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1 Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações MATEMÁTICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR

2 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detetor dos direitos autorais. I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. Curitiba : IESDE Brasil S.A., [Livro do Professor] 660 p. ISBN: Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Esio. I. Título. CDD Disciplias Lígua Portuguesa Literatura Matemática Física Química Biologia História Geografia Produção Autores Fracis Madeira da S. Sales Márcio F. Satiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D Ávila Dato Pedro dos Satos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Adrade Neto Reato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Atoio Noroha Vitor M. Saquette Edso Costa P. da Cruz Ferada Barbosa Ferado Pimetel Hélio Apostolo Rogério Ferades Jefferso dos Satos da Silva Marcelo Picciii Rafael F. de Meezes Rogério de Sousa Goçalves Vaessa Silva Duarte A. R. Vieira Eilso F. Veâcio Felipe Silveira de Souza Ferado Mousquer Projeto e Desevolvimeto Pedagógico Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

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4 Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

5 Aálise Combiatória: Fatorial e Pricípio Multiplicativo ode k. Se essas maeiras para as ocorrêcias dos evetos distitos forem disjutas duas a duas, etão o úmero de maeiras as quais pelo meos um dos evetos E, E 2,..., ou E k pode ocorrer é: Frequetemete, o osso dia-a-dia, precisamos eumerar evetos, tais como arrumação de objetos de certa maeira, separar coisas sob uma certa codição, distribuições para certos fis etc. Para fazermos isso, precisamos euciar dois teoremas que são fudametais em todos os problemas de cotagem. O pricípio aditivo (AP) Supoha que existam maeiras para o eveto E ocorrer, 2 maeiras para o eveto E 2 ocorrer,... k maeiras para o eveto E k ocorrer, Por exemplo, se podemos ir de uma cidade P a uma cidade Q por vias aérea, marítima e rodoviária, e supodo que existam duas compahias marítimas, três compahias aéreas e duas compahias rodoviárias que fazem o trajeto etre P e Q, etão pelo AP o úmero total para se fazer o trajeto de P a Q pelo mar, pelo ar ou por rodovia é = 7. Uma forma equivalete do AP, usado a termiologia dos cojutos, ode X represeta o úmero de elemetos do cojuto X, é o seguite: Sejam A, A 2,..., A k cojutos fiitos quaisquer ode k. Se os cojutos dados são distitos dois a dois, isto é Ai Αj = para i, j =, 2,..., k, i j etão k å å A = A + A A = A i 2 k i i= i= k EM_V_MAT_03 Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

6 O pricípio multiplicativo (MP) Supodo que um eveto E possa ser decomposto em r evetos ordeados E, E 2,..., E r e que existam maeiras para o eveto E ocorrer, 2 maeiras para o eveto E 2 ocorrer,... r maeiras para o eveto E r ocorrer. Etão, o úmero de maeiras do eveto E ocorrer é dado por Supodo que o computador possa distiguir e lembrar símbolos, etão as equações acima permitem-lhe calcular IN para todo IN*, pois o cojuto A dos para os quais ele pode calcular IN é o próprio IN*. Dizemos que as relações acima defiem IN idutivamete, ou são uma defiição idutiva de IN. Quado a substituição dos potihos é algo rotieiro para seres humaos, os potihos são usados em lugar da defiição idutiva que se espera que o leitor dê. O uso dos potihos tora as fórmulas mais fáceis de serem compreedidas, mas, ovamete, só para leitores humaos. E em trabalhos mais avaçados a defiição formal por idução tem que ser dada especialmete quado essa defiição acaba de ser criada por um autor. Fatorial 2 Por exemplo, para irmos de uma cidade A até uma cidade D devemos passar pelas cidades B e C, esta ordem, e supodo que existam 2 maeiras distitas de ir de A até B, 5 maeiras diferetes de ir de B até C e 3 maeiras distitas de ir de C até D etão, pelo MP, o úmero de maeiras de ir de A até D, passado por B e C, é dado por 2 x 5 x 3 = 30. Uma forma equivalete do MP, utilizado a termiologia dos cojutos, é euciada abaixo: Se, r A = A A... A = i 2 r i= = ( a, a2,..., ar ai A i, i = {, 2,..., r} é o produto cartesiao dos cojutos fiitos A, A 2,..., A, etão, r r A i = A x A2 x...x A r = Ai i= i= Mais uma vez, X sigifica o úmero de elemetos do cojuto X. O método de defiição idutiva Seja IN o subcojuto {, 2,..., } de IN, cosistido dos primeiros úmeros aturais ão-ulos. Etretato, se desejássemos que um computador imprimisse a coleção dos elemetos de IN 989, teríamos que lhe dizer exatamete o que fazer quado chegassem os potihos. Por outro lado, se defiíssemos IN para cada IN* por IN = {}, IN + = IN U { + } Fatorial de um úmero atural, tradicioalmete deotado por!, ao úmero defiido idutivamete por: 0! = e! = ( )! decorre imediatamete da defiição que! = ( ) e etão tem-se que 5! = = 20; 3! = =6; 8! = = etc... Coeficietes biomiais Dados os aturais e k, sedo k 0 chamase coeficiete biomial sobre k e se idica ao k! úmero defiido por: k! ( - k )! se 0 k Permutações simples Dado o cojuto A = {a, a 2, a 3,..., a } de elemetos ( N) chama-se de permutação simples dos elemetos de A ( e N), a qualquer cojuto ordeado com esses elemetos. Idica-se por P, o úmero de permutações com elemetos. Cálculo do úmero de permutações simples (P) Cosideremos os objetos x, x 2, x 3,..., x e as posições: p p 2 p 3... p Eumerado todas as permutações dos objetos x, x 2, x 3,..., x, temos que o úmero de tais permutações é igual ao úmero de modos possíveis Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações EM_V_MAT_03

7 de se ocupar, com esses objetos, as posições p, p 2, p 3,..., p. Para a posição P existem escolhas a arrumação. Após o preechimeto de p existem escolhas (os objetos remaescetes) para a posição p 2. Há 2 maeiras diferetes de ser preechida a posição p 3, após terem sido ocupadas as posições p e p 2. E, fialmete, uma escolha para a última posição p, após terem sido preechidas as posições p, p 2, p 3,..., p. Portato, pelo pricípio multiplicativo e utilizado a otação! = ( )( 2)( 3) , temos que o úmero de modos de ordear objetos distitos é ( )( 2)( 3) =! Assim, P =! Por extesão, defie-se P 0 = 0! = e P =! = Arrajos simples São dados o cojuto A = {a, a 2, a 3,..., a } de elemetos ( N) e o úmero atural p N/p. Chama-se arrajo simples os elemetos tomados p a p, a qualquer cojuto ordeado com p elemetos (sem repetição) escolhidos etre os elemetos de A. Idica-se A, p, o úmero de arrajos simples de elemetos p a p. Cálculo do úmero de arrajos simples de elemetos, p a p (A, p ) Seja A = {a, a 2, a 3,..., a } cojutos ordeados com p elemetos simples com elemetos são um caso particular dos arrajos simples quado p =. 2.ª) Note que, em particular, defiimos: Exemplo:!! A,0 = = =, também ( - 0 )!! 0! A = = = 0,0 0! Cosidere dois cojutos: A = {, 2, 3} e B = {, 2, 3, 4, 5} Quatas são as fuções ijetoras ƒ: A B? Uma fução é ijetora quado x x 2 ƒ (x ) ƒ (x 2 ). Logo, pelo pricípio multiplicativo, temos: Decisão D : Escolha de f() 5 D 2 : Escolha de f(2) 4 D 3 : Escolha de f(3) 3 N.º de casos Total de casos = 5 x 4 x 3 = 60 Nesse problema temos um arrajo de 5 elemetos tomados 3 a 3. Isto é, ! A 3 = = = (5 3)! Combiação simples EM_V_MAT_03 F, F2,..., Fp F F 2 F 3 F p A, p =. ( ). ( 2)... [ (p )] A, p =. ( ). ( 2)... ( p + ).( ).( 2)... ( p + )( p)( p ) A, p = ( p)( p ) ! A, p = ( p)! e, portato, (, p N e p ) que é fórmula para se calcular o úmero de arrajos simples (sem repetição) de elemetos p a p. Observações:.ª) É importate otar que, quado p =, temos:!!! A,p = = =! = P ( )! 0! = ou seja, as permutações Sempre que pegamos um subcojuto e trocamos a ordem de seus elemetos, ós ão estamos modificado-o. Agrupametos desse tipo, em que a ordem dos elemetos ão é importate, são chamados de combiações e serão tratados esse módulo. Uma k-combiação ou uma combiação de classe k, de objetos distitos, é uma escolha ão -ordeada ou um subcojuto de k dos objetos. Represetaremos o úmero de combiações de objetos distitos, de classe k ou tomados k a k, por um dos símbolos æ C C(,k) ou ö ç k çè ø É padroizado ler qualquer um dos dois símbolos como escolhe k. (Outra otação comumete k utilizada é C ). Teorema: se 0 k, etão o úmero de subcojutos de k elemetos de um cojuto com Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 3

8 elemetos ou o úmero de combiações de objetos distitos de classe k é dado por! = k k!( k)! (Em elemetos escolhe-se k elemetos) Demotração: o cojuto de todas as permutações simples de k elemetos selecioados de um cojuto com elemetos cotém permutações.! ( k)! Etretato, cada subcojuto de k elemetos pode ser ordeado de k! maeiras, dessa forma, o úmero de maeiras de primeiro escolher um subcojuto e depois ordear os elemetos desse subcojuto é pelo pricípio multiplicativo igual a. k k Etretato, cada uma dessas ordeações é uma diferete permutação de k elemetos selecioados detre todos os elemetos, e cada permutação de k elemetos distitos surge da escolha de um subcojuto, que produz: æö! k! = = A (cq çk è ø ( - k! ) Corolário: o úmero de maeiras de rotularmos objetos com k rótulos de um tipo e ( k) rótulos de um segudo tipo é k. = k k!,k 3. Solução: Há quatro modos de escolher o meio de trasporte de ida. Depois disto, há três alterativas para a volta, logo, existem 4 x 3 = 2 maeiras distitas de fazer a viagem. Dispodo das cores verde, amarelo, azul e braco, de quatos modos distitos podemos pitar sete casas efileiradas, de modo que cada casa seja pitada de uma só cor e duas casas vizihas ão sejam pitadas com a mesma cor? Solução: A primeira casa pode ser pitada de quatro maeiras, a seguda de três maeiras (ão podemos usar a cor utilizada a primeira cas, a terceira de três maeiras (ão podemos usar a cor utilizada a seguda cas, e assim sucessivamete, cada casa subsequete pode ser pitada de três maeiras (ão podedo ser pitada da cor utilizada a casa aterior) logo, as sete casas podem ser pitadas de 4 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2 96 modos distitos. 4. As atigas placas para automóveis, formadas por duas letras seguidas de quatro algarismos, como, por exemplo MY 7406, foram substituídas por placas com três letras seguidas de quatro algarismos, como, por exemplo DKI Utilizado um alfabeto de 26 letras e supodo que qualquer sequêcia de letras e algarismos seja permitida (a realidade algumas sequêcias ão são permitidas) quatos veículos a mais podem ser emplacados? O saguão do prédio sede de uma multiacioal possui quatro portas em cada uma das direções orte, sul, leste e oeste. De quatas maeiras distitas uma pessoa dispõe para etrar e sair do prédio por uma dessas portas? Solução: Existem 6 portas o total, logo há 6 maeiras de escolher a porta para etrar. Depois disso, há 6 alterativas para sair logo, existem 6 x 6 = 256 maeiras de etrar e sair do prédio. A ligação etre as cidades do Rio de Jaeiro e Salvador pode ser feita por vias ferroviária, marítima, rodoviária e aérea. De quatas maeiras distitas uma pessoa pode fazer a viagem Rio de Jaeiro - Salvador - Rio de Jaeiro, sem utilizar a volta o mesmo meio de trasporte utilizado a ida? Solução: Como existem 26 escolhas para cada letra e 0 escolhas para cada algarismo, o úmero total de placas atigas era 262 x 04. O ovo úmero de placas é igual a 263 x 04 e daí podem ser emplacados a mais 263 x x 04 = 69 x 06 veículos. 5. Calcule, sabedo-se que ( + )! = 7.! Solução: Temos que ( + )! = ( + ).. ( ) = ( + ).!!( + ) Logo, = 7 + = 7 = 6! Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações EM_V_MAT_03

9 EM_V_MAT_ Simplifique: ( + 2)! + ( + )! ( + 2)! ( + )! Solução: Temos ( + 2)! = ( + 2). ( + ).. ( ) = ( + 2)! + ( + )! ( + 2)! ( + )! = ( + 2). ( + )! = Assim, ( + )! ( ) ( + )! ( + 2 ) ( + 2). ( + )! + ( + )! ( + 2). ( + )! ( + )! = = Expresse cada um dos produtos como quociete de dois fatoriais: ( 3). ( 4). ( 5) Solução: = = = ! 6! ( - 3) ( - 4) ( - 5) = ( - 3) ( - 4) ( - 5) ( - 6) ( - 7) ( - 6) ( - 7) ( - 3) ( - 4) ( - 5) ( - 6) ( - 7) = ( - 6) ( - 7) ( - 3)! = ( - 6)! João comprou uma calculadora e apertou um dígito e, em seguida, apertou a tecla!, ecotrado como resultado Qual o dígito teclado por João? ` ` Solução: B = Fazedo a decomposição de em fatores primos, ecotra-se : = = = 8! Quatos são os aagramas da palavra PERNAMBUCO? Solução: Chama-se aagrama de uma palavra qualquer permutação que se possa formar com todas as letras desta palavra. Cada aagrama de PERNAMBUCO ada mais é que uma ordeação das letras, P, E, R, N, A, M, B, U, C, O e, portato, o úmero de aagramas de PERNAMBUCO é P0 = 0! = aagramas. Com relação aos aagramas com as letras da palavra VESTIBULAR, perguta-se: Quatos começam e termiam por cosoate? Quatos começam por cosoate e termiam por vogal? Quatos apresetam as vogais jutas? Quatos apresetam o vocábulo LUTA? Quatos apresetam as vogais em ordem alfabética? f) Quatos apresetam a sílaba LU e ão apreseta a sílaba TA? Solução: A escolha da cosoate iicial pode ser feita de seis modos e, depois disso, a cosoate fial pode ser escolhida de cico modos. As restates oito letras podem ser arrumadas etre essas cosoates selecioadas de P8 = 8! = modos. A resposta é 6 x 5 x = A escolha da cosoate iicial pode ser feita de seis modos e, depois disso, a vogal fial pode ser escolhida de quatro modos. As restates oito letras podem ser arrumadas etre essa cosoate e essa vogal selecioadas de P8 = 8! = modos. A resposta é 6 x 4 x = Uma vez feita a ordem das letras A, E, O, U, que pode ser feito de 4! = 24 modos. O bloco formado por estas letras se passa como se fosse uma letra só, portato devemos arrumar sete objetos, o bloco formado pelas vogais e as seis letras V, S, T, B, L, R. A resposta é 24 x 7! = 24 x = O vocábulo LUTA se comporta como uma úica letra. Daí, devemos arrumar sete objetos, o bloco LUTA e as seis letras restates. A resposta é 7! = Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 5

10 . Há 4! = 24 ordes possíveis para as vogais. A resposta é do total de aagramas, de 0! que é igual a f) O úmero de aagramas que apresetam a sílaba LU é igual ao úmero de aagramas das ove letras LU (a sílaba LU se comporta como se fosse uma letra só), V, E, S, T, I, B, A, R, isto é, 9! = Aalogamete, o úmero de aagramas que apresetam a sílaba LU e a sílaba TA é igual ao úmero de aagramas das oito letras LU, TA, V, E, S, I, B, R, ou seja, 8! = A resposta é = De quatos modos se pode pitar um cubo, usado seis cores diferetes, sedo cada face uma cor? Solução: Supohamos o cubo pedurado pelos quatro vértices de uma mesma face, de modo que duas de suas faces fiquem horizotais, e cosideremos um observador fixo, em frete a uma de suas faces verticais, coforme a figura abaixo. Fazedo igual raciocíio para as seis faces, segue-se, pelo pricípio multiplicativo que o observador pode ver a mesma pitura do cubo de 6. 4 = 24 modos diferetes. Seja, etão, x o úmero de pituras distitas do cubo, as codições exigidas, isto é, sedo cada face com uma cor. Como cada pitura pode ser vista de 24 modos diferetes pelo observador, as x pituras podem ser vistas de x. 24 modos diferetes. Porém, como vimos o iício, esse úmero é 6!; logo: x. 24 = 6! x = 6! 24 = 30 Este problema pode ser geeralizado para um poliedro regular com F faces, tedo cada lados. O úmero de modos de pitar esse poliedro com F cores, sedo cada face com uma cor, é: x = F! (F )! = F. 6 A E D H F Vejamos, iicialmete, de quatos modos diferetes o observador pode ver o cubo pitado. Para pitar a face superior, há seis escolhas de cores; para a face iferior, 5, e para as verticais, respectivamete 4, 3, 2 e escolhas. Logo, pelo pricípio multiplicativo o observador pode ver o cubo pitado de = 6! modos diferetes. Etretato, o úmero de modos de pitar o cubo as codições do problema, isto é, sedo cada face com uma cor, ão é 6!, pois, como veremos a seguir, o observador pode ver de 24 modos diferetes uma mesma pitura do cubo. De fato, supohamos que o cubo teha sido pitado de uma determiada maeira, e que a face AEFB, voltada para o observador, esteja pitada de azul de quatro modos diferetes; basta otar que o mesmo pode ser pedurado pelos vértices ABCD, BCGF, GFEH e AEHD, e que em cada uma dessas posições a face AEFB (azul) permaece voltada para o observador. B C G 2. (ENEM 2002) O código de barras, cotido a maior parte dos produtos idustrializados, cosiste um cojuto de várias barras que podem estar preechidas com cor escura ou ão. Quado um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é covertida o úmero 0 e a de uma barra escura, o úmero. Observe, a seguir, um exemplo simplificado de um sistema de código com 20 barras. Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: No sistema de código de barras, para se orgaizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações EM_V_MAT_03

11 EM_V_MAT_03 levar em cosideração que algus códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código , o sistema descrito acima. Em um sistema de códigos que utilize apeas cico barras, a quatidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, descosiderado-se todas as barras claras ou todas as escuras, é: ` ` Solução: D Temos cico posições que devem ser preechidas com o úmero ou 0. Como a leitura deve ser igual da direita para a esquerda, temos as seguites possibilidades: Para.ª posição 2 valores possíveis. Para 2.ª posição 2 valores possíveis. Para 3.ª posição 2 valores possíveis. Para 4.ª posição valor igual a da 2.ª posição. Para 5.ª posição valor igual a da.ª posição. Logo, temos um total de 2 x 2 x 2 x x possibilidades = 8 possibilidades. Etretato, ão podemos cosiderar tudo claro ou escuro, tora-se etão: = 8 2 = 6 possibilidades. São elas Dispodo de um baralho comum de 52 cartas, de quatos modos distitos podem ser distribuídas: 5 cartas quaisquer? 5 cartas do mesmo aipe? 5 cartas das quais somete 3 são ases? Solução: O úmero de modos de distribuirmos cico cartas é igual ao úmero de escolhermos um subcojuto com cico elemetos. 52 Portato, existem 52! = = distribuições distitas. 47!5! Como existem quatro aipes, o úmero de esco- lhas de um subcojuto com cico das 3 cartas de 3 3! cada aipe pode ser obtido de = = 5!8! maeiras para cada aipe. Etão, o úmero total de subcojutos de 5 cartas do mesmo aipe é 4 x 287 = Para escolhermos o úmero de distribuições com exatamete três ases, devemos escolher três dos quatro ases e etão completar as cico cartas com outras duas que ão sejam ases e que podem ser escolhidas de 48 = 28 2 maeiras. Deste modo, existem 4 28 = 4 52 maeiras de se distribuir cico cartas com somete três ases. 4. Uma comissão de k pessoas será escolhida de um grupo de sete mulheres e quatro homes, detre os quais figuram João e Maria. De quatas maeiras isto pode ser feito, de modo que: a comissão teha cico pessoas sedo três mulhe- res e dois homes; a comissão teha o mesmo úmero de homes e mulheres; a comissão teha quatro pessoas, de modo que pelo meos duas sejam mulheres; a comissão teha quatro pessoas, sedo João uma dessas pessoas; a comissão teha quatro pessoas, sedo duas de cada sexo e de modo que João e Maria ão estejam simultaeamete a comissão. Solução: O úmero de maeiras de escolhermos três detre sete mulheres é 7 e o úmero de maeiras de escolhermos dois detre quatro homes é 3 4 assim, temos o total. = = maeiras. Para cotar os possíveis subcojutos com o mesmo úmero de homes e mulheres, devemos defiir o úmero de elemetos de cada um deles, isto Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 7

12 8 é, devemos dividir o problema em quatro casos disjutos, a saber: uma mulher e um homem; dois de cada sexo; três de cada sexo; e quatro de cada sexo (pois existem quatro homes). Deste modo, o úmero total é a soma das possibilidades para esses quatro subcasos ou seja, = = 329 = = 329 Uma abordagem é escolher primeiro duas mulheres, o que pode ser feito de = maeiras e, etão, escolher duas quaisquer das ove pessoas restates (cico mulheres e quatro homes). Etretato, cotar todas as comissões dessa maeira ão é correto, uma vez que alguma mulher em uma dessas comissões pode estar etre as duas primeiras ou etre as duas pessoas, por exemplo, se deotarmos por Hi o i-ésimo homem e por Mi a i-ésima mulher etão, se escolhermos primeiro as mulheres M e M2 a comissão composta por M e M2 com as duas outras pessoas M3 e H3 detre as restates forece a mesma comissão que se formaria caso tivéssemos escolhido primeiramete M e M3 e a seguir M2 e H3. Uma solução correta para este problema utiliza a abordagem feita o item (, isto é, dividamos o problema em três subcasos: duas mulheres e dois homes, três mulheres e um homem e fialmete, quatro mulheres. A resposta é etão: = = Se João deve estar a comissão, isto sigifica simplesmete que o problema se reduz a escolher três outras pessoas etre as 0 remaescetes (sete mulheres e três homes). Assim, a resposta 0 é = Existem três subcasos os quais João e Maria, ão estão ambos a comissão. Se Maria está a comissão e João ão está, etão, mais uma mulher deve ser escolhida detre as seis remaescetes e mais dois homes devem ser escolhidos detre os três homes remaescetes (João está excluído). 6 3 Isto pode ser feito de. = 6.3= 8 maeiras. 2 Se João está a comissão, etão Maria ão está e o mesmo argumeto utilizado ateriormete 6 3 os dá. = 5. 3 = 45 2 maeiras. Fialmete, se ehum dos dois está a comissão, temos 6 3. = 5. 3 = maeiras. A resposta é, = Há cico potos sobre uma reta R e oito potos sobre uma reta R paralela a R. Quatos são os triâgulos e os quadriláteros covexos com vértices esses potos? Solução: Para formar um triâgulo, ou você toma um poto em R e dois potos em R, ou toma um poto em R e dois potos em R. O úmero de triâgulos é = = Também poderíamos tomar três dos 2 potos e excluir dessa cotagem as escolhas de potos colieares, o que daria = = Para formar um quadrilátero covexo, devemos tomar dois potos em R e dois potos em R, o que pode ser 5 8 feito de = = = 280 modos. 6. (FUVEST) A escrita Braille para cegos é um sistema de símbolos em que cada caractere é formado por uma matriz de seis potos, dos quais pelo meos um se destaca em relação aos outros. Assim, por exemplo: A..... b.... Qual o úmero máximo de caracteres distitos que podem ser represetados este sistema de escrita? Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 36 EM_V_MAT_03

13 EM_V_MAT_ ` ` Solução: A 6 poto = 6 (de 6 escolho ) 6 2 potos = 5 2 (de 6 escolho 2) 6 3 potos = 20 3 (de 6 escolho 3) 6 4 potos = 5 4 (de 6 escolho 4) 6 5 potos = 6 5 (de 6 escolho 5) 6 6 potos = 6 (de 6 escolho 6) Temos um total máximo de 63 caracteres. (FUVEST-GV) As atuais placas de liceciameto de automóveis costam de sete símbolos sedo três letras, detre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. Quatas placas distitas podemos ter sem o algarismo zero a primeira posição reservada aos algarismos? No cojuto de todas as placas distitas possíveis, qual a porcetagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais? (ELITE) Com relação aos úmeros de cico algarismos do sistema de umeração decimal, perguta-se: Quatos são? Quatos são ímpares e de algarismos distitos? Quatos são pares e de algarismos distitos? Quatos apresetam exatamete um algarismo igual a 3? Quatos permaecem os mesmos quado a or- dem dos seus algarismos é ivertida (por exemplo 626)? (CESGRANRIO) Durate a Copa do Mudo, que foi disputada por 24 países, as tampihas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam os três primeiros lugares (por exemplo:. lugar, Brasil; 2. lugar, Nigéria; 3. lugar, Holad. Se, em cada tampiha, os três países são distitos, quatas tampihas diferetes poderiam existir? (IME) Ligado as cidades A e B existem duas estradas pricipais. Dez estradas secudárias, de mão dupla, ligam as duas estradas pricipais, como mostra a figura. A Quatos camihos, sem autoiterseções existem de A até B. Obs.: Camiho sem autoiterseções é um camiho que ão passa por um poto duas ou mais vezes. (UFRJ) Dispodo das cores verde, amarelo, azul e braco, de quatos modos distitos podemos pitar sete casas efileiradas de modo que cada casa seja pitada de uma só cor e duas casas vizihas ão sejam pitadas com a mesma cor? (FGV) Uma pessoa vai retirar diheiro um caixa eletrôico de um baco mas, a hora de digitar a seha, esquece-se do úmero. Ela lembra que o úmero tem cico algarismos, começa com seis, ão tem algarismos repetidos e tem o algarismo sete em alguma posição. O úmero máximo de tetativas para acertar a seha é: Defie-se como aagrama qualquer sequêcia de letras do alfabeto latio, com as letras a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k,! Quatos aagramas de sete letras podem ser feitos se: é permitida a repetição de letras. ão é permitida a repetição de letras. a letra e figura o aagrama e ão há repetição de letras. a letra e figura o aagrama e pode haver repetição de letras. o aagrama é um PALÍNDROME, isto é, ão se altera quado lido de trás pra frete ou de frete para trás. Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações B 9

14 (CESGRANRIO) Em um tabuleiro com seis lihas e ove coluas, 32 casas estão ocupadas. Podemos afirmar que: todas as coluas têm pelo meos três casas ocu- padas; ehuma colua tem mais de três casas ocupadas; alguma colua ão tem casas ocupadas; alguma liha tem pelo meos seis casas ocupadas; todas as lihas têm pelo meos quatro casas ocu- padas. (ELITE) Qual é, aproximadamete, o úmero de sequêcias distitas de caras e coroas que podemos obter ao laçarmos uma moeda 00 vezes? (Cosidere ) Se ( 6)!=720, calcule. Resolver a equação (m+2)!=72.m! Prove que Exprimir mediate fatoriais: x3x5...x(2 ) 4. Qual o meor iteiro que divide 6! mas ão divide 4!? 5. Expresse cada um dos produtos abaixo como quociete de dois fatoriais: (-3).(-4).(-5) Se! = ( ). para todo iteiro >, o valor de é: O algarismo das uidades do úmero N = + 2! + 3! ! é igual a: (UNITAU) O úmero de aagramas da palavra BIOCIÊN- CIAS que termiam com as letras AS, esta ordem, é: 9!! 9!/(3! 2!)!/2!!/3! 9. (FUVEST) Num programa trasmitido diariamete, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 0 músicas, mas uca a mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequêcias dessas músicas serão ecessários, aproximadamete: 00 dias; 0 aos; século; 0 séculos; 00 séculos. 20. (ITA) Calcule a soma de todos os úmeros de cico algarismos distitos formados com os algarismos, 2, 3, 4 e (UFF) Escrevedo-se todos os úmeros de seis algarismos distitos em ordem crescete, utilizado os algarismos, 2, 3, 4, 5 e 6, qual é o lugar que ocupará o úmero ? 22. (ELITE) Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os úmeros formados em ordem crescete. Que úmero ocupa o 66º lugar e qual o 66º algarismo escrito? 23. (UFF) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x aagramas que começam por vogal e y aagramas que começam e termiam por cosoate. Os valores de x e y são, respectivamete: 48 e e e e e (FUVEST) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6!=720 palavras (aagramas) de seis letras distitas cada uma. Se essas palavras forem colocadas em ordem alfabética, como um dicioário, a 250ª palavra começa com: Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações EV FU FV SE SF EM_V_MAT_03

15 EM_V_MAT_ (CESGRANRIO) Um fiscal do Miistério do Trabalho faz uma visita mesal a cada uma das cico empresas de costrução civil existetes o muicípio. Para evitar que os doos dessas empresas saibam quado o fiscal as ispecioará, ele varia a ordem de suas visitas. De quatas formas diferetes esse fiscal pode orgaizar o caledário de visita mesal a essas empresas? (UFRJ) Um campeoato de futebol foi disputado por 0 equipes em um úico turo, de modo que cada time efretou cada um dos outros apeas uma vez. O vecedor de uma partida gaha três potos e o perdedor ão gaha poto algum; em caso de empate, cada equipe gaha um poto. Ao fial do campeoato, tivemos a seguite potuação: Equipe - 20 potos Equipe 2-0 potos Equipe 3-4 potos Equipe 4-9 potos Equipe 5-2 potos Equipe 6-7 potos Equipe 7-9 potos Equipe 8-3 potos Equipe 9-4 potos Equipe 0-0 potos Determie quatos jogos desse campeoato termiaram empatados. 27. De um baralho de pôquer (7, 8, 9, 0, valete, dama, rei e ás, cada um desses grupos aparecedo em quatro aipes: copas, ouros, paus, espadas), sacam-se simultaeamete cico cartas. Quatas são as extrações: possíveis? as quais se forma um par (duas cartas em um mesmo grupo e as outras três, em três grupos diferetes)? as quais se formam dois pares (duas cartas em um grupo, duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo)? as quais se forma uma trica (três cartas em um grupo e as outras duas em dois outros grupos diferetes)? as quais se forma um four (quatro cartas em um grupo e uma em outro grupo)? f) as quais se forma um full had (três cartas em um grupo e duas em outro grupo)? g) as quais se forma uma sequêcia (cico cartas de grupos cosecutivos, ão sedo todas do mesmo aip? h) as quais se forma um flush (cico cartas do mesmo aipe, ão sedo elas de cico grupos cosecutivos)? i) as quais se forma um straight flush (cico cartas de grupos cosecutivos, todas do mesmo aip? j) as quais se forma um Royal straight flush (0, valete, dama, rei e ás de um mesmo aip? 28. Uma faculdade realiza seu vestibular em dois dias de provas, com provas de quatro matérias em cada dia. Este ao a divisão foi: Matemática, Português, Biologia, Iglês o primeiro dia, e Geografia, História, Física e Química o segudo dia. De quatos modos pode ser feito o caledário de provas? 29. Sejam I = {, 2,..., m} e I = {, 2,..., }, com m. m Quatos são as fuções f: I m I estritamete crescetes? 30. (MACKENZIE) A partir de um grupo de 2 professores, quer se formar uma comissão com um presidete, um relator e cico outros membros. O úmero de formas de se compor a comissão é: Quatos são os úmeros aturais de sete dígitos os quais o dígito 4 figura exatamete três vezes e o dígito 8 exatamete duas vezes? 32. (UNIRIO) Um grupo de ove pessoas, detre elas os irmãos João e Pedro, foi acampar. Na hora de dormir motaram três barracas diferetes, sedo que, a primeira, dormiram duas pessoas; a seguda, três pessoas; e, a terceira, as quatro restates. De quatos modos diferetes eles se podem orgaizar, sabedo que a úica restrição é a de que os irmãos João e Pedro NÃO podem dormir a mesma barraca? Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 90

16 2 33. (Escola Naval) Cosidere um cojuto C de 20 potos o espaço que tem um subcojuto C formado por oito potos coplaares. Sabe-se que toda vez que quatro potos de C são coplaares, etão eles são potos de C. Quatos são os plaos que cotêm pelo meos três potos de C? 34. (UFMG) Um teste é composto por 5 afirmações. Para cada uma delas, deve-se assialar, a folha de respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respectivamete, verdadeira ou falsa. A fim de se obter, pelo meos, 80% de acertos, o úmero de maeiras diferetes de se marcar a folha de respostas é: (CESGRANRIO) As retas t e s são paralelas. Sobre t são marcados quatro potos distitos, equato que sobre s são marcados potos distitos. Escolhedo-se aleatoriamete um detre todos os triâgulos que podem ser formados com três desses potos, a probabilidade de que este teha um de seus lados cotido em s é de 40%. O total de potos marcados sobre estas retas é: O cojuto A possui p elemetos e o cojuto B possui elemetos. Determie o úmero de fuções f: A B sobrejetivas para: p = ; p = + ; p = De quatos modos podemos selecioar p elemetos do cojuto {, 2,..., } sem selecioar dois úmeros cosecutivos?. (IME) Cico rapazes e cico moças devem posar para fotografia, ocupado cico degraus de uma escadaria, de forma que em cada degrau fique um rapaz e uma moça. De quatas maeiras distitas podemos arrumar este grupo? (FUVEST) Um vagão de metrô possui 0 bacos idividuais, sedo cico de frete e cico de costas. De 0 passageiros, quatro preferem setar de frete, três preferem setar de costas e os demais ão tem preferêcia. De quatos modos os passageiros podem se setar, respeitado-se as preferêcias? (UFRJ) De quatos modos podemos orgaizar a tabela da.ª rodada de um campeoato de futebol com 2 clubes? (ELITE) De quatos modos podemos colocar dois reis diferetes em casas ão-adjacetes de um tabuleiro 8 x 8? (AMAN) O úmero de múltiplos de três, com quatro algarismos distitos, escolhidos etre 3, 4, 6, 8 e 9 é: Ao escrevermos todos os úmeros iteiros de até 2 222, quatas vezes escrevemos o algarismo zero? (UFRJ) Quatos úmeros de quatro algarismos podemos formar os quais o algarismo 2 aparece ao meos uma vez? (UNICAMP) Um toreio de futebol foi disputado por quatro equipes em dois turos, isto é, cada equipe jogou duas vezes com cada uma das outras. Pelo regulameto do toreio, para cada vitória são atribuídos três potos ao vecedor e ehum poto ao perdedor. No caso de empate, um poto para cada equipe. A classificação fial o toreio foi a seguite: Classificação Equipe Número de potos. o lugar A 3 2. o lugar B 3. o lugar C 5 4. o lugar D 3 Quatas partidas foram disputadas em todo o tor- eio? Quatos foram os empates? Costrua uma tabela que mostre o úmero de vi- tórias, de empates e de derrotas de cada uma das quatro equipes. (ELITE) De um baralho comum de 52 cartas, extrai- -se, sucessiva mete e sem reposição, duas cartas. De quatos modos isto pode ser feito se: Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações EM_V_MAT_03

17 EM_V_MAT_03 a primeira carta é uma dama e a seguda carta ão é um rei? a primeira carta é uma dama e a seguda carta ão é de espadas? a primeira carta é de espadas e a seguda carta ão é uma dama? 0. Um curso de líguas oferece aulas de Iglês, Espahol e Fracês, cada uma dessas líguas com duas aulas semaais, cada uma destas duas aulas em dias distitos, escolhidos detre seguda-feira, quarta-feira e sexta-feira. De quatos modos distitos podemos fazer o horário semaal?. Escrevem-se úmeros de cico dígitos (iclusive os começados por zero) em cartões. Como 0, e 8 ão se alteram de cabeça para baixo, e como 6 de cabeça para baixo se trasforma em 9, um só cartão pode represetar dois úmeros (por exemplo 0698 e 8690). Qual o úmero míimo de cartões para represetar todos os úmeros de cico dígitos? 2. O úmero de pares de iteiros positivos (m,) para os quais + 2! + 3! ! = m 2 é igual a : O algarismo das dezeas do úmero N = + 2! + 3! ! é igual a : O valor de tal que é : A solução da equação é : Cosidere as afirmativas : ). O úmero é múltiplo de 7. 2) 2. O úmero 999! é maior que ) 3. O úmero é meor que (2 000!) 2. Assiale : Se somete a primeira for verdadeira. Se somete a seguda for verdadeira. Se somete a terceira for verdadeira. Se todas forem verdadeiras. Se todas forem falsas. Um casal queria ter seis filhos. De quatas maeiras eles podem ter dois meios e quatro meias? 8. A soma pode ser colocada sob a forma de a + b é igual a: ode a e b são iteiros positivos. O valor 9. (IME) De quatos modos podemos decompor 2 objetos distitos em três grupos de quatro objetos? 20. (ELITE) De quatos modos podemos decompor 5 objetos distitos em cico grupos, sedo dois grupos com dois objetos, dois grupos com três objetos, e um grupo com cico objetos? 2. (ELITE) Sobre uma circuferêcia existem potos distitos. Quatos polígoos, ão ecessariamete covexos, podemos costruir tedo para vértices esses potos? 22. (UFRJ) Sejam os cojutos E = {x, x,..., x } e F = {y, y, , y }. Quatas aplicações bijetoras podem ser defiidas de E em F? 23. (ELITE) De quatos modos é possível dividir 5 peras de pau em três times de cico deles? 24. (ITA) O úmero de aagramas da palavra VESTIBULAN- DO, que ão apresetam as cico vogais jutas, é: Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 3

18 4 2! (8!) (5!) 2! (8!) (5!) 2! 8! 2! (7!) (5!) 25. (VUNESP) Quatro amigos vão ocupar as poltroas a, b, c, d de um ôibus, dispostas a mesma fila horizotal, mas em lados diferetes em relação ao corredor, coforme a ilustração. a b C O R R E D O R c d Dois deles desejam setar-se jutos, seja do mesmo lado do corredor, seja em lados diferetes. Nessas codições, de quatas maeiras distitas os quatro podem ocupar as poltroas referidas, cosiderado-se distitas as posições em que pelo meos dois dos amigos ocupem poltroas diferetes? (FGV) Um processo idustrial deve passar pelas etapas A, B, C, D e E. Quatas sequêcias de etapas podem ser deliea- das se A e B devem ficar jutas o iício do processo e A deve ateceder B? Quatas sequêcias de etapas podem ser deliea- das se A e B devem ficar jutas, em qualquer ordem, e ão ecessariamete o iício do processo? 27. (ENEM) Em um cocurso de televisão, apresetam-se ao participate três fichas voltadas para baixo, estado represetadas em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas ecotram-se alihadas em uma ordem qualquer. O participate deve ordear as fichas a seu gosto, matedo as letras voltadas para baixo, tetado obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja a posição correta gahará um prêmio de R$200,00. A probabilidade de o PARTICIPANTE ão gahar qualquer prêmio é igual a: De quatas maeiras podemos distribuir objetos diferetes em duas caixas diferetes, de modo que ehuma caixa fique vazia? 29. Oze cietistas trabalham um projeto sigiloso. Por questões de seguraça, os plaos são guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abri-los, todos, se houver pelo meos cico cietistas presetes. Qual é o úmero míimo possível de cadeados? Na situação do item, quatas chaves cada cie- tistas deve ter? 30. Em uma escola os professores se distribuem em oito bacas examiadoras de modo que cada professor participa de exatamete duas bacas e cada duas bacas têm exatamete um professor em comum. Calcule quatos professores há em cada baca. 3. (IME) De quatas maeiras se pode escolher três úmeros distitos do cojuto A = {,2,3,...,50} de modo que sua soma seja um múltiplo de 3? 32. De quatas maeiras se pode escolher três úmeros aturais distitos de a 30, de modo que a soma dos úmeros escolhidos seja par? 33. Uma fila tem 20 cadeiras, as quais devem setar-se oito meias e 2 meios. De quatos modos isso pode ser feito se duas meias ão devem ficar em cadeiras cotíguas? 34. Covecioa-se trasmitir siais lumiosos de uma ilha para a costa por meio de seis lâmpadas bracas e seis vermelhas, colocadas os vértices de um hexágoo regular, de tal modo que: em cada vértice haja duas lâmpadas de cores di- feretes; em cada vértice ão haja mais do que uma lâm- pada acesa; o úmero míimo de vértices ilumiados seja 3. Determiar o úmero total de siais que podem ser trasmitidos. 35. Quatos são os úmeros do cojuto {00, 0, 02,..., 999} que possuem três algarismos distitos em ordem crescete ou decrescete? Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações EM_V_MAT_03

19 (VUNESP) Nove times de futebol vão ser divididos em três chaves, todas com o mesmo úmero de times, para a disputa da primeira fase de um toreio. Cada uma das chaves já tem um cabeça-de-chave defiido. Nessas codições, o úmero de maeiras possíveis e diferetes de se completarem as chaves é: Um ovo tipo de cadeado com dez botões está sedo comercializado, ode para abri-lo devemos pressioar em qualquer ordem os cico botões corretos. O exemplo abaixo mostra um cadeado com a combiação {, 2, 3, 6, 9}. Supodo que ovos cadeados sejam criados de modo que suas combiações icluam desde um até ove botões pressioados, o úmero de combiações adicioais que isto permite é: EM_V_MAT_03 Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 5

20 D /26 = 3,85 % B com repetição de letras aagramas de sete letras distitas, detre as doze, sem repetição sequêcias de sete letras que co- cluem a letra e x x x x x D = (2 0 ) 0 (0 3 ) 0 = ! - 2. (+)! = + - = (+).! (+)! Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações EM_V_MAT_03

21 5.. EM_V_MAT_ E B C E e 2. A D B 7 = f) g) h) i) j) D E 085. B E! x 8 x 6 x 4 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 x = (ou se cosiderarmos A x B B x A) = D = úmeros 2 4 Observe a figura a seguir Equipe Vitórias Empates Derrotas A 4 B 3 2 C 2 3 D x 47 = 88. x x 38 = 53. x x 47 = x 2 x 2 x 2 x x 2 x = B {( ;) ; (3;3)} + 75 = Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações A A B 7

22 C 5 E ! C D sequêcias 48 sequêcias 27. B , professores o total Cada baca possui sete professores maeiras C D crescetes decrescetes = [ ] = Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações EM_V_MAT_03

23 EM_V_MAT_03 Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 9

24 20 Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações EM_V_MAT_03

25 Aálise Combiatória: Permutação, Combiação e Biômio de Newto EM_V_MAT_04 Permutações com repetições Exemplo : Quatas arrumações podem ser feitas com as seis letras b, a,, a,, a? Formaremos as arrumações escolhedo primeiro as três posições em que os a s ficarão, isto é = maeiras. Agora, vamos escolher as suas posições (etre as três remaescetes) em que os s ficarão, isto é = maeiras e, fialmete, a última posição fica o b. Dessa maeira, existem = 60 arrumações. Teorema: se existem objetos dos quais k são do tipo, k 2 são do tipo 2,..., e k m são do tipo m, ode k + k k m =, etão o úmero de arrumações destes objetos deotado por P(; k, k 2,..., k m ) é - k - k 2 m = k -k2 - P(;k,k,...,k )... 2 k k 3! = k!k!...k! 2 m k... -km km Demostração: Além do argumeto utilizado o exemplo acima, escolhedo as posições para um dos tipos detre aquelas que restarão, podemos provar o teorema aterior da seguite forma: Supohamos que para cada tipo dos k i objetos do tipo i sejam dados ídices, 2, 3,..., m, torado-os distitos. Existem, esse caso! arrumações destes objetos distitos. Eumeremos! arrumações de objetos distitos, relacioado todas as P(; k, k 2,..., k m ) disposições (sem ídices) dos objetos e, etão, para cada disposição são colocados os ídices de todos os modos possíveis. Por exemplo, da disposição baaa os ídices podem ser colocados os a s de 3! maeiras: b a a 2 a 3 b a 2 a a 3 b a 3 a a 2 b a 3 a 2 a b a a 3 a 2 b a 2 a 3 a Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações

26 2 Para cada uma dessas 3! formas de idexar os a s, existem 2! maeiras para idexar os s. Em geral, uma disposição qualquer terá k! modos de idexar os k objetos do tipo, k 2! modos para o tipo 2,..., k m modos para o tipo. Etão! = P(; k, k2,..., km ). k!k2!...k m! ou! P(; k, k2,..., km ) = k! k2!... km! Combiações com repetição ` ` Exemplo 2: de quatas formas diferetes podemos comprar seis cachorros-quetes, escolhedo etre três variedades distitas? Para resolver problemas de escolhas com repetição, precisamos fazer uma correspodêcia com um problema relacioado a uma escolha sem repetição. Supohamos que as três variedades sejam sem molho, com molho e completo, e que a atedete teha aotado o seguite pedido sem molho com molho completo x xxxx x Se cada x represeta um cachorro-quete, etão o pedido acima sigifica um sem molho, quatro com molho e um completo. Uma vez que todos os atedetes saibam que esta é a sequêcia dos pedidos de cachorros-quetes (sem molho, com molho, completo), podemos omitir os omes das variedades escrevedo apeas x xxxx x. Assim, qualquer pedido de k cachorros-quetes cosiste uma sequêcia de k x s e dois s. Reciprocamete, toda sequêcia de k x s e dois s represeta um pedido: os x s ates do primeiro represeta o úmero de cachorros sem molho: os x s etre os dois s represeta o úmero de cachorros com molho e os x s fiais represetam o úmero de cachorros completos. Deste modo, existe uma correspodêcia um a um etre pedidos e tais sequêcias, mas o úmero de ecadeameto de seis x s e dois s é simplesmete o úmero de escolhas de duas posições a ordem para os s. Por isso, a 8 resposta é = Teorema: o úmero de escolhas com repetição k + de k objetos detre tipos de objetos é k Demostração: Como fizemos ateriormete, os x s ates do primeiro cota o úmero de objetos do primeiro tipo, os x s etre o primeiro e o segudo s cota o úmero de objetos do segudo tipo,..., e os x s após o ( ) ésimo cota o úmero de objetos do -ésimo tipo ( traços são ecessários para separar tipos). O úmero de sequêcias com k x s e ( ) s é k + ( ) k Distribuições Geralmete um problema de distribuição é equivalete a um problema de arrumação ou de escolha com repetição. Problemas especializados de distribuição devem ser divididos em subcasos que possam ser cotados por itermédio de permutações e combiações simples. Um roteiro geral para modelar problemas de distribuição é: distribuições de objetos distitos correspodem a arrumações e distribuições de objetos idêticos correspodem a escolhas. Dessa maeira, distribuir k objetos distitos em uras diferetes é equivalete a colocar os objetos em liha e atribuir o ome de cada uma das diferetes uras em cada objeto. Assim, existem = k distribuições. Se k i objetos devem ir k vezes para a ura i, existem P(; k, k 2,..., k ) distribuições. Por outro lado, o processo de distribuir k objetos idêticos em uras distitas é equivalete a escolher um subcojuto (ão-ordeado) de k omes de uras, com repetição, etre as escolhas de uras. Assim, existem k + (k + )! = k distribuições. k!( )! Os problemas de escolhas com repetição podem ser formulados de três formas equivaletes, a saber: ) O úmero de maeiras de escolhermos k objetos com repetição detre tipos de objetos diferetes. 2) O úmero de formas de distribuir k objetos idêticos em uras distitas. 3) O úmero de soluções iteiras ão-egativas da equação x + x x = k. É importate que sejamos capazes de reescrever um dado problema euciado em uma das Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações EM_V_MAT_04

27 EM_V_MAT_04 formas acima sob as outras duas. Muitos acham a versão 2 o meio coveiete de olhar para tais problemas em virtude de sua distribuição ser mais fácil de visualizar (a cabeça de alguém). Além disso, o argumeto origial com pedido de cachorros- -quetes, que utilizamos para deduzir fórmula para escolhas com repetição, foi a realidade um modelo de distribuição. A versão 3 é a mais geral (e mais abstrat do problema. Permutações circulares Cosideremos objetos distitos e dispohamos esses objetos em toro de um círculo. Se > 3, podemos imagiar esses objetos situados os vértices de um polígoo, por exemplo um polígoo regular. O quadro abaixo apreseta as disposições dos objetos A, B, C, D em toro de um círculo. A B D A C D C C B D D C A B A D A D A B A C D A B A C A C A B A D B D C B C C B C B B D B D D B D C D C C B C A B A D A D A B A C A B C C B C D B D D B D C B D C D C B B C D C D B A A A A A A Observamos, etão, que: A.ª colua do quadro foi obtida fixado-se o objeto A e permutado-se os objetos B, C, D de todos os modos possíveis, isto é, 3!=6 modos. Em cada liha uma disposição pode ser obtida de outra por uma rotação coveiete e dadas duas disposições em lihas diferetes, ehuma pode ser obtida da outra por qualquer rotação. Assim, chama-se permutação circular de objetos distitos qualquer disposição desses objetos em toro de um círculo e duas permutações circulares são idistiguíveis se, e somete se, uma pode ser obtida a partir da outra por uma rotação coveiete, como por exemplo duas permutações quaisquer de uma mesma liha do quadro. Diremos aida que duas permutações circulares são distiguíveis se, e somete se, uma ão pode ser obtida da outra por qualquer rotação como, por exemplo, duas permutações quaisquer em lihas diferetes do quadro. Portato, o cálculo das permutações circulares iteressa apeas a posição relativa dos objetos etre si, isto é, o úmero de permutações circulares distiguíveis. O úmero de permutações circulares de objetos, deotado por (PC ), é igual a!/, isto é! ( PC) = = ( )! Cosideremos o produto idicado: (a + b + (m + )(x + y + z + w) Para se formar um termo do produto idicado acima, devemos escolher uma parcela em cada um dos poliômios e efetuar o produto das mesmas. Assim, por exemplo, escolhedo a parcela b o primeiro poliômio, o segudo e z o terceiro, formado o termo bz, do desevolvimeto do produto. Algus outros termos do desevolvimeto do produto acima são: amx, aw, cmy etc. Desevolvimeto de (x + ; IN Cosideremos a igualdade: (x + = (x + (x +... (x + () Para se formar um termo do produto (x +.(x +... (x + devemos escolher uma parcela em cada um dos fatores x +a e efetuar o produto das mesmas. Por exemplo, se escolhermos p letras a em p dos biômios, e p letras x dos p biômios restates, etão um termo geérico do desevolvimeto de (x + é da forma: p -p a a...a x x... x = a x com p = 0,,2,..., (2) p -p O úmero de termo da forma (2) é, etão, igual ao úmero de modos de escolhermos p letras a biômios, x +a, isto é, C p. Por coseguite, reduzido todos os termos da forma a p x p, ecotramos um úico termo, a saber: p C a p x p (3) Fialmete, fazedo em (3) p variar de 0 até, ecotramos todos os termos (reduzidos) do desevolvimeto de (x +. Esse material é parte itegrate do Aulas Particulares o-lie do IESDE BRASIL S/A, mais iformações 3