Calibração de Modelo Hidráulico de Rede de Distribuição de Água

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1 RBR - Revst Brsler de Recursos ídrcos Volume n. Jul/Set, - Clbrção de Modelo dráulco de Rede de Dstrbução de Águ Antono Mrozz Rghetto LARISA - Depto. Eng. Cvl - Centro de Tecnolog UFRN - Centro Unverstáro - Cx Postl 9-9 Ntl, RN - rghetto@ct.ufrn.br Recebdo: /8/ - revsão: // - ceto: // RESUMO Os modelos opercons de rede urbn de dstrbução de águ são mportntes pr otmzr operção do sstem tnto no specto de mnmzção de gstos com energ elétrc qunto de mxmzção de ofert de águ com pressão dequd. No entnto, verfc-se quse nexstênc d prátc de modelgem mtemátc dos sstems de dstrbução de águ, de um ldo pel flt de trenmento dequdo dos técncos de operção; de outro, pel dfculdde em se obter um modelo devdmente clbrdo que consg reproduzr s condções hdráulcs de um determndo sstem de dstrbução de águ. A dfculdde em se clbrr um modelo hdráulco de rede está ns ncertezs envolvds qunto às nformções ds demnds ou vzões de consumo trbuíds os város nós d rede de dstrbução e tmbém, os vlores de rugosdde e dos própros dâmetros efetvos ds tubulções que compõem os dversos trechos d rede. Com o obetvo de propor um técnc numérc pr clbrção de um modelo operconl de rede de dstrbução de águ, é presentdo um modelo hdráulco copldo um modelo de otmzção denomndo modelo de clbrção, que ust os vlores ds vzões nods de demnd, os dâmetros e os coefcentes de rugosdde ds tubulções de form mnmzr s dferençs entre vlores de pressão e vzão observdos com os smuldos pelo modelo de clbrção. Testes relzdos com um rede exemplo demonstrrm o excelente desempenho do modelo de clbrção qu proposto pr determnr os prâmetros d rede suetos ncertezs. Plvrs-chve: rede; hdráulc; modelo. INTRODUÇÃO Os sstems complexos de dstrbução de águ ds cddes de médo e grnde porte cd vez ms precsm de um controle operconl rgoroso fm de mnmzr os gstos com energ elétrc e mnutenção como, tmbém, de mxmzr efcênc do sstem, tnto no specto de rentbldde fnncer qunto n stsfção de tendmento dos usuáros. Com s moderns tecnologs dsponíves e bstnte cessíves, dus ções mportntes e mprescndíves se vblzm: o montormento do sstem trvés d utomção de medções em tempo rel de pressões, vzões e níves d águ em dversos locs d rede de dstrbução de águ e mplementção de modelgem mtemátc com smuldores numércos que possbltem obtenção do funconmento hdráulco e desed otmzção operconl do sstem. Um ds dfculddes encontrds n mplementção de um modelo hdráulco operconl está n clbrção do modelo, ou se, n reprodução de vlores hdráulcos smuldos comptíves com vlores ou stuções observds. De fto, ess dfculdde pode desestmulr o uso de smuldores numércos, e conseqüentemente nvblzr ntrodução de técncs opercons efcentes com vsts à otmzção do sstem. A dfculdde em se clbrr um modelo hdráulco de rede está ns ncertezs envolvds qunto às nformções ds demnds ou vzões de consumo trbuíds os város nós d rede de dstrbução e tmbém, os vlores de rugosdde e dos própros dâmetros efetvos ds tubulções que compõem os dversos trechos d rede. Esses vlores, pesr de serem consderdos como ddos do modelo hdráulco, n reldde, são vráves letórs n modelgem do sstem, com vlores médos rzovelmente bem estmdos. Em gerl, os

2 Clbrção de Modelo dráulco de Rede de Dstrbução de Águ desvos em relção às méds são sgnfctvos e lterm totlmente o funconmento hdráulco d rede. Város esquems numércos pr clbrção de modelos de rede hdráulc podem ser encontrdos n ltertur, como os de Ormsbee e Wood (98), Ormsbee (989), Lnsey (99), Reddy et l. (99). Sem exceção, utlzm formulções dferencs que resultm em sstems de e- quções lneres e/ou não lneres. Reddy et l. (99) por exemplo, presentrm clbrção de um modelo hdráulco de um rede como um problem de otmzção, em que se utlz como função obetvo o somtóro dos termos ponderdos ds dferençs qudrátcs dos vlores observdos e smuldos ds vráves consderds. Utlzrm técnc de mnmzção de Guss-Newton, em que são clculdos tertvmente os grdentes ds vráves de decsão, os cobnos, mtrzes e mtrzes nverss e, fnlmente, um sstem de equções lneres. De um mner gerl, os lgortmos utlzdos no processo computconl de clbrção do modelo são reltvmente complexos, com formulções de dfícl ssmlção os profssons d áre de bstecmento de águ. Um enfoque dferente fo proposto por Bush e Uber (998) que presentrm metodologs pr clbrção de redes de dstrbução de águ bseds não somente n mnmzção ds dferençs entre vlores observdos e smuldos ms, tmbém, n escolh dos pontos de medções, levndo-se em consderção sensbldde dos prâmetros do modelo. No entnto, os lgortmos são tmbém complexos, envolvendo dferencções e operções com mtrzes. Com relção os levntmentos em cmpo, Wlsky (98, 98), recomend que s pressões observds devm ser fets nos pontos de lt demnd, de preferênc nos nós perfércos d rede e dstntes dos pontos de lmentção. O uso de trçdores é tmbém de grnde vl pr obtenção de estmtvs de velocddes em trechos de tubulções, s qus serm ncorpords no processo de clbrção do modelo (Kennedy et l., 99). Este trblho present um metodolog reltvmente smples pr clbrção de um modelo de smulção operconl de rede de dstrbução de águ. Consste no coplmento do modelo hdráulco com um lgortmo de otmzção, resultndo num modelo que possblt determnr utomtcmente, trvés de um processo de busc, os vlores de demnd, de rugosdde e de dâmetros que mnmzm o somtóro ds dferençs entre s pressões nods observds e s smulds, dentro de um qudro de múltplos cenáros consderdos no processo de otmzção. O modelo hdráulco bse-se n lnerzção d equção de perd de crg, construção do equconmento globl do sstem prtr de um equção mtrcl que exprme relção entre vzão de trecho e crgs nos nós dcentes, express pr cd elemento ou trecho d rede. O modelo de otmzção segue o processo de busc dos lgortmos genétcos, em que se consder, cd gerção populconl, um número fxo de cenáros reltvos os vlores ds vráves de decsão e, trvés de um sucessão de gerções populcons formds por seleção, cruzmento e mutção entre ndvíduos d gerção nteror, vão sendo prmords s performnces dos cenáros ou os ndvíduos ds gerções seguntes. A segur, são presentdos em detlhes, o modelo hdráulco e o lgortmo de otmzção utlzdos neste trblho. As conclusões reltvs à dequção do modelo são obtds trvés de um exemplo smples de plcção do modelo proposto. O MODELO IDRÁULICO O modelo hdráulco bse-se no método dos nós e n técnc dos elementos fntos (Collns e Johnson, 9; Rghetto, 9): cd trecho d rede é consderdo como um elemento; cd elemento nterge dretmente com os nós de sus extremddes; composção ou som dos efetos dretos de todos os trechos d rede sobre um determndo nó result n equção d contnudde deste nó. Ness bordgem, cd trecho exerce nfluênc dret sobre os dos nós de sus extremddes, express pel equção de perd de crg lnerzd desse trecho. A Fgur lustr um trecho com os nós de extremdde, e. Fgur. Crcterzção de um elemento d rede.

3 RBR - Revst Brsler de Recursos ídrcos Volume n. Jul/Set, - A equção de perd de crg plcd um trecho de tubulção ou elemento é express por: L V ( ) ( ) = [f V] D g () sendo ( ) e ( ) s crgs hdráulcs nos nós e, respectvmente; D é o dâmetro e L o comprmento do trecho ; V velocdde d águ no trecho ; f é o coefcente de rugosdde e função d rugosdde reltv (ε/d) e do número de Reynolds (Rey = V.D/ν) do escomento nesse trecho de tubulção, sendo ε e ν, respectvmente, rugosdde d prede ntern d tubulção e vscosdde cnemátc d águ. O coefcente f é determndo dretmente trvés d equção explíct de Swmee & Jn: f, = (), log ε,9,d Re y Pr um trecho, equção de perd de crg é, então, presentd n form segunte: ( L = () π.g D ) ( ) [ f. V ]. q sendo q vzão no trecho, com convenção de que est vzão é postv se o trnsporte de águ é de pr e negtv qundo o sentdo é de pr. Consderndo, gor, os nós d rede, nfluênc hdráulc do trecho nos nós e é fclmente quntfcd trvés d equção de perd de crg. Pr sso, são defnds s vzões de entrd ou síd de águ do trecho nos nós e, respectvmente, por q ( ) e q ( ) com convenção de que, se vzão for de entrd, então el será postv e, se de síd, negtv, ou se, q ( ) = -q ( ). Assm, quntfc-se nfluênc hdráulc do trecho sobre os nós de extremdde e trvés d equção: q ( ) =.( ).( ) () sendo o coefcente defndo por: π.g D [ ] = () L f. V As Equções () e () podem ser expresss num form compct e convenente, utlzndo-se notção mtrcl, sto é: q ( q ( ) = ) (. ( ) ) Tomndo-se um nó genérco, se pel confgurção d rede, por exemplo o d Fgur, três trechos, e estão conectdos dretmente esse nó; neste cso, equção hdráulc do nó é obtd pel composção ds equções de nfluênc de cd um desses trechos, ou se: q () q ± () q () = ±.[( ) ( )].[( ) ( )] ±.[( ) ( )] O prmero membro d Equção (9) nd ms é do que vzão de lmentção ou de retrd de águ d rede no nó. Ms especfcmente, tomndo-se s nterlgções presentds n Fgur, tem-se: =.( ).( ou, n form mtrcl: = ).( [ ( ) ]. ) (8) (9) () () ( L = () π.g D ) ( ) [ f V ]. q ou: q ( ) =.( ).( ) () Fgur. Exemplo de nterlgção entre nós e trechos.

4 Clbrção de Modelo dráulco de Rede de Dstrbução de Águ Em segud, o sstem de equções lneres correspondentes todos os nós d rede é obtdo fclmente trvés de procedmento smlr o utlzdo pr obtenção d Equção (). Por exemplo, pr rede smples lustrd n Fgur, consttuíd de trechos e nós, cu topolog é presentd n Tbel, o segunte sstem de equções pode ser fclmente verfcdo com o procedmento nterormente presentdo: =. () O sstem de equções que relcon crgs hdráulcs, vzões nods e crcterístcs hdráulcs dos trechos de tubulções (Equção ), é váldo pr o cso gerl e, um vez que não está condcondo qulquer condção de contorno reltv à crg totl, é tmbém um sstem berto, ou se, possu um gru de lberdde, o que equvle dzer que um ds equções é redundnte, possbltndo obtenção de um número nfnto de superfíces de crgs tots que stsfzem s condções hdráulcs e de demnd do sstem. No entnto, se for fxdo o vlor d crg hdráulc em um nó d rede, em gerl, de um nó de lmentção de águ à rede, elmn-se um equção do sstem, que pss ter um únc solução, sto é, fxdo os prâmetros hdráulcos ds tubulções e s demnds nods, exstrá pens um vetor solução, correspondente os vlores nods ds crgs hdráulcs nods. Pr rede d Fgur, se crg hdráulc do nó for fxd, dex de ser um ncógnt do problem, e o sstem de equções pss ter cnco equções e expresso por: =... () Conhecd confgurção d rede, s conexões de trechos e nós e conhecdos os vlores de D, L e ε de todos os trechos, e z de todos os nós e crg em um dos nós de lmentção, os vlores ds crgs de todos os nós e s vzões de dução Fgur. Rede exemplo smples. Tbel. Topolog d rede smples lustrd n Fgur. Trecho Nó Nó q de todos os trechos trvés do modelo hdráulco são determnds trvés dos seguntes procedmentos: trbur um vlor ncl pr velocdde d águ V em todos os trechos d rede; clculr Rey e, em segud, o vlor de f pr cd trecho d rede; clculr os vlores de ssocdos os trechos d rede trvés d Equção (); construr o sstem de equções lneres d rede, como mostrdo nos exemplos que resultrm ns Equções Mtrcs () e (); clculr os vlores de ssocndo-os um terção t; em segud, os vlores de q; clculr os novos vlores de V, ssocdos os trechos d rede e à terção t; relzr nov terção, clculndo-se os novos vlores de f,, e q; repetr s terções té obter convergênc dos vlores de.

5 RBR - Revst Brsler de Recursos ídrcos Volume n. Jul/Set, - INCERTEZAS DE, e, D O presente estudo consder s demnds nods, s rugosdde e os dâmetros ds tubulções como vráves suets ncertezs qunto os vlores trbuídos pr smulção numérc. Admte-se que esss vráves sem vráves letórs, com dstrbução unforme entre vlores mínmos e máxmos pré-fxdos. Em gerl, vzão totl de lmentção é conhecd. Por sso, torn-se convenente dmensonlzr demnd, fm de fcltr correção ds vzões nods gerds, de modo que som ds vzões nods se gul demnd totl d rede de dstrbução. Assm, defne-se o prâmetro dmensonl: α = () totl sendo que α mn, < α < α mx,, com os lmtes defndos pels relções: α ( α () mn, = β). mx, = β). α ( α () α δ = () S Dess mner, os vlores corrgdos de α, denomndos α corr,, são obtdos pel expressão: α α αcorr, = α δ = = n S no αk k= () O prâmetro de rugosdde ε de cd trecho de tubulção é, tmbém, tomdo como um vrável letór, com dstrbução unforme, cuos vlores são gerdos trvés de smulção Monte Crlo, sto é, defne-se, ε mn, < ε < ε mx,, sendo que: ε ( ε () mn, = β ). mx, = β ). ε ( ε () e β um constnte. Os vlores de rugosdde ds tubulções de todos os trechos d rede são gerdos trvés d segunte relção: ε = ε p.( ε ε ) () mn, mx, mn, sendo β um constnte. A gerção de vlores nods de α é relzd utlzndo segunte expressão: α = α p.( α α ) () mn, mx, mn, sendo p o vlor de probbldde trbuído o vlor gerdo d demnd do nó, gul um número letóro pertencente um dstrbução unforme U(,), ou se, p = u U(,). A correção dos vlores de α, =,,...,n no- é relzd, tomndo-se som S dos vlores gerdos, sto é: nno α = S = (8) Como ess som deve ser obrgtormente gul, clcul-se o erro, sto é: = S (9) de form que, o vlor de cd prâmetro α é dcondo um ncremento de correção δ, ou se: com p = u U(,). Admte-se que os vlores dos dâmetros de lgums tubulções d rede podem estr suetos ncertezs, com possbldde de exstênc de bloqueos de escomentos provocdos por fechmentos permnentes e nvoluntáros de válvuls. Atrvés de um prâmetro ndcdor, o modelo reconhece os trechos com vlores suetos ncertezs. Pr esses trechos, os vlores dos dâmetros podem vrr em torno dos vlores médos e, tmbém, com possbldde de estr obstruído ou bloquedo. A gerção dos vlores dos dâmetros segue o mesmo procedmento presentdo nterormente, ou se, pr cd trecho, ger-se um número letóro u U(,), dotndo-se probbldde p = u. Fxndo-se s probbldde cumulds Pr, Pr, Pr ssocds três possíves vlores pr o dâmetro e de obstrução d tubulção, empregm-se s seguntes relções pr obtenção do vlor do dâmetro d tubulção ser dotd num determndo cenáro: se p < Pr, então D = mm (eqüvle à obstrução d tubulção, com vlor dotdo dferente de zero pr grntr estbldde numé-

6 Clbrção de Modelo dráulco de Rede de Dstrbução de Águ rc); se Pr < p < Pr então D = D D ; se Pr < p < Pr então D = D ; se p > Pr então D = D D, sendo D o vlor esperdo do dâmetro d tubulção do trecho e D o ncremento ou vrção possível do dâmetro em torno do vlor médo esperdo. O ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO O problem d clbrção de rede consste em se determnr o conunto de vlores ds demnds nods e dos coefcentes de rugosdde ds tubulções que mnmzm função obetvo F defnd pel som dos desvos qudrdos ds crgs nods e vzões em trechos smulds e observds. Admtndo que se conheçm os vlores ds crgs hdráulcs em m obs nós d rede, sto é, dstngundo ts nós com enumerção própr, sto é, * =,,...m obs, busc-se os conuntos de vlores de * * * demnd e de rugosdde, [,,...,n ], no * * * [ ε, ε,..., εn ] e [ D,D,...,D ] tr m ts que resultem em vlores de * que mnmzem o vlor d função obetvo, ou se: mobs mn [ F = ( * * ) ] () * = obs, Cso se nclu n função obetvo observções de vzão em trechos d tubulção, convém dmmensonlzr s dus vráves, utlzndo-se de vlores de referênc d crg de pressão, h ref, e de vzão, q ref. Neste cso, função obetvo pss ser express por: F = mobs,no mobs,tr [(h obs, h )/href ] [(qobs, q )/q ref ] = = () mobs,tr [(snl(q = obs, ) snl(q ))/] em que m obs,no e m obs,tr são, respectvmente, o número de nós e o número de trechos observdos; q obs, e q s vzões observds e smulds no trecho, respectvmente; snl (q obs,) e snl (q ) os sentdos dos escomentos observdos e smuldos (±). A técnc empregd pr obtenção d solução ótm fo de um processo de busc bsedo em lgortmo genétco. Ger-se um populção ncl de soluções fctíves (denomnds ndvíduos d populção), selecon-se s melhores soluções e cr-se sucessvmente novs populções trvés de cruzmento entre ndvíduos selecondos té se lcnçr um stução ou gerção populconl em que melhor solução encontrd fc nlterd cso se contnudo o processo de busc. O procedmento de otmzção, bsedo em lgortmo genétco, consste n plcção dos seguntes pssos: seleção de ndvíduos, cruzmento entre pres de ndvíduos e eventul mutção de lguns elementos que compõem os ndvíduos de um gerção populconl. Com esse procedmento, busc-se melhorr progressvmente s performnces dos ndvíduos cd nov gerção populconl. O processo é ncdo com escolh de um populção ncl de ndvíduos, compost dos vetores de demnds, de rugosdde e de dâmetros, denotd por: sendo: [P] [] () () () () () = {[],[ Ε],[D] } () () () () nno = [,,..., ] (8) () () () () n tr [ Ε ] = [ ε, ε,..., ε ] (9) [D] () () () T () m = [D,D,...,D ] () Com os ddos correspondentes cd ndvíduo d populção ncl é relzdo o cálculo d rede e determndo o vlor de F. Em segud, dos m nd que compõem populção ncl, é selecondo um número m s de ndvíduos, tomndo-se como crtéro o rnk reltvo os vlores de F, ou se, tom-se os m s ndvíduos que resultrm nos menores vlores de F. Pr obtenção d próxm gerção populconl, pode-se restrngr prtcpção dos ndvíduos no processo de cruzmento, de um número m e de ndvíduos, queles com os mores vlores de F. Fnlmente, germ-se (m nd m s) novos ndvíduos trvés do cruzmento entre pres de ndvíduos, dentre os que não form elmndos. Fnlmente, é relzd mutção letór de lguns elementos que compõem cd elemento fm de evtr que o processo de busc poss eventulmente convergr rpdmente pr um ótmo locl. T T 8

7 RBR - Revst Brsler de Recursos ídrcos Volume n. Jul/Set, - A seleção dos pres de ndvíduos pr gerção, por cruzmento, de novos ndvíduos é fet letormente, consderndo que probbldde de seleção de um ndvíduo prtculr, p( nd) é express por (Smpson et l., 99): ζ(nd ) p ( ) () nd = m op ζ() = em que ζ é o ftness de um ndvíduo d populção, ordendo pelo seu rnk e defndo pel relção (lhl et l., 99): ζ (nd ) = rnk( ) () sendo rnk( nd) = nd e nd =,,..., (m nd - m e) represent os ndvíduos ordendos em relção os vlores correspondentes de F, sto é, F < F <... < F <... < F. nd nd (mndme ) Dos números letóros de um dstrbução unforme U(,) são gerdos pr seleconr um pr de ndvíduos cuo cruzmento resultrá em dos novos ndvíduos d próxm gerção populconl. E um tercero número letóro u é gerdo d dstrbução U(,) pr especfcr o ponto de corte d seqüênc de elementos de cd um dos dos ndvíduos selecondos pr gerção de outros dos novos ndvíduos (Goldberg, 989). O ponto de dvsão d seqüênc, o elemento denotdo por d* é defndo por d = nt (u.m el ), * sendo m el o número de elementos que compõem um ndvíduo. Assm, se dos ndvíduos forem expressos por: I I = (l,l,...,l,l,...,l ) () * *,d,d,mel = (l,l,...,l,l,...,l ) () * *,d,d,mel então, os dos novos ndvíduos gerdos por esse cruzmento serão especfcdos por: I = (l,l,...,l,l,...,l ) () * *,d,d,mel I = (l,l,...,l,l,...,l ) () * *,d,d,mel N formção de um novo ndvíduo, lguns elementos podem sofrer mutção, sto é, o vlor de um elemento pode ser modfcdo letormente. Eventus mutções são recomendds fm de mnter dversdde d populção e proteger o processo de busc contr convergênc premtur pr lgum ótmo locl (Rtzel et l., 99; lhl et l., 99). undo se tem um número reltvmente pequeno de ndvíduos e grnde número de elementos, mutção oferece condções fvoráves pr encontrr solução desed, mesmo qundo populção ncl é compost por ndvíduos ts que lguns elementos d solução desed não estão presentes em nenhum desses ndvíduos. Cd elemento pode sofrer mutção ndependentemente dos dems. No entnto, pr evtr que o processo de busc se degenere em um processo purmente letóro, o vlor d probbldde de ocorrênc de mutção em qulquer um dos elementos que compõem um ndvíduo é fxd em vlor bxo, entre, e,. EXEMPLO SIMPLES Um rede smples fo utlzd pr testr e lustrr plcção do método proposto. A rede de dstrbução exemplo é consttuíd de nós e trechos, sendo lmentd por um únco reservtóro, com nível d águ constnte, loclzdo no nó. As Tbels e presentm, respectvmente, os ddos referentes os nós e trechos d rede. A Tbel fornece os vlores consderdos res de demnd, de rugosdde e dos dâmetros ds tubulções d rede e Tbel, os vlores observdos de pressão pr efeto de clbrção do modelo hdráulco. Ness Tbel, são presentdos três conuntos de vlores consderdos como observdos, obtdos trvés d smulção d rede com os ddos res presentdos n Tbel. Tbel. Elevções dos nós e demnds méds. z (m) (m s) z (m) (m s), -,, -,, -,, -,, -, 8, -,, -,, -,, -,, -,, -,, -,, -, 8, -, 8, -, 9,, 9, -, 9

8 Clbrção de Modelo dráulco de Rede de Dstrbução de Águ Tbel. Conexões entre trechos e nós; comprmento, rugosdde e dâmetro ds tubulções dos trechos. L (m) ε (mm) D (mm),,,,,,,,,,,, 8,, 8,, 9,, 8,, * 9,,,,,, * 8,, 9,,,,,, 8 9,, * 9,,,,,,,, *,,,,,, * o vlor do dâmetro pode sofrer vrção de ± mm ou estr obstruído. O problem consste em se obter os vlores de demnd, de rugosdde e de dâmetros ds tubulções que mnmzm s dferençs dos vlores de pressão smuldos e observdos em determndos nós d rede, ou se, prtr ds nformções presentds ns Tbels e, obter vlores pr s vráves de decsão de form mnmzr os vlores de pressão smuldos com os vlores observdos presentdos n Tbel. As Fgurs 8 presentm os resultdos obtdos com o modelo de clbrção. N Fgur, são presentds s vzões nods res ou verdders e s vzões nods obtds com o modelo de clbrção, utlzndo-se de três conuntos de crgs de pressão observds, conforme especfcdos n Tbel. De um mner gerl, consegue-se obter um dstrbução rzoável d demnd mesmo com poucos ddos observdos de pressão, como é o cso d sm em Tbel. Vlores res de demnd nos nós, de rugosdde e dos dâmetros ds tubulções d rede. (m /s) ε (mm) D (mm) -,,, -,8,, -,8,, -,,, -,,, -,,, -,,, 8 -, 8,, 9 -, 9,, -,,, -,8,8, -,8,, -,,9, -,,8, -,8,, -,,, -,,, 8,, 9,9,,,,9,,,,,,,,, que form utlzdos ses pontos de observção. A melhor de vlção d dstrbução d demnd não é tão sgnfctv qundo se ument o número de nós com medções de pressão. A Fgur lustr o uste dos vlores obtdos com o modelo de clbrção em relção os vlores res ds pressões nods. Evdentemente, n smulção sm tem-se uste perfeto entre os vlores de pressão smuldos e observdos porque nest smulção form utlzdos como ddos s pressões de todos os nós d rede. A Fgur revel o bom uste entre s vzões res nos trechos e s obtds com o modelo de smulção. Os resultdos com poucos ddos observdos de pressão são equvlentes os obtdos com um número grnde de observções, como é o cso d smulção sm. A Fgur mostr os vlores res e smuldos dos dâmetros ds tubulções d rede. Com smulção sm, os dâmetros form perfetmente ustdos com exceção d tubulção do trecho, e

9 RBR - Revst Brsler de Recursos ídrcos Volume n. Jul/Set, - Tbel. Crgs de pressão observds. Nó Crgs de pressão observds h (m.c..) Sm Sm Sm,,,, 8, 8, 8, 8,8,,,,,, 8 8,9 9,, 8,,,9,,, 9, 9, 9,9,, Vzões nods, (m/s),8,,, 89 Nó, Fgur. Vzões nods res e smulds. rel sm sm sm ns smulções sm e sm pens os trechos e form ustdos com vlores dferentes dos vlores res, demonstrndo efcênc do modelo em determnr os dâmetros res ds tubulções d rede. Note que o trecho, com tubulção obstruíd, fo devdmente dentfcdo ns três smulções relzds. A Fgur 8 fornece os vlores verdderos dos coefcentes de trto ds tubulções e os obtdos com o modelo de clbrção. Observ-se grnde sensbldde desse prâmetro um vez que não há melhor globl de vlção dos vlores do coefcente de trto qundo se ument o número de nós de observção. Todv, não se observm em qulquer trecho dferençs de vlores dos coefcentes de trto mores do que,. Ess fx pode ser consderd muto bo em se trtndo de sstems de dstrbução suetos tnts ncertezs. Crg de pressão, h (m.c..) 89 Nó, Fgur. Crgs de pressão res e smulds em função do número de nós observdos. Vzão, q (m/s), 99 -, -, -, Trecho, Fgur. Vzões res e vzões smulds nos trechos d rede. Dâmetro, D (mm) 8 Trecho, 9 Fgur. Vlores efetvos dos dâmetros e vlores smuldos. hrel hsm hsm hsm qrel qsm qsm qsm Drel Dsm Dsm Dsm Um segund sére de smulções fo relzd com suposção d exstênc de observções de pressão em lguns nós e vzões em lguns trechos. Com ntrodução de observções de vzões, quldde dos resultdos de clbrção do modelo é muto melhord como pode ser consttdo nos resultdos presentdos ns Fgurs 9. Esss fgurs fornecem os vlores dos prâmetros de clbrção de um smulção, denomnd sm, em que se consderou oto pontos nods com observções d pressão e oto trechos de tubulção com observções de vzão. A Tbel

10 Clbrção de Modelo dráulco de Rede de Dstrbução de Águ Coefcente de trto, f,,,,, 99 Trecho, Fgur 8. Coefcentes de trto res e smuldos. Vzão nodl, (m /s),,,,,,, 89 Nó, Fgur 9. Vzões nods res e smulds. frel fsm fsm fsm rel sm Tbel. Crgs de pressão e vzões observds utlzds em sm. Vzão, q (m /s) Nó Crg de pressão h (m.c..) Trecho Vzão q(m /s),, 8, -,, 9,, -, 9, -,, 8 -,, -,9, -,, 9 9 -, -, -, Trecho, qrel qsm Fgur. Vzões res e smulds nos trechos, sm. Crg de pressão, h (m.c..) 8 9 Nó, hrel hsm Fgur. Crgs de pressão nods res e smulds. present os nós e trechos com os respectvos vlores observdos ds crgs de pressão e ds vzões. Com os resultdos presentdos n Fgur 9, verfc-se cpcdde do modelo de clbrção em vlr dstrbução ds vzões nods de demnd. N Fgur, tem-se uste quse perfeto ds crgs de pressão res e smulds. A mesm perfeção de uste se verfc pr s vzões res e smulds n Fgur. A Fgur present os vlores dos coefcentes de trto res e os encontrdos com o modelo clbrção. Apesr ds dferençs entre os Coefcente de trto, f,,,,,, 9 9 Trecho, frel fsm Fgur. Coefcentes de trto res e smuldos, sm. vlores res e os obtdos com o modelo, prtcmente ts dferençs são nsgnfcntes qundo se consder complexdde e ncertezs hdráulcs dos escomentos n rede de dstrbução de águ. Em tods s smulções relzds fo fxdo o número totl de gerções no processo de busc do lgortmo genétco. Cd gerção er compost de cenáros, sendo estes compostos pelos vlores ds vzões de demnd, coefcentes de trto e dâmetros dos trechos d rede suetos ncertezs. Em méd, o tempo de processmento

11 RBR - Revst Brsler de Recursos ídrcos Volume n. Jul/Set, - em mcrocomputdor tpo PC-Pentum- Mhz fo de proxmdmente mn. O modelo fo testdo pr um condção permnente de dstrbução de demnd. No entnto, pode ser fclmente dptdo pr ser utlzdo em condções opercons, com vrções horárs de demnds e opercons ns estções elevtórs e reservtóros. CONCLUSÕES Os testes relzdos com um rede exemplo demonstrrm o excelente desempenho do modelo de clbrção qu proposto pr determnr os prâmetros suetos ncertezs d rede de dstrbução de águ, ts como s demnds nods, os coefcentes de trto ds tubulções e mesmo os dâmetros efetvos ds tubulções, no sentdo de reproduzr vlores observdos de pressões nods e de vzões em trechos d rede de dstrbução. O modelo de clbrção, composto de um lgortmo pr o cálculo hdráulco d rede e um lgortmo de otmzção bsedo em processo de busc é muto fácl de ser mplementdo em computdores pessos tpo PC, desde que dmensão d rede se reltvmente pequen. Pr redes mores, há necessdde de se utlzr computdores com mor cpcdde de memór, em vst do grnde número de vráves e vlores envolvdos. No entnto, o procedmento de cálculo é gerl e de fácl compreensão. A obtenção dos prâmetros d rede depende dos vlores de pressão observdos e, se possível, de vzões observds em trechos d rede. O uste dos prâmetros, consderndo pens observções de pressões, é menos efcente do que o obtdo qundo se consderm tnto ddos de pressão qunto de vzão. No entnto, mesmo com pens lguns ddos de pressão, consegue-se trvés do modelo de clbrção obter vlores pr os prâmetros d rede bstnte rzoáves e que podem ser utlzdos n modelgem e operção de sstems de dstrbução de águ. A escolh dos pontos nods e trechos d rede pr s observções de pressões e vzões é um questão chve pr obtenção de bons resultdos com o modelo de clbrção. Pr redes de dstrbução de águ com centens de nós e trechos, é precso seleconr os nós e trechos ms mportntes d rede, prorzndo os nós de perfer e dstntes dos pontos de lmentção e os trechos ms mportntes, consderndo o gru de dependênc ds demnds nods em relção cd trecho d rede. Ou se, torn-se necessáro um plnemento expermentl fm de se obter s melhores nformções de funconmento d rede e ssm consegur efcênc desed com o modelo de clbrção. Melhor nd, ser ssocr o modelo operconl com um sstem de montormento d rede, com nformções em tempo rel de vlores de pressões, vzões, níves d águ de reservtóros, lturs mnométrcs, vzões de bombemento, etc. AGRADECIMENTO O utor grdece o poo do CNPq pel concessão de bols de Desenvolvmento Regonl unto à UFRN, Proc. /8-. REFERÊNCIAS BUSC, C. A. e UBER, J. G. (998). Smplng Desgn Methods for Wter Dstrbuton Model Clbrton, Journl of Wter Resources Plnnng nd Mngement, vol., n, p.. COLLINS, A. G. e JONSON, R. L. (9). Fnte Element Method for Wter Dstrbuton Networks, Journl AWWA, July. GOLDBERG, D. E. (989). Genetc Algorthms n Serch, Optmzton nd Mchne Lernng. Addson- Wesley, Redng, Mss, p.. ALAL, D.; WALTERS, G. A.; OUAZAR, D. e SAVIC, D. A. (99). Wter Network Rehbltton wth Structured Messy Genetc Algorthm, Journl of. Wter Resources Plnng nd Mngement, (), p. -. KENNEDY, M. S.; SARIKELLE, S. e SURAVALLOP, K. (99). Clbrtng ydrulc Anlyses of Dstrbuton Systems Usng Fluorde Trcer Studes, Journl of AWWA, vol. 8, n, p.. LANSEY, K. E. (99). Prmeter Estmton for Wter Dstrbuton Networks, Journl of Wter Resources Plnnng nd Mngement, vol., n, p.. ORMSBEE, L. E. (989). Implct Network Clbrton, Journl of Wter Resources Plnnng nd Mngement, vol., n, p.. ORMSBEE, L. E. e WOOD, D. J. (98). Explct Ppe network clbrton, Journl of Wter Resources Plnnng nd Mngement, vol., n, p. 8. REDDY, P. V. N.; SRIDARAN, K. e RAO, P. V. (99). WLS Method for Prmeter Estmton n Wter Dstrbuton Networks, Journl of Wter Resources Plnnng nd Mngement, vol., n, p..

12 Clbrção de Modelo dráulco de Rede de Dstrbução de Águ RIGETTO, A. M. (9). Desenvolvmento de Modelos de Smulção pr o Dmensonmento de Redes de Dstrbução de Águ. São Crlos, SP, p.. Tese (Doutordo) Escol de Engenhr de São Crlos, Unversdde de São Pulo. RITZEL, B. J.; EEART, J. W. e RANJITAN, S. (99). Usng Genetc Algorthms to Solve Multple- Obectve Groundwter Polluton Contnment Problem, Wter Resources Reserch, (), p SIMPSON, A. R.; DANDY, G. C. e MURPY, L. J. (99). Genetc Algorthms Compred to Other Technques for Ppe Optmzton, Journl of Wter Resources Plnnng nd Mngement, ASCE, (), p. -. WALSKY, T. M. (98). Technque for Clbrtng Network Models, Journl of Wter Resources Plnnng nd Mngement, vol. 9, n, p.. WALSKI, T. M. (98). Assurng Accurte Model Clbrton, J. AWWA, vol., n, p. 8. ydrulc Model Clbrton for n Urbn Wter Dstrbuton System ABSTRACT Opertonl models re very mportnt to optmze urbn wter dstrbuton systems n terms of mnmzng electrcl energy expendtures s well s to mxmze requred wter supply stsfcton wth dequte pressure level t ll ponts of the cty. owever, n most Brzln ctes, wter dstrbuton systems re operted wthout usng mthemtcl models; n prt due to lck of knowledge nd opertor trnng prctces, but mnly becuse there re dffcultes n obtnng clbrted mthemtcl model whch cptures the most mportnt spects of the hydrulc dynmcs of the system. The clbrton of hydrulc model s usully very dffcult tsk becuse nodl dschrge demnds nd hydrulc ppelne prmeters vlues re very dffcult to estmte properly. In ths pper numercl technque s presented bsed on the constructon of clbrton model, whch llows the utomtc determnton of the best vlues for the nodl dschrge demnds nd ppelne prmeters. The proposed model conssts of hydrulc network clculton lgorthm nd n optmzton technque bsed on serch process to obtn the best vlues for the decson vrbles tht mnmze n obectve functon. The obectve functon s formed by summng up the dfferences n vlues between observed nd smulted nodl pressure nd/or ppe dschrge. By usng reltvely smple network exmple severl numercl tests demonstrted the blty of the clbrton model to determne the best vlues for the nodl dschrge demnds, frcton coeffcents nd effectve dmeter of ppelnes. Key-words: dstrbuton system; hydrulc; model.