UM MODELO DE SEQÜENCIAMENTO DE ATIVIDADES E ALOCAÇÃO DE RECURSOS LIMITADOS EM PROJETOS

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1 UM MODELO DE SEQÜENCIAMENTO DE ATIVIDADES E ALOCAÇÃO DE RECURSOS LIMITADOS EM PROJETOS Clarsse da Slva Vera Unversdade Federal de Mnas Geras - E.E. - Departamento de Engenhara Mecânca Av. Antôno Carlos, 6627, Pampulha - CEP Belo Horzonte - MG cosvera@terra.com.br Carlos Roberto Venânco de Carvalho Unversdade Federal de Mnas Geras - E.E. - Departamento de Engenhara de Produção Av. Antôno Carlos, 6627, Pampulha - CEP Belo Horzonte - MG carlos@dep.umg.br Rcardo Luz Utsch de Fretas Pnto Unversdade Federal de Mnas Geras - E.E. - Departamento de Engenhara Mecânca Av. Antôno Carlos, 6627, Pampulha - CEP Belo Horzonte - MG utsch@demec.umg.br RESUMO Este artgo propõe uma ormulação de programação lnear para o Problema de Seüencamento em Projeto com Restrção de Recurso (PSPRR). Em geral, este problema pode ser ormulado consderando ue todas as atvdades são processadas em janelas de tempo e necesstam de uma uantdade constante de recursos renováves para serem executadas. Os tempos de execução (durações) das atvdades e as uantdades de recursos são dados e assumem valores nteros não negatvos. Além dsso, relações de precedênca são dendas entre as atvdades. O problema de seüencamento consderado neste artgo utlza concetos do Job Shop, onde os tempos de processamento e as uantdades de recursos são varáves contínuas. A alocação smultânea dos recursos é modelada através das varáves bnáras. Um artíco matemátco é proposto para tornar lnear as relações entre o tempo de processamento e a uantdade de recursos. A consstênca do modelo proposto é lustrada com a solução de um problema exemplo. PALAVRAS CHAVE. Seüencamento. Restrção de Recurso. Programação Lnear. Área de classcação prncpal (Programação Matemátca) ABSTRACT Ths paper proposes a lnear programmng ormulaton or the Resource Constraned Project Schedulng Problem (RCPSP). Broadly, ths problem may be ormulated consderng all actvtes processed wthn ther tme wndows and reurng a constant amount o renewable resources to be executed. The processng tmes (duratons) o the actvtes and the amounts o resources are gven and assumed to be non negatve nteger valued. Furthermore, precedence relatons are dened between the actvtes. The schedulng problem consdered n ths paper uses concepts o the Job Shop where the processng tme and the amount o resources are contnuous varables. The smultaneous allocaton o resources s modeled through bnary varables. A mathematcal artce s proposed to turn lnear the relatons between the processng tme and amount o resources. The consstence o the proposed model s llustrated wth the soluton o an example problem. KEYWORDS. Schedulng. Resource Constraned. Lnear Programmng. Man area (Mathematcal Programmng). [2382]

2 1. Introdução Na admnstração de projetos, segundo Demeulemeester e Herroelen (1996), um dos problemas de maor relevânca é o problema de determnar a melhor seüênca para a execução das atvdades de manera ue os recursos sejam alocados de manera ecente. Este problema é conhecdo na lteratura como Problema de Seüencamento em Projeto com Restrção de Recurso (PSPRR). O PSPRR consste no seüencamento das atvdades do projeto e na alocação de recursos para a execução dessas atvdades, de manera ue o tempo total de duração do projeto seja mnmzado. O seüencamento das atvdades deve atender às relações tecnológcas de execução entre as atvdades, ue são dendas prevamente pelas restrções de precedênca. Por outro lado, a alocação de recursos durante a execução das atvdades deve ser eta de manera ue não exceda as uantdades dsponíves de recursos em cada ntervalo de tempo e durante todo o horzonte de execução do projeto. O PSPRR, segundo Oguz e Bala (1994), é um problema mportante e desaador para os prossonas responsáves pela gestão dos projetos como também para os pesusadores de áreas ans. Uma das razões de sua mportânca é por este ser um problema comum a um grande número de stuações reas de tomada de decsão, tas como os problemas ue surgem nas dstrbuções de processos em redes de computadores e na admnstração de projetos na construção cvl. Desaador, do ponto de vsta teórco, por ser uma generalzação do problema Job Shop e, portanto, pertencer à classe NP dícl dos problemas de otmzação combnatóra, Garey e Johnson (1979). Dessa orma, segundo Blazewcz et al. (1983), o tempo de execução do melhor método de resolução exstente é escrto em unção exponencal do tamanho dos dados do problema. Uma denção mas detalhada do PSPRR é apresentada na Seção 2, bem como uma revsão bblográca de alguns dos prncpas modelos propostos na lteratura e dos métodos de resolução. A seção 3 propõe uma nova ormulação para o problema estudado. Um exemplo do problema de seüencamento é modelado e resolvdo na Seção 4. Fnalmente, a Seção 5 apresenta a conclusão. 2. O Problema de Seüencamento em Projeto com Restrção de Recurso Este problema, segundo Brucker et al. (1998), é consttuído, genercamente, por um conjunto de n atvdades ( = 1, 2,..., n) e r recursos renováves. Cada tpo k de recurso está dsponível em uma uantdade constante R k. A atvdade é executada em p undades de tempo sem ser nterrompda, ou seja, a restrção de não preempção deve ser respetada. Cada atvdade necessta de uma uantdade constante r de undades de recurso k para ser executada. Os valores de R, p e r são nteros não negatvos. As relações de precedêncas são dendas entre as atvdades. O objetvo é determnar a data de níco S para cada atvdade do projeto, de modo a n mnmzar Cmax = max = 1 C, onde C = S + p é a data de conclusão da atvdade, tal ue:. a uantdade de cada tpo de recurso utlzada, durante um determnado período de. execução, seja menor ou gual à uantdade total dsponível desses recursos; todas as relações de precedênca sejam satsetas. Város modelos de Programação Lnear são propostos para esse problema, como por exemplo, Artgues et al. (2003), Brucker e Knust (2000), Carler e Néron (2003), Mngozz et al. (1998) e Chrstodes et al. (1987). O modelo apresentado por Artgues et al. (2003) é uma extensão do modelo matemátco clássco do problema de seüencamento do Job Shop. A dculdade do PSPRR resulta das restrções de lmtação de recursos, mpedndo ue algumas atvdades, ue necesstam do mesmo tpo de recurso, comecem a ser executadas smultaneamente. Essas restrções são especcadas, no modelo, denndo cada tpo de recurso k como a unão de R k undades de recurso, tal ue uma undade de recurso dada não pode ser alocada, ao mesmo tempo, para mas de uma atvdade. Assm, em uma solução vável, uma undade do recurso alocada para uma atvdade tem ue ser transerda dretamente, após sua execução, para uma únca atvdade j. Dessa orma, desde ue todas as undades do mesmo tpo de recurso sejam euvalentes, deve-se saber o número de undades transerdas de uma atvdade para outra. Assm, denem-se duas outras varáves de [2383]

3 decsão do problema. Uma delas é o número de undades do recurso k transerdas dretamente da atvdade para a atvdade j, denomnada jk. A outra é uma varável bnára, x j, xada em 1, se a atvdade j é restrngda a começar depos da completa execução da atvdade, e gual a 0, caso contráro. Os modelos de Brucker e Knust (2000) e Carler e Néron (2003) consderam as uantdades de recursos alocados conhecdas e admtem as preempções das atvdades. Mngozz et al. (1998) relaxa, também, parcalmente as restrções de precedêncas. Na ormulação de Brucker e Knust (2000), baseada na ormulação proposta por Mngozz et al. (1998), as atvdades podem ser partconadas e executadas smultaneamente dentro de ntervalos de tempo I t, ormando subconjuntos X jt. Assm, se uma determnada atvdade pertencer à X jt, o tempo de processamento de todas as atvdades contdas nesse subconjunto será x jt. Cada ntervalo de tempo pode conter mas de um subconjunto X jt, porém o tempo de execução das atvdades seüencadas dentro desse ntervalo não pode exceder a sua duração. No modelo proposto por Carler e Néron (2003), as atvdades são executadas em ntervalos consecutvos de tempo [t 1, t 2 ], [t 2, t 3 ],..., [t L, t L+1 ]. O tempo de processamento da parte da atvdade, executada dentro de um ntervalo [t L, t L+1 ], não pode ser maor do ue o tamanho deste ntervalo. O somatóro de todas as partes executadas da atvdade deve ser gual ao tempo total de processamento para executar essa atvdade. O modelo proposto por Chrstodes et al. (1987) consdera ue os valores dos tempos de execução das atvdades são conhecdos e ndependem do momento em ue as atvdades são realzadas. As uantdades de recursos também são constantes conhecdas, no ntervalo ntero, e ndependem do momento de execução. O mesmo ocorre com a uantdade total dsponível de cada tpo de recurso. A ormulação de Chrstodes et al. (1987) relaxa anda as restrções de ntegraldade e adcona, posterormente, restrções ue são redundantes ao problema ntero orgnal, mas não são no problema lnear relaxado. Devdo à complexdade dos problemas classcados como PSPRR, mutos autores desenvolveram procedmentos heurístcos para soluconá-los, como explcta Valls et al. (2003). Os estudos mas antgos nessa lnha apareceram na década de 60 e oram realzados por West (1967) e Fendly (1968). Desde então mutos outros surgram, como por exemplo, os propostos por Boctor (1990) e Oguz e Bala (1994). Há também mutos sotwares comercas baseados em rotnas heurístcas. Já outros trabalhos, como Schrage (1971) e Kolsch et al. (1995), apresentam o desenvolvmento de algortmos exatos para resolver o PSPRR. De acordo com Oguz e Bala (1994), Prtsker et al. (1969) ormularam o prmero modelo de programação matemátca. Nos procedmentos exatos, um dos maores nconvenentes é ue o número de varáves do modelo cresce muto rapdamente com o tamanho do problema. No entanto, numerosas abordagens, para resolver versões do problema de seüencamento, têm sdo desenvolvdas por dversos autores. Dentre as mas compettvas, segundo Valls et al. (2003), estão as propostas por Brucker et al. (1998) e Mngozz et al. (1998). Entretanto, segundo Klen e Scholl (1999), somente problemas de peuena e méda nstâncas, entre trnta atvdades, podem ser resolvdos de manera satsatóra. 3. O Modelo Lnear Proposto O problema clássco estudado pelos autores, ctados anterormente, consdera o tempo de execução de cada atvdade do projeto e as uantdades de recursos necessáras para executálas como sendo constantes dadas ue assumem valores nteros não negatvos. Como constata Konstantnds (1998), estas consderações são usuas em mutos outros trabalhos e publcações. Por outro lado, são conhecdos, na área de planejamento da produção, problemas ue ntegram o problema da denção dos tamanhos de lotes ao problema de seüencamento de operações em máunas. Alguns exemplos destes problemas são estudados por Carvalho (1998). Dessa orma, o modelo proposto a segur, bem como os casos geras apresentados em Dauzère-Pèrés et al. (1998), consderam o tempo de execução da atvdade como sendo uma varável contínua, ou seja, podendo varar em unção da uantdade de recurso alocada. Essa [2384]

4 nova ormulação é uma generalzação do problema apresentado por Artgues et al. (2003) e consste na determnação dos melhores tempos de execução das atvdades conorme a alocação dos recursos dsponíves Denção do Problema Sejam:. N = {1,..., n}: conjunto de todas as atvdades do projeto;. s = 0 e t = n + 1: duas atvdades ctícas ue representam, respectvamente, o níco e o térmno de todas as atvdades do projeto, tal ue, P s = P t = 0;. v. R = {1,..., m}: conjunto dos recursos renováves; p: N IR + : unção para representar o tempo de execução P de cada atvdade do projeto. O valor de P é constante para as atvdades ue necesstam de uantdades xas de recursos para serem executadas. Para as atvdades ue não tem essas uantdades de recursos xadas, prevamente ao projeto, P é calculado em unção das uantdades de recursos utlzadas para a execução da atvdade, ou seja, P p, onde, p é o tempo de execução da atvdade dendo pela utlzação de uma determnada uantdade de recurso k. O valor de p pode ser calculado pela expressão: p = p a x, ( 2) com: p : maor tempo de execução da atvdade, determnado uando é alocada a menor uantdade possível, ( 1), do recurso k para executá-la; a 0: coecente de dmnução do tempo de execução da atvdade, uando uma undade do recurso k é alocada, p p a =, onde, p : menor tempo de execução da atvdade, determnado uando é alocada a maor uantdade possível, () 3, do recurso k para executá-la; x : uantdade de recurso k ue será alocada para acelerar a execução da atvdade ; v. R k : uantdade máxma dsponível do recurso k ; v. l : uantdade total máxma de recurso k ue se pode alocar para acelerar a execução da atvdade, ou seja: p p l =. a ( 4) A uantdade total de recurso k utlzada na execução de uma atvdade é dada por + x. Observa-se ue: se x = l, então essa uantdade total de recurso é gual à maor uantdade possível, ; se x = 0, então essa uantdade total de recurso é gual à menor uantdade possível,. v. E {( j) NxN} =, : conjunto de pares de atvdades para representar as relações de precedênca entre as atvdades do projeto; [2385]

5 v. M 1 e M 2 : duas constantes de valores sucentemente grandes. As varáves de decsão são dendas como:. t : data de níco da atvdade ;. x : uantdade de recurso k ue será alocada para acelerar a execução da atvdade ;. P : tempo de execução da atvdade ; v. yj { 0,1} assocadas a cada par de atvdades, tas ue: 1, se a atvdade precede a atvdade j; y j = 0, caso contáro. v. jk : varável de luxo ue ndca a uantdade do recurso k ue o utlzada na execução da atvdade e ue será transerda para ser utlzada na execução da atvdade j Modelo O modelo ca: mn C t max sujeto a j t P M jk M j N j N N N 1 2 {} t {} t {} s {} s 0 x y y y j y jk jk tk P t jk j j sjk j = 1 M 0 = R = = p = R jk k k a 1 + x + x jk x ( 5) (, j) E N, ( 6) ( 7) N {} s, j N {} t ( 8) N {} s, j N {} t, ( 9) k ( 10) N, j N, ( 11) ( 12) ( 13) 0 N ( 14) l N, ( 15) 0 N {} s, j N {} t, ( 16) { 0,1} (, j) E ( 17) A unção objetvo (5) ndca a mnmzação da data de nalzação do projeto. As restrções (6) garantem ue as relações de precedênca entre duas atvdades e j do projeto sejam respetadas. As restrções (7) denem o tempo de execução de cada atvdade. As restrções (8) são restrções dsjuntvas ue mpedem ue duas atvdades relaconadas sejam executadas smultaneamente. As restrções (9) descrevem a relação entre as varáves jk e as varáves y j, ue mplca em se y j = 0, jk = 0, k. As restrções (10) garantem ue a uantdade total de recurso ue sa do nó onte, atvdade s, é gual à uantdade total dsponível desse recurso. As restrções (11) e (12) expressam ue a uantdade de recurso ue entra em um nó, atvdade, deve ser gual a uantdade de recurso ue sa, ou seja, é a propredade de conservação do luxo. As restrções (13) garantem ue a uantdade total de recurso ue chega no nó sumdouro, atvdade t, é gual à uantdade total dsponível desse recurso. As restrções (14), (15), (16) e (17) denem os domínos das varáves. [2386]

6 4. O problema exemplo Consdere o exemplo apresentado em Artgues et al. (2003), o ual consste em um projeto composto por doze atvdades. As atvdades s = 0 e t = 11 são atvdades ctícas e representam, respectvamente, o níco e o térmno do projeto. As atvdades são dendas pelo conjunto N {} s {} t. As relações de precedêncas entre as atvdades do projeto são dendas pelo conjunto E de pares de atvdades. Dessa orma, se (, j) E, a atvdade precede a atvdade j, ou seja, a atvdade deve ser executada antes da atvdade j. O problema é então dendo pelos conjuntos:. N {} s { t} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11};. E = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,4), (2,5), (2,6), (3,5), (4,6), (5,7), (5,8), (5,9), (6,10), (7,10), (8,11), (9,11)}. As atvdades do projeto, bem como as relações de precedêncas entre as atvdades, também podem ser representadas pelo grao da gura 1. Fgura 1: Grao do problema exemplo Nesse grao, as atvdades são representadas pelos círculos, denomnados de nós, e as relações de precedêncas são representadas pelas setas, sando de e chegando em j, ue são denomnadas de arcos. Generalzando o exemplo consderado, os dados gerencas do problema são:. atvdades ue não utlzam recursos: 0 e 11. Para essas atvdades o tempo de execução é constante e gual à zero;. atvdades ue utlzam de algum recurso, o tpo de recurso utlzado, k, as uantdades dsponíves de cada tpo de recurso, R k, as uantdades máxmas, mínmas, tempos de execução., de recursos utlzados e, os respectvos, mínmos, Com estes dados é possível obter os valores:. das taxas de dmnução a do tempo de execução da atvdade;. dos lmtes l. p, e máxmos, Os dados gerencas e as entradas do modelo, calculadas a partr desses dados, são mostrados na tabela 1., e p, [2387]

7 Tabela 1: Dados do problema exemplo Após a mplementação computaconal desse problema, a solução ótma encontrada dene a menor data de térmno do projeto como sendo gual a 13 undades de tempo. Além dsso, os valores das datas de níco de execução das atvdades, bem como das uantdades de recursos ue serão alocadas e dos tempos de execução, na solução ótma encontrada, são mostrados na tabela 2. Tabela 2: Solução do problema exemplo Note ue, uando são alocadas as uantdades máxmas de recursos, como ocorrem com as atvdades 1, 4, 5, 6 e 10, os valores dos tempos de execução são guas aos valores mínmos, das respectvas atvdades. Já com as atvdades 7 e 9, apesar de recursos adconas serem alocados, essas uantdades de recursos não representam as uantdades máxmas. Por sso, os tempos de execução, de ambas as atvdades, não representam os tempos mínmos. A solução também pode ser vsualzada no Dagrama de Gantt, mostrado pela gura 2. [2388]

8 Atvdade Fgura 2: Dagrama de Gantt do problema exemplo Tempo Note ue as atvdades ue compartlham recursos, ou seja, utlzam o mesmo tpo de recurso, como as atvdades 1, 2 e 3, 4 e 5, 7, 8 e 9, podem ser executas smultaneamente. Isso é possível desde ue uma determnada undade de recurso dada não seja alocada, ao mesmo tempo, para mas de uma atvdade e a uantdade total do recurso utlzado não ultrapasse o valor da uantdade dsponível desse recurso. Note também ue as atvdades 3 e 6 não são atvdades crítcas na execução do projeto. Dessa orma, os tempos de execução dessas atvdades podem ser aumentados, dentro de certos lmtes, sem ue a duração do projeto seja alterada. Caso ocorra, por exemplo, um atraso na realzação do projeto ou uma redução das uantdades de recursos dsponíves, são essas atvdades ue podem ser aetadas sem modcar a data de nalzação do projeto. 5. Conclusão O modelo proposto o mplementado computaconalmente e utlzou o MPL (Mathematcal Programmng Language) para a modelagem e o GLPK (GNU Lnear Programmng Kt) para a resolução do problema. Dentro de um conjunto de problemas de peueno e médo porte (entre 25 atvdades e sem grandes dculdades na alocação de recursos), obteve-se soluções ótmas, nclusve do problema exemplo au apresentado e estudado por Artgues et al. (2003). O modelo apresentado abrange um grande número de aplcações, já ue é mas genérco e pode, dessa orma, atender a dversos problemas dentro do contexto estudado. Essa generaldade é amplada, prncpalmente, pelas consderações dos tempos de execução e das uantdades de recursos como varáves contínuas do problema. Além dessa mportante característca, o modelo trata o problema de alocação de recursos como um problema de luxo. Ou seja, o recurso renovável é transerdo de uma atvdade para outra, de modo ue todas as atvdades sejam executas, atendendo as restrções do problema e mnmzando o tempo total de duração do projeto. Devdo ao grau de dculdade dos problemas de seüencamento e, em partcular, do modelo apresentado, pode-se conclur a necessdade do prossegumento da pesusa para a realzação de trabalhos uturos. Dessa orma, é de grande nteresse a mplementação de técncas matemátcas e computaconas para a resolução de problemas de grandes dmensões, como por exemplo, o método de Decomposção de Benders. Além da nclusão de novas restrções ao problema, tornando-o cada vez mas próxmo da realdade gerencal. [2389]

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