Algoritmos Genéticos como Ferramenta Auxiliar na Tomada de Decisão em Atividades de Gestão Agroindustrial

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1 Algortmos Genétcos como Ferramenta Auxlar na Tomada de Decsão em Atvdades de Gestão Agrondustral Danlo Augusto Hereda Vera (Unversdade Anhanguera - Underp) danloahv@hotmal.com Wesley Osvaldo Pradella (Unversdade Anhanguera - Underp) wesley174@uol.com.br Rhaysa Wolf (Unversdade Anhanguera - Underp) rha_wolf@hotmal.com Celso Correa de Souza (Unversdade Anhanguera - Underp) csouza939@gmal.com José Francsco dos Res Neto (Unversdade Anhanguera - Underp) jfresneto@terra.com.br Resumo: As programações lnear e não-lnear, ramos da matemátca aplcada, tem auxlado admnstradores de empresas no processo de gestão agrondustral, permtndo que uma decsão seja smulada e analsada exaustvamente antes da sua mplementação prátca. Exstem város aplcatvos clásscos na lteratura que soluconam tas problemas. Mas recentemente surgram os Algortmos Genétcos que propcam soluções efcentes de problemas de programação lnear e não-lnear, não requerendo nenhuma exgênca sobre a dervabldade das funções envolvdas. O objetvo desse trabalho de pesqusa fo testar a utlzação dos Algortmos Genétcos na solução de problemas de programação lnear e não-lnear aplcados à gestão agrondustral. Dos exemplos foram resolvdos. O prmero mostrou solução de um problema de programação lnear ntera e o segundo de um problema de programação não-lnear, ambos aplcados à gestão agrondustral. Os resultados podem ser consderados bons, com soluções guas às obtdas utlzando-se o consagrado aplcatvo Solver do Excel, que possu lmtações quanto ao número de varáves dos problemas e da contnudade das funções envolvdas em problemas de programação não-lnear. Palavras chave: corte de cana-de-açúcar, pesqusa operaconal, rendmento econômco. Genetc Algorthms as Auxlary Tool n the Takng of Decson n Actvtes of Agrondustral Management Abstract: The lnear and no-lnear programmng, branches of the appled mathematcs, has been helpng managers of companes n the process of agrondustral management, allowng a decson to be exhaustve smulated and analyzed before t practcal mplementaton. There s a lot of classc applcatons n the lterature that solves such problems. Recently t appeared the Genetc Algorthms that t proptates effcent problems solutons of lnear and no-lnear programmng, not requestng any demand on the dervablty of the nvolved functons. The objectve of ths research was to test the use of the Genetc Algorthms n the soluton of appled problems of lnear and no-lnear programmng to

2 the agrondustral management. Two examples were resolved. The frst example show the soluton of a problem of a complete lnear programmng and the second example of a problem of no-lnear programmng, both appled to the agrondustral management. The results can be consdered good, wth the same solutons that t was obtaned usng the consecrated applcaton Solver of Excel, whch has lmtatons as the number of problems varables and of the contnuty of the functons nvolved n problems of no-lnear programmng. Key-Words: sugarcane cut, operatonal research, economcal ncome. 1 Introdução O agronegóco é um conjunto de operações que envolve as atvdades de produção e armazenamento no campo, bem como transporte, processamento e dstrbução dos produtos agropecuáros e seus dervados, além da dstrbução de nsumos e a dssemnação de novas tecnologas agropecuáras. Essas operações estão, de certa forma, nterlgadas formando as cadeas produtvas de almentos, fbras e também de bomassa para slagem e geração de energa. No agronegóco dversos fatores como varações nos preços de mercado, alterações clmátcas, nstabldade das polítcas econômcas e agrícolas e dfculdade de acesso às novas tecnologas ou às redes de nformações, alheos ao controle do produtor, podem ocorrer e nterferr nas atvdades agropecuáras, dfcultando a elaboração e mplementação de qualquer plano de negóco. A utlzação das ferramentas computaconas no agronegóco vem crescendo contnuamente, mpulsonada pela necessdade de obter melhor produtvdade e rentabldade. A necessdade da mplantação de técncas alternatvas, equpamentos e recursos que benefcem o planejamento e o controle do processo produtvo ocorrem em razão do aumento de compettvdade no setor. O planejamento agrondustral é uma atvdade de mportânca fundamental para a obtenção de bons resultados, sendo feto através da elaboração do conjunto de metas que se pretende atngr, e das técncas e recursos dsponíves para se chegar até elas. Com sso, é possível antever com precsão os resultados de estratégas de ação, bem como detectar e corrgr possíves falhas durante sua execução. A programação lnear e não-lnear são modelos matemátcos que auxlam os empresáros nas tomadas de decsão, na medda em que consttuem dealzações smplfcadas da realdade, que emprega símbolos matemátcos para representar as varáves de decsão do sstema real. Exstem város softwares que possuem rotnas consagradas para a resolução de problemas de programação lnear e não-lnear. Nos métodos teratvos clásscos podem ocorrer problemas de convergênca na solução de problemas não-lneares, quando a função objetvo contém pontos onde não é dervável ou o valor da dervada está muto próxma de zero. Mas recentemente surgram os Algortmos Genétcos que, além de resolver problemas de programação lnear e não-lnear, não estão atrelados a problemas específcos de dervadas de funções. O objetvo desse trabalho fo à aplcação de Algortmos Genétcos na tomada de decsão no planejamento de um agronegóco vsando o maor retorno econômco e atendendo determnadas lmtações dessa atvdade.

3 2 Fundamentação Teórca Na presente seção estão expostas as prncpas contrbuções teórcas para o entendmento e desenvolvmento das próxmas seções desse trabalho de pesqusa. Incalmente, serão dscutdos alguns concetos referentes à programação lnear e, a segur, estão expostas os prncpas concetos de Algortmos Genétcos, que dá sustentação teórca para as tomadas de decsões na gestão agrondustral Programação lnear e não-lnear Problemas de otmzação, na sua forma geral, têm como objetvo maxmzar ou mnmzar uma função defnda sobre um certo domíno. Na teora clássca de otmzação o valor ótmo é obtdo sobre um domíno nfnto. Já no caso dos chamados problemas de otmzação combnatóra, o domíno é tpcamente fnto, em que é possível lstar os seus elementos e também testá-lo se pertence ou não a esse domíno. O teste de todos os elementos deste domíno se torna nvável, prncpalmente quando o domíno é de tamanho de moderado a grande (Myazawa, 2009). Problemas de programação lnear e não-lnear são problemas de otmzação clássca que envolvem a maxmzação ou mnmzação de funções num domíno nfnto, normalmente defndo por um conjunto de restrções, como na expressão (01) (CAIXETA FILHO, 2000 ; BREGALDA et al., 1988). Otmzar sujeto à f ( x) g ( x) =,, b x j 0 = 1,2, m j = 1,2, n (01) sendo f (x) a função a ser otmzada (maxmzada ou mnmzada); g (x), ( = 1,2, m ), restrções do modelo, que relaconam os recursos dsponíves; x, ( j = 1,2, n ), varáves de decsão do problema (são as ncógntas do problema); b R, ( = 1,2, m ), níves de dsponbldade de recursos ou quantdade mínma a ser suprda. Otmzar engloba os problemas de maxmzação e mnmzação. Quando as funções f (x) e g (x), ( = 1,2, m ), são funções lneares, dz-se que o sstema (01) é Problema de Programação Lnear; se f (x) ou ao menos uma das funções g (x), ( = 1,2, m ), é uma função não-lnear, dz-se que o sstema (01) é Problema de Programação não-lnear (HILLIER; LIEBERMAN, 1988). Exstem város aplcatvos para a solução de problemas de programação lnear e não-lnear, dsponíves para mcrocomputadores, entre eles, a ferramenta Solver do aplcatvo Mcrosoft Excel é, certamente, o de mas fácl acesso, devdo a populardade desta planlha eletrônca, possbltando acesso à maora dos letores que usam mcrocomputadores (LOESCH; HEIN, 1999). A solução de problemas de programação não-lnear pode ser obtda utlzando-se recursos do Cálculo Dferencal, através do método dreto e teratvos, desde que as funções f (x) e j

4 g (x), ( = 1,2, m ) sejam derváves no seu domíno de solução (HILLIER; LIEBERMAN, 1988). Quando sso não acontece, os Algortmos Genétcos podem auxlar na resolução, pos são métodos que podem ldar com qualquer problema de otmzação, não estando atrelados, por exemplo, a problemas específcos de dervadas (LINDEN, 2008; MIRANDA, 2009) Algortmos genétcos Algortmos Genétcos são algortmos de busca estocástcos que têm desenvolvmento e funconamento vnculados à genétca, em que todas as novas espéces são produzdas por meo de uma seleção natural em que o mas apto sobrevve gerando descendentes. O algortmo genétco básco é o que realza as seguntes funções: ncalza a população de cromossomos; avala cada cromossomo da população; cra novos cromossomos a partr da população atual (realza cruzamento e mutação); e termna, se o crtéro de fm for alcançado, se não, rencalza (BITTENCOURT, 1998; HOLLAND, 1975; Santa CATARINA; BACH, 2003). Na forma analógca, a mplementação dos Algortmos Genétcos parte de uma população ndvíduos gerados aleatoramente (confgurações ncas de um problema), realza-se a avalação de cada um (em relação a função objetva), selecona os mas aptos e promove os manpuladores ou operadores genétcos como cruzamento e mutação, orgnando novas gerações de ndvíduos. Cada ndvduo na população representa uma possível solução para um dado problema, o que o Algortmo Genétco faz é buscar aquela solução que seja muto boa ou a melhor do problema analsado através da cração de população de ndvíduos cada vez mas aptos levando à otmzação da função objetva. Na Fgura 1 é possível resumr os Algortmos Genétcos através do fluxograma. Fgura 1. Fluxograma da solução de problemas de otmzação com Algortmos Genétcos

5 A aplcação dos Algortmos Genétcos, como descrto pelo fluxograma da Fgura 1, consta dos seguntes passos (ALENCAR E CORRÊA, 2006; GUERVÓS, 2009; LINDEN, 2008; VIANA, 1998; PACHECO, 2009): Escolha da População - a ncalzação da população é feta da forma mas smples possível, fazendo-se uma escolha aleatóra ndependente para cada ndvduo da população ncal ou por processo heurístco, sto é, smplesmente escolher n ndvíduos dentro do espaço de busca. Essa técnca permte gerar uma boa dstrbução, cobrndo um espaço maor no espaço de busca, sem nteressar se são boas soluções ou não, assm como na natureza, para haver evolução é necessáro dversdade. Avalação - a função de avalação, ou função objetva, é utlzada para determnar a qualdade de um ndvduo como solução do problema, ou seja, é uma forma de mensurar quão aptos estão os ndvíduos da população. A função de avalação deve refletr os objetvos a serem alcançados na resolução de um problema e é dervada dretamente das condções mpostas pelo problema; Seleção - a seleção dos ndvíduos da população deve smular o mecansmo de seleção natural, sobrevvênca dos mas fortes, em que os pas mas aptos geram mas flhos. O algortmo permte, também, que alguns ndvíduos menos aptos gerem flhos, garantndo a dversdade entre os ndvíduos melhores e os pores. Se apenas os melhores ndvíduos se reproduzrem a população tenderá a ser cada vez mas semelhante, não ocorrendo a evolução. Há dversas formas de seleção dos ndvíduos reprodutores, entre elas as mas usadas são os métodos de seleção por Torneo e pelo método da Roleta Vcada; Seleção Va Método da Roleta Vcada - este método emprega o prncpo da probabldade de sobrevvênca do mas apto, ou seja, que possu a melhor função objetva assocada. Com base nos valores de f ( x ), onde x é o ndvíduo avalado entre os n ndvíduos amostrados. Os ndvíduos mas aptos são seleconados e duplcados em substtução aos menos aptos. Neste método, a probabldade p do -ésmo ndvíduo da população vr a ser seleconado é dado pela expressão (02). p = n f = 1 f (02) Neste método, os ndvíduos com alta aptdão recebem uma proporção maor na roleta e os ndvíduos com baxa aptdão uma porção relatvamente menor na roleta. Na Fgura 2 estão dspostos 4 pas, A1, A2, A3 e A4, com as suas respectvas aptdões (áreas dos setores crculares), para serem seleconados através da roleta e gerarem uma nova população. Observa-se que o ndvíduo A1 tem maores chances de ser escolhdo ao rodar a roleta.

6 Fgura 2 Seleção de ndvíduos através da roleta vcada O ato de rodar a roleta deve ser completamente aleatóro, podendo ser smulado escolhendose um número aleatóro r no ntervalo [0, 1] e comparar seu valor com a probabldade acumulada q, consderando q = 0 0, expressão (03). Assm, se q 1 < r q deve-se seleconar o ndvduo x. q = p k k = 0 (03) Este método tem a desvantagem de possur uma alta varânca, podendo levar a um grande número de cópas de um bom cromossomo, dmnundo a dversdade da população, podendo causar uma convergênca prematura do algortmo para uma solução não almejada. Quando a evolução está avançada, em que as aptdões não dferencam entre s, pode causar um estagnação do algortmo, sto é, pouca modfcação na seleção dos ndvíduos; Eltsmo - o eltsmo vsa preservar os melhores cromossomos de uma geração para outra sem alterações, garantndo sempre que a melhor solução encontrada em qualquer uma das gerações seja mantda até o fnal do processo. Geralmente usa-se nos Algortmos Genétcos uma taxa de eltsmo de 30% do total de ndvíduos gerados. A prncpal vantagem deste método é que a convergênca é garantda, sto é, se o máxmo global for descoberto, AG converge para esse máxmo, entretanto, da mesma forma exste o rsco da estagnação em um máxmo local. Neste trabalho de pesqusa utlzou-se Algortmos Genétcos Bnáros, em que os pontos do espaço de solução são codfcados como uma cadea de bts 0 ou 1, dentro de cada ndvíduo. Cada bt podera ser consderado um gene do cromossomo ou ndvduo. A escolha dos Algortmos Genétcos Bnáros se prende à facldade de se efetuar os cruzamentos e as mutações entre os ndvíduos. Cruzamento - o cruzamento ou crossover é em processo de recombnação de partes das seqüêncas de caracteres entre pares de cromossomos, com o objetvo de gerar nova descendênca. Esta troca de materal genétco garante a recombnação da população, possbltando, assm, uma probabldade maor de produzr ndvíduos mas evoluídos que seus pas. Para maor facldade de se efetuar os cruzamentos e as mutações, a população de números decmas de ser transformada para a base 2.

7 Um Ponto de Corte - esta é a forma mas smples de cruzamento, e que fo utlzada neste trabalho, onde dos ndvíduos da população, após a seleção, são submetdos ao processo de cruzamento, no qual o ponto de corte é aleatoramente gerado, os caracteres ou bts que precedem o ponto de corte são preservados, e os bts posterores são trocados entre o par partcpante do processo (Fgura 2). Mutação - este operador é responsável pela ntrodução e manutenção da dversdade genétca na população. O operador de mutação nverte os valores de bts, ou seja, muda o valor de dado bt de 1 para 0 ou de 0 para 1, com o objetvo de tentar regenerar algum ndvduo que possa ter sdo elmnado de forma nesperada. Para que uma determnada população não sofra mutas alterações, esta operação é processada para um pequeno percentual PM de seus elementos, em torno de 1% de todos os genes. Após as operações de cruzamento e mutação, com a obtenção de uma nova população, esta deve ser avalada nos novos pontos do espaço de busca, com a conversão da população para números decmas, através da expressão (04), x ( L Sup nf = lnf + b nbts 10 (04) 2 l 1 ) onde l nf e L Sup são, respectvamente, os lmtes nferor e superor do ntervalo de busca, b 10 é o número decmal, gerado aleatoramente dentro do ntervalo obtdo através da precsão estabelecda, não necessaramente pertencente ao espaço de busca de otmzação. Se a solução atual não satsfzer a precsão adotada, repete-se os passos anterores para a nova população gerada. 3 Materal e Métodos Neste trabalho utlzou bascamente o método descrtvo exploratóro, que consstu numa pesqusa bblográfca sobre os modelos matemátcos de programação lnear e não-lnear e seus métodos clásscos de resolução, bem como sobre Algortmos Genétcos, objeto prncpal desse trabalho, que é um método bem recente para a resolução desses modelos matemátcos. Como objetos da pesqusa foram apresentados dos estudos de casos. O prmero trata de um crador de frangos de corte que quer fornecer uma ração balanceada para sua cração, combnando apenas necessdades protécas e calórcas. Admte-se que a ração ótma para estes anmas necessta ter, no mínmo, 17,16% de proteína e 3000 qulocaloras (kcal) de energa metabolzável aparente. Sabe-se que o crador tem dsponível apenas mlho e farelo de soja e que cada qulograma de mlho contém 8,51% de proteína e 3146 kcal de energa. O farelo de soja, por sua vez, contém 45,6% de proteína e 2283 kcal de energa por qulograma, mas tem-se dsponível apenas 0,2 kg de farelo de soja para cada porção de ração. A função objetva (05) a ser mnmzada, deve consderar que o preço do mlho será de R$0,80/kg e o do farelo de soja, R$3,80/kg. Assm, a função C ( x, está lgada ao custo fnal da ração, resultado da nteração entre a quantdade de mlho (x), e de farelo de soja (, multplcando-se pelos seus custos, respectvamente.

8 C( x, = 0,8x + 3, 8y (05) Algumas restrções (06) devem ser respetadas para que o resultado seja o deal. sujeto à 0,0851x + 0,456y 0, x y 3000 y 0,2 x 0 y 0 (06) Será utlzado o aplcatvo Solver na solução desse problema, mas o objetvo prncpal é resolvê-los utlzando-se Algortmos Genétcos e estabelecer comparações. O segundo estudo de caso trata da obtenção do maor rendmento de produção de uma empresa que dspõe, sem restrção, de quantdades varáves de nsumo e mão de obra. Temse, também, os custos desses nsumos e mão-de-obra na elaboração de cada undade de produto. A receta z = R( x, é dada por uma expressão matemátca, obtda emprcamente pelo setor econômco da empresa, que relacona captal e mão-de-obra, ndcando que serão produzdas x undades de um produto A e y undades de um produto B. A função R ( x,, de domíno 2 R, deve ser maxmzada sem nenhuma restrção, expressão (07). Máx z = R( x, (07) Para a solução desse segundo caso utlzar-se-á o método dreto clássco, Algortmos Genétcos e o aplcatvo Solver, estabelecendo-se comparações entre eles. 4 Resultados e Dscussão O prmero caso trata-se de um crador de frangos de corte que pretende fornecer uma ração balanceada a seus anmas. O que se pretende é fornecer uma mstura rca em proteínas e em valores energétcos, a fm de ter um maor rendmento de crescmento com um menor custo da ração. A entrada de dados fo através de uma planlha do Excel com os dados de proteínas, energa e o custo, respectvos (TABELAS 1, 2).

9 Mlho(%) Farelo de soja(%) Necessdades Mínmas(%) Proteína 8,51 45,6 17,17 Energa(kcal) Custo($) 0,8 3,8 Tabela 1. Dados referentes às restrções que o crador deve respetar para consegur a melhor solução da mstura.(ferreira,1999). Com a utlzação dos Algortmos Genétcos, chegou-se a uma solução ótma da mstura desejada. Foram encontrados os valores referentes à quantdade necessára de Mlho (x) e de Farelo de soja (. X Y C ( x, 0,9444 0,2 1,51 Tabela 2.Resultados referente às quantdades necessáras e deal de Mlho (x), de Farelo de soja ( e do custo total C ( x,. Esse sstema também fo resolvdo com a utlzação da ferramenta Solver do Excel, obtendose os mesmos resultados explctados na Tabela 2, permtndo comprovar a efcênca da resolução aplcando Algortmos Genétcos, que, embora mas demorado do que a ferramenta Solver, é justfcada a sua aplcação levando-se em conta a lmtação dessa ferramenta quanto ao número de varáves de decsão (aproxmadamente 200 varáves para o MS_Excel 2003), lmtação superada pelos Algortmos Genétcos. O segundo caso trata-se de uma função R( x, de duas varáves x e y, não-lnear, denomnada de função receta, numa undade monetára qualquer, a ser maxmzada nessas duas varáves, podendo x representar o número de undades a ser produzda de um produto A e y o número de undades a ser produzda de um produto B. A expressão de R( x, fo determnada de manera empírca no Departamento de Marketng da empresa, sendo dada pela expressão (08), com R( x, x y xy x y 2 2 = ,5 (08) Resolvdo o problema de máxmo utlzando-se o método dreto, encontrou-se R máx ( 20,16) = 480. Assm, devem ser produzdas 20 undades do produto A e 16 undades do produto B, aferndo-se uma receta máxma de 480 undades monetáras. Para a aplcação dos Algortmos Genétcos na maxmzação desse problema, estabeleceu-se que as varáves x e y deveram varar de 1 a 32, pos no domíno [ 1,32] [1,32 ], como constatado, a função R ( x, passa por um máxmo. Observe que podera ser qualquer domíno que contvesse o ponto ( 20,16).

10 Utlzando-se uma precsão ε = 0, 03, fo gerada uma população ncal composta de 20 números no ntervalo de 1 a 1.024, correspondendo-se números na forma bnára de 10 bts, de modo que, quando partconado ao meo, os dos números bnáros obtdos correspondem números decmas entre 1 e 32. Na Tabela 3 está representada a prmera nteração do algortmo, composto de 2 números reas, de uma população ncal de 20 números reas, escolhdos aleatoramente entre 1 e e os seus correspondentes na base 2. Partconando-se ao meo cada número bnáro obteve-se os correspondentes valores em bnáros, e reas, das varáves x e y, os valores numércos da função R ( x,, as probabldades P de passar à próxma geração e as probabldades acumuladas Q de cada um dos valores de R ( x,, para a mplementação da roleta vcada. n Pop.Incal P.Incal (reas) (bnáros) x y x(real) y(real) R(x, R(x, * P Q Tabela 3. Dos elementos de uma população ncal de 20 elementos Após doze terações houve a convergênca do algortmo, obtendo-se a mesma solução já obtda anterormente, sto é, x = 20, y = 16 e F ( 20, 16) = Conclusões Os resultados podem ser consderados bons, vsto que o objetvo deste trabalho fo alcançado, ou seja, com a utlzação dos Algortmos Genétcos na solução de um problema de programação lnear, no estudo de caso 1, pôde-se otmzar uma ração de frangos de corte, balanceando-a de acordo com os nutrentes necessáros, de forma que os anmas tenham o maor rendmento, e o crador tenha o menor custo com a mstura. No estudo de caso 2, fo soluconado um problema de programação não-lnear para o planejamento da produção dára de uma outra ndústra que não tnha nenhuma restrção, nem de ndustralzação, nem de mercado. Neste caso, o problema também fo resolvdo com a utlzação do cálculo dferencal, pos neste caso a função era dervável, obtendo-se os mesmos resultados. Esses dos problemas, também, foram resolvdos com a utlzação da ferramenta Solver da MS_Excel 2003, com os mesmos resultados, o que não nvablza a aplcação dos Algortmos Genétcos nas suas soluções, já que esse últmo é ndcado, também, na solução de problemas de otmzação envolvendo funções não-lneares, derváves ou não no ntervalo de soluções. Por outro lado, os Algortmos Genétcos, têm-se mostrado mas lentos que determnados métodos clásscos de otmzação. 6 Referêncas Bblográfcas ALENCAR, C. E. R. DE; CORRÊA, R. F. Ferramenta de suporte para a decsão de frentes de corte de cana-deaçúcar usando algortmos genétcos. Trabalho de Conclusão de Curso. Recfe: Escola Poltécnca de Pernambuco, BREGALDA, P. F.; OLIVEIRA, A. F. de; BORNSTEIN, C. T. Introdução à Programação Lnear. Ro de Janero: Edtora Campus Ltda., 1988.

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