Alocação de recursos e seqüenciamento de atividades no planejamento e controle de projetos

Documentos relacionados
UM MODELO PARA A ALOCAÇÃO DE RECURSOS E SEQÜENCIAMENTO DE ATIVIDADES PARA ADMINISTRAÇÃO DE PROJETOS

Universidade do Vale do Rio dos Sinos UNISINOS Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Ajuste de equações

Eixos e árvores Projeto para eixos: restrições geométricas. Aula 4. Elementos de máquinas 2 Eixos e árvores

Lista de Exercícios - Otimização Linear Profa. Maria do Socorro DMAp/IBILCE/UNESP. Método Simplex

Método de Gauss-Seidel

PARTE I. Figura Adição de dois vetores: C = A + B.

Fernando Nogueira Dualidade 1

Proposta de resolução do Exame Nacional de Matemática A 2016 (1 ạ fase) GRUPO I (Versão 1)

Capítulo 5 AJUSTAMENTO DOS VETORES OBSERVADOS. os possíveis vetores de serem formados entre as estações, ou seja,

2 Teoria de membranas elásticas

CAP. VI Integração e diferenciação numéricas. 1. Introdução

AUTOVALORES E AUTOVETORES

ESTIMATIVA DE ERROS DE DISCRETIZAÇÃO MULTIDIMENSIONAL EM DINÂMICA DOS FLUIDOS

CAPÍTULO IV DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA

Escalonamento de processos num sistema computacional multi-processo e uni-processador

SOCIEDADE PORTUGUESA DE MATEMÁTICA

1a Verificação Refino dos Aços I EEIMVR-UFF, Setembro de 2011 Prova A

Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos I Prof. Willyan Machado Giufrida. Características geométrica das superfícies planas

Universidade do Vale do Rio dos Sinos UNISINOS Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Ajuste de equações

Aula 1b Problemas de Valores Característicos I

Módulo de Matrizes e Sistemas Lineares. Operações com Matrizes

Cinemática de Corpos Rígidos Cinética de Corpos Rígidos Métodos Newton-Euler Exemplos. EESC-USP M. Becker /67

MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS

QUEBRA-CABEÇA DE LANGFORD UM CONVITE AO PENSAMENTO CRIATIVO MATEMÁTICO

Muitas vezes, conhecemos a derivada de uma função, y = f (x) = F(x), e queremos encontrar a própria função f(x).

Revisão de Matemática Simulado 301/302. Fatorial. Análise combinatória

Obtendo uma solução básica factível inicial. Método Simplex duas fases

ANÁLISE DE ESTRUTURAS I

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A. 6º Teste de avaliação versão2. Grupo I

Matriz-coluna dos segundos membros das restrições técnicas. Matriz-linha dos coeficientes das variáveis de decisão, em f(x) = [ c c ] [ 6 8] e C a

Angela Nieckele PUC-Rio DIFUSÃO

Capítulo 4. Vetores. Recursos com copyright incluídos nesta apresentação:

XI OMABC NÍVEL O lugar geométrico dos pontos P x, y cuja distância ao ponto Q 1, 2 é igual a y é uma:

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.

6º Teste de avaliação versão1. Grupo I

Busca. Busca. Exemplo. Exemplo. Busca Linear (ou Seqüencial) Busca em Vetores

Primeira Prova de Mecânica A PME /08/2012

Aula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

MODELO PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE LAYOUT DE INSTALAÇÕES COM A TECNOLOGIA

Definição de áreas de dependência espacial em semivariogramas

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

Calibração de Modelo Hidráulico de Rede de Distribuição de Água

TÓPICOS. Exercícios. Os vectores que constituem as colunas da matriz, 1 = [ 2 0 1] T

Física Geral e Experimental I (2011/01)

MÉTODOS NUMÉRICOS. Integração Numérica. por Chedas Sampaio. Época 2002/2003. Escola Náutica I.D.Henrique 1de 33

(B) (A) e o valor desta integral é 9. gabarito: Propriedades da integral Represente geometricamente as integrais para acompanhar o cálculo.

Propriedades Matemáticas

TP062-Métodos Numéricos para Engenharia de Produção Ajuste de Curva pelo Método dos Quadrados Mínimos-MQM

Complexidade de Algoritmos

6.2 Sabendo que as matrizes do exercício precedente representam transformações lineares 2 2

REGRESSÃO LINEAR. À variável Y cujo comportamento se pretende estudar dá-se o nome de variável dependente.

Integração Numérica Regras de Newton-Cotes

Métodos Numéricos Ajuste de Curva pelo Método dos Quadrados Mínimos-MQM. Professor Volmir Eugênio Wilhelm Professora Mariana Kleina

ROTAÇÃO DE CORPOS SOBRE UM PLANO INCLINADO

ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Lista 5: Geometria Analítica

Métodos Varacionais aplicados ao modelamento de Descontinuidades em Guia em dois planos

CAPÍTULO 4: ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

PROPOSTA METODOLÓGICA DE APURAÇÃO DE CUSTOS EM SERVIÇOS COMPARTILHADOS

Otimização do planejamento produtivo a partir da programação linear: uma aplicação na pecuária leiteira

Equações diferenciais ordinárias Euler e etc. Equações diferenciais ordinárias. c v m. dv dt

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

VALIDAÇÃO DO MÉTODO TOYOTA GOAL CHASING DE SEQUENCIAMENTO ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO

Prof. Ms. Aldo Vieira Aluno:

Solução da Terceira Lista de Exercícios Profa. Carmem Hara

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes

Integração Numérica Regras de Newton-Cotes

Metaheurística GRASP para o Problema de Agrupamento

8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

Funções de Transferência

3.Redução de ruído 23

CÁLCULO I 1 o Semestre de 2012 O CÁLCULO DE ÁREAS

Integração Numérica Regras de Newton-Cotes

SIMETRIA MOLECULAR E TEORIA DE GRUPOS

Material Teórico - Módulo de Razões e Proporções. Proporções e Conceitos Relacionados. Sétimo Ano do Ensino Fundamental

Integração Numérica Regras de Newton Cotes

Aula 10 Estabilidade

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES MATRIZES

Uma Aplicação de Análise de Correspondência Retificada à Comunidades Aquáticas

ORGANIZAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ E PROF. WALTER PORTO.

PROGRAMAÇÃO DE TAREFAS EM SISTEMAS DE PRODUÇÃO PUXADA SCHEDULING IN PULL PRODUCTION SYSTEMS

7. Circuitos (baseado no Halliday, 4 a edição)

ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS

Otimização Linear curso 1. Maristela Santos (algumas aulas: Marcos Arenales) Solução Gráfica

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0

ENG ANÁLISE DE CIRCUITOS I ENG04030

Módulo 02. Sistemas Lineares. [Poole 58 a 85]

1.6- MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES PRÉ-REQUISITOS PARA MÉTODOS ITERATIVOS

(x, y) dy. (x, y) dy =

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 10º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 5. Grupo I

TÓPICOS. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Sistemas homogéneos.

20/07/15. Matemática Aplicada à Economia LES 201

Proposta de resolução do Exame Nacional de Matemática A 2017 (1 ạ fase) GRUPO I (Versão 1)

TP062-Métodos Numéricos para Engenharia de Produção Sistemas Lineares Métodos Iterativos

Transcrição:

XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 Alocção de recursos e seqüencmento de tvddes no plnemento e controle de proetos Clrsse d Slv Ver (UFMG) cosver@terr.com.br Crlos Roberto Venânco de Crvlho (UFMG) crlos@ufmg.br Resumo Este rtgo present o desenvolvmento e proposção de um modelo pr um problem de locção de recursos e seqüencmento de tvddes no plnemento e controle de proetos. Comumente, este problem é trtdo n ltertur com dscretzção do tempo em períodos elementres, com s possblddes de quntddes de recursos pr execução de cd tvdde nclmente á defnds, e com s seqüêncs de execusão ds tvddes tmbém á estbelecds. Insprdo num modelo de sequencmento de produção, o problem estuddo consder o tempo e quntdde locd de recursos como vráves contínus. A locção smultâne de recursos renováves são modelds trvés de vráves bnárs de seqüencmento. Um proposção é fet pr tornr lner relção tempo de execução e quntdde de recurso utlzd pr relzção ds tvddes. A consstênc do modelo proposto é lustrd com resultdos numércos. Plvrs-chve: Admnstrção de Proetos, Alocção de Recursos, Seqüencmento de tvddes. 1. Introdução Os problems típcos d dmnstrção de proetos, em sum mor, são grndes e complexos e vêm exgndo utlzção de técncs cd vez ms efcentes. Esss técncs possuem um grnde plcbldde em dverss áres d ndústr. No entnto, segundo Brucer et l. (1999) ess temátc nstg tmbém os pesqusdores, pos os modelos dess áre são complexos e, conseqüentemente, dfíces de serem resolvdos. As técncs e ferrments de nturez quntttv propcm o plnemento, progrmção e o controle de um proeto consderndo spectos relevntes, como dmnstrção do tempo e locção de recursos. Pode-se destcr locção de recursos lmtdos pr execução de tvddes que os comprtlhm como um dos problems vts n dmnstrção de proetos. Cd vez ms um vst vredde de progrms mtemátcos tem sdo propost pr tentr resolver o problem de locção de recursos. Inserd nesse contexto, Progrmção Lner Inter Mst é um método d Progrmção Mtemátc propíco pr resolução dos problems borddos e consstente o sufcente pr poder gerr bons resultdos n resolução de problems típcos d dmnstrção de proetos. Dus ds vntgens d utlzção desse método, segundo Pfffenberger & Wler (1976), são flexbldde e cpcdde de representr s constntes e s vráves dos problems de um mner próxm o cenáro rel. A utlzção d Progrmção Lner Inter Mst, de cordo com os mesmos utores Pfffenberger & Wler (1976), tmbém permte obtenção de um solução ótm pr o problem.. O problem de seqüencmento de tvddes O Problem de Seqüencmento em Proeto com Restrção de Recurso - PSPRR - (Resource- Constrned Proect Schedulng Problem - RCPSP), segundo Brucer et l. (1999), é 1

XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 bscmente consttuído, por um conunto de n tvddes ( = 1,,..., n) e r recursos renováves. Cd tpo de recurso está dsponível em um quntdde constnte de R unddes. A tvdde é executd em p unddes de tempo sem ser nterrompd, ou se, restrção de não preempção deve ser respetd. Cd tvdde necesst de um quntdde constnte r de unddes do recurso pr ser executd. Os vlores de R, p e r são nteros não negtvos. As relções de precedêncs são defnds entre s tvddes. O obetvo é determnr dt de níco S pr cd tvdde = 1,..., n do proeto tl que quntdde de cd tpo de recurso utlzd, durnte um determndo período de execução, se menor ou gul à quntdde totl dsponível desses recursos; tods s relções de precedênc sem n stsfets e o mespn Cmx = mx = 1 C se mnmzdo, onde C = S + p é dt de conclusão d tvdde. Os problems dervdos d defnção básc do PSPRR são gerlmente NP-dfícl (GAREY & JOHNSON, 1975). Város modelos de progrmção lner nter e nter mst são propostos n ltertur. Entre eles, destcm-se os modelos propostos por Brucer & Knust (000) e Crler & Néron (003), onde s quntddes de recursos locdos são conhecds e s preempções de tvddes são dmtds. Mngozz et l. (1998) relx, tmbém, prclmente s restrções de precedêncs. O modelo qu proposto fo nsprdo nos modelos pr o problem do Job Shop de Mnne (1960) e o problem de ntegrção do Job Shop com um problem de dmensonmento de lote de produção de Lsserre (199). O problem estuddo consder o tempo e quntdde locd de recursos vráves contínus. A locção smultâne de recursos renováves são modelds trvés de vráves bnárs de seqüencmento. Um proposção é fet pr lnerzção d relção tempo de execução e quntdde de recurso utlzd pr relzção ds tvddes. Um exemplo numérco, utlzndo o módulo de resolução de problems lneres ntero msto do GLPK de Mholn (00), é mostrdo. 3. Contextulzção do problem estuddo O problem de locção de recursos em dmnstrção de proetos, estuddo qu neste rtgo, consste em defnr nclmente s quntddes máxms de cd tpo de recurso renovável que podem ser locds pr executr cd um ds tvddes de um proeto. Dess form, defne-se o tempo mínmo que cd tvdde pode ser executd, este tempo mínmo é clculdo qundo se utlz quntdde máxm de recurso pr execução d tvdde. Consderndo não dsponbldde d quntdde totl de cd recurso utlzd nclmente pr o cálculo dos tempos mínmos e ndvdus de execução de cd tvdde, o problem consste, então em defnr quntdde de cd recurso que deve ser retrd pr execução de cd tvdde do proeto; defnr seqüênc ds tvddes que utlzm um mesmo recurso, de mner que os recursos exstentes sem sufcentes e tngr um obetvo, por exemplo, mnmzr dt de térmno do proeto. Consderndo então lmtção d dsponbldde de recursos, o tempo de execução de cd tvdde é escrto qu como um relção lner d quntdde ser retrd de cd recurso utlzdo pel tvdde. A decsão do dmnstrdor do proeto consste em defnr s quntddes de cd tpo de recurso que devem ser utlzds pr executr cd um desss tvddes e relção de precedênc dequd entre s operções que utlzm de um mesmo recurso. Note que s conseqüêncs dests decsões nfluencrão dretmente no tempo totl e no custo totl de execução do proeto.

XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 4. Notções e defnções ncs Se p o tempo de execução de cd tvdde que utlz um determndo recurso (r() =) clculdo qundo é locd quntdde máxm q que se pode utlzr deste recurso pr executr tvdde. Assm, p é o vlor do lmte nferor pr o tempo de execução d tvdde. Observ-se que o vlor de p é sempre mor que zero (p > 0), ou se, exste um tempo mínmo pr execução de cd tvdde, ndependente d quntdde de recursos locd. Por outro ldo, execução de um tvdde qulquer que necesst do recurso é condcond à locção de um quntdde mínm q deste recurso. Ao locr quntdde mínm do recurso, necessár pr execução d tvdde, o tempo de execução dess tvdde ssume um vlor máxmo p. Assm, p é o vlor do lmte superor pr o tempo de execução d tvdde. Ao plner um proeto, propõe-se então, consderr os vlores dos tempos de execução de cd tvdde que utlz de lgum recurso como sendo p, sto é, locr mor quntdde possível q do recurso r() = em tods s tvddes que necesstm deste recurso pr su execução. Consderndo que quntdde totl Q do recurso dsponível é: Q = r( ) = Menor ou gul à quntdde totl máxm : q locd nclmente pr executr s tvddes que necesstm deste recurso, conforme form clculdos os seus tempos de execução p ; Mor ou gul à quntdde totl mínm Q = : r( ) = q do recurso necessár pr executr tods s tvddes que utlzm deste recurso. As dus condções cm vblzm formulção mtemátc do problem, pos, por um ldo, se Q > Q, gerenclmente ser vável locção ds quntddes máxms de recurso q pr executr tods s tvddes ; por outro, se Q < Q o problem não ter solução vável. O problem consste então em determnr quntdde rel x de recurso que dexrá de ser locd pr executr tvdde, de form que lmtção d dsponbldde do recurso se respetd. Ao retrr recursos pr execução de um tvdde, o seu tempo de execução deve crescer em função d quntdde retrd. Se o tempo de execução p d tvdde cresce lnermente com quntdde rel de recursos retrdos x, em um gráfco onde ns bscsss estão s vráves x e ns ordens os vlores de p, tem-se ret que pss pelos pontos: (0, p ) e (q q, p ). Assm obtém-se equção d ret: onde: p = p + x (1) p p ; í =. () q q Note que > 0 é o ftor de crescmento de p em relção à retrd de recursos x. Se = 0, o tempo de execução d tvdde ndepende do recurso. O lmte nferor de x, n equção (), é nulo, sto é, se tod quntdde q de recurso (r() = ) for utlzd, conforme clculdo nclmente, o tempo de execução de é p = p. O lmte superor de x é (q - q ), resultndo em p = p, sto é, obtém-se o mor tempo de execução p qundo se utlz menor quntdde q pr executr tvdde. Em resumo, 3

XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 x ( q q ). (3) 0 Um trnslção de coordends pode ser fet pr smplfcr equção (1), trnsformndo- n equção (4) mostrd bxo. onde x x + = clculr os lmtes nferor p = x, (4) p. Pr que equção (4) se equvlente à equção (1), é necessáro l ì e superor p l l de x l x : = = + ( ) Como, por defnção, p, p e são estrtmente postvos, os vlores de estrtmente postvos, sto é: 5. Um problem de locção de recursos renováves p q q p =. (5) l ì e l tmbém são l > 0 e l > 0. (6) Consdere que, pr se executr determnds tvddes, se necessár utlzção de recursos renováves. Assm, s tvddes que não possuem relções de precedênc, ms que utlzm um mesmo recurso, não podem ser executds em prlelo. Nesse cso, são dos tpos de decsão dstntos que se devem tomr: decdr seqüênc de execução entre s tvddes que utlzm um mesmo recurso e decdr o qunto utlzr de cd recurso n execução ds tvddes. 6. Defnções do problem K: conunto de recursos renováves; N: conunto de tods s tvddes, composto por: N 1 : conunto de tvddes que têm s quntddes dos recursos necessáros defnds prevmente; N : conunto de tvddes que utlzm lgum recurso renovável, N 1 N = Ø e N = N 1 N ; r: função plcd o conunto N pr defnr o recurso que cd tvdde em N utlz: r( ) =, N, K ; N : conunto ds tvddes que utlzm o recurso, K N = N ; = 1 p : N IR + : função pr representr o tempo de execução de cd tvdde do proeto. O vlor de p é ddo dferentemente pr s tvddes de N 1 e N : tvddes em N 1 : p é constnte; tvddes em N : p = x, onde: > 0: coefcente do umento do tempo de execução d tvdde qundo um undde do recurso (r()=) é retrd; p x = x + : onde x é quntdde rel de recurso (r()=) que dexrá de ser locd pr execução d tvdde ; 4

XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 p e q : p é o menor tempo de execução d tvdde. O vlor de p é clculdo qundo se utlz mor quntdde q do recurso r() = pr executr tvdde; p e q : p é o mor tempo de execução d tvdde. O vlor de p é clculdo qundo se utlz menor quntdde q do recurso r() = pr executr tvdde; p l = ( N ) : quntdde mínm do recurso (r() = ) que deve ser retrd pr execução d tvdde ; p p l = + ( q q ) = ( N ) : quntdde máxm do recurso (r() = ) que se pode retrr pr executr tvdde ; A: conunto de pres de tvddes (, ), tl que N, N e, que represent s relções de precedênc entre s tvddes: tvdde deve ser executd ntes d tvdde ( ). O conunto A é prtcondo em: A 1 = {(, ) N1 N : }: conunto de pres de tvddes pr representr s relções de precedênc entre dus tvddes do proeto; A = {(, ) N ( N N ): e r( ) = }: conunto de pres de tvddes pr representr s relções de precedênc entre s tvddes que utlzm o recurso e s dems tvddes que não utlzm o recurso ; E = {(, ) N N : r( ) = r( ) =, = 1,..., }: conunto de pres de tvddes pr representr dus tvddes, e, que utlzm um mesmo recurso renovável. Note que, se (, ) E então (, ) E. Observ-se que A1 A = A1 E = A E = Ø e A = A1 A E. As vráves de decsão são defnds: t : dt de nco d tvdde ; p x = x + : onde x é quntdde rel de recursos (r() = ) que dexrá de ser locd pr execução d tvdde. 7. Modelo lner proposto O modelo de Progrmção Mtemátc Lner Inter Mst básco pr esse problem é então escrto: Mnmzr (7) t (n) 5

XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 Sueto t t p t t x 0 t t x My t t x + My 0 y x q í t 0 M l x l { 0,1} p q + (,) (,) (, ) (, ) N N A E e E e N e r( ) = 1 A (, ) E A função obetvo (7) é mnmzção d dt de fnlzção do proeto. As restrções (8) e (9) grntem que s relções de precedênc entre dus tvddes que não utlzm um mesmo recurso sem respetds. As restrções (10) e (11) ssegurm que dus tvddes que utlzm um mesmo recurso não serão executds smultnemente. A restrção (1) grnte que s lmtções referentes às quntddes de recursos utlzdos serão respetds. O domíno ds vráves é defndo pels restrções (13), (14) e (15). Ns restrções (10) e (11), o prâmetro M defne o lmte superor do tempo de execução de tods s tvddes e s vráves de decsão y = 1, determnm que tvdde precede tvdde, cso contráro y = 0. Com o pr de restrções (10) e (11), note que, em um solução qulquer do modelo, se y = 1, restrção (10) é tvd com t t x 0, portnto stsfet, e restrção (11) será tmbém stsfet com t t x M, pos, o prâmetro M é sufcentemente grnde pr que o ldo dreto d restrção se menor que o ldo esquerdo, pr qusquer vlores postvos de t, t e x obtdos pel solução. Por outro ldo, se y = 0, restrção (10) é tvd, portnto respetd, com t t x 0, e restrção (11) será tmbém stsfet com t t x M pr qusquer vlores postvos que s vráves t, t e x ssumm n solução. 8. Exemplo Como exemplo, consdere um proeto composto por dez tvddes, dus fctícs, cus relções de precedêncs são defnds pelo grfo G(N, A) d fgur 1 bxo: (8) (9) (10) (11) (1) (13) (14) (15) Fgur 1 Grfo G(N, A) do problem exemplo 6

XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 Assm: N = {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; N = {0, 1, 10}; N = {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; A 1 = {(0,1), (1,), (1,3)}; A = {(,4), (3,5), (4,6), (4,9), (5,6), (5,7), (6,8), (6,9), (7,8), (8,10), (9,10)}; E = {(,3), (3,), (4,5), (5,4), (6,7), (7,6), (8,9), (9,8)}. O problem consste em determnr quntdde rel x de recurso renovável que dexrá de ser locd pr executr tvdde, de form que lmtção d dsponbldde de recurso se respetd. São ddos gerencs do problem: Atvddes que não comprtlhm recursos: 0, 1 e 10. Pr esss tvddes o tempo de execução é constnte e gul : p 0 = 0, p 1 = 7 e p 10 = 0; Atvddes que comprtlhm recursos, o recurso comprtlhdo, s quntddes dsponíves de cd recurso pr cd tvdde, quntddes máxms e mínms de recursos utlzdos e os respectvos mínmos e máxmos tempos de execução. Com estes ddos é possível obter os vlores ds txs de crescmento do tempo de execução em função ds vráves x e dos lmtes nferor e superor pr s vráves x. A tbel 1 mostr os ddos e os vlores ds vráves t, x, x e p n solução ótm pr este exemplo: Ddos Solução Gerencs Clculdos Atvddes Recursos q q p q p l l q -q t x x p 1 - - - - - - - - - - 0 - - 10 R 1 6,33 13,66 1 1 39 3 0,33 13 7,33 33 7,66 7,33 3 3 7,5 1,75 1 1 48 4 0,5 1 5,50 10 5,75 5,50 3 4 R 5,50 10,50 1 1 0 0,50 10 5,00 56 5,50 5,00 11 5 9,5 14,75 1 1 56 4 0,5 14 5,50 33 5,75 5,50 3 6 R 3 11,5 18,75 1 1 7 4 0,5 18 7,50 67 7,75 7,50 31 7 8,50 10,50 1 1 0 0,50 10,00 98 10,00 9,50 0 8 R 4 9,5 14,75 1 1 56 4 0,5 14 5,50 11 5,75 5,50 3 9 7,33 14,66 1 1 4 3 0,33 14 7,33 98 7,66 7,33 3 10 - - - - - - - - - - 144 - - 0 Tbel 1 Ddos e solução do problem exemplo A solução ótm encontrd defne, tmbém, os vlores ds vráves y 3 = 0, y 45 = 0, y 67 = 1 e y 89 = 0. Isto sgnfc que tvdde será executd depos d tvdde 3, 4 depos d 5, 6 ntes d 7 e tvdde 8 depos d tvdde 9. Est solução pode ser melhor vsulzd Dgrm de Gntt, mostrdo pel fgur : 7

XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 Fgur Dgrm de Gntt do problem exemplo Note que s tvddes e 3, 4 e 5, 6 e 7, 8 e 9 comprtlhm o mesmo recurso. Assm, mesmo não hvendo relções de precedênc entre els, esss tvddes não podem ser executds em prlelo. 9. Conclusões O nteresse deste rtgo fo estudr os problems de seqüencmento de tvddes em proetos com restrções de recursos. O modelo proposto teve como obetvo mnmzção do tempo totl de execução do proeto. Esse obetvo fo tngdo trvés de um locção dequd de recursos necessáros pr execução ds tvddes e, tmbém, trvés do seqüencmento desss tvddes. As relções de precedênc entre s tvddes do proeto tmbém form grntds. O modelo presentdo fo mplementdo e utlzdo n resolução de lguns exemplos desse tpo de problem, o que pode ser comprovdo em Ver (004). Os resultdos numércos obtdos mostrrm que o modelo proposto pode ser resolvdo computconlmente. Entretnto, é bem conhecd complexdde ds restrções de seqüencmento nserds no modelo. Assm, em problems que possuem um número elevdo dests restrções, certmente surgrão lmtções computcons em sus execuções numércs. Devdo o gru de dfculdde dos problems de seqüencmento, pode-se conclur necessdde do prossegumento d pesqus pr relzção de trblhos futuros, explorndo o tem borddo e perfeçondo o modelo presentdo. Referêncs BRUCKER, P.; DREXL, A.; MÄOHRING, R.; NEUMANN, K. & PESCH, E. Resource-Constrned Proect Schedulng: Notton, Clssfcton, Models, nd Methods. Europen Journl of Opertonl Reserch, Vol. 11, p. 3 41, 1999. BRUCKER, P. & KNUST, S. A Lner Progrmmng nd Constrnt Propgton-Bsed Lower Bound for the RCPSP. Europen Journl of Opertonl Reserch, Vol. 17, p. 355 36, 000. CARLIER, J. & NÉRON, E. On Lner Lower Bounds for the Resource Constrned Proect Schedulng Problem. Europen Journl of Opertonl Reserch, Vol. 149, p. 314 34, 003. GAREY, M. R. & JOHNSON, D. S. Complexty Results for Multprocessor Schedulng Resource Constrnts. SIAM J. Comput, Vol. 4, p. 397 411, 1975. LASSERRE, J. B. An Integrted Model for Job-Shop Plnnng nd Schedulng. Mngement Scence, Vol. 38, n. 8, p. 101-111, 199. MACHOLIN, A. GNU Lner Progrmmng Kt: Refernce Mnul. Free Softwre Foundton, Inc., 00. MANNE, A. S. On the Job-Shop Schedulng Problem. Opertons Reserch, 8, 1960. 8

XXVI ENEGEP - Fortlez, CE, Brsl, 9 11 de Outubro de 006 MINGOZZI, A.; MANIEZZO, V.; RICCIARDELLI, S. & BIANCO, L. An Exct Algorthm for the Resource-Constrned Proect Schedulng Problem Bsed on New Mthemtcl Formulton. Mngement Scence, Vol. 44, p. 714 79, 1998. PFAFFENBERGER, R. C. & WALKER, D. A. Mthemtcl Progrmmng for Economcs nd Busness. Iow Stte Unversty Press, 1976. VIEIRA, C. Modelos pr o Seqüêncmento de Atvddes em Proetos com Restrções de Recursos. Dssertção de Mestrdo em Engenhr de Produção, UFMG, 004. 9