Metaheurística GRASP para o Problema de Agrupamento

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1 Ans do CNMAC v.2 ISSN X Metheurístc GRASP pr o Problem de Agrupmento Pulo Morelto Frnç Depto de Mtemátc, Esttístc e Computção- FCT, UNESP , Presdente Prudente, SP E-ml: pulo.morelto@fct.unesp.br Lur Slv de Asss Unversdde Estdul de Cmpns Fculdde de Engenhr Elétrc e de Computção , Cmpns, SP E-ml: lur.sss@gml.com Fábo Luz Usbert Unversdde Estdul de Cmpns Fculdde de Engenhr Elétrc e de Computção , Cmpns, SP E-ml: fusbert@yhoo.com Resumo: É proposto um método de resolução pr um problem de grupmento cpctdo - PAC- bsedo n metheurístc Grsp. O problem consste em encontrr p reprtções de um grfo conexo em que s rests têm pesos ou demnds ssocdos. As reprtções devem ser tl que os desvos lcnçdos pel som dos pesos ds rests que s compõem em relção um nível lvo (ou cpcdde) sejm mnmzdos. Além dsso, é desejável que s reprtções presentem crcterístcs de compcdde. Um método nsprdo n metheurístc Grsp é usdo pr encontrr soluções que buscm mnmzr um função utldde defnd como um composção ponderd dos desvos em relção o lvo e de um medd d compcdde. Resultdos de expermentos computcons relzdos em um sére de exemplres gerdos letormente e com controle de prâmetros comprovm dequção e efcênc d propost. Introdução No contexto dos problems de otmzção combntór, o PAC despert grnde nteresse, quer sej pel dfculdde em se desenvolverem métodos efcentes, quer sej pels várs plcções o mundo rel. Dentre ts plcções destcmos dus ds ms encontrds: os problems de dstrtmento polítco [8] e os problems de defnção de dstrtos comercs [11]. No prmero desej-se dvdr um regão geográfc em um número fxo de dstrtos eletors ncumbdos de eleger um representnte polítco. Os dstrtos devem possur certs crcterístcs mposts por le eletorl, ts como: todos os dstrtos devem ter o mesmo número de eletores (os dstrtos são, pos, cpctdos), devem ser contíguos e os ms compctos possíves. Ess últm crcterístc busc evtr formção de dstrtos com forms geográfcs mnpulds de modo fvorecer ndevdmente certos prtdos, cnddtos ou grupmentos socs. No dstrtmento com objetvos comercs, os problems ms comuns referem-se à reprtção de regões em terrtóros que devem ser desgndos pr equpes de vendedores ou pr equpes que desempenhm lgum servço públco ou prvdo como entreg de correspondênc, letur de meddores, etc. Os dstrtos devem tmbém ter certs crcterístcs ts como crregmento semelhnte, contgüdde e compcdde. Os problems de grupmento com s crcterístcs cm descrts são reconhecdmente problems complexos de otmzção combntór. Embor hj proposts de métodos extos [7], eles têm plcção lmtd problems de pequen dmensão. Aplcções do mundo rel usm em gerl metheurístcs como os lgortmos genétcos [9, 10], busc tbu [6, 8] ou Grsp [1, 11]. Os enfoques dferem tmbém qunto o número de crtéros otmzr, dndo mor ou menor relevânc cd um dos mutos objetvos envolvdos nesse tpo de problem. Dependendo do cráter d decsão tomr, pode ser mpostv necessdde de ser presentd 846

2 o decsor um curv proxmd de Preto, o que mplc em se usr um técnc multcrtéro pr solução [2]. Neste rtgo é presentd um nov bordgem Grsp pr um determndo PAC em que se desej otmzr som ponderd de dos crtéros. Um deles requer que os grupmentos sejm os ms homogêneos possíves em relção dus tvddes ssocds às rests do grfo: demnd por um servço executdo o longo ds rests e o número de clentes que demndm o servço. Além desse crtéro quer-se que form geográfc de cd grupmento sej ms compct possível de modo fcltr operconldde do servço requerdo. Modelgem mtemátc O PAC enfocdo neste rtgo consste em um entrd que é um grfo não-orentdo conexo G(V,E) onde o conjunto V é consttuído de n vértces, cd qul ssocdo um undde básc geográfc bem defnd d regão sob estudo e E é um conjunto de rests unndo cd pr, j de nós djcentes pertencentes V. Os nós V têm coordends (x,y ) ssocds e um conjunto de tvddes A ts como demnd, tempo de tendmento, número de eletores, etc. com nível de tvdde conhecdo e ddo por nteros w. No cso em estudo, A = 2. As rests (, j) E podem tmbém ter tvddes ssocds que devem ser convertds pr tvddes nos nós ddo que o problem e metodolog propostos neste rtgo restrngem su plcção tvddes ssocds pens os nós. Quer-se chr um ddo número de grupmentos (terrtóros ou dstrtos) 1 < p < n que sej um prtção conex V V, = 1, 2,..., p e que grnt que cd nó sej desgndo pens um grupmento. Desej-se que os grupmentos sejm os ms compctos possíves, grntndo que deslocmentos dentro de cd grupmento sejm mnmzdos. Além dsso, o problem requer que os grupmentos sejm os ms blncedos possíves em relção às tvddes, ou sej, o nível de cd tvdde A de cd grupmento V, ddo por w (V ) = w, deve ser ms próxm possível do nível = V ( ) p médo d tvdde, clculdo como µ w V /. Tl nível médo pode ser vsto como um cpcdde máxm ou como um lvo ser tngdo. Entretnto, devdo o cráter dscreto do problem, é bstnte mprovável que se obtenhm grupmentos perfetmente blncedos. Pr se poder controlr o nível de desblncemento, são crds restrções que lmtm superor e nferormente o nível de cd tvdde em relção o seu nível médo µ, ( τ ) µ w ( V ) ( 1+ τ ) µ 1, onde 0 τ 1 é um tolerânc reltv à tvdde. A prtr do conceto de desblncemento é possível defnr um função que mede o nível de nvbldde d tvdde em cd grupmento V como sendo g (V ) = (1/ µ ) mx { w ( V) ( 1+ ) µ,( 1 τ ) µ w ( V), 0 τ }. Defne-se então o nível de nvbldde lcnçd por um prtção S = {V 1,..., V } como sendo som ds nvblddes dos grupmentos p G(S) = g ( V ). = 1 A O requsto de compcdde exgdo pr cd grupmento pode ser obtdo por meo de um função de dspersão do tpo f (V ) = mx d, onde d j é dstânc eucldn entre cd pr, j V j 847

3 (, j) obtd prtr de sus coordends. Um prtção S pode então ter um medd de compcdde dd por 1 F( S) = mx mx d, j = p d 1,..., mx, j V onde d mx é mor dstânc eucldn entre os pres de nós de V, usd pr normlzr medd de compcdde d prtção. Note que mxmzr compcdde é equvlente mnmzr dspersão. O modelo mtemátco do PAC pode então ser presentdo. Inclmente é precso defnr s vráves x j y 1, se o nó j é trbuído o grupmento com centro em, V = 0, cso contráro 1, se o centro do grupmento está loclzdo no nó = 0, cso contráro e o conjunto uxlr N = { j V (, j) E ( j, ) E} como sendo o conjunto dos nós ψ representd como combnção convex ds funções F(S) e G(S), sendo 0 λ 1um ponderção escolhd pelo decsor. djcentes o nó. O objetvo é mnmzr um função utldde ( S) mn s.. ψ( S) xj V V x j v j U v D N \ D x, y j = λf ( S ) + (1 λ ) G ( S ) = 1 j V y = p y, j V x j j D x 1 {0,1}, j V j D V ; D V \ ( N { }) (1) (2) (3) (4) (5) (6) A função objetvo (1) mnmz som ponderd dos crtéros de dspersão geográfc e de volção ds tvddes, s restrções (2) grntem que cd nó j sej desgndo um únco grupmento, guldde (3) determn que solução tenh p grupmentos e s restrções (4) ssegurm que se um centro não for desgndo pr o nó, então nenhum nó pode ser desgndo ele. As restrções (5), proposts por Drexl e Hse [4], grntem conectvdde dos grupmentos enqunto (6) defnem que s vráves são bnárs. Método de resolução O PAC representdo pelo modelo (1)-(6) fo solucondo pel metheurístc Grsp [5]. Grsp tem se mostrdo um enfoque de grnde efetvdde n resolução de problems de otmzção combntór por lr, num procedmento de dus fses, smplcdde ds heurístcs construtvs com o poder de prospecção ds buscs locs. Em um terção do Grsp, lternmse um fse construtv e um de melhor. N prmer, um solução fctível é gerd psso psso trvés d ncorporção crteros de elementos consttutvos d solução. N segund fse, chmd de pós-processmento, um busc em vznhnç é plcd à solução d prmer fse. Ao longo do procedmento melhor solução encontrd té o momento é mntd em S best, que se consttu n síd do lgortmo. 848

4 Fgur 1: Algortmo Grsp pr o PAC A fse construtv começ prtr d escolh de um nó semente (escolhe-se o nó de menor gru) o qul se v gregndo um novo nó cd terção, té formr um grupmento (ou terrtóro no jrgão comercl) que respete o lmte mposto o nível ds tvddes. O prâmetro ρ control o momento em que um grupmento tnge o lmte com respeto lgum tvdde, o que determn o seu fechmento e ensej formção de novo grupmento, sendo pr sso selecondo novo nó semente. Os nós cnddtos são escolhdos dentre os nós vznhos d solução corrente. Ms especfcmente escolh rec sobre um nó de um lst restrt de cnddtos (RCL), que é um subconjunto dos melhores vznhos. A escolh do novo elemento d solução é fet letormente dentre os elementos de RCL, de modo conferr mor flexbldde o método. O prâmetro α modul o tmnho d RCL: se ele é zero lst é unár e o elemento escolhdo é solução gulos; n medd em que α cresce, lst RCL ument, com sso umentndo letoredde d escolh. A solução construtv pode fnlzr com um número q de Fgur 2: Nó de rtculção grupmentos, dferente dos p requerdos. Nesse cso é precso plcr um procedmento de justmento que, ou funde o grupmento de menor número de nós com o seu menor grupmento vznho, no cso de q>p, ou sepr o mor grupmento em dos outros conectdos, no cso de q<p. O últmo procedmento é bem ms complexo do que o prmero já que equvle resolver o própro problem de grupmento com p =2, ms felzmente ocorre muto rrmente. Já o prmero é muto freqüente, porém rápdo. De posse de um solução fctível - de p grupmentos -, fse de pós-processmento consste em plcr um busc locl com o objetvo de melhorr função ψ ( S). Fo utlzd um vznhnç N(S) compost por tods s soluções que podem ser encontrds prtr de S, trvés do movmento de um nó de seu terrtóro corrente, pr um terrtóro vznho l que possu um nó j tl que (; j) E, sem crr um terrtóro descontínuo. A desconexão do grfo ocsond por um movmento (,, l) é mostrd n Fgur 2. Ao trnsferr o nó pr o grupmento l, o movmento cr dos subgrfos dsjuntos dentro do grupmento, o que deve 849

5 ser evtdo. A ocorrênc desses enclves é um dos mores problems encontrdos pel mor dos métodos já propostos pr soluconr o PAC. A form encontrd pr evtr movmentos que cusm enclves é testr, cd movmento, se o nó é um nó de rtculção, ou sej, pssível de gerr enclves. Pr sso bst executr um busc em lrgur no terrtóro excluído do nó e de sus rests ncdentes, e tendo como nó orgem um nó qulquer desse grupmento. Se remoção do nó não desconect o grupmento, ou sej, ele não é um nó de rtculção, então se consegue encontrr um árvore de cmnhos entre o nó semente e todos os outros nós do terrtóro [3]. A fse de pós-processmento segue segunte estrtég: prmero tent relzr movmentos que melhorem exclusvmente função G(S) sem porr função F(S), e depos tent um sére de movmentos com os objetvos trocdos. Esss séres se lternm té que busc não consg encontrr ms nenhum movmento de melhor. Tome, por exemplo, sére de melhor de G(S). A busc selecon o grupmento com mor nível de nvbldde e, relzndo um busc nos nós de su fronter com outros grupmentos, tent relzr movmentos de form melhorr G(S) sem porr F(S). O prmero movmento de melhor encontrdo é o relzdo. As nvblddes dos grupmentos envolvdos n troc são reclculds e o processo se repete té que não exst ms nenhum movmento de melhor. Pss-se, então, pr outr sére d busc, tentndo melhorr F(S) sem porr G(S). Qundo um pssd pels dus séres d busc não encontr nenhum movmento de melhor, ou cso se tnj um lmte predefndo de movmentos, fse de pós-processmento d terção se encerr. Em segud test-se tulzção de S best e nc-se nov terção do Grsp, té um número máxmo de terções prevmente fxdo. Dus observções merecem destque:(1) um estrutur de ddos especl gurd os nós de fronter e relz tulzções de form efcente, permtndo à busc relzr os testes rpdmente; (2) o teste de nó de rtculção só é executdo se o movmentos for de melhor, o que economz tempo de execução. Testes computcons O lgortmo Grsp pr o PAC fo testdo em um sére de nstâncs gerds letormente com os n nós do grfo G(V,E) sendo gerdos dentro de um qudrdo. Como plcção referese um problem urbno, gerção ds coordends dos nós procurou semelhnç com cruzmentos de rus, sem, porém, segur um dstrbução perfetmente unforme. As nstâncs têm qutro dferentes crcterístcs: Grupo: refere-se o tmnho do grfo; grupo 1 com 512 nós e grupo 2 com 1024 nós. Fmíl: refere-se o ntervlo de gerção d tvdde 1. Utlzrm-se dus fmíls de ntervlos: fmíl 1 (ntervlo pertdo) [16, 24] e fmíl 2 (ntervlo folgdo) [12, 28]. Clsse: refere-se o ntervlo de gerção d tvdde 2. Dus clsses form defnds: clsse 1 (ntervlo pertdo) [160, 240] e clsse 2 (ntervlo folgdo) [120, 280]. Tolerânc: Defne 3 dferentes vlores pr o prâmetro τ. 1) tolerânc pertd = 5% 2) tolerânc méd = 10% 3) tolerânc folgd = 30%. A combnção desss crcterístcs ensejou 24 tpos de nstâncs, mostrds n Tbel 1. Tbel 1: Crcterístcs ds nstâncs de teste Instânc Grupo Fmíl Clsse Tolerânc Pr cd um ds 24 nstâncs form gerdos 10 exemplres, totlzndo 240 nstâncs usds nos expermentos computcons. Os resultdos mostrm sempre méd dos 10 exemplres. Os testes form relzdos em um PC Intel, Core2 Duo, 3 GHz, 3061 Mb de RAM, Wndows Vst. De níco form fetos testes prelmnres pr justr os prâmetros do Grsp, 850

6 defndos nos vlores seguntes: ρ = 0,8; α=0,3; λ=0,2; lmte de terções do Grsp = 1000 e lmte de terções d busc locl = 500. A Tbel 2 lustr os resultdos obtdos, sendo que S, M e I sgnfcm, respectvmente, o resultdo superor (por) encontrdo entre s 10 execuções, o médo e o nferor (melhor). A últm colun trz o tempo de execução do Grsp em segundos. Note que o vlor reportdo pr G(S) corresponde à som ds nvblddes reltvs de todos os grupmentos, ou sej, o se tomr, por exemplo, o vlor 1,80 - referente à méd d som ds nvblddes nferores observds pr os 10 exemplres d nstânc 22 está-se referndo n reldde às nvblddes tots dos 20 grupmentos. Isso dá um nvbldde méd pr os grupmentos de 9% em relção à méd µ ds dus tvddes consderds. Como pr nstânc 22 fx de tolerânc é de 5% (vde Tbel 2), deduz-se que o erro ds tvddes lcnce em méd 14% nos grupmentos defndos pel solução S. Do mesmo modo, um erro de 0,00 em G(S) deve ser nterpretdo como um erro médo (de cd grupmento) cujo lmte superor é d mgntude d tolerânc consderd pr nstânc. Tbel 2: Resultdos computcons Os resultdos mostrm que, do ponto de vst d compcdde, s soluções obtds presentm bstnte regulrdde, com dsprddes geográfcs bem cetáves pr os objetvos lmejdos n prátc. Lembrndo que em méd tem-se proxmdmente 50 nós por grupmento, os vlores lcnçdos pr G(S) mostrm-se dentro dos pdrões obtdos pelos város enfoques já desenvolvdos pr o PAC, o que demonstr dfculdde mpost pr encontrr bos soluções pr este dfícl problem de otmzção combntór. Qunto os tempos de CPU, smplcdde do enfoque Grsp ld à quldde d busc locl propost neste trblho consegurm tempos bem ms bxos do que os obtdos nos dems enfoques. Fnlmente é precso slentr que um contrbução mportnte dest pesqus é crção do teste de nó de rtculção que grnte soluções sem enclves, um dfculdde, pelo que sbem os utores, presente em todos os enfoques já propostos n ltertur. Dentre s possíves ções pr contnudde d pesqus um que se poder destcr é o nvestmento em um busc locl ms sofstcd do que smples trnsferênc de um nó pr grupmentos vznhos. Por exemplo, um vznhnç defnd pel troc de nós entre grupmentos vznhos pode levr soluções com desblncementos menores e topologs melhores. 851

7 Agrdecmentos Est pesqus contou com poos fnnceros dos projetos / do CNPq e 2007/ d Fpesp. Referêncs 1. Ahmd, S. nd Osmn, I. H., Greedy rndom dptve memory progrmmng serch for the cpctted clusterng problem, Europen Journl of Opertonl Reserch, 162(1), pp.30-44, (2005). 2. Chnchuluun, A. nd Prdlos, P. M., A survey of recent developments n multobjectve optmzton. Annls of Opertons Reserch, 154(1), pp , (2007). 3. Cormen, T. H., Leserson, C. E., Rvest, R. L. nd Sten, C., Algortmos: Teor e Prátc, Elsever, Drexl, A. nd Hse, K., Fst pproxmton methods for sles force deployment. Mngement Scence, 45(10), pp , (1999). 5. Feo, T. A. nd Resende, M. G. C., Greedy rndomzed dptve serch procedures, Journl of Globl Optmzton, 6(2), pp , (1995). 6. Frnc, P.M., Sos, N. G. nd Purez, V.M., An dptve tbu serch pproch for solvng the cpctted clusterng problem, Interntonl Trnsctons n Opertonl Reserch 6, , (1999). 7. Grfnel, R.S. nd Nemhuser, G.L., Optml poltcl dstrctng by mplct enumerton technques, Mngement Scence 16, pp , (1970). 8. Lporte, G., Bozy, B. nd Erut, E., A tbu serch heurstc nd dptve memory procedure for poltcl dstrctng. Europen Journl of Opertonl Reserch, 144(1), pp , (2003). 9. Perer, F. T., Fguer, J. R., Mousseu, V. nd Roy, B., Multple crter dstrctng problems - the publc trnsportton networ prcng system of the Prs regon, Annls of Opertons Reserch, 154(1), pp , (2007). 10. Rcc, F. nd Smeone, B., Locl serch lgorthms for poltcl dstrctng, Europen Journl of Opertonl Reserch, 189(3), pp , (2008). 11. Ros-Mercdo, R. Z. nd Fernndez, E., A rectve Grsp for commercl terrtory desgn problem wth multple blncng requrements, Computer & Opertons Reserch, 36(3), pp , (2009). 852