II TESTES PARA O CASO DE UMA AMOSTRA (Testes de Aderência)

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1 II TESTES PARA O CASO DE UMA AMOSTRA (Testes de Aderênc) Estes testes são útes pr verfcr se determnd mostr pode provr de um populção especfcd. São usulmente conhecdos como testes de derênc ou bondde do juste. Neste cso, retr-se um mostr letór e compr-se dstrbução mostrl com dstrbução de nteresse..1 TESTE BINOMIAL É plcdo em mostrs provenentes de populções que consttuem-se de pens ctegors (vráves dcotômcs). Exemplo: (msculno, femnno), (negtvo, postvo), (defetuoso, perfet) É útl pr verfcrmos se proporção de sucesso p observd n mostr pode pertencer um populção com um determndo vlor de p..1.1 Pressupostos Cd observção é clssfcd como sucesso ou frcsso; A probbldde p de sucesso não se lter com repetção do expermento; As n tenttvs são ndependentes..1. O Método Este método rá clculr probbldde de obter vlores ms extremos do que os observdos. Inc-se com formulção ds hpóteses: : p = p : p > p ou : p < p ( unlterl) ou : p p ( blterl) Determnr N; Determnr s freqüêncs observds; De cordo com hpótese, clculmos com jud d Dstrbução Bnoml e/ou tbel, probbldde de ocorrênc de vlores ms extremos do que o observdo (número de sucessos): x N N N P( X x) p q = N N = ou P( X x) p q = x = * *dependendo d hpótese lterntv Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 7

2 Exemplo 1 - : p =, versus : p <, ; x = = número de sucessos em 11 tenttvs. Consder-se x como sendo o número de sucessos observdos. P 11 N 11 ( X ) = p q = p q =, = N Conclusão: Não rejetmos hpótese nul. = Pequens Amostrs Consdermos qu N então: P x N N ( X x) = p q ou P( X x) = p q = N N = x N (pr p = 1 Tbel D SIEGEL) Grndes Amostrs Consdermos qu N > e Aproxmção pel Norml: p 1 ou Npq 9, pr este cso utlzmos Z x np = e procede-se como num teste de hpótese convenconl npq Tbel: A SIEGEL Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 8

3 Exemplo : Um empres lnçou recentemente no mercdo um det de emgrecmento. E pretende-se vergur se proporção de segudores com ddes superores 6 nos é superor.3. Pr tl procedeu n escolh letór de 16 ndvíduos entre os deptos d nov det, e purou que pens tnhm dde superor 6 nos. : p,3 versus : p>,3 x = número de sucessos = e consderndo n = 16. Obs: note que hpótese lterntv fo defnd pelos ddos mostrs, pos ^ p =. 16 P x 16 N 16 ( X ) = p q = 1,3,7 =, 1 = N Conclusão: Com um nível de sgnfcânc de % não rejetmos hpótese nul pos o p- vlor é proxmdmente gul,. Não podemos frmr que proporção de segudores com ddes superores 6 nos é superor 3%. Exemplo 3: Num enso de degustção de cfé, cd mes er consttuíd de mostrs, sendo dus dels de cfé mole e s 3 restntes, de cfé comum. Dos 8 degustdores que form utlzdos, 3 clssfcrm corretmente os tpos de cfé. Teste hpótese de que os degustdores conseguem dstngur o cfé mole dos dems. 4 = Prmermente precsmos sber qul probbldde de um degustdor dstngur por cso os dos cfés moles dentre s mostrs. p = = =, 1 ou C 1 4 : p =,1 versus : p >,1 N 8 N N 8 8 P ( X 3) = p q =,1,9 =, 381 = = 3 Conclusão: A probbldde de 3 ou ms degustdores dstngurem corretmente os tpos de cfé letormente é de pens,381 ou 3,81%. Ao nível de sgnfcânc de % rejetmos hpótese nul. Isto ndc que o resultdo observdo não deve ser devdo o cso. Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 9

4 Exercíco - A Le de Mendel frm que pr 4 genes, 3 são domnntes e 1 é recessvo. Em um certo expermento observou-se 4 genes domnntes e 6 recessvos. Verfque, pelo teste Bnoml, se le se plc o expermento relzdo..1.3 Dscussão do Método É técnc ms poderos plcável ddos meddos em escl nomnl e nd por cm dcotômcs. Qundo vrável letór em estudo é contínu e procede-se um dcotomzção hverá certmente perd de efcênc. Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 1

5 . TESTE DE QUI-QUADRADO ( χ ) É um teste mplmente utlzdo em nálse de ddos provenentes de expermentos onde o nteresse está em observr freqüêncs em dverss ctegors (pelo menos dus). É um prov de derênc útl pr comprovr se freqüênc observd dfere sgnfctvmente d freqüênc esperd. Est gerlmente especfcd por um dstrbução de probbldde...1 Exgêncs do Teste Qundo o número de ctegors é gul (k=) s freqüêncs esperds devem ser superores ; Qundo k >, o teste de Qu-Qudrdo não deve ter ms de % ds freqüêncs esperds bxo de e nenhum freqüênc esperd gul zero; Pr evtr freqüêncs esperds pequens deve-se combnr s ctegors (juntr) té que s exgêncs sejm tendds; Cso s ctegors sejm combnds em pens dus e mesmo ssm s exgêncs não tenhm sdo tendds, deve-se utlzr o Teste Bnoml; As observções devem ser ndependentes... O Método Após se defnr hpótese nul como proporção esperd defnd pel dstrbução de probbldde em questão, testmos se s freqüêncs observds dferem muto ds freqüêncs esperds d segunte form: k = 1 ( o e ) χ = em que e k = número de ctegors ( clsses) o = freqüênc observd n ctegor e = freqüênc esperd n ctegor Qunto mor o vlor de χ mor será probbldde de s freqüêncs observds estrem dvergndo ds freqüêncs esperds. A esttístc do teste χ tem dstrbução Qu-Qudrdo com ν grus de lberdde onde: ν = k 1 se s freqüêncs esperds puderem ser clculds sem precsr estmr os prâmetros dstrbucons; ν = k m 1 se s freqüêncs esperds só puderem ser clculds pós estmção dos m prâmetros populcons. Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 11

6 Exemplo 1: Desej-se testr se posção de lrgd de um cvlo (por dentro ou por for) nfluenc no resultdo de um corrd de cvlos. Tbel.1 Dstrbução do número de vtórs dos cvlos n su posção de lrgd. Posção Número de Vtórs 18* 18* 18* 18* 18* 18* 18* 18* Fonte: Lvro-Segel * Resultdo esperdo pel hpótese nul : f = f = L = f versus f f L f 1 8 : 1 8 χ 8 = k = 1 ( o e ) ( 9 18) ( 19 18) ( 11 18) e = L+ 18 = 16,3 χ 7 ndc que o vlor 16,3 cus um p-vlor =,4, consderdo um vlor exto e blterl. Conclusão: Ao nível de sgnfcânc de 1% não rejetmos, porém um nível de % rejetmos. São necessárs ms repetções do expermento pr s conclusões serem ms confáves. (Tbel C SIEGEL) Exemplo : A tbel dd segur present o número observdo de flhs mecâncs, por hor, em um lnh de montgem prtr de um expermento com durção de 4 hors. Tbel. Dstrbução do número de flhs mecâncs por hor em um lnh de montgem. Flhs de 7 Freq. Observd Freq. Esperd 1,6, 8,3 8,9 7,1 4,6,4 1,1,7 Fonte: Lvro-Segel Um engenhero frm que o processo descrto cm segue um dstrbução de Posson com méd gul 3,. : A dstrbução ds flhs mecâncs por hor se just um processo de Posson com λ = 3, : A dstrbução ds flhs mecâncs por hor não se just um processo de Posson com λ = 3, Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 1

7 Como tbel dd present ms de % ds freqüêncs com vlores nferores devemos unr s ctegors. Assm: Tbel.3 Junção ds Ctegors em que s freqüêncs são nferores o vlor. Flhs e ou ms Freq. Observd Freq. Esperd 6,8 8,3 8,9 7,1 8,8 Fonte: Lvro-Segel χ = k = 1 ( o e ) e =,67 ν = 1 = 4 então χ 4 ndc que o vlor,67 cus um p-vlor =,9437. Conclusão: Ao nível de sgnfcânc de % não podemos rejetr. A dstrbução ds flhs mecâncs prece se justr stsftormente um processo de Posson com um méd de 3, flhs por hor. Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 13

8 Exercíco - O recensemento de 3 fmíls com flhos revelm os ddos bxo: Tbel.4 Dstrbução do número de fmíls com flhos de cordo com o sexo Número mulheres 4 mulheres 3 mulheres mulheres 1 mulher mulheres Totl de flhos homens 1 homem homens 3 homens 4 homens homens Número de fmíls e Teste hpótese de que o nscmento de homens e mulheres é gulmente provável. Cso sej Rejetd, estmr o prâmetro d dstrbução e refzer o teste. Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 14

9 ..3 - Dscussão do Método Se os ddos permtrem utlzção de um técnc prmétrc est prov certmente lev perd de nformções; Pr vráves nomns é únc técnc dequd de verfcção d bondde do juste; Pr vráves ordns não é sensível o efeto d ordem. Qundo hpótese levr em cont ordem, o teste de Qu-Qudrdo dex de ser melhor opção..3 TESTE DE KOLMOGOROV SMIRNOV Este teste de derênc proposto em 1933 vl concordânc entre dstrbução observd d mostr e um determnd dstrbução teórc. Avl se os ddos mostrs se proxmm rzovelmente de um determnd dstrbução. Pr sso utlzmos função dstrbução cumuld observd, compr-se com teórc, determn-se o ponto em que ests dstrbuções ms dvergem, e testmos se ess dvergênc é letór ou não..3.1 Exgênc do Teste Os ddos devem segur o menos um escl ordnl..3. O Método S n um dstrbução observd em um mostr de n observções (dstrbução empírc) Sej F ( X ) um dstrbução teórc cumuld e ( X ) sej, Encontr-se segur o mor vlor ds dferençs entre F ( X ) e ( X ) S n, ou D = máx F ( X ) S ( X ) Compr-se o vlor observdo com o vlor crítco (Tábu E Segel) blterl. N tbel ssoc-se o vlor observdo com o seu p-vlor. n Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 1

10 Exemplo 1: Num expermento pr clbrr lumnosdde dequd de um nov máqun fotográfc, form trds fotos de cd um ds 1 pessos que prtcprm do expermento. A cd pesso perguntou-se qul ds fotos presentv um quldde mor, de 1, onde 1 represent um gru bxo e um gru lto de lumnosdde. : = f f L f f1 f = L = f versus : 1 F ( X ) S 1 ( X ) F ( X )- ( X ) S Conclusão: Pr n =1 ( D,) <, 1 P, portnto rejet-se, em fvor de ndvíduos presentm preferênc sgnfctv em relção o gru de lumnosdde.. Os Exemplo :Verfque se os ddos bxo podem ser justdos por um dstrbução de Posson com méd gul 1,. X f : : F ( X ) n ( X ) X,31,,1*,666,666,41,8794,833,461,9661,917,494,991,983,88,9983 1,,17 S F ( ) - S ( ) n X Os ddos seguem um dstrbução Posson (1,) ou F = F ( X ) Os ddos não seguem um dstrbução Posson (1,) ou F ( X ) F Conclusão: D = máx F ( X ) Sn ( X ) =, 1 e com sto p >,. Então não podemos rejetr hpótese nul. Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 16

11 Como vmos no exemplo cm os ddos form grupdos em clsses ( ), onde er ssocdo cd vlor X su respectv freqüênc f. Este teste tmbém pode ser plcdo qundo s clsses são defnds por ntervlos; no entnto dest form ele perde em precsão. Exercíco: As produções méds de um expermento envolvendo dubção em mlho encontrm-se tbulds bxo Clsses f x F ( x ) S ( x ) F ( x )- S ( x ) ,33,111, ,397,6, ,46,478, ,34,76, ,6,94, ,667 1,,33 11 Podemos dmtr que produção méd segue um dstrbução norml com méd µ = 3.6 e σ = 3..?.3.3 Dscussão do Método Este teste tem vntgens em relção o χ, são els: Pode ser plcdo pr pequens mostrs; É n mor dos csos ms poderoso do que o χ. Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 17

12 .4 TESTE DE LILLIEFORS No cso em que se desej testr normldde e méd e vrânc não são prevmente especfcds, ms sm estmds trvés dos ddos d mostr, deve-se utlzr o teste de Lllefors. Este teste tem procedmento nálogo o Kolmogorov Smrnov porém utlz um tbel própr e ms dequd este tpo de stução. (Tbel 6 Cmpos) Exercíco: Resolv o exercíco nteror estmndo os prâmetros populcons.. TESTE DE ALEATORIZAÇÃO DAS ITERAÇÕES Pr comprovr propredde de letoredde de um mostr utlzmos o teste de letorzção, que fz uso d nálse ds terções (seqüênc de símbolos dêntcos). Este teste, bscmente, verfc o número de terções exstentes n mostr; se o número de terções é muto grnde ou muto pequeno sugere-se flt de letoredde Exgênc do Teste Exge-se o menos que os ddos sgm um escl nomnl e que eles possm ser dvddos em dus ctegors... Método Sej n 1 o número de elementos d ctegor 1, n o número de elementos d ctegor e N = n 1 + n Se n 1 e n < verfcmos o número r de terções, obtemos os lmtes nferor e superor, que defnem o número cetável de terções em cso de letoredde (Tábu F1 e F Segel) Se n 1 ou n > usmos segunte proxmção: n1n µ r = + 1 σ r n1 + n = n1n (n1n n1 n) ( n1 + n) ( n1 + n 1) r µ Z = r σ r E fzemos uso d tbel d dstrbução norml pdrão. Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 18

13 Exemplo 1: 4 crnçs form vlds com relção um índce de gressvdde e em segud converterm-se os ddos em sns postvos (+) e negtvos (-), dependendo se o índce estv cm ou bxo d medn do grupo. Desej-se verfcr letoredde dos escores de gressvdde com relção à ordem em que form obtdos. : Os escores de gressvdde ocorrem de form letór : Os escores de gressvdde não ocorrem de form letór Sendo N=4, n 1 = 1 e n = 1 temos segunte seqüênc de sns: Conclusão: A Tábu F (Segel) ndc pr n 1 = n = 1 os lmtes 7 e 19, portnto r = 1 terções não encontr-se n regão de rejeção. Não rejetremos o. Os ddos precem ter sdo gerdos de form letór. Exemplo : Desej-se verfcr se dsposção de homens e mulheres num fl de cnem se dá de form letór. Form observdos 3 homens e mulheres, que fornecerm os seguntes resultdos: N = n = 3 n 1 = r = 3 µ σ r r = = =.3.(.3. 3 ) (3 + ) (3 + 1) = 3,36 Z = 3 3,36 =,98 Conclusão: Pel Tbel d Norml Pdrão temos pelo teste blterl um p-vlor gul,8. Assm, rejetmos hpótese nul. N fl observd, ordem de homens e mulheres não fo letór. Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães 19

14 Exercíco: Suponh que um teste de QI tenh sdo plcdo 8 homens e 8 mulheres cnddtos um certo crgo de um empres. Os resultdos form os seguntes: Sexo M M M M M M M M QI Temos evdêncs pr credtr que ordem dos quocentes não sej letór?..3 - Dscussão do método Observe neste exercíco que tínhmos um vrável em escl ntervlr e que est fo trnsformd em nomnl, levndo um perd consderável de observções. Neste cso, ser ms dequd verfcção d suposção de normldde e se tendd plcr um teste prmétrco. Se não tenddo o pressuposto, deverímos tentr plcção de um técnc não-prmétrc pr comprção de dus mostrs, que veremos ms dnte. Prof. Pulo Rcrdo B. Gumrães