurso, conforme form clculdos os seus tempos de execução p ; Mor ou gul à quntdde totl mínm Q = : r( ) = q do recurso necessár pr executr tods s tvddes que utlzm deste recurso. As dus condções cm vblzm formulção mtemátc do problem, pos, por um ldo, se Q > Q, gerenclmente ser vável locção ds quntddes máxms de recurso q pr executr tods s tvddes ; por outro, se Q < Q o problem não ter solução vável. O problem consste então em determnr quntdde rel x de recurso que dexrá de ser locd pr executr tvdde, de form que lmtção d dsponbldde do recurso se respetd. Ao retrr recursos pr execução de um tvdde, o seu tempo de execução deve crescer em função d quntdde retrd. Se o tempo de execução p d tvdde cresce lnermente com quntdde rel de recursos retrdos x, em um gráfco onde ns bscsss estão s vráves x e ns ordens os vlores de p, tem-se ret que pss pelos pontos: (0, p ) e (q q, p ). Assm obtém-se equção d ret: onde: p = p + x (1) p p ; í =. () q q Note que > 0 é o ftor de crescmento de p em relção à retrd de recursos x. Se = 0, o tempo de execução d tvdde ndepende do recurso. O lmte nferor de x, n equção (), é nulo, sto é, se tod quntdde q de recurso (r() = ) for utlzd, conforme clculdo nclmente, o tempo de execução de é p = p. O lmte superor de x é (q - q ), resultndo em p = p, sto é, obtém-se o mor tempo de execução p qundo se utlz menor quntdde q pr executr tvdde. Em resumo, 3
XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 x ( q q ). (3) 0 Um trnslção de coordends pode ser fet pr smplfcr equção (1), trnsformndo- n equção (4) mostrd bxo. onde x x + = clculr os lmtes nferor p = x, (4) p. Pr que equção (4) se equvlente à equção (1), é necessáro l ì e superor p l l de x l x : = = + ( ) Como, por defnção, p, p e são estrtmente postvos, os vlores de estrtmente postvos, sto é: 5. Um problem de locção de recursos renováves p q q p =. (5) l ì e l tmbém são l > 0 e l > 0. (6) Consdere que, pr se executr determnds tvddes, se necessár utlzção de recursos renováves. Assm, s tvddes que não possuem relções de precedênc, ms que utlzm um mesmo recurso, não podem ser executds em prlelo. Nesse cso, são dos tpos de decsão dstntos que se devem tomr: decdr seqüênc de execução entre s tvddes que utlzm um mesmo recurso e decdr o qunto utlzr de cd recurso n execução ds tvddes. 6. Defnções do problem K: conunto de recursos renováves; N: conunto de tods s tvddes, composto por: N 1 : conunto de tvddes que têm s quntddes dos recursos necessáros defnds prevmente; N : conunto de tvddes que utlzm lgum recurso renovável, N 1 N = Ø e N = N 1 N ; r: função plcd o conunto N pr defnr o recurso que cd tvdde em N utlz: r( ) =, N, K ; N : conunto ds tvddes que utlzm o recurso, K N = N ; = 1 p : N IR + : função pr representr o tempo de execução de cd tvdde do proeto. O vlor de p é ddo dferentemente pr s tvddes de N 1 e N : tvddes em N 1 : p é constnte; tvddes em N : p = x, onde: > 0: coefcente do umento do tempo de execução d tvdde qundo um undde do recurso (r()=) é retrd; p x = x + : onde x é quntdde rel de recurso (r()=) que dexrá de ser locd pr execução d tvdde ; 4
XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 p e q : p é o menor tempo de execução d tvdde. O vlor de p é clculdo qundo se utlz mor quntdde q do recurso r() = pr executr tvdde; p e q : p é o mor tempo de execução d tvdde. O vlor de p é clculdo qundo se utlz menor quntdde q do recurso r() = pr executr tvdde; p l = ( N ) : quntdde mínm do recurso (r() = ) que deve ser retrd pr execução d tvdde ; p p l = + ( q q ) = ( N ) : quntdde máxm do recurso (r() = ) que se pode retrr pr executr tvdde ; A: conunto de pres de tvddes (, ), tl que N, N e, que represent s relções de precedênc entre s tvddes: tvdde deve ser executd ntes d tvdde ( ). O conunto A é prtcondo em: A 1 = {(, ) N1 N : }: conunto de pres de tvddes pr representr s relções de precedênc entre dus tvddes do proeto; A = {(, ) N ( N N ): e r( ) = }: conunto de pres de tvddes pr representr s relções de precedênc entre s tvddes que utlzm o recurso e s dems tvddes que não utlzm o recurso ; E = {(, ) N N : r( ) = r( ) =, = 1,..., }: conunto de pres de tvddes pr representr dus tvddes, e, que utlzm um mesmo recurso renovável. Note que, se (, ) E então (, ) E. Observ-se que A1 A = A1 E = A E = Ø e A = A1 A E. As vráves de decsão são defnds: t : dt de nco d tvdde ; p x = x + : onde x é quntdde rel de recursos (r() = ) que dexrá de ser locd pr execução d tvdde. 7. Modelo lner proposto O modelo de Progrmção Mtemátc Lner Inter Mst básco pr esse problem é então escrto: Mnmzr (7) t (n) 5
XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 Sueto t t p t t x 0 t t x My t t x + My 0 y x q í t 0 M l x l { 0,1} p q + (,) (,) (, ) (, ) N N A E e E e N e r( ) = 1 A (, ) E A função obetvo (7) é mnmzção d dt de fnlzção do proeto. As restrções (8) e (9) grntem que s relções de precedênc entre dus tvddes que não utlzm um mesmo recurso sem respetds. As restrções (10) e (11) ssegurm que dus tvddes que utlzm um mesmo recurso não serão executds smultnemente. A restrção (1) grnte que s lmtções referentes às quntddes de recursos utlzdos serão respetds. O domíno ds vráves é defndo pels restrções (13), (14) e (15). Ns restrções (10) e (11), o prâmetro M defne o lmte superor do tempo de execução de tods s tvddes e s vráves de decsão y = 1, determnm que tvdde precede tvdde, cso contráro y = 0. Com o pr de restrções (10) e (11), note que, em um solução qulquer do modelo, se y = 1, restrção (10) é tvd com t t x 0, portnto stsfet, e restrção (11) será tmbém stsfet com t t x M, pos, o prâmetro M é sufcentemente grnde pr que o ldo dreto d restrção se menor que o ldo esquerdo, pr qusquer vlores postvos de t, t e x obtdos pel solução. Por outro ldo, se y = 0, restrção (10) é tvd, portnto respetd, com t t x 0, e restrção (11) será tmbém stsfet com t t x M pr qusquer vlores postvos que s vráves t, t e x ssumm n solução. 8. Exemplo Como exemplo, consdere um proeto composto por dez tvddes, dus fctícs, cus relções de precedêncs são defnds pelo grfo G(N, A) d fgur 1 bxo: (8) (9) (10) (11) (1) (13) (14) (15) Fgur 1 Grfo G(N, A) do problem exemplo 6
XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 Assm: N = {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; N = {0, 1, 10}; N = {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; A 1 = {(0,1), (1,), (1,3)}; A = {(,4), (3,5), (4,6), (4,9), (5,6), (5,7), (6,8), (6,9), (7,8), (8,10), (9,10)}; E = {(,3), (3,), (4,5), (5,4), (6,7), (7,6), (8,9), (9,8)}. O problem consste em determnr quntdde rel x de recurso renovável que dexrá de ser locd pr executr tvdde, de form que lmtção d dsponbldde de recurso se respetd. São ddos gerencs do problem: Atvddes que não comprtlhm recursos: 0, 1 e 10. Pr esss tvddes o tempo de execução é constnte e gul : p 0 = 0, p 1 = 7 e p 10 = 0; Atvddes que comprtlhm recursos, o recurso comprtlhdo, s quntddes dsponíves de cd recurso pr cd tvdde, quntddes máxms e mínms de recursos utlzdos e os respectvos mínmos e máxmos tempos de execução. Com estes ddos é possível obter os vlores ds txs de crescmento do tempo de execução em função ds vráves x e dos lmtes nferor e superor pr s vráves x. A tbel 1 mostr os ddos e os vlores ds vráves t, x, x e p n solução ótm pr este exemplo: Ddos Solução Gerencs Clculdos Atvddes Recursos q q p q p l l q -q t x x p 1 - - - - - - - - - - 0 - - 10 R 1 6,33 13,66 1 1 39 3 0,33 13 7,33 33 7,66 7,33 3 3 7,5 1,75 1 1 48 4 0,5 1 5,50 10 5,75 5,50 3 4 R 5,50 10,50 1 1 0 0,50 10 5,00 56 5,50 5,00 11 5 9,5 14,75 1 1 56 4 0,5 14 5,50 33 5,75 5,50 3 6 R 3 11,5 18,75 1 1 7 4 0,5 18 7,50 67 7,75 7,50 31 7 8,50 10,50 1 1 0 0,50 10,00 98 10,00 9,50 0 8 R 4 9,5 14,75 1 1 56 4 0,5 14 5,50 11 5,75 5,50 3 9 7,33 14,66 1 1 4 3 0,33 14 7,33 98 7,66 7,33 3 10 - - - - - - - - - - 144 - - 0 Tbel 1 Ddos e solução do problem exemplo A solução ótm encontrd defne, tmbém, os vlores ds vráves y 3 = 0, y 45 = 0, y 67 = 1 e y 89 = 0. Isto sgnfc que tvdde será executd depos d tvdde 3, 4 depos d 5, 6 ntes d 7 e tvdde 8 depos d tvdde 9. Est solução pode ser melhor vsulzd Dgrm de Gntt, mostrdo pel fgur : 7
XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 Fgur Dgrm de Gntt do problem exemplo Note que s tvddes e 3, 4 e 5, 6 e 7, 8 e 9 comprtlhm o mesmo recurso. Assm, mesmo não hvendo relções de precedênc entre els, esss tvddes não podem ser executds em prlelo. 9. Conclusões O nteresse deste rtgo fo estudr os problems de seqüencmento de tvddes em proetos com restrções de recursos. O modelo proposto teve como obetvo mnmzção do tempo totl de execução do proeto. Esse obetvo fo tngdo trvés de um locção dequd de recursos necessáros pr execução ds tvddes e, tmbém, trvés do seqüencmento desss tvddes. As relções de precedênc entre s tvddes do proeto tmbém form grntds. O modelo presentdo fo mplementdo e utlzdo n resolução de lguns exemplos desse tpo de problem, o que pode ser comprovdo em Ver (004). Os resultdos numércos obtdos mostrrm que o modelo proposto pode ser resolvdo computconlmente. Entretnto, é bem conhecd complexdde ds restrções de seqüencmento nserds no modelo. Assm, em problems que possuem um número elevdo dests restrções, certmente surgrão lmtções computcons em sus execuções numércs. Devdo o gru de dfculdde dos problems de seqüencmento, pode-se conclur necessdde do prossegumento d pesqus pr relzção de trblhos futuros, explorndo o tem borddo e perfeçondo o modelo presentdo. Referêncs BRUCKER, P.; DREXL, A.; MÄOHRING, R.; NEUMANN, K. & PESCH, E. Resource-Constrned Proect Schedulng: Notton, Clssfcton, Models, nd Methods. Europen Journl of Opertonl Reserch, Vol. 11, p. 3 41, 1999. BRUCKER, P. & KNUST, S. A Lner Progrmmng nd Constrnt Propgton-Bsed Lower Bound for the RCPSP. Europen Journl of Opertonl Reserch, Vol. 17, p. 355 36, 000. CARLIER, J. & NÉRON, E. On Lner Lower Bounds for the Resource Constrned Proect Schedulng Problem. Europen Journl of Opertonl Reserch, Vol. 149, p. 314 34, 003. GAREY, M. R. & JOHNSON, D. S. Complexty Results for Multprocessor Schedulng Resource Constrnts. SIAM J. Comput, Vol. 4, p. 397 411, 1975. LASSERRE, J. B. An Integrted Model for Job-Shop Plnnng nd Schedulng. Mngement Scence, Vol. 38, n. 8, p. 101-111, 199. MACHOLIN, A. GNU Lner Progrmmng Kt: Refernce Mnul. Free Softwre Foundton, Inc., 00. MANNE, A. S. On the Job-Shop Schedulng Problem. Opertons Reserch, 8, 1960. 8
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