Modelos Matemáticos e Equações Diferenciais Ordinárias.

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1 Universidade Esadual Paulisa Júlio de Mesquia Filho Insiuo de Geociências e Ciências Exaas Campus de Rio Claro Modelos Maemáicos e Equações Diferenciais Ordinárias. Rogério Piva Disseração apresenada ao Programa de Pós- Graduação Mesrado Prossional em Maemáica em Rede Nacional-PROFMAT como requisio parcial para a obenção do grau de Mesre Orienadora Profa. Dra. Mara Cilene Gadoi 2016

2 P693m Piva, Rogério Modelos Maemáicos e Equações Diferenciais Ordinárias./ Rogério Piva- Rio Claro: [s.n.], f.:g. Disseração (mesrado) - Universidade Esadual Paulisa, Insiuo de Geociências e Ciências Exaas. Orienadora: Mara Cilene Gadoi 1. Exisência e Unicidade de Solução. 2. Sisemas Lineares. 3. Esabilidade. 4. Modelos de 1ª e 2ª Ordem. 5. Cálculo para Ensino Médio. I. Tíulo Ficha Caalográca elaborada pela STATI - Biblioeca da UNESP Campus de Rio Claro/SP

3 ermo de aprovação Rogério Piva Modelos Maemáicos e Equações Diferenciais Ordinárias. Disseração aprovada como requisio parcial para a obenção do grau de Mesre no Curso de Pós-Graduação Mesrado Prossional em Maemáica Universiária do Insiuo de Geociências e Ciências Exaas da Universidade Esadual Paulisa Júlio de Mesquia Filho, pela seguine banca examinadora: Profa. Dra. Mara Cilene Gadoi Orienadora Prof(a). Dr(a). Carina Alves IGCE/UNESP/Rio Claro(SP) Prof. Dr. Wladimir Seixas CCTS/UFSCar/Sorocoba(SP) Rio Claro, 15 de Dezembro de 2016

4 Ao meu pai.

5 Agradecimenos A minha mãe Tianinha, quem eu amo e admiro. Aos meus amigos do mesrado: a Juliana, a Tássia, o Luiz Rodrigo e a Gabriela. Aos professores do Insiuo de Maemáica: a Marinha, o Jamil, a Renaa, o Thiago, a Suzy, a Alice e o Rawlilson. Aos moniores de sala: o Vior Simões e o Renanda. Aos funcionários do Insiuo de Maemáica, do R.U. e da biblioeca. A quem me apresenou o PROFMAT: o Pedro Braga. Ao Deparameno de Maemáica da Unesp de Rio Claro, pela iniciaiva desaadora de promover o PROFMAT no campus de Rio Claro. Graidão por udo.

6 O verdadeiro discípulo é aquele que supera o mesre. Arisóeles.

7 Resumo As equações diferenciais ordinárias consiuem ferramena imporane na modelagem de alguns problemas, sejam físicos, ecológicos, econômicos, ec. Nese rabalho são apresenados os resulados clássicos de equações diferenciais ordinárias, são realizadas algumas aplicações e nalmene é apresenada na proposa didáica para o ensino médio em como a derivada de uma função pode ser calculada de uma forma inuiiva. Palavras-chave: Exisência e Unicidade de Solução, Sisemas Lineares, Esabilidade, Modelos de 1ª e 2ª Ordem, Cálculo para Ensino Médio.

8 Absrac The ordinary dierenial equaions are an imporan ool in he modeling of some problems, wheher of physical, ecological or ecnonomical naure. In his work he classical resuls of ordinary dierenial equaions are presened. Some of hem are made and a he end here is a didacic proposal o nd a derivae funcion in a inuiive way for high school sudens. Keywords: Exisence and Uniqueness of Soluion, Linear Sysems, Sabiliy, 1s and 2nd Order Models, Calculus for High School.

9 Lisa de Figuras 1.1 Para I [ 0 a, 0 + a] e I [ 0 b M, 0 + b M ] (a) Solução de equilíbrio y 0 esável (b) Solução de equilíbrio y 0 assinoicamene esável Modelos malhuseanos de crescimeno populacional Curva logísica conforme modelo de Verhuls Sisema massa e mola Relação enre δ e c 1 e c Gráco de y() = R cos (ω 0 δ) Gráco de y() = Re c 2m cos (ω 0 δ) Órbia do sisema das equações (4.12) e (4.13) Órbias do sisema por (4.12) e (4.13) Obenção da rea angene Esudo da função quadráica f(x) = x Rea angene Relação enre o comporameno de f(x) = x 2 com o sinal de f (x) = 2x Recipienes de mesma capacidade e alura H Gráco da alura do nível da água dos recipienes da Figura 5.5 em função do empo Esudo de y i Core meridional no recipiene (b) Tabela de População de habianes de Arur Nogueira Tabela auxiliar para relacionar n com o ano correspondene Gráco e ponos obidos aravés do sofware MATLAB

10 Sumário 1 Equações Diferenciais Ordinárias Breve Inrodução às Equações Diferenciais Classicando as Equações Diferenciais Ordinárias Soluções para EDO's Problema de Valor Inicial Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem Ieradas de Picard Prova dos Resulados Sisemas de Equações Diferenciais Sisemas Homogêneos e Não Homogêneos Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes Exponencial Maricial O Méodo dos Auovalores e dos Auoveores para deerminar Soluções Sisemas Lineares Não Homogêneos Esudo de Esabilidade Ponos de Equilíbrio Sisemas Lineares Aplicações Dinâmica Populacional: Malhus e Verhuls Sisema Massa e Mola: Um Modelo de 2ª Ordem Vibrações Livres Vibrações Livres Amorecidas Presa e Predador: Um Modelo Não Linear Proposas de Aividades para o Ensino Médio: Pré Cálculo e Malhus Pré Cálculo Apresenando os Conceios: 1ª Pare Aplicando os Conceios: 2ª Pare Aprofundando os Conceios: 3ª Pare

11 5.2 Malhus: uma aplicação para as Funções Exponenciais Obendo a Consane Consruindo a Função Ajuse do Domínio Referências 85

12 Inrodução O objeivo dese rabalho é realizar um esudo sobre as equações diferenciais ordinárias (EDO) e algumas aplicações. A abordagem foi feia de forma qualiaiva, preocupando-se em apresenar os conceios e eoremas, odos devidamene provados. Ese rabalho é dividido em duas pares: a primeira pare abordando o esudo de sisemas lineares de equações diferenciais e aplicações e na segunda pare duas proposas didáicas para o prossional de maemáica que leciona para o Ensino Médio. Após um cero empo de pesquisa, sobre qual ema seria abordado nese rabalho, a escolha foi feia na seguine premissa: oda equação diferencial ordinária linear de ordem n pode ser expressa em forma de um sisema de n equações lineares ordinárias. Para o esudo desse coneúdo, escolheu-se duas obras como base: [1, 2]. A primeira perguna a ser respondida quando se rabalha com modelos de equações diferenciais é com respeio à exisência de solução para al problema e depois se al solução é única. De início, faz-se uma apresenação sobre os conceios e elemenos que denem uma EDO para enão apresenar a demonsração de um dos eoremas mais imporanes e que consise na prova da exisência e da unicidade da solução de problema de valor inicial (PVI). Ese resulado é de exrema imporância para o esudo dos sisemas lineares de EDO s. Próximo passo é mosrar a conversão de uma EDO linear de ordem n em um Sisema Linear de EDO's de n equações, cujo procedimeno é bem simples. Tendo enão o sisema linear em mãos, o desao nesa pare do rabalho é mosrar que o conjuno das soluções de um sisema de EDO's lineares homogêneas é um subespaço veorial permiindo enão que cada solução possa ser escria como combinação linear de elemenos de uma base de n veores linearmene independenes, ou seja, com o auxilio da Álgebra Linear, pode-se enão aplicar o conceio de base para gerar o espaço das soluções do sisema linear homogêneo. Em seguida, fez-se o esudo sobre esabilidade de uma solução de equilíbrio de sisemas auônomos. 10

13 11 Depois das apresenações dos conceios básicos e eóricos, devidamene demonsrados, aplica-se enão em alguns modelos cuja nalidade é visualizar siuações-problemas. A nalidade principal desa pare do rabalho é a aplicação da modelagem maemáica para cada problema proposo e a apresenação de uma resolução algébrica, uilizando odos os conceios apresenados inicialmene nese rabalho. Foram escolhidos 3 problemas de acordo com o grau de diculdade na resolução de cada um, nalizando com um caso não linear. São duas as proposas didáicas para a úlima pare do rabalho: A proposa didáica pré-cálculo cujo objeivo é inroduzir ao aluno de Ensino Médio, conceios de cálculos de uma forma acessível e despreensiosa aos rigores maemáicos focando apenas em exemplos e visualizações da ideia inuiiva de derivada. A proposa didáica Malhus consise em apresenar ao aluno do Ensino Médio um coneúdo abordado nese rabalho. Todos os grácos, desenhos e ilusrações desse rabalho, com exceção ao gráco apresenado na aividade na proposa didáica Malhus que foi feio aravés do Malab; foram devidamene consruídos pelo auor desse rabalho aravés do programa Powerpoin. De uma forma resumida, o primeiro capíulo apresena odos os conceios básicos e inroduórios sobre as EDO's e PVI focando principalmene nas soluções. Aravés das ieradas de Picard apresena-se a demonsração da exisência e unicidade de um PVI. No segundo capíulo será abordado de forma qualiaiva o esudo dos sisemas lineares de EDO's apresenando inicialmene odos os resulados necessários para se comprovar de que o conjuno solução é ambém um subespaço veorial para enão apresenar o Méodo dos Auovalores e Auoveores como méodo de resolução. No erceiro capíulo o conceio de esabilidade de uma solução de equilíbrio é apresenado e comprovado apenas, limiando ao coneúdo necessário a ese rabalho. O quaro capíulo apresena as aplicações de modelagem maemáica consisindo de aplicações de EDO's lineares aravés do Modelo de Malhus e Verhuls; modelando o fenômeno físico massa-e-mola, esuda-se uma equação linear de 2ª ordem podendo enão ser converida um sisema linear de duas EDO s e ambem apresena-se um modelo não-linear de sisemas de EDO's aravés do modelo presa e predador. E nalmene o úlimo capíulo consise na pare didáica dese rabalho apresenando duas proposas de aividades para o Ensino Médio.

14 1 Equações Diferenciais Ordinárias Para uma melhor compreensão dos sisemas de EDO, é imporane apresenar oda a base do coneúdo das EDO s, como noações a denições básicas e exemplos. Nese capíulo, a prova da exisência e unicidade de um PVI descrio por uma EDO será o foco principal para enão usar esse resulado no próximo capíulo. O esudo desse capíulo é baseado nas referencias [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. 1.1 Breve Inrodução às Equações Diferenciais Denição 1.1. Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnia e suas derivadas. De modo geral, oda equação que coném as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependenes, em relação a uma ou mais variáveis independenes, denominaremos como equação diferencial (ED). Uma equação diferencial é chamada ordinária (EDO) se a função incógnia depende de apenas uma variável independene. Se a função incógnia depende de mais de uma variável independene, denomina-se como uma equação diferencial parcial (EDP) ou equação de derivadas parciais. Apesar dessa inrodução abordar as equações diferenciais de modo geral, ese rabalho consisirá de um esudo focado exclusivamene ao universo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). A derivada de uma função pode ser expressa aravés de rês noações ociais: ˆ Noação dy dx : represena a derivada da função y = y(x) em relação à x. ˆ Noação y por apósrofos: ambém represena a derivada da função y = y(x) em relação à x; noação mais usual nas represenações de EDO's. ˆ Noação ẋ: represena a derivada da função x = x() em relação a variável independene empo. ˆ Noação y x : represena a derivada parcial da função y em relação a x, em que y possui mais de uma variável independene. 12

15 Breve Inrodução às Equações Diferenciais 13 Exemplo 1.2. Alguns casos de EDO s envolvendo as noações ciadas aneriormene: dy + 3x = 2, (1.1) dx d 2 3 y dx (dy 2 dx ) 5y = 0. (1.2) u = 3v 5 (1.3) v = u + v 5 cos., Pode-se escrever o sisema de equações diferenciais (1.3) na seguine forma maricial: u = 3v 5 v u + v 5 cos u = 0 3 u + 5. v 1 1 v 5 cos Se X = u, Ẋ = u, A = 0 3, e b() = 5 em que b R R 2, obém-se v v 1 1 5cos um sisema de EDO's da seguine forma: Mais alguns exemplos de EDO: Ẋ = AX + b(). y + y 2x = 0, 2y + 3y x 2 y = 5y. Serão usadas as noações y, y, y para represenar a derivada de ordem um, dois e rês respecivamene. Genericamene a noação y (n) ou dn y represena a derivada de d n y de ordem n. Como exemplos, emos: y (5) = 2y + 1, u + v u v = u2, 2 4 u + 2 u = 0. (1.4) Classicando as Equações Diferenciais Ordinárias Dene-se a ordem de uma EDO como sendo a ordem da mais ala derivada que aparece na equação diferencial. Verica-se que a ordem da equação (1.1) é de primeira ordem (ou ordem um); analisando a equação (1.2) noa-se que apesar de dy dx esar elevado ao cubo, a ordem da equação será dois caracerizando assim uma equação diferencial de segunda ordem. A seguir, alguns ipos especícos de EDO's.

16 Breve Inrodução às Equações Diferenciais 14 Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Toda equação diferencial do ipo a n (x) dn y dx n + a n 1 (x) dn 1 y dx n a 1 (x) dy dx + a 0 (x) y = f (x), será classicada como equação diferencial ordinária linear de ordem n. As duas principais caracerísicas das equações diferenciais ordinárias lineares são: i. A função incógnia e odas as suas derivadas são do primeiro grau; iso é, a poência de cada ermo envolvendo a função incógnia é um. ii. Os coecienes da equação depende exclusivamene da variável independene. Toda equação que não é linear é chamada de não-linear. Exemplo 1.3. y 2y y = 0, (1.5) x 2 d3 y dx + 3 2x2 d2 y dx 5xdy 2 dx 7y = e2x, (1.6) y dy + 2x = 0, dx (1.7) d 2 y dx 2 y3 = 0. (1.8) As equações (1.5) e (1.6) são equações diferenciais ordinárias lineares de segunda e erceira ordem, respecivamene. As equações (1.7) e (1.8) são equações diferenciais ordinárias não lineares de primeira e segunda ordem respecivamene. Noe que a condição da variável dependene ser um coeciene da equação (1.7) enquano na (1.8) a variável dependene possui expoene diferene de um, faz com que esas equações não se enquadrem nas condições de EDO's lineares. Equações Diferenciais Homogêneas Toda equação diferencial que pode ser escria na forma dy dx = f (y x ) (1.9) é chamada de equação diferencial homogênea. Por exemplo, a equação dy dx = x2 + xy + y 2 x 2 é homogênea, pois pode ser escria da forma dy dx = 1 + y x + (y x ) 2. Uma equação diferencial é não-homogênea se não for possível expressar a equação diferencial na forma (1.9).

17 Breve Inrodução às Equações Diferenciais 15 Equações Diferenciais Auônomas Uma equação diferencial é auônoma se a função f depende apenas da variável dependene, iso é, oda equação diferencial auônoma é do ipo dy dx = f(y). A equação diferencial será idenicada como não-auônoma caso a função f dependa ambém da variável independene Soluções para EDO's Considere f Ω R R n R n com Ω abero. Uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem será represenada por dx d = f(, x). (1.10) Denição 1.4. Qualquer função x = x() denida em algum inervalo I, que quando d x subsiuída na equação diferencial, iso é, () = f(, x()) I, é chamada de d solução de (1.10) no inervalo I. Exemplo 1.5. A seguir alguns exemplos de soluções de equações diferenciais: a) Equação diferencial : 2y + y = 0, Uma solução y = e x 2. Para vericar que de fao y é solução, deriva-se a função em relação à x: y = e x 2 ( 1) 2. Assim: 2y + y = 2[e x 2 ( 1)] 2 + e x 2 = e x 2 + e x 2 = 0. b) c) Equação diferencial : dy dx 2y = e3x. Uma solução y = e 3x + 10e 2x. De fao: dy dx = 3e3x + 20e 2x. Assim: dy dx 2y = [3e3x + 20e 2x ] 2 (e 3x + 10e 2x ) = 3e 3x + 20e 2x 2e 3x 20e 2x = e 3x. Equação diferencial : y 6y + 13y = 0. De fao: Uma solução y = e 3x cos 2x. y = e 3x (3 cos 2x 2 sen 2x)), e y = e 3x (5 cos 2x 12 sen 2x).

18 Problema de Valor Inicial 16 Assim: y 6y + 13y = e 3x (5 cos 2x 12 sen 2x) 6e 3x (3 cos 2x 2 sen 2x) + 13e 3x cos 2x = 5e 3x cos 2x 12e 3x sen 2x 18e 3x cos 2x + 12e 3x sen 2x + 13e 3x cos 2x = Problema de Valor Inicial Um problema de valor inicial (PVI) consise em uma equação diferencial, junamene com condições iniciais imposas à função incógnia e suas derivadas, desde que essas condições iniciais sejam resrias a um mesmo valor xado da variável independene. Abordando apenas o conjuno das equações diferenciais de primeira ordem, emos: dy = f(x, y) dx sujeia à condição inicial y (x 0 ) = y 0 em que x 0 é um número em algum inervalo I e y 0 é um elemeno de R n. Também pode-se denir um problema de valor inicial quando depara-se com a siuação: resolva a equação que saisfaça dy = f(x, y) (1.11) dx y (x 0 ) = y 0. (1.12) A solução de um PVI possibilia visualizar uma de várias soluções da EDO ou seja, geomericamene falando esa solução esá conida numa coleção de funções que saisfaz a equação diferencial em algum inervalo I conendo a condição inicial x 0. Para que a EDO admia uma solução, esa deverá saisfazer algumas condições para comprovar sua exisência e sua unicidade. Ese coneúdo será abordado na próxima seção. 1.3 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem Nesa seção será provada a exisência para o caso escalar. Supondo que f seja conínua numa região D R 2 e que (x 0, y 0 ) seja um pono arbirário de D, resolver um problema de valor inicial envolvendo equações diferenciais de primeira ordem é equivalene a deerminar uma função conínua y(x) denida em algum inervalo I conendo x 0, al que y(x) saisfaça a seguine equação inegral: x y(x) = y 0 + f(s, y(s))ds. (1.13) x 0

19 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 17 Parindo do PVI (1.11) (1.12) e inegrando ambos os lados, usando o Teorema Fundamenal do Cálculo, chega-se à equação inegral desejada. O próximo passo será buscar a solução da equação inegral aravés da consrução de uma sequência de funções que convergem para a solução y(x) ão desejada, conseguindo desa forma, recursos necessários para provar que y(x) exise e é única Ieradas de Picard Anes de iniciar a demonsração do eorema cenral desa seção, é perinene enender o raciocínio de Picard que o levou à demonsração do eorema. Nessa subseção apenas desaca-se as ieradas aravés de um exemplo de fácil visualização e compreensão para que o leior possa perceber o méodo. Por exemplo, a parir do PVI: y = ky, y(0) = 1. Nese caso, f(x, y) = ky, y 0 = 1 e x 0 = 0 deseja-se enconrar uma sequência de funções (y n ), al que em que y n (x) = y x f(, y n 1 ())d (1.14) f(, y n 1 ) = ky n 1. Percebe-se que para cada ierada, gera-se um ermo y n em função de y n 1. Observe: y 1 (x) = y 0 + = x = 1 + kx. x f(, y(0))d, kd, y 2 (x) = y 0 + = 1 + = x 0 x 0 x f(, y 1 ())d, k(1 + k)d, kd + = 1 + kx + (kx)2. 2! 0 x k 2 d,

20 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 18 Generalizando, em-se: y 3 (x) = y 0 + = 1 + = x 0 x 0 x f(, y 2 ())d, k(1 + k + (k)2 )d, 2! kd + = 1 + kx + (kx)2 2! y n (x) = 1 + kx + (kx)2 2! 0 x k 2 d + + (kx)3. 3! + (kx)3 3! 0 x k 3 2 d, 2! Subsiuindo kx por uma variável z, (1.15) pode ser escria como: y n (x) = 1 + z + z2 2! + z3 3! zn n!, logo, idenicando-se como uma Série de Taylor, em-se: lim y n(z) = e z, n (kx)n. (1.15) n! lim y n(x) = e kx. n Noe que o limie da sequência (y n ) dada pelas ieradas de Picard é solução do PVI proposo. pois y (x) = ke kx = ky(x) e y(0) = Prova dos Resulados [1]. Nesa subseção serão apresenadas as provas dos resulados baseadas na referência O lema apresenado a seguir será a base para a demonsração do eorema principal desa seção. Lema 1.6. Sejam a e b números reais posiivos, onde R é o reângulo: α, y y 0 b, al que R R 2 e M = max f(, y) em que α = min (a, b (,y) R M ). Enão: para α, em que y n é dada por (1.14) y n () y 0 M( 0 ) (1.16) Resumidamene, a ideia principal dese lema é mosrar que cada função da sequência (y n ) esá conida no reângulo proposo pelo Lema 1.6, ou seja, mosrar que y n é uniformemene limiada, n N. A parir de (1.16) observa-se que: y 0 M( 0 ) y n y 0 + M( 0 ) [ 0, 0 + α]. Porano, oda função da sequência (y n ) esá conida na região limiada enre as reas y = y 0 M( 0 ) e y = y 0 + M( 0 ), conforme a Figura 1.1

21 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 19 Figura 1.1: Para I [ 0 a, 0 + a] e I [ 0 b M, 0 + b M ] Demonsração: Prova-se usando o processo de indução em n. Para n = 0 a desigualdade (1.16) é saisfeia. Considerando verdadeira a hipóese sobre n em (1.16), em-se que é verdadeira ambém para n + 1. De fao: y n+1 y 0 = f(s, y n )ds f(s, y n ) ds Mds = M( 0 ) para odo α. O próximo objeivo é mosrar que a sequência dada pelas ieradas de Picard converge no inervalo α, se f y exisir e for conínua no reângulo R. Teorema 1.7. Sejam f e f y conínuas no reângulo R α, y y 0 b al que R R 2 e M = max f(, y), em que α = min (a, b (,y) R M ). Enão, o problema de valor inicial y = f(, y), y( 0 ) = y 0 em pelo menos uma solução y() denida no inervalo α. Demonsração: Observe que y n () pode ser escria da seguine forma: y n () = y 0 () + [y 1 () y 0 ()] + [y 2 () y 1 ()] + [y 3 () y 2 ()] + + [y n () y n 1 ()]. A sequência (y n ) convergirá somene se a série innia y 0 () + [y 1 () y 0 ()] + [y 2 () y 1 ()] + [y 3 () y 2 ()] + + [y n () y n 1 ()] + (1.17) for convergene. Para provar que a sequência innia (y n ) converge, basa mosrar que: Inicia-se observando o seguine: y n () y n 1 () <. (1.18) n=1 y n () y n 1 () = (f(s, y n 1 ) f(s, y n 2 ))ds 0 = 0 0 f(s, y n 1 ) f(s, y n 2 ) ds f y (s, µ(s)) y n 1(s) y n 2 (s) ds

22 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 20 pelo Teorema do Valor Médio aplicado à segunda componene, exise µ() enre a região limiada pelas curvas y n 1 e y n 2, al que f(s, y n 1 (s)) f(s, y n 2 (s)) f y (s, µ(s)) y n 1(s) y n 2 (s) Segue imediaamene do Lema 1.6 que odos os ponos (s, µ(s)) perencem ao reângulo R para 0 < s < + α. Segue que onde y n () y n 1 () L y n 1 (s) y n 2 (s) ds, α, (1.19) 0 Para n = 2 em (1.19) em-se: y 2 () y 1 () L Para n = 3, em-se: y 3 () y 2 () L 0 0 L = max (,y) R f (, y). y y 1 (s) y 0 ds L M(s 0 )ds = LM( 0) LM(s 0 ) y 2 (s) y 1 (s) ds L 2 ds = L2 M( 0 ) ! Agora, supondo que a desigualdade é válida para n, iso é, y n () y n 1 () Ln 1 M( 0 ) n, (1.20) n! prova-se a validade da mesma para n + 1, ou seja, É imediao, pois: y n+1 () y n () L para odo α. Porano, em-se: y n+1 () y n () Ln M( 0 ) n+1. (n + 1)! 0 L y n (s) y n 1 (s) ds L n 1 M(s 0 ) n ds = 0 n! = Ln M( 0 ) n+1, (n + 1)! y n () y 0 () = y 1 () y 0 + y 2 () + y 1 () + + y n () y n 1 + n=1 M( 0 ) + ML( 0) 2 2 M( 0 ) + ML( 0) 2 2 = M L [L( 0) + L2 ( 0 ) 2 2 = M L [L( 0) + [L( 0)] 2 = M L (e( 0)L 1). 2 + ML2 ( 0 ) 3 3! + ML2 ( 0 ) 3 3! + L3 ( 0 ) 3 3! + [L( 0)] 3 3! + + MLn 1 ( 0 ) n n! + + MLn 1 ( 0 ) n n! + + Ln ( 0 ) n n! + + [L( 0)] n n! + ] ]

23 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 21 para odo α. Desa forma, foi possível mosrar que a série é convergene e, desse modo, as ieradas de Picard convergem para odo perencene ao inervalo [ 0, 0 +α]. De forma análoga, mosra-se que a sequência (y n ()) converge para odo omado no inervalo [ 0 α, 0 ]. O limie da sequência (y n ()) será indicado por y(). Prosseguindo, ainda fala mosrar que o limie da sequência (y n ()) será solução do problema de valor inicial (1.13). Reomando a recorrência das ieradas de Picard êm-se a equação: y n+1 () = y 0 + Tomando os limies em ambos os lados, emos: 0 lim y n+1() = lim [y 0 + n n y() = y 0 + lim n [ f(s, y n (s))ds. 0 f(s, y n (s))ds] 0 f(s, y n (s))ds]. (1.21) Logo, para provar que a equação (1.21) saisfaz (1.13), basa mosrar que: 0 f(s, y(s))ds = lim n [ Assim, provar (1.22) equivale a mosrar que a diferença abaixo 0 f(s, y(s))ds 0 0 f(s, y n (s))ds]. (1.22) f(s, y n (s))ds ende a zero quando n ende ao innio. Sabemos que y() é o limie de funções y n () cujos grácos esão em R, logo o gráco de y() ambém esá conido em R, porano: 0 f(s, y(s))ds 0 f(s, y n (s))ds 0 f(s, y(s))ds f(s, y n (s)) ds L 0 y(s) y n (s) ds onde L foi denido nas condições da equação (1.19). Volando à sequência (y n ()) emos: y(s) = y 0 + y n (s) = y 0 + i=1 n i=1 Subraindo a equação (1.24) de (1.23) obemos: y(s) y n (s) = y(s) y n (s) = n i=1 i=1 y i (s) y i 1 (s) + y i (s) y i 1 (s) (1.23) y i (s) y i 1 (s). (1.24) y i (s) y i 1 (s) y i (s) y i 1 (s) i=n+1 n i=1 y i (s) y i 1 (s) y i (s) y i 1 (s) n i=1

24 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 22 y(s) y n (s) = Por consequência a (1.20) em-se y(s) y n (s) M y(s) y n (s) M L y i (s) y i 1 (s). i=n+1 L i 1 (s 0) i i=n+1 i! i=n+1 Manipulando as seguines desigualdades, em-se: 0 enão: 0 f(s, y(s))ds f(s, y(s))ds 0 0 f(s, y n (s))ds L 0 f(s, y n (s))ds M = M( 0 ) i=n+1 L i (s 0) i. (1.25) i! y(s) y n (s) ds L i=n+1 L i α i i! 0 Mα 0 M L n+1 L i (s 0) i ds, i! L i (s 0) i ds M L i (α)i i! i=n+1 i! ds = 0 i=n+1 (Lα) i. (1.26) i! Observa-se que o úlimo membro da desigualdade (1.26) consise no reso do desenvolvimeno (convergene) em série de Taylor de e Lα. Noe que quando n ende ao innio, a soma em (1.26) ende a zero; porano, e y() saisfaz o PVI (1.13). 0 f(s, y(s))ds = lim n [ 0 f(s, y n (s))ds] Resa provar que y() é conínua, iso é, para odo δ > 0 exise um η > 0 com δ e η reais al que y( + h) y() < δ se h < η. Apesar de não conseguir uma forma explícia de y(), uma alernaiva é usar o seguine recurso: oma-se um N sucienemene grande e escreve-se y() assim Desse modo, y( + h) = y( + h) y() + y() y N ( + h) + y N ( + h) y N () + y N () y( + h) y() = y( + h) y N ( + h) + y N ( + h) y N () + y N () y() y( + h) y() = y( + h) y N ( + h) + y N ( + h) y N () + y N () y() y( + h) y() y( + h) y N ( + h) + y N ( + h) y N () + y N () y(). (1.27) Dado um δ,oma-se um N sucienemene grande al que M L (kl) i i=n+1 i! < δ 3.

25 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 23 Reomando a relação (1.25), obém-se y( + h) y N ( + h) < δ 3 e y N () y() < δ 3 para e h sucienemene pequeno. A função y N () é conínua pois foi consruída por N inerações de funções conínuas, assim dado δ > 0 exise η al que Subsiuindo em (1.27) em-se: y N ( + h) y N () < δ, para h < η. 3 y( + h) y() δ 3 + δ 3 + δ 3 = δ para h < η, porano, y() é conínua. Com odos os passos acima já é possível considerar y() uma solução da equação inegral (1.13), implicando que y() ambém será solução de (1.11) e (1.12) O que resa ainda vericar é se a solução y() é única no inervalo [ 0, 0 + α]. A prova do próximo eorema irá encerrar essa seção, mosrando a unicidade da solução do PVI dado. Teorema 1.8. Sejam f e f y conínuas no reângulo R α, y y 0 b al que R R 2. Calculemos M = max f(, y) e seja α = min (a, b (,y) R M ). Enão, o problema de valor inicial (1.11) e (1.12) em uma única solução y() no inervalo α. Demonsração: O Teorema 1.7 garane que exise pelo menos uma solução em R. Seja z() oura solução alem de y() do PVI proposo pelo Teorema 1.8. Enão: y() = y 0 + f(s, y(s))ds e z() = y Subraindo as duas equações, em-se: y() z() = 0 f(s, y(s))ds Tomando o valor absoluo em ambos membros: y() z() = 0 0 f(s, y(s))ds 0 0 f(s, z(s))ds. f(s, z(s))ds. f(s, z(s))ds. Como y() e z() são soluções de uma equação que saisfaz o Teorema 1.7, obém-se a desigualdade: y() z() = 0 f(s, y(s))ds 0 f(s, z(s))ds f(s, y(s))ds f(s, z(s)) ds L y(s) z(s) ds, (1.28) 0 0

26 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 24 onde L é como na prova do Teorema 1.7. Por conveniência, oma-se a função denida por: É de imediao: U() = y(s) z(s) ds. (1.29) 0 U( 0 ) = 0 U() 0, > 0. (1.30) Além disso, U() é derivável pois U () = y() z(y). Porano pode-se escrever a desigualdade (1.28) da seguine forma: U () L U() 0, muliplicando ambos os lados pelo faor inegrane posiivo e L em-se: e L [U () L U()] 0 [e L U()] 0. Inegrando ambos os lados no inervalo de 0 a obém-se: e L U() 0. (1.31) Da desigualdade (1.31) e como o faor e L sempre é posiivo para odo real, segue que: U() 0. (1.32) Das desigualdades (1.30) e (1.32) conclui-se que: U() = 0 para odo α. Enão, por (1.29) obém-se a igualdade: y() = z(), [ 0, 0 + α] comprovando que a solução do PVI (1.11) e (1.12) é única.

27 2 Sisemas de Equações Diferenciais Todo o coneúdo necessário para mosrar que o conjuno solução de uma EDO linear e homogênea de grau n é um subespaço veorial será apresenado conforme a referência [1]. Alguns resulados não serão demonsrados pelo fao de não se adequarem ao escolpo do exo. Nese capíulo, as referências [2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12] ambém foram uilizadas. Os sisemas de equações diferenciais são consiuídos por um conjuno nio de equações diferenciais de primeira ordem, iso é: x 1 () = f 1 (, x 1,, x n ) x 2 () = f 2 (, x 1,, x n ) x n () = f n (, x 1,, x n ) (2.1) Uma solução de (2.1) pode ser represenada pela mariz coluna X composa por n funções: ais que dx j d = f j(, x 1, x 2,, x n ), j = 1, 2,, n. x 1 () x 2 () X() =, (2.2) x n () 2.1 Sisemas Homogêneos e Não Homogêneos Além das equações diferenciais do sisema (2.1), comumene impõem-se condições iniciais sobre as funções soluções em um cero valor inicial obendo enão um problema de valor inicial. Pode-se ambém converer uma equação diferencial linear de ordem n num sisema de n equações de primeira ordem. A seguir, alguns exemplos: Exemplo 2.1. Seja o PVI dado por: d 2 y d 2 + p()dy d + q()y = 0; y( 0) = y 0, y ( 0 ) = y 0. (2.3) 25

28 Sisemas Homogêneos e Não Homogêneos 26 Noe que a equação em (2.3) pode ser ransformada, por uma mudança de variável em um sisema de 1ª ordem, considerando as variáveis x 1 () e x 2 (): x 1 () = y(), x 2 () = y (), em-se que x 1 () = x 2 () x 2 () = p()x 2 () q()x 1 (). Considerando X() = (x 1 (), x 2 ()) pode-se reescrever o sisema na forma: x 1 () = 0 1 x 1 (). (2.4) x 2 () q() p() x 2 () Assim: f(, (x 1, x 2 )) = 0 1 x 1 (), q() p() x 2 () e a equação em (2.3) pode ser escria na forma: Ẋ() = f(, (x 1, x 2 )). Nese caso f(, (x 1, x 2 )) possui o seguine formao: f(, (x 1, x 2 )) = A() X(). Escrevendo (2.4) na forma Ẋ() = A()X(), a solução da equação (2.3) pode ser obida resolvendo o sisema de EDO's obido em (2.4). Exemplo 2.2. Com o mesmo raciocínio para a seguine EDO de erceira ordem: d 3 y d + y 3 p()d2 d + q()dy + r()y = s() 2 d pode-se escrever essa equação diferencial de 3ª ordem na seguine forma de sisema: x 1 () x 1 () 0 x 2 () = x 2 () + 0. x 3 () q() p() r() x 3 () s() Generalizando para uma EDO linear de ordem n expressa na forma: d n y d n + µ n() dn 1 y d n µ 2() dy d + µ 1()y = s() (2.5)

29 Sisemas Homogêneos e Não Homogêneos 27 e omando as seguines igualdades: y() = dy d = d 2 y d = 2 d n 1 y d = n 1 x 1 () x 2() x 3() x n() pode-se escrever a equação (2.5) na seguine forma maricial: x 1 () x 1 () 0 x 2 () x 2 () 0 x 3 () x 3 () 0 = +. (2.6) ẋ n 1 () x n 1 () 0 x n () µ 1 () µ 2 ()... µ n 1 () µ n () x n () s() Porano, a equação (2.5) foi reescria na forma de um sisema de EDO's obendo a equação maricial da forma: Ẋ() = A()X() + b(), (2.7) com A() uma função maricial denida conforme a EDO que a originou e b() um veor coluna. Noe que a solução é um veor coluna X(). Observe que a função maricial A() quadrada de ordem n obedece o padrão de que a úlima linha sempre será composa por odas as funções µ i e o ouros elemenos seriam composos por 0 ou 1. O próximo propósio é mosrar que um PVI da forma (2.7) com uma condição inicial X 0 = X( 0 ) admiirá uma única solução. Teorema 2.3. Para odo ( 0, X 0 ) I Ω, al que I R e Ω R n, exise uma única solução ϕ() = ϕ() de (2.7) denida em I al que ϕ( 0 ) = X 0. Demonsração: A prova a seguir obedecerá o méodo das aproximações sucessivas conforme foi viso na prova do Teorema 1.7. Seja a sequência de funções (ϕ i ) i N consruída da seguine maneira: ϕ 0 = X 0 ϕ i () = X 0 + [A(s)ϕ i 1 (s) + b(s)]ds 0 (2.8) Para qualquer inervalo compaco [a, b] I, a sequência (ϕ i ) i N converge uniformemene em [a, b] para uma solução de (2.7). De fao, sejam: K = sup{ A(s) ; s [a, b]} e

30 Sisemas Homogêneos e Não Homogêneos 28 c = sup{ ϕ 1 (s) ϕ 0 (s) ; s [a, b]}. Noa-se que: ϕ 2 () ϕ 1 () = 0 A(s)(ϕ 1 (s) ϕ 0 (s))ds Kc ds = Kc( 0 ) Kc 0. 0 Usando esa úlima desigualdade, obém-se ϕ 3 () ϕ 2 () = 0 A(s)(ϕ 2 (s) ϕ 1 (s))ds K 2 c s 0 ds = K2 c( 0 ) 2 0 2! 0 0 A(s)(ϕ 1 (s) ϕ 0 (s)) ds A(s)(ϕ 2 (s) ϕ 1 (s)) ds = K2 c ! Generalizando: ϕ n+1 () ϕ n () Kn c 0 n. (2.9) n! Por indução, suponha o resulado verdadeiro para n e prova-se para n + 1: ϕ n+2 () ϕ n+1 () = Pela hipóese de indução 2.9 segue que 0 A(s)(ϕ n+1 () ϕ n ())ds 0 A(s)(ϕ n+1 () ϕ n ()) ds. ϕ n+2 () ϕ n+1 () Como 0 < b a, segue que 0 K n+1 c(s 0 ) n n! ds = Kn+1 c( 0 ) n+1 (n + 1)! Kn+1 c 0 n+1. (n + 1)! para odo n. max ϕ n+1() ϕ n () Kn c(b a) n [a,b] n! Toma-se agora a série de aplicações obida escrevendo ϕ i () da seguine forma: ϕ i () = ϕ 0 ()+(ϕ 1 () ϕ 0 ()) + (ϕ 2() ϕ 1 ()) + +(ϕ i 1() ϕ i 2 ()) + (ϕ i() ϕ i 1 ()), i 1 i 1 K ϕ i () = ϕ 0 () + (ϕ j+1 () ϕ i ()) ϕ 0 () + j c b a j. j! j=0 K Como n c b a n n! converge, em-se que ϕ i converge uniformemene pelo Tese de n=0 Weiersrass 1. Seja enão ϕ() o limie ponual de ϕ i (). Fazendo i ender ao innio em (2.8) em-se que, para odo I, j=0 ϕ() = X 0 + [A(s)ϕ(s) + b(s)]ds. 0 1 A condição f n + é garanida pela exisência de uma série convergene c n de consanes posiivas ais que f n () c n para odo M. Nesas condições, o ese de Weiersrass arma que a série f n converge uniformemene em M para f k M R n

31 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 29 Derivando com respeio a, verica-se que ϕ() saisfaz (2.7). Ainda fala mosrar a unicidade. Suponha que φ() seja oura função que saisfaça (2.7). Assim para odo I, φ() = X 0 + [A(s)φ(s) + b(s)]ds. 0 Seja m = sup{ φ() ϕ 1 () }, [a, b], obém-se: φ() ϕ 2 () = 0 A(s)(φ(s) ϕ 1 (s))ds Km ds = Km( 0 ) Km 0. 0 Usando a úlima desigualdade obém-se φ() ϕ 3 () = 0 0 A(s)(φ(s) ϕ 2 (s))ds K 2 m(s 0 ) ds = K2 m( 0 ) 2 2! 0 0 A(s)(φ(s) ϕ 1 (s)) ds A(s)(φ(s) ϕ 2 (s)) ds K2 m ! Provando por indução, similarmene como a úlima prova por indução feia, chega-se que: φ() ϕ n () = Kn 1 m (n 1)! 0 n 1 Kn 1 m (n 1)! (b a)n 1, n ou seja, a série φ() ϕ j () converge uniformemene pelo Tese de Weiersrass. j=0 Porano, a diferença φ() ϕ j () converge ambém a zero, o que implica: φ() = lim n ϕ n () = ϕ(). Desa forma, mosrou-se que a solução enconrada é única. 2.2 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes Nessa seção será abordado o esudo dos sisemas lineares de EDO's para os sisemas homogêneos com os coecienes consanes. Deni-se Sisemas Lineares Homogêneos odos os sisemas da forma (2.7) al que b() seja o veor nulo. Além do caso homogêneo, a função maricial A() denida em (2.7) será composa apenas por valores consanes, ou seja a ij R para i, j 1,, n. O objeivo principal será mosrar como consruir a solução geral de um sisema de n equações lineares homogêneas com os coecienes consanes, iso é, de um sisema na forma: Ẋ() = AX() (2.10)

32 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 30 onde A é uma mariz quadrada de ordem n. Sabe-se que (2.10) é um caso especial de (2.7). Comoo já se sabe, o PVI admie uma única solução, comojá demonsrado no Teorema 2.3. O próximo passo é mosrar que as soluções obidas de (2.7) saisfazem a condição de ser um espaço veorial de dimensão nia. Assim, oda solução de (2.10) será escria como combinação linear dos elemenos de uma base. Seja V o conjuno de odos os veores x 1 () x 2 () X() = x n () que são soluções da equação veorial diferencial a a 1n Ẋ = AX, A = a n1... a nn (2.11) Para que V seja um espaço veorial, primeiro será vericado duas condições iniciais aravés do lema abaixo. Lema 2.4. Seja A uma mariz n n. Para quaisquer veores X e Y e qualquer consane real c, (a) A(cX)=cAX, (b) A(X+Y)=AX+AY. Demonsração: Considere: a a x 1 () x 1 () 1n A = x 2 () x 2 (), X() = e Y () =. a n1... a nn x n () x n () (a) Tem-se que ca n n X n 1 é um veor coluna do ipo W n 1 cuja a i-ésima componene do veor é dada por: w i = c a i1 x 1 + c a i2 x 2 + c a i3 x c a in x n, pode-se escrever W n () na forma: w i = c (a i1 x 1 + a i2 x 2 + a i3 x a in x n ). Tomando o veor A n n (cx n 1 ), pode-se escrevê-lo na forma veor coluna do ipo Z n 1 : z i = a i1 (c x 1 ) + a i2 (c x 2 ) + a i3 (c x 3 ) a in (c x n,.

33 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 31 e pode-se escrever Z n () na forma: z i = c (a i1 x 1 + a i2 x 2 + a i3 x a in x n ). Comparando os resulados, concluí-se que w i () = z i (), i {1, 2,, n}, provando assim a primeira pare do lema. (b) A i-ésima componene do veor A(X + Y ) pode ser escria na forma: a i1 (X 1 + Y 1 ) + a i2 (X 2 + Y 2 ) + a i3 (X 3 + Y 3 ) + + a in (X n + Y n ). (2.12) realizando as disribuivas, a expressão (2.12) pode ser escria na forma: a i1 X 1 + a i2 X 2 + a i3 X a in X n + a i1 Y 1 + a i2 Y 2 + a i3 Y a in Y n. Observa-se que essa é a noação da i-ésima componene da soma enre os veores AX + AY. Porano: A(X + Y ) = AX + AY. Teorema 2.5. Sejam X() e Y () duas soluções de (a) c X() é solução para qualquer consane real c. (b) X() + Y () é solução ambém. Demonsração: A parir do Lema 2.4, prova-se que: (a) Se X() é solução enão: Ẋ() = A X(). Enão: d[c X()] d = c dx() d = c Ẋ() = c A X() = A (c X()). Logo, c X() saisfaz a equação diferencial Ẋ() = A X() e porano c X() é solução ambém. (b) Se X() e Y ( ) são soluções enão: d[x() + Y ()] d = dx() d + dy () d Logo, X() + Y () é solução ambém. = A X() + A Y () = A [X() + Y ()]. Porano, se X() e Y () são soluções de Ẋ() = AX(), enão qualquer combinação linear a X() + b Y () ambém será solução. Assim, V é um subespaço veorial do espaço veorial das funções veoriais, o que é garanido pelo Teorema 2.5. Os próximos resulados irão provar que ese espaço possui dimensão igual a n inde n é a ordem da mariz A.

34 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 32 Teorema 2.6. (Tese para independência linear) Sejam X 1,X 2, X 3,, X n soluções de Ẋ = AX. Dado 0 enão X 1,X 2, X 3,, X n são soluções linearmene independenes se, e só se, X 1 ( 0 ),X 2 ( 0 ), X 3 ( 0 ),, X n ( 0 ) forem veores linearmene independenes. Demonsração: A maneira mais simples de realizar essa prova é usar a conraposiiva: Suponha que X 1,X 2, X 3,, X n são soluções linearmene dependenes, enão, exisem consanes c 1, c 2, c 3,, c n não odas nulas, ais que: Tomando = 0 na equação, obém-se c 1 X 1 + c 2 X 2 + c 3 X c n X n = c 1 X 1 ( 0 ) + c 2 X 2 ( 0 ) + c 3 X 3 ( 0 ) + + c n X n ( 0 ) = 0, 0 porano X 1 ( 0 ),X 2 ( 0 ), X 3 ( 0 ),, X n ( 0 ) são veores linearmene dependenes. Reciprocamene, suponha que para um cero 0, os valores para X 1,X 2, X 3,, X n deerminam veores linearmene dependenes em R n. consanes c 1, c 2, c 3,, c n, não odas nulas, ais que: 0 0 c 1 X 1 ( 0 ) + c 2 X 2 ( 0 ) + c 3 X 3 ( 0 ) + + c n X n ( 0 ) = 0 = 0. 0 Isso signica que exisem Adoando as mesmas consanes X 1 ( 0 ),X 2 ( 0 ), X 3 ( 0 ),, X n ( 0 ), consrói-se uma função veorial: φ() = c 1 X 1 () + c 2 X 2 () + c 3 X 3 () + + c n X n (). Esa função saisfaz (2.10) pois é uma combinação linear de soluções com φ( 0 ) = 0. Porano pelo Teorema 2.3, em-se que φ() = 0 para odo, implicando que X 1,X 2, X 3,, X n são soluções linearmene dependenes. Teorema 2.7. A dimensão do espaço V de odas as soluções do sisema linear homogêneo de equações diferenciais é n. Demonsração: Basa consruir uma base para V que conenha n elemenos. Seja

35 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 33 φ i (), i = 1,, n, n soluções do problema de valor inicial dx d = AX, X(0) = ei = onde e 1, e 2,, e n é a base canônica do R n. Por hipóese, para i = 1: para i = 2: assim sucessivamene. Para i = n: 1 0 φ 1 (0) = e 1 = 0, φ 2 (0) = e 2 = 0, φ n (0) = e n = 0. 1 Pelo Teorema 2.3 segue que φ i () exise para odo e é única , para 1 i n. (2.13) 0 0 Para mosrar que φ 1,, φ n é uma base de V, verica-se que o conjuno é lineramene independene. Sejam c 1,, c n R ais que c 1 φ 1 (0) + c 2 φ 2 (0) + c 3 φ 3 (0) + + c n φ n (0) = 0 (2.14) al que o zero do segundo membro de (2.14) represena o veor nulo em V. logo, c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e c n e n = 0 (2.15) Observa-se que e 1, e 2, e 3, e n deerminam uma base canônica em R n enão e 1, e 2, e 3, e n são linearmene independenes. Como a soma em (2.15) resula em zero, a única possibilidade de escrever essa soma é c 1 = 0, c 2 = 0, c 3 = 0,, c n = 0, implicando

36 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 34 em (2.14) que as soluções de V, deerminadas por φ 1, φ 2, φ 3,, φ n são linearmene independenes em V, condição comprovada no Teorema Para provar que φ 1, φ 2, φ 3,, φ n gera V, é preciso mosrar que oda solução X() de V pode ser escria como combinação linear das φ i. Seja X() uma solução qualquer de (2.10) al que X(0) = c, onde: c 1 c 2 c = c 3. Com essas consanes, consrói-se a seguine função: φ() = c 1 φ 1 () + c 2 φ 2 () + + c n φ n (). Sabe-se que φ() saisfaz (2.10) pois é uma combinação linear de soluções comprovado pelo Teorema 2.5. Por ouro lado, em-se: c 2 φ(0) = c 1 φ 1 (0) + c 2 φ 2 (0) + + c n φ n (0) = c c c n 0 = c 3 = X(0) Como X() e φ() saisfazem o mesmo sisema linear homogêneo de equações diferenciais e as condições inicias de X() e φ() são iguais para = 0, segue pelo Teorema 2.3, X() e φ() devem ser únicas. Porano, são iguais e pode-se assim escrever a igualdade: X() = c 1 φ 1 () + c 2 φ 2 () + + c n φ n () c n c 1 c n o que mosra que {φ 1, φ 2,, φ n } gera V Exponencial Maricial No início dessa subseção será úil lembrar de algumas propriedades sobre o espaço M n (R) = {A = (a ij ) n n ; a ij R; 1 i, j n}. Ese espaço é de dimensão nia, a saber n dim(m n (R)) = n 2 e para A M n (R) e norma denida por A = a ij saisfazendo: i,j=1 i) A 0, ii) A + B A + B, iii) AB A B,

37 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 35 iv) A n A n, v) λa = λ A, λ R, vi) A = 0 A = 0. Observe que x() = ce a é solução da equação diferencial escalar ẋ = ax para qualquer consane a. Assim é de se esperar que X() = e A v seja solução da equação diferencial veorial Ẋ = AX para odo veor v consane onde e A é uma mariz exponencial denida conforme abaixo: e A = I + A + A2 2 2! + + An n n! + (2.16) Noe que (2.16) é a série de MacLaurin da função escalar f(x) = e a. Para se usar essa expressão deve-se enão garanir a convergência de (2.16). Enão onde De fao, e A = S n = e A = A n n=0 n!, A M n(r). A n n=0 n! = lim S n; n n A j j=0 j! = I + A + + An n!. Será mosrado que (S n ) é de Cauchy 2, iso é, ɛ > 0, n 0 N al que m, n > n 0 ocorra Considere n = m + p, com p N e m+p A S n S m = S m+p S m = j m j=0 j! j=0 ou seja Como e a = S n S m < ɛ. S n S m A j m+p j! = A j j=m+1 m+p j=m+1 m+p j! j=m+1 A j j! m+p A j j=m+1 j! A j. (2.17) j! a j j=0 j! é convergene a R, enão ɛ > 0, n 0 N, m > n 0 e p N, êm-se m+p a j j=m+1 j! < ɛ. Sabendo que A R, enão para a = A, obêm-se m+p A j j=m+1 j! < ɛ, m > n 0 e p N. (2.18) 2 Uma condição necessária e suciene para que uma série f n (x), onde os ermos de f n são funções com o mesmo domínio D, convirja uniformene é que ɛ > 0 N al que n > N n+p j=n+1 f j(x) < ɛ, p N.

38 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 36 Por (2.17) e (2.18) verica-se que S n S m < ɛ comprovando assim que (2.16) converge uniformemene pelo Criério de Cauchy. Como a série (2.16) converge enão é diferenciável ermo a ermo e vale d d ea = A+A 2 + A An+1 n + = A[I +A+ A An n + ] = Ae A, (2.19) 2! n! 2! n! porano e A v é solução da equação diferencial uma vez que: d d ea v = Ae A v = A(e A v). Ẋ = AX para odo veor v consane, O Méodo dos Auovalores e dos Auoveores para deerminar Soluções Considere novamene um sisema de equações diferenciais homogêneo: x 1 a 11 a 1n Ẋ = AX, X =, A =. (2.20) a n1 a nn x n O objeivo agora é deerminar n soluções linearmene independenes X 1 (), X 2 (),, X n (). Analisando (2.20) verica-se que a derivada é a própria função muliplicada por uma mariz consane, ou seja, a solução em comporameno exponencial. Isso sugere que a função X() = e λ v, onde v é um veor consane, pode ser uma boa enaiva de ser solução de (2.20). De fao: e d d eλ v = λe λ v A(e λ v) = e λ Av. Logo X() = e λ v é uma solução de (2.20) se, e só se, λe λ v = e λ Av. Dividindo ambos os membros por e λ obem-se: Av = λv. (2.21) Porano, X() = e λ v é uma solução de (2.20) se, e só se, λ e v saisfazem (2.21). Denição 2.8. Um veor não-nulo v saisfazendo (2.21) é chamado de um auoveor ou veor próprio de A com auovalor ou valor próprio λ. A parir de (2.21) obém-se 0 = Av λv = (A λi)v. (2.22)

39 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 37 Sabendo que v é um veor não-nulo, enão a equação (2.22) em uma solução não rivial se, e só se, de(a λi) = 0. Porano os auovalores λ de A são as raízes da equação a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n 0 = de(a λi) = de, a n1 a n2 a nn λ e os auoveores de A são enão as soluções não nulas da equação (A λi)v = 0, para esses valores de λ. A parir do deerminane da mariz A λi obém-se um polinômio de grau n, chamado de polinômio caracerísico de A e indicado por p(λ). Para cada raíz λ i de p(λ) exise pelo menos um veor não nulo v i al que Av i = λ i v i. Todo polinômio de grau n 1 em pelo menos uma raiz complexa o que garane que oda mariz em pelo menos um valor próprio e consequenemene, pelo menos um veor próprio. Considerando que p(λ) possa vir a er n raízes disinas, pode-se dizer que oda mariz n n em no máximo n veores próprios linearmene independenes, pois o espaço de odos os veores em dimensão n. v 1 v v = 2 Observação 2.9. Seja v um veor de A com o valor próprio λ. Observa-se que: para qualquer consane c. v n A(cv) = cav = cλv = λ(cv) Porano, qualquer veor obido pelo produo de uma consane por um veor próprio de A ambém será um veor próprio de A. Para cada veor próprio de v i de A com valor próprio λ i, em-se uma solução X i () = e λ i v i de (2.20). Se A em n veores próprios linearmene independenes v 1,, v n com valores próprios λ 1,, λ n, enão v 1,, v n são soluções linearmene independenes de (2.20), conforme o Teorema (2.13), e X i (0) = v i. Pode-se enão escrever oda solução X() de (2.20) na forma: X() = c 1 e λ 1 v 1 + c 2 e λ 2 v c n e λn v n, (2.23) cuja solução será denominada como solução geral de (2.20). Teorema Quaisquer k auoveores de A, v 1,, v k, com valores próprios disinos λ 1,, λ k respecivamene, são linearmene independenes.

40 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 38 Demonsração: A prova será feia por indução sobre k, o número de auovalores disinos. Para k = 1 é imediao. Considere que quaisquer conjuno de n veores de A sejam linearmene independenes com n < k. Seja enão o conjuno v 1,, v n, v n+1 formado por veores próprios de A com seus respecivos valores próprios λ 1,, λ n, λ n+1, odos disinos enre si. Toma-se a seguine igualdade: c 1 v 1 + c 2 v c n v n + c n+1 v n+1 = 0, (2.24) onde c 1,, c n+1 são consanes a serem deerminadas. Aplicando A em ambos os membros de (2.24) obém-se: λ 1 c 1 v 1 + λ 2 c 2 v λ n c n v n + λ n+1 c n+1 v n+1 = 0. (2.25) Muliplicando (2.24) por λ 1 e subraindo o resulado de (2.25), (λ 2 λ 1 )c 2 v (λ n λ 1 )c n v n + (λ n+1 λ 1 )c n+1 v n+1 = 0. Tem-se por hipóese que v 2,, v n, v n+1 são linearmene independenes, consequenemene: (λ 2 λ 1 )c 2 = 0, (λ 3 λ 1 )c 2 = 0,, (λ n+1 λ 1 )c n+1 = 0. Como λ 2,, λ n, λ n+1 são disinos enre si, concluí-se que c 2, c 3,, c n+1 são odos nulos. A equação (2.24) implica que c 1 é zero ambém. Porano, v 1,, v n, v n+1 são linearmene independenes. Auovalores Complexos Se λ = α + iβ é um auovalor complexo de A com auoveor v = v 1 + iv 2, enão X() = e λ v é uma solução com valores complexos da equação diferencial (2.20). Noe que essa solução complexa é composa por duas soluções reais conforme o lema a seguir: Lema Se X() = Y () + iz() é uma solução com valores complexos de (2.20). Enão, ano Y () como Z() são soluções com valores reais de (2.20). Demonsração: Se X() = Y () + iz() é uma solução complexa de (2.20) enão: Ẋ() = Ẏ () + iż() = A(Ẏ () + iż()) = AẎ () + iaż(). Igualando as pares real e imaginária, obém-se Ẏ () = AY () e Ż() = AZ(), porano são soluções reais de (2.20). A função X() = e (α+iβ) (v 1 + iv 2 ) com valores complexos, pode ser expressa da forma: X() = e (α+iβ) (v 1 + iv 2 ) = e α [cos β + i sen β](v 1 + iv 2 ) = = e α [(v 1 cos β v 2 sen β) + i(v 1 sen β + v 2 cos β)]. Porano, Y () = e α (v 1 cos β v 2 sen β) (2.26)

41 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 39 e são soluções reais de (2.20). Z() = e α (v 1 sen β + v 2 cos β) (2.27) Observação Se v é um auoveor de A com o auovalor λ, enão v, o complexo conjugado de v, é auoveor de A com o auovalor λ. Agora será mosrado que as soluções Y () e Z() são linearmene independenes. Por absurdo, admie-se que Y () e Z() são soluções linearmene dependenes, ou seja, exisem k 1 e k 2 não nulos saisfazendo, Subsiuindo (2.26) e (2.27), obém-se k 1 Y () + k 2 Z() = 0. k 1 e α (v 1 cos β v 2 sen β) + k 2 e α (v 1 sen β + v 2 cos β) = 0. Simplicando oda a expressão por e α, pois e α > 0 para odo real k 1 (v 1 cos β v 2 sen β) + k 2 (v 1 sen β + v 2 cos β) = 0. Manipulando o primeiro membro, em-se v 1 [k 1 cos β + k 2 sen β] + v 2 [k 2 cos β k 1 sen β] = 0. Como v 1 e v 2 são linearmene independenes por hipóese (cada um dos auoveores complexos esão associados a auovalores complexos disinos), implica que Igualando as duas equações, e manipulando a igualdade, ém-se que k 1 cos β + k 2 sen β = 0, k 2 cos β k 1 sen β = 0. k 1 cos β + k 2 sen β = k 2 cos β k 1 sen β. (k 1 k 2 ) cos β + (k 1 + k 2 ) sen β = 0, ou seja exisem k 1 e k 2 não nulos ais que saisfazem a equação acima, o que implica que cos β e sen β são linearmene dependenes, o que é uma conradição. Observação Noe que no caso de auovalores complexos, as soluções são dadas em ermos da exponencial complexa. Assim rabalha-se no conjuno dos números complexos. Para descrever as soluções com variáveis reais, usa-se o Lema 2.11.

42 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 40 Auoveores Iguais Como o polinômio caracerísico de A pode er auovalores iguais, segue que a quanidade de veores próprios linearmene independenes será menor ou igual a n, pois um auovalor de muliplicidade algébrica n i pode gerar no máximo n i auoveores linearmene independenes. Seja k a quanidade de auoveores disinos, precisa-se enconrar n k soluções adicionais linearmene independenes. A esraégia resume-se em conruir uma écnica para enconrar essas soluções adicionais. Noe que: e para quaisquer λ, onde I é a mariz idenidade. e A = e (A λi+λi) = e (A λi) e λi v (2.28) e λi v = [I + λi + λ2 I 2 2 = [1 + λ + λ2 2 2! 2! + + λn I n n n! + + λn n n! + ]v + ]v = e λ v, Observação Se v saisfaz (A λi) m v = 0 para algum ineiro m, enão a série innia e (A λi) v converge e pois (A λi) k v = 0 k m. m 1 e (A λi) v = v + (A λi)v + + (m 1)! (A λi)m 1 v, m ermos Porano, pode-se escrever (2.28), com as devidas subsiuições: e A v = e λ [v + (A λi)v + + m 1 (m 1)! (A λi)m 1 v]. Para deerminar as n soluções linearmene independenes da equação diferencial Ẋ = AX, basar seguir os seguines passos:: (1) Se A for diagonalizável, iso é, possuir n auoveores v 1,, v n linearmene independenes, enão a equação diferencial independenes da forma e λ v. Ẋ = AX possuirá n soluções linearmene (2) Suponha que A possua apenas k auoveores linearmene independenes, com k < n, garanindo assim k soluções linearmene independenes de Ẋ = AX. Para enconrar as soluções adicionais, para cada auovalor λ de A, deermina-se odos os veores v para os quais (A λi) 2 v = 0, considerando que (A λi)v 0. Para cada um desses veores v deermina-se a solução adicional dada por pois m = 2. e A v = e λ [v + (A λi)v],

43 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 41 (3) Se ainda não for enconrado o número de soluções suciene, reoma-se o mesmo procedimeno, porém agora buscando v, para λ, um auovalor de A al que (A λi) 3 v = 0 com (A λi) 2 v 0. Para cada um desses veores v obém-se as seguines soluções adicionais de Ẋ = AX e A v = e λ [v + (A λi)v + 2 2! (A λi)2 v]. (4) Coninua-se procedendo dessa maneira aé enconrar, nalmene, as n k soluções adicionais linearmene independenes. A jusicaiva dos passos dados aneriormene pode ser enconrada em [6] e baseiase na Forma de Jordan, ver [18]. É imporane ressalar nesse momeno, que algumas provas, por serem fundamenadas na Álgebra Linear, não serão dadas, porém são de exrema imporância para a consaação de resulados desse rabalho. O lema a seguir garane a ecácia do algorimo apresenado aneriormene, que será aceio sem demonsração. Lema Suponha que o polinômio caracerísico de A enha k raízes disinas λ 1,,λ k com muliplicidades n 1,, n k respecivamene. Suponha que A em somene m j < n j auoveores linearmene independenes associados ao auovalor λ j. Enão, a equação (A λ j I) 2 v = 0 em no mínimo m j + 1 soluções independenes. De um modo geral, se a equação (A λ j I) m v = 0 em somene k j < n j soluções independenes, enão a equação (A λ j I) m j+1 v = 0 em no mínimo k j + 1 soluções independenes. A imporância desse lema é garanir que para um dado ineiro d j, com d j < n j, al que a equação (A λi) d j v = 0 em no mínimo nj soluções linearmene independenes, logo para cada auovalor λ j de A pode-se calcular n j soluções linearmene independenes de Ẋ = AX da forma: X() = e λ j [v + (A λ j I)v + + Soluções Marizes Fundamenais d j 1 (d j 1)! (A λ yi) d j 1 v]. Se X 1 (),, X n () são n soluções linearmene independenes da equação diferencial enão oda solução X() pode ser escria da forma: Ẋ() = AX() (2.29) X() = c 1 X 1 () + c 2 X 2 () + + c n X n (). (2.30)

44 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 42 Seja X() a mariz n n cujas colunas são X 1 (),, X n (), enão oda solução de (2.30) pode ser escria da forma concisa X() = X()C onde c 1 c 2 C =. Denição Uma mariz n n X() é chamada uma solução mariz fundamenal de (2.29) se suas colunas formam um conjuno de n soluções linearmene independenes de (2.29). Lema Uma mariz X() é uma solução mariz fundamenal de (2.29) se, só se, Ẋ = AX() e de X(0) 0. Demonsração: As n colunas de X() serão escrias na forma X 1 (),, X n () obendo assim: Ẋ() = ( X 1 (),, X n ()) e Porano, c n AX() = (AX 1 (),..., AX n ()). X 1 () = AX 1 (),, X n () = AX n () são equivalenes à única equação maricial Ẋ() = AX(). Além disso, as n soluções X 1 (),, X n () de (2.29) são linearmene independenes se, e só se, X 1 (0),, X n (0) são veores linearmene independenes de R n, pelo Teorema Ou seja, X() é uma solução mariz fundamenal de (2.29) se, e só se, Ẋ() = AX() e de X(0) 0. Lema A função com valores mariciais e A é uma solução mariz fundamenal de (2.29). Demonsração: Conforme (2.19), mosra-se que e A é uma solução de (2.29). Além disso, seu deerminane calculado para 0 = 0 é 1 pois e A 0 = I. Porano pelo Lema 2.17, e A é uma solução maricial de (2.29). Lema Sejam X() e Y () duas soluções marizes fundamenais de (2.29). Enão exise uma mariz consane C al que Y () = CX(). Demonsração: Como X() e Y () são soluções marizes fundamenais, enão as colunas deerminam um conjuno de soluções linearmene independenes de (2.29). Porano, pode-se escrever cada coluna de Y () como combinação linear das colunas X(), ou seja, exisem consanes c j 1,,cj n ais que Y j () = c j 1 X 1 () + cj 2 X 2 () + + cj nx n (). (2.31)

45 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 43 Seja C a mariz (c 1, c 2,, c n ) onde c j 1 c j c j 2 =. c j n Enão Y () = X()C. Teorema Seja X() uma solução mariz fundamenal da equação diferencial (2.29). Enão e A = X()X 1 (0). Demonsração: Pelos Lemas 2.18 e 2.19 exise uma mariz consane C al que e A = X()C. (2.32) Subsiuindo = 0, obém-se I = X(0)C, rabalhando ambos os membros X 1 (0)I = X 1 (0)X(0)C, X 1 (0) = IC, X 1 (0) = C, rocando C em (2.32), conclui-se que e A = X()X 1 (0). Abaixo, alguns resulados que serão necessários para o desenvolvimeno da eoria. Teorema Se λ 1, λ 2,, λ k são auovalores disinos de A, o qual λ j em muliplicidade n j e n 1 + n n k = n e se ρ é um número maior que a pare real 3 de λ 1,, λ k, al que enão exise uma consane K > 0 al que de λ k ρ > max j=1,,k R(λ j) (2.33) e A Ke ρ, 0. (2.34) 3 Considerando que λ k seja um auovalor complexo, a noação R(λ k ) refere-se apenas a pare Real

46 Sisemas Lineares Não Homogêneos 44 Demonsração: Pelo Teorema 2.20, a solução X() pode ser expressa na forma Pela hipóese, pode-se escrever a solução X() na forma X() = k j=1 X() = e A X(0). (2.35) n j 1 e λj [ i i=0 i! (A λ ji) i ] v j, com 0 <. (2.36) Combinando (2.35) com (2.36) noa-se que cada elemeno da mariz e A é da forma k j=1 p j ()e λ j, onde p j () é um polinômio de grau não maior que n j 1. Se ρ foi escolhido saisfazendo a desigualdade (2.33), enão k e λ k = k e R(λ k) < e ρ, para sucienemene grande, e odo ermo do somaório k j=1 p j ()e λ k é no máximo Me ρ (0 ) para alguma consane M. Uma vez que, são no máximo n 2 ermos na mariz e A, em-se a garania de (2.34) com K = Mn 2, onde M é o maior dos n 2 valores de M. Corolário Se a pare real de odos os auovalores de A forem negaivos, enão oda solução X() do sisema (2.10) aproxima-se de zero quando. Mais precisamene, exisem consanes δ > 0, ε > 0, ais que X() δe ε. Demonsração: Como X() é solução e omando um veor consane c, pode-se escrever X() na forma X() = e A c. Toma-se um ε > 0 al que ε seja maior ao máximo das pare reais dos auovalores de A, enão pelo Teorema 2.21, pode-se escrever a seguine desigualdade: X() = e A c e A c K c e ε = δe ε (0 < ) onde δ = K c. 2.3 Sisemas Lineares Não Homogêneos Nesa seção serão abordados os sisemas não homôgeneos do ipo: Y = A()Y + b() (2.37) onde A() é uma mariz quadrada de ordem n e b() um veor, ambos são considerados conínuos no inervalo I.

47 Sisemas Lineares Não Homogêneos 45 Pelo Teorema 2.3 em-se que a equação diferencial (2.37) associada a uma condição inicial, caracerizando assim um PVI, admiirá sempre uma única solução. Todo o desenvolvimeno apresenado a seguir, consise em enconrar uma expressão para essa solução. Para consruir a solução de (2.37), considere Θ() uma mariz fundamenal do sisema homogêneo Y = A()Y denida em I. Suponha que ϕ 1 () e ϕ 2 () sejam soluções do sisema (2.37) em I, enão ϕ 1 () ϕ 2 () é solução do sisema homogêneo em I, e Subraindo ambas equações, obém-se: ϕ 1() = A()ϕ 1 () + b(), ϕ 2() = A()ϕ 2 () + b(). ϕ 1() ϕ 2() = A()[ϕ 1 () ϕ 2 ()] [ϕ 1 () ϕ 2 ()] = A()[ϕ 1 () ϕ 2 ()], saisfazendo assim o sisema homogêneo Y = A()Y. Sendo c um veor consane, pode-se escrever: ϕ 1 () ϕ 2 () = Θ()c, ϕ 1 () = Θ()c + ϕ 2 (). (2.38) A parir de (2.38) percebe-se que para enconrar a solução geral de (2.37) é preciso enconrar uma solução paricular de (2.37). Exise um méodo simples, conhecido por Variação de Consanes para deerminar uma solução especíca de (2.37), conhecendo uma mariz fundamenal do sisema homogêneo Y = A()Y. Para a demonsração do próximo eorema, as soluções de (2.37) serão da forma: onde v() é um veor a ser deerminado. ϕ() = Θ()v(), (2.39) Teorema Se Θ() é uma mariz fundamenal de y = A()y em I R, enão a função ϕ() = Θ() 0 Θ 1 (s)b(s)ds é a solução de (2.37) saisfazendo a condição inicial ϕ( 0 ) = 0 e válido em I. Demonsração: Supondo que a solução ϕ() de (2.37) exisa, enão subsiuindo (2.39) em (2.37) e usando a regra do produo, ém-se ϕ () = Θ ()v() + Θ()v () = A()Θ()v() + b(). Sabendo que Θ() é uma mariz fundamenal do sisema homogêneo, enão Θ () = A()Θ. Subsiuindo na equação acima A()Θ()v() + Θ()v () = A()Θ()v() + b()

48 Sisemas Lineares Não Homogêneos 46 Θ()v () = b(). Como Θ() não é uma mariz singular em I, muliplica-se a igualdade anerior por Θ 1 (), e inegrando obem-se: v() v( 0 ) = 0 Θ 1 (s)b(s)ds, noe que, por hipóese ϕ( 0 ) = 0 Θ( 0 )v( 0 ) = 0 v( 0 ) = Θ 1 ( 0 )0 v( 0 ) = 0, enão, e, porano, (2.39) se orna v() = Θ 1 (s)b(s)ds, [ 0, ] I, 0 ϕ() = Θ() Θ 1 (s)b(s)ds, [ 0, ] I. (2.40) 0 Assim, se (2.37) em um solução ϕ() na forma (2.39), enão ϕ() é dada por (2.40). Reciprocamene, dene-se ϕ() por (2.40), derivando (2.40) e uilizando o Teorema Fundamenal da Cálculo, em-se ϕ () = Θ () 0 = A()Θ() Θ 1 (s)b(s)ds + Θ()Θ 1 ()b() 0 Θ 1 (s)b(s)ds + b() e usando novamene (2.40) ϕ () = A()ϕ() + b(), para odo perencene a I. Reomando (2.40) subsiuindo 0 em, em-se: ϕ( 0 ) = Θ( 0 ) 0 0 Θ 1 (s)b(s)ds, ϕ( 0 ) = 0. Combinando o Teorema 2.23 com as informações iniciais desa seção, observa-se que oda solução F () de (2.37) em I em a forma: F () = F H () + ϕ(), onde ϕ() é a solução paricular de (2.37) saisfazendo a condição inicial ϕ( 0 ) = 0, e F H é a solução do sisema homogêneo saisfazendo a mesma condição inicial em 0.

49 3 Esudo de Esabilidade Nese capíulo serão apresenadas as denições sobre esabilidade de pono de equilíbrio de um sisema auônomo e os resulados principais. As referências usadas na consrução dese capíulo foram [1, 2]. 3.1 Ponos de Equilíbrio Considere o sisema auônomo: x = f(x) (3.1) onde a função veorial f de n componenes esa denida em um abero D R n. Assumise que f é de classe C 1, garanindo assim a exisência e a unicidade de soluções de um PVI. O comporameno das soluções será indicado por curvas fornecendo assim uma análise qualiaiva das soluções de (3.1), sem necessidade de expressar analiicamene as soluções. A solução de (3.1) que em 0 vale x 0 será denoada por ϕ(; 0, x 0 ). Seja enão um sisema auônomo ẋ 1 () = f 1 (x 1 (), x 2 (),, x n ()) ẋ 2 () = f 2 (x 1 (), x 2 (),, x n ()) ẋ n () = f n (x 1 (), x 2 (),, x n ()). O objeivo é ober uma descrição das soluções do sisema acima ou uma ideia do comporameno das soluções. Observe que uma solução dada por (x 1 (), x 2 (),, x n ()) descreve uma curva denominada como a Órbia da solução conida no espaço deerminado pelo conjuno de ponos (x 1 (), x 2 (),, x n ()), cujo espaço será denominado por espaço de fase das soluções do sisema. Para cada condição inicial do sisema, obém-se uma órbia descria pela solução enconrada. O conjuno de odas as órbias em R n será denido como rerao de fase das soluções do sisema. 47

50 Ponos de Equilíbrio 48 Exemplo 3.1. Seja o sisema ẋ() = y() ẏ() = x() Sabendo que uma solução desse sisema é dada por x() = cos e y() = sen, o conjuno de ponos dados por (, cos, sen ), R descreve uma hélice no espaço ridimensional. Para esse exemplo, eliminando, obemos o plano R 2 denindo enão o espaço de fase (plano de fase, nese caso) do sisema, e a circunferência descria pela equação paramérica (cos, sen ) com R será a órbia da solução desse sisema. Denição 3.2. Seja y = y 0 um pono críico isolado de (3.1), ou seja f(y 0 ) = 0. Um pono críico é um pono de equilíbrio de (3.1) e a solução y() = y 0, R, é chamada solução de equilíbrio. Denição 3.3. A solução de equilíbrio y 0 de (3.1) é esável se para cada numero ɛ > 0 é possível enconrar um número δ > 0 (pode depender de ɛ apenas) al que se Ψ() é qualquer solução de (3.1) endo Ψ( 0 ) y 0 < δ, implica Ψ() y 0 < ɛ, 0. A solução de equilíbrio y 0 é denominada insável se esa não for esável. Figura 3.1: (a) Solução de equilíbrio y 0 esável (b) Solução de equilíbrio y 0 assinoicamene esável. De uma forma mais geral, pode-se denir esabilidade de uma solução qualquer do sisema (3.1). Denição 3.4. A solução de equilíbrio y 0 é assinoicamene esável se for esável e exisir um número δ 0 > 0 al que se Ψ() é qualquer solução de (3.1) endo Ψ( 0 ) y 0 < δ 0, enão lim + Ψ() = y 0. Embora nese rabalho seja raado somene o caso auônomo, as denições dadas aneriormene podem ser generalizadas para o caso não auônomo ẋ = f(, x). Denição 3.5. A solução Ψ() é esável se para odo ɛ > 0 e odo 0 0 exise um δ > 0 (δ depende de ɛ e possivelmene 0 ) al que sempre que Ψ() y 0 < δ, a solução ϕ(; 0, y 0 ) exise para odo > 0 e saisfaz Ψ() ϕ(; 0, y 0 ) < ɛ para odo > 0.

51 Sisemas Lineares 49 Denição 3.6. A solução Ψ() é assinoicamene esável se for esável e exisira δ 0 > 0 al que sempre que Ψ() y 0 < δ 0, a solução ϕ(; 0, y 0 ) aproxima-se da solução Ψ() quando, ou seja, lim ϕ(; 0, y 0 ) Ψ() = 0. Teorema 3.7. (Desigualdade de Gronwall) Seja K uma consane não negaiva e sejam f e g funções não-negaivas conínuas num inervalo fechado [α, β], saisfazendo a inequação para α β. Enão, f() K + α f(s)g(s)ds, f() Ke α g(s)ds, α β. Demonsração: Seja U() = K + α f(s)g(s)ds, e noe que U(α) = K. Por hipóese, f() U() e pelo Teorema Fundamenal do Cálculo e como g() 0, obém-se U () = f()g() U()g(), α β. Muliplicando esa inequação por e α g(s)ds obém-se U ()e α g(s)ds U()g()e α g(s)ds, logo, U ()e α g(s)ds U()g()e α g(s)ds 0, (U()e α g(s)ds ) 0. Fazendo a mudança da variável para z e inegrando na variável z de 0 aé, ém-se que U()e α g(s)ds U(α) 0, ou seja, U()e α g(s)ds K 0, U()e α g(s)ds K, U() Ke α g(s)ds, enão f() U() Ke α g(s)ds, [α, β] obendo assim a desigualdade desejada. 3.2 Sisemas Lineares Anes da abordagem geral, no caso (3.1), primeiro prova-se um resulado de esabilidade da solução de equilíbrio do caso linear, ẋ = Ax, onde A é uma mariz n n consane.

52 Sisemas Lineares 50 Teorema 3.8. (i) Se odos os auovalores de A com pare real não-posiiva e iguais a zero forem de muliplicidade algébrica iguais a um, enão a solução y 0 = 0 de ẋ = Ax é esável. (ii) Se (e somene se) odos os auovalores de A iverem a pare real negaiva, enão a solução y 0 = 0 de (3.1) é assinoicamene esável. (iii) Se um ou mais auovalores de A possuirem a pare real posiiva, enão a solução y 0 = 0 é insável. Demonsração: (i) Basa mosrar que dado ɛ > 0 exise δ > 0 al que Ψ( 0 ) < δ implica Ψ() < ɛ, 0. Como Ψ() é solução de ẋ = Ax, segue que Ψ() = e ( 0)A Ψ( 0 ) e pelo Teorema 2.21, oma-se 0 > ρ > max R(λ j ) para que exisa k > 0 al que e ( 0)A ke ρ( 0), 0. Assim, dado ɛ > 0 basa omar 0 < δ < ɛ k, pois Ψ() = e ( 0)A Ψ( 0 ) = e ( 0)A Ψ( 0 ) ke ρ( 0) δ < e ρ( 0) ɛ < ɛ, 0 Se a pare real do auovalor for nula, é imediao supondo que odos os auovalores são nulos e omando ρ = 0 no Teorema (ii) Pelo Corolário 2.22, em-se que Porano Ψ() y 0 δe ɛ. lim Ψ() y 0 lim + + δe ɛ, lim Ψ() y enão, quando ende ao innio emos a igualdade Ψ() y 0 = 0 Ψ() y 0 = 0 Ψ() = y 0, 0. (iii) Segue da úlima pare do Teorema Considere agora o sisema y = (A + B())y, (3.2) onde A é uma mariz consane e B() conínua e "pequena"no senido de que lim B() = 0. Para um muio grande, espera-se enão enconrar soluções de (3.2) similares às equações de y = Ay. Teorema 3.9. Suponha que odos os auovalores de A possuam a pare real negaiva e B() seja conínua para 0 < < com lim B() = 0. Enão a solução nula (y 0 = 0) de (3.2) é globalmene assinoicamene esável.

53 Sisemas Lineares 51 Demonsração: Dado qualquer ( 0, y 0 ), 0 > 0, segue do Teorema 2.3 com A() = A + B(), que a solução Ψ(; 0, y 0 ) é única e exise para odo 0. O problema consise em mosrar que essa solução arbirária que em 0 vale y 0 saisfaz as denições 3.5 e 3.6. Pelo Teorema 2.23 e usando B()y como um "ermo não homogêneo", pode-se escrever a solução pela equação inegral Ψ(; 0, y 0 ) = e ( 0)A y 0 + e ( s)a B(s)Ψ(s; 0, y 0 )ds, 0 < (3.3) 0 Pela hipóese em A, em-se que e ( 0)A saisfaz (2.34) com ρ e K previamene denidos. Desde que lim B() = 0, dado qualquer η > 0, exise um número T > 0 al que B() < η para > T. Similarmene a (2.38) e usando agora o valor inicial Ψ(T, 0, y 0 ), em-se Ψ(; 0, y 0 ) = e ( 0)A Ψ(T ; 0, y 0 ) + e ( s)a B(s)Ψ(s; 0, y 0 )ds, T <. 0 Uilizando novamene (2.34) com 0 = T e B() < η para > T, obém-se Ψ(; 0, y 0 ) Ke ρ( T ) Ψ(T ; 0, y 0 ) + Kη e ρ( s) Ψ(s; 0, y 0 ) ds, T <. 0 Muliplicando ambos os lados por e ρ, obém-se Ψ(; 0, y 0 ) e ρ Ke ρ( T ) Ψ(T ; 0, y 0 ) e ρ + Kηe ρ e ρ( s) Ψ(s; 0, y 0 ) ds, T <, 0 ou seja, Ψ(; 0, y 0 ) e ρ Ke ρt Ψ(T, 0, y 0 ) + Kη e ρs Ψ(s; 0, y 0 ) ds, T <. 0 Aplicando a Desigualdade de Gronwall, obém-se Ψ(; 0, y 0 ) K Ψ(T ; 0, y 0 ) e (ρ Kη)( T ), T <. (3.4) A parir desse resulado pode-se concluir que se 0 < η < ρ K, a solução Ψ(;, 0, y 0 ) irá se aproximar de zero, porém resa mosrar que a solução y 0 de (3.2) é esável. Para isso, deve-se enão enconrar um limiane para Ψ(T ; 0, y 0 ). Reornando em (3.3) e agora resringindo no inervalo 0 T, em-se Ψ(; 0, y 0 ) Ke ρ( 0) y 0 + KK 1 0 e ρ( s) Ψ(s; 0, y 0 ) ds, onde K 1 = max 0 s T B(s). Muliplicando por eρ e aplicando a Desigualdade de Gronwall obém-se Ψ(; 0, y 0 ) Ke ρ( 0)+KK 1 ( 0 ), como ρ( 0 ) < 0 enão porano Ψ(; 0, y 0 ) Ke KK 1( 0 ), (3.5) Ψ(T ; 0, y 0 ) Ke KK 1(T 0 ). (3.6)

54 Sisemas Lineares 52 Subsiuindo (3.6) em (3.4) obém-se Ψ(; 0, y 0 ) K 2 e K 1K(T 0 ) e (ρ Kη)( T ), T <. (3.7) Seja K 2 = max {Ke K 1K(T 0 ), K 2 e K 1K(T 0 ) }, enão, de (3.5) e (3.7) em-se Ψ(; 0, y 0 ) K 2 y 0, para 0 T, K 2 y 0 e (ρ Kη)( T ), para T <. Tomando δ < ɛ K 2 enão, se y 0 < δ implica Ψ(; 0, y 0 ) < ɛ para odo 0. Porano, a solução nula é assinoicamene esável, como a prova é válida para odo 0, pode-se dizer enão que a solução nula é globalmene assinoicamene esável. Como consequência imediaa segue o seguine resulado: Corolário Suponha que odos os auovalores de A possuam pare real negaiva, enão e A Ke ρ, 0, para algumas consanes K > 0, ρ > 0. Seja B() conínua para 0 < e que exisa T > 0 al que 0 <, B() < ρ K, T, enão a solução nula de (3.2) é globalmene assinoicamene esável.

55 4 Aplicações Nese capíulo serão apresenadas algumas aplicações clássicas das equações diferenciais ordinárias para enão aplicar odos os coneúdos apresenados previamene. Foram rês modelos escolhidos obedecendo a ordem crescene do grau de diculdade que cada um apresena. O primeiro modelo consise no esudo do crescimeno populacional de uma cera espécie e é dado por uma EDO linear de primeira ordem. O segundo problema raa de uma uma EDO de segunda ordem. Já o modelo presa-e-predador foi escolhido por ser represenado aravés de um sisema de EDO s não-linear cuja solução é de difícil obenção al que esuda-se o comporameno uilizando recursos compuacionais grácos. 4.1 Dinâmica Populacional: Malhus e Verhuls Esa primeira aplicação é baseada na referência [9]. A busca por modelos que descrevessem populações ao longo de um empo, permiindo assim uma previsão sobre a população de qualquer espécie, sempre foi uma das prioridades para esudos envolvendo equações diferenciais. A ideia inicial sobre os esudos a respeio de crescimeno de população baseou-se de que essa variação fosse proporcional à população inicial e à variação do empo. O primeiro modelo a ser esudado foi apresenado por Thomas Rober Malhus ( ), publicado em 1798 enunciado enão a Lei de Malhus. Seja P = P () o oal de indivíduos uma cera população em um insane. Conforme a Lei de Malhus, nascimenos e falecimenos ocorrerão no decorrer de um cero inervalo de empo. Considere o número de nascimenos por αp () e o número de falecimenos por βp () al que α e β são os índices de naalidade e moralidade, respecivamene. Sendo assim P = P ( + ) P (), P = αp () P βp (), P = (α β), P (), 53

56 Dinâmica Populacional: Malhus e Verhuls 54 P = (α β)p (). Tomando 0 obém-se da equação de diferenças, a equação diferencial A solução de (4.1) será P () = (α β)p (). (4.1) P () = P 0 e (α β), P (0) = P 0. (4.2) Se α = β implica que a axa de naividade é igual a axa de moralidade, ou seja, a população permanecerá consane para odo 0 al que P () = P 0 (veja a gura 4.1a). Se α > β enão a axa de naalidade é maior que o de moralidade fazendo com que a população cresça exponencialmene com o empo (veja a gura 4.1b). Se α < β a população diminuirá endendo a exinção a medida que aumena (veja a gura 4.1c). Figura 4.1: Modelos malhuseanos de crescimeno populacional. Em relação ao modelo de Malhus verica-se que esse modelo aplica-se em poucos conexos de crescimeno populacional pois ele falha ao induzir que o crescimeno da população ende ao innio, fao que não ocorre na vida real. Levando em cona esses faores inibidores fazendo com a população esabilize num limiane máximo e/ou mínimo, Verhuls propôs, em 1837, que o crescimeno populacional ainja um limie máximo dado por P = lim P (), limiando assim o crescimeno populacional, conradizendo a ideia do crescimeno innio induzido pela Lei de Malhus. Também será considerado que a variação da população eseja sujeia a um faor de proporcionalidade inibidor f(p ). com Enão P () = P f(p ) f(p ) = λ( P P P ), λ > 0.

57 Dinâmica Populacional: Malhus e Verhuls 55 enão, expliciando f(p ) na equação diferencial, obém-se Comparando (4.3) com (4.1) ém-se dp d = λp (1 P P ), λ > 0. (4.3) α β = λ λ P. Noe que a axa de crescimeno diminui conforme a população aumena e ende a zero quando 0. As únicas soluções de equilíbrio de (4.3) são P () = 0 e P () = P, 0. Considere agora P () 0 e P () P, assim para resolver (4.3), será usada a écnica de frações parciais para resolver a inegral. Ou seja, a parir P () = λp ()(1 P () ), P endo P () 0 e P () P, dividindo ambos os lados por P ()(1 P () P ): P () P ()(1 P () P ) = λ. 1 P ()(1 P () P () = λ. ) P Inegrando indenidamene na variável ambos os membros, 1 ( P (1 P P ) ) P d = λd (4.4) Obém-se 1 ( P (1 P P ) ) P d = ( 1 P + 1 (1 P P ) ) P d = onde C 1 é a consane de inegração 1 P P d + 1 (1 P = ln P ln 1 P P = ln + C P 1 P 1, P Subsiuindo novamene em (4.4) e inegrando o 2º membro obém-se P ln = λ + C. 1 P P P ) P d =

58 Dinâmica Populacional: Malhus e Verhuls 56 Se, quando = 0, P (0) = P 0, ém-se ainda C = ln P 0 = ln P P 0, 1 P 0 P P P 0 logo, P ln = λ + ln P P 0. 1 P P P P 0 Manipulando convenienemene a igualdade, Enão porano P () = P 0 P e λ P P 0 + P 0 e λ = ln P (P P 0 ) P 0 (P P = λ, P (P P 0 ) P 0 (P P ) = eλ, P (P P 0 ) = P 0 (P P )e λ, P P P P 0 = P 0 P e λ P 0 P e λ, P (P P 0 + P 0 e λ ) = P 0 P e λ. P 0 P P e λ P 0 e λ + P 0 = P () = P P 0 P (P P 0 )e λ + P 0,. (4.5) [ P P 0 1]e λ + 1 Aravés de (4.5), vê-se que a população depende dos parâmeros λ, P 0 e P que esabelecem a equação diferencial e a condição inicial sendo uma função do empo, como era esperado. Volando em (4.3) em-se P = λp λ P 2, (4.6) P iso é, P como função de P é uma parábola de concavidade para baixo e os ponos P () = 0 e P () = P, como ponos de equilíbrios, onde a função é zero, e porano P () é consane nesses ponos. Como λ > 0, P cresce para 0 < P < P 2 e P decresce para P 2 < P < P. Pelo gráco em-se que o valor máximo de P ocorre quando P = P 2, iso é, o máximo da variação da população ocorre quando a população aingir a meade da população limie. Subsiuindo esse valor na equação para ober o empo M quando a variação da população é máxima, obém-se: P 2 = P 0 P (P P 0 )e λ M + P0, dividindo por P, (P P 0 )e λ M = P 0,

59 Dinâmica Populacional: Malhus e Verhuls 57 porano, e, enão e λ M = P P 0 P 0, M = 1 λ ln P P 0 P 0. Figura 4.2: Curva logísica conforme modelo de Verhuls. Para analisar o gráco de P = P (), considere enão: (i) P 0 < P 2 : omando no insane M al que P ( M ) = P 2 e subsiuindo em (4.3) obém-se dp d = λp 4 0, logo d 2 P d = 0, 2 ou seja, o pono = 0 é um pono de inexão de P (). (ii) P 0 = P 2 ém-se M = 0,

60 Sisema Massa e Mola: Um Modelo de 2ª Ordem 58 (iii) P 2 < P 0 < P, a curva P () não em pono de inexão pois a derivada sempre será posiiva, porano a população cresce endendo a P sem mudar concavidade. (iv) P 0 > P enão a curva não em pono de inexão e a derivada é negaiva. Próximo passo é analisar a concavidade da segunda derivada de P (). Volando em (4.6) obém-se P = P λ (1 2P P ), P = λ 2 (P 1 P P 2 ) (1 2P P ). Fazendo o esudo do sinal da segunda derivada, verica-se que a concavidade de P será para cima para no inervalo ]0; P 2 [ ]P ; [ e para baixo no inervalo ] ; 0[ ] P 2 ; P [ (veja Figura 4.2). A vanagem do modelo de Verhuls sobre o de Malhus esá principalmene no fao de levar-se em cona os efeios da superpopulação e, em consequência, P () enderá sempre a um valor P xado. 4.2 Sisema Massa e Mola: Um Modelo de 2ª Ordem Nesa seção, o enfoque será analisar a elongação de uma mola durane um cero empo, baseado na referência [1]. Vale observar que a resolução apresenada foi obida baseando-se na eoria dos capíulos aneriores de rabalho. Aravés da Segunda Lei de Newon pode-se descrever o deslocameno aravés de uma equação diferencial de segunda ordem pois esse movimeno é descrio aravés da aceleração. Considera-se o caso de um pequeno objeo de massa m esar xo em uma mola elásica de comprimeno l que se enconra suspensa sob um supore rígido horizonal (veja a Figura 4.3) podendo esar submerso a qualquer meio sofrendo as inuências exernas. As aplicações são diversas como por exemplo, o sisema de amorecedores de carro, reduzir o recuo de uma arma, esudos sismógrafos enre ouros. Figura 4.3: Sisema massa e mola

61 Sisema Massa e Mola: Um Modelo de 2ª Ordem 59 Nese caso será considerado que a massa se enconra inicialmene na posição de equilíbrio, pono ese que será adoado como a origem da função y() que fornece a posição da massa no insane. Se o deslocameno y() for para baixo, enão será posiivo como senido adoado de orienação. Considera-se que a força resauradora R da mola é da forma k l al que k é a consane de elasicidade da mola medida em N m. Para deerminar y(), calcula-se a força resulane agindo sobre a mola; da posição de equilíbrio concluí-se que k l = mg. A força R é a força resauradora da mola al que sua auação sempre é conrária ao movimeno do bloco, resaurando sempre a mola à posição de equilíbrio e será dada pela fórmula R() = k( l + y()). Para os próximos resulados, será necessário o seguine lema Lema 4.1. Seja y() = u()+iv() uma solução com valores complexos de ay +by +cy = 0, com a, b e c reais. Enão, y 1 () = u() e y 2 = v() são duas soluções reais de ay + by + cy = 0. Demonsração: Da hipóese, êm-se que: a[u() + iv()] + b[u() + iv()] + c[u() + iv()] = 0 a[u () + iv ()] + b[u () + iv ()] + c[u() + iv()] = 0 [au () + bu () + cu()] + i[av () + bv () + cv()] = 0, e da igualdade de números complexos êm-se au () + bu () + cu() = 0 e av () + bv () + cv() = 0, concluindo a prova Vibrações Livres Nesa subseção será desprezado qualquer elemeno exerno agindo sobre o sisema massa-mola que não alera o movimeno. Considerando o caso mais simples do movimeno livre não amorecido, obém-se a seguine equação my = P bloco + R, my = mg k( l + y), my = mg k l ky, my + ky = 0, y + k m y = 0, adoando ω 2 0 = k m, enão y + ω 2 0y = 0. (4.7)

62 Sisema Massa e Mola: Um Modelo de 2ª Ordem 60 Denoando pode-se reescrever (4.7) na forma Y () = y 1 () y 2 (), ẏ 1 () ẏ 2 () = 0 1 y 1 () ω0 2 0 y 2 (), porano o sisema é do ipo ẋ = Ax, em que A é uma mariz quadrada de ordem 2 com coecienes consanes. Para ese problema, ém-se A = 0 1 ω Calculando o polinômio caracerísico de A, obém-se ou seja, de λ 1 ω 2 0 λ λ 2 + ω 2 0 = 0, = 0, cujas soluções são os dois auovalores de A, λ 1 = ω 0 i e λ 2 = ω 0 i. Como os dois auovalores são disinos, enão é possível enconrar dois auoveores linearmene independenes para cada auovalor correspondene. Para λ 1 = ω 0 i, oma-se o seguine sisema para enconrar o auoveor v 1 ω 0 i 1 ω 2 0 ω 0 i x 1 () x 2 () = 0 0, e obém-se a solução x 1 () ω 0 ix 1 (), de onde conclui-se que v 1 = 1. Similarmene para ω 0 i λ 2 = ω 0 i enconra-se o auoveor v 2 = 1, al que a solução do sisema será dada ω 0 i Y () = a 1 e λ1 v 1 + a 2 e λ2 v 2 ; y 1 () y 2 () = a 1e ω 1 0i ω 0 i + a 2e ω 1 0i ω 0 i ; porém a solução da equação que buscamos é y() = y 1 () e enão y() = a 1 e ω0i + a 2 e ω0i. Desenvolvendo os expoenes complexos, obém-se y() = a 1 (cos ω 0 + i sen ω 0 ) + a 2 (cos ω 0 i sen ω 0 ). Uilizando o Lema 4.1 ém-se que a solução de (4.7) é dada por y() = c 1 cos ω 0 + c 2 sen ω 0. (4.8) Para conseguir analisar essa solução é conveniene reescrevê-la como função apenas do cosseno. Segue-se enão o seguine lema

63 Sisema Massa e Mola: Um Modelo de 2ª Ordem 61 <5 Figura 4.4: Relação enre δ e c 1 e c 2. Lema 4.2. Qualquer função y() da forma (4.8) pode ser escria sob a forma mais simples onde R = c c2 2 e δ = g 1 c 2 c 1. y() = R cos (ω 0 δ) (4.9) Demonsração: Basa mosrar que (4.8) e (4.9) são iguais. De fao, observando a Figura 4.4 obém-se que c 1 = R cos δ e c 2 = R sen δ, enão parindo de (4.9) R cos (ω 0 δ) = R cos ω 0 cos δ + R sen ω 0 sen δ = c 1 cos ω 0 + c 2 sen ω 0, Na Figura 4.5 apresena-se o gráco de y() = R cos (ω 0 δ). Esse movimeno é denominado como movimeno harmônico simples; R é a ampliude do movimeno, δ o ângulo de fase do movimeno, T 0 = 2π k ω 0 o período do movimeno e ω 0 = m a frequência naural do sisema. Figura 4.5: Gráco de y() = R cos (ω 0 δ) Vibrações Livres Amorecidas Será incluído um elemeno exerno, causando um amorecimeno no movimeno denominado como uma força D de resisência que o meio exerce sobre a massa m.

64 Sisema Massa e Mola: Um Modelo de 2ª Ordem 62 Essa força age sempre no senido oposo ao senido do movimeno de modo que seja direamene proporcional ao módulo da velocidade y, enão D = cy Nese caso, enão my = P bloco + R + D, my = mg k( l + y) cy, my = mg k l ky cy, my + cy + ky = 0, y + c m y + k m y = 0. Realizando a mesma abordagem em relação à seção anerior,obém-se o sisema de EDO s ẏ 1 () ẏ 2 () = 0 1 k m c m y 1 () y 2 (). (4.10) A mariz A = 0 1 k m c m e o polinômio caracerísico é dado por mλ 2 + cλ + k = 0 (4.11) al que os auovalores são λ 1 = c 2m + c2 4mk 2m e λ 2 = c 2m c2 4mk 2m, e a eles associa-se dois auoveores v 1 e v 2 linearmene independenes. Porano êm-se 3 casos para se discuir: (i) c 2 4mk > 0. Nese caso, λ 1 e λ 2 serão disinos e negaivos, porano oda solução de (4.10) em a forma y() = c 1 e λ 1 v 1 + c 2 e λ 2 v 2 ou seja, a solução geral de (4.11) em a forma y() = c 1 e λ 1 + c 2 e λ 2. (ii) c 2 4mk = 0. Nese caso, λ será único com muliplicidade algébrica 2. Porano para enconrar a solução, as eapas seguines obedecerão o Méodo dos Auovalores e dos Auoveores descrios na Seção conforme descrio em "Auovalores Iguais". Primeiramene, será calculado o auoveor v 1 = a b para λ = c 2m. Conforme as eapas, o auoveor será obido aravés da solução do sisema abaixo: c 2m 1 k m c 2m a b = 0 0,

65 Sisema Massa e Mola: Um Modelo de 2ª Ordem 63 ou seja, c 2m a + b = 0, k m a c 2m b = 0. Resolvendo o sisema pelo méodo da subsiuição al que b = c 2ma, em-se k m a + c2 4m 2 a = 0, ( c2 4mk ) a = 0. 4m 2 Pela condição c 2 4mk = 0 conclui-se enão que a é arbirário e convenienemene omase enão o auoveor 1 para o auovalor λ. Conforme os passos descrios na Seção , é preciso agora enconrar um ouro auoveor v 2 = a linearmene independene, b obém-se agora ouro sisema c 2 4km 4m c 2 4km 4m 2 obendo enão o sisema correspondene c 2 4km 4m 2 a = 0, c 2 4km 4m 2 b = 0. a b = 0 0, Novamene, pela condição c 2 4mk = 0, conclui-se que a e b são arbirários, podendo enão omar o auoveor 0 para enconrar a segunda solução. A solução para y() 1 será enão: y 1 () y 2 () = c 1e c 2m y 1 () y 2 () = c 1e c 2e c 2m c 2m c 2e Porano a solução da equação será dada por c 2m y() = (c 1 + c 2 )e c 2m. c 2m 1 k m (iii) c 2 4mk < 0. Nese caso, oda solução y() será da forma: com λ 1 e λ 2 complexos e enão y() = ae ( c m + y() = ae λ 1 + be λ 2, c 2 4mk 2m ) + be ( c m c 2 4mk 2m )

66 Presa e Predador: Um Modelo Não Linear 64 Seja µ = 4mk c 2 2m, enão pode-se escreve y() da forma y() = ae ( c m +iµ) + be ( c m iµ), y() = ae ( c m +iµ) + be ( c m iµ), y() = ae c 2m (cos µ + i sen µ) + be c 2m (cos µ i sen µ), y() = e c 2m (a + b) cos µ + e c 2m (a b)i sen µ. Pelo Lema 4.6, y 1 () = e c 2m (a + b) cos µ e y 2 () = e c 2m (a b) sen µ são soluções. Tomando c 1 = a + b e c 2 = a b, enão usando o Lema 4.2 êm-se y() = e c 2m [c 1 cos µ + c 2 sen µ], y() = Re c 2m cos (µ δ). Figura 4.6: Gráco de y() = Re c 2m cos (ω 0 δ) Conforme a Figura 4.6 acima, noa-se que a solução é uma cossenóide decrescene. Observando que o movimeno exingue-se ao passar do empo, quando o ario é considerado, por exemplo. Conforme esse modelo, por causa do ario, qualquer perurbação inicial é absorvida pelo sisema com o passar do empo. 4.3 Presa e Predador: Um Modelo Não Linear O que deerminou a escolha do esudo desse modelo foi o fao de ser não linear. O esudo foi baseado em [13].

67 Presa e Predador: Um Modelo Não Linear 65 Sejam x() a população de presas e y() a população de predadores no insane. Predeermina-se que o meio de subsisência para presas seja faro o basane, cujo único faor inibidor será a presença de predadores. Pode-se enão armar que sem a presença de predadores, as presas irão crescer conforme a lei de crescimeno exponencial ẋ() = ax(), onde a > 0. Enreano, com a presença dos predadores o crescimeno sofrerá uma redução. Supondo enão que x() diminua linearmene quando a população de y() aumena, ém-se: onde b > 0. ẋ() = [a by()]x(), (4.12) Por ouro lado, supõe-se que os predadores alimenam-se exclusivamene das presas, e que sem elas, a espécime desapareceria. A parir dessa consideração pode-se dizer enão que a população y() decresce de acordo com a lei exponencial ẏ() = cy(), onde c > 0. Enreano, com a presença de presas, considera-se que a população de predadores cresça linearmene quando a população x() aumena. Dessa forma, obém-se onde d > 0. ẏ() = [ c + dx()]y(), (4.13) Esse sisema consise em uma pare linear e uma cera perurbação. Pode-se jusicar os ermos não-homogêneos bx()y() e dx()y() nas equações de crescimeno do seguine modo: digamos que o número de enconro das duas espécies sejam proporcionais ao produo x()y(), podendo ser escrio da forma αx()y(), permiindo enão, expressar o quano pode ser benéco esses enconros para os predadores, caracerizando um aumeno dx()y(), e ao mesmo empo rágico para a população das presas, represenando uma redução bx()y(). O coeciene mede a suscepibilidade da espécie x() às ações predaórias, e o coeciene d mede a habilidade predaória da espécie y. Calcula-se agora os ponos críicos do sisema formado por (4.12) e (4.13), ou seja: (a by)x = 0, ( c + dx)y = 0. Resolvendo esse sisema, enconra-se 4 ponos críicos. A solução (0, b a ) descreve a siuação em que o número de presas é zero enão o crescimeno populacional de predadores exingue-se conforme uma exponencial decrescene; a solução ( c d, 0) implica que o número de predadores é zero, enão o número de presas cresce exponencialmene. Resa enão vericar duas siuações: a origem e o pono ( c d, b ). a Para esudar a origem, oma-se a pare linear de (4.12) e (4.13), obendo o sisema linear homogêneo associado ẋ ẏ = a 0 0 c x y. (4.14)

68 Presa e Predador: Um Modelo Não Linear 66 Tomando a mariz A = a 0 em (4.14), obém-se o seguine polinômio carac- 0 c (a λ)( c λ) = 0, erísico obendo assim os auovalores λ 1 = a ou λ 2 = c ; porano pela condição (iii) do Teorema 3.8 e λ 1 > 0, êm-se que a origem é insável. Agora será feio o esudo com respeio à ( c d, b ). a O próximo passo será omar o sisema (4.14) e fazer uma roca de variáveis u = x c d v = y a b, obendo assim o sisema cuja pare linear é u = bc d v buv v = ad b u + dvu, u = bc ad v e v = u. (4.15) d b A parir de (4.15), dividindo as duas equações obém-se: u v = bc ad b u, ad b u u = bc d v v, ad b u u + bc v v = 0, d inegrando obém-se ad u 2 b 2 + bc v 2 d 2 = n, e porano que n 0 para quaisquer u e v. Muliplicando ambos os membros por 2db, d v ad 2 u 2 + b 2 cv 2 = 2dbn, al que 2dbm 0 enão exise k real al que k 2 = 2dbn, enão ad 2 u 2 + b 2 cv 2 = k 2, ou seja, a expressão acima descreve uma elipse de cenro ( c d, a ). b Porano, pode-se er uma noção de que as órbias das soluções de (4.12) e (4.13) em a forma de elipses na vizinhança do pono críico ( c d, a). b O próximo passo consise em ober, de fao as órbias do sisema (4.12) e (4.13), para isso dividimos as duas equações ẏ [ c + dx)y = ẋ (a by)x,

69 Presa e Predador: Um Modelo Não Linear 67 Inegrando ambos os lados em-se (a by) ẏ = y ( c + dx) ẋ, x a 1 y ẏ bẏ = c 1 xẋ + dẋ. a 1 y ẏd b ẏd = c 1 xẋd + d ẋd. a ln y by = c ln x + dx + ln K, aplicando a exponencial em ambos os membros y a e by = Kx c e dx, (4.16) onde a consane K pode ser deerminada em função de um pono inicial dado, ou seja, K = y0e a by 0 x c 0e dx 0, implicando que K > 0. Para ober a órbia, para cada membro da igualdade obida em (4.16), obém-se 2 novas funções denidas por z(y) = y a e by e w(x) = Kx c e dx. (4.17) Derivando z(y), obém-se z (y) = y a 1 e by (a by), ou seja, para z (y) = 0 obém-se y = a b. Enconrando a segunda derivada de z(y), obém-se z (y) = y a 2 e by [(a by) 2 a], ou seja, z ( a a 2 b ) = a (a b ) e a, logo z ( a b ) < 0, enão z(y) admie um pono máximo em y = a b. Realizando a mesma abordagem em w(x) obém-se w (x) = K[e dx x c 1 (dx c)], enão, para w (x) = 0, enconra-se x = c d. Derivando novamene w (x) = K{e dx x c 2 [(dx c) 2 + c]}, ou seja, w ( c d ) = ckedc ( c d ) c 2, o que implica, w ( c d ) > 0 enão w(x) admie um pono mínimo em x = c d.

70 Presa e Predador: Um Modelo Não Linear 68 Fala ainda mosra que w min z max. É imediao, pois w min Kx c e dx = y a e by z max. Os grácos serão raçados simulaneamene, separados pelos quadranes al que no primeiro quadrane será obida a orbia do sisema das equações (4.12) e (4.13); no segundo quadrane, um esboço da curva z(y); no erceiro quadrane, a função Idenidade e no quaro quadrane, um esboço da curva w(x). Aravés da seguine consrução, mosra-se que a órbia do sisema das equações (4.12) e (4.13) será uma curva fechada: (i) Denomina-se por W a curva w(x), Z a curva z(y) e L a rea bisseriz do erceiro quadrane. (ii) Pelo pono A 1 da curva W raça-se uma paralela ao semieixo x aé enconrar a rea L em A 2, raçando enão uma paralela ao semieixo y aé cruzar a curva Z nos ponos A 3 e A 4. As reas paralelas ao semieixo x passando por A 3 e A 4 inercepam a rea x = c d nos ponos Q 1 e Q 2. Esses dois ponos deerminam os exremos da órbia na direção y (ver Figura 4.7). (iii) Pelo pono B 1 da curva Z raça-se uma paralela ao semieixo y aé enconrar a rea L em B 2, raçando enão uma paralela ao semieixo x aé cruzar na curva W nos ponos B 3 e B 4. As reas paralelas ao semieixo y passando por B 3 e B 4 inercepam a rea y = a b nos ponos P 1 e P 2. Esses dois ponos deerminam os exremos da órbia na direção x (ver Figura 4.7). (iv) Para ober os ponos da órbia, oma-se qualquer pono C 1 al que A 1 C 1 B 1. A parir de cada pono enconrado nas inerseções enre os prolongamenos originados em C 1 de reas paralelas a cada eixo com as curvas Z e W, raçamse reas paralelas aos eixos novamene, em direção ao primeiro quadrane. Os quaro ponos obidos na inerseção perencem a órbia (ver Figura 4.7). Uma inerpreação seria realizar uma leiura ani-horária nesse gráco que descreve a órbia do sisema por (4.12) e (4.13). Parindo do pono Q 1, onde o número de predadores é mínimo, com isso o número de presas coninua aumenando porém de forma decrescene pois o número de predadores começa a aumenar quando a curva caminha para P 2. Em P 2 o crescimeno das presas zeram começando enão a decrescer em número de população, pois o número de predadores aumena devido ao crescimeno ocorrido na população de presas. Chegando em Q 2, o número de predadores ainge o máximo fazendo assim reduzir ainda mais a ofera de presas e a aumenando a dispua enre predadores, ou seja, o número de predadores ambém começa a decrescer junamene com o número de presas.

71 Presa e Predador: Um Modelo Não Linear 69 Figura 4.7: Órbia do sisema das equações (4.12) e (4.13). Como o número de predadores passa a reduzir ao decorrer do empo, isso permie enão com que as presas se esabilizem em P 1 e, a parir disso volem a crescer enquano o número de predadores diminui convergindo novamene ao pono inicial Q 1, fechando o ciclo. Concluí-se enão que as populações presas e predadores oscilam periodicamene. Noa-se que a órbia não apresena simeria em relação ao eixo x = c d ou ao eixo y = a b. Ver Figura 4.8. Figura 4.8: Órbias do sisema por (4.12) e (4.13).

72 5 Proposas de Aividades para o Ensino Médio: Pré Cálculo e Malhus O principal objeivo dese úlimo capíulo é apresenar duas proposas voladas ao professor de maemáica. De uma forma didáica e acessível, será apresenada uma aividade cuja nalidade é inroduzir o conceio de derivada de uma função de uma forma acessível ao aluno de ensino médio. A parir de uma siuação-problema deseja-se mosrar uma aplicação da derivada. Por cona do nal do ano leivo não foi possível aplicar al proposa em sala de aula, mas ca aqui uma sugesão ao professor de ensino médio, especialmene o do 3 º ano, para explorar um coneúdo de uma forma diferenciada, usando recursos ecnológicos. 5.1 Pré Cálculo Uma das muias preocupações de um professor de maemáica que leciona para o ensino médio é analisar a capacidade do aluno compreender os novos conceios maemáicos, inclusive os que serão apresenados numa fuura graduação na área de exaas, de uma forma que ese consiga dar sequência ao coneúdo abordado no ensino médio. A proposa dessa aividade é inroduzir o cálculo com recursos exclusivamene limiados ao ensino médio e apresenar para o aluno o conceio, uma aplicação e uma écnica de obenção da derivada de uma função. Ese rabalho não em a preensão de ensinar o conceio de derivada conforme a denição rigorosa na maemáica mas sim, de uma forma mais simples e direcionada, inroduzir ao aluno, os conceios iniciais que servirão de base para enão, num momeno oporuno, ele conseguir compreender o conceio de derivada de uma função. Esa aividade foi elaborada ambém com o objeivo de dar uma opção ao professor de maemáica do ensino médio, uma maneira de apresenar um novo conceio maemáico para alunos desprendido de um formao de uma aula clássica de maemáica. Como essa aividade exige alguns conceios que serão apresenados no decorrer do ensino médio, aconselha-se apresenar essa ocina para o 3º ano do ensino médio, como revisão de funções, esudo do sinal de funções e equação de reas. Aqui seria perinene ao professor de maemáica rever o conceio de coeciene angular da rea. 70

73 Pré Cálculo 71 Caso o professor de maemáica enha recursos ecnológicos, recomenda-se ambém apresenar essa aividade num programa de grácos aliado a um quadro negro, pois o recurso gráco nesa aividade é fundamenal para que o aluno compreenda algumas convergências. Esa aividade é dividida em quaro pares, as duas primeiras pares rabalham apenas o conceio visual e geomérico de derivada. Dependendo do empo que o professor enha, basam apenas as duas primeiras pares dessa aividade para que o aluno enenda esse conceio inroduório de derivada. A erceira pare já mosra uma maneira de se ober uma derivada exigindo cálculos e processos algébricos que para os alunos, possam ser de exrema diculdade, mas cabe ao professor realizar esses cálculos apenas direcionando e orienando-os, ou seja, momeno em que o prossional de maemáica realiza a sua verdadeira are. Todo esse esudo foi baseado nas referências [14, 15,?] Apresenando os Conceios: 1ª Pare Anes de inroduzir a derivada para o aluno de ensino médio, é de exrema imporância reapresenar o conceio de rea angene que no ensino médio ca-se limiado a inerseção enre rea e circunferência. Aconselha-se iniciar o assuno reomando as posições relaivas enre rea e circunferência. Mosra-se que a parir de uma rea passando por dois ponos, consegue-se ober a rea angene num cero pono xo desejado fazendo com que a disância enre esses dois ponos obidos na inerseção enda a zero mosrando que a rea secane converge para a rea angene. Primeiramene, oma-se uma rea r secane a uma circunferência λ nos ponos P e Q. Para ober a angene no pono P, basa deslocar o pono Q sobre λ, aproximando cada vez mais a P, al que a disância enre esses dois ponos aproxime de zero, obendo sempre uma nova rea secane em cada novo Q n. Fica fácil para o aluno enender que a rea angene num cero pono é obida sempre omando dois ponos disinos quaisquer e fazê-los convergir a um cero pono desejado, geralmene um dos dois ponos escolhidos inicialmene esa xado e varia-se sempre o ouro pono. Seria perinene ambém nesse momeno, já mosrar que a rea angene é enconrada nesse processo fazendo com que a disância enre esses dois ponos convirja para zero. Ver a Figura 5.1. Uma vez visualizado esse processo na circunferência, generaliza-se para qualquer curva. Após essa inrodução, pode-se enão apresenar uma siuação problema que irá induzir ao aluno, a necessidade da compreensão do conceio derivada. Recomenda-se o uso de grácos simples e conhecidos pelos alunos de ensino médio. Reoma-se enão a aula de função e juno com o aluno consrói-se o gráco da função quadráica f(x) = x 2 omando-se ponos no domínio e ploando os ponos no plano caresiano e obendo assim um gráco bem familiar para esse aluno de ensino médio. Nesse processo de consrução da função quadráica é conveniene que o professor escolha ponos no domínio x 1, x 2,, x n ais que x 2 x 1 = x 3 x 2 = = x n x n 1 = x n, ou

74 Pré Cálculo 72 Figura 5.1: Obenção da rea angene. seja, x n seja consane e igual, mas pela denição de f(x) = x 2, é claro que para x 1, êm-se y = y 2 y 1 < y 3 y 2 < < y n y n 1, conforme a Figura?? (a). Uma vez raçado o gráco, o imporane agora é o professor ser o elemeno insigador, desperando curiosidades e quesões sobre um gráco ão comum. O professor pode Figura 5.2: Esudo da função quadráica f(x) = x 2. quesionar com os alunos ponos do ipo: (i) O gráco limia-se apenas a curva raçada ou é innio? (ii) Qual a região no domínio que o gráco é crescene? E decrescene? (iii) Tomando apenas a região posiiva no domínio, o gráco SEMPRE será crescene quando x cresce? (iv) O gráco consruído pelo aluno GARANTE o comporameno desse gráco quando x for muio grande?

75 Pré Cálculo 73 (v) Será que em algum momeno, para o x n muio grande, a parábola deixa de ser crescene? Ver Figura 5.2 (b). (vi) O que poderia ser analisado no gráco para vericar se a parábola coninua inniamene crescendo? Imporane nese momeno é desperar no aluno uma curiosidade de como serão resolvidas essas quesões. Depois de várias quesões, o ideal é que o aluno perceba que a rea angene à parábola em cada pono no gráco será o objeo de análise para conseguir responder a perguna do iem (vi). Caso os alunos não consigam visualizar, o professor pode reduzir o esudo da parábola apenas para o domínio posiivo, iso é, x 0. Traça-se uma rea angene nese pono incidindo no eixo das abcissas desacando enão a declividade da rea angene (ver Figura 5.3 (a)). Quando o professor for mosrar a relação da rea angene com a parábola, recomenda-se omar cuidado para não induzir ao aluno a ideia de que a rea angene comece a assinoar a parábola no innio. O próximo passo é ober informações sobre essa rea angene ao pono P. Seja P = (x, y), o pono onde deseja-se raçar a rea angene. Figura 5.3: Rea angene Conforme a Figura 5.3 (b) mosra-se que a cada variação x = h, a variável dependene y ambém sofre um acréscimo igual a y, obendo assim, o pono Q = (x + h, y + y). Enão: f(x + h) = y + y, como f(x) = x 2, em-se (x + h) 2 = y + y.

76 Pré Cálculo 74 Sabe-se que y = f(x + h) f(x), y = x 2 + 2xh + h 2 x 2, y = h(2x + h). Enão observa-se que a declividade da rea secane obida pelos ponos P e Q será o objeo principal para conseguir chegar a rea angene, mosrando que a rea secane converge à rea angene quando h ende a zero. Uilizando o conceio de coeciene angular que o aluno obeve previamene, mosra-se que y x = y h = h(2x + h) h = 2x + h. (5.1) Para um cero valor xo de x e variando h, vai-se mudando a posição do pono Q. Pelo gráco da Figura 5.3 (b), verica-se que a rea secane deerminada pelos ponos P e Q vai se aproximando cada vez mais da rea angene no pono P quando h vai cando cada vez menor. Pode-se dizer enão que a declividade da rea angene no pono P é dada por 2x, devido a (5.1) quando h ende a zero. Como h nunca poderá ser zero segue que a declividade da rea angene à curva no pono P ende a função linear g(x) = 2x e ese seria o limie da declividade quando h ende a zero. Esse limie é chamado de derivada da função no valor x. A noação usual da derivada da função f(x) é dada pela função f (x). Caso o professor de maemáica enha empo, nesse momeno pode-se enão pedir, como uma aividade complemenar, que sejam calculadas as derivadas das seguines funções: (a) f(x) = 5x 2, (b) f(x) = x2 4, (c) f(x) = 2x 2 + 3x + 5. O próximo passo é mosrar ao aluno uma aplicação da derivada. O imporane agora é fazer com que o aluno relacione o comporameno da parábola onde ela é crescene e decrescene de acordo com o sinal da derivada. Pelo esudo do comporameno do gráco da função f(x) = x 2, noa-se que a derivada nunca será negaiva. Logo, pode-se enão armar que a parábola nunca será decrescene para valores posiivos de x respondendo enão a problemáica do iem (v). Caso o professor enha ineresse, ele ambém pode coninuar quesionando se a parábola pode se ornar consane a parir de um valor x n, conduzindo o aluno a vericar que isso só ocorrerá se a derivada for zero, e ainda que, na parábola iso não é possível.

77 Pré Cálculo 75 Figura 5.4: Relação enre o comporameno de f(x) = x 2 com o sinal de f (x) = 2x Aplicando os Conceios: 2ª Pare Tendo o aluno compreendido o conceio inicial de derivada, aqui nessa subseção será apresenada uma aplicação da necessidade do conhecimeno da derivada de uma função. Apresena-se ao aluno a seguine siuação problema: serão fornecidos 5 ipos de reservaórios com a mesma capacidade e a mesma alura H conforme a Figura 5.5. Os recipienes da Figura 5.5 apenas ilusram a siuação. Figura 5.5: Recipienes de mesma capacidade e alura H. Supondo que exisa uma orneira para cada recipiene, admie-se que a vazão de água será a mesma para odas as orneiras igual a k meros cúbicos por minuo. Deseja enão analisar o comporameno da alura do nível de água da cada recipiene no decorrer do empo. Denoa-se por f k () a alura do recipiene k no insane, adoando a alura em meros e o empo em minuos. Para odas as funções em-se que f k (0) = 0 e f(t ) = H al que T é o empo que demora para os recipienes aingirem a alura máxima H, enchendo-os por compleo. A parir dessa siuação, pode-se propõe ao

78 Pré Cálculo 76 aluno a consrução do gráco da alura do nível da água em cada recipiene proposo caso o professor ache perinene a abordagem da consrução dos grácos nesa proposa didáica. Fácil para o aluno enxergar que essa função sempre será crescene pois o nível da água sempre subirá porém será que os grácos serão iguais? Imporane nesse momeno é a inerpreação da curva para cada recipiene que o aluno visualizará, sempre conduzido e orienado pelo professor. Por exemplo, - em (a), a alura do nível da água aumena de forma uniforme, sempre na mesma velocidade; - em (b), a alura aumena rapidamene no início do processo porém coninua aumenado cada vez mais lenamene; - em (c), a alura aumena lenamene no início porém a velocidade do nível da água aumena com o passar do empo, ou seja, processo inverso ao de (b); - em (d), a alura aumena rapidamene aé á meade do recipiene, depois reverendo o seu comporameno; - em (e), semelhane ao (d) porem com processo inverso. Figura 5.6: Gráco da alura do nível da água dos recipienes da Figura 5.5 em função do empo. Após oda essa análise, o aluno deverá enender que apesar de odos os grácos serem de funções crescenes, no enano odos são disinos. O objeivo principal dessa aividade é mosrar ao aluno que a derivada, apresenada na aividade anerior, será o conceio maemáico que mosrará a diferença no comporameno crescene das funções.

79 Pré Cálculo 77 Para dar início nesse esudo, o professor apresenará a necessidade de esudar a razão enre a imagem e o domínio. O ineressane agora é o professor omar inervalos de mesmo comprimeno no domínio e mosrar ao aluno que na imagem a variação não será a mesma, exceo se a função for a idenidade. Figura 5.7: Esudo de y i Para isso, oma-se inervalos de mesmo amanho em diferenes fases do processo. Considere o inervalo [, + ], enão a imagem é y = f k ( + ) f k (). Logo, y = f k( + ) f k (). (5.2) (a) Em (a) em-se y é consane para qualquer n =, ou seja, y 1 = y 2 = y 3 (ver Figura 5.7 (a)); (b) em (b), y diminui para omados no senido crescene do domínio, ou seja, y 1 > y 2 > y 3 (ver Figura 5.7 (b)); (c) e em (c), y aumena para omados no senido crescene do domínio, ou seja, y 1 < y 2 < y 3 (ver Figura 5.7 (c)). Porano analisar o comporameno de (5.2) será fundamenal para ober informações relevanes sobre o crescimeno da curva em cada caso descrio, além disso é imporane mosrar para o aluno que quano menor for mais informações sobre a curva são obidas gracamene.

80 Pré Cálculo 78 Esse é o momeno ideal para o professor fazer a ligação com o exemplo da parábola, ou seja, adapando o mesmo conexo aplicado na parábola na seção anerior, pode-se concluir enão que a derivada da função é a ferramena ideal para realizar ese esudo Aprofundando os Conceios: 3ª Pare O objeivo principal será ober uma fórmula mais próxima possível para a derivada da função f b (), ou seja, ober y para um muio pequeno, próximo de zero. Para isso deseja-se ober inicialmene uma forma analíica para f b (), enão oma-se a seção meridional do cone do recipiene (b), conforme Figura 5.8. Figura 5.8: Core meridional no recipiene (b) O volume de água no inerior do cone é dado por ou ambém é obido aravés da fórmula V () = πr2 ()f b (), (5.3) 3 V () = k, (5.4) al que k é a vazão da orneira dada por meros cúbicos por minuo. Igualando (5.3) e (5.4) obém-se πr 2 ()f b () = k. (5.5) 3 Volando ao riângulo da Figura 5.8, conclui-se que r() = f b () g θ, que subsiuindo em (5.5) resula em ou seja, π g 2 θ[f b ()] 3 3 = k, f b () = 3 3k π g 2 θ,

81 Pré Cálculo 79 3k f b () = 3 π g 2 θ 3. Seja C uma consane que dependa apenas do recipiene e da vazão de água, al que C = 3 3k π g 2 θ, porano f b () = C 3. (5.6) Assim, y = f b( + ) f b (), y = C 3 + C = C. (5.7) Muliplicando e dividindo 5.7 por [( 3 + ) ( 3 ) 2 ] obém-se ou seja, 3 y + 3 =C ( 3 + ) ( 3 ) 2 ( 3 + ) , + ( 3 ) 2 =C ( + ) ( + ) 3 ( + ) 3 2 ( + ) [( 3 + ) , + ( 3 ) 2 ] =C [( 3 + ) ( 3 ) 2 ], y = C 1 ( 3 + ) ( 3 ) 2, (5.8) para odo 0 T. Conseguiu-se enão uma fórmula algébrica para a razão y. Imporane nesse momeno é esudar quando ca muio pequeno, próximo de zero. Pode-se enão, inroduzir a noação de limie, lim 0 y, de uma forma despreensiosa, ou seja, y lim 0 = C 3 ( 3 ) 2, ou seja, a derivada de f b () no pono é dada por f b () = C 3 ( 3 ) 2. Apesar de desperar diversas pergunas sobre a derivada, nessa penúlima subseção, a abordagem foi com respeio à pare algébrica na obenção da derivada. O professor pode realizar as mesmas conjecuras feias para a parábola e vericar que se aplica aqui ambém, coisas do ipo: o gráco de f b () sempre será crescene pois a derivada sempre será posiiva no domínio, viso que, na práica o nível da água sempre subirá, hipoeicamene falando de um recipiene igual ao de (b), com uma alura innia, implicando que o nível da água nunca cará consane numa marca e jamais começará a decrescer.

82 Malhus: uma aplicação para as Funções Exponenciais Malhus: uma aplicação para as Funções Exponenciais A segunda pare desse capíulo consise em relacionar um ema abordado nessa disseração de modo que seja aplicável ao ensino médio. O coneúdo escolhido foi o modelo de Malhus pela simplicidade de se aplicar esse conceio. O público mais oporuno para aplicação dessa ferramena é o 1º ano do Ensino Médio, fazendo pare do esudo do coneúdo de funções exponenciais. Nessa aividade não será necessária a apresenação dos conceios de equações de diferenças e recorrências, porém a prova de indução da fórmula obida pode ser um diferencial a mais nessa aplicação. Conforme o Capíulo 4, na seção Dinâmica Populacional, supõe-se que com a variação do empo, a variação de uma cera população seja proporcional à população inicial. A ideia principal é simples: o professor apresena uma abela com a quanidade de elemenos de uma cera população em relação ao ano do regisro dessa informação. Essa aividade será dividida em rês pares: a obenção da consane da função, consruindo a função e ajusando o seu domínio. Essa proposa ambém pode ser adequada ao uso de sofwares de funções caso seja disponível ao professor de maemáica Obendo a Consane O primeiro desao proposo pelo professor de maemáica, após er ambienalizado o aluno na proposa de que a população da cidade de Arur Nogueira se comporará conforme o Modelo de Malhus, será ober uma esimaiva para a consane α aravés do uso das informações na abela conida na gura 5.9, já com a abela em mãos, esa abela foi adapada usando os dados do IBGE, veja referência [17]. Figura 5.9: Tabela de População de habianes de Arur Nogueira. Noe que os anos esão inercalados obedecendo um padrão (quinquênios) para car mais fácil o ajuse nal do domínio. Caso os alunos ragam informações que não obedeçam esse padrão, enão o professor de maemáica deve fazer essa adequação, procurando sempre preservar ao máximo as informações razidas pelos alunos. Caso o professor apresene a abela, que ele faça os ajuses anes de enregar a abela ocial da aividade a ser rabalhada.

83 Malhus: uma aplicação para as Funções Exponenciais 81 Aravés da abela, adoa-se que a população de habianes em Arur Nogueira no ano x i é dada pela função P (x i ). Conforme o modelo de Malhus, a população de Arur Nogueira no ano x i+1 é obida pela relação: P (x i+1 ) = P (x i ) + α i P (x i ) = (1 + α i )P (x i ), (5.9) onde α i varia em cada quinquênio. O professor pode aé explorar a naureza da consane, mosrando ao aluno que essa consane esá direamene relacionada com a diferença de índices de naalidade e moralidade e as condições para que essa consane seja posiiva, negaiva ou nula, para assim desperar um ineresse e um olhar diferene nos alunos. De (5.9) obém-se α i = P (x i+1) P (x i ). P (x i ) Para o exemplo dessa aividade, serão obidos 5 valores para α i, ou seja α 1 = P (x 2) P (x 1 ) P (x 1 ) = = 0, 0717; Fazendo, êm-se α 2 = P (x 3) P (x 2 ) P (x 2 ) α 3 = P (x 4) P (x 3 ) P (x 3 ) α 4 = P (x 5) P (x 4 ) P (x 4 ) α 5 = P (x 6) P (x 5 ) P (x 5 ) = = = = α = n 1 α i i=1 n 1, = 0, 1017; = 0, 1911; = 0, 1196; = 0, α = 0, , , , , = 0, = 0, Consruindo a Função Próximo passo é ober uma boa aproximação para uma função que descreva a população de Arur Nogueira em função dos anos. Para iso, sabe-se que: P (x 2 ) = P (x 1 ) + αp (x 1 ) = (1 + α)p (x 1 ), (5.10) para P (x 3 ) em-se P (x 3 ) = P (x 2 ) + αp (x 2 ),

84 Malhus: uma aplicação para as Funções Exponenciais 82 ou seja, P (x 3 ) = (1 + α)p (x 2 ). Subsiuindo em (5.10) obém-se P (x 3 ) = (1 + α) 2 P (x 1 ). Tomando o mesmo procedimeno, chega-se enão a função discrea P (x n ) = (1 + α) n 1 P (x 1 ), (5.11) para n N e n > 1, mosrando enão que a função depende apenas do primeiro elemeno e de α. Dependendo do empo disponibilizado para a aplicação dessa aividade, agora seria um momeno oporuno de apresenar um novo conceio de graduação ao aluno: a prova por indução. Não que seja de exrema imporância, dado que o objeivo é apenas inroduzir ao aluno o processo de obenção de funções, porém o professor pode quesionar se essa função será válida para odo n. Talvez o aluno não sina a necessidade dessa vericação mas o professor pode quesioná-lo da seguine forma: supondo que a fórmula é válida para n, será que ela é válida ambém para n + 1? Pela fórmula obida (5.11), deve-se vericar enão que a população de habianes de Arur Nogueira no ano x n+1 é obida por P (x n+1 ) = (1 + α) n P (x 1 ). (5.12) Pelo Modelo de Malhus, em-se que: P (x n+1 ) = P (x n ) + (x n ) = (1 + α)p (x n ), subsiuindo (5.11) em (5.12), obém-se P (x n+1 ) = (1 + α)(1 + α) n 1 P (x 1 ) = (1 + α) n P (x 1 ), comprovando assim a validade da função obida em (5.11) Ajuse do Domínio O próximo desao agora é ajusar os anos correspondenes na abela da Figura 5.9 à função exponencial (5.11). Noe que o domínio discreo dessa função, relaciona o valor numérico 1 para o ano de 1990, 2 para o ano de 1995, 3 para o ano de 2000 e assim sucessivamene, ou seja, a expressão enconrada para P (x n ) depende de n e não de x n. Para conseguir uma função mais complea, al que relacione as informações da abela da Figura (5.9), deve-se adequar um domínio conveniene, discreo e que dependa exclusivamene de x n. Para isso, basa consruir uma abela auxiliar conforme a Figura 5.10.

85 Malhus: uma aplicação para as Funções Exponenciais 83 Figura 5.10: Tabela auxiliar para relacionar n com o ano correspondene. Tomando duas informações quaisquer na abela 5.10 (escolheu-se x 1 e x 5 ) em-se n = x n , n 1 = x n 1990, 5 ou seja, subsiuindo a igualdade acima em (5.11), nalmene obemos a função exponencial P (x n ) = (1 + α) (xn 1990)/5 P (x 1 ), (5.13) ou seja, subsiuindo o valor de α obido na seção anerior e o valor de P (x 1 ) em (5.13), obém-se P (x n ) = (1, 1283) (xn 1990)/ , (5.14) al que (5.14) será uma boa esimaiva para a função que descreve o número de habianes de Arur Nogueira em função de um ano dado. Noe que agora o aluno poderá aé realizar esimaivas sobre a população de Arur Nogueira sobre os anos que não consam na abela da Figura 5.9. É imporane reforçar nesse momeno que a esimaiva da população aravés dessa fórmula é para esimar a população de Arur Nogueira para os anos poseriores a Figura 5.11: Gráco e ponos obidos aravés do sofware MATLAB.

86 Malhus: uma aplicação para as Funções Exponenciais 84 Não em como falar de funções apenas de uma forma analíica, lembrando que em muios casos, a visualização é essencial para complemenar um coneúdo de maemáica. Nessa úlima eapa, infelizmene será necessário o uso de sofwares de grácos mas caso o professor não disponha desse recurso, seria ineressane apresená-lo prono, mosrando o comporameno da curva exponencial sendo bem próxima aos dados populacionais. É claro que no esudo do empo conínuo (e não discreo) a axa de variação da população P pode ser expressa por P () = αp (), o que leva nauralmene à função exponencial P () = P (0)e α.

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