MODELAGEM NÃO LINEAR DE UM ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE PLANAR

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1 Copyrght 4 by ABCM MODELAGEM NÃO LINEAR DE UM ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE PLANAR José Antono Rul, rul@ct.ufpb.br Paulo Henrque de Mranda Montenegro, paulo@ct.ufpb.br Vrgílo Mendonça da Costa e Slva, rul@ct.ufpb.br Unversdade Federal da Paraíba, Cdade Unverstára, CEP João Pessoa, PB Resumo: O objetvo desse trabalho é a modelagem de dos elos de um robô manpulador de dos graus de lberdade planar usando técnca não lnear. O robô manpulador é composto pelo elo rotaconal e pelo elo prsmátco. O elo rotaconal é um perfl U em alumíno aconado por um motor-redutor de corrente contínua e o elo prsmátco é um clndro pneumátco de dupla ação e haste passante fxado no nteror do perfl U e é aconado por uma válvula eletropneumátca proporconal. Modelos dnâmcos desses sstemas normalmente são obtdos usando-se a equação da contnudade, a equação de vazão em orfícos e o prncpo de D'Alembert, nos elos e do robô, e são não lneares. A escolha de modelos lneares ou não lneares mplca em um aumento consderado na complexdade do modelo a ser utlzado, porém exstem regmes dnâmcos que modelos lneares não conseguem representa-los; nesses casos, o uso de modelos não lneares é o mas recomendado. Neste trabalho, o modelo não lnear é obtdo, usando a sére de Volterra em tempo dscreto; e os parâmetros do robô manpulador são dentfcados, através do algortmo Least Mean Squares (LMS), com base nas exctações e respostas dos elos do robô. Fnalzando, são apresentados resultados obtdos através do modelo gerado. Palavras-chave: Robótca, Identfcação não lnear. INTRODUÇÃO O presente trabalho tem como objetvo o modelamento de um robô manpulador de dos graus de lberdade ( GDL) planar como mostrado na Fg.. O modelo matemátco de um sstema pode ser obtdo através das les da físca, conhecdo como modelo caxa branca ou por técnca de dentfcação paramétrca, conhecda como modelo caxa preta, que depende de dados reas do sstema. Na dentfcação caxa preta, são gerados modelos lneares e não-lneares (Agurre, ; Isermann et al.,99), que podem ser usados para projeto e mplementação de controladores adaptatvos. Os modelos podem ser obtdos em tempo real ou não, de forma não recursva e recursva e os obtdos de forma recursva, representam de forma satsfatóra a dnâmca do sstema, vsto que esta é avalada para cada nstante de tempo, em função do tempo de amostragem utlzado. Os modelos caxa branca, quando utlzados em projetos de controladores, exgem uma quantdade elevada de cálculos, o que torna necessáro o uso de máqunas de grande porte, tendo em vsta o esforço computaconal requerdo (Kovo e Guo, 98). Na utlzação de modelos caxa preta, suas estruturas são defndas a pror, e com sto, a escolha de modelos de prmera ou segunda ordem, que representam bem os sstemas reas, e que requerem baxo esforço computaconal, são empregados. Neste trabalho, será obtdo um modelo caxa-preta, não-lnear, através do algortmo Least Mean Squares (LMS), para dentfcação dos parâmetros dos elos e do robô sob análse. Na obtenção do modelo, a sére de Volterra em tempo dscreto será usada. A dentfcação dos elos será realzada consderando o acoplamento dnâmco entre os elos do robô. Fnalzando, são apresentados resultados mostrando o desempenho obtdo para os dos elos do robô, dante do modelo obtdo.. DESCRIÇÃO DO SISTEMA O robô manpulador planar sob análse é composto pelo elo rotaconal e pelo elo prsmátco. O elo rotaconal é um perfl U em alumíno (5) e é aconado por um moto-redutor de corrente contínua (). O elo prsmátco é um clndro pneumátco (6), que fca fxo no nteror do perfl U e é aconado por uma válvula eletropneumátca proporconal (8), conforme mostrado em corte na Fg.. Um potencômetro (), aconado pelas engrenagens (4) é utlzado para medr a posção angular do perfl U e uma régua potencométrca (7) para medr a posção da haste do 99

2 Copyrght 4 by ABCM clndro pneumátco. Um computador PC e uma placa de entrada e saída de dados são usados para exctar o motoredutor de corrente contínua e a válvula eletropneumátca proporconal e captar os snas meddos pelo potencômetro e pela régua potencométrca. No computador utlza-se o programa computaconal LABVew para determnação do modelo do robô manpulador. Com esta confguração o movmento do robô ocorre num plano; e este sstema é denomnado BIBO por ter duas entradas e duas saídas, o que o caracterza também como um sstema de dos graus de lberdade. Fgura. Robô manpulador planar.. IDENTIFICAÇÃO NÃO LINEAR DO ROBÔ MANIPULADOR A dentfcação de sstemas é uma área do conhecmento que estuda técncas alternatvas de modelagem matemátca (Isermann, 98; Aström e Wttenmark, 995; Rúbo e Sanchez, 996; Behar e Iranzo, ; Coelho e Coelho, 4). Uma das característcas dessas técncas é que pouco ou nenhum conhecmento prévo do sstema é necessáro e, conseqüentemente, tas métodos são referdos como modelagem (ou dentfcação) caxa preta ou modelagem empírca (Agurre et al., 7). Modelos matemátcos não lneares de sstemas, podem ser obtdos utlzando-se a sére de Volterra (Isermann et al.,99). O modelo paramétrco de Volterra mostrado na Eq. (), é aproprado para estmação de parâmetros tendo com base os snas de entrada e saída de um sstema SISO. m m h m ( k) a ( k ) b u( k d ) b u( k d ) u( k d ) h h h m b u( k d ) u( k d ) c p p... p ss p () onde: m ordem do modelo do sstema; d atraso de transporte; p grau de não lneardade do modelo do sstema; h horzonte; c ss nível DC Consderando m =, d =, p = e h = na Eq. (), obtém-se a Eq. (), de um modelo não lnear, de não lneardade na entrada. 994

3 Copyrght 4 by ABCM ( k) a( k ) b u( k ) b u ( k ) b u( k ) u( k ) bu ( k ) bu ( k ) u ( k ) bu ( k ) u( k ) css () A Equação () consderando c ss =, é mostrada conforme a Eq. (). ( k ) uk ( ) u ( k ) ( k) [ a b b b b b b ] u( k ) u( k ) u ( k ) u( k ) u ( k ) u ( k ) u( k ) () Para análse no robô manpulador, consderando o acoplamento dnâmco entre os dos elos, a Eq. () é reescrta conforme a Eq. (4), consderando as exctações dos elos e ; u (k) e u (k) e as respostas; ( k) e ( k). ( k ) u ( k ) u ( k ) u( k ) u( k ) u ( k ) u( k ) u( k ) ( k) a b b b b4 b5 b6 a b7 b8 b9 b b b u( k ) u ( k) ( k) a b b4 b5 b6 b7 b8 a4 b9 b b b b b 4 ( k ) u ( k ) u ( k ) u( k ) u( k ) u ( k ) u( k ) u( k ) u ( k ) u( k ) (4) Da Eq. (4) tem-se o vetor de parâmetros dado pela Eq. (5) e o vetor de meddas dado pela Eq. (6). Na Equação (5) o tempo dscreto k dos parâmetros a e b j fo omtdo. a b b b b b b a b b b b b b ( k) a b b b b b b a b b b b b b (5) T ( k) [ ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k ) u ( k )] (6) onde: ( k) - vetor de parâmetros dos elos e do robô; ( k) - vetor de meddas dos elos e do robô. A dentfcação tpo caxa preta é utlzada no modelamento não lnear dos elos do robô manpulador sob análse, através do algortmo Least Mean Squares (LMS), dado pela Eq. (7) (Agurre et al., 7; Coelho e Coelho, 4). 995

4 Copyrght 4 by ABCM ˆ(k ) ˆ(k) (k ) (k ) (k ) (7) onde: (k ) T (k ) (k ) (8) A qualdade do modelo estmado pode ser verfcada utlzando váras técncas, dentre elas para se nvestgar a magntude do índce de desempenho tem-se o somatóro do erro quadrátco (SEQ), dado pela Eq. (9) e o coefcente de correlação múltpla (R²), dado pela Eq. () (Coelho e Coelho, 4). N ˆ (9) k SEQ (k) (k) R N k N k (k) ˆ (k) (k) onde: ˆ(k) e (k) são as saídas do sstema estmada e méda; =, elos e do robô; (k ) (k) ˆ (k) - erro de prevsão () Quando o valor de R² é gual a um, ndca uma exata adequação do modelo para os dados meddos do processo e para R² entre,9 e,; o modelo pode ser consderado sufcente para mutas aplcações prátcas. Valor mas baxo do SEQ para o conjunto de dados de teste ndca o melhor modelo. Pode-se desenvolver a sére de Volterra (Isermann et al.,99), de tal forma que a não lneardade ocorre em função da saída do sstema. Uma equação a dferenças geral pode ser formulada (Isermann et al.,99) como mostra a Eq. (). m h m h h h m ( k) a ( k ) a ( k ) ( k ) a ( k ) ( k ) m N p... p p p b u( k d ) c ss p () Consderando m =, d =, p = e h = na Eq. (), obtém-se a Eq. (), de um modelo não lnear, de não lneardade na saída. ( k) a ( k ) b u( k ) a ( k ) a ( k ) ( k ) a ( k ) a ( k ) ( k ) a ( k ) ( k ) css () A Equação () consderando c ss =, é mostrada conforme a Eq. (). ( k ) uk ( ) - ( k ) ( k) [ a b a a a a a ] - ( k ) ( k ) - ( k ) - ( k) ( k) - ( k) ( k) () 996

5 Copyrght 4 by ABCM Para análse no robô manpulador, consderando o acoplamento dnâmco entre os dos elos, a Eq. () é reescrta conforme a Eq. (4), consderando as exctações dos elos e ; u (k) e u (k) e as respostas; ( k) e ( k). ( k) a b a a a a a a b a a a a a ( k) a b a a a a a a b a a a a a ( k ) u ( k ) - ( k ) - ( k) ( k) - ( k ) - ( k) ( ) - ( k) ( ) ( k ) u ( k ) - ( k ) - ( k) ( ) - ( k ) - ( k) ( ) - ( k) ( ) (4) Os modelos matemátcos não lneares dos elos do robô manpulador em estudo são obtdos através da dentfcação paramétrca. Os dados que compõem o vetor de meddas, são as exctações envadas do computador para o motor CC e para a válvula eletropneumátca proporconal; u ( k), u ( k ), e as respostas obtdas, que são a posção angular do perfl U (elo ) e a posção lnear da haste do clndro pneumátco (elo ); ( k ) ( k ), ( k ) x( k ). Com a solução da Eq. (7), obtêm-se os parâmetros estmados ˆ ( k) e ˆ k) do robô manpulador. x Na solução da Eq. (7), consderou-se: m =, d =, m =, d = ; p e p e h e h varando, partndo da Eq. (4), que representa um modelo de não lneardade de entrada e da Eq. (4), que representa um modelo de não lneardade de saída, conforme Tab. e Tab... Tabela. Pré-estruturas dos elos e do robô (não lneardade de entrada). Elo Ordem do Modelo (m) Atraso de Transpor te (d) Grau de Não Lnearda de (p) Horzonte (h) x x x x x x x x x x Não Lnearda de de entrada Não Lnearda de de saída 997

6 Copyrght 4 by ABCM Elo Tabela. Pré-estruturas dos elos e do robô (não lneardade de saída). Ordem do Modelo (m) Atraso de Transpor te (d) Grau de Não Lnearda de (p) Horzonte (h) Não Lnearda de de entrada x x x x x x x x x x Não Lnearda de de saída Com a adequação da Eq. (4) e da Eq. (4), para atender a Tab. e a Tab., os parâmetros dos elos e, são obtdos através da solução da Eq. (7) e as saídas estmadas ˆ ˆ ˆ ˆ (k) (k) e (k) x(k) são obtdas pela Eq. (5). ˆ(k) ˆ (k) (k) (5) 4. RESULTADOS OBTIDOS PARA OS ELOS DO ROBÔ Os resultados apresentados nas Fguras à 7 e na Tab., são parte dos testes realzados. A Fgura mostra os snas de entrada e de saída do elo do robô manpulador e a Fg. os snas do elo. A Fgura 4 mostra a saída real e a saída estmada do elo do robô, consderando o modelo não lnear de grau dos de não lneardade de entrada e horzonte dos. Na Fgura 5 são mostradas a saída real e a saída estmada do elo do robô, consderando o modelo não lnear de grau de não lneardade dos de entrada e horzonte dos. A Fgura 6 mostra a saída real e a saída estmada do elo do robô, consderando o modelo não lnear de grau de não lneardade dos de saída e horzonte dos e na Fg. 7 são mostradas a saída real e a saída estmada do elo do robô, consderando o modelo não lnear de grau de não lneardade dos de saída e horzonte dos. Na Tabela, são mostrados os índces de desempenho de um conjunto de modelos; e observou-se que os melhores modelos foram os modelos não lneares dos elos e, de grau de não lneardade dos de saída e horzonte dos; o que pode ser vsualzado na Fg. 6 e na Fg. 7. Entrada e Sada do Elo (Volts) Entrada Sada Fgura. Snas de entrada e saída do elo do robô. 998

7 Copyrght 4 by ABCM 4 Entrada e Sada do Elo (Volts) - Entrada Sada Fgura. Snas de entrada e saída do elo do robô. Sada Real e Estmada do Elo (Volts) Sada Real Sada Estmada Fgura 4. Saídas real e estmada (modelo não lnear, de grau dos na entrada e horzonte ) do elo do robô. 999

8 Copyrght 4 by ABCM 4 Sadas Real e Estmada do Elo (Volts) - - Sada Real Sada Estmada Fgura 5. Saídas real e estmada (modelo não lnear, de grau dos na entrada e horzonte ) do elo do robô. Sadas Real e Estmada do Elo (Volts) Sada Real Sada Estmada Fgura 6. Saídas real e estmada (modelo não lnear, de grau dos na sada e horzonte ) do elo do robô.

9 Copyrght 4 by ABCM 4 Sadas Real e Estmada do Elo (Volts) - Sada Real Sada Estmada Fgura 7. Saídas real e estmada (modelo não lnear, de grau dos na sada e horzonte ) do elo do robô. Tabela. Índces de desempenho dos elos e do robô manpulador. Elo Ordem do Modelo (m) Atraso de Transporte (d) Horzonte (h) Grau de Não Lneardade de Entrada (p) Grau de Não Lneardade de Saída (p) Coefcente de correlação múltpla (R²) Somatóro do erro quadrátco (SEQ),45 6,5,446 7,8 -, 89,79 6,964,54,94 8,4,945,8,94 8,,877 69,4,95,,98,,984 5,7,98,,984 5,,99 5,,985 45,6,989 6,,985 45,,988 6,8,985 46, 5. CONCLUSÃO Este trabalho apresentou técnca de dentfcação não lnear de dos elos de um robô manpulador de dos graus de lberdade planar. Város modelos não lneares foram testados e dos resultados obtdos, os modelos não lneares de grau de não lneardade dos de entrada e de saída, para os dos elos do robô, apresentaram os melhores índces de

10 Copyrght 4 by ABCM desempenho; o que os tornam os mas ndcados para mplementação em controladores adaptatvos. A dentfcação dos modelos fo realzada utlzando-se o algortmo LMS, consderando a dnâmca dos elos do robô acoplada. 6. REFERÊNCIAS Agurre, L.A.,, Introdução à Identfcação de Sstemas: Técncas lneares e não-lneares aplcadas a sstemas reas, Edtora da UFMG, ª edção, Belo Horzonte, Brasl, 554 p. Agurre, L.A., Slva, A. P. A., Campos, M. F. M., AMARAL, W. C. A., 7, Encclopéda de Automátca, Ed. Blucher, ª edção, Vols., e, São Paulo, Brasl, 47 p. Åstrom, K.J., Wttenmark, B.,995, Adaptatve Control, Ed. Addson Wesley Publshng Company, Inc., ª ed., New York, USA, 574 p. Behar, A.A., Iranzo, M.M.,, Identfcacíon y Control Adaptatvo, Ed. Prentce Hall, ª edção, Madr, Espanha, 85 p. Coelho, A.A.R., Coelho, L.S., 4, Identfcação de Sstemas Dnâmcos Lneares, Ed. Unversdade Federal de Santa Catarna, ª ed., Floranópols, Brasl, 8 p. Isermann, R., Lachmann, K.H., Matko, D., 99, Adaptatve Control Systems, Ed. Prentce Hall, London, U.K., 54 p. Isermann, R., 98, Practcal Aspects of Process Identfcaton, Automátca, Vol. 6, Great Brtan, pp Kovo, A.J., Guo, T., 98, Adaptve Lnear Controller for Robotc Manpulator, IEEE Transactons on Automatc Control, Vol. AC-8, London, U.K., pp Rúbo, F.R. & Sánchez, M.J.L., 996, Control Adaptatvo y Robusto, Secretarado de Publcacones de la Unversdad de Sevlla, Sevlla, Espanha, 65 p. NONLINEAR MODELLING OF A PLANAR MANIPULATOR ROBOT WITH TWO DEGREES OF FREEDOM José Antono Rul, rul@ct.ufpb.br Paulo Henrque de Mranda Montenegro, paulo@ct.ufpb.br Vrgílo Mendonça da Costa e Slva, rul@ct.ufpb.br Unversdade Federal da Paraíba, Cdade Unverstára, CEP João Pessoa, PB Abstract: The objectve of ths work s to model two lnks of a planar manpulator robot wth two degrees of freedom and nonlnear method. The manpulator robot s consttuted by a rotatonal and a prsmatc lnk. The rotatonal lnk s an alumnum U-profle actvated by a motor reducer DC; the prsmatc lnk s a double-actng pneumatc cylnder and a pass-through rod fxed nsde the U-profle actvated by a proportonal electro-pneumatc valve. Dynamc models for these systems normally are obtaned usng the contnuty equaton and the D Alembert prncple, n the lnks and of the robot, and are mostly nonlnear. The choce of lnear or nonlnear models leads to a consderable ncrease n the complexty of the model that s gong to be used. However, lnear models are not able to represent certan dynamc regmes. In those cases, the use of nonlnear models s recommended. In ths work, the nonlnear model s obtaned usng the Volterra seres n the dscrete tme; and the manpulator robot parameters are dentfed by the Least Mean Squares (LMS) algorthm, based n the nputs and outputs of the robot lnks. Lastly, results are presented usng the model obtaned. Keywords: Robotcs, Nonlnear dentfcaton. 7. RESPONSABILIDADE AUTORAL Os autores são os úncos responsáves pelo conteúdo deste trabalho.