2 MODELAGEM DO ATUADOR

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1 2 MODELAGEM DO ATUADOR 2.1. Concepção do Atuador O atuador consste de duas bases rígdas, uma superor e outra nferor, separadas por camadas de um músculo polmérco nelas aderdo. O músculo é composto de um elastômero acrílco VHB4905, coberto em suas regões atvas por uma graxa condutora. O funconamento do músculo é descrto em [2]. Uma mola é utlzada para separar as bases e manter o músculo prétensonado. Fos elétrcos são utlzados para conduzr corrente para dversas regões do músculo. Uma graxa condutora, aplcada sobre as paredes do músculo, permte que dferentes regões sejam atuadas com altas tensões elétrcas. A Fgura 10a mostra como a base superor é transladada devdo à expansão dos músculos provocado pelos capactores e tensonado pela mola. Para se ter uma melhor déa de como o capactor esta formado, magnaramente se separam o ânodo, cátodo e o músculo artfcal que fca entre eles (Fgura 10b). Fgura 10: Objetvo do atuador é mover uma das bases com referênca á outra. Mola central que mantém pré-tensonado ao músculo e capactor mostrado em detalhe com suas partes magnaramente separadas.

2 27 Uma forma geral de um atuador pode ser vsta na Fgura 11a, que apresenta às bases e ao músculo.a Fgura 11b mostra suas camadas. Fgura 11: Forma geral do atuador. Vsta com dos planos de corte que mostram as multcamadas. As bases e camadas de músculo podem possur dversas formas. A modelagem matemátca apresentada mas adante será valda para uma forma prsmátca genérca, smlar à da Fgura 11a. As formas podem ser dstntas segundo os requermentos do projetsta, por exemplo, a forma trangular da Fgura 12a podera smplfcar as equações pelo fato de ter três lados planos, e a forma elíptca na Fgura 12b podera prover maor força a movmentos correspondentes ao menor exo da elpse. Fgura 12: Atuador de forma trangular. Atuador de forma elíptca. De agora em dante no texto, para explcar os detalhes do projeto se usará um modelo crcular, por ser o mas smples. A Fgura 13a mostra o esquema do atuador crcular e a Fgura 13b mostra o projeto com todos seus elementos, nclundo a mola unndo os centros das bases. Note que há ses regões cobertas

3 28 com graxa condutora (em preto), três delas no anel externo e três no nterno. Ao aplcar uma tensão elétrca em cada regão, o músculo sob a graxa tende a se expandr, gerando movmentos relatvos entre as bases. Fgura 13: Esquema do atuador crcular. Projeto do atuador com seus elementos. Os elementos do atuador são mostrados em uma vsta em corte na Fgura 14. Nela pode-se notar o músculo artfcal transparente, a graxa aderda em suas paredes, os fxadores que o prende, a mola que pré-tensona os músculos, a base nferor presa a ele, e fos que conduzem a corrente elétrca. A base superor cumpre a mesma função estrutural da base nferor, a dferença é que na parte superor não é ndspensável fos elétrcos. Fgura 14: Atuador cortado por dos planos mostrando seus elementos. Note que a base nferor, apresentada em detalhe na Fgura 15a, possu dos anés concêntrcos. Cada anel servrá para colar e/ou prender uma camada de músculo artfcal, como se vê na Fgura 15b. As ranhuras radas são para guar

4 29 fos condutores de corrente elétrca às paredes exterores do músculo artfcal. Estes fos condutores fcam localzados entre a base e o músculo artfcal, e comuncam a parede exteror à parte nterna. Com os fos na parte nterna do atuador, é possível montar város atuadores em sére com lberdade de movmento. Anés fxadores, não representados na Fgura 15, serão utlzados para melhor fxar os músculos à base. Furos nas bases servem de gua para colocar os anés fxadores e a base superor, além de prender com mas força o músculo artfcal utlzando parafusos. O canal crcular no meo da base serve para que a mola fque também centrada no atuador. Fgura 15: Base nferor do atuador. Base nferor, fos e músculo artfcal cortado por um plano horzontal. A Fgura 16a mostra anés fxadores a serem presos às bases. Eles possuem ranhuras e canas retangulares para guar fos e levar corrente elétrca às paredes nternas das camadas de músculo artfcal. Os furos crculares servem como guas para posconar os anés fxadores centrados com a base nferor, mas também poderam ser usadas para prender os músculos com maor força utlzando parafusos, como menconado anterormente. Fgura 16: Anés fxadores nferores. Base e anés fxadores que prendem ao músculo.

5 30 Uma graxa condutora é aplcada a ambas as faces dos músculos artfcas, nas paredes exteror e nteror. Desse modo, as ses regões do atuador proposto totalzam 12 áreas/faces onde a graxa precsa ser aplcada. A graxa pode ser untada usando um pncel ou esponja. Para conectar as regões atvas aos fos, os quas estão fxados na base nferor, também se usa a graxa. A Fgura 17a mostra ses regões atvas (representadas em preto) formadas pelos músculos. Cada regão é equvalente a um capactor, onde as camadas de graxa equvalem às partes postva e negatva, com separação menor que 0.5mm, e o polímero equvalendo ao delétrco. A parte superor do atuador é muto smlar à nferor, a dferença é que na parte superor não há ranhuras, pos não são necessáros fos, como mostrado na Fgura 17b. Fgura 17: Camadas concêntrcas cobertas com graxa condutora que formam três capactores em cada camada. Projeto do Atuador pronto. O uso de dos anés tem a fnaldade de aumentar a força e torque gerados pelo atuador. Desse modo, as regões correspondentes entre os anés nterno e externo são conectadas eletrcamente em paralelo, resultando em um sstema de três graus de lberdade. Neste atuador, se as tensões elétrcas nas três regões de ambos anés forem guas, como mostrados na Fgura 18a, e não houver forças externas, o movmento do atuador é apenas translaconal, sem rotações. Se pelo menos uma tensão elétrca for dferente, então a base superor, além de transladar, também rá se nclnar em relação à nferor, vde Fgura 18b.

6 31 Fgura 18 Com tensões elétrcas guas e sem forças externas, o movmento é puramente translaconal. Com pelo menos uma tensão elétrca dferente, a base superor translada e gra. Como este atuador combna três grupos de capactores, uma versão para atuação bnára, onde não há controle sobre a magntude da tensão elétrca, possura 3 2 = 8 estados dscretos. Em uma confguração contínua, onde as tensões elétrcas podem ser varadas contnuamente, o sstema possu nfntas confgurações. Note que a escolha de apenas três regões atvas para o atuador é convenente para mnmzar a complexdade do sstema elétrco. Três é o número mínmo de regões que permte a rotação do sstema em duas dreções perpendculares além de translação na dreção axal. Os detalhes da construção do atuador encontram-se no Apêndce A Modelagem Matemátca do Atuador Uma vez concebdo o atuador, é feta sua modelagem matemátca. Prmeramente, é utlzada uma só camada de músculo artfcal para depos estender a análse para um atuador de duas camadas (ncorporando o anel nterno). O atuador de uma camada é consttuído por duas bases planas de mesmo formato que são undas pelo músculo artfcal e uma mola, como lustrado na Fgura 19a. O músculo é modelado como um sstema vsco-elástco onde não há atrto. Para pequenas rotações, o deslocamento do músculo encontra-se essencalmente na dreção perpendcular à base nferor (dreção vertcal na Fgura

7 32 19a). Para obter um modelo matemátco do atuador, dvde-se o músculo em pequenos elementos, como se vê na Fgura 19b. Como o deslocamento é essencalmente vertcal, as partções são aproxmadas por pequenos retângulos sobre os músculos. A Fgura 19b mostra o músculo consttuído pela unão de pequenos elementos. Daqu em dante, o termo elemento se refere a cada partção do músculo. Fgura 19: Esquema do músculo de uma camada. Sub-dvsão do músculo para a modelagem matemátca. Cada elemento é modelado como um conjunto de molas e amortecedores, para assm caracterzar o comportamento do músculo. O modelo mas smples de cada elemento é o de mola-amortecedor, mas este é apenas um dos mutos modelos que se pode assumr. A Fgura 20a mostra elementos entre as bases do atuador. Agora, analsam-se as posções das bases, da mola, e de cada elemento. A posção da base superor é dada pela sua translação e rotação em relação à base nferor. Pontos correspondentes são gerados como, por exemplo, superor e o ponto correspondente Além dsso, Po e Pf da base Po da base nferor, mostrados na Fgura 20b. Pf são os extremos do elemento representado. Fgura 20: Cada elemento é representado por um conjunto de molas e amortecedores. Posção e parâmetros de um elemento.

8 33 Assume-se que o sstema de coordenadas da base nferor é fxo, e a posção do centro do sstema da base superor é dada por O = (Ox Oy Oz) T.Como se vê na Fgura 21a Sendo α, β e γ os ângulos de rotação consecutvos nos exos x, y, z para r do sstema da base nferor para o sstema da base superor (Fgura 21b, 21c e 21b). Fgura 21: Translação da base superor. Rotação em X. (c) Rotação em Y. (d) Rotação em Z. Então a matrz de rotação para α é: A α = 0 cos( α) sn( α) 0 sn( α) cos( α) (2.1) Para β : cos( β ) 0 sn( β ) A β = sn( β ) 0 cos( β ) (2.2)

9 34 Para γ : cos( γ ) sn( γ ) 0 A γ = sn( γ ) cos( γ ) (2.3) superor é: Então, a matrz de rotação que leva as orentações da base nferor à base Como nferor, cada ponto A = Aα Aβ Aα (2.4) Pf, referente à base superor, corresponde ao ponto Po na base Pf pode ser representado no sstema da base nferor como: Pf = A Po + O (2.5) A dstânca entre os extremos do elemento mola-amortecedor é então B = Pf Po, com comprmento B e vetor untáro b ˆ B B = Modelagem Matemátca do Músculo Artfcal Como menconado anterormente, o músculo é dvddo em pequenos elementos em sua modelagem. As dvsões do músculo geram segmentos nas duas bases do atuador. A Fgura 22a mostra como cada elemento consdera que a força atua no meo de cada segmento. O modelo mas smples para cada elemento é o de mola-amortecedor como se pode ver na Fgura 22b, mas exstem outros modelos que representam melhor o comportamento dos músculos artfcas tpcamente utlzados. Por sso, analsam-se város tpos de modelos. A Tabela 1 mostra quatro tpos de modelos matemátcos para cada elemento do músculo [6]. Fgura 22: Posções dos elementos e suas forças. Um dos modelos mas smples. mola-amortecedor

10 35 Tabela 1: Tpos de modelos para cada elemento. Kelvn-Vogt (KV) Zener KV+Amortecedor Burgers Cada modelo do músculo faz com que a dnâmca do atuador seja um pouco dstnta, pos a força f que exerce cada elemento depende do tpo de modelo. Esta força, cujo módulo é denomnado h, corresponde àquela exercda no elemento. Cada elemento tem um comprmento natural l quando relaxado, antes de sofrer um deslocamento ε. Estes parâmetros se relaconam da segunte manera: ε = B l (2.6) Note que neste trabalho a deformação da mola é defnda pelo seu deslocamento ε. Este deslocamento/deformação não é a deformação do músculo, que sera obtda por ε /l para a deformação de engenhara, e ln(1 + ε /l ) para a deformação real. Agora, analsam-se as equações de cada modelo, onde as prncpas varáves são a força h, o deslocamento ε = B l e as varações destes. A Fgura 23 mostra as varáves para o modelo mola-amortecedor ou Kelvn-Vogt, onde a mola fornece característcas elástcas e o amortecedor tenta reproduzr os efetos vscosos. Fgura 23: Modelo de Kelvn-Vogt. Neste modelo, a fórmula relaconando a força h com o deslocamento (deformação da mola) ε, segundo as constantes de rgdez e amortecmento, é: k ε c ɺ ε = h (2.7) KV KV

11 36 onde k KV e c KV são as constantes de rgdez e amortecmento respectvamente. No modelo Zener, mostrado na Fgura 24, é adconado uma mola em sére com o amortecedor para que o amortecmento não seja tão abrupto. A equação que relacona os parâmetros neste caso é: ( ) + + ɺ = ɺ (2.8) kz 2 kz 1 ε cz kz 1 kz 2 ε kz 2 h cz h onde k Z 1 e k Z 2 são constantes de rgdez, e c Z é a constante de amortecmento Fgura 24: Modelo Zener. No modelo Kelvn-Vogt + Amortecedor, mostrado na Fgura 25, não exste uma confguração de equlíbro estátco, devdo ao amortecedor de constante c A2, que faz com que o elemento do músculo contnue se movmentando. Para valores muto altos deste termo de amortecmento, pode-se dzer que o sstema possu um equlíbro quase-estátco, uma vez que a velocdade em regme permanente do sstema é muto baxa. A equação que relacona os parâmetros desse modelo é: ( ) ɺ + ɺɺ = + ɺ (2.9) ka ca2 ε ca1 ca2 ε ka h ca1 ca 2 h onde k é a constante de rgdez. c 1 e c 2 são as constantes de A A A amortecmento. Fgura 25: Modelo Kelvn-Vogt + Amortecedor.

12 37 Fnalmente, o modelo de Burgers, mostrado na Fgura 26, adcona uma mola em sére ao modelo Kelvn-Vogt + Amortecedor para dar mas flexbldade ao sstema e melhorar a precsão na hora de estmar os parâmetros, por ntroduzr mas uma constante ajustável. A equação que relacona os parâmetros é: kb kb cb ɺ ε + kb cb cb ɺɺ ε = kb1 kb 2 h kb1 cb 2 + kb 2 cb1 + kb 2 cb 2 hɺ cb1 cb 2 hɺɺ ( ) onde k B1 e k B 2 são as constantes de rgdez. c B1 e c B 2 são as constantes de amortecmento. (2.10) Fgura 26: Modelo de Burgers. A Tabela 2 resume os modelos consderados.

13 38 Tabela 2: Modelos matemátcos para cada elemento do músculo. Modelo Equação Kelvn Vogt k ε c ɺ ε = h KV KV Zener ( ) + + ɺ = ɺ kz 2 kz 1 ε cz kz 1 kz 2 ε kz 2 h cz h Kelvn-Vogt + Amortecedor ( ) ɺ + ɺɺ = + ɺ ka ca2 ε ca1 ca2 ε ka h ca1 ca 2 h Burgers kb kb cb ɺ ε + kb cb cb ɺɺ ε = kb1 kb 2 h kb1 cb 2 + kb 2 cb1 + kb 2 cb 2 hɺ cb1 cb 2 hɺɺ ( ) Note que as forças f e suas ntensdades h estão relaconadas por: f = h bˆ (2.11)

14 Modelagem Matemátca da Mola Central A mola central é aquela que une as bases nferor e superor na parte central de cada, ver Fgura 27a. A força Fmol é aquela que a mola exerce nas bases, conseqüênca da translação e rotação entre elas, como se vê na Fgura 27b. A posção mostrada na Fgura 27b é exagerada; na verdade, a base superor translada e gra muto pouco. A mola não se encontra engastada nas bases, ela está apenas apoada em cada superfíce. Desse modo, como o dâmetro da mola é pequeno em relação ao dâmetro das bases, é possível assumr que o contato da mola com cada base é pontual, em pontos próxmos às orgens dos sstemas de coordenadas. Esse contato pontual permte desprezar momentos fletores e torçores concentrados no contato entre a mola e as bases. Assm, a únca reação da mola é devda a uma força alnhada o segmento que une ambos os pontos de contato, causada pelas rgdezes à compressão e flexão da mola, o que smplfca enormemente a análse dnâmca. Fgura 27: Posção da mola central quando está relaxada. Posção da mola depos que a base superor fo transladada e grada. Assume-se que a mola possu comprmento natural L, quando não deformada. A Fgura 28 mostra alguns vetores que são mportantes para cálculos.

15 40 Fgura 28: Dagrama vetores e força. O Defne-se oˆ = como o vetor untáro orentado na dreção do centro da O base superor, ˆko o vetor untáro orentado na dreção Zo, â o vetor untáro orentado na dreção perpendcular ao plano da base superor ( â é a tercera coluna da matrz de rotação A ), a z o ângulo formado pelos vetores ˆko e â ( a ˆz é a componente do vetor â na dreção Zo), e o ˆn o vetor untáro normal ao plano defndo pelo exo Zo e o vetor ô, onde ô e o ˆn são perpendculares. Então o ˆn é calculado por: oˆ n = kˆ oˆ kˆ oˆ (2.12) Defne-se também o ˆt, o vetor untáro que pertence ao plano defndo pelo exo Zo e o vetor ô, onde ô e o ˆt são perpendculares. Então, o ˆt é obtdo por: Desse modo, ô, o ˆt e o ˆn formam uma base ortonormal. oˆ t = oˆ n oˆ (2.13) A força Fmol que a mola exerce na base superor é calculada então pelo produto de uma constante de rgdez K, que engloba os efetos de compressão e flexão da mola, da deformação ( O L) força:, e do vetor untáro ô, alnhado com a Fmol = K ( O L) oˆ (2.14) Fmol = K O oˆ + K L oˆ (2.15)

16 41 O Fmol = K O + K L oˆ (2.16) O Fmol = K O + K L oˆ (2.17) 2.5. Equações Dnâmcas do atuador Após obter os modelos matemátcos dos músculos e da mola central, podese analsar a dnâmca do atuador. A Fgura 29a mostra as forças exercdas pelos elementos do músculo, a força Fmol exercda pela mola, e a força da gravdade relatva ao dsco superor e à carga útl nele fxada. O dagrama de corpo lvre e a posção das forças podem ser vstas na Fgura 29b. Fgura 29: Forças do atuador. Dagrama de corpo lvre e posções das forças. A força da gravdade é sempre contrára à dreção de Fg = ko ˆ m g, onde g ˆko, logo 2 = 9,81m s e m é a massa do dsco superor e sua carga útl. Pela segunda le de Newton, o somatóro de forças que atuam sobre o corpo é gual à massa m multplcada pela aceleração Cg ɺɺ do centro de massa deste sstema dsco superor e carga útl, logo: n f + Fmol + Fg = m Cg ɺɺ (2.18) = 1 onde o centro de massa Cg e a aceleração da gravdade g podem ser vstas na Fgura 29.

17 42 Defne-se d como a posção do centro de massa meddo referente ao sstema de coordenadas da base superor, vde Fgura 29a, e D o vetor que parte do centro de massa até o ponto onde a força f é aplcada, vde Fgura 29b. Então, tem-se: então: D = Pf A d (2.19) D = A ( Po d) (2.20) Sendo T o torque referente ao centro de massa Cg causado pela força f, T = D f (2.21) Sendo Tmol o torque referente ao centro de massa que é causado pela força da mola central Fmol, tem-se: Tmol = ( A d ) Fmol (2.22) Note que a força da gravdade não gera torque em relação ao centro de massa. Então, o somatóro de torques referente ao centro de massa é gual à matrz de nérca I do sstema dsco superor e carga útl multplcado pela aceleração angular ωɺ : n T + Tmol = I ɺ ω (2.23) = 1 Assm, de acordo com a segunda le de Newton e a partr das equações da dnâmca do músculo, as varáves de posção e orentação Ox, Oy, Oz, α, β e γ são obtdas soluconando o sstema de equações dferencas: n f + Fmol + Fg = m Cg ɺɺ (2.24) = 1 n T + Tmol = I ɺ ω (2.25) = 1 A solução deste sstema é descrta no Capítulo segunte.