η η + η = (1) da qual pode-se isolar o fator de acoplamento η , resultando na seguinte expressão (2) η (2)

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1 $È/,6(35(/(0(76),,76')/8;'(((5*,$9,%5$7Ï5,$ (75(3/$&$63/$$6$3,$'$6(09,*$6 $OH[DQGUH$XJXVWR3HVFDGRU6DUG $UFDQMR/HQ]L &OyYLV6SHUEGH%DUFHOORV Laboratóro de Vbrações e Acústca Departamento de Engenhara Mecânca UFSC Caxa Postal Floranópols-SC e-mal: pescador@emc.ufsc.br; arcanjo@emc.ufsc.br, clovs@pucmnas.br 5HVXPR (VWH WUDEDOKR FRQVLVWH HP GHWHUPLQDU R IOX[R GH HQHUJLD H RV IDWRUHV GH DFRSODPHQWR HQWUH SODFDV DSRLDGDV HP YLJDV XWLOL]DQGR R 0pWRGR GH(OHPHQWRV)LQLWRV e DQDOLVDGD D GLIHUHQoD HQWUH RV PRGHORV XVDGRV SDUD UHSUHVHQWDU DV YLJDV GH DSRLR SRU HOHPHQWRVGHYLJDHHOHPHQWRVGHSODFDIOX[RGHHQHUJLDHQWUHRVVXEVLVWHPDVDWUDYpVGD OLQKD GH XQLmR H RV SULQFLSDLV HVIRUoRV UHVSRQVYHLV SHOD WUDQVPLVVmR GH HQHUJLD VmR DQDOLVDGRV 3DODYUDVFKDYH)OX[RGHHQHUJLD9LEUDo}HVGHSODFDVUHIRUoDGDVSRUYLJDV,75'8d Estruturas tpo placas reforçadas por vgas são largamente utlzadas em estruturas navas e aeroespacas. Um exemplo típco dessas estruturas são as plataformas offshore usadas na prospecção e na produção de petróleo, nas quas as vgas são utlzadas como apoo para a nstalação de máqunas e equpamentos pesados. As vbrações que se propagam nestes tpos de estruturas geram ruído nas áreas dos alojamentos, os quas causam grande desconforto e stress aos seus ocupantes. Os métodos mas comumente usados nestas aplcações são o Método de Elementos Fntos (MEF) e a Análse Estatístca Energétca (SEA). Os métodos numércos (MEF) lmtam-se às prmeras frequêncas de ressonânca. Em altas frequêncas, devdo à necessdade de grande dscretzação mposta pelo Método de Elementos Fntos, que necessta de 6 elementos por meo comprmento de onda, no mínmo, torna-se nvável a aplcação desse método para grandes estruturas. SEA é utlzado somente em altas frequêncas, para as quas a densdade modal é normalmente elevada. (Ozelame, 997) mostrou que para placas reforçadas com área de 4 m, aproxmadamente com 5 mm de espessura, típcas das plataformas offshore, possuem mas de 0 modos por banda de /3 de otava, a partr de 50 Hz. Assm, para estes tpos de estruturas, pode-se utlzar SEA com segurança.

2 (Ozelame,997) em análse numérca e expermental concluu que a densdade modal de chapas reforçadas é bastante próxma daquela obtda para placas lsas, exceto em algumas faxas de frequênca para as quas ocorrem problemas de fltragem da energa, de forma análoga àquela que se propaga em estruturas peródcas, ou quase peródcas. Os trabalhos publcados por (Clarkson, 98, 984, 99), abordam a determnação expermental dos fatores de acoplamento, densdade modal e fator de perda estrutural em placas planas horzontas. (Cremer et al, 987) determnou os coefcentes de transmssão para ncdênca normal e ncdênca aleatóra em placas sem-nfntas acopladas em L. (Cuscher, 99) fez uma análse paramétrca do fluxo de potênca entre placas fnas acopladas em L, varando parâmetros como espessura, área, materas, amortecmento estrutural e localzação das exctações, obtendo a resposta estrutural. Comparou o Método do Fluxo de Potênca (MFP) com SEA, obtendo boa concordânca. O objetvo deste trabalho consste em analsar o fluxo de energa entre placas planas retangulares apoadas em vgas, que representam reforço estrutural. As análses são fetas pelo método de Elementos Fntos para consderar os efetos dos modos própros da alma e da aba destas vgas sobre o fluxo de energa. Foram também analsados os camnhos de transmssão de energa, sto é, procurou-se quantfcar os fluxos de energa transmtdos através das vgas e através da lnha de unão entre as placas. $È/,6((67$7Ë67,&$((5*e7,&$ A Análse Estatístca Energétca é uma metodologa utlzada para predzer níves de vbrações e ruído em faxas de frequênca de sstemas de alta densdade modal. Ao contráro dos métodos tradconas, SEA atnge resultados satsfatóros para sstemas com mutos modos de vbração. É utlzado para predzer a resposta em altas frequêncas de estruturas exctadas aleatoramente. SEA trata os modos estatstcamente, dvdndo-os em pequenos grupos de modos semelhantes. Deve-se ressaltar que mutos problemas que envolvem exctações de altas frequêncas necesstam ser modeladas por SEA devdo à total nvabldade de serem abordados pelos métodos baseados na análse modal. Os parâmetros prncpas usados em modelos por SEA são: densdade modal, fatores de acoplamento e amortecmento (estrutural e acústco). Poucas nformações a respeto dos fatores de acoplamento de chapas reforçadas por vgas são encontradas na lteratura. Um sstema estrutural composto por apenas dos subsstemas modelados por SEA resulta na segunte relação entre as suas energas vbratóras (E e E ) representada pela expressão () E E η η + η = () da qual pode-se solar o fator de acoplamento η, resultando na segunte expressão () n η E η = () n E n E sendo n e n as densdades modas (modos/hz), η e η os amortecmentos expressos pelo fator de perda, e η e η os fatores de perda por acoplamento (também chamados de fatores

3 de acoplamento). Os índces destes fatores representam o sentdo do fluxo de potênca transferda através do acoplamento. A expressão () permte também determnar os fatores de acoplamento a partr dos dados de energa vbratóra dos subsstemas ou através dos dados de potênca líquda que atravessa a lnha de unão entre as placas, como mostra a expressão (3). líq n W η = (3) ω(n E n E ) sendo a potênca líquda calculada para todos os segmentos da unão, em função dos esforços nternos (como esforço cortante e momento fletor, por exemplo) e das respectvas velocdades de deslocamento ( transversal e angular). Ambos os procedmentos podem ser usados para que, em função dos resultados de líq modelos de Elementos Fntos (E e E ou W ), seja possível calcular os fatores de acoplamento de estruturas de geometra complexa, tas como as das chapas reforçadas. 0'(/35(/(0(76),,76 As análses foram realzadas em duas placas planas e retangulares, com as seguntes dmensões: placa :. m x.0 m; placa : 0.9 m x m, ambas com 5 mm de espessura; materal: aço; ρ=7850 kg/m 3 ; E=0 GPa; η=0 - (Sardá, 999). Os modelos numércos por Elementos Fntos foram desenvolvdos através do software comercal ANSYS, versão 5.3. As placas foram representadas pelo elemento de casca SHELL 63, consderado adequado para análses até 5 khz, aproxmadamente. Foram usados elementos retangulares com,5 cm x,5 cm de dmensões lateras, sendo cada placa representada por 500 elementos, aproxmadamente. As funções de nterpolação nas dreções no plano da placa, para o elemento de placa SHELL 63 são blneares e a função de nterpolação da deformação é defnda por quatro trângulos superpostos. As vgas de apoo foram modeladas ncalmente como vgas Tmoshenko. Para sso, fo usado o elemento BEAM 44, com,5 cm de comprmento. Esse elemento permte que os nós fquem deslocados do centro de gravdade da vga. Foram usadas funções lneares de nterpolação nas dreções axal e torconal, e funções cúbcas na dreção transversal à vga. Nos gráfcos de resultados este modelo de vgas será referencado como Vgas Tmoshenko. Em seguda, as vgas foram modeladas com elementos de casca (SHELL 63) com o objetvo de serem avalados os efetos dos modos própros da alma e da aba. A exctação externa fo aplcada dretamente na placa, através de 5 forças harmôncas concentradas, de magntude untára e de fases aleatóras, dstrbuídas aleatoramente ao longo desta placa. As forças foram aplcadas smultaneamente. Testes realzados com um número maor de (30 e 50) forças ndcaram pouca varação na precsão dos resultados de energa vbratóra méda. Em uma segunda análse, referente à exctação externa, as forças concentradas foram aplcadas em pontos dstrbuídos, também aleatoramente, ao longo da vga 6 (Fg. ). Tem-se como objetvo verfcar, também, varações no fluxo de potênca entre as placas em função da regão de aplcação da exctação externa. A potênca externa transmtda à estrutura é calculada pela expressão: Wn = = 5 * { F v } Wn = Re & (4)

4 * sendo v& o complexo conjugado da velocdade de translação do ponto de aplcação da força F. Como as fases das forças não possuem correlação defnda, consderou-se a potênca total externa transmtda à estrutura como sendo a soma dos valores produzdos ndvdualmente. A potênca transferda através de cada elemento localzado ao longo da lnha de unão é calculada em função do produto entre o esforço nterno que atua na face do elemento, e a respectva velocdade angular. Como exemplo, a potênca transmtda pelo momento fletor, apenas, é dada por: M = * { θ } nnos Wtr = Re & (5) A potênca total transferda é dada pela soma destes valores calculados para cada tpo de esforço e para todos os elementos da unão. Wtrans (6) = Wtr Para o cálculo da energa vbratóra méda de cada chapa, calculou-se a velocdade quadrada, méda de 50 nós em cada placa, dstrbuídos de manera homogênea. Verfcou-se que aumentando o número de nós para o cálculo da méda espacal, não houve varação na precsão da determnação da energa vbratóra. z y x Vga 3 Vga 5 Vga 6 Vga t h Vga Vga 4 b Fgura Placa apoada em vgas e esquema de vga T nvertda. $È/,6('65(68/7$'6 Para a valdação do modelo de Elementos Fntos utlzado, foram comparados os resultados de potênca transferda calculados pelo Método de Elementos Fntos e pelo Método da Mobldade (Bonfáco, 998). Verfcou-se uma ótma concordânca em toda a faxa analsada (Fgura ), valdando o modelo para efetos de cálculo de respostas e de energa vbratóra.

5 Potênca transferda [W] Potênca transferda (ANSYS) Potênca transferda (Mobldade).. Fgura - Comparação entre as potêncas transferdas calculadas pelo Método da Mobldade e por Elementos Fntos A Fgura 3 mostra um gráfco do fator de acoplamento η, calculado através das Eqs. () e (3). Observa-se que os resultados obtdos através das duas expressões são pratcamente guas. Portanto, para o cálculo dos fatores de acoplamento ao longo deste trabalho utlzou-se a Eq. (), que faz uso das energas vbratóras de cada subsstema, as quas são obtdas mas faclmente. Esta fgura mostra também os resultados de fatores de acoplamento de ondas de flexão e placas planas sem nfntas, para efetos de comparação e de referênca aos obtdos para placas fntas, com vgas de apoo. 0. fator de acoplamento () (η) Obtdo através da potênca transferda Obtdo através da energa vbratóra Teórco para placas lsas sem nfntas - [Heckl, 987] Fgura 3 Fatores de acoplamento do subsstema ao calculados pela potênca transferda e pelas energas vbratóras. Valores em /3 de otava. Para placas apoadas em vgas T nvertdas, com exctação aplcada na placa, foram comparados os resultados do fator de acoplamento obtdos para vgas com alturas de 5 cm, 0 cm e 0 cm, com os de uma placa smplesmente suportada na unão e nas bordas. Os resultados estão mostrados na Fg. 4. Observa-se que em altas frequêncas os valores dos

6 fatores de acoplamento tendem a ser constantes com a frequênca. Os fatores de acoplamento obtdos para a vga de altura 0 cm, que possu dmensões relatvamente grandes em relação às da placa, são bastante próxmos daqueles obtdos para a placa smplesmente apoada. As chapas foram modeladas através de elementos de placa e os resultados estão mostrados em faxas de /3 de otava (de 00 Hz a 800 Hz). fator de acoplamento (η) () fator de acoplamento () (η) Placa apoada nas bordas e na unão Vga h=5 cm; b=,5 cm; t=0,5 cm Vga h=0 cm; b=5 cm; t=0,5 cm Vga h=0 cm; b=0 cm; t= cm Fgura 4 Comparação entre fatores de acoplamento do subsstema ao para vgas de altura 5 cm, 0 cm e 0 cm. Valores em /3 de otava Placa apoada nas bordas e na unão Placa apoada em vgas modeladas por elemento de vga Placa apoadas em vgas modeladas por elemento de placa Fgura 5 Comparação entre fatores de acoplamento () para placa apoada, placa apoada em vgas Tmoshenko e placas apoadas em vgas modeladas por elementos de placa. Vga de altura 5 cm, base,5 cm e espessura 0,5 cm. Valores em /3 de otava. Através das Fgs. 5 e 6, faz-se uma comparação entre os fatores de acoplamento obtdos para vgas modeladas com elementos de vga Tmoshenko e com elementos de placa. Observa-se que para a vga de altura 5 cm, os resultados de η para elementos de placa e de vga apresentam uma concordânca razoável, exceto em algumas faxas de frequênca. Para a vga de 0 cm de altura, os fatores de acoplamento dferem bastante, sendo que os obtdos

7 com elementos de placa é maor que os de vga, devdo à maor flexbldade das placas, consderando as ressonâncas das abas e alma. Estes valores tendem aos de uma placa smplesmente apoada. 0. fator de acoplamento () (η) fator de acoplamento () (η) Placa apoada nas bordas e na unão Placa apoada em vgas modeladas com elementos de vga Placa apoadas em vgas modeladas com elementos de placa Fgura 6 Comparação entre fatores de acoplamento () para placa apoada, placa apoada em vgas Tmoshenko e placas apoadas em vgas modeladas por elemento de placa. Vga de altura 0 cm, base 0 cm e espessura,0 cm. Valores em /3 de otava Placa apoada nas bordas e na unão Placa com vgas na unão e nas bordas, exctada na placa Placa com vgas nas bordas e na unão, exctada na vga 6 Fgura 7 - Fator de perda por acoplamento do subsstema para. Vga T nvertda modelada por elemento de casca, h = 0 cm; b = 0 cm; t =.0 cm. Valores em /3 de otava. A Fg. 7 mostra os fatores de acoplamento obtdos para váras confgurações de vgas flexíves (elemento de placa): placa smplesmente apoada, placa apoada em vgas (exctação na própra placa ) e placa apoada em vgas (exctação na vga 6). Observa-se que para a placa apoada em vgas e com exctações na vga, os fatores de acoplamento resultantes são bem maores que os obtdos com exctação na placa. Isso evdenca que há uma grande transmssão de energa através das vgas, flundo dretamente ao

8 subsstema, ao nvés de ser transmtda através da unão entre as placas. Conclu-se que quando a exctação é aplcada dretamente nas vgas, estas tornam-se os camnhos mas mportantes de fluxo de energa. A Fgura 8 mostra as contrbuções proporconadas pelos város esforços nternos que atuam em cada face dos elementos localzados ao longo da lnha de unão entre as placas, medatamente após a vga ntermedára (vga ). Observa-se que o momento fletor e o esforço cortante vertcal são os responsáves pela maor parcela de potênca que é transmtda dretamente à placa, através da unão entre elas. Menores parcelas são transmtdas pelo esforço axal. A Fgura 9 mostra as contrbuções dos város tpos de esforços nternos que atuam nos elementos de casca que formam a seção transversal da vga 4, que possu a forma T nvertda. Os esforços axal e cortante vertcal proporconam maores fluxos. A Fgura 0 mostra as contrbuções dos fluxos para a placa através das vgas lateras (4 e 5) e da lnha de unão entre as placas, quando a exctação é aplcada na placa. Observa-se que os três camnhos possuem mportâncas smlares. Isto comprova a mportânca da transmssão através das vgas quando a exctação externa é aplcada dretamente sobre estas Potênca transmtda [W] Potênca total Potênca transmtda pela força cortante Potênca transmtda pelo momento fletor Potênca transmtda pelo momento torçor Potênca transmtda pela força x Potênca transmtda pela força y Potênca transmtda pelo momento z Fgura 8 Potênca transmtda pela unão entre as placas. Vga T nvertda modelada por elementos de placa de altura 0 cm, base 0 cm e espessura cm. Valores em /3 de otava.

9 Potênca transmtda [W] Potênca total Potênca transmtda pela força cortante Potênca transmtda pelo momento fletor Potênca transmtda pelo momento torçor Potênca transmtda pela força axal x Potênca transmtda pela força cortante y Potênca transmtda pelo momento z Fgura 9 Potênca transmtda pela vga 4. Vga T nvertda modelada por elementos de placa de altura 0 cm, base 0 cm e espessura cm. Valores em /3 de otava Potênca transmtda [W] Potênca total transmtda Potênca total transmtda pela placa Potênca total transmtda pela vga 4 Potênca total transmtda pela vga 5 Fgura 0 Potênca total transmtda do subsstema ao. Vga T nvertda modelada por elementos de placa de altura 0 cm, base 0 cm e espessura cm. Valores em /3 de otava.

10 &&/86 (6 Vgas de reforço, conforme tpcamente usadas em estruturas offshore, proporconam resultados bastante dstntos quando modeladas como elementos de vga Tmoshenko e com elementos de casca. Esta últma forma de modelo representa melhor o comportamento dnâmco físco destas vgas. As maores parcelas de energa são transmtdas através das vgas de apoo, prncpalmente quando a exctação externa for aplcada dretamente sobre estas. Cálculos de fatores de acoplamento entre placas reforçadas calculadas em função das suas energas vbratóras e em função da potênca transferda proporconam precsões smlares. 5()(5Ç&,$6 Bonfáco, P. R. O., 998, Fluxo de energa vbratóra entre placas planas pelo Método da Mobldade, Dssertação de Mestrado, UFSC. Clarkson, B. L. & Pope, R. J., 98, Expermental determnaton of modal denstes and loss factors of flat plates and cylnders, -RXUQDORI6RXQGDQG9LEUDWLRQ, vol. 77(4), p Clarkson, B. L., 99, Estmaton of the couplng loss factor of structural jonts, -RXUQDORI 0HFKDQLFDO(QJLQHHULQJ6FLHQFH, 05, p. 7-. Clarkson, B.L. & Ranky, M. F., 984, On the measurement of the couplng loss factors of structural connectons, -RXUQDORI6RXQGDQG9LEUDWLRQ, vol. 94, pp Cremer, L. & Heckl, M., 973, Structure-Borne Sound, Sprnger-Verlag, Berln. Cuscher, J. M., 99, Parametrc analyss of the power flow on an L-shaped plate usng a moblty power flow approach, -RXUQDORIWKH$FRXVWLFDO6RFLHW\RI$PHULFD, vol. 9(5), p Ozelame, A., 997, Análse de densdade modal e de fatores de acoplamento para placas reforçadas por vgas, Dssertação de Mestrado, UFSC. Sardá, A. A. P., 999, Análse por elementos fntos do fluxo de energa vbratóra entre placas planas apoadas em vgas, Dssertação de Mestrado, UFSC. 3:(5)/:$$/<6,6%(7:((%($05(,)5&('3/$7(6%<),,7( (/(0(70(7+' $EVWUDFW Ths work descrbes an analyss of power flow and couplng loss factors between beam renforced plates by the Fnte Element Method. The renforced beams are modeled as Tmoshenko beam elements and by shell elements, whch yelded to sgnfcantly dfferent results. The power transmtted through the several nternal forces and moments, actng at the plates and beams jonts, are also analysed..h\zrugv Power Flow, Vbratons of Beam Renforced Plates.