UM MODELO PARA A ALOCAÇÃO DE RECURSOS E SEQÜENCIAMENTO DE ATIVIDADES PARA ADMINISTRAÇÃO DE PROJETOS

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1 Pesqus Operconl e o Desenvolvmento Sustentável UM MODELO PARA A ALOCAÇÃO DE RECURSOS E SEQÜENCIAMENTO DE ATIVIDADES PARA ADMINISTRAÇÃO DE PROJETOS Crlos Roberto Venânco de Crvlho Unversdde Federl de Mns Gers EE DEP Cx Postl 09 CEP Belo Horzonte MG crlos@dep.ufmg.br Clrsse d Slv Ver Unversdde Federl de Mns Gers EE DEP Cx Postl 09 CEP Belo Horzonte MG olvll@ol.com Resumo Este rtgo propõe um modelo lner ntero msto pr um problem de locção de recursos e seqüencmento de tvddes plcdo à dmnstrção de projetos. Comumente, este problem é trtdo n ltertur com dscretzção do tempo em períodos elementres, com s possblddes de quntddes de recursos pr execução de cd tvdde nclmente já defnds, e com s seqüêncs de execusão ds tvddes tmbém já estbelecds. Insprdo num modelo de Job Shop, o problem estuddo consder o tempo e quntdde locd de recursos como vráves contínus. A locção smultâne de recursos renováves são modelds trvés de vráves bnárs de seqüencmento. Um proposção é fet pr tornr lner relção tempo de execução e quntdde de recurso utlzd pr relzção ds tvddes. A consstênc do modelo proposto é lustrd com resultdos numércos. Plvrs-chve: Seqüencmento; Restrção de Recurso; Progrmção Lner. Abstrct Ths rtcle proposes mxed nteger lner model for problem of llocton of resources nd schedulng of ctvtes for dmnstrton of projects. Commonly, ths problem s treted n the lterture wth the dscretzção of the tme n elementry perods, wth the possbltes of mounts of resources for the executon of ech ctvty ntlly lredy defned, nd wth the sequences of executon of the ctvtes lso estblshed lredy. Inspred n model of Job Shop, the studed problem consders the tme nd the llocted mount of resources s contnuous vrbles. The smultneous llocton of renewble resources s modeled through bnry vrbles of seqüencmento. A proposton s mde to turn lner the reltonshp tme of executon nd mount of resource used for the ccomplshment of the ctvtes. The consstence of the proposed model s llustrted wth numerc results. Keywords: Schedulng; Resource Constrned; Lner Progrmmng. 1. Introdução O Problem de Seqüencmento em Projeto com Restrção de Recurso - PSPRR - (Resource- Constrned Project Schedulng Problem - RCPSP), segundo Brucer et. l. (1999), é bscmente consttuído, por um conjunto de n tvddes ( = 1,,..., n) e r recursos renováves. Cd tpo de recurso está dsponível em um quntdde constnte de R unddes. A tvdde é executd em p unddes de tempo sem ser nterrompd, ou sej, restrção de não preempção deve ser respetd. Cd tvdde necesst de um quntdde constnte r de unddes do recurso pr ser executd. Os vlores de R, p e r são nteros não negtvos. As relções de precedêncs são defnds entre s tvddes. O objetvo é determnr dt de níco S pr cd tvdde = 1,...,

2 Pesqus Operconl e o Desenvolvmento Sustentável n do projeto tl que: () quntdde de cd tpo de recurso utlzd, durnte um determndo período de execução, sej menor ou gul à quntdde totl dsponível desses recursos; () tods s n relções de precedênc sejm stsfets; () o mespn = C sej mnmzdo, onde Cmx mx = 1 C = S + p é dt de conclusão d tvdde. Os problems dervdos d defnção básc do PSPRR são gerlmente NP-dfícl (Grey & Johnson, 1975). Város modelos de progrmção lner nter e nter mst são propostos n ltertur. Entre eles, destcm-se qu os modelos propostos por Brucer & Knust (000) e Crler & Néron (003), onde s quntddes de recursos locdos são conhecds e s preempções de tvddes são dmtds. Mngozz et. l. (1998) relx, tmbém, prclmente s restrções de precedêncs. N formulção de Brucer & Knust (000), bsed n formulção propost por Mngozz et. l. (1998), s tvddes podem ser prtconds e executds smultnemente dentro de ntervlos de tempo I t, formndo subconjuntos X jt, ssm, se um determnd tvdde pertencer à X jt, o tempo de processmento de tods s tvddes contds nesse subconjunto será x jt. Cd ntervlo de tempo pode conter ms de um subconjunto X jt, porém o tempo de execução ds tvddes seqüencds dentro desse ntervlo não pode exceder su durção. No modelo proposto por Crler & Néron (003), s tvddes são executds em ntervlos consecutvos de tempo [t 1, t ], [t, t 3 ],..., [t L, t L+1 ]. O tempo de processmento d prte d tvdde, executd dentro de um ntervlo [t L, t L+1 ], não pode ser mor do que o tmnho deste ntervlo. O somtóro de tods s prtes executds d tvdde deve ser gul o tempo totl de processmento pr executr ess tvdde. Devdo à complexdde dos problems clssfcdos como PSPRR, mutos utores desenvolverm procedmentos heurístcos pr soluconá-los, como explct Vlls et. l. (003). Alguns dos lgortmos heurístcos são descrtos por Boctor (1990) e Oguz & Bl (1994). Já outros trblhos, como Schrge (1971) e Kolsch et. l. (1995) desenvolverm lgortmos extos pr resolvê-lo. Dentre os ms compettvos, segundo Vlls et. l. (003), estão os propostos por Brucer et. l. (1998) e Mngozz et. l. (1998), que resolvem stsftormente problems de pequen nstânc com té trnt tvddes. Crler & Néron (003) propõem lguns métodos pr resolver esse tpo de problem, bsedos em lmtes nferores pr o vlor do mespn, o qul depende, lnermente, dos tempos de execução ds tvddes. O modelo qu proposto fo nsprdo nos modelos pr o problem do Job Shop de Mnne (1960) e o problem de ntegrção do Job Shop com um problem de dmensonmento de lote de produção de Lsserre (199). O problem estuddo consder o tempo e quntdde locd de recursos vráves contínus. A locção smultâne de recursos renováves são modelds trvés de vráves bnárs de seqüencmento. Um proposção é fet pr lnerzção d relção tempo de execução e quntdde de recurso utlzd pr relzção ds tvddes. Alguns exemplos numércos, utlzndo o módulo de resolução de problems lneres ntero msto do GLPK de Mholn (00) são mostrdos.. Contextulzção do problem estuddo O problem de locção de recursos em dmnstrção de projetos, estuddo qu neste trblho, consste em defnr nclmente s quntddes máxms de cd tpo de recurso renovável que podem ser locds pr executr cd um ds tvddes de um projeto. Dess form, defne-se o tempo mínmo que cd tvdde pode ser executd, este tempo mínmo é clculdo qundo se utlz quntdde máxm de recurso pr execução d tvdde. Consderndo não dsponbldde d quntdde totl de cd recurso utlzd nclmente pr o cálculo dos tempos mínmos e ndvdus de execução de cd tvdde, o problem consste, então em: () defnr quntdde de cd recurso que deve ser retrd pr execução de cd tvdde do projeto; () defnr seqüênc ds tvddes que utlzm de um mesmo recurso, de mner que os recursos exstentes sejm sufcentes; () tngr um objetvo, por exemplo, mnmzr dt de térmno do projeto. Consderndo então lmtção d dsponbldde de recursos, o tempo de execução de cd tvdde é escrto qu como um relção lner d quntdde ser retrd de cd recurso utlzdo pel tvdde. 196

3 Pesqus Operconl e o Desenvolvmento Sustentável A decsão do dmnstrdor do projeto consste em defnr s quntddes de cd tpo de recurso que devem ser utlzds pr executr cd um desss tvddes e relção de precedênc dequd entre s operções que utlzm de um mesmo recurso. Note que s conseqüêncs dests decsões nfluencrão dretmente no tempo totl e no custo totl de execução do projeto. 3. Lnerzção d relção entre o tempo de execução e quntdde de recurso utlzd Sej p o tempo de execução de cd tvdde que utlz um determndo recurso [r() = )] clculdo qundo é locd quntdde máxm q que se pode utlzr deste recurso pr executr tvdde. Assm, p é o vlor do lmte nferor pr o tempo de execução d tvdde. Observ-se que o vlor de p é sempre mor que zero (p > 0), ou sej, exste um tempo mínmo pr execução de cd tvdde, ndependente d quntdde de recursos locd. Por outro ldo, execução de um tvdde qulquer que necesst do recurso é condcond à locção de um quntdde mínm q deste recurso. Ao locr quntdde mínm do recurso necessár pr execução d tvdde, o tempo de execução dess tvdde ssume um vlor máxmo p. Assm, p é o vlor do lmte superor pr o tempo de execução d tvdde. Ao plnejr um projeto, propõe-se então, consderr os vlores dos tempos de execução de cd tvdde que utlz de lgum recurso como sendo p, sto é, locr mor quntdde possível q do recurso r() = em tods s tvddes que necesstm deste recurso pr su execução. Consderndo que quntdde totl Q do recurso dsponível é: menor ou gul à quntdde totl máxm Q = : r( ) = q locd nclmente pr executr s tvddes que necesstm deste recurso, conforme form clculdos os seus tempos de execução p ; mor ou gul à quntdde totl mínm Q = : r ( ) = q do recurso necessár pr executr tods s tvddes que utlzm deste recurso. As dus condções cm vblzm formulção mtemátc do problem, pos, por um ldo, se Q > Q, gerenclmente ser vável locção ds quntddes máxms de recurso q pr executr tods s tvddes ; por outro, se Q < Q o problem não ter solução vável. O problem consste então em determnr quntdde rel x de recurso que dexrá de ser locd pr executr tvdde, de form que lmtção d dsponbldde do recurso sej respetd. Ao retrr recursos pr execução de um tvdde, o seu tempo de execução deve crescer em função d quntdde retrd. Se o tempo de execução p d tvdde cresce lnermente com quntdde rel de recursos retrdos x, em um gráfco onde ns bscsss estão s vráves x e ns ordens os vlores de p, temse ret que pss pelos pontos: (0, p ) e (q q, p ). Assm obtém-se equção d ret: p = p + x; (1) onde: p pí =. () q q Note que > 0 é o ftor de crescmento de p em relção à retrd de recursos x. Se = 0, o tempo de execução d tvdde ndepende do recurso. O lmte nferor de x, n equção (), é nulo, sto é, se tod quntdde q de recurso (r() = ) for utlzd, conforme clculdo nclmente, o tempo de execução de é p = p. O lmte superor de x é (q - q ), resultndo em p = p, sto é, obtémse o mor tempo de execução p qundo se utlz menor quntdde q pr executr tvdde. Em resumo, x ( q q ). (3) 0 Um trnslção de coordends pode ser fet pr smplfcr equção (1), trnsformndo- n equção (4) mostrd bxo. p = x, (4) 197

4 Pesqus Operconl e o Desenvolvmento Sustentável onde x = x + lmtes nferor p. Pr que equção (5.4) sej equvlente à equção (1), é necessáro clculr os l ì e superor Como, por defnção, estrtmente postvos, sto é: l de p, x : p = l x l = + ( q q) p p e são estrtmente postvos, os vlores de 4. Defnção de um problem de locção de recursos renováves p =. (5) l ì e l tmbém são l > 0 e l > 0. (6) O PSPRR é bem conhecdo d ltertur (BRUCKER ET. AL., 1998). A representção mtemátc desses problems, gerlmente, consder que o tempo de execução de cd tvdde e quntdde de recurso locd são dscretos. No entnto, consderm-se, n presente pesqus, esss dus vráves contínus. A dfculdde do problem qu estuddo consste n determnção ds seqüêncs ds tvddes que utlzm de um determndo recurso e portnto ests tvddes não podem ser executds em prlelo. Consdere então que pr executr determnds tvddes sej necessár utlzção de recursos renováves. Assm, s tvddes que não possuem relções de precedênc, ms que utlzm um mesmo recurso, não podem ser executds em prlelo. Nesse cso, são dos tpos de decsão dstntos que se devem tomr: decdr seqüênc de execução entre s tvddes que utlzm um mesmo recurso e decdr o qunto utlzr de cd recurso n execução ds tvddes Modelgem do problem K: conjunto de recursos renováves; N: conjunto de tods s tvddes, composto por: N 1 : conjunto de tvddes que têm s quntddes dos recursos necessáros defnds prevmente; N : conjunto de tvddes que utlzm lgum recurso renovável, N 1 N = Ø e N = N 1 N ; r: função plcd o conjunto N pr defnr o recurso que cd tvdde em N utlz: r( ) =, N, K ; N : conjunto ds tvddes que utlzm o recurso, U K = 1 N = N ; q : quntdde do recurso r() = dsponível pr executr tvdde ; p : N IR + : função pr representr o tempo de execução de cd tvdde do projeto. O vlor de p é ddo dferentemente pr s tvddes de N 1 e N : tvddes em N 1 : p é constnte; tvddes em N : p = x, onde: > 0: coefcente do umento do tempo de execução d tvdde qundo um undde do recurso (r()=) é retrd; x p = x + : onde x é quntdde rel de recurso (r()=) que dexrá de ser locd pr execução d tvdde ; p e q : p é o menor tempo de execução d tvdde. O vlor de p é clculdo qundo se 198

5 Pesqus Operconl e o Desenvolvmento Sustentável utlz mor quntdde q do recurso r() = pr executr tvdde; p e q : p é o mor tempo de execução d tvdde. O vlor de p é clculdo qundo se utlz menor quntdde q do recurso r() = pr executr tvdde; p l = ( N ): quntdde mínm do recurso (r() = ) que deve ser retrd pr execução d tvdde ; p p l = + ( q q ) = ( N ): quntdde máxm do recurso (r() = ) que se pode retrr pr executr tvdde ; A: conjunto de pres de tvddes (, j), tl que N, j N e j, que represent s relções de precedênc entre s tvddes: tvdde deve ser executd ntes d tvdde j( p j). O conjunto A é prtcondo em: A1 = {(, j) N1 N : p j}: conjunto de pres de tvddes pr representr s relções de precedênc entre dus tvddes do projeto; A = {(, j) N ( N N ): p j e r( ) = }: conjunto de pres de tvddes pr representr s relções de precedênc entre s tvddes que utlzm o recurso e s dems tvddes que não utlzm o recurso ; E = {(, j) N N : r( ) = r( j) =, = 1,..., }: conjunto de pres de tvddes pr representr dus tvddes, e j, que utlzm um mesmo recurso renovável. Note que, se (, j) E então ( j, ) E. Observ-se que A1 A = A1 E = A E = Ø e A = A1 A E. As vráves de decsão são defnds: t : dt de nco d tvdde ; p x = x + : onde x é quntdde rel de recursos (r() = ) que dexrá de ser locd pr execução d tvdde. 4.. Modelo lner ntero msto proposto O modelo de Progrmção Mtemátc Lner Inter Mst básco pr esse problem é então escrto: Mnmzr Sujeto t t n t t j j t t t t x 0 j x j x j j t My + My x í t q 0 l x y j p j j M 0 l { 0,1 } q p + (,j) (,j) (, j) (, j) N N A N (, j) E E e p j E e p j 1 A e r( ) = (7) (8) (9) (10) (11) (1) (13) (14) (15) 199

6 Pesqus Operconl e o Desenvolvmento Sustentável A função objetvo (7) é mnmzção d dt de fnlzção do projeto, consderndo últm tvdde ser relzd no projeto, tvdde n, como um tvdde fctíc de tempo de execução nulo e que não utlz de nenhum recurso. As restrções (8) e (9) grntem que s relções de precedênc entre dus tvddes que não utlzm um mesmo recurso sejm respetds. As restrções (10) e (11) ssegurm que dus tvddes que utlzm um mesmo recurso não serão executds smultnemente. A restrção (1) grnte que s lmtções referentes às quntddes de recursos utlzdos serão respetds. O domíno ds vráves é defndo pels restrções (13), (14) e (15). Ns restrções (10) e (11), o prâmetro M defne o lmte superor do tempo de execução de tods s tvddes e s vráves de decsão y j = 1, determnm que tvdde precede tvdde j, cso contráro y j = 0. Com o pr de restrções (10) e (11), note que, em um solução qulquer do modelo, se y j = 1, restrção (10) é tvd com t j t x 0, portnto stsfet, e restrção (11) será tmbém stsfet com t j t x M, pos, o prâmetro M é sufcentemente grnde pr que o ldo dreto d restrção sej menor que o ldo esquerdo, pr qusquer vlores postvos de t j, t e x obtdos pel solução. Por outro ldo, se y j = 0, restrção (10) é tvd, portnto respetd, com t j t x 0, e restrção (11) será tmbém stsfet com t j t x M pr qusquer vlores postvos que s vráves t j, t e x ssumm n solução. 5. Um exemplo Como exemplo, consdere um projeto composto por dez tvddes, dus fctícs, cujs relções de precedêncs são defnds pelo grfo G(N, A) d fgur 1 bxo: Fgur 1: Grfo G(N, A) do problem exemplo Assm: N = {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; N = {0, 1, 10}; N = {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; A 1 = {(0,1), (1,), (1,3)}; A = {(,4), (3,5), (4,6), (4,9), (5,6), (5,7), (6,8), (6,9), (7,8), (8,10), (9,10)}; E = {(,3), (3,), (4,5), (5,4), (6,7), (7,6), (8,9), (9,8)} O problem consste em determnr quntdde rel x de recurso renovável que dexrá de ser locd pr executr tvdde, de form que lmtção d dsponbldde de recurso sej respetd. São ddos gerencs do problem: tvddes que não comprtlhm recursos: 0, 1 e 10. Pr esss tvddes o tempo de execução é constnte e gul : p 0 = 0, p 1 = 7 e p 10 = 0; tvddes que comprtlhm recursos, o recurso comprtlhdo, s quntddes dsponíves de cd recurso pr cd tvdde, quntddes máxms e mínms de recursos utlzdos e os respectvos mínmos e máxmos tempos de execução. 00

7 Pesqus Operconl e o Desenvolvmento Sustentável Com estes ddos é possível obter os vlores ds txs de crescmento do tempo de execução em função ds vráves x e dos lmtes nferor e superor pr s vráves x. A tbel 1 mostr os ddos e os vlores ds vráves t, x, x e p em um solução ótm pr este exemplo: Tbel 1: Ddos e solução do problem exemplo A solução ótm encontrd defne, tmbém, os vlores ds vráves y 3 = 0, y 45 = 0, y 67 = 1 e y 89 = 0. Isto sgnfc que tvdde será executd depos d tvdde 3, 4 depos d 5, 6 ntes d 7 e tvdde 8 depos d tvdde 9. Est solução pode ser melhor vsulzd Dgrm de Gntt, mostrdo pel fgur : Fgur : Dgrm de Gntt do problem exemplo Note que s tvddes e 3, 4 e 5, 6 e 7, 8 e 9 comprtlhm o mesmo recurso. Assm, mesmo não hvendo relções de precedênc entre els, esss tvddes não podem ser executds em prlelo. 6. Conclusão O nteresse deste rtgo fo estudr os problems de seqüencmento de tvddes em projetos com restrções de recursos. O modelo proposto teve como objetvo mnmzção do tempo totl de execução do projeto. Esse objetvo fo tngdo trvés de um locção dequd de recursos necessáros pr execução ds tvddes e, tmbém, trvés do seqüencmento desss tvddes. As relções de precedênc entre s tvddes do projeto tmbém form grntds. O modelo presentdo fo mplementdo e utlzdo n resolução de lguns exemplos desse tpo de problem, o que pode ser comprovdo em Clrsse (004). 01

8 Pesqus Operconl e o Desenvolvmento Sustentável Os resultdos numércos obtdos mostrrm que o modelo proposto pode ser resolvdo computconlmente. Entretnto, é bem conhecd complexdde ds restrções de seqüencmento nserds no modelo. Assm, em problems que possuem um número elevdo dests restrções, certmente surgrão lmtções computcons em sus execuções numércs. Devdo o gru de dfculdde dos problems de seqüencmento, pode-se conclur necessdde do prossegumento d pesqus pr relzção de trblhos futuros, explorndo o tem borddo e perfeçondo o modelo presentdo. Referêncs BLAZEWICZ, J.; LENSTRA, J. K. & RINNOOY KAN, A. H. G. (1983) - Schedulng projects subject to resource constrnts: clssfcton nd complexty. Dscrete Appled Mth., 5:11 4. BOCTOR, F. F. (1990) - Some effcent mult-heurstc procedures for resource-constrned project schedulng. Europen Journl of Opertonl Reserch, 49:3 13. BRUCKER, P.; KNUST, S.; SCHOO, A. & THIELE, O. (1998) - A brnch nd bound lgorthm for the resouce-constrned project schedulng problem. Europen Journl of Operton Reserch, 107:7 88. BRUCKER, P.; DREXL, A.; MÄOHRING, R.; NEUMANN, K. & PESCH, E. (1999) - Resourceconstrned project schedulng: Notton, clssfcton, models, nd methods. Europen Journl of Opertonl Reserch, 11:3 41. BRUCKER, P. & KNUST, S. (000) - A lner progrmmng nd constrnt propgton-bsed lower bound for the rcpsp. Europen Journl of Opertonl Reserch, 17: CARLIER, J. & NÉRON, E. (003) - On lner lower bounds for the resource constrned project schedulng problem. Europen Journl of Opertonl Reserch, 149: GAREY, M. R. & JOHNSON, D. S. (1975) Complexty results for multprocessor schedulng resource constrnts. SIAM J. Comput, 4: GOLDBARG, M. C. & LUNA, H. P. L. (000) - Otmzção Combntór e Progrmção Lner - Modelos e Algortmos. Ed. Cmpus. GUZ, O. O. & BALA, H. (1994) - A comprtve study of computtonl procedures for the resource constrned project schedulng problem. Europen Journl of Opertonl Reserch, 7: HILLER, F. S. & LIEBERMAN, G. J. (1988) - Introdução à pesqus operconl. Edtor Cmpus LTDA. Edtor d Unversdde de São Pulo. KOLISCH, R.; SPRECHER, A. & DREXL, A. (1995) - Chrcterzton nd generton of generl clss of resource-constrned project schedulng problems. Mngement Scence, 41: LASSERRE, J.-B. (199) An ntegrted model for job-shop plnnng nd schedulng. Mngement Scence, 38(8): MAKHORIN, A. GNU Lner Progrmmng Kt Refernce Mnul. Free Softwre Foundton, Inc., 00. MANNE, A. S. (1960) On the job-shop schedulng problem. Opertons Reserch, 8. MINGOZZI, A.; MANIEZZO, V.; RICCIARDELLI, S. & BIANCO, L. (1998) - An exct lgorthm for the resource-constrned project schedulng problem bsed on new mthemtcl formulton. Mngement Scence, 44: MINOUX, M. (1986) - Mthemtcl progrmmng theory nd lgorthms. Wley-Interscence. PFAFFENBERGER, R. C. & WALKER, D. A. (1976) - Mthemtcl progrmmng for economcs nd busness. Iow stte Unversty Press. SCHRAGE, L. (1971) - Solvng resource-constrned networ problems by mplct enumerton nonpreemptve cse. Opertonl Reserch, 18:5 35. VALLS, V.; QUINTANILLA, S. & BALLESTÍN, F. (003) - Resource-constrned project schedulng: crtcl ctvty reorderng heurstc. Europen Journl of Opertonl Reserch, 149: VIEIRA, C. (004) - Modelos pr o seqüêncmento de tvddes em projetos com restrções de recursos. Dssertção de Mestrdo em Engenhr de Produção - UFMG. WAGNER. H. M. (1986) - Pesqus operconl. Prentce/Hll do Brsl. 0