Modelamento não Linear de Dois Elos de um Robô Eletromecânico de Cinco Graus de Liberdade

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1 Proceedng Seres of the Brzln Socety of Appled nd Computtonl Mthemtcs, Vol. 3, N., 5. Trblho presentdo no III CMAC - SE, Vtór-ES, 5. Proceedng Seres of the Brzln Socety of Computtonl nd Appled Mthemtcs Modelmento não Lner de Dos Elos de um Robô Eletromecânco de Cnco Grus de Lberdde José Antôno Rul Deprtmento de Engenhr Mecânc, Centro de Tecnolog, UFPB, João Pesso, PB Pulo Henrque de Mrnd Montenegro Deprtmento de Engenhr Mecânc, Centro de Tecnolog, UFPB, João Pesso, PB Resumo. O objetvo do presente trblho é o modelmento não lner de dos elos de um robô mnpuldor eletromecânco de cnco grus de lberdde (5 GDL). O robô mnpuldor é composto por cnco junts rotcons, por qutro elos e por um grr. Cnco motores de corrente contínu são utlzdos pr o conmento do robô e trnsmssão do movmento dos motores pr s junts é relzd trvés de trens de engrengens. As medds ds posções ngulres ds junts são relzds por potencômetros. Modelos de robôs mnpuldores são obtdos usndo equções de Newton Euler ou de Lgrnge; e são copldos e não lneres. Neste trblho, um modelo não lner é obtdo, usndo sére de Volterr em tempo dscreto; e os prâmetros do robô mnpuldor são dentfcdos, trvés do lgortmo Lest Men Squres (LMS), com bse ns exctções e resposts dos elos do robô. Fnlzndo, são presentdos resultdos obtdos trvés do modelo gerdo. Plvrs-chve. Sstem não lner, Robótc, Identfcção Introdução O presente trblho tem como objetvo o modelmento não lner de dos elos de um robô mnpuldor eletromecânco de cnco grus de lberdde (5 GDL). Os elos e serem controldos são mostrdos n Fg.. O modelo mtemátco de um sstem pode ser obtdo trvés de les físcs, conhecdo como modelo cx brnc ou por técnc de dentfcção prmétrc, conhecd como modelo cx pret, que depende de ddos res do sstem. Modelos cx brnc de robôs mnpuldores são não lneres [5, ], enqunto que dentfcção cx pret, ger modelos lneres e não lneres [], que podem ser usdos pr projeto e mplementção de controldores dpttvos. Os modelos cx brnc, exgem elevdo esforço computconl [8, ]. N utlzção de modelos cx pret, sus estruturs são defnds pror, e com sto, escolh de modelos de prmer ou segund ordem, que representm bem os sstems res, e que requerem bxo esforço computconl, rul@ct.ufpb.br pulo@ct.ufpb.br DOI:.554/ SBMAC

2 Proceedng Seres of the Brzln Socety of Appled nd Computtonl Mthemtcs, Vol. 3, N., 5. são empregdos. Modelos cx pret, não lneres, consderndo o coplmento entre os elos e do robô serão obtdos usndo o lgortmo Lest Men Squres (LMS). Fnlzndo, são presentdos resultdos obtdos trvés do modelo gerdo. Descrção do Sstem O Robô Mnpuldor, mostrdo n Fg. é um robô ddátco, pesndo proxmdmente 7 kg, referênc RD5NT, fbrcdo pel empres Ddct Itál, é composto de cnco junts rottvs, qutro elos e um grr. A prmer junt rottv refere-se o movmento ngulr d bse, com deslocmento máxmo de 93º, segund junt rottv refere-se o ombro, com deslocmento ngulr máxmo de 7 o, tercer junt rottv refere-se o cotovelo, com deslocmento ngulr máxmo de 84 o, qurt junt rottv refere-se o pulso com deslocmento ngulr máxmo de 36 o e qunt junt rottv refere-se um sstem corô / prfuso sem fm, responsável pelo curso d grr, de no máxmo mm, cpcdde de fxção de crg de 35 grms e prd utomátc por meo de um mcro chve operndo com velocdde de fechmento justável. Fgur : Robô mnpuldor de cnco gdl. Os elos do robô mnpuldor representm o tronco, o brço, o ntebrço e o punho. A trnsmssão de cd movmento é fet por meo de bloco motor redutor, com dos estágos de redução, e com relção de trnsmssão totl de /5. Os motores dos blocos são de corrente contnu, referênc , fbrcdos pel Mxon Motor, com potenc de,5 wtts e com cpctor de long vd. A voltgem nomnl dos motores CC é de volts e rotção máxm sem crg é de 648 rpm. A reprodução dos deslocmentos ngulres ds junts e movmento d grr é ssegurd por meo de potencômetros rottvos lneres, referênc 78CSB5, fbrcdos pel Sfernce, com resstênc de 5 kώ. Um computdor HP Compq com processdor AMD Athlon dul core de 985 Mhz e 786 DOI:.554/ SBMAC

3 Proceedng Seres of the Brzln Socety of Appled nd Computtonl Mthemtcs, Vol. 3, N., 5. 3 MB de RAM é utlzdo pr envr comndo de conmento os motores CC e receber os sns dos sensores potencométrcos. A comuncção do robô com o computdor, é relzd trvés de dus plcs de entrd e síd de ddos, NI USB-69 e de um progrm computconl ns pltforms LbVew e Mtlb. 3 Identfcção Não Lner do Robô Mnpuldor A dentfcção de sstems é um áre do conhecmento que estud técncs lterntvs de modelgem mtemátc [3, 4, 6, 9]. Um ds crcterístcs desss técncs é que pouco ou nenhum conhecmento prévo do sstem é necessáro e, consequentemente, ts métodos são referdos como modelgem (ou dentfcção) cx pret ou modelgem empírc []. Modelos mtemátcos não lneres de sstems, podem ser obtdos utlzndo-se sére de Volterr [7]. O modelo prmétrco de Volterr mostrdo n Eq. (), é proprdo pr estmção de prâmetros tendo como bse os sns de entrd e de síd de um sstem de um entrd e um síd (SISO). m h m ν + ν( k ) + ν( k ) ν( k β) +... N β β h h h m p m... ν( k ) ν( k β ) bu( k d ) + c pβ... βp ξ ss p p β β β β β ξ () onde: m ordem do modelo do sstem; d trso de trnsporte; p gru de não lnerdde do modelo do sstem; h horzonte; c ss nível DC; N e b prâmetros do modelo do sstem; k tempo dscreto; u(k) - exctção no sstem; ν - respost do sstem; Consderndo m, d, p 3, h e c n Eq. (), obtém-se Eq. (), de um ss modelo não lner, de não lnerdde n síd. ν ν ν [ b 3 3 3][ ( k ) u( k ) - ( k ) 3 - ν( k ) ν( k ) - ν ( k ) - ν( k ) ν ( k ) - ν ( k ) ν( k )] t () Pr nálse nos dos elos do robô mnpuldor, e consderndo o coplmento dnâmco entre eles, Eq. () é reescrt conforme Eq. (3), por se trtr de um sstem de múltpls DOI:.554/ SBMAC

4 Proceedng Seres of the Brzln Socety of Appled nd Computtonl Mthemtcs, Vol. 3, N., 5. entrds e de múltpls síds (MIMO). [ ν ] [ θ ][ ϕ ] (3) onde: [ ν k ] [ θ k ] ˆ [ ϕ k ] ( ) - vetor de sd; ( ) - mtrz de prmetros; ( ) - vetor de medds. N Equção (3), mtrz de prâmetros é dd pel Eq. (4), o vetor de medds ddo pel Eq. (5) e o vetor de síd ddo pel Eq. (6). O mesmo vetor de medds é utlzdo pr obtenção ds síds ν() k e de ν (). k N Equção (4) o tempo dscreto k dos prâmetros N e b fo omtdo. θ b b 8 9 θ b b (4) t [ ϕ] [- ν ( k ) u ( k ) - ν ( k ) - ν ( k ) ν ( k ) - ν ( k ) - ν ( k ) ν ( k ) - ν ( k ) ν ( k ) 3 (5) - ν ( k ) u ( k ) - ν ( k ) - ν ( k ) ν ( k ) - ν ( k ) - ν ( k ) ν ( k ) 3 - ν ( k ) ν ( k )] [ ν ] t [ ν ν ] (6) onde: θ - prâmetros dos elos e do robô; ϕ - vetor de medds dos elos e do robô, ν - síds dos elos e do robô; u ( k ) - entrds nos elos e do robo; e. A dentfcção tpo cx pret é utlzd no modelmento não lner dos elos do robô mnpuldor sob nálse, trvés do lgortmo Lest Men Squres (LMS), ddo pel Eq. (7) [, 4]. θ ˆ(k + ) θ ˆ(k) +γ (k + ) ϕ (k + ) ε (k + ) (7) onde: T γ (k + ) / +ϕ (k+ ) ϕ (k+ ) (8) DOI:.554/ SBMAC

5 Proceedng Seres of the Brzln Socety of Appled nd Computtonl Mthemtcs, Vol. 3, N., 5. 5 ε (k + ) ν (k + ) ν ˆ(k + ) (9) θ ˆ(k + ) - mtrz de prmetros ˆ estmdos; γ (k + ) - gnho; ε (k + ) - erro de prevso; % ν ˆ(k + ) - sd estmd. A quldde do modelo estmdo pode ser verfcd utlzndo várs técncs, dentre els pr se nvestgr mgntude do índce de desempenho tem-se o somtóro do erro qudrátco (SEQ), ddo pel Eq. () e o coefcente de correlção múltpl (R²), ddo pel Eq. () [4]. N ν νˆ () k SEQ (k) (k) () onde: N N [ ] [ ] R { ˆ ν (k) ν (k) / ν (k) ν } ˆ (k) e k k ν ν - síd estmd do elo e méd d síd rel do elo ; (k), elos e do robô; ε (k + ) ν (k) ν ˆ (k) - erro de prevsão do elo ; SEQ - somtóro do erro qudrátco do elo do robô; R - coefcente de correlção múltpl do elo do robô. Qundo o vlor de R² é gul undde, ndc um ext dequção do modelo pr os ddos meddos do processo e pr R² entre,9 e,; o modelo pode ser consderdo sufcente pr muts plcções prátcs. Vlor ms bxo do SEQ pr o conjunto de ddos de teste ndc o melhor modelo. Os modelos mtemátcos não lneres dos elos do robô mnpuldor em estudo são obtdos trvés d dentfcção prmétrc. Os ddos que compõem o vetor de medds, são s exctções envds do computdor pr os motores CC; u, u ( k ), e s resposts obtds, que são s posções ngulres dos elos e ; ν β, ν β, conforme Eq. (5). Com solução d Eq. (7), obtêm-se os prâmetros estmdos ˆ θ ( k ) dos elos e do robô mnpuldor, ddos n Eq. (4). N gerção de modelos, consderou-se: m, d, m, d, p p 3, e h h e ; m, d, m, d, p p, e h h, e. Com dequção d Eq. (3), os prâmetros dos elos e, são obtdos trvés d solução d Eq. (7) e s síds estmds ν ˆ(k) βˆ ˆ ˆ (k) e ν (k) β (k) são obtds pel Eq. (). t t ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ ] ν β ν β θ θ ϕ () DOI:.554/ SBMAC

6 Proceedng Seres of the Brzln Socety of Appled nd Computtonl Mthemtcs, Vol. 3, N., 5. onde: ˆ β - posço % ngulr estmd do elo do robo; ˆ 4 Resultdos Obtdos pr os Elos do Robô Os resultdos presentdos ns Fgurs, 3, 4 e 5, são prte dos testes relzdos. A Fgur mostr os sns de entrd e síd do elo do robô mnpuldor, Fg. 3 os sns de entrd e síd do elo. A Fgur 4 mostr s síds res e s síds estmds dos elos e do robô mnpuldor e Fg. 5 mostr s síds res e s estmds dos elos do robô mnpuldor, no ntervlo entre s mostrs e 3. As síds estmds d Fg. 4, form obtds consderndo o modelo não lner de gru de não lnerdde de síd três pr os elos e e horzonte gul undde, pr os elos e. Entrd e Sd do Elo (Volts) 3 - Entrd Sd Amostrs Entrd e Sd do Elo (Volts) Entrd Sd Amostrs Fgur : Entrd e síd do elo. Fgur 3: Entrd e síd do elo..5.5 Sds Res e Estmds (Volts).5.5 Sd Rel do Elo Sd Estmd do Elo -.5 Sd Rel do Elo Sd Estmd do Elo Amostrs Sds Res e Estmds (Volts).5 Sd Rel do Elo.5 Sd Estmd do Elo Sd Rel do Elo Sd Estmd do Elo Amostrs Fgur 4: Síds res e estmds dos elos e. Fgur 5: Síds res e estmds dos elos e (ntervlo entre e 3 mostrs). Os índces de desempenho obtdos form: SEQ,4, R,99 e SEQ 3,53 e R DOI:.554/ SBMAC

7 Proceedng Seres of the Brzln Socety of Appled nd Computtonl Mthemtcs, Vol. 3, N., 5. 7,89. Esse modelo fo o que presentou os melhores índces de desempenho pr os elos. 5 Conclusão Este trblho presentou técnc de dentfcção não lner de dos elos de um robô mnpuldor de cnco grus de lberdde. A dentfcção dos modelos fo relzd utlzndo-se o lgortmo LMS, consderndo dnâmc dos dos elos do robô copld. Város modelos não lneres form testdos e dos resultdos obtdos, o modelo não lner de gru de não lnerdde de síd três e de horzonte um, pr os dos elos do robô, presentrm os melhores índces de desempenho; o que o torn o ms ndcdo pr mplementção em controldores dpttvos. Referêncs [] L. A. Agurre, Introdução à Identfcção de Sstems: Técncs lneres e não-lneres plcds sstems res, Edtor d UFMG, Belo Horzonte, MG, (). [] L. A. Agurre, W. C. A. Amrl, M. F. M. Cmpos e A. P. A. Slv, Encclopéd de Automátc, Edtor Blucher, São Pulo, (7). [3] K. J. Åstrom, B. Wttenmrk, Adpttve Control, Addson Wesley, New York, (995). [4] A. A. R. Coelho, L. S. Coelho, Identfcção de Sstems Dnâmcos Lneres, Edtor d UFSC, Flornópols, (4). [5] J. J. Crg, Introducton to Robotcs: Mechncs nd Control, Addson Wesley, (989). [6] R. Isermnn, Prctcl Aspects of Process Identfcton, Automátc, vol. 6, , (98). [7] R. Isermnn, K. H. Lchmnn ndd. Mtko, Adpttve Control Systems, Prentce Hll, (99). [8] A. J. Kovo, T. Guo, Adptve Lner Controller for Robotc Mnpultor, IEEE Trnsctons on Automtc Control, vol. AC-8, 6-7, (983). [9] F. R. Rúbo e M. J. L. Sánchez, Control Adpttvo y Robusto, Secretrdo de Publccones de l unversdd de Sevll, Espnh, (996). [] M. W. Spong, M. Vdysgr, Robot Dynmcs nd Control, John Wlley & Sons, (989). [] M. C. Shh, S. I. Tseng, Identfcton nd Poston Control of Servo Pneumátco Cylnder, Control Engneerng Prctce, vol. 3, 85-9, (995). DOI:.554/ SBMAC