DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA PROBABILIDADE

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO DE ESTUDOS GERAIS INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA PROBABILIDADE Aa Maria Lima de Farias Luiz da Costa Laurecel Setembro de 2007

2 . ii

3 Coteúdo 1 Probabilidade - Coceitos Básicos Itrodução Experimetoaleatório,espaçoamostraleeveto Experimeto aleatório Espaço amostral Evetos aleatórios Exemplos Operaçõescomevetosaleatórios Iterseção Exclusão Uião Complemetar Difereça Partiçãodeumespaçoamostral Propriedadesdasoperações Exemplos Exercícios Complemetares Probabilidade - Defiição Clássica Defiiçãoclássicadeprobabilidade Propriedades da defiição clássica de probabilidade Resumodaspropriedades Exemplos Exercícios Revisão de aálise combiatória Pricípiofudametaldaadição Pricípiofudametaldamultiplicação Exercícios Permutações Exercícios Permutações de k objetos detre Exercícios Combiações simples Exercícios TriâgulodePascaleBiômiodeNewto iii

4 CONTEÚDO iv Aplicações Exercícios Complemetares Axiomas, Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Defiição axiomática de probabilidade Exemplos Exercícios Probabilidade codicioal Exemplos Exercícios Probabilidade codicioal como lei de probabilidade Regra da multiplicação Exemplos Regra geral da multiplicação Exercícios Idepedêcia de evetos Exemplos Exercícios Exercícios Complemetares Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes TeoremadaprobabilidadetotaleteoremadeBayes Exercícios Complemetares Solução dos Exercícios Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo

5 Capítulo 1 Probabilidade - Coceitos Básicos 1.1 Itrodução No osso cotidiao, lidamos sempre com situações ode está presete a icerteza do resultado, embora, muitas vezes, os resultados possíveis sejam cohecidos. Por exemplo: o sexo de um embrião pode ser masculio ou femiio, mas só saberemos o resultado quado o experimeto se cocretizar, ou seja, quado o bebê ascer. Se estamos iteressados a face voltada para cima quado jogamos um dado, os resultados possíveis são 1, 2, 3, 4, 5, 6, mas só saberemos o resultado quado o experimeto se completar, ou seja, quado o dado atigir a superfície sobre a qual foi laçado. É coveiete, etão, dispormos de uma medida que exprima a icerteza presete em cada um destes acotecimetos. Tal medida é a probabilidade. No estudo das distribuições de freqüêcias, vimos como essas são importates para etedermos a variabilidade de um feômeo aleatório. Por exemplo, se sorteamos uma amostra de empresas e aalisamos a distribuição do úmero de empregados, sabemos que uma outra amostra foreceria resultados diferetes. No etato, se sorteamos um grade úmero de amostras, esperamos que surja um determiado padrão que reflita a verdadeira distribuição da população de todas as empresas. Através de um modelo teórico, costruído com base em suposições adequadas, podemos reproduzir a distribuição de freqüêcias quado o feômeo é observado diretamete. Esses modelos são chamados modelos probabilísticos e eles serão estudados a seguda parte do curso de Estatística. A probabilidade é a ferrameta básica a costrução de tais modelos e será estudada esta primeira parte. 1.2 Experimeto aleatório, espaço amostral e eveto Cosideremos o laçameto de um dado. Queremos estudar a proporção de ocorrêcias das faces desse dado. O primeiro fato a observar é que existem apeas 6 resultados possíveis, as faces 1, 2, 3, 4, 5, 6. O segudo fato é uma suposição sobre o dado: em geral, é razoável supor que este seja equilibrado. Assim, cada face deve ocorrer o mesmo úmero de vezes e, portato, essa proporção deve ser 1. Nessas codições, osso modelo probabilístico para o laçameto de um dado pode ser 6 expresso da seguite forma: Face Total Freqüêcia teórica

6 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 2 Supohamos que uma mulher esteja grávida de trigêmeos. Sabemos que cada bebê pode ser do sexo masculio (M) ou femiio (F). Etão, as possibilidades para o sexo das três criaças são: MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF, FFF. Uma suposição razoável é que todos esses resultadossejamigualmeteprováveis,oqueequivaledizerquecadabebêtemigualchacedeser do sexo masculio ou femiio. Etão cada resultado tem uma chace de 1 de acotecer e o modelo 8 probabilístico para esse experimeto seria Sexo MMM MMF MFM FMM FFM FMF MFF FFF Total Freq. teórica Por outro lado, se só estamos iteressados o úmero de meias, esse mesmo experimeto leva ao seguite modelo probabilístico: Meias Total Freq. teórica Nesses exemplos, vemos que a especificação de um modelo probabilístico para um feômeo casual depede da especificação dos resultados possíveis e das respectivas probabilidades. Vamos, etão, estabelecer algumas defiições ates de passarmos à defiição propriamete dita de probabilidade Experimeto aleatório Um experimeto aleatório é um processo que acusa variabilidade em seus resultados, isto é, repetidose o experimeto sob as mesmas codições, os resultados serão diferetes. Cotrapodo aos experimetos aleatórios, temos os experimetos determiísticos, que são experimetos que, repetidos sob as mesmas codições, coduzem a resultados idêticos. Neste curso, estaremos iteressados apeas os experimetos aleatórios Espaço amostral O espaço amostral de um experimeto aleatório é o cojuto de todos os resultados possíveis desse experimeto. Vamos deotar tal cojuto pela letra grega ômega maiúscula, Ω. Quado o espaço amostral é fiito ou ifiito eumerável, é chamado espaço amostral discreto. Caso cotrário, isto é, quado Ω é ão eumerável, vamos chamá-lo de espaço amostral cotíuo Evetos aleatórios Os subcojutos de Ω são chamados evetos aleatórios; já os elemetos de Ω são chamados evetos elemetares. A classe dos evetos aleatórios de um espaço amostral Ω, que deotaremos por F (Ω), é o cojuto de todos os evetos (isto é, de todos os subcojutos) do espaço amostral. A título de ilustração, cosideremos um espaço amostral com três elemetos: Ω {ω 1,ω 2,ω 3 }. A classe dos evetos aleatórios é F (Ω) {, {ω 1 }, {ω 2 }, {ω 2 }, {ω 1,ω 2 }, {ω 1,ω 2 }, {ω 2,ω 3 }, {ω 1,ω 2,ω 3 }} Os evetos, sedo cojutos, serão represetados por letras maiúsculas do osso alfabeto, equato os elemetos de um eveto serão represetados por letras miúsculas.

7 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Exemplos Exemplo 1.1 O laçameto de uma moeda é um experimeto aleatório, uma vez que, em cada laçameto, matidas as mesmas codições, ão podemos prever qual das duas faces (cara ou coroa) cairá para cima. Por outro lado, se colocarmos uma paela com água para ferver e aotarmos a temperaturadeebuliçãodaágua,oresultadoserásempre100 o C. Logo, este é um experimeto determiístico. Exemplo 1.2 Cosideremos o experimeto aleatório laçameto de um dado. O espaço amostral é Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sedo, portato, um espaço discreto. Os evetos elemetares são {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}. Outros evetos são: face par {2, 4, 6}, face ímpar {1, 3, 5}, face ímpar meor que 5 {1, 3}, etc. Exemplo 1.3 Cosideremosolaçametosimultâeodeduasmoedas.VamosrepresetarporK aocorrêciadecaraeporc aocorrêciadecoroa. Umespaçoamostralparaesseexperimeto é Ω {KK,KC,CK,CC}, que também é um espaço discreto. Os evetos simples são {KK}, {KC}, {CK}, {CC} e um outro eveto é cara o primeiro laçameto {KC,KK}. Para esse mesmo experimeto, se estamos iteressados apeas o úmero de caras, o espaço amostral pode ser defiido como Ω {0, 1, 2}. Exemplo 1.4 Seja o experimeto que cosiste em medir, em decibéis, diariamete, durate um mês, o ível de ruído a vizihaça da obra de costrução do metrô em Ipaema. O espaço amostral associado a este experimeto é formado pelos úmeros reais positivos, sedo, portato, um espaço amostral cotíuo. Um eveto: observar íveis superiores a 80 decibéis, represetado pelo itervalo (80, ), que correspode a situações de muito barulho. Exemplo 1.5 Umauracotém4bolas,dasquais2sãobracas(umeradasde1a2)e2são pretas (umeradas de 3 a 4). Duas bolas são retiradas dessa ura, sem reposição. Defia um espaço amostral apropriado para esse experimeto e os seguites evetos: A : aprimeirabolaébraca; B : asegudabolaébraca; C : ambas as bolas são bracas. Solução: Cosiderado a umeração das bolas, o espaço amostral pode ser defiido como: Ω {(i, j) :i 1, 2, 3, 4; j 1, 2, 3, 4; i 6 j}

8 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 4 Mais especificamete: Os evetos são: ou mais especificamete ou ou Ω ½ (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3) A {(i, j) :i 1, 2, ; j 1, 2, 3, 4; i 6 j} A {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4)} B {(i, j) :i 1, 2, 3, 4; j 1, 2; i 6 j} B {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (1, 2), (3, 2), (4, 2)} C {(i, j) :i 1, 2; j 1, 2; i 6 j} C {(1, 2), (2, 1)} ¾ Exemplo 1.6 Três cartas são retiradas, sem reposição, de um baralho que tem três cartas de cada uma das cores azul, vermelha, preta e braca. Dê um espaço amostral para esse experimeto e liste os evetos: A : todas as cartas selecioadas são vermelhas. B : uma carta vermelha, uma carta azul e uma carta preta são selecioadas. C : três diferetes cores ocorrem. D : todasas4coresocorrem. Solução: Vamos deotar por A, V, P e B as cores azul, vermelha, preta e braca, respectivamete. Etão Ou S {(x 1,x 2,x 3 ):x i A, V, P, B; i 1, 2, 3} A {(V,V,V )} B {(V,A,P), (V,P,A), (A, V, P ), (A, P, V ), (P, A, V ), (P, V, A)} C {(x 1,x 2,x 3 ):x i A, V, P, B; i 1, 2, 3; x 1 6 x 2 6 x 3 } C (V,A,P), (V,P,A), (A, V, P ), (A, P, V ), (P, A, V ), (P, V, A), (V,P,B), (V,B,P), (P, V, B), (P, B, V ), (B,V,P), (B,P,V ), (V,A,B), (V,B,A), (A, B, V ), (A, V, B), (B,A,V ), (B,V,A), (P, A, B), (P, B, A), (A, P, B), (A, B, P ), (B,A,P), (B,P,A) Como temos 4 cores diferetes e apeas 3 extrações, ão é possível obter todas as cores; logo, D

9 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Operações com evetos aleatórios Iterseção Oevetoiterseção de dois evetos A e B é o eveto que equivale à ocorrêcia simultâea de A e B (ver Figura 1.1). Seguido a otação da teoria de cojutos, a iterseção de dois evetos será represetada por A B. Figura 1.1: Iterseção de dois evetos: A B Note que x A B x A e x B (1.1) Exemplo 1.7 Cosideremos o experimeto laçameto de dois dados e os evetos A soma das faces é um úmero par e B soma das faces é um úmero maior que 9. Calcule A B. Solução: O espaço amostral desse experimeto, que tem 36 elemetos, é Ω {(1, 1), (1, 2),...,(1, 6), (2, 1),...,(2, 6),...,(6, 6)} Para que um elemeto perteça à iterseção A B, ele tem que pertecer simultaeamete ao eveto A eaoevetob. O eveto B é B {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Dosseuselemetos,osúicosquepertecemaoevetoA, istoé,quetêmsomadasfacespar,são os evetos (4, 6), (5, 5), (6, 4) e (6, 6). Logo, A B {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (6, 6)}. Note que ão precisamos listar o eveto A! Ele tem 18 elemetos!

10 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Exclusão Dois evetos A e B são mutuamete exclusivos quado eles ão podem ocorrer simultaeamete, isto é, quado a ocorrêcia de um impossibilita a ocorrêcia do outro. Isto sigifica dizer que os evetos A e B ão têm elemetos em comum. Etão, dois evetos A e B são mutuamete exclusivos quado sua iterseção é o cojuto vazio, isto é, A B (ver Figura 1.2). Figura 1.2: Evetos mutuamete exclusivos: A B Exemplo 1.8 Cosideremos ovamete o experimeto laçameto de dois dados e sejam os evetos A soma das faces é ímpar e B duas faces iguais. Etão, A e B são mutuamete exclusivos porque a soma de dois úmeros iguais é sempre um úmero par! Uião A uião de dois evetos A e B é o eveto que correspode à ocorrêcia de pelo meos um deles. Note que isso sigifica que pode ocorrer apeas A, ouapeasb ou A e B simultaeamete. Esse eveto será represetado por A B (ver Figura 1.3).

11 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 7 Figura 1.3: Uião de dois evetos: A B Note que x A B x A ou x B (1.2) Exemplo 1.9 Cosideremos o experimeto do laçameto de duas moedas, ode o espaço amostral é Ω {KK,KC,CK,CC}. Sejam os evetos A ocorrêcia de exatamete 1 cara e B duas faces iguais. Etão A {KC,CK} e B {CC,KK} ; logo, A B Ω e A B. Seja C o eveto pelo meos uma cara ; etão C {KC,CK,KK} e B C Ω e B C Complemetar O complemetar de um eveto A, deotado por A ou A c, éaegaçãodea. Etão, o complemetar de A éformadopeloselemetosqueão pertecem a A (ver Figura 1.4). Figura 1.4: Complemetar de um eveto A : A

12 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 8 Note que etambémque x A x/ A (1.3) A A Ω (1.4) Exemplo 1.10 Cosideremos o laçameto de um dado e seja A face par. Etão, A éo eveto face ímpar. Note que A {2, 4, 6} e A {1, 3, 5} e Ω A A Difereça A difereça etre dois evetos A e B, represetada por A B, ou equivaletemete, por A B, é o eveto formado pelos potos do espaço amostral que pertecem a A mas ão pertecem a B (ver Figura 1.5). Figura 1.5: Difereça de dois cojutos: A B A B Note que x A B x A e x/ B (1.5) etambém A (A B) (A B) (1.6) Além disso, A B 6 B A, coforme ilustrado a Figura 1.6.

13 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 9 Figura 1.6: Difereça de dois cojutos: B A B A Exemplo 1.11 Cosideremos ovamete o laçameto de dois dados e os evetos A soma das faces é par e B soma das faces é maior que 9. Vamos cosiderar as duas difereças, A B e B A. Temos que ½ ¾ (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), A (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6) e Logo, A B B {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} ½ (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (6, 2) B A {(5, 6), (6, 5)} ¾ Partição de um espaço amostral UmacoleçãodeevetosA 1,A 2,...A forma uma partição do espaço amostral Ω se 1. os evetos A i são disjutos dois a dois, isto é, se A i A j i 6 j; 2. a uião dos evetos A i é o espaço amostral Ω, isto é, Na Figura 1.7 ilustra-se esse coceito. S A i Ω. i1

14 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 10 Figura 1.7: Partição do espaço amostral Ω Exemplo 1.12 No experimeto laçameto de um dado, os evetos A face par e B face ímpar formam uma partição do espaço amostral. Temos também que, qualquer que seja Ω, um eveto A qualquer e seu complemetar A formam uma partição, isto é, A A e A A Ω Propriedades das operações Sejam A, B, C evetos de um espaço amostral Ω. Etão valem as seguites propriedades. 1. Idetidade A A A A Ω A A Ω Ω (1.7) (Note que Ω é o equivalete do cojuto uiversal da teoria de cojutos.) 2. Complemetar Ω Ω A A A A Ω (1.8)

15 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Idempotete 4. Comutativa 5. Associativa 6. Distributiva A A A A A A (1.9) A B B A A B B A (1.10) (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) (1.11) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (1.12) AilustraçãodaprimeirapropriedadeestáaFigura 1.8. Na liha superior, ilustramos o lado esquerdo da igualdade A (B C) :odiagramaàesquerdatemosoevetoa eo diagrama do cetro temos o eveto B C. Para sombrear a iterseção desses dois evetos, basta sombrear as partes que estão sombreadas em ambos os diagramas, o que resulta o diagrama à direita, ode temos o eveto A (B C). Na liha iferior, ilustramos o lado direitodaigualdade(a B) (A C) :o diagrama à esquerda temos o eveto A B e o diagrama do cetro, o eveto A C. Para sombrear a uião desses dois evetos, basta sombreartodasaspartesqueestãosombreadasemalgumdosdiagramas,oqueresultao diagrama à direita, ode temos o eveto (A B) (A C). Aalisado os diagramas à direita as duas lihas da figura, vemos que A (B C) (A B) (A C). A ilustração da seguda propriedade está a Figura 1.9. Na liha superior, ilustramos o lado esquerdo da igualdade A (B C) :odiagramaàesquerdatemosoevetoa eodiagrama do cetro temos o eveto B C. Para sombrear a uião desses dois evetos, basta sombrear todas as partes que estão sombreadas em algum dos diagramas, o que resulta o diagrama àdireita,odetemosoevetoa (B C). Na liha iferior, ilustramos o lado direito da igualdade (A B) (A C) :o diagrama à esquerda temos o eveto A B eodiagrama do cetro, o eveto A C. Para sombrear a iterseção desses dois evetos, basta sombrear todas as partes que estão sombreadas em ambos os diagramas e isso resulta o diagrama à direita, ode temos o eveto (A B) (A C). Aalisado os diagramas à direita as duas lihas da figura, vemos que A (B C) (A B) (A C). 7. Absorção A (A B) A A (A B) A (1.13)

16 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 12 Figura 1.8: Ilustração da propriedade distributiva A (B C) (A B) (A C) Figura 1.9: Ilustração da propriedade distributiva A (B C) (A B) (A C)

17 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Leis de De Morga A B A B A B A B (1.14) Na primeira liha da Figura 1.10 ilustra-se a primeira propriedade A B A B : o diagrama à esquerda temos A B; os dois diagramas cetrais, temos, respectivamete, A e B; o diagrama à direita, temos A B, que é igual ao diagrama à esquerda, ou seja, A B A B. Na seguda liha da Figura 1.10 ilustra-se a seguda propriedade A B A B : o diagrama à esquerda temos A B; os dois diagramas cetrais, temos, respectivamete, A e B; o diagrama à direita, temos A B, que é igual ao diagrama à esquerda, ou seja, A B A B. Figura 1.10: Ilustração das propriedades de De Morga 1.5 Exemplos Exemplo 1.13 Sejam A, B, C três evetos de um espaço amostral. Exprima os evetos abaixo usado as operações uião, iterseção e complemetação: 1. somete A ocorre; 2. A, B e C ocorrem; 3. pelo meos um ocorre; 4. exatamete dois ocorrem. Solução: 1. O eveto Somete A ocorre sigifica que A ocorreu e B ão ocorreu e C ão ocorreu; em liguagem de cojuto: Somete A ocorre A B C

18 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS O eveto A, B e C ocorrem sigifica que os três evetos ocorreram; em liguagem de cojuto, A, B e C ocorrem A B C 3. O eveto pelo meos um ocorre sigifica que pode ter ocorrido apeas um, ou dois ou três; essa é a própria defiição de uião, ou seja, em liguagem de cojuto, temos que pelo meos um ocorre A B C 4. Os dois que ocorrem podem ser A e B ou A e C ou B e C. Ocorredo dois desses, o terceiro ão pode ocorrer. Logo, em liguagem de cojuto temos que: exatamete dois ocorrem A B C A B C A B C Exemplo 1.14 Cosidere o laçameto de dois dados e defia os seguites evetos: A soma par B soma 9 C máximo das faces é 6 Calcule A B, A B, A B, B A, B C, B C. Solução: ½ ¾ (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), A (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6) B {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} ½ ¾ (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), C (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) A B A B A B A B {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (6, 6)} (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 3), (6, 5) ½ (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (6, 2) B A {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 3), (6, 5)} B C {(3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} B C {(4, 5), (5, 4), (5, 5)} Note que, de acordo com as propriedades já vistas, (B C) (B C) (B C) B C [(B C) B] (B C) C [B] C (B C) B C B C C B C B (Ω) B C B B C (B B) B C B B ¾

19 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Exercícios Complemetares 1.1 Laçam-se três moedas. Eumerar o espaço amostral e os evetos A faces iguais ; B caraaprimeiramoeda ; C coroa a seguda e terceira moedas. 1.2 Cosidere os diagramas a Figura No diagrama (1), assiale a área correspodete a A B 2. No diagrama (2), assiale a área correspodete a A B 3. No diagrama (3), assiale a área correspodete a (A C) B 4. No diagrama (4), assiale a área correspodete a (A B) C Figura 1.11: Exercício Na Figura 1.12, obteha a expressão matemática para os evetos defiidos por cada uma das áreas umeradas. Figura 1.12: Exercício 1.3

20 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS Defia um espaço amostral para cada um dos seguites experimetos aleatórios: 1. Em uma pesquisa de mercado, cota-se o úmero de clietes do sexo masculio que etram em um supermercado o horário de 8 às 12 horas. 2. Em um estudo de viabilidade de abertura de uma creche própria de uma grade empresa, fez-se um levatameto, por fucioário, do sexo dos filhos com meos de 5 aos de idade. Oúmeromáximodefilhos por fucioário é 4 e a iformação relevate é o sexo dos filhos de cada fucioário. 3. Em um teste de cotrole de qualidade da produção, mede-se a duração de lâmpadas, deixadoas acesas até que queimem. 4. Um fichário com 10 omes cotém 3 omes de mulheres. Selecioa-se ficha após ficha até o último ome de mulher ser selecioado e aota-se o úmero de fichas selecioadas. 5. Laça-se uma moeda até aparecer cara pela primeira vez e aota-se o úmero de laçametos. 6.Emumaurahá5bolasidetificadas pelas letras {A, B, C, D, E}. Sorteiam-se duas bolas, uma após a outra com reposição,e aota-se a cofiguração formada. 7. Mesmo euciado aterior, mas as duas boas são selecioados simultaeamete. 1.5 Sejam A, B, C três evetos de um espaço amostral. Exprimir os evetos abaixo usado as operações uião, iterseção e complemetação: 1. exatamete um ocorre; 2. ehum ocorre; 3. pelo meos dois ocorrem; 4. o máximo dois ocorrem.

21 Capítulo 2 Probabilidade - Defiição Clássica 2.1 Defiição clássica de probabilidade No capítulo aterior, vimos que o espaço amostral para o experimeto aleatório do laçameto de um dado é Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vimos também que é usual supor que o dado seja equilibrado, o que equivale dizer que todos os resultados são igualmete prováveis. Etão, se jogarmos o dado várias vezes, aproximadamete um sexto das ocorrêcias resultará a face 3, bem como metade das repetições resultará em um úmero par. Estamos aalisado a chace de ocorrêcia dos evetos A face 3 e B face par. O eveto A é um eveto elemetar, equato o eveto B éumsub- cojuto com 3 elemetos, o que represetaremos por #A 1e #B 3. Essa é uma termiologia usual para represetar o úmero de elemetos de um cojuto, que lemos como cardialidade de A ou B. É ituitivo dizer que A ocorrerá 1 das vezes, equato B ocorrerá 1 3 das vezes Defie-se, assim, a probabilidade de um eveto A como a razão etre o úmero de elemetos de A e o úmero de elemetos de Ω. Vamos os referir aos elemetos de A o eveto de iteresse como sedo os casos favoráveis, equato os elemetos de Ω são os casos possíveis, o que os leva à seguite defiição. Defiição 2.1 Defiição clássica de probabilidade Seja A um eveto de um espaço amostral Ω fiito, cujos elemetos são igualmete prováveis. Defie-se a probabilidade do eveto A como Pr(A) úmero de casos favoráveis úmero de casos possíveis #A #Ω Naturalmete, esta defiição estamos supodo que #Ω > 0, ou seja, que Ω teha algum elemeto pois, se ão tivesse, ão teríamos o que estudar! Esta foi a primeira defiição formal de probabilidade, tedo sido explicitada por Girolamo Cardao ( ). Vamos os referir a ela como a defiição clássica de probabilidade. Note que ela se baseia em duas hipóteses: 1. Há um úmero fiito de evetos elemetares, isto é, Ω éumcojutofiito. 2. Os evetos elemetares são igualmete prováveis. Embora essas hipóteses restrijam o campo de aplicação da defiição, veremos que ela é muito importate e vários exercícios serão resolvidos baseados ela. 17 (2.1)

22 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Propriedades da defiição clássica de probabilidade A defiição clássica de probabiliade satisfaz as seguites propriedades básicas: 1. Pr(A) 0 para todo eveto A Ω Demostração: Como #A 0 e #Ω > 0, Pr(A) é a razão de dois úmeros ão egativos, etão, Pr(A) Pr(Ω) 1. Demostração: Por defiição, Pr (Ω) #Ω #Ω Se A e B são evetos mutuamete exclusivos, etão Pr(A B) Pr(A)+Pr(B). Demostração: Se A e B são mutuamete exclusivos, resulta que A B. Neste caso, #(A B) #A +#B (veja a Figura 2.1). Logo, Pr(A B) #(A B) #Ω #A +#B #Ω #A #Ω + #B #Ω Pr(A)+Pr(B) Figura 2.1: Cardialidade da uião de evetos mutuamete exclusivos 4. Pr( ) 0 Demostração: Como # 0, resulta que Pr( ) # #Ω 0 #Ω 0 Essa propriedade pode ser obtida também utilizado-se apeas as 3 primeiras. Para isso, ote que podemos escrever Ω Ω

23 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 19 Como Ω e são mutuamete exclusivos, podemos aplicar a Propriedade 3 para obter Pr(Ω) Pr(Ω ) Pr(Ω)+Pr( ) Mas Pr(Ω) Pr(Ω)+Pr( ) Pr( ) Pr(Ω) Pr(Ω) 0 5. Pr(A) 1 Pr(A) Demostração: Vimos o capítulo aterior que Ω A A Como A e A são mutuamete exclusivos, podemos aplicar a Propriedade 3 para obter que Pr(Ω) Pr(A)+Pr(A) Mas, pela Propriedade 2, Pr(Ω) 1. Logo, 1Pr(A)+Pr(A) Pr(A) 1 Pr(A) 6. Pr(A B) Pr(A) Pr(A B) Demostração: Veja a Figura 2.2 para visualizar melhor esse resultado. Figura 2.2: Difereça de dois evetos A B Temos que A (A B) (A B)

24 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 20 O primeiro termo é a parte sombreada mais escura e o segudo termo é a parte sombreada mais clara. Podemos ver que essas duas partes ão têm iterseção. Logo, pela Propriedade 3, podemos escrever: Pr(A) Pr(A B)+Pr(A B) Pr(A B) Pr(A) Pr(A B) Volte à Figura 2.2 para ver que o eveto B A correspode à parte ão sombreada da figura eque Pr(B A) Pr(B) Pr(A B) 7. Para dois evetos A e B quaisquer, Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) Pr(A B) Demostração: Note que esse resultado geeraliza a Propriedade 3 para dois evetos quaisquer, ou seja, ão estamos exigido que A e B sejam mutuamete exclusivos. Veja a Figura 2.3. Figura 2.3: Uião de dois evetos quaisquer Toda a parte sombreada represeta a uião dos dois evetos, que pode ser decomposta as duas partes com diferetes sobreametos. A parte mais escura é A B eapartemaisclara é B, ouseja: A B (A B) B Como essas duas partes ão têm itereseção, pela Propriedade 3, podemos escrever Pr(A B) Pr(A B)+Pr(B) Mas a Propriedade 6, vimos que Pr(A B) Pr(A) Pr(A B). Substituido, obtemos que Pr(A B) Pr(A B)+Pr(B) Pr(A) Pr(A B)+Pr(B)

25 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Se A B etão Pr(A) Pr(B). Demostração: Veja a Figura 2.4. SeA B etão A B A - essa é a parte sombreada da figura. Nesse caso, usado a Propriedade 6, temos que Pr(B A) Pr(B) Pr(A B) Pr(B) Pr(A) mas, pela Propriedade 1, a probabilidade de qualquer eveto é ão egativa. Logo, Pr(B) Pr(A) 0 Pr(A) Pr(B) Figura 2.4: Ilustração da propriedade 8: A B 9. Pr(A) 1 para qualquer eveto A Ω. Demostração: Usado as Propriedades 9 e 2, temos que A Ω Pr(A) Pr(Ω) 1 Pr(A) 1

26 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Resumo das propriedades Vamos apresetar os resultados vistos ateriormete para facilitar o seu estudo. Propriedades da probabilidade 0 Pr(A) 1 Pr(Ω) 1 A B Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) Pr( ) 0 Pr(A) 1 Pr(A) Pr(A B) Pr(A) Pr(A B) Pr(B A) Pr(B) Pr(A B) Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) Pr(A B) A B Pr(A) Pr(B) Exemplos Exemplo 2.1 No laçameto de um dado, qual é a probabilidade de se obter face maior que 4? Solução: Sabemos que #Ω 6e também que o eveto de iteresse é A {5, 6). Logo, Pr(A) Exemplo 2.2 Cosidere um baralho usual composto de 52 cartas divididas em 4 aipes: ouros, copas, paus e espadas, cada aipe com 13 cartas. As cartas dos 2 primeiros aipes são vermelhas e as dos dois últimos aipes, pretas. Em cada aipe, as cartas podem ser Ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valete, Dama e Rei. Essas três últimas são figuras que represetam a realeza. Retirado-se ao acaso uma carta desse baralho, qual é a probabilidade de que seja uma figura? Uma carta preta? Solução: Como há 52 cartas ao todo, #Ω 52. Vamos deotar por F oeveto cartaretiradaéuma figura e por P o eveto carta retirada é preta. Em cada um dos 4 aipes há três figuras. Logo, o úmero total de figuras é 4 3, ouseja,#f 12. Logo, a probabilidade de retirarmos uma figura é Pr(F ) Metade das cartas é de cor preta; logo, a probabilidade de que a carta seja 13 preta é Pr(P )

27 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 23 Exemplo 2.3 Um úmero é escolhido etre os 20 primeiros iteiros, 1 a 20. Qual é a probabilidade de que o úmero escolhido seja (i) par? (ii) primo? (iii) quadrado perfeito? Solução: Vamos deotar por P oeveto úmeropar,porr o eveto úmero primo e por Q o eveto quadrado perfeito. Etão, A {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}; P {1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}; Q {1, 4, 9, 16}. Logo, Pr(P ) ;Pr(R) ;Pr(Q) Exemplo 2.4 Uma ura cotém 6 bolas pretas, 2 bolas bracas e 8 bolas verdes. Uma bola é escolhida ao acaso desta ura. Qual é a probabilidade de que (i) a bola ão seja verde? (ii) a bola seja braca? (iii) a bola ão seja em braca em verde? Solução: Temos um total de bolas. Logo, #Ω 16. Vamos deotar por P, B, V os evetos bola preta, braca e verde, respectivamete. (i) Queremos a probabilidade de V, ou seja, do complemetar de V. Vimos que Pr(V ) 1 Pr(V ) (ii) Pr(B) #B #Ω (iii) Se a bola ão é braca em verde, ela tem que ser preta. Note que estamos pedido Pr(B V ). Pela lei de De Morga e pelas Propriedades 3 e 4, temos que Pr(B V ) Pr(B V )1 Pr(B V ) 1 [Pr(B)+Pr(V )] Pr(P ) Exemplo 2.5 Cosideremos ovamete o laçameto de dois dados. Vamos defiir os seguites evetos: A soma das faces par, B soma das faces maior que 9, C soma das faces ímpar meor que 9. Vamos calcular a probabilidade de tais evetos. Solução: Avisualizaçãodoespaçoamostraldesseexperimetopodeservistaatabelaaseguir,ode, para cada par possível de resultados, apresetamos também a soma das faces: Dado (1, 1) 2 (1, 2) 3 (1, 3) 4 (1, 4) 5 (1, 5) 6 (1, 6) 7 2 (2, 1) 3 (2, 2) 4 (2, 3) 5 (2, 4) 6 (2, 5) 7 (2, 6) 8 Dado 3 (3, 1) 4 (3, 2) 5 (3, 3) 6 (3, 4) 7 (3, 5) 8 (3, 6) (4, 1) 5 (4, 2) 6 (4, 3) 7 (4, 4) 8 (4, 5) 9 (4, 6) 10 5 (5, 1) 6 (5, 2) 7 (5, 3) 8 (5, 4) 9 (5, 5) 10 (5, 6) 11 6 (6, 1) 7 (6, 2) 8 (6, 3) 9 (6, 4) 10 (6, 5) 11 (6, 6) 12

28 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 24 Podemos ver que : Logo, Ω A (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6) #Ω 36 (2.2) #A 18 B {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} #B 6 ½ ¾ (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), C #C 12 (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (5, 2), (6, 1), Pr (A) Pr (B) Pr (C) Exemplo 2.6 Em uma ura há 4 bolas bracas e 3 bolas verdes. Duas bolas são retiradas dessa ura, seqüecialmete e sem reposição. Qual é a probabilidade de obtermos (i) 2 bolas bracas? (ii) 2 bolas verdes? (iii) 2 bolas de cores diferetes? Solução: Vamos idicar por B 1, B 2, B 3 e B 4 as quatro bolas bracas e por V 1,V 2 e V 3 as três bolas verdes. O espaço amostral para este experimeto é Ω {(C 1,C 2 ); C 1,C 2 B 1,B 2,B 3,B 4,V 1,V 2,V 3 ; C 1 6 C 2 } A primeira bola pode ser qualquer uma; logo, há 7 bolas possíveis. Como a extração é sem reposição, para a seguda bola só há 6 possibilidades. Assim, o úmero total de pares é (i) O eveto A 2 bolas bracas é ½ ¾ B1 B A 2,B 1 B 3,B 1 B 4,B 2 B 1,B 2 B 3,B 2 B 4, B 3 B 1,B 3 B 2,B 3 B 4,B 4 B 1,B 4 B 2,B 4 B 3 Logo, Pr(A) (ii) O eveto B 2 bolas verdes é B {V 1 V 2,V 1 V 3,V 2 V 1,V 2 V 3,V 3 V 1,V 3 V 2 } Logo, Pr(B) (iii) O eveto C bolas de cores diferetes é o complemetar do eveto D bolas de cores iguais. Por sua vez, D A B ecomoa e B são mutuamete exclusivos, Pr(D) Pr(A)+Pr(B) Logo, Pr(C) 1 Pr(D) Note o trabalho que dá listar todos os elemetos de um eveto!

29 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 25 Exemplo 2.7 É iteressate otar o seguite fato sobre a extração das bolas: em vez de fazermos extrações seqüeciais, podemos retirar 2 bolas simultaeamete. Em ambos os casos, as extrações são sem reposição, ou seja, a mesma bola ão pode sair duas vezes. O que muda, etão? Nas extrações simultâeas, ão podemos difereciar a ordem das bolas; por exemplo, os pares V 1 V 2 e V 2 V 1 são os mesmos. Dessa forma, a cardialidade do espaço amostral fica reduzida por 2, que é 2!, úmero de maeiras de orgaizar as 2 bolas. Se fossem 3 bolas, ficaria reduzido por 3! 6. Para ajudar a compreesão dessa difereça, vamos listar o espaço amostral os dois casos, bem como os evetos que estudamos. Eveto Extrações seqüeciais Eveto Extrações simultâeas 2 bolas B 1 B 2,B 1 B 3,B 1 B 4, 2 bolas B 1 B 2,B 1 B 3,B 1 B 4, bracas B 2 B 1,B 2 B 3,B 2 B 4, bracas B 2 B 3,B 2 B 4, B 3 B 1,B 3 B 2,B 3 B 4, B 3 B 4, B 4 B 1,B 4 B 2,B 4 B 3, 2 bolas V 1 V 2,V 1 V 3, 2 bolas V 1 V 2,V 1 V 3, verdes V 2 V 1,V 2 V 3, verdes V 2 V 3, V 3 V 1,V 3 V 2, Braca B 1 V 1,B 1 V 2,B 1 V 3, Uma B 1 V 1,B 1 V 2,B 1 V 3, e verde B 2 V 1,B 2 V 2,B 2 V 3, braca B 2 V 1,B 2 V 2,B 2 V 3, B 3 V 1,B 3 V 2,B 3 V 3, euma B 3 V 1,B 3 V 2,B 3 V 3, B 4 V 1,B 4 V 2,B 4 V 3, verde B 4 V 1,B 4 V 2,B 4 V 3 Verde V 1 B 1,V 1 B 2,V 1 B 3,V 1 B 4, e V 2 B 1,V 2 B 2,V 2 B 3,V 2 B 4, braca V 3 B 1,V 3 B 2,V 3 B 3,V 3 B 4 Note que as probabilidades são as mesmas em ambos os casos: Extrações seqüeciais Pr(2 verdes) Pr(2 bracas) Pr(cores diferetes) Extrações simultâeas Exemplo 2.8 Prove que: Pr A B A B Pr(A)+Pr(B) 2Pr(A B) Os dois termos da esquerda dão, respectivamete, as probabilidades dos evetos apeas A ocorre e apeas B ocorre. Logo, a afirmação trata da probabilidade de que exatamete um dos evetos A ou B ocorre. Solução: Pela Propriedade 6, temos que Pr A B Pr(A) Pr (A B) Pr A B Pr(B) Pr (A B)

30 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 26 Somado essas igualdades termo a termo, obtém-se que: Pr A B +Pr A B Pr(A) Pr (A B)+Pr(B) Pr (A B) Como A B e A B são mutuamete exclusivos, a soma de suas probabilidades é a probabilidade da sua uião, ou seja, Pr A B +Pr A B Pr A B A B Logo, Pr A B A B Pr(A)+Pr(B) 2Pr(A B) Note que, pela defiição clássica de probabilidade, isso sigifica que # A B A B #A #Ω #Ω + #B #(A B) 2 #Ω #Ω e, portato, # A B A B #A +#B 2 #(A B) Exemplo 2.9 Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 aluos acertaram o primeiro, 86 erraram o segudo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apeas um. 1. Quatos aluos ão acertaram qualquer problema? 2. Quatos aluos acertaram apeas o segudo problema? Solução: Vamos deotar por P 1 e P 2 os evetos acertar problema 1 e acertar problema 2 respectivamete. Os dados do problema os dão que: #(P 1 P 2 ) 120 (acertar os 2) #P (acertar o primeiro) #P 2 86 (errar o segudo) # P 1 P 2 (P 1 P 2 ) 54 (acertar apeas um) Usado o resultado do exemplo aterior, tem-se que Logo, o úmero total de aluos é # P 1 P 2 (P 1 P 2 ) #P 1+#P 2 2#(P 1 P 2) #P #P #Ω #(P 2 P 2) #P 2+#P

31 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Pela lei de De Morga, tem-se que 2. Pela Propriedade 6, tem-se que: Pr P 1 P 2 Pr P1 P 2 1 Pr (P1 P 2 ) 1 [Pr(P 1 )+Pr(P 2 ) Pr(P 1 P 2 )] Pr P 2 P 1 Pr(P2 ) Pr(P 1 P 2 ) Figura 2.5: Espaço amostral do exemplo sobre acerto de 2 questões Exercícios 2.1 Em um arquivo há 4 balacetes de orçameto e 3 balacetes de custos. Em uma auditoria, o auditor selecioa aleatoriamete um destes balacetes. Qual é a probabilidade de que seja um balacetedecustos?edeorçameto? 2.2 Cosidere a situação aterior, só que agora o auditor retira seqüecialmete 2 balacetes sem reposição. Qual é a probabilidade de serem sorteados (i) 2 balacetes de custos? (ii) 2 balacetes de orçameto? (iii) 2 balacetes de tipos diferetes?

32 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Revisão de aálise combiatória A defiição clássica de probabilidade exige que saibamos cotar o úmero de elemetos de um cojuto. Nos exemplos ateriores, embora trabalhoso, era possível listar todos os elemetos do espaço amostral, mas em sempre esse é o caso. Muitas vezes será ecessário obter o úmero de elemetos sem eumerá-los. A aálise combiatória cosiste em um cojuto de regras de cotagem, dasquaisveremosaspricipais Pricípio fudametal da adição Na apresetação da Propriedade 3, vimos que para dois evetos A e B mutuamete exclusivos, a cardialidade da uião deles era a soma das respectivas cardialidades. No caso de mais de dois evetos, é possível geeralizar esse resultado, desde que os evetos sejam dois a dois disjutos ou mutuamete exclusivos. Proposição 2.1 Pricípio Fudametal da Adição Sejam A 1,A 2,...,A k cojutostaisquea i A j i 6 j e #A i i. (Veja a Figura 2.6.) Nesse caso, temos que S # k P A i k (#A i ) k i1 i1 Figura 2.6: Cardialidade da uião de evetos mutuamete exclusivos dois a dois

33 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Pricípio fudametal da multiplicação Para ilustrar o segudo pricípio fudametal da cotagem, cosidere que uma sala há 3 homes (h 1,h 2,h 3 ) e 5 mulheres (m 1,m 2,m 3,m 4,m 5 ). Quatos casais podem ser formados com essas pessoas? Para respoder a essa perguta, devemos otar que há 5 casais os quais o homem é h 1, 5 os quais o homem é h 2 eoutros5osquaisohomeméh 3, perfazedo um total de casais. Esse exemplo ilustra o pricípio fudametal da multiplicação. Proposição 2.2 Pricípio Fudametal da Multiplicação Se temos k decisões d 1,d 2,...,d k que podem ser tomadas de 1, 2,..., k maeiras respectivamete, etão o úmero de maeiras de tomar as decisões d 1 e d 2 e e d k é 1 2 k. No exemplo aterior, temos 2 decisões: a primeira decisão é d 1 escolha do homem e a seguda decisão é d 2 escolha da mulher. Como há 3 homes e 5 mulheres, o úmero de casais que podemos formar é 3 515, como já visto. Note que o pricípio da multiplicação permite obter o úmero de elemetos do espaço amostral formado pelos casais Ω sem ter que fazer essa eumeração efadoha! h 1 m 1,h 1 m 2,h 1 m 3,h 1 m 4,h 1 m 5, h 2 m 1,h 2 m 2,h 2 m 3,h 2 m 4,h 2 m 5, h 3 m 1,h 3 m 2,h 3 m 3,h 3 m 4,h 3 m 5, Exemplo 2.10 Quatos úmeros aturais de três algarismos distitos existem? Solução: Para o primeiro algarismo (milhar), existem 9 possibilidades, já que o zero ão pode ocupar a primeira posição. Para a seguda posição, escolhida a primeira, sobram 9 algarismos (agora já podemos cosiderar o zero) e para a terceira, escolhidos os dois primeiros, sobram 8 algarismos. Logo, existem úmeros. (Já pesou o trabalho que seria listar todos eles?) Exemplo 2.11 Um prédio possui 8 portas. De quatas maeiras posso etrar e sair desse prédio, seãoquerousarasaídaamesmaportaqueuseiaetrada? Solução: Para a etrada posso escolher qualquer uma das 8 portas. Escolhida a porta de etrada, sobram 7portasparaasaída.Logo,existem8 756maeiras de etrar e sair por portas diferetes. Exemplo 2.12 Comosalgarismos1,2,3,4,5,6,quatosúmerosparesdetrêsalgarismos distitos podemos formar? Solução: Para que o úmero seja par, ele tem que termiar com 2, 4 ou 6. Se ele termia com 2, sobram 2 posições para serem preechidas com algarismos distitos escolhidos etre 1, 3, 4, 5, 6. Para a primeira posição temos 5 possibilidades; escolhida a primeira posição, sobram 4 para a seguda posição. Logo, existem úmeros pares com 3 algarismos distitos termiado com 2. Aalogamete, existem 20 que termiam com 4 e vite que termiam com 6. Logo, o úmero total é60.

34 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Exercícios 2.3 De quatos modos distitos podemos colocar 3 livros em uma prateleira? 2.4 Quatos úmeros com cico algarismos podemos costruir com os algarismos 1,3,5,7,9? Desses, quatos apresetam os algarismos 1 e 3 jutos? Permutações Cosideremos quatro objetos distitos a 1,a 2,a 3,a 4. De quatas maeiras podemos ordeá-los? Vamos listar todas as possibilidades. a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 4 a 3 a 1 a 3 a 2 a 4 a 1 a 3 a 4 a 2 a 1 a 4 a 2 a 3 a 1 a 4 a 3 a 2 a 2 a 1 a 3 a 4 a 2 a 1 a 4 a 3 a 2 a 3 a 1 a 4 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 4 a 1 a 3 a 2 a 4 a 3 a 1 a 3 a 1 a 2 a 4 a 3 a 1 a 4 a 2 a 3 a 2 a 1 a 4 a 3 a 2 a 4 a 1 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4 a 2 a 1 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 3 a 2 a 4 a 2 a 1 a 3 a 4 a 2 a 3 a 1 a 4 a 3 a 1 a 2 a 4 a 3 a 2 a 1 Cada uma dessas ordeações é chamada uma permutação simples. Podemos ver que o úmero de tais permutações é bem grade: ote que, para apeas 4 objetos, temos 24 permutações. O cálculo do úmero de permutações é uma coseqüêcia direta do pricípio da multiplicação. Cosideremos, etão, objetos distitos a 1,a 2,...,a. Para a primeira posição, temos possibilidades. Para a seguda, escolhida a primeira, sobram 1 objetos. Para a terceira, escolhidas a primeira e a seguda posições, sobram 2 objetos. Cotiuado, para a última posição, escolhidas as 1 ateriores, sobra apeas 1 objeto. Pelo pricípio da multiplicação, o úmero total de permutações, que deotaremos P, é ( 1) ( 2) 1 e esse úmero, por defiição, é o fatorial de. Temos, assim, o seguite resultado. Proposição 2.3 Dados objetos distitos, o úmero de permutações simples de tais objetos é dado por P ( 1) ( 2) 2 1, ouseja: P! (2.3) Exemplo 2.13 Quatas filas diferetes podemos formar com 5 criaças? Solução Essa é exatamete a defiição de permutação; logo, o úmero de filas é 5! Exemplo 2.14 Temos 5 livros de Estatística, 3 livros de Matemática Fiaceira e 4 livros de Cotabilidade. De quatas maeiras podemos orgaizar esses livros em uma prateleira? Qual seria a sua resposta se os livros do mesmo assuto tivessem que ficar jutos? Solução:

35 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 31 Aotodo,há12livros;logo,seãoéecessárioagruparporassuto,existem12! maeiras de orgaizar os livros. Se os livros do mesmo assuto têm que ficar jutos, devemos observar que, primeiro, temos que cotar as maeiras como podemos orgaizar os assutos. Como são 3 assutos, há 3! 6 maeiras de orgaizar os assutos. Para os livros de Estatística, há 5! 120 maeiras de orgaizá-los; para os livros de Matemática fiaceira, 3! 6 maeiras e para os livros de Cotabilidade, 4! 24 maeiras. Pelo pricípio fudametal da multiplicação, o úmero total de maeiras de orgaizar os 12 livros de modo que os livros do mesmo assuto fiquem jutos é maeiras. Note que é razoável que esse úmero seja meor, pois estamos impodo codições restritivas a orgaização. Exemplo 2.15 Cico moças e cico rapazes têm que setar em 5 bacos de dois lugares, de modo que em cada baco fique uma moça e um rapaz. De quatas maeiras podemos fazer isso? Solução: Comecemos com as meias. A primeira meia pode escolher qualquer dos 10 lugares; logo, ela tem 10 possibilidades. Já a seguda meia só tem 8 possibilidades, porque ela ão pode setar juto com a primeira. Aalogamete, a terceira meia tem 6 possibilidades, a quarta tem 4 e a quita tem duas possibilidades. Defiidas as posições das meias, temos 5 rapazes para setar em cico lugares, o que pode ser feito de 5! maeiras. Logo, o úmero total de possibilidades, pelo pricípio fudametal da multiplicação, é ! Exercícios 2.5 Cosidere a palavra TEORIA. 1. Quatos aagramas 1 podemos formar? 2. Quatos aagramas começam com a letra T? 3. Quatos aagramas começam com a letra T e termiam com A? 4. Quatos aagramas têm todas as vogais jutas? 2.6 Quatas filas podem ser formadas por 5 moças e 5 rapazes? Se João e Maria fazem parte deste grupo, em quatas filas eles estão jutos? E em quatas filas eles estão separados? 1 Segudo o Aurélio SÉculo XXI: Aagrama: Palavra ou frase formada pela trasposição das letras de outra palavra ou frase. E dizem que a Iracema do romace de Alecar é o aagrama de América (João Ribeiro, Curiosidades Verbais, p. 76)

36 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Permutações de k objetos detre Na defiição acima de permutação, cosideramos ordeações de todos os objetos. Mas é possível que queiramos ordear apeas k dos objetos, ode k. Nesse caso, temos a defiição de permutação simples de k objetos selecioados detre objetos distitos. Supohamos, por exemplo, que quatro pessoas serão sorteadas detre dez. Quatas filas podemos formas com as quatro pessoas sorteadas? Como o caso das permutações, para a primeira posição da fila temos dispoíveis as 10 pessoas. Para a seguda, temos 9; para a terceira, temos 8 e para a quarta e última posição, temos 7. Logo, oúmerototaldefilas com as quatro pessoas sorteadas é Veja o esquema a seguir. Posição 1 a 2 a 3 a 4 a Possibilidades Note que, para a quarta posição, já escolhemos as três ateriores; assim, sobram apeas (10 3) [10 (4 1)]. Uma outra observação iteressate é a seguite: ( ) ( ) ( ) ( ) 6! 6! 10! 10! 6! (10 4)! Vamos ver, agora, o caso geral. Para calcular o úmero de permutações de k objetos detre, devemos otar que, para a primeira posição, existem possibilidades. Para a seguda, 1 possibilidades. Para a k-ésima e última posição, já foram escolhidos k 1 objetos; portato, sobram (k 1), ou seja, para a k-ésima posição há (k 1) k +1possibilidades. Logo, o úmero total de permutações de k elemetos, tomados detre, é ( 1) ( k +1). Vamos deotar por P k esse úmero. Proposição 2.4 O úmero de permutações simples de k objetos distitos selecioados detre objetos distitos, deotado por P k, é P k ( 1) ( k +1) Vamos usar um pequeo artifício para simplificar essa fórmula: vamos multiplicar e dividir o resultado por ( k) ( k 1) 2 1( k)! Etão, P k ( k)! ( 1) [ (k 1)] ( k)! ( 1) [ (k 1)] ( k) ( k 1) 2 1 ( k)!! ( k)!

37 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 33 De uma forma mais compacta, podemos escrever: P k! ( k)! (2.4) Note que, quado k, temos o resultado aterior: P! 0!!, uma vez que, pode defiição, 0! 1. Em algus livros, aida se ecotra o termo arrajo utilizado para deotar permutações de k objetos detre. Exemplo 2.16 Em um campeoato de futebol, cocorrem 20 times. Quatas possibilidades existem para os três primeiros lugares? Solução: ArespostaéP 3 20, pois a ordem faz difereça esse caso. Note que P ! 17! ! 17! Exemplo 2.17 Deumgrupode10pessoasdeveserextraídaumacomissãoformadaporumpresidete, um vice-presidete e um secretário. Quatas comissões é possível formar? Solução: A ordem aqui importa, já que os cargos ão são equivaletes. Assim, a solução é P ! 7! Exercícios 2.7 O segredo de um cofre é formado por uma seqüêcia de 3 dígitos escolhidos etre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Supoha que uma pessoa saiba que o segredo é formado por três algarismos distitos. Qual é o úmero máximo de tetativas que ela terá de fazer para abrir o cofre? 2.8 Quatos úmeros pares de três algarismos distitos podemos formar com os algarismos 1, 3, 6, 7, 8, 9? Combiações simples Vamos cosiderar agora a situação aáloga a uma permutação, mas ode a ordem ão importa, ou seja, a 1 a 2 a 3 é igual a a 3 a 1 a 2. Cosideremos a situação em que temos 5 objetos distitos dos quais vamos tomar 3. Como visto, o úmero de permutações é 5! 60. Vamos listá-las. 2!

38 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 34 Objetos evolvidos (1,2,3) (1,2,4) (1,2,5) (1,3,4) (1,3,5) (1,4,5) (2,3,4) (2,3,5) (2,4,5) (3,4,5) a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 4 a 1 a 2 a 5 a 1 a 3 a 4 a 1 a 3 a 5 a 1 a 4 a 5 a 2 a 3 a 4 a 2 a 3 a 5 a 2 a 4 a 5 a 3 a 4 a 5 a 1 a 3 a 2 a 1 a 4 a 2 a 1 a 5 a 2 a 1 a 4 a 3 a 1 a 5 a 3 a 1 a 5 a 4 a 2 a 4 a 3 a 2 a 5 a 3 a 2 a 5 a 4 a 3 a 5 a 4 a 2 a 1 a 3 a 2 a 1 a 4 a 2 a 1 a 5 a 3 a 1 a 4 a 3 a 1 a 5 a 4 a 1 a 5 a 3 a 2 a 4 a 3 a 2 a 5 a 4 a 2 a 5 a 4 a 3 a 5 a 2 a 3 a 1 a 2 a 4 a 1 a 2 a 5 a 1 a 3 a 4 a 1 a 3 a 5 a 1 a 4 a 5 a 1 a 3 a 4 a 2 a 3 a 5 a 2 a 4 a 5 a 2 a 4 a 5 a 3 a 3 a 1 a 2 a 4 a 1 a 2 a 5 a 1 a 2 a 4 a 1 a 3 a 5 a 1 a 3 a 5 a 1 a 4 a 4 a 2 a 3 a 5 a 2 a 3 a 5 a 2 a 4 a 5 a 3 a 4 a 3 a 2 a 1 a 4 a 2 a 1 a 5 a 2 a 1 a 4 a 3 a 1 a 5 a 3 a 1 a 5 a 4 a 1 a 4 a 3 a 2 a 5 a 3 a 2 a 5 a 4 a 2 a 5 a 4 a 3 Essa listagem está orgaizada de modo que, em cada colua, os objetos evolvidos são os mesmos. Note o seguite: como a ordem ão importa, os elemetos de cada colua são equivaletes, ou seja, só precisamos de um deles. Mas em cada colua temos as permutações dos três elemetos evolvidos. Logo, o úmero de elemetos em cada colua esse exemplo é 3! 6. Como só precisamos de um de cada 3!, oúmerototalé 60 3! 5! 2!3!. Ilustramos com esse exemplo o coceito e o cálculo do úmero de combiações simples de elemetos tomados k a k. Dado um cojuto de elemetos distitos, a combiação dos elemetos tomados k a k os dá o úmero de subcojutos com k elemetos (ote que, em um cojuto, a ordem dos elemetos ão importa). Proposição 2.5 Oúmerodecombiações simples de elemetos distitos tomados k a k é igual a µ C k P k! k! ( k)!k! (2.5) k Oúmero k é chamado úmero ou coeficiete biomial, ou aida, úmero combiatório. Note a difereça: o coceito de permutação, estamos lidado com seqüêcias de k elemetos, equato o coceito de combiação, estamos lidado com subcojutos. Nas seqüêcias, a ordem dos elemetos é relevate, mas ão os subcojutos. Exemplo 2.18 De um grupo de 8 homes e 5 mulheres devem ser escolhidos 3 homes e 3 mulheres para formar uma comissão. Quatas comissões podem ser formadas? Solução: µ 8 Os 3 homes podem ser escolhidos de maeiras; as três mulheres podem ser escolhidas de µ 3 µ µ maeiras. Pelo pricípio da multiplicação, há maeiras de escolher a comissão Note que µ µ 8 5 8! 3 3 5!3! 5! 3!2!

39 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 35 Exemplo 2.19 Um baralho de pôquer é formado pelas cartas 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei, ás de cada um dos quatro aipes. Em uma mão de pôquer, sacam-se 5 cartas sem reposição. Quatas são as extrações possíveis? Solução: Temos ao todo 4 832cartas. Como a ordem de retirada ão importa, o úmero total de extrações possíveis é C ! ! 5! 27! 5! 27! ! (4 8) 31 (15 2) (4 2) (5 3) Exemplo 2.20 Mega-Sea No joga da Mega-Sea da Caixa Ecoômica Federal, o apostador deve escolher o míimo seis e o máximo 15 úmeros diferetes etre 1 e 60. Um jogo simples cosiste a escolha de 6 úmeros e os preços das apostas se baseiam o úmero de jogos simples em cada cartão. Qual é o úmero total de jogos simples distitos? Num cartão com 15 úmeros marcados, quatos são os jogos simples? Se cada jogo simples custa R$1,50, qual o preço de um cartão com 15 úmeros marcados? Solução Note que, a Mega-Sea, a ordem ão importa; logo, o úmero total de jogos simples é µ 60 60! 6 6!54! ! ! Isso sigificaqueasuachacedeacertaraseaé 0, Num cartão com 15 úmeros marcados, o úmero de jogos simples é µ ! ! e, assim, o preço desse cartão é 1, , 5 eaprobabilidadedeseacertaraseacom um cartão desses é ,

40 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 36 Exemplo 2.21 Problema dos aiversários Emumgrupode10pessoas,qualéaprobabilidade de que pelo meos 2 façam aiversário o mesmo dia? Para simplificar, supoha que ehuma dessas pessoas teha ascido em ao bissexto. Solução: Note que, o caso de 10 pessoas, pelo meos 2 sigifica ou 2, ou 3, ou 4,..., ou 10. Etão, podemos resolver essa versão mais simples do problema do aiversário usado a regra do complemetar, ou seja, vamos calcular a probabilidade de todas as 10 pessoas fazerem aiversário em datas diferetes. Para isso, vamos usar o pricípio fudametal da multiplicação. O aiversário de cada uma das 10 pessoas pode ser em um dos 365 dias do ao. Logo, o úmero total de possibilidades para as datas dos aiversários das 10 pessoas é pelo pricípio fudametal da multiplicação. Isso os dá #Ω. Cosideremos, agora, o eveto A as 10 pessoas fazem aiversário em dias diferetes. Escolhida a primeira pessoa, ela pode fazer aiversário em qualquer dia; logo, o úmero de possibilidades é 365. Para a seguda pessoa, como o aiversário tem que ser em data diferete, sobram 364 possibilidades. Para a terceira, sobram 363; cotiuado, para a décima pessoa, sobram possibilidades. Logo, Pr(A) #A #Ω , Logo, a probabilidade de que pelo meos 2 pessoas façam aiversário o mesmo dia é Pr(A) 1 Pr(A) 0, Exercícios 2.9 De um grupo de 8 homes e 5 mulheres devem ser escolhidos 3 homes e 3 mulheres para formar uma comissão. Quatas comissões podem ser formadas se João e Maria, que pertecem ao grupo origial, ão aceitam participar em cojuto da comissão? 2.10 Três cartas vão ser retiradas de um baralho ormal de 52 cartas. Calcule a probabilidade de que: 1. todas as três sejam de espadas; 2. as três cartas sejam do mesmo aipe; 3. as três cartas sejam de aipes diferetes Triâgulo de Pascal e Biômio de Newto O triâgulo de Pascal é um quadro em formato de um triâgulo (que cosideraremos retâgulo para facilitar a exibição), formado pelos úmeros biomiais dispostos da seguite forma: a hipoteusa,

41 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 37 todos os elemetos são iguais a 1, bem como o cateto vertical: Liha Cadaelemetooiteriordotriâguloéobtidocomoasomadoelemetoimediatameteacima edoprimeiroelemetoacimaàesquerda;vejaafigura Figura 2.7: Costrução do triâgulo de Pascal Com esse procedimeto, obtém-se o triâgulo de Pascal a seguir (ote que esse triâgulo tem ifiitaslihaseifiitas coluas...) Liha

42 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 38 Os úmeros que aparecem em cada liha do triâgulo ada mais são que os úmeros combiatórios. Numeradoaslihasecoluasdotriâguloapartirdezero,oelemetodaliha e colua k é k. Etão, em cada liha, os elemetos vão desde 0 até Existem vários resultados sobre os úmeros combiatórios e várias propriedades associadas às lihas e coluas do triâgulo de Pascal. Proposição 2.6 Relação de Stifel A soma de dois elemetos cosecutivos de uma mesma liha é igual ao elemeto situado abaixo da última parcela, ou seja Demostração: µ µ + k k +1 µ +1 k +1. (2.6) µ µ + k k +1! k!( k)! +! (k +1)!( k 1)!! k!( k)( k 1)! +! (k +1)k!( k 1)!!(k +1)+!( k)!(k +1+ k) [(k +1)k!] [( k)( k 1)!]!( +1) (k +1)!( k)! ( +1)! (k +1)!( k)! (k +1)!( k)! µ +1 k +1 Cosidere a -ésima liha do triâgulo de Pascal e seja k<.etão, k é o elemeto que está a liha avaçado de k coluas em relação ao iício da liha; já k é o elemeto que está a liha atrasado de k coluas em relação ao fial da liha. Números combiatórios como k e k são chamados combiações complemetares. Proposição 2.7 Relação das Combiações Complemetares Em uma mesma liha do triâgulo de Pascal, elemetos equidistates dos extremos são iguais, ou seja: µ µ k k µ k µ k (2.7)

43 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 39 Demostração: µ µ! k ( k)! [ ( k)]!! k!( k)! k Proposição 2.8 Teorema das Lihas A soma dos elemetos da -ésima liha é igual a 2, ou seja: µ µ µ µ µ Em termos de somatório: X j0 µ 2 j 2 (2.8) Demostração: Como visto, o úmero combiatório k dá o úmero de subcojutos de tamaho k de um cojuto de tamaho. Assim,aexpressão(2.8),cadaúmerocombiatóriodáoúmerode subcojutos de determiado tamaho e a soma deles dá o úmero total de subcojutos de um cojuto de tamaho. Mas para formar subcojutos de tal cojuto podemos usar o seguite artifício: cada elemeto pode ser marcado com um + para idicar que pertece ao subcojuto, ou com um, para idicar que ão pertece ao subcojuto. O úmero total de formas de fazer isso é e isso prova que o úmero total de subcojutos de um cojuto de tamaho é 2 e isso completa a prova. Proposição 2.9 Teorema das coluas A soma dos elemetos de uma colua do triâgulo de Pascal, começado da primeira liha, é igualaoelemetoqueestáavaçadoumalihaeuamcoluaemrelaçãoaoúltimoelemetoda soma, ou seja: µ µ µ µ k k +1 k + k k k k k +1 Em termos de somatório: X µ µ k + j k + +1 k k +1 j0 Demostração: Vamos aplicar a relação de Stifel aos elemetos da colua k +1, a partir da primeira liha desta colua: k+1 k k k+2 k+1 k+1 k + k+1 k+1 k+3 k+2 + k+2 k+1 k+4 k+1 k+ 1 k+1 k+ k+1 k++1 k+1 k k+3 k k+1 + k+3 k+1. k+ 2 k + k+ 2 k+1 k+ 1 k + k+ 1 k+1 k+ k + k+ k+1

44 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 40 Somado essas igualdades termo a termo,podemos ver que há parcelas iguais em lados opostos, que podem ser simplificadas. Todos os termos do lado esquerdo, com exceção do último, cacelam com termos do lado direito e o que sobra é: k++1 k+1 k k + k+1 k + k+2 k + k+3 k + + k+ 2 k + k+ 1 k + k+ k ou seja X µ µ k + j k + +1 k k +1 j0 oquecompletaaprova. Proposição 2.10 Biômio de Newto Dados quaisquer úmeros reais x e a e um iteiro qualquer, etão X µ (x + a) a k x k (2.9) k Demostração: Vamosprovaresteresultadousadoométododaidução. O resultado é válido para 1. De fato: k0 (x + a) 1 x + a 1 0 x a Supohamos que o resultado seja válido para qualquer e vamos provar que é válido para +1. De fato: (x + a) +1 (x + a) (x + a) " X µ # a k x k (x + a) k k0 0 a 0 x + 1 a 1 x a 2 x a 2 x a 1 x 1 + a x 0 (x + a) 0 a 0 x a 1 x + 2 a 2 x a 2 x a 1 x 2 + a x a 1 x + 1 a 2 x a 3 x a 1 x a x 1 + a +1 x 0 0 a 0 x a 1 x a 2 x a 1 x a x 1 + a +1 x 0 Mas, pela relação de Stifel [equação (2.6)], temos que

45 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 41 Além disso, Logo, (x + a) a 0 x a 1 x a 2 x a 1 x a x a +1 x 0 X+1 µ +1 a k x +1 k k k0 eissocompletaaprova Aplicações 1. Note que, fazedo x 1e a 1a equação (2.9), obtemos que P 2 k k0 oqueosdáumaoutraprovadoteoremadaslihas. 2. Note que, fazedo x 1e a 1 a equação (2.9), obtemos que X µ ( 1) k 0 k k0 3. Fórmula de Euler: rx k0 µ µ m k r k µ m + r (2.10) Essa fórmula pode ser cosiderada verdadeira para quaisquer valores de m,, r desde que adotemos a coveção de que r 0para r>. Para demostrar esse resultado usado argumetos combiatórios, supoha um cojuto com + m elemetos, de modo que m desses elemetos estão em uma categoria I e os elemetos restates estão em outra categoria II (veja a Figura 2.8). Vamosexpadirotermodoladoesquerdo: µ µ m 0 r + µ µ m 1 r 1 + µ µ m 2 r µ µ m r 0 µ m + r O termo do lado direito da expressão os dá o úmero de subcojutos deste cojuto com r elemetos. O primeiro termo da soma do lado esquerdo os dá o úmero de subcojutos com ehum elemeto da categoria I e r elemetos da categoria II; o segudo termo os dá

46 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 42 Figura 2.8: Ilustração do cotexto da Fórmula de Euler o úmero de subcojutos com exatamete um elemeto da categoria I e r 1 elemetos da categoria II; o terceiro termo os dá o úmero de subcojutos com exatamete dois elemetos da categoria I e r 2 elemetos da categoria II e, sucessivamete, o último termo os dá o úmero de subcojutos com exatamete r elemetos da categoria I e ehum elemeto da categoria µ II. Somado esses termos, obtemos o úmero total de subcojutos com r elemetos, m + que é. r 4. Fazedo m r a equação (2.10), obtemos que X µ µ µ 2 k k k0 Mas pela relação das combiações complemetares k X 5. Vamos mostrar que k0 P k1 µ 2 k µ 2 k k 2 1 k, o que os dá: De fato: P k P! k k k1 k1 k!( k)! P! k k1 k(k 1)!( k)! Como k 6 0, podemosdividirambosostermospork, o que resulta P k1 k P k k1 P! (k 1)!( k)! P k1 ( 1)! (k 1)!( k)! k1 ( 1)! (k 1)!( k)!

47 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 43 Fazedo a mudaça de variável k 1j, podemos escrever (ote os ídices do somatório!): P k1 k 1 P k j1 usado o resultado (2.8). 6. Vamos mostrar que ( 1)! j!( j 1)! 1 P P k2 De fato: fazedo k 1j, podemos escrever P k2 k(k 1) k Fazedo j 1i P k2 1 P j1 1 P j1 1 P j1 j1 ( 1)! j!( 1 j)! 1 P k(k 1) k ( 1)2 2 (j +1)j j+1 j1 1 P! (j +1)j (j +1)!( j 1)! j1 1 j 2 1! (j +1)j (j +1)j!!( j 1)! 1 P! j j(j 1)!( j 1)!! (j 1)!( j 1)! k(k 1) 1 P! k j1 (j 1)!( j 1)! 2 P i0 2 P ( 1)( 2)! i!( 2 i)! i0 Mais uma vez, usamos o teorema das lihas. j1! i!( i 2)! ( 1) 2 P ( 1)2 2 i0 2 i 7. Se é par, etão De fato: o desevolvimeto do biômio de Newto os dá que (x + a) 0 a 0 x + 1 a 1 x a 2 x a 1 x 1 + a x 0 T 0 + T 1 + T T 1 + T em que Aalogamete, se é par T k k a k x k (x a) 0 ( a) 0 x + 1 ( a) 1 x ( a) 2 x T 0 T 1 + T 2 + T 1 + T 1 ( a) 1 x 1 + ( a) x 0 Etão, (x + a) +(x a) 2(T 0 + T T 2 + T )

48 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA 44 e (x + a) (x a) 2(T 1 + T T 3 + T 1 ) Fazedo x a 1, resulta que 2 2(T 0 + T T 2 + T ) (T 1 + T T 3 + T 1 ) Logo, se épar NúmerosdeFiboaccieotriâgulodePascal O úmero de Fiboacci F édefiido como a soma dos elemetos da ésima diagoal iversa do triâgulo de Pascal. Veja a Figura 2.9 Etão, Figura 2.9: Números de Fiboacci o triâgulo de Pascal F Cada úmero a seqüêcia de Fiboacci é a soma dos dois úmeros ateriores, isto é: F +2 F + F +1 De fato: F + F F

49 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Exercícios Complemetares 2.11 Para a seleção brasileira foram covocados 2 goleiros, 6 zagueiros, 7 meios de campo e 4 atacates. De quatos modos é possível escalar a seleção com 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meios de campoe2atacates? 2.12 Em um toreio o qual cada participate efreta todos os demais, são jogadas 780 partidas. Quatos são os participates? 2.13 Em uma ura há 15 bolas umeradas de 1 a 15. Três bolas são retiradas da ura sem reposição. Qual é a probabilidade de que: 1. omeorúmeroseja7? 2. o maior úmero seja 7? 2.14 Usado as propriedades já vistas, mostre que Pr(A B C) Pr(A)+Pr(B)+Pr(C) Pr(A B) Pr(A C) Pr(B C) +Pr(A B C) Sugestão: Note que, pela propriedade associativa, você pode escrever A B C A (B C). Pese que A e B C são dois evetos e aplique a Propriedade 7, que dá a probabilidade da uião de dois evetos Quatos são os aagramas da palavra SIMULTANEO 1. que começam por cosoate e termiam por vogal? 2. que têm as letras S, I, M jutas essa ordem? 3. que têm as letras S, I, M jutas em qualquer ordem? 4. quetêmaletrasoprimeirolugarealetraiosegudolugar? 5. quetêmaletrasoprimeirolugaroualetraiosegudolugar? 6. que têm a letra S o primeiro lugar ou a letra I o segudo lugar ou a letra M o terceiro lugar? Sugestão: Aqui você deve usar o resultado do exercício aterior Usado a Propriedade 6, mostre as seguites igualdades: 1. Pr(A B C) Pr(A B) Pr(A B C) 2. Pr(A B C) Pr(A) Pr(A B) Pr(A C)+Pr(A B C)

50 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADE - DEFINIÇÃO CLÁSSICA Em uma cidade ode se publicam três jorais A, B, C, costatou-se que, etre 1000 famílias, assiam A: 470 B: 420 C: 315 A e B: 110 A e C: 220 B e C: 140 A, B e C: 75 Escolhedo-se ao acaso uma família, qual é a probabilidade de que ela 1. ão assie qualquer dos três jorais? 2. assie apeas um dos três jorais? 3. assie pelo meos dois jorais? 2.18 Em um levatameto em um bairro de 1000 moradores, verifica-se que 220 têm curso superior; 160 são casados; 100 estão desempregados; 50 têm curso superior, são casados e estão empregados; 60 têm curso superior e estão desempregados; 20 têm curso superior, são casados e estão desempregados. Escolhe-se ao acaso um morador desse bairro. Qual é a probabilidade de que ele 1. teha curso superior e seja casado? 2. ou teha curso superior e seja casado ou esteja empregado? 3. ou teha curso superior ou esteja desempregado? 2.19 Um lote é formado por 10 artigos bos, 4 com defeitos meores e 2 com defeitos graves. Um artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que: 1. ele ão teha defeitos; 2. ele ão teha defeitos graves; 3. ele seja perfeito ou teha defeitos graves Quatro bolsas de estudo serão sorteadas etre 30 estudates, dos quais 12 são do 1 o ciclo e 18 do 2 o ciclo. Qual a probabilidade de que haja etre os sorteados: 1. um do 1 o ciclo? 2. o máximo um do 2 o ciclo? 3. pelo meos um de cada ciclo?

51 Capítulo 3 Axiomas, Probabilidade Codicioal e Idepedêcia 3.1 Defiição axiomática de probabilidade No capítulo aterior, vimos que a defiição clássica de probabilidade se restrige a espaços amostrais fiitos, ode os evetos elemetares são equiprováveis. Apesar de tais restrições, essa defiição tem várias propriedades iteressates, que foram deduzidas (ou demostradas) a partir das três primeiras. Isso os leva à defiição axiomática 1 de probabilidade. O primeiro fato a observar é o seguite: de acordo com a defiição clássica, a probabilidade é um úmero que associamos a cada eveto de um espaço amostral Ω. Segudo, esse úmero - chamado probabilidade - tem determiadas propriedades, algumas das quais foram deduzidas a partir de outras. A defiição que iremos apresetar leva em cota esses fatos. Defiição 3.1 Defiição axiomática de probabilidade Seja Ω um espaço amostral associado a um experimeto aleatório. Probabilidade é uma fução, deotada por Pr, que associa a cada eveto A de Ω um úmero real Pr(A) que satisfaz os seguites axiomas: Axioma 1 : Pr(A) 0 Axioma 2 : Pr(Ω) 1 Axioma 3 : A B Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) Na Figura 3.1 ilustra-se o coceito de probabilidade como uma fução, costruido-se um gráfico de barras para represetá-la. Éimportatequevocêobservequeostrêsaxiomascorrespodemàstrêsprimeiraspropriedades vistas para a defiição clássica de probabilidade o capítulo aterior. Para a defiição clássica, a 1 Segudo o dicioário Aurélio: Axioma Proposição que se admite como verdadeira porque dela se podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático. 47

52 Figura 3.1: Defiição axiomática de probabilidade demostração da validade dessas três propriedades é imediata - e óbvia - a partir da teoria de cojutos. No caso geral, elas formam o cojuto de axiomas da probabilidade. Como todas as outras propriedades foram deduzidas a partir dessas três propriedades, elas cotiuam valedo o caso geral, ou seja, a partir dos três axiomas deduzimos as seguites propriedades: Pr( ) 0 Pr(A) 1 Pr(A) Pr(A B) Pr(A) Pr(A B) Pr(B A) Pr(B) Pr(A B) Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) Pr(A B) A B Pr(A) Pr(B) Pr(A) Exemplos Exemplo 3.1 Dados Ω {1, 2, 3},A {1},B {2},C {3}, Pr(A) 1, Pr(B) 1, calcule: Pr(C) 2. Pr(A B) 3. Pr(A) 4. Pr(A B) 5. Pr(A B). Solução 1. Como Pr(Ω) 1, resulta que Pr(C) 1 Pr(A) Pr(B) 1. 3

53 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Como A e B são mutuamete exclusivos, Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) Pr(A) 1 Pr(A) Pela lei de De Morga, temos que Pr(A B) Pr(A B) 1 Pr(A B) Pela lei de De Morga, temos que Pr(A B) Pr(A B) 1 Pr(A B) Exemplo 3.2 Dado que Ω { 1, 0, 1}, verifique se é possível defiir uma medida de probabilidade em Ω tal que Pr ({ 1, 1}) 0, 6 Pr ({0, 1}) 0, 9 Pr ({ 1, 0}) 0, 5 Justifique sua resposta. Solução: Note que o eveto { 1, 1} { 1} {1}. Logo, as probabilidades dadas se trasformam o seguite sistema de 3 equações com 3 icógitas: Pr ( 1) + Pr(1) 0, 6 Pr(0) + Pr(1) 0, 9 Pr( 1) + Pr(0) 0, 5 Da primeira equação, obtemos que Pr(1) 0, 6 Pr( 1). Substituido a seguda, obtemos o seguite sistema de 2 equações e 2 icógitas: ou Somado termo a termo, resulta que Substituido, obtemos que Substituido ovamete, obtemos Pr(0) + 0, 6 Pr( 1) 0, 9 Pr( 1) + Pr(0) 0, 5 Pr(0) Pr( 1) 0, 3 Pr(0) + Pr( 1) 0, 5 2 Pr(0) 0, 8 Pr(0) 0, 4 Pr( 1) 0, 5 Pr(0) 0, 5 0, 4 Pr( 1) 0, 1 Pr(1) 0, 6 Pr( 1) 0, 6 0, 10, 5 Como todos os valores obtidos estão o itervalo (0, 1), a atribuição dada é válida.

54 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Exercícios 3.1 Se Pr (A) 1/3 e Pr B 1/4, A e B podem ser mutuamete exclusivos? 3.2 Sejam A e B são evetos mutuamete exclusivos tais que Pr(A) 0, 5 e Pr(B) 0, Calcule Pr(A B). 2. Calcule Pr(B A). 3.2 Probabilidade codicioal Cosideremos o laçameto de um dado equilibrado. Já vimos que o espaço amostral desse experimeto é Ω {1, 2, 3, 4, 56, }. Cosidere o eveto A sair face 2. Se ão temos qualquer iformação além de o dado ser equilibrado, vimos que Pr(A) 1. 6 Supohamos, agora, que o dado teha sido laçado e a seguite iformação forecida: saiu facer par. Qual é a probabilidade de ter saído face 2? Note a difereça: agora ós temos uma iformação parcial sobre o experimeto e devemos usá-la para reavaliar a ossa estimativa. Mais precisamete, sabemos que ocorreu o eveto B face par. Com essa iformação, podemos os cocetrar o eveto B {2, 4, 6}, uma vez que as faces 1,3,5 ficam descartadas em fução da iformação dada. Detro dessas três possibilidades, a probabilidade do eveto A passa a ser 1. Calculamos, assim, 3 a probabilidade do eveto A, sabedo que ocorreu o eveto B. Essa probabilidade será deotada Pr (A B) (lê-se probabilidade de A dado B). Cosideremos, agora, o laçameto de dois dados equilibrados e os evetos A soma das faces é par e B soma das faces é maior ou igual a 9. Se sabemos que ocorreu B, qualéa probabilidade de ter ocorrido A? Queremos calcular Pr(A B). Temos que ½ ¾ (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), A (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6) B {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Se ocorreu B, a úica chace de ter ocorrido A é que teha ocorrido o eveto e, esse caso, a probabilidade é 4, ou seja, 10 A B {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (6, 6)} Pr(A B) Pr(A B) Pr(B) Esses dois exemplos ilustram o fato geral que está exibido a Figura 3.2: se sabemos que acoteceu o eveto B, esse eveto passa a ser o ovo espaço amostral e esse ovo espaço amostral, a úica parte de A presete é A B - parte sombreada mais clara. Com esses exemplos, estamos ilustrado uma situação comum, ode temos que calcular a probabilidade de um eveto tedo uma iformação parcial Esse é o coceito de probabilidade codicioal.

55 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 51 Figura 3.2: Probabilidade codicioal Pr(A B) Defiição 3.2 A probabilidade codicioal do eveto A dada a ocorrêcia do eveto B é Pr(A B) Pr (A B) Pr (B) (3.1) Note que, essa defiição, temos que supor que o eveto B éumevetopossível,jáqueele ocorreu. Logo, é óbvio que Pr(B) > Exemplos Exemplo 3.3 Um grupo de 100 aluos foi classificado quato ao sexo e à atividade de lazer preferida, obtedo-se a distribuição dada a tabela abaixo. Sexo Atividade de lazer Ciema Praia Esporte Total Masculio Femiio Total Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso este grupo ser do sexo masculio? 2. Se a pessoa escolhida prefere a praia como atividade de lazer, qual é a probabilidade de que seja um homem? Solução: Vamos defiir os seguites evetos: M masculio ; F femiio ; C ciema ; P praia ; E esporte. 1. O problema pede Pr(M). Como há 20 homes detre as 100 pessoas, temos que Pr(M)

56 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA O problema pede Pr(M P ). Por defiição, Pr(M P ) Pr (M P ) Pr (P ) Note que a probabilidade do eveto aluo do sexo masculio se modifica quado sabemos que a pessoa prefere a praia como atividade de lazer, isto é: Pr(M P ) 6 Pr(M). Exemplo 3.4 De um baralho de 52 cartas, extrai-se uma ao acaso. Defia os evetos C carta édecopas er carta é um rei. Calcule Pr(C), Pr(R), Pr(C R), Pr(C R). Solução: Pr(C) Pr(R) Pr(C R) Pr(C R) 1 52 Pr(C R) Pr(R) Pr(C) Neste caso, a probabilidade do eveto C ão se modifica quado sabemos da ocorrêcia do eveto R, isto é, Pr(C R) Pr(C). Exemplo 3.5 De um total de 500 empregados, 200 possuem plao pessoal de aposetadoria complemetar, 400 cotam com o plao de aposetadoria complemetar oferecido pela empresa e 200 empregados possuem ambos os plaos. Sorteia-se aleatoriamete um empregado dessa empresa. 1. Qual é a probabilidade de que ele teha algum plao de aposetadoria complemetar? 2. Qual é a probabilidade de que ele ão possua qualquer plao de aposetadoria complemetar? 3. Se o empregado cota com o plao de aposetadoria complemetar oferecido pela empresa, qual é a probabilidade de que ele teha plao pessoal de aposetadoria complemetar? 4. Se o empregado tem plao pessoal de aposetadoria complemetar, qual é a probabilidade de que ele cote com o plao de aposetadoria complemetar da empresa? Solução: Vamos deotar por E o eveto empregado tem o plao aposetadoria complemetar da empresa e por P o eveto empregado possui plao pessoal de aposetadoria complemetar. O problema diz que Pr(P ) Pr(E) Pr(P E)

57 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 53 Note que essas iformações podem ser dispostas o formato de tabela da seguite forma: Plao pessoal Total Sim Não Plao da Sim Empresa Não Total Os úmeros em egrito são as iformações dadas o problema; o restate é calculado observado-se os totais de liha e de colua. 1. O problema pede Pr(P E) Pr(P )+Pr(E) Pr(P E) O problema pede Pr(P E) Pr(P E) 1 Pr(P E) O problema pede 4. O problema pede Pr(P E) Pr(E P ) Pr(P E) Pr(E) Pr(P E) Pr(P ) Exercícios 3.3 Dois dados equilibrados são laçados. 1. Ecotre a probabilidade de saírem faces iguais os 2 dados. 2. Sabedo-se que a soma das faces foi meor ou igual a 4, calcule a probabilidade de saírem faces iguais os 2 dados. 3. Calcule a probabilidade de sair 5 em pelo meos um dado. 4. Sabedo-se que saíram faces diferetes os dois dados, determie a probabilidade de sair 5 em pelo meos um dado. 3.4 A probabilidade de que uma ova campaha publicitária fique prota ates do prazo estipulado pela diretoria foi estimada em 0,60. A probabilidade de que a diretoria aprove essa campaha publicitária é de 0,50. A probabilidade de que ambos os objetivos sejam atigidos é 0,30.

58 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Qual é a probabilidade de que pelo meos um dos objetivos seja atigido? 2. Qual é a probabilidade de que ehum objetivo seja atigido? 3. Se a campaha ficou prota ates do prazo estipulado, qual é a probabilidade de que a diretoria a aprove? 3.5 Sejam A e B evetos do espaço amostral Ω tais que Pr(A) 1 2, Pr(B) 1 3 e Pr(A B) Calcule Pr(A B). 2. Calcule Pr(A B). 3. Calcule Pr(A B). 3.3 Probabilidade codicioal como lei de probabilidade É iteressate otar que a probabilidade codicioal defiida acima realmete defie uma lei de probabilidade, ou seja, a fução que associa a cada eveto A de Ω oúmeropr(a B) satisfaz os axiomasdeprobabilidade.defato: Axioma 1: pois Pr(A B) 0 e Pr(B) > 0. Pr(A B) Pr(A B) Pr(B) 0 Axioma 2: Pr (Ω B) Pr (Ω B) Pr (B) Pr (B) Pr (B) 1 Pr (B) Na verdade, como Pr (B B) 1, toda a probabilidade codicioal está cocetrada Pr (B) em B, o que justifica cosiderarmos B como o ovo espaço amostral para essa ova lei de probabilidade. Axioma 3: Sejam A 1 e A 2 dois evetos mutuamete exclusivos (veja a Figura 3.3). Usado a propriedade distributiva, temos que Pr (A 1 A 2 B) Pr [(A 1 A 2 ) B] Pr (B) Pr [(A 1 B) (A 2 B)] Pr (B)

59 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 55 Mas, como A 1 e A 2 são mutuamete exclusivos, resulta que (A 1 B) e (A 2 B) também o são esses dois evetos correspodem à parte sombreada da figura. Logo, Pr (A 1 A 2 B) Pr [(A 1 B) (A 2 B)] Pr (B) Pr (A 1 B)+Pr(A 2 B) Pr (B) Pr (A 1 B) + Pr (A 2 B) Pr (B) Pr (B) Pr(A 1 B)+Pr(A 2 B) Figura 3.3: Axioma 3 da probabilidade codicioal Sedo a probabilidade codicioal uma lei de probabilidade, todas as propriedades vistas ateriormete, que eram coseqüêcias dos axiomas, valem também para a probabilidade codicioal. Propriedade 1: Pr( B) Pr( B) Pr(B) Pr( ) Pr(B) 0 Propriedade 2: Pr(A B) Pr(A B) Pr(B) Pr(B A) Pr(B) Pr(B) Pr(A B) 1 Pr(A B) Pr(B) Pr(B) Pr(B) Pr(A B) Pr(B)

60 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 56 Propriedade 3: Propriedade 4: Propriedade 5: Propriedade 6: Pr [(A 1 A 2 ) B] Pr(A 1 A 2 B) Pr(A 1 A 2 B) Pr(B) Pr [(A 1 B) A 2 ] Pr(B) Pr(A 1 B) Pr(B) Pr(A 1 B A 2 ) Pr(B) Pr(A 1 B) Pr(A 1 B A 2 ) Pr(B) Pr(A 1 B A 2 ) Pr(B) Pr(A 1 B) Pr(A 1 A 2 B) Pr(B) Pr(A 1 B) Pr [(A 1 A 2 ) B] Pr [(A 1 A 2 ) B] Pr [(A 1 A 2 ) B] Pr(B) Pr [(A 1 B) (A 2 B)] Pr(B) Pr(A 1 B)+Pr(A 2 B) Pr(A 1 B A 2 B) Pr(B) Pr(A 1 B) + Pr(A 2 B) Pr(A 1 A 2 B) Pr(B) Pr(B) Pr(B) Pr(A 1 B)+Pr(A 2 B) Pr [(A 1 A 2 ) B] A 2 A 1 A 1 A 2 A 2 Pr [(A 1 A 2 ) B] Pr(A 1 B) Pr [(A 1 A 2 ) B] Pr [(A 1 A 2 ) B] Pr(A 1 B) Pr(A 2 B) Pr(A 1 B) Pr(A 2 B) 0 Pr(A 2 B) Pr(A 1 B) A B B Pr(A B) Pr(B) Pr(A B) Pr(B) 1 Pr(A B) 1 Observação importate Note que a defiição de probabilidade codicioal está viculada ao eveto B em que estamos codicioado, ou seja, se codicioarmos em um outro eveto C, estaremos defiido uma outra fução de probabilidade - a fução de probabilidade codicioal em C.

61 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Regra da multiplicação A defiição de probabilidade codicioal leva a um resultado importate, cohecido como regra da multiplicação. Proposição 3.1 Regra da multiplicação para 2 evetos Sejam A e B evetos de um espaço amostral Ω. Etão Pr(B)Pr(A B) Pr(A B) Pr(A)Pr(B A) (3.2) Esse resultado os permite calcular a probabilidade da iterseção de dois evetos e é muito útil para modelar experimetos que têm caráter seqüecial, isto é, que são executados em etapas, uma seguida da outra. Em tais situações, pode ser de ajuda desehar um diagrama de árvore para ilustrar os evetos em questão. Vamos ver algus exemplos Exemplos Exemplo 3.6 Se um avião está presete em determiada área, um radar detecta sua preseça com probabilidade 0,99. No etato, se o avião ão está presete, o radar detecta erradamete a preseça de um avião com probabilidade 0,02. A probabilidade de um avião estar presete esta área é de 0,05. Qual é a probabilidade de um falso alarme? Qual é a probabilidade de o radar deixar de detectar um avião? (Note que esses são os dois erros possíveis esta situação.) Solução: Vamos defiir os seguites evetos: Os evetos complemetares são: O problema os dá as seguites iformações: A avião presete D radar detecta preseça de avião A avião ão está presete D radar ão detecta avião Pr (D A) 0, 99 Pr D A 0, 02 Pr(A) 0, 05 Pela lei do eveto complemetar, temos que Oproblemapede Pr D A 0, 01 Pr D A 0, 98 Pr(A) 0, 95 Pr(D A) Pr(D A) falso alarme

62 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 58 Na Figura 3.4 temos a ilustração desse experimeto. Daí podemos ver que as probabilidades pedidas são: Pr(D A) Pr A Pr D A 0, 95 0, 02 0, 019 Pr(D A) Pr(A)Pr D A 0, 05 0, 01 0, 0005 Note que a probabilidade de um erro é a soma dessas probabilidades. Figura 3.4: Diagrama de árvore para o problema do radar Exemplo 3.7 Cosidere que duas cartas de um baralho de pôquer (13 cartas de cada um dos aipes copas, paus, ouro, espada) sejam extraídas sem reposição, uma depois da outra. Qual é a probabilidade de ehuma das duas ser de copas? Solução: Para solucioar esse problema, devemos otar que as cartas o baralho são igualmete prováveis, ates e depois da primeira extração. Vamos defiir os seguites evetos: C 1 copas a primeira extração C 2 copas a seguda extração Queremos calcular Pr C 1 C 2. Pelaregradamultiplicação,temosque Pr C 1 C 2 Pr C1 Pr C2 C 1 Na primeira extração, temos 39 cartas que ão são de copas, em um baralho de 52. Na seguda extração, dado que a primeira ão saiu copas, temos 38 cartas que ão são copas em um baralho de 51. Logo, Pr 39 C 1 C 2 Pr C1 Pr C2 C

63 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 59 Veja a Figura 3.5, ode temos o diagrama de árvore para esse problema. Cada ó a árvore correspode à ocorrêcia de um eveto codicioada à ocorrêcia de todos os evetos represetados pelos ós ateriores o camiho correspodete. Assim, a parte superior da árvore correspode à ocorrêciadecopasaprimeiraextração-evetoc 1 - e a parte iferior à ão ocorrêcia de copas a primeira extração - eveto C 1. Cotiuado com a parte superior, vemos que Pr (C 1 ) Pr (C 2 C 1 ) Pr 39 C 2 C 1 51 Note que, pela lei do complemetar, Pr (C 2 C 1 )+Pr C 2 C 1 1. Na parte iferior da árvore temos Pr C Pr C 2 C Pr C 2 C Figura 3.5: Diagrama de árvore para o experimeto de extração de 2 cartas sem reposição Exemplo 3.8 Supohamos agora a extração de 3 cartas sem reposição, ode estamos iteressados o mesmo eveto ehuma de copas. Queremos Pr C 1 C 2 C 3. Como geeralizar a regra da

64 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 60 multiplicação para esse caso? Usado um recurso algébrico, podemos escrever (ote que os termos se cacelam): Pr Pr C 2 C 1 C 1 C 2 C 3 Pr C1 Pr Pr C1 C 2 C 3 C 1 Pr C 2 C 1 Pr Pr C 2 C 1 C 1 Pr Pr C3 C 2 C 1 C 1 Pr C 2 C 1 Aplicado a defiição de probabilidade codicioal, resulta que Pr C 1 C 2 C 3 Pr C1 Pr C2 C 1 Pr C3 C 2 C 1 Voltado ao baralho, temos, como ates, Pr C 1 39 e Pr C 52 2 C Com o mesmo tipo de 51 raciocíio, resulta que Pr C 3 C 2 C Logo, 50 Pr 39 C 1 C 2 C Veja a Figura 3.6. No diagrama de árvore, o espaço amostral completo é exibido. Algumas probabilidades são: Pr(C 1 C 2 C 3 ) Pr(C 1 C 2 C 3 ) Pr(C 1 C 2 C 3 ) ramo 1 ramo 3 ramo 6

65 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 61 Figura 3.6: Diagrama de árvore para o experimeto de extração de 3 cartas sem reposição 3.5 Regra geral da multiplicação O exemplo aterior ilustra a regra geral de multiplicação. Proposição 3.2 Regra Geral da Multiplicação Seja A 1,A 2,...,A uma sequêcia de evetos de um espaço amostral Ω. Etão Pr (A 1 A 2 A )Pr(A 1 ) Pr (A 2 A 1 ) Pr (A A 1 A 2 A 1 ) (3.3) Exercícios 3.6 Em uma pesquisa realizada com um grupo de aluos da UFF, costatou-se que 10% dos estudates ão utilizam trasporte público para ir às aulas e que 65% dos estudates que utilizam o trasporte público fazem refeições o badejão do campus. Selecioado-se aleatoriamete um estudatedestegrupo,calculeaprobabilidadedequeeleusetrasportepúblicoefaçarefeiçõeso badejão.

66 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA As preferêcias de homes e mulheres por cada gêero de filme alugado em uma locadora de vídeos estão apresetadas a tabela a seguir. Tipo de filme Sexo Comédia Romace Policial Masculio Femiio Sorteado-se ao acaso um registro de locação, pede-se a probabilidade de: 1. ser um filme policial alugado por uma mulher; 2. ser uma comédia; 3. ser de um homem ou de um romace; 4. ser de um filme policial dado que foi alugado por um homem. 3.8 Uma ura cotém 6 bolas pretas e 5 bolas amarelas. Extraem-se seqüecialmete 3 bolas dessa ura, sem reposição. Qual é a probabilidade de que as 3 bolas sejam de cores iguais? 3.6 Idepedêcia de evetos Cosidere ovamete um baralho usual, com 52 cartas, 13 de cada aipe, do qual será retirada uma carta. Vamos defiir os seguites evetos: C carta é de copas R carta é um rei V carta é vermelha Já vimos que Pr(C) 13 1;Pr(R) e Pr(V ) 1. Vamos agora calcular as seguites probabilidades codicioais: Pr(R C) e Pr(V C). No primeiro caso, estamos calculado a probabilidade de sair um rei, dado que a carta é de copas e o segudo caso, estamos calculado a probabilidade de sair uma carta vermelha, dado que saiu uma carta de copas. Pr(R C) Pr(V C) Pr(R C) Pr(C) Pr(V C) Pr(C) Pr(R) Pr(C) 16 Pr(V ) Pr(C) No primeiro caso, saber que a carta é de copas ão acrescetou iformação útil para avaliarmos a probabilidade de sair rei, ou seja, saber ou ão que saiu copas ão altera a probabilidade de sair rei. Já o segudo caso, saber que saiu carta de copas faz com que mudemos a probabilidade de sair carta vermelha. Como podemos ver, se sabemos que saiu carta de copas, etão a carta tem que ser vermelha. Esses exemplos ilustram um coceito importate. No primeiro caso, dizemos que os evetos R e C são idepedetes e o segudo caso, os evetos V e C são depedetes. No

67 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 63 primeiro caso, o cohecimeto da ocorrêcia de C ão ajuda para reavaliarmos a probabilidade de C;o segudo caso, o cohecimeto da ocorrêcia de C faz com que mudemos ossa estimativa da probabilidade de V. Defiição 3.3 Sejam A e B evetos de um espaço amostral Ω. Etão, A e B são idepedetes se Pr(A B) Pr(A) Essa defiição tem algumas implicações importates. A primeira delas é a seguite: Pr(A B) Pr(A) Pr(B A) Pr(B) De fato: Pr(A B) Pr(A B) Pr(A) Pr(A) Pr(B) Pr(A B) Pr(A)Pr(B) Pr(B A) Pr(B A) Pr(A)Pr(B) Pr(B) Pr(A) Pr(A) A coclusão disso é a seguite: se A e B são idepedetes, etão B e A também o são (comutatividade). A seguda implicação, bastate importate, é a seguite: se A e B são idepedetes, etão Pr(A B) Pr(A)Pr(B). Mas a recíproca dessa afirmativa também é verdadeira, ou seja, se Pr(A B) Pr(A)Pr(B) etão A e B são idepedetes. De fato: Pr(A B) Pr(A)Pr(B) Pr(A B) Pr(A B) Pr(A)Pr(B) Pr(A) Pr(B) Pr(B) A e B são idepedetes Esse resultado os permite estabelecer uma outra defiição equivalete para a idepedêcia de dois evetos. Defiição 3.4 Sejam A e B evetos de um espaço amostral Ω. Etão, A e B são idepedetes se Pr(A B) Pr(A)Pr(B) Exemplos Exemplo 3.9 Num exemplo aterior, aalisamos os dados apresetados a tabela a seguir, referetes à participação de fucioários de uma empresa em plaos de aposetadoria complemetar: Plao pessoal Total Sim Não Plao da Sim Empresa Não Total

68 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 64 Naquele exemplo, estudamos os evetos E empregado tem o plao aposetadoria complemetar da empresa e por P empregado possui plao pessoal de aposetadoria complemetar. Vamos ver se esses evetos são idepedetes. Solução: Temos que Pr(P ) 2 5 Pr(E) 4 5 Pr(P E) 2 5 6Pr(P )Pr(E) Logo, os evetos P e E ão são idepedetes. Outra forma de ver isso é Pr(E P ) Pr(E) 4 5 Exemplo 3.10 Sejam A e B evetos idepedetes em um espaço amostral Ω. seguites evetos também são idepedetes: 1. A e B Prove que os 2. A e B Solução: 1. Temos que Pr(A B) Pr(B A) Pr(B) Pr(A B) Como A e B são idepedetes, Pr(A B) Pr(A)Pr(B). Logo, Pr(A B) Pr(B) Pr(A)Pr(B) Pr(B)[1 Pr(A)] Pr(B)Pr(A) Logo, os evetos A e B são idepedetes. 2. Pela lei de De Morga e pela lei do complemetar, temos que Pr(A B) Pr(A B) 1 Pr(A B) 1 Pr(A) Pr(B)+Pr(A B) Como A e B são idepedetes, Pr(A B) Pr(A)Pr(B). Logo, Pr(A B) 1 Pr(A) Pr(B)+Pr(A)Pr(B) [1 Pr(A)] Pr(B)[1 Pr(A)] [1 Pr(A)] [1 Pr(B)] Pr(A)Pr(B) Logo, A e B são idepedetes.

69 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Exercícios 3.9 Sejam A e B evetos de um espaço amostral Ω tais que Pr(A) 1 5, Pr(B) p e Pr(A B) 1 2. Determie o valor de p para que A e B sejam idepedetes Volte ao Exercício 3.4 da Seção 3.2. Verifique se os evetos cosiderados são idepedetes Sejam A e B evetos de um espaço amostral Ω tais que Pr(A) > 0 e Pr(B) > Mostre que se A e B são idepedetes, etão A e B ão podem ser mutuamete exclusivos. 2. Mostre que se A e B são mutuamete exclusivos, etão A e B ão podem ser idepedetes. 3.7 Exercícios Complemetares 3.12 Sejam A e B evetos de um espaço amostral. Sabe-se que Pr(A) 0, 3; Pr(B) 0, 7 e Pr(A B) 0, 21. Verifique se as seguites afirmativas são verdadeiras. Justifique sua resposta. 1. A e B são mutuamete exclusivos; 2. A e B são idepedetes; 3. A e B são idepedetes; 4. A e B são mutuamete exclusivos; 5. A e A são idepedetes Dois dados equilibrados são laçados. 1. Calcule a probabilidade de sair 6 em pelo meos um dado. 2. Sabedo-se que saíram faces diferetes os dois dados, determie a probabilidade de sair 6 em pelo meos um dado. 3. Os evetos seis em pelo meos um dado e faces diferetes os dois dados são idepedetes? 3.14 Uma sala possui três soquetes para lâmpadas. De uma caixa com 10 lâmpadas, das quais 6 estão queimadas, retiram-se 3 lâmpadas ao acaso, colocado-se as mesmas os três bocais. Calcular a probabilidade de que: 1. pelo meos uma lâmpada aceda; 2. todas as lâmpadas acedam.

70 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA O Miistério da Ecoomia da Espaha acredita que a probabilidade da iflação ficar abaixo de 3% este ao é de 0,20; etre 3% e 4% é de 0,45 e acima de 4% é de 0,35. O Miistério acredita que, com iflação abaixo de 3%, a probabilidade de se criar mais empregos é de 0,6, dimiuido essa probabilidade para 0,3 caso a iflação fique etre 3% e 4%; o etato, com iflação acima de 4%, isso é totalmete impossível. Qual é a probabilidade de se criarem empregos esse ao? 3.16 NauraIhá5bolasvermelhas,3bracase8azuis. NauraIIhá3bolasvermelhase 5 bracas. Laça-se um dado equilibrado. Se sair 3 ou 6, escolhe-se uma bola da ura I; caso cotrário, escolhe-se uma bola da ura II. Calcule a probabilidade de 1. sair uma bola vermelha; 2. sair uma bola braca; 3. sair uma bola azul Joaa quer eviar uma carta a Camila. A probabilidade de que Joaa escreva a carta é A probabilidade de que o correio ão a perca é 9. A probabilidade de que o carteiro a etregue é 10 também Costrua o diagrama de árvore represetado o espaço amostral deste problema. 2. Calcule a probabilidade de Camila ão receber a carta Sejam A e B dois evetos tais que Pr(A) 0, 4 e Pr(A B) 0, 7. Seja Pr(B) p. Determie o valor de p para que 1. A e B sejam mutuamete exclusivos; 2. A e B sejam idepedetes Sejam A e B evetos possíveis de um mesmo espaço amostral Ω. SeP (A B) 1verifique a veracidade das seguites afirmativas, justificado sua resposta. 1. A e B são idepedetes. 2. A e B são mutuamete exclusivos Sejam A, B, C evetos de um mesmo espaço amostral. Sabe-se que (i) B é um subcojuto de A; (ii) A e C são idepedetes e (iii) B e C são mutuamete exclusivos. A probabilidade do complemetar da uião dos evetos A e C é 0,48; a probabilidade da uião dos evetos B e C é 0,3 e a probabilidade do eveto C é o dobro da probabilidade do eveto B. Calcule a probabilidade da uião de A e B Uma comissão de dois estudates deve ser sorteada de um grupo de 5 aluas e 3 aluos. Sejam os evetos: M 1 primeiro estudate sorteado é mulher M 2 segudo estudate sorteado é mulher

71 CAPÍTULO 3. AXIOMAS, PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Costrua um diagrama de árvore que represete o espaço amostral deste experimeto, idicado as probabilidades. 2. Calcule Pr(M 1 ) e Pr(M 2 ). 3. Verifique se M 1 e M 2 são idepedetes Em um campeoato de atação, estão competido três estudates: Alberto, Bosco e Carlos. Alberto e Bosco têm a mesma probabilidade de gahar, que é o dobro da de Carlos gahar. 1. Ache a probabilidade de que Bosco ou Carlos gahe a competição. 2. Que hipótese você fez para resolver essa questão? Essa hipótese é razoável? 3.23 Solicita-se a dois estudates, Maria e Pedro, que resolvam determiado problema. Eles trabalham a solução do mesmo idepedetemete, e têm, respectivamete, probabilidade 0,8 e 0,7 de resolvê-lo. 1. Qual é a probabilidade de que ehum deles resolva o problema? 2. Qual é a probabilidade do problema ser resolvido? 3. Dado que o problema foi resolvido, qual é a probabilidade de que teha sido resolvido apeas por Pedro? 3.24 Joga-se um dado duas vezes. Cosidere os seguites evetos: A resultado do primeiro laçameto é par e B soma dos resultados é par. A e B são idepedetes? Justifique Um aluo respode a uma questão de múltipla escolha com 4 alterativas, com uma só correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta certa da questão é de 30%. Se ele ão sabe a resposta, existe a possibilidade de ele acertar o chute. Não existe a possibilidade de ele obter a resposta certa por cola. Qual é a probabilidade de ele acertar a questão?

72 Capítulo 4 Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes Neste capítulo, você estudará dois importates teoremas de probabilidade e verá suas aplicações em diversas situações evolvedo a tomada de decisão. Esses teoremas, cohecidos como teorema da probabilidade total e teorema de Bayes, resultam diretamete da defiição de probabilidade codicioal e das propriedades vistas para a probabilidade. A apresetação desses teoremas será feita iicialmete através de exemplos, para que você compreeda bem o cotexto de sua aplicação. Ao fial, será apresetada a formulação geral dos teoremas. Exemplo 4.1 Em uma liha de produção de uma certa fábrica, determiada peça é produzida em duas máquias. A máquia 1, mais atiga, é resposável por 35% da produção e os 65% restates vêm da máquia 2. A partir dos dados passados e das iformações do fabricate das máquias, estimase em 5% a proporção de peças defeituosas produzidas pela máquia 1 e em 2,5% a proporção de defeituosas produzidas pela máquia 2. As peças produzidas pelas duas máquias seguem para o departameto de armazeameto e embalagem, para veda posterior, sem distição de qual máquia a produziu. 1. Qual é a proporção de peças defeituosas colocadas o mercado por essa fábrica? 2. Se um cliete idetifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela teha sido produzida pela máquia 2? Solução: 1. Na Figura 4.1 represeta-se a situação descrita o exemplo. Nosso experimeto aleatório é o sorteio de uma peça produzida por essa fábrica e osso espaço amostral, represetado pelo retâgulo, é o cojuto de todas as peças produzidas em determiado período. Podemos ver que o espaço amostral está dividido em 2 evetos mutuamete exclusivos: M 1, peças produzidas pela máquia 1, e M 2, peças produzidas pela máquia 2. Mais precisamete, Ω M 1 M 2 isso sigifica que M 1 e M 2 formamumapartiçãodoespaçoamostral(retore 68

73 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 69 àseção??, se ecessário). Um outro eveto de iteresse é o eveto D peça é defeituosa. Podemos ver que esse eveto tem iterseção com os evetos M 1 e M 2, ou seja, há peças defeituosas produzidas a máquia 1 e a máquia 2. Figura 4.1: Espaço amostral para o experimeto do Exemplo 4.1 Pelos dados do problema, temos uma estimativa aprioridas proporções de peças produzidas em cada máquia, ou seja, as probabilidades aprioridos evetos M 1 e M 2 são: Pr(M 1 ) 0, 35 Pr(M 2 ) 0, 65 Sabemos também a proporção de peças defeituosas produzidas por cada máquia. Essa proporção se traduz em uma probabilidade codicioal: se a peça foi produzida pela máquia 1, existe 5% de chace de ser defeituosa; para a máquia 2, essa chace reduz-se a 2,5%. Em termos de probabilidade, temos Pr(D M 1 ) 0, 05 Pr(D M 2 ) 0, 025 Como M 1 e M 2 formam uma partição de Ω, podemos escrever D (D M 1 ) (D M 2 ) Mas M 1 e M 2 são mutuamete exclusivos; logo, (D M 1 ) e (D M 2 ) também o são. Assim, pelo Axioma 3 da probabilidade, resulta que Pr(D) Pr[(D M 1 ) (D M 2 )] Pr(D M 1 )+Pr(D M 2 )

74 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 70 Pelaregradamultiplicação(vejaocapítuloaterior)sabemosquePr(A B) Pr(A)Pr(B A). Logo, Pr(D) Pr(M 1 )Pr(D M 1 )+Pr(M 2 )Pr(D M 2 ) 0, 35 0, , 65 0, 025 0, Note que a probabilidade de uma peça ser defeituosa é uma média poderada das probabilidades de defeito em cada máquia; os pesos são defiidos de acordo com o ível de produção de cada máquia. 2. Na seguda parte do exemplo, temos uma iformação sobre a peça: ela é defeituosa, ou seja, sabemos que ocorreu o eveto D. O que o problema pede é que, com essa iformação, reavaliemos a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquia 2. Essa probabilidade é chamada probabilidade a posteriori, ou seja, é a probabilidade que calculamos depois de realizado o experimeto de sorteio e teste da peça. Em otação matemática, temos que calcular Pr(M 2 D). Por defiição, temos Pr(M 2 D) Pr(M 2 D) Pr(D) Usado a regra da multiplicação e o resultado ecotrado o item aterior, resulta que Pr(M 2 D) Pr(M 2 )Pr(M 2 D) Pr(M 1 )PR(D M 1 )+Pr(M 2 )Pr(D M 2 ) 0, 65 0, 025 0, 35 0, , 65 0, 025 0, , , Compare os resultados: sem qualquer iformação sobre o resultado do experimeto, ossa estimativa para a probabilidade de ocorrêcia de M 2 peça ser produzida pela máquia 2 era 0,65; com a iformação de que a peça é defeituosa, a probabilidade de ter sido produzida pela máquia 2 dimiui para 0,4815. Exemplo 4.2 Cosidere ovamete a situação do Exemplo 4.1, mas com a seguite modificação: as peças são produzidas em três máquias, que são resposáveis por 30%, 35% e 35% da produção, respectivamete. As proporções de peças defeituosasproduzidasessasmáquiassão5%,2,5%e 2%. 1. Qual é a proporção de peças defeituosas produzidas a fábrica? 2. Se um cliete idetifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que teha sido produzida a máquia 1? E a máquia 2? E a máquia 3?

75 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 71 Solução: 1. O espaço amostral desse experimeto está ilustrado o diagrama de árvore da Figura 4.2. Figura 4.2: Espaço amostral para o experimeto do Exemplo 4.2 Como visto o capítulo aterior, cada galho da árvore correspode ao codicioameto do eveto aos evetos dos galhos ateriores. Assim, a parte superior da árvore, temos os evetos D M 1 e D M 1. Napartedomeio,temososevetosD M 2 e D M 2 eaparteiferior,d M 3 e D M 3. Os dados do problema os dão as seguites probabilidades a priori: e Pr(M 1 ) 0, 30 Pr(M 2 ) Pr(M 3 )0, 35 Pr(D M 1 ) 0, 05 Pr(D M 2 ) 0, 025 Pr(D M 3 ) 0, 02 Como ates, M 1,M 2 e M 3 formam uma partição de Ω e, portato, podemos escrever D (D M 1 ) (D M 2 ) (D M 3 ) Mas M 1,M 2 e M 3 são mutuamete exclusivos; logo, (D M 1 ), (D M 2 ) e (D M 3 ) também osão.peloaxioma3daprobabilidade,resultaque Pr(D) Pr[(D M 1 ) (D M 2 ) (D M 3 )] Pr(D M 1 )+Pr(D M 2 )+Pr(D M 3 )

76 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 72 Pela regra da multiplicação sabemos que Pr(A B) Pr(A)Pr(B A). Logo, Pr(D) Pr(M 1 )PR(D M 1 )+Pr(M 2 )Pr(D M 2 )+Pr(M 3 )Pr(D M 3 ) 0, 30 0, , 35 0, , 35 0, 02 0, Como ates, a probabilidade de uma peça ser defeituosa é uma média poderada das probabilidades de defeito em cada máquia, com os pesos defiidos de acordo com o ível de produçãode cada máquia. 2. Na seguda parte do exemplo, deseja-se calcular as probabilidades a posteriori Pr(M 1 D), Pr(M 2 D) e Pr(M 3 D). Por defiição, temos Pr(M 1 D) Pr(M 1 D) Pr(D) Usado a regra da multiplicação e o resultado ecotrado o item aterior, resulta que Pr(M 1 D) Pr(M 1 )Pr(M 1 D) Pr(M 1 )PR(D M 1 )+Pr(M 2 )Pr(D M 2 )+Pr(M 3 )Pr(D M 3 ) 0, 30 0, 05 0, 30 0, , 35 0, , 35 0, 02 0, 015 0, , Pr(M 2 D) Pr(M 2 )Pr(M 2 D) Pr(M 1 )PR(D M 1 )+Pr(M 2 )Pr(D M 2 )+Pr(M 3 )Pr(D M 3 ) 0, 35 0, 025 0, 30 0, , 35 0, , 35 0, 02 0, , , Pr(M 3 D) Pr(M 3 )Pr(M 3 D) Pr(M 1 )PR(D M 1 )+Pr(M 2 )Pr(D M 2 )+Pr(M 3 )Pr(D M 3 ) 0, 35 0, 02 0, 30 0, , 35 0, , 35 0, 02 0, 007 0, , Note que 0, , , , ; esse resultado é imediato a partir do fato de que Pr(Ω) 1. Se ocorreu uma peça defeituosa, essa peça só pode ter vido de umas dastrêsmáquias.

77 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 73 Exemplo 4.3 Sabe-se que um soro da verdade, quado aplicado a um suspeito, é 90% eficaz quado a pessoa é culpada e 99% eficaz quado é iocete. Um suspeito é retirado de um grupo de pessoas, ode 95% jamais cometeram qualquer crime. 1. Qual é a probabilidade de o soro dar a resposta certa? 2. Se o soro idica culpado, qual é a probabilidade de o suspeito ser iocete? Solução: 1. Vamos defiir os seguites evetos (veja a Figura 4.3): C suspeito é culpado V soro idica culpado C suspeito é iocete V soro idica iocete Figura 4.3: Espaço amostral para o experimeto do Exemplo 4.3 Notequevocêtemquedefiir os evetos de acordo com a execução do experimeto. Ao se aplicar um soro da verdade, a resposta é culpado ou iocete e ão soro acerta ou soro erra. Os dados do problema os dão as seguites probabilidades: Pr(V C) 0, 90 Pr(V C) 0, 99 Pr(C) 0, 95

78 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 74 Usado o resultado sobre probabilidade do eveto complemetar, obtemos que: Pr(V C) 0, 10 Pr(V C) 0, 01 Pr(C) 0, 05 A partição do espaço amostral é defiida pelos evetos C e C, paraosquaistemosasprobabilidades a priori. Os evetos de iteresse são V e V. Sejaoeveto A soro acerta o diagóstico. Note que o soro pode diagosticar corretamete sedo o suspeito culpado ou iocete.veja a tabela a seguir. Suspeito Iocete C Culpado C Resultado Iocete V OK! Erro do soro Culpado V Erro OK! Dessa forma, Logo, A (C V ) C V Pr(A) Pr(C V )+Pr C V Pr(C)Pr(V C)+Pr(C)Pr(V C) 0, 05 0, , 95 0, 99 0, Queremos calcular Pr(C V ). Por defiição temos que: Pr(C V ) Pr(C V ) Pr (V ) O soro pode idicar culpado sedo o suspeito culpado (acerto do diagóstico) ou iocete (erro o diagóstico), ou seja: Pr (V ) Pr(V C)+Pr V C Pr(V C) Pr(C)+Pr V C Pr(C) 0, 90 0, , 01 0, 95 0, , , 0545 e Logo, Pr V C Pr V C Pr(C) 0, , 0095 Pr(C V ) 0, , , 0545

79 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 75 Exemplo 4.4 Uma caixa cotém três moedas. A moeda 1 é hoesta, a moeda 2 tem duas caras e a moeda 3 é viciada de tal modo que cara é duas vezes mais provável que coroa. Uma moeda é escolhida ao acaso e laçada. 1. Qual é a probabilidade de observarmos cara e moeda 1? 2. Qual é a probabilidade de observarmos cara? 3. Se o resultado foi cara, qual a probabilidade que a moeda laçada teha sido a moeda 1? Solução: Vamos defiir os evetos K cara C coroa M 1 moeda 1 M 2 moeda 2 M 3 moeda 3 Édadoque Pr (K M 1 ) 1 2 Pr (K M 2 )1 Para a moeda 3, como a probabilidade de cara é duas vezes a probabilidade de coroa e a soma dessas probabilidades tem que ser 1, resulta que Pr(K M 3 ) 2 3 Como a moeda laçada é escolhida aleatoriamete, temos que Veja a Figura 4.4. Pr(M 1 )Pr(M 2 )Pr(M 3 ) 1 3

80 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 76 Figura 4.4: Espaço amostral para o Exemplo 4.4 das 3 moedas (a) Aqui a solução é coseqüêcia direta da regra de multiplicação: Pr (K M 1 ) Pr(M 1 ) Pr (K M 1 ) (b) Os evetos que formam a partição do espaço amostral são M 1,M 2 e M 3. Logo, Pr (K) Pr(K M 1 )+Pr(K M 2 )+Pr(K M 3 ) Pr(M 1 ) Pr (K M 1 )+Pr(M 2 ) Pr (K M 2 )+Pr(M 3 ) Pr (K M 3 ) 1 µ (c) O problema pede Pr (M 1 K) Pr (K M 1) Pr (K) Pr (M 1) Pr (K M 1 ) Pr (K) Exemplo 4.5 Um gerete de baco tem que decidir se cocede ou ão empréstimo aos clietes que o solicitam. Ele aalisa diversos dados para estudar a possibilidade de o cliete vir a ficar iadimplete. Com base em dados passados, ele estima em 15% a taxa de iadimplêcia. Detre os iadimpletes, ele

81 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 77 tem 80% de chace de tomar a decisão certa, equato que essa chace aumeta para 95% etre os clietes adimpletes. Esse gerete acaba de recusar um empréstimo. Qual é a probabilidade de ele ter tomado a decisão correta? Solução: Os fatos evolvidos esse processo decisório são: cliete é iadimplete ou ão e gerete cocede ou ão o empréstimo. Vamos defiir os seguites evetos: I cliete é iadimplete C gerete cocede empréstimo Usaremos a otação de eveto complemetar para defiir I cliete é adimplete C gerete ão cocede empréstimo Note que temos duas possibilidades de acerto e duas possibilidades de erro. Os acertos são: cliete é iadimplete e gerete ão cocede o empréstimo cliete é adimplete e gerete cocede o empréstimo Os erros são: cliete é iadimplete e gerete cocede o empréstimo cliete é adimplete e gerete ão cocede o empréstimo A árvore que represeta o espaço amostral é dada a Figura 4.5. Figura 4.5: Espaço amostral para o Exemplo 4.5

82 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 78 As probabilidades dadas são Pr(I) 0, 15 Pr(C I) 0, 80 (decisão certa dado cliete iadimplete) Pr(C I) 0, 90 (decisão certa dado cliete adimplete) Pela lei do complemetar, resulta que Pr(I) 0, 85 Pr(C I) 0, 20 Pr(C I) 0, 10 Com relação ao que o problema pede, temos que, dado que o gerete recusou oempréstimo,a decisão só será certa se o cliete for iadimplete. Logo, temos que calcular Pr(I C) Pr(I C) Pr(C) Mas, o gerete pode recusar o empréstimo sedo o cliete iadimplete ou ão, ou seja, e Pr(C) Pr(C I)+Pr(C I) Pr(I)Pr(C I)+Pr(I)Pr(C I) 0, 15 0, , 85 0, 10 0, 205 Pr(I C) Pr(I C) Pr(C) Pr(I)Pr(C I) Pr(I)Pr(C I)+Pr(I)Pr(C I) 0, 15 0, 80 0, 205 0, Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes Cosidere a Figura 4.6, ode A 1,A 2,...,A é uma partição do espaço amostral Ω e B um eveto qualquer em Ω.

83 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 79 Figura 4.6: Partição do espaço amostral Como a uião de todos os A i s é o espaço amostral, segue que B (A 1 B) (A 2 B) (A B) O fato de algus desses termos ser o cojuto vazio (por exemplo, B A 4 ) ão ivalida o resultado, uma vez que A A. Por defiição de partição, os A i s são mutuamete exclusivos dois a dois; logo, os evetos A i B também o são. Etão, pela lei da probabilidade de evetos disjutos, podemos escrever earegradamultiplicaçãoosdáque Pr (B) Pr[(A 1 B) (A 2 B) (A B)] Pr(A 1 B)+Pr(A 2 B)+ +Pr(A B) Pr(B) Pr(A 1 )Pr(B A 1 )+Pr(A 2 )Pr(B A 2 )+ +Pr(A )Pr(B A ) Esse resultado é cohecido como teorema da probabilidade total. Teorema 4.1 Teorema da probabilidate total Seja A 1,A 2,...,A umapartiçãodoespaçoamostralω esejab um eveto qualquer em Ω. Etão P Pr(B) Pr (A i )Pr(B A i ) i1 Como visto, a probabilidade Pr(A i ) édeomiadaprobabilidade a priori do eveto A i. Cotiuado o cotexto da Figura 4.6, supohamos agora que B teha ocorrido. Vamos usar essa

84 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 80 iformação para calcular a probabilidade a posteriori do eveto A i, ou seja, vamos calcular Pr(A i B). Por defiição temos que Pr (A i B) Pr (A i B) Pr(B) Usado a regra da multiplicação e o teorema da probabilidade total, resulta que Pr (A i B) Pr (A i)pr(a i B) P Pr (A j )Pr(B A j ) j1 Esse resultado é cohecido como teorema de Bayes. Teorema 4.2 Teorema de Bayes Seja A 1,A 2,...,A umapartiçãodoespaçoamostralω esejab um eveto qualquer em Ω. Etão Pr (A i B) Pr (A i)pr(a i B) P Pr (A j )Pr(B A j ) j1 É importate que, a resolução de exercícios e também a aplicação prática desses teoremas, você idetifique os evetos de iteresse, os evetos que defiem a partição do espaço amostral e quais são as probabilidades a priori. Em geral, são essas probabilidades que idetificam a partição de Ω. Vamos cosiderar mais um exemplo para ilustrar esses potos. Exemplo 4.6 Em uma turma de Admiistração, 65% dos aluos são do sexo masculio. Sabe-se que 30% dos aluos têm carro, equato que essa proporção etre as aluas se reduz para 18%. Sorteia-se ao acaso um estudate dessa turma usado o seu úmero de matrícula e costata-se que possui um carro. Qual é a probabilidade de que a pessoa sorteada seja do sexo femiio? Solução: Os evetos em questão evolvem o sexo do aluo e a posse de um carro. Vamos defiir os evetos de iteresse da seguite forma: H homem M mulher C possui carro C ão possui carro Note que H e M defiem uma partição do espaço amostral, assim como C e C. No etato, as probabilidades a priori dadas referem-se a H e M; logo, a partição de Ω será defiida em termos desses evetos. Os dados do problema os dão que Pr(H) 0, 65 Pr(M) 0, 35 Pr(C H) 0, 30 Pr(C H) 0, 70 Pr(C M) 0, 18 Pr(C M) 0, 82

85 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES 81 O problema pede Pr(M C) e para calcular essa probabilidade, temos que calcular Pr(C). Pelo teorema da probabilidade total, sabemos que Logo, Pr(C) Pr(C M)+Pr(C H) Pr(M)Pr(C M)+Pr(H)Pr(C H) 0, 35 0, , 65 0, 70 0, 518 Pr(M C) Pr(C M) Pr(C) Pr(M)Pr(C M) Pr(C) 0, 35 0, 18 0, 518 0, Exercícios Complemetares 4.1 Uma propagada de um curso preparatório para a prova da ANPAD diz que 80% dos seus aluos coseguem igressar em algum programa de Mestrado em Admiistração. Dos cadastros da ANPAD, sabe-se que 15% dos cadidatos aos programas de Mestrado escolhem esse curso e que o ídice geral de aprovação é de 63%. (Dados fictícios) 1. Se um cadidato ão escolhe esse curso, qual é a probabilidade de ele passar o exame da ANPAD? 2. Sabe-se que um aluo foi aprovado, coseguido igressar o programa de Mestrado de uma grade uiversidade. Qual é a probabilidade de ele ter freqüetado este curso preparatório? 4.2 Em uma localidade, 8% dos adultos sofrem de determiada doeça. Um médico local diagostica corretamete 95% das pessoas que têm a doeça e diagostica erradamete 2% das pessoas que ão a têm. Um adulto acaba de ser diagosticado pelo médico como portador da doeça. Qual é a probabilidade de esse adulto ter, de fato, a doeça? 4.3 Uma ura cotém 4 bolas umeradas de 1 a 4. Duas bolas são retiradas sem reposição. Seja A oeveto somaé5 esejab i o eveto primeira bola sorteada tem o úmero i, i 1, 2, 3, 4. Calcule Pr (A B i ) e Pr (B i A) para i 1, 2, 3, Resolva o exercício aterior, supodo que as extrações sejam feitas com reposição. 4.5 Numa prova há 7 pergutas do tipo Verdadeiro-Falso. Calcule a probabilidade de um aluo acertar todas as 7 questões 1. se ele chuta as respostas;

86 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES se ele chuta as respostas, mas sabedo que há mais Verdadeiros do que Falsos. 4.6 Cotiuação do Exercício 3.15 do Capítulo 3. O Miistério da Ecoomia da Espaha acredita que a probabilidade de a iflação ficarabaixode3%esteaoéde0,20;etre3%e4%éde0,45e acima de 4% é de 0,35. O Miistério acredita que, com iflação abaixo de 3%, a probabilidade de se criar mais empregos é de 0,6, dimiuido essa probabilidade para 0,3 caso a iflação fique etre 3% e 4%; o etato, com iflação acima de 4%, isso é totalmete impossível. No ao seguite, um ecoomista estrageiro costata que foram criados empregos ovos. Qual é a probabilidade de a iflação ter ficado abaixo de 3%? 4.7 Cotiuação do Exercício 3.17 do Capítulo 3. Joaa quer eviar uma carta a Camila. A probabilidade de que Joaa escreva a carta é 8 9. A probabilidade de que o correio ão a perca é A probabilidade de que o carteiro a etregue é também 9. Dado que Camila ão recebeu a carta, 10 qual é a probabilidade de que Joaa ão a teha escrito? 4.8 Cotiuação do Exercício 3.25 do Capítulo 3. Um aluo respode a uma questão de múltipla escolha com 4 alterativas, com uma só correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta certa da questão é de 30%. Se ele ão sabe a resposta, existe a possibilidade de ele acertar o chute. Não existe a possibilidade de ele obter a resposta certa por cola. Se o aluo acertou a questão, qual é a probabilidade de ele ter chutado a resposta? 4.9 Cosideremos dois dados: um deles é equilibrado e o outro viciado, com Pr(1) 0, 5 e Pr(2) Pr(6) 0, 1. Escolhe-se um dos dados ao acaso e efetuam-se dois laçametos, que resultam ambos a face 1. Qual a probabilidade de ter sido escolhido o dado viciado? 4.10 Umauratem3bolasbracas,3pretase4azuis. Duasbolassãoretiradasaoacasoe substituídas por 5 vermelhas. Depois disso, retira-se uma bola. Qual é a probabilidade de ser azul? 4.11 SãodadasasurasA, B e C. DauraA é retirada uma bola, que é colocada a ura B. Da ura B retira-se, etão, uma bola que é colocada a ura C. Retira-se em seguida uma bola da ura C. A probabilidade de ocorrer bola de cor vermelha a última extração é 0,537. Determiar o valor de x sabedo que as uras têm as seguites composições: A : ½ 7V 3P B : ½ 3V 6P ½ 9 x C : x V P ode V represeta bola vermelha e P, bola preta O chefe do Setor de Compras de uma empresa trabalha com 3 grades distribuidores de material de escritório. O distribuidor 1 é resposável por 70% dos pedidos, equato cada um dos outros 2 distribuidores respode por 15% dos pedidos. Dos registros gerais de compra, sabe-se que 6% dos pedidos chegam com atraso. A proporção de pedidos com atraso do distribuidor 1 é a metade da proporção do distribuidor 2 que, por sua vez, é o dobro da proporção do distribuidor 3. Calcule a porcetagem de pedidos com atraso de cada um dos distribuidores.

87 CAPÍTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES O gerete de Recursos Humaos de uma empresa escolhe estagiários oriudos de dois cursos de Admiistração. No curso 1, a proporção de aluos com boa formação em iformática é de 60%, equato o outro curso, essa proporção cai para 40%. Um estagiário acaba de ser cotratado. A probabilidade de que teha boa formação em iformática é 0,44. Qual é a preferêcia (probabilidade) do gerete pelo curso 1? 4.14 Em um escritório de cotabilidade, o cotador-chefe tem três auxiliares, um que trabalha em tempo itegral e os outros dois que trabalham em tempo parcial. O fucioário de tempo itegral é resposável por 50% dos balacetes, equato cada um dos fucioários de tempo parcial respode pela metade dos balacetes restates. Nos últimos 2 meses, a proporção de balacetes com erros oriudos do fucioário de tempo itegral foi de 5%, equato para os fucioários de tempo parcial essas proporções foram de 6% e 8%. O chefe resolve, etão, fazer um ovo treiameto, discutido os pricipais erros ecotrados. No mês seguite ao treiameto, a proporção de balacetes com erro cai pela metade, com cada fucioário de tempo parcial produzido a mesma proporção de balacetes com erro, igual à metade da proporção de erros do fucioário de tempo itegral. Quais são as ovas proporções de balacetes com erro de cada fucioário? 4.15 Um empreiteiro apresetou orçametos separados para a execução da parte elétrica e da parte hidráulica de um edifício. Ele acha que a probabilidade de gahar a cocorrêcia da parte elétrica é de 1/2. Caso ele gahe a parte elétrica, a chace de gahar a parte hidráulica é de 3/4; caso cotrário, essa probabilidade é de 1/3. Qual é a probabilidade de ele: 1. gahar os dois cotratos? 2. gahar apeas um? 3. ão gahar qualquer cotrato?

88 Capítulo 5 Solução dos Exercícios 5.1 Capítulo 1 1. K cara C coroa Ω {KKK,KKC,KCK,CKK,KCC,CKC,CCK,CCC} A {KKK,CCC} B {KKK,KKC,KCK,KCC} C {KCC,CCC} 2. Veja a Figura 5.1. Figura 5.1: Solução do Exercício Área 1: são os elemetos que pertecem apeas ao eveto A : A B C Área 2: são os elemetos que pertecem apeas ao eveto B : A B C Área 3: são os elemetos que pertecem apeas ao eveto C : A B C Área 4: são os elemetos que pertecem a A eab, masãoac : A B C Área 5: são os elemetos que pertecem a A eac, masãoab : A B C Área 6: são os elemetos que pertecem a B eac, masãoaa : A B C Área 7: são os elemetos que pertecem a A, a B eac : A B C Área 8: são os elemetos que ão pertecem em a A, em a B, em a C : A B C A B C 84

89 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS (a) Ω {0, 1, 2,...} (b) Represetado por M e F os sexos masculio e femiio, respectivamete, podemos represetar o espaço amostral como M, F, MM, MF, FM, FF, MMM,MMF,MFM,FMM,FFM,FMF,MFF,FFF, Ω FFFF,FFFM,FFMF,FMFF,MFFF,MMFF, MFMF,MFFM,FFMM,FMFM,FMMF, MMMF,MMFM,MFMM,FMMM,MMMM Note que represetamos aí os casais com um filho, dois filhos, três filhos e quatro filhos. (c) A lâmpada pode queimar logo ao ser ligada e, teoricamete, pode durar para sempre; logo, Ω (0, ). (d) Como temos que sortear as 3 mulheres, serão ecessários o míimo 3 sorteios e, o pior dos casos, a última mulher será a última a ser sorteada. Como estamos iteressados apeas o úmero de sorteios, o espaço amostral é Ω {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (e) Podemosobtercaralogooprimeirolaçametoouetãoosegudoouoterceiro... teoricamete, pode ser ecessário laçar a moeda ifiitas vezes. Logo, Ω {1, 2, 3,...} ½ ¾ AA,AB,AC,AD,AE,BA,BB,BC,BD,BE,CA,CB,CC, (f) Ω CD,CE,DA,DB,DC,DD,DE,EA,EB,EC,ED,EE ½ ¾ AB,AC,AD,AE,BA,BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE, (g) Ω DA,DB,DC,DE,EA,EB,EC,ED (a) A B C A B C A B C - o primeiro termo correspode ao eveto apeas A ocorre, o segudo ao eveto apeas B ocorre e o terceiro ao eveto apeas C ocorre. (b) A B C A B C (c) Pelo meos dois sigifica, este caso, 2 ou 3 ocorrem, ou seja: A B C A B C A B C (A B C) o primeiro termo correspode à ocorrêcia de A e B, masãodec; o segudo termo, ocorrêcia de B e C, masãodea; o terceiro, ocorrêcia de A e C, masãodeb eo quarto termo correspode à ocorrêcia dos 3 simultaemete. (d) Nomáximo2sigifica ou ehum ocorre, ou ocorre apeas um, ou ocorrem apeas 2. No caso de 3 evetos, a úica possibilidade excluída é a ocorrêcia dos três simultaemete, ou seja, A B C.

90 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS Capítulo 2 1. Vamos deotar por C o eveto balacete de custo e por O oeveto balacetedeorçameto. Temos: #O 4 #C 3 #Ω 7 Logo, Pr(O) 4 7 Pr(C) O espaço amostral para o experimeto do sorteio seqüecial de 2 balacetes sem reposição é O 1 O 2,O 1 O 3,O 1 O 4,O 2 O 1,O 2 O 3,O 2 O 4, O 3 O 1,O 3 O 2,O 3 O 4,O 4 O 1,O 4 O 2,O 4 O 3, O 1 C 1,O 1 C 2,O 1 C 3,O 2 C 1,O 2 C 2,O 2 C 3, Ω O 3 C 1,O 3 C 2,O 3 C 3,O 4 C 1,O 4 C 2,O 4 C 3, C 1 O 1,C 1 O 2,C 1 O 3,C 1 O 4,C 2 O 1,C 2 O 2, C 2 O 3,C 2 O 4,C 3 O 1,C 3 O 2,C 3 O 3,C 3 O 4, C 1 C 2,C 1 C 3,C 2 C 1,C 2 C 3,C 3 C 1,C 3 C 2 Logo, #Ω 42. (i) Seja A dois balacetes de custos. Etão, e Pr(A) A {C 1 C 2,C 1 C 3,C 2 C 1,C 2 C 3,C 3 C 1,C 3 C 2 } (ii) Seja B dois balacetes de orçameto. Etão, ½ O1 O B 2,O 1 O 3,O 1 O 4,O 2 O 1,O 2 O 3,O 2 O 4, O 3 O 1,O 3 O 2,O 3 O 4,O 4 O 1,O 4 O 2,O 4 O 3 ¾ e Pr(B) (iii) Seja C dois balacetes de tipos diferetes. Etão C O 1 C 1,O 1 C 2,O 1 C 3,O 2 C 1,O 2 C 2,O 2 C 3, O 3 C 1,O 3 C 2,O 3 C 3,O 4 C 1,O 4 C 2,O 4 C 3, C 1 O 1,C 1 O 2,C 1 O 3,C 1 O 4,C 2 O 1,C 2 O 2, C 2 O 3,C 2 O 4,C 3 O 1,C 3 O 2,C 3 O 3,C 3 O 4, e Pr(C) Paraaprimeiraposição,temosos3livros;escolhidooprimeirolivro,sobram2paraaseguda posição. Fialmete, escolhidos os livros para as duas primeiras posições, sobra 1 livro para a última posição. Pelo pricípio da multiplicação, o úmero total de escolhas é

91 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS Para a primeira posição, temos os 5 algarismos; para a seguda, temos 4, já que os algarismos têm que ser diferetes. Cotiuado, para a terceira, temos 3; para a quarta, temos 2 e para a última resta apeas 1. Logo, exitesm úmeros com 5 algarismos distitos escolhidos detre 1, 3, 5, 7, 9. Se os algarismos 1 e 3 têm que estar jutos, podemos pesar eles como um bloco, que deve ser colocado juto com os algarismos 5, 7, 9. Logo, para orgaizar esses 4 blocos, há maeiras diferetes. Por sua vez, o bloco dos algarismos 1 e 3 pode ser orgaizado de 2 maeiras diferetes. Logo, o úmero total de possibilidades é Note que o coceito de aagrama é o mesmo de permutação. (a) Como há 6 letras diferetes, o úmero de aagramas é 6! (b) Fixada a letra T a primeira posição, as outras 5 podem ser orgaizadas de 5! 120 maeiras diferetes. (c) Fixadas a primeira e a última letras, as outras 4 podem ser orgaizadas de 4! 24 maeiras. (d) Temos 4 vogais. Esse bloco pode ser orgaizado de 4! 24 maeiras. Para jutar esse bloco com as 2 cosoates, há 3! 6 maeiras diferetes. Logo, o úmero total é Há um total de 10 pessoas; logo, o úmero total de filas é 10! Se João e Maria estão jutos, podemos pesar eles como uma só pessoa. Logo, há 9! maeiras de orgaizar a fila. Mas existem 2 maeiras de orgaizar João e Maria. Logo, o úmero total de filasemquejoãoemariaestãojutos é9! Pela lei do complemetar, o úmero de filas em que João e Maria estão separados é Para abrir o cofre, ela tem que achar a permurração correta dos 3 algarismos do segredo. O úmero total de possibilidades é P ! ! 8. Os úmeros pares com esses algarismos têm que termiar com 6 ou 8. Fixada a última posição (6 ou 8), sobram 2 posições para serem preechidas com os 5 algarismos restates. Logo, o úmero total é 2 P ! 3! 40. µ µ O úmero total de comissões é 560, coformevistooexemplo2.18. Oúmero 3 3 de comissões em que Maria e João estão jutos é dado por µ µ 7 4 7! 2 2 2!5! 4! 2!2! Logo, o úmero de comissões em que João e Maria ão estão jutos é µ O úmero total de possibilidades para se extraírem 3 cartas sem reposição é #Ω. 3

92 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS µ 13 (a) Existem 13 cartas de espadas. Logo, há maeiras diferetes de se extraírem 3 3 cartas de espadas. Assim, se E 3 é o eveto 3 cartas de espadas, temos que µ 13 Pr(E 3 ) 3 µ 13! 52 3!10! 3!49! 52! , (b) O mesmo cálculo feito em (a) vale para os 4 aipes. Sejam E 3, C 3, P 3, O 3 os evetos 3 cartas de espadas, 3 cartas de copas, 3 cartas de paus e 3 cartas de ouro, respectivamete. Etão, Pr(E 3 )Pr(C 3 )Pr(C 3 )Pr(O 3 ). Logo, a probabilidade do eveto I 3 4 cartas do mesmo aipe é Pr(I 3 ) Pr(E 3 C 3 P 3 O 3 ) Pr(E 3 )+Pr(C 3 )+Pr(C 3 )+Pr(O 3 ) µ µ 4 0, (c) Note que o eveto D três cartas de aipes diferetes ão é o complemetar de I 3, pois, por exemplo, a seqüêcia CCE pertece ao complemetar de I 3,masãopertece ao eveto D. Para calcular a probabilidade do eveto D, ote que para a primeira carta, temos 52 possibilidades qualquer carta serve. Para a seguda carta, temos que excluir as cartas do aipe da primeira; logo, sobram 39. Para a terceira, temos que excluir as cartas dos 2 aipes ateriores; logo, sobram 26. Pelo pricípio da multiplicação, o úmero total de possibilidades é e a probabilidade pedida é µ 2 1 µ 6 4 µ 7 4 µ Pr(D) µ Cada jogador tem 1 opoetes. Logo, existem ( 1) maeiras de selecioar 2 participates. Como a ordem dos 2 selecioados ão importa, o úmero total de partidas é ( 1).Logo 2 ( 1) ± ½ 40 39

93 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 89 Como o úmero de participates tem que ser positivo, a solução é 40participates (a) Se o meor úmero é 7, isso sigificaqueumadasbolaséadeúmero7easoutras2 têm úmero de 8 a 15 e a ordem ão importa. A probabilidade de sortear a bola 7 é Se a bola 7 é sorteada, sobram 14, das quais 8 têm úmero maior que 7. A probabilidade de sortear duas com úmero maior que 7, esse caso, é Comoaordemão importa, existem 3 1 maeiras de sortear essas 3 bolas. Logo, a solução é 7,>7,>7 em qualquer ordem µ (b) 7,<7,<7 em qualquer ordem µ Aqui vamos usar a Propriedade 7 que dá a probabilidade da uião de 2 evetos e também a propriedade distributiva da iterseção e uião, vista o capítulo aterior. Pr(A B C) Pr[(A B) C] Pr(A B)+Pr(C) Pr [(A B) C] [Pr(A)+Pr(B) Pr (A B)] + Pr (C) Pr [(A C) (B C)] Pr(A)+Pr(B) Pr (A B)+Pr(C) {Pr (A C)+Pr(B C) Pr [(A C) (B C)]} Mas (A C) (B C) A B C. Logo, Pr(A B C) Pr(A)+Pr(B)+Pr(C) Pr (A B) Pr (A C) Pr (B C) +Pr(A B C) Note que como todos os termos estão divididos por #Ω, esse resultado vale também para a cardialidade da uião de três evetos basta substituir Pr por #. 15. Existem 10 letras essa palavra, das quais 5 são vogais e 5 são cosoates. (a)paraacosoatedaprimeiraposição,há5possibilidadeseparaavogaldaúltima posição há 5 possibilidades. Excluídas as 2 escolhidas, sobram 8 letras, que podem ser permutadas de 8! maeiras. Logo, o úmero total de aagramas começado com cosoate e termiado com vogal é 5 5 8! (b) Podemos pesar o bloco SIM como uma letra, que deve ser permutada com as 7 letras restates. Etão, há 8! aagramas com as letras SIM jutas essa ordem.

94 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 90 (c) Existem 3! maeiras de orgaizar as letras SIM; logo, o úmero total de aagramas com as letras SIM jutas em qualquer ordem é 8! 3! (d) Vamos deotar por S 1 o eveto letra S a primeira posição e por I 2 oeveto letrai a seguda posição. O eveto S 1 I 2 correspode aos aagramas que começam com as letras SI essa ordem: há 8! desses aagramas. (e) O problema pede #(S 1 I 2 ) que, pela Propriedade 7, é #(S 1 I 2 )#(S 1 )+#(I 2 ) #(S 1 I 2 ) OevetoS 1 correspode aos aagramas que começam com S e o eveto I 2 aos aagramas com I a seguda posição. Etão, #S 1 #I 2 9!. Logo, #(S 1 I 2 ) #S 1 +#I 2 #S 1 I 2 9!+9! 8! (f) Cotiuado com a ossa otação, seja M 3 o eveto letra M a terceira posição. O problema pede #(S 1 I 2 M 3 ). Pelo exercício aterior, #(S 1 I 2 M 3 ) #S 1 +#I 2 +#M 3 #(S 1 I 2 ) #(S 1 M 3 ) #(I 2 M 3 ) +# (S 1 I 2 M 3 ) 9!+9!+9! 8! 8! 8! + 7! 3 9! 3 8! + 7! A Propriedade 6 os diz que Pr(A B) Pr(A B) Pr(A) Pr(A B) (a) Esse resultado trata da probabilidade de ocorrer A e B, mas ão C. Usado a propriedade associativa, temos que Pr(A B C) Pr (A B) C Pr(A B) Pr(A B C) Veja a Figura 5.2. Toda a parte sombreada correspode à ocorrêcia de A e B, ou seja, A B. A parte sombreada mais escura é o eveto de iteresse: A B C eaparte sombreada mais clara é A B C.

95 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 91 Figura 5.2: Ocorrêcia oso evetos A e B mas ão de C -Exercício2.16-a (b) Esse resultado trata da probabilidade de ocorrer apeas A, detre os três evetos. U- sado as propriedades comutativa e associativa, mais o resultado da letra (a), podemos escrever Pr(A B C) Pr(A C B) Pr A C B Pr(A C) Pr(A C B) Pr(A) Pr(A C) Pr(A B C) Pr(A) Pr(A C) [Pr(A B) Pr(A B C)] Pr(A) Pr(A C) Pr(A B)+Pr(A B C) Veja a Figura 5.3. Toda a parte sombreada correspode ao eveto A. Apartesombreada mais escura correspode ao eveto de iteresse: A B C. Notequesesubtrairmos A B e A C, estaremos subtraido duas vezes A B C; aí, temos que somar A B C uma vez para compesar.

96 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 92 Figura 5.3: Ocorrêcia de A, masãodeb e C - Exercício 2.16-b 17. #A 470 #B 420 #C 315 #(A B) 110 #(A C) 220 #(B C) 140 #(A B C) 75 #Ω 1000 Veja a Figura 5.4 Figura 5.4: Solução do exercício sobre os 3 jorais (a) Note que o eveto A B C correspode ao eveto família sorteada assia pelo meos um joral. O problema pede ão assia qualquer joral, ou seja, A B C. Pelas leis de De Morga e do eveto complemetar, temos que Pr A B C Pr A B C 1 Pr(A B C)

97 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 93 Mas, Pr(A B C) Pr(A)+Pr(B)+Pr(C) Pr(A B) Pr (A C) Pr (B C) +Pr(A B C) e, para o problema, Pr A B C 1 Pr(A B C) 1 0, 47 0, 42 0, , , , 140 0, 075 0, 19 (b) O problema pede Pr A B C A B C A B C Como os três evetos são mutuamete exclusivos, temos que Pr A B C A B C A B C Pr A B C +Pr A B C +Pr A B C O primeiro termo se refere àqueles que assiam apeas o joral A, o segudo termo, apeas o joral B e o terceito termo, apeas o joral C. Usadoaletra(b)doexercício aterior, temos que Pr A B C Pr(A) Pr(A B) Pr(A C)+Pr(A B C) (5.1) 0, 47 0, 11 0, , 075 0, 215 (5.2) Aalogamete, prova-se que Pr A B C Pr(B) Pr(A B) Pr(B C)+Pr(A B C) (5.3) 0, 42 0, 11 0, , 075 0, 245 (5.4) Pr A B C Pr(C) Pr(A C) Pr(B C)+Pr(A B C) (5.5) 0, 315 0, 22 0, , 075 0, 03 (5.6) e a probabilidade pedida é 0, , , 03 0, 49 (c) Como são 3 jorais, uma família pode assiar 3, 2, 1, ou 0. Nesse caso, o eveto F assiar pelo meos 2 é o complemetar do eveto assiar o máximo 1 e esse, por sua vez, é a uião dos evetos assiar ehum e assiar exatamete 1, cujas probabilidades foram calculadas as letras (a) e (b). Logo, Pr(F )Pr A B C +Pr(A B C)+Pr A B C +Pr(A B C) 1 0, 19 0, 49 0, Sejam os evetos S ter curso superior, C ser casado, D estar desempregado. O problema dá que Pr (S) 0, 22 Pr (C) 0, 16 Pr (D) 0, 10 Pr S C D 0, 05 Pr (S D) 0, 06 Pr (S C D) 0, 02

98 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 94 (a) O problema pede Pr (S C). Temos que Pr (S C) Pr(S C D)+Pr S C D 0, , 05 0, 07 (b) O problema pede Pr (S C) D. Temos que Pr (S C) D Pr(S C)+Pr D Pr S C D 0, , 90 0, 05 0, 92 (c) O problema pede Pr (S D). Temos que Pr (S D) Pr(S)+Pr(D) Pr (S D) 0, , 10 0, 06 0, Sejam os evetos B artigo bom, M artigo com defeitos meores e G artigo com defeitos graves. Pelos dados do problema, temos que Pr(B) 10 Pr(M) 4 Pr(G) (a) Pr(ão ter defeito) Pr(B) (b) Pr(ãoterdefeitograve)Pr G 1 Pr(G) (c) Pr (ser perfeito ou ter defeito grave) Pr(B G) Pr(B) +Pr(G) Note que esses são evetos mutuamete exclusivos, ou seja, Pr(B G) O úmero total de formas de distribuir as 4 bolsas é µ 30 #Ω 4 (a) Umabolsaparaumaluodo1 µ o ciclo sigifica que 3 bolsas µ vão para aluos do 2 o ciclo Existem maeiras de escolher o aluo do 1 o ciclo e maeiras de escolher os 1 3 3do2 o ciclo. Logo, pelo pricípio fudametal da multiplicação, µ µ Pr(1 do 1 o ) µ , µ µ µ (b) Pr(ehum 2 o )+Pr(1do 2 o ) µ + µ , (c) Pr(pelo µ meos 1 µ de cada ciclo) 1 Pr(ehum do 1 o ) Pr(ehum do 2 o ) µ , µ 30 4

99 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS Capítulo 3 1. Pr(B) 1 Pr(B) 3. Se A e B fossem mutuamete exclusivos, teríamos que ter Pr(A B) 4 Pr(A)+Pr(B) > 1. Logo, A e B têm que ter iterseção Do euciado, cocluímos que A B. Logo, 3.. (a) Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) 0, 5+0, 40, 9 (b) Pr(B A) Pr(B A) Pr(B) Pr(A B) 0, 4 00, 4 (a) Seja A faces iguais. Etão A {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} e Pr(A) (b) Seja B soma das faces meor ou igual a 4. Etão e Pr(B) Oproblemapede B {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)} Pr(A B) Pr(A B) Pr(B) (c) Seja C 5 em pelo meos um dos dados. Etão C {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)} e Pr C) (d) Seja D faces diferetes. Etão Pr(D) Pr(A) 5 6. Oproblemapede Pr(C D) Pr(C D) Pr(D) Vamos defiir os evetos P campaha prota ates do prazo e A diretoria aprova campaha. O problema dá que 5.. Pr(P )0, 6 Pr(A) 0, 5 Pr(A P )0, 3 (a) Pr(A P )Pr(A)+Pr(P ) Pr(A P )0, 6+0, 5 0, 30, 8 (b) Pr(A P )Pr(A P )1 Pr(A P )0, 2 (c) Pr(A P ) Pr(A P ) Pr(P ) 0, 3 0, 5. 0, 6 (a) Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) Pr(A B)

100 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 96 (b) Pr(A B) Pr(A B) 1 Pr(A B) 5 12 (c) Pr(A B) Pr(A B) Pr(B) Pr(A) Pr(A B) 1 Pr(B) Vamos defiir os seguites evetos: T aluo utiliza trasporte público e B aluo come o badejão. O problema dá que O problema pede Pr(T )0, 10 Pr(B T )0, 65 Pr(T B) Pr(T )Pr(B T )0, 9 0, 65 0, Vamos defiir os seguites evetos: C comédia ; R romace ; P policial ; M masculio ; F femiio. (a) Pr(P F ) (b) Pr(C) (c) Pr(M R) Pr(M)+Pr(R) Pr(R M) ( )+(92+195) (d) Pr(P M) Pr(P M) Pr(M) Vamos defiir os evetos P i bola preta a extração i ; A i bola amarela a extração i, i 1, 2, 3. Seja M 3 bolas de mesma cor. Etão Pr(M) Pr(P 1 P 2 P 3 )+Pr(A 1 A 2 A 3 ) Para que A e B sejam idepedetes temos que ter Pr(A B) Pr(A)Pr(B) p 5. Mas Pr(A B) p p p p Os evetos são P campaha prota ates do prazo e A diretoria aprova campaha e o problema dá que 11.. Pr(P )0, 6 Pr(A) 0, 5 Pr(A P )0, 3 Como Pr(A P )Pr(P )Pr(A), segue que P e A são idepedetes.

101 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS (a) A e B idepedetes Pr(A B) Pr(A)Pr(B) > 0 A e B ão são mutuamete exclusivos. (b) A e B mutuamete exclusivos Pr(A B) 0 Pr(A B) 06 Pr(A) > 0 A e B ão são idepedetes Esse exercício é importate, o setido em que ele diferecia os coceitos de evetos disjutos e evetos idepedetes, que muitas vezes são cofudidos pelos aluos. (a) Pr(A B) 0, A e B ão são mutuamete exclusivos (b) Pr(A B) 0, 21 Pr(A)Pr(B) A e B são idepedetes (c) A e B idepedetes A e B são idepedetes (ver Exemplo 3.10) (d) A e B idepedetes A e B ão são mutuamete exclusivos (ver Exercício 3.11) (e) A e A são mutuamete exclusivos A e A ão são idepedetes (ver Exercício 3.11) 13. Vamos defiir os evetos A face 6 em pelo meos um dado e B faces iguais. Etão A {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} B {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} (a) Pr(A) (b) Pr(A B) Pr(A B) Pr(B) Pr(A) Pr(A B) 1 Pr(B) (c) Pr(A B) 6 Pr(A) A e B ão são idepedetes 14. Seja A i lâmpada i acede, i 1, 2, (a) Seja P pelo meos uma lâmpada acede. Etão 1 3 6Pr(A) P A 1 A 2 A 3 Logo, Pr(P ) Pr(P )5 6 (b) O problema pede Pr(A 1 A 2 A 3 ) Vamos defiir os seguites evetos: B iflação abaixo de 3% ; M iflação etre 3% e 4%, A iflação acima de 4% e E empregos. O problema dá o seguite: Pr(B) 0, 20 Pr(M) 0, 45 Pr(A) 0, 35 Pr(E B) 0, 6 Pr(E M) 0, 3 Pr(E A) 0

102 Figura 5.5: Partição do espaço amostral para o problema da iflação espahola 16. Veja a Figura 5.6, ode temos os seguites evetos: V bola vermelha ; B bola braca ; A bola azul ; I ura I ; II ura II Figura 5.6: Diagrama de árvore para o Exercício 3.16

103 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 99 (a) Temos que (b) Temos que (c) Temos que Pr(V ) Pr(V I)+Pr(V II) Pr(I)Pr(V I)+Pr(II)Pr(V II) Pr(B) Pr(B I)+Pr(B II) Pr(I)Pr(B I)+Pr(II)Pr(B II) Pr(A) Pr(A I)+Pr(A II) Pr(I)Pr(A I)+Pr(II)Pr(A II) Note que Pr(V )+Pr(B)+Pr(A) Veja a Figura 5.7, ode temos os seguites evetos: E Joaa escreve a carta ; C correio ão perde a carta ; T carteiro etrega a carta. Figura 5.7: Diagrama de árvore para o Exercício 3.17

104 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 100 (a) Vamos defiir o eveto R Camila recebe a carta. O problema pede Pr(R). Mas Pr(R) Pr(E)+Pr(E C)+Pr(E C T ) , 2+0, 8 0, 1+0, 8 0, 9 0, 1 0, 2+0, , 072 0, Temos que Pr(A B) Pr(A)+Pr(B) Pr(A B) 0, 70, 4+p Pr(A B) (a) Pr(A B) 0 0, 70, 4+p p 0, 3 (b) Pr(A B) Pr(A)Pr(B) 0, 70, 4+p 0, 4p 0, 6p 0, 3 p 0, Pelos dados do problema temos que Pr(A B) Pr(A B) 1 1 Pr(B) Pr(B) Pr(A B) Pr(B) 1 Pr(A B) 1 Pr(B) 1 Pr(A B) Pr(B) 0 Pr(A B) 0 Logo, A e B são mutuamete exclusivos e, portato, ão podem ser idepedetes. 20. O problema dá os seguites fatos: B A Pr(A C) Pr(A)Pr(C) Pr(B C) 0 Pr(A C) 0, 48 Pr(B C) 0, 3 Pr(C) 2Pr(B) epedepr(a B). ComoB A, etão A B A Pr(A B) Pr(A). Pr(B C) 0, 3 Pr(B)+Pr(C) Pr(B C) 0, 3 Pr(B)+2Pr(B) 0 0, 3 Pr(B) 0, 1 Logo, Pr(C) 0, 2. Pr(A C) 0, 48 Pr(A C) 0, 48 Como A e C são idepedetes, segue que A e C também o são. Logo, e, portato Pr(A)Pr(C) 0, 48 Pr(A) 0, 80, 48 Pr(A) 0, 6 Pr(A B) Pr(A) 0, 4

105 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS (a) Veja a Figura 5.8. Figura 5.8: Diagrama de árvore para o Exercício 3.21 (b) Temos que (c) Temos que Pr(M 1 ) 5 8 Pr(M 2 ) Pr(M 1 M 2 )+Pr(H 1 M 2 ) Pr(M 1 )Pr(M 2 M 1 )+Pr(H 1 )Pr(M 2 H 1 ) Logo, M 1 e M 2 ão são idepedetes. Pr(M 2 M 1 ) 4 7 6Pr(M 2) 22. Sejam os evetos A Alberto gaha ; B Bosco gaha ; C Carlos gaha. Como eles são os úicos competidores, temos que Pr(A)+Pr(B)+Pr(C) 1 2Pr(C)+2Pr(C)+Pr(C) 1 Pr(C) 1 5 Pr(A) Pr(B) 2 5

106 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 102 (a) O problema pede Pr(B C) Pr(B)+Pr(C) Pr(B C) Note que pode haver empate etre Bosco e Carlos. No etato, é razoável supor que os evetos B e C sejam idepedetes, uma vez que uma competição hoesta, ehum competidor iterfere o desempeho dos outros. Logo, Pr(B C) Pr(B)+Pr(C) Pr(B C) Pr(B)+Pr(C) Pr(B)Pr(C) (b) Foi ecessário fazer a hipótese de idepedêcia, que é razoável, coforme explicado o item aterior. 23. Sejam os evetos M Maria resolve o problema e P Pedro resolve o problema. Sejam M e P os respectivos complemetares. Temos que Pr (M) 0, 8 Pr(P )0, 7 Pr M 0, 2 Pr P 0, 3 (a) O problema pede Pr P M. Pela hipótese de idepedêcia (sabemos que, se A e B são evetos idepedetes, etão os seus complemetares também o são) temos que Pr P M 0, 3 0, 20, 06 (b) Seja R problema resolvido. O problema pede Pr (R) Pr(P M). Temos que Pr (R) Pr(P M) 1 Pr P M 1 Pr P M 1 0, 06 0, 94 (c) Seja P 1 apeas Pedro resolve. A questão pede Pr (P 1 R). Temos que Pr (P 1 R) Pr P M 0, 7 0, 2 0, 1489 Pr (R) 0, Vamos esquematizar o espaço amostral e os evetos A e B da seguite forma: Dado B B B 2 A AB A AB A AB Dado 1 3 B B B 4 A AB A AB A AB 5 B B B 6 A AB A AB A AB Em cada cela colocamos a letra do eveto que acotece a respectiva combiação dos dados. Etão, Pr(A) Pr(B) 18 1 e Pr(A B) Pr(A) Pr(B). Logo, A e B são idepedetes.

107 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS Veja a Figura 5.9, odetemososevetoss sabe a resposta e A acerta a resposta. Figura 5.9: Diagrama de árvore para o Exercício 3.25 Édadoque Pr(S) 0, 3 Pr(S) 0, 7 Se o aluo sabe a resposta, ele acerta a questão. Se ele ão sabe, ele pode chutar etre as 4 alterativas. Logo, Pr(A S) 1 Pr(A S) 0, 25 O problema pede Pr(A). Tem-se que Pr(A) Pr(A S)+Pr(A S) Pr(S) Pr(A S)+Pr(S) Pr(A S) 0, 3 1+0, 7 0, 25 0, Capítulo 4 1. Os evetos de iteresse o problema são: C escolher o curso em questão P passarococursodaanpad

108 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 104 Os dados do problema iformam que Pr(P C) 0, 80 Pr(C) 0, 15 Pr(P ) 0, 63 Veja a Figura (a) Temos que Figura 5.10: Espaço amostral para o experimeto do Exercício 4.1 (b) O problema pede Pr(C P ). 2. Vamos defiir os seguites evetos: Pr(P ) Pr(P C)+Pr(P C) 0, 63 Pr(C)Pr(P C)+Pr(C)Pr(P C) 0, 63 0, 15 0, , 85 Pr(P C) Pr(P C) 0, 63 0, 15 0, 80 0, 85 Pr(P C) 0, 60 Pr(C P ) Pr(C P ) Pr(C)Pr(P C) Pr(P ) Pr(P ) 0, 15 0, 80 0, , 63 D pessoa tem a doeça D pessoa ão tem a doeça V diagóstico idica doeça V diagóstico ão idica doeça

109 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 105 Se a pessoa tem a doeça, diagóstico correto sigifica que o médico idetificou a doeça. Se a pessoa ão tem a doeça, diagóstico correto sigifica que o médico ão idetificou a doeça. Dessa forma, os dados do problema os dão as seguites probabilidades: Pr(D) 0, 08 Pr(D) 0, 92 Pr(V D) 0, 95 Pr(V D) 0, 05 Pr(V D) 0, 02 Pr(V D) 0, 98 A probabilidade a priori dada é Pr(D) e, por coseqüêcia, Pr(D). Etão, para aplicar o teorema de Bayes, a partição do espaço amostral tem que ser defiida por esses evetos, embora V e V também defiam uma partição. Queremos calcular Pr(D V ). Por defiição temos que: Pr(D V ) Pr(D V ) Pr (V ) Mas Pr (V ) Pr(V D)+Pr V D Pr(V D) Pr(D)+Pr V D Pr(D) 0, 95 0, , 02 0, 92 0, , , 0944 e Logo, Pr (V D) Pr(V D) Pr(D) 0, 95 0, 08 0, 076 Pr(D V ) 0, 076 0, , Pelo pricípio fudametal da multiplicação, temos que #Ω A {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} Pr(A) B 1 {(1, 2), (1, 3), (1, 4)} B 2 {(2, 1), (2, 3), (2, 4)} B 3 {(3, 1), (3, 2), (3, 4)} B 4 {(4, 1), (4, 2), (4, 3)} Pr (B i ) i 1, 2, 3, 4 Note que Ω B 1 B 2 B 3 B 4 e como esses evetos são mutuamete exclusivos dois a dois, eles formam uma partição de Ω. Temos que A B 1 {(1, 4)} A B 2 {(2, 3)} A B 3 {(3, 2)} A B 4 {(4, 1)} Pr (A B i ) 1 12 i 1, 2, 3, 4

110 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 106 Logo, Pr (A B i ) Pr (A B i) Pr (B i ) Pr (B i A) Pr (A B i) Pr (A) NotequeosevetosA e B i,i1, 2, 3, 4 são idepedetes! Pr(A) i 1, 2, 3, Pr(B i) i 1, 2, 3, 4 4. Pelo pricípio fudametal da multiplicação, temos que #Ω A {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} Pr(A) B 1 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)} B 2 {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} B 3 {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} B 4 {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} Pr (B i ) i 1, 2, 3, 4 Etão, A B 1 {(1, 4)} A B 2 {(2, 3)} A B 3 {(3, 2)} A B 4 {(4, 1)} Pr (A B i ) 1 16 i 1, 2, 3, Logo, Pr (A B i ) Pr (A B i) Pr (B i ) Pr (B i A) Pr (A B i) Pr (A) Pr(A) i 1, 2, 3, Pr(B i) i 1, 2, 3, 4 Como ates, os evetos A e B i,i1, 2, 3, 4 são idepedetes! (a) Pelo pricípio fudametal da multiplicação, há possibilidades de respostas para as 7 questões. Logo, a probabilidade de acertar todas é (b) Haver mais Verdadeiros do que Falsos sigifica que pode ter 4 Verdadeiros (e, portato, 3 Falsos), 5 Verdadeiros (e, portato, 2 Falsos), 6 Verdadeiros (e, portato, 1 Falso) e 7 Verdadeiros (e, portato, ehum Falso). µ 7 4 verdadeiros: existem 4 µ 7 5 verdadeiros: existem 5 7! 4!3! ! 4! maeiras; 7! 5!2! 7 6 5! 5! maeiras;

111 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 107 µ 7 6 verdadeiros: existem 7! 6 6!1! 7 6! 6! 1 7maeiras; µ 7 7 verdadeiros: existem 7! 7 7!0! 1 0! 1 1 1maeira. Assim, se deotamos por V o eveto ter mais verdadeiros que falsos, resulta que Pr(V ) Se A é o eveto acertar todas as questões, etão A V eoproblemapede Pr(A V ) Pr(A V ) Pr(V ) Pr(A) 1 Pr(V ) No Exercício 3.15 do capítulo aterior, defiimos os seguites evetos: B iflação abaixo de 3% ; M iflação etre 3% e 4%, A iflação acima de 4% e E empregos. O problema dá o seguite: Lá calculamos também que Pr(B) 0, 20 Pr(M) 0, 45 Pr(A) 0, 35 Pr(E B) 0, 6 Pr(E M) 0, 3 Pr(E A) 0 Pr(E) Pr(B)Pr(E B)+Pr(M)Pr(E M)+Pr(A)Pr(E A) 0, 20 0, , 45 0, , , 255 O problema agora pede Pr(B E) : Pr(B E) Pr(B E) Pr(B)Pr(E B) Pr(E) Pr(E) 0, 20 0, 6 0, , Veja a Figura 5.11, ode temos os seguites evetos: E Joaa escreve a carta ; C correio ão perde a carta ; T carteiro etrega a carta.

112 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 108 Figura 5.11: Diagrama de árvore para o Exercício 4.7 NoExercício3.17docapítuloaterior,defiimos o eveto R Camila recebe a carta e calculamos Pr(R) Pr(E)+Pr(E C)+Pr(E C T ) , 352 O problema agora pede Pr(E R) : Pr(E R) Pr(R E) Pr(R) Pr(E)Pr(R E) Pr(R) OevetoR E sigifica Camila ão receber a carta, dado que Joaa ão a escreveu. Ora, se Joaa ão escreveu, é claro que Camila ão recebe a carta! Logo, esse eveto é o eveto certo e, portato, Pr(E R) Pr(E)Pr(R E) 0,2 1 0, 5682 Pr(R) 0, Veja a Figura 5.12, ode temos os evetos S sabe a resposta e A acerta a resposta.

113 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 109 Figura 5.12: Diagrama de árvore para o Exercício 4.8 Édadoque Pr(S) 0, 3 Pr(S) 0, 7 Se o aluo sabe a resposta, ele acerta a questão. Se ele ão sabe, ele pode chutar etre as 4 alterativas. Logo, Pr(A S) 1 Pr(A S) 0, 25 No Exercício?? do capítulo aterior, calculamos O problema agora pede Pr(S A) : Pr(A) Pr(A S)+Pr(A S) Pr(S) Pr(A S)+Pr(S) Pr(A S) 0, 3 1+0, 7 0, 25 0, 475 Pr(S A) Pr(S A) Pr(A) 0, 7 0, 25 0, 475 Pr(S)Pr(A S) Pr(A) 0, Seja A i face i o primeiro laçameto, i 1,...,6 e seja B i face i o segudo laçameto, i 1,...6. Como os laçametos são idepedetes, os evetos A i e B i são idepedetes. Logo, a probabilidade de cada um dos 36 pares (A i,b i ) do espaço amostral é dada pelo produto das probabilidades idividuais, ou seja, Vamos defiir os seguites evetos: Pr (A i,b i )Pr(A i )Pr(B i ) E dado equilibrado E dado viciado D dois 1s D o máximo um 1

114 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 110 A escolha dos dados é aleatória. Logo, Temos também que Pr(E) Pr(E) 1 2 Pr(D E) Pr(D E) O problema pede Pr(E D). Temos que Pr(D E) Pr(D E) 3 4 Pr(E D) Pr(E D) Pr(D) Pr(E D) Pr(D E)+Pr(D E) Pr(E)Pr(D E) Pr(E)Pr(D E)+Pr(E)Pr(D E) São feitas 3 extrações. Como só estamos iteressados em bola azul a terceira extração, podemos pesar que, em cada extração, ocorreu bola azul ou ão. Veja a Figura Dessa forma, podemos escrever: Pr(A 3 ) Pr(A 1 A 2 A 3 )+Pr(A 1 A 2 A 3 )+ Pr(A 1 A 2 A 3 )+Pr(A 1 A 2 A 3 ) Pr(A 1 )Pr(A 2 A 1 )Pr(A 3 A 2 A 1 )+ Pr(A 1 )Pr(A 2 A 1 )Pr(A 3 A 2 A 1 )+ Pr(A 1 )Pr(A 2 A 1 )Pr(A 3 A 2 A 1 )+ Pr(A 1 )Pr(A 2 A 1 )Pr(A 3 A 2 A 1 )

115 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 111 Figura 5.13: Solução do Exercício São feitas 3 extrações. Como ates, vamos deotar por V i oeveto boladecorvermelhaa extração i eporb i oeveto boladecorbracaaextraçãoi. Queremos Pr(V 3 ). Logo, Pr(V 3 ) Pr(V 1 V 2 V 3 )+Pr(V 1 P 2 V 3 )+ Pr(P 1 V 2 V 3 )+Pr(P 1 P 2 V 3 ) Pr(V 1 ) Pr(V 2 V 1 ) Pr(V 3 V 1 V 2 )+ Pr(V 1 ) Pr(P 2 V 1 ) Pr(V 3 V 1 P 2 )+ Pr(P 1 ) Pr(V 2 P 1 ) Pr(V 3 P 1 V 2 )+ Pr(P 1 ) Pr(P 2 P 1 ) Pr(V 3 P 1 P 2 ) 0, x x x x 10 0, 537 0, 037 (10 x)+0, 063 (9 x) 0, 537 0, 937 0, 1x 0, 1x 0, 4 x 4

116 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS Vamos defiir os seguites evetos: Temos que Fazedo p Pr(A D 1 ) temos que Mas Logo e, portato, D i distribuidor i,i1, 2, 3 A atraso Pr(D 1 ) 0, 70 Pr(D 2 )Pr(D 3 )0, 15 Pr(A) 0, 06 Pr(A D 1 ) 1 2 Pr(A D 2) Pr(A D 2 ) 2Pr(A D 3 ) Pr(A D 2 ) 2p Pr(A D 3 ) 1 2 Pr(A D 2)p Pr(A) Pr(A D 1 )+Pr(A D 2 )+Pr(A D 3 ) Pr(D 1 )Pr(A D 1 )+Pr(D 2 )Pr(A D 2 )+Pr(D 3 )Pr(A D 3 ) 0, 06 0, 7p +0, 15 2p +0, 15p 0, 06 1, 15p p 0, Pr(A D 1 )0, Pr(A D 2 )0, Pr(A D 3 )0, Cosidere os evetos I aluo tem boa formação em iformática e C i aluo do curso i,i1, 2. O problema dá as seguites probabilidades: epedepr(c 1 ). Sabemos que Pr(I C 1 ) 0, 60 Pr(I C 2 ) 0, 40 Pr(I) 0, 44 Pr(I) Pr(C 1 I)+Pr(C 2 I) Pr(C 1 ) Pr(I C 1 )+Pr(C 2 ) Pr(I C 2 ) Pr(C 1 ) 0, 6+Pr(C 2 ) 0, 4 0, 6 Pr(C 1 )+0, 4 [1 Pr(C 1 )] Logo, 0, 44 0, 4+0, 2 Pr(C 1 ) 0, 2 Pr(C 1 )0, 04 Pr(C 1 )0, 2

117 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS Vamos idicar por F i oeveto fucioárioi epore oeveto balacetecomerro. Ates do treiameto temos: Pr(E) Pr(F 1 E)+Pr(F 2 E)+Pr(F 3 E) Pr(F 1 )Pr(E F 1 )+Pr(F 2 )Pr(E F 2 )+Pr(F 3 )Pr(E F 3 ) 0, 5 0, , 25 0, , 25 0, 08 0, 06 Depois do treiameto, passamos a ter Logo, fazedo p Pr(E F 3 ) Pr(E) 0, 03 Pr(E F 2 ) Pr(E F 3 ) Pr(E F 1 ) 2Pr(E F 3 ) Pr(E) Pr(F 1 E)+Pr(F 2 E)+Pr(F 3 E) Pr(F 1 )Pr(E F 1 )+Pr(F 2 )Pr(E F 2 )+Pr(F 3 )Pr(E F 3 ) 0, 03 0, 5 2p +0, 25 p +0, 25 p 0, 03 1, 5p p 0, 02 ou seja, depois do treiameto as probabilidades de erro de cada fucioário passam a ser Pr(E F 1 ) 0, 04 (tempo itegral) Pr(E F 2 ) Pr(E F 3 )0, 02 (tempo parcial) 15. Sejam os evetos E gahar parte elétrica e H gahar parte hidráulica. Temos que Pr(E) 1 2 Pr (H E) 3 4 Pr H E 1 3 Resulta que Pr E 1 2 Pr H E 1 4 Pr H E 2 3 (a) Pr (E H) Pr(H E)Pr(E) (b) Pr E H +Pr E H Pr H E Pr E +Pr H E Pr (E) (c) Pr E H Pr H E Pr E