Uma abordagem unificada da formulação co-rotacional para elementos de treliça 2D, treliça 3D e viga 2D

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1 Rev. Int. Mét. Num. Các. Ds. Ing. Vo. 5,, 63-9 (9 Revsta Internacona de Métodos Numércos para Cácuo y Dseño en Ingenería Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D Wam Tayor Matas e ucano Mendes Departamento de Engenhara Cv, Facudade de Tecnooga Unversdade de Brasía - UnB Campus Darcy Rbero, 79-9 Brasía-DF, Bras Te.: ; Fax: e-ma: tayor@unb.br, mbz@unb.br Resumen Neste trabaho apresenta-se uma descrção unfcada para retratar a cnemátca co-rotacona de eementos de barra deformáves, que podem ser dscretzados com eementos de treça pana, de treça espaca ou de vga D. A cnemátca co-rotacona se basea na separação do movmento em uma parte deformacona, e a outra, em movmento de corpo rígdo. Para o caso de transações e rotações, defndas por um únco parâmetro anguar, o movmento deformacona é obtdo anaítcamente. Demonstra-se que a obtenção do desocamento deformacona se basea em uma expressão vetora únca ndependente do tpo de eemento de barra adotado. Em seguda, obtém-se o vetor de força nterna e a matrz de rgdez tangente através das dervadas dreconas, de prmera e segunda ordem, da energa de deformação. Paavras chaves: formuação co-rotacona, anáse não-near geométrca, eementos de barra. A COROTATIONA UNIFIED FORMUATION FOR TRUSSES AND D BEAMS EEMENTS Summary Ths artce presents a unfed corotatona knematcs of deformabe bar eements that can be represented as pane truss, spata truss or D beam eements. The corotatona knematcs s based on the separaton of the moton on deformatona and rgd body components. For the case of transatons and rotatons, determned by a snge anguar parameter, the deformatona motons are expressbe n cosed form. It s demonstrated that the determnaton of the deformatona motons are based on a unque vectora expresson ndependent on the bar eement used. In addton, the eement nterna force and consstent tangent stffness matrx are derved by takng varatons of the nterna energy wth respect to noda freedoms. Keywords: corotatona descrpton, geometrcay nonnear structura anayss, bar eements. c Unverstat Potècnca de Cataunya (España. ISSN: 3 35 Recbdo: Octubre 8 Aceptado: Enero 9

2 64 W. Tayor Matas e. Mendes INTRODUÇÃO O desenvovmento da formuação co-rotacona (CR na anáse não-near do sódo teve um mpuso no níco dos anos 8, com os trabahos,, entre outros. Entretanto, segundo Feppa & Haugen 3, a formuação CR, anda, não há ogrado dfundr-se nos códgos comercas do método dos eementos fntos, tavez, peos os desafos que esta formuação deve vencer, tas como: a obtenção de uma matrz de rgdez smétrca consstente para rotações fntas em 3D 4 7, b obtenção do vetor de forças nternas auto-equbrado, aém do equbro goba, consderando rotações fntas em 3D 8,9. Por outro ado, na anáse dnâmca nãonear mutos aspectos teórcos desta formuação encontram-se em aberto;. Neste trabaho, sem pretenções de resover os probemas acma menconados, descreve-se a cnemátca dos eementos de treça pana, de treça espaca e de vga D, através da formuação CR, com o objetvo de unfcar os aspectos teórcos desta formuação no tratamento de rotações fntas em D e na extração dos movmentos deformaconas. O conceto chave da formuação CR se basea na decomposção da confguração de referênca em duas, Feppa & Haugen 3 :. Uma confguração nca ndeformada ou de referênca C O, que é fxada em cada eemento da maha quando o sódo está em repouso.. Uma confguração co-rotaconada C R que se move junto com cada eemento. A confguração C R expressa o movmento de corpo rígdo do eemento em reação à confguração C O. O movmento deformacona se mede através da confguração deformada C com reação à confguração C R. Na Fgura mostra-se a nterpretação geométrca das confgurações C O, C R e C, respectvamente. Aém dsso, anda, nesta fgura, podem ser dentfcados os movmentos de corpo rígdo e deformacona, respectvamente. Observe que a confguração C fo grosseramente deformada, a partr de C R, para factar a dstnção vsua entre ambas confgurações. Confguração co-rotaconada C R Confguração deformada C movmento deformacona Confguração ndeformada C O movmento de corpo rígdo R Fgura. Descrção cnemátca da formuação co-rotacona

3 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 65 Os eementos de treça pana e espaca se caracterzam pea ausênca de graus de berdades rotaconas, enquanto que o eemento de vga D apresenta duas transações e um grau de berdade rotacona, cujo exo de rotação permance sempre perpendcuar ao pano que contém o sódo. Portanto, as rotações em D se defnem através de um únco parâmetro anguar. Devdo à caracterstcas cnemátcas, anterormente comentadas, a respeto desses eementos, é possíve determnar a reação entre os movmentos de corpo rígdo e deformacona expctamente através da ágebra vetora. Aém dsso, a nterpetração geométrca desses movmentos é extremamente smpes. Neste trabaho, demonstra-se que a equação vetora que expressa o movmento deformacona de uma partícua arbtrára de um sódo é a mesma, quando este sódo é dscretzado por eementos de treça pana, ou por eementos de treça espaca ou por eementos de vga D. Para sto, é necessáro descrever uma transformação tensora, transformação ortogona, entre as bases ortonormas que são fxadas nas confgurações ndeformada, co-rotaconada e deformada, respectvamente. Uma vez defndas essas transformações ortogonas e as equações de movmento, chega-se à expressão do movmento deformacona. EEMENTO DE TREIÇA D Em prmero ugar, adota-se um sstema de coordenadas gobas cuja base ortonorma é dada por (e,e. Para expressar as varáves cnemátcas na confguração ndeformada utzam-se as coordenadas materas (X, Y, enquanto que, na confguração deformada usam-se as coordenadas espacas (x, y. Consdere, agora, um corpo deformáve dscretzado por um eemento de treça pana com dos nós, stuados em suas extremdades, cujas coordenadas na confguração ndeformada são dadas por X (X,Y e X (X,Y, conforme mostra-se na Fgura. O comprmento da barra em C O é X + Y, com X X X e Y Y Y. Nesta confguração é fxado, no centróde do eemento, um sstema de coordenadas ocas cuja base ortonorma é dada por (e,e. Após o corpo sofrer transações e rotações de corpo rígdo e deformaconas, este ocupa uma posção dada peas coordenadas espacas de seus nós, que se expressam como x (x,y e x (x,y, respectvamente. A confguração deformada é defnda por estas coordenadas como pode ser observado na Fgura. Por outro ado, as coordenadas espacas nodas podem ser escrtas em função dos desocamentos nodas como x X +u e x X + u, respectvamente. O comprmento da barra na confguração deformada é (x, y C R u (X, Y C O e e (X, Y x X Y, y u C (x, y X e x e X, x Fgura. Cnemátca co-rotacona do eemento de treça D

4 66 W. Tayor Matas e. Mendes v u u u v v e e v u v u u + u φ Y, y e e X, x Fgura 3. Componentes dos desocamentos nodas em reação às bases e e e dado por x + y, com x x x (X + u (X + u X + u e y y y (Y + v (Y + v Y + v, sendo u u u e v v v, as componentes dos desocamentos nodas em reação à base e. Portanto, pode-se escrever que (X + u + (Y + v. Aternatvamente, conforme mostra-se na Fgura 3, esse comprmento pode ser expresso como ( + u + v, sendo u u u e v v v, as componentes dos desocamentos nodas em reação à base e. Anda, como mostra-se na Fgura, para dentfcar as transações e rotações de corpo rígdo defne-se uma confguração co-rotaconada que acompanha a confguração deformada do corpo. É fxada no centróde da confguração co-rotaconada um sstema de coordenadas ocas cuja base ortonorma é dada por (,ecr. Uma vez que, são usadas grandezas vetoras para descrever as varáves cnemátcas da formuação co-rotacona, estas podem ser decompostas em reação a quaquer uma das bases ortonormas anterormente descrtas, sto é, e, e e ecr. Portanto, é necessáro defnr as transformações ortogonas entre essas bases. A transformação ortogona Q entre as bases e e e é dada por e X e + Y e e X Y e e e e 3 e e e e e Y X e e e e e Qe ( e 3 e 3 3 Por outro ado, a transformação ortogona Q entre as bases e e é defnda peas seguntes reações +u e + v e ecr e 3 e e ecr 3 ecr 3 v +u v +u e e e 3 Q e (

5 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 67 C R X cr P P e P x ud r e X P u C C O x P d Y, y e e Fgura 4. Movmento deformacona de uma partícua do eemento de treça D X, x Fnamente, a transformação ortogona ˆQ entre as bases e e é dada por x e + y e ecr e 3 e e ecr 3 ecr 3 x y y x e e e 3 ecr ˆQe (3 Note que as componentes de e em ( representam os co-senos dretores da barra na confguração ndeformada com reação ao sstema de referênca goba e. As componentes de em ( denotam os co-senos dretores da barra na confguração co-rotaconada com reação à base e, enquanto que, as componentes de ecr em (3 denotam os co-senos dretores da barra na confguração co-rotaconada com reação à base e. Substtundo a equação ( na equação (, chega-se a Q Qe. Comparando-se este resutado com a equação (3, concu-se que ˆQ Q Q. Movmento deformacona de uma partícua Para descrever o movmento de uma partícua arbtrára do eemento de treça D, ncamente, os vetores de posção e de desocamentos serão expressos em reação à base e defnda na confguração ndeformada. Seja uma partícua P de coordenadas (X,Y em P P C O, conforme mostra-se na Fgura 4, que se move ao ponto P cr de coordenadas (X cr cr,y P P em C R, e, em seguda, desoca-se ao ponto P d de coordenadas (x,y em C. Devdo ao movmento de corpo rígdo entre as confgurações C O e C R, e evando em conta a equação (, o vetor posção da partícua P em C R pode ser expresso em função da base e como X cr P Q T X. Por outro ado, a posção da partícua P em C P R, em reação ao sstema de referênca oca defndo em C O, é dado por x r u + Xcr P u + Q T X P (4 onde u é o desocamento de corpo rígdo do centróde do eemento entre as confgurações ndeformada e co-rotaconada. De acordo com a Fgura 4, a posção da partícua P na confguração deformada é dada por x X P + u (5

6 68 W. Tayor Matas e. Mendes e e X X C u d C R Xcr C O X Y, y u u Xcr d X e e X, x Fgura 5. Movmento deformacona do eemento de treça D onde u é o desocamento da partícua entre as confgurações C O e C. Este desocamento pode ser decomposto em uma parte deformacona u e em uma parte correspondente ao d movmento de corpo rígdo u, ta que, r u u + u. Novamente, como pode ser vsto na d r Fgura 4, a parte deformacona deste desocamento é dada pea segunte expressão u d x x r (6 Substtundo as equações (4 e (5 em (6, obtém-se o movmento deformacona da partícua P entre as confgurações co-rotaconada e deformada, que se expressa como u d (I Q T X P + (u u (7 Por outro ado, o movmento deformacona pode ser expresso no sstema de coordenadas oca da confguração deformada, sto é, em reação à base. evando em consderação a equação (, tem-se que d Q u. Portanto, a equação (7 pode ser reescrta como d d (Q IX P + Q (u u (8 Fnamente, pode-se escrever o movmento deformacona da partícua P na confguração deformada, usando a posção que esta partícua ocupava em C O, o desocamento do centróde do eemento e o desocamento de P expressos em coordenadas gobas. Desta manera, evando em conta a equação (, obtém-se as seguntes reações: X P QX p, u Qu e u Qu. Usando estas reações na equação (8, chega-se a d (Q Q QX P + Q Q(u u (9 Por útmo, tendo em conta a equação (3 e a reação ˆQ Q Q, obtém-se que d ( ˆQ QX P + ˆQ(u u ( Movmento deformacona do eemento treça D Para obter o movmento deformacona do eemento de treça pana serão montorados os desocamentos do centróde e dos nós do eemento. De acordo com a Fgura 5, consdera-se que entre as confgurações C O e C R, o centróde sofre somente desocamentos de corpo rígdo. Por outro ado, os desocamentos dos nós e é composto por movmentos deformaconas e

7 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 69 de corpo rígdo entre as confgurações C O e C. A posção dos nós do eemento na confguração ndeformada, descrta em coordenadas gobas, é dada por { } { } X X (X X X (X X { X X } (X X (Y Y (X X (Y Y X Y Por nspeção geométrca da Fgura { 5, pode-se } escrever o desocamento do centróde do eemento como u (u + u u + u. A reação entre os desocamentos nodas v + v e o desocamento do centróde do eemento são expressos, em forma vetora, como (u u u { } u u u u v u u u + u v + v u + u (v v v ( (u u v v + v (v v Consdere que a partícua P possa ocupar a posção do nó, e em seguda, a posção do nó. Desta manera, evando em conta as equações (, ( e (, o movmento deformacona do eemento se expressa como d v cr d d v cr d [ ˆQ Q ˆQ Q ] X Y X Y + [ ˆQ ˆQ ] u v u v onde é a matrz nua de dmensão. Q é a matrz de rotação defnda em (. Esta matrz rotacona os vetores de posção e de desocamentos do sstema goba de referênca para o sstema oca de referênca defndo na confguração ndeformada. A matrz ˆQ, dada pea equação (3, rotacona esses vetores do sstema goba para o sstema oca de referênca defndo na confguração co-rotaconada. Como este eemento possu graus de berdade por nó, utzou-se as submatrzes ˆQ e Q, cujas tercera nha e tercera couna foram suprmdas. Por nspeção geométrca da Fgura 5, deduz-se que o desocamento deformacona do nó é dado por ( d e v cr, enquanto que, para o nó tem-se d que u o pqcr ( d e v cr. A segur, após um breve desenvovmento agébrco utzando a equação (3, demonstra-se estas dentdades para o nó do eemento. Portanto, d reescrevendo a equação (3 para o nó, tem-se que { u cr } d v cr d x X y Y y + Y x X X Y + [ x y y x u v X Y ]{ u v } ( (3 (4

8 7 W. Tayor Matas e. Mendes ( ( X x d X Y y Y x u y v X x + X Y y (X +Y x + Y x u y v (X + u }{{} x y (Y + v }{{} y (5 (X +Y (x +y v cr d X ( y + Y Y ( ( x X + y u x v X y X Y Y x + X Y + y u x v y (X + u }{{} x x (Y + v }{{} y x y x y (6 Nas próxmas seções obtém-se o vetor de forças nternas e a matrz de rgdez tangente através das dervadas prmera e segunda da energa de deformação em reação aos desocamentos ocas, respectvamente. Desta manera, cacuam-se as dervadas prmera e segunda de ( + u + v em reação aos desocamentos ocas (u,v,u,v. De acordo com a Fgura 3, pode-se defnr que cosφ +u e senφ s φ v, sendo φ o ânguo entre os versores e e ecr. Estas dervadas se expressam como u [ ] T s φ s φ (7 s s s s u u s φ c s c φ s s s s c (8 φ s φ c φ s φ c φ Vetor de forças nternas do eemento de treça D Admte-se que a energa de deformação armazenada no emento entre as confgurações co-rotaconada e deformada seja dada por U EA ε dx. Note-se que se está ut- zando a confguração co-rotaconada para o cácuo da energa de deformação. Assume-se que ε ε seja a medda de deformação, sendo que, u u. Portanto, cacuando a dervada prmera de U e utzando a equação (7, obtém-se o vetor de forças nternas, cuja expressão é dada por f U u ε EA ε u dx EA ε s u N φ s φ (9

9 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 7 onde N EA ε é o esforço axa. Para expressar o vetor de forças nternas em coordenadas gobas utza-se a matrz de rotação dada em (, ta que, f Q T f. Matrz de rgdez tangente do eemento de treça D Obtém-se a matrz de rgdez tangente do eemento a partr da dervada segunda da energa de deformação, ou através da dervada prmera do vetor de forças nternas, em reação aos desocamentos nodas. embrando que ε u u e ǫ u u u u e usando a equação (8, tem-se que K U u u f u K EA [ EA ε u ε u + EA ε ε u u ] dx u u + N u u ( K K M + K G com K M EA c s c s s φ s s s φ c s c s c φ K G N s φ s s s φ s s s s s φ c s c φ s s s s c φ s φ c s c φ ( onde é o produto aberto ou dádco. K M é a matrz de rgdez matera. K G é a matrz de rgdez geométrca. Para obter a matrz de rgdez tangente em coordenadas gobas utza-se a matrz de rotação defnda em (, ta que, K Q T K Q. EEMENTO DE TREIÇA 3D Consdere, agora, um corpo deformáve dscretzado por um eemento de treça espaca com dos nós, stuados em suas extremdades, cujas coordenadas na confguração ndeformada são dadas por X (X,Y,Z e X (X, Y,Z, conforme mostra-se na Fgura 6. O comprmento da barra em C O é X + Y + Z, com X X X, Y Y Y e Z Z Z. Nesta confguração é fxado, no centróde do eemento, um sstema de coordenadas ocas cuja base ortonorma é dada por (e,e,e. Após o corpo sofrer transações 3 e rotações de corpo rígdo e deformaconas, este ocupa uma posção dada peas coordenadas espacas de seus nós, que se expressam como x (x,y,z e x (x,y, z, respectvamente. A confguração deformada é defnda por estas coordenadas como pode

10 7 W. Tayor Matas e. Mendes (x, y, z u e e 3 C R (X, Y, Z C O u C (X, Y, Z e 3 X Y, y x x (x, y, z e X e X, x e 3 Z, z Fgura 6. Cnemátca co-rotacona do eemento de treça 3D ser observado na Fgura 6. Por outro ado, as coordenadas espacas nodas podem ser escrtas em função dos desocamentos nodas como x X + u e x X + u, respectvamente. O comprmento da barra na confguração deformada é dado por x + y + z, com x x x (X + u (X + u X + u, y y y (Y + v (Y + v Y + v e z z z (Z + w (Z + w Z + w, sendo u u u, v v v e w w w, as componentes dos desocamentos nodas em reação à base e. Portanto, pode-se escrever que (X + u + (Y + v + (Z + w. Aternatvamente, esse comprmento pode ser ( + u + v + w, sendo u u u, v v v e expresso como w w w, as componentes dos desocamentos nodas em reação à base e. Para a extração dos desocamentos deformaconas é necessáro dentfcar as transações e rotações de corpo rígdo. Então, para este fm, defne-se uma confguração co-rotaconada que acompanha a confguração deformada do corpo. É fxada no centróde da confguração co-rotaconada um sstema de coordenadas ocas cuja base ortonorma é dada por (,ecr,ecr conforme mostra-se na Fgura 6. Procedendo-se como na seção anteror, determna-se agora, as matrzes ortogonas entre as bases e, e e, para o eemento de treça espaca. A transformação ortogona Q entre as bases e e e, e Qe, é dada por 3, e (X, Y, Z X e Y Z e e e e 3 e e e e > e XZ X Y XZ e e e XZ Y Z XZ e 3 e 3 Z X e 3 XZ XZ ( onde XZ X + Z é a projeção da barra em C no pano XZ da base e O. Por outro ado, a transformação ortogona Q entre as bases e e, ecr Q e, é defnda peas seguntes reações

11 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 73 ( +u, v, w ecr e 3 e ecr 3 ecr onde xz ecr e xz > 3 +u ( +u v xz w xz v w xz v w xz +u xz (3 ( + u + w é a projeção da barra em C no pano xz da base e. Fnamente, a transformação ortogona ˆQ entre as bases (x, y, z ecr e 3 e ecr 3 ecr ecr e xz > 3 e e, x y z x y xz z xz e e e 3 ˆQe, é dada por e xz y z xz e x e 3 xz (4, em (4,,Z P P de coordenadas P cr u d C P d onde xz x + z (X + u + (Z + w é a projeção da barra em C no pano XZ da base e. Note que as componentes de e, em (, representam os co-senos dretores da barra na confguração ndeformada em reação ao sstema de referênca goba e. As componentes de, em (3, denotam os co-senos dretores da barra na confguração co-rotaconada com reação à base e, enquanto que, as componentes de ecr denotam os co-senos dretores da barra na confguração co-rotaconada com reação à base e. Substtundo a equação ( em (3, chega-se a Q Qe. Comparando-se este resutado com a equação (4, demonstra-se que ˆQ Q Q. Movmento deformacona de uma partícua Para descrever o movmento de uma partícua arbtrára do eemento de treça 3D, ncamente, os vetores de posção e de desocamentos serão expressos em reação à base e defnda na confguração ndeformada. Seja uma partícua P de coordenadas (X,Y P em C O, conforme mostra-se na Fgura 7, que se move ao ponto P cr C O e 3 e Xp P e Y, y u x x r 3 C R u X cr p e e X, x e 3 Z, z Fgura 7. Movmento deformacona de uma partícua do eemento de treça 3D

12 74 W. Tayor Matas e. Mendes (X cr cr,y P P,Zcr em C, e, em seguda, desoca-se ao ponto P de coordenadas P R d (x,y,z em C. Devdo ao movmento de corpo rígdo entre as confgurações C O e C R, e evando em conta a matrz de rotação dada em (3, o vetor posção da partícua P em C R pode ser expresso em função da base e como X cr T P Q X. Por outro ado, a posção da partícua P em P C R, em reação ao sstema de referênca oca defndo em C O, é dado por x r u + Xcr P u + Q T X P (5 onde u é o desocamento de corpo rígdo do centróde do eemento entre as confgurações ndeformada e co-rotaconada. De acordo com a Fgura 7, a posção da partícua P na confguração deformada é dada por x X P + u (6 onde u é o desocamento da partícua entre as confgurações C O e C. Este desocamento pode ser decomposto em uma parte deformacona u e em uma parte correspondente ao d movmento de corpo rígdo u, ta que, r u u + u. Novamente, como pode ser vsto na d r Fgura 7, a parte deformacona deste desocamento é dada pea segunte expressão u d x x r (7 Substtundo as equações (5 e (6 em (7, obtém-se o movmento deformacona da partícua P entre as confgurações co-rotaconada e deformada, que se expressa como u d (I Q T X P + (u u (8 Por outro ado, o movmento deformacona pode ser expresso no sstema de coordenadas oca da confguração deformada, sto é, em reação à base. evando em conta a matrz de rotação defnda em (3, tem-se que Q u. Portanto, a equação (8 pode ser d d reescrta como d (Q IX P + Q (u u (9 Fnamente, pode-se escrever o movmento deformacona da partícua P na confguração deformada, usando a posção que esta partícua ocupava em C O, o desocamento do centróde do eemento e o desocamento de P expressos em coordenadas gobas. Desta manera, evando em conta a matrz de rotação dada em (, obtém-se as seguntes reações: X P QX p, u Qu e u Qu. Usando estas reações na equação (9, chega-se a d (Q Q QX P + Q Q(u u (3 Por útmo, tendo em conta a reação ˆQ Q Q, obtém-se que d ( ˆQ QX P + ˆQ(u u (3 Nota-se que é a mesma expressão dada em (. Portanto, para sódos dscretzados com eementos fntos que possuam somente graus de berdade transaconas, a extração do movmento deformacona ndepende do tpo de eemento fnto adotado, e é dado por reações agébrcas smpes.

13 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 75 (x, y, z u e e 3 C R (X, Y, Z C O u C (X, Y, Z e 3 X Y, y x x (x, y, z e X e X, x e 3 Z, z Fgura 8. Movmento deformacona do eemento de treça 3D Movmento deformacona do eemento de treça 3D Para obter o movmento deformacona do eemento de treça espaca serão montorados os desocamentos do centróde e dos nós do eemento. De acordo com a Fgura 8, consdera-se que entre as confgurações C O e C R, o centróde sofre somente desocamentos de corpo rígdo. Por outro ado, os desocamentos dos nós e é composto por movmentos deformaconas e de corpo rígdo entre as confgurações C O e C. A posção dos nós do eemento na confguração ndeformada, descrta em coordenadas gobas, é dada por { } { } X X (X X X (X X { X X } (X X (Y Y (Z Z (X X (Y Y (Z Z X Y Z X Y Z (3 Por nspeção geométrca da Fgura 8, pode-se escrever o desocamento do centróde do u eemento como u (u + u + u v + v. A reação entre os desocamentos nodas w + w e o desocamento do centróde do eemento são expressos, em forma vetora, como

14 76 W. Tayor Matas e. Mendes { } u u u u u v w u v w u + u v + v w + w u + u v + v w + w (u u (v v (w w (u u (v v (w w u v w u v w (33 Consdere que a partícua P possa ocupar a posção do nó, e em seguda, a posção do nó. Desta manera, evando em conta as equações (3, (3 e (33, o movmento deformacona do eemento se expressa como d v cr d w cr d d v cr d w cr d [ ˆQ Q ˆQ Q ] X Y Z X Y Z + [ ˆQ ˆQ ] u v w u v onde é a matrz nua de dmensão 3 3. Q é a matrz de rotação defnda em (. Esta matrz rotacona vetores do sstema de referênca goba para o sstema de referênca oca defndo na confguração ndeformada. A matrz ˆQ, dada pea equação (4, rotacona vetores do sstema de referênca goba para o sstema de referênca oca defndo na confguração co-rotaconada. A composção dessas matrzes defndas em (34 podem ser escrtas como w (34 [ ] ˆQ Q ˆQ Q x X y Y z Z x y + X Y xz XZ xz z xz + Z XZ XZ y z xz + Y Z XZ x xz X XZ x X y Y z Z x y xz + X Y XZ z xz + Z XZ xz XZ y z xz + Y Z XZ x xz X XZ (35

15 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 77 [ ] ˆQ ˆQ x y z x y xz z xz xz y z xz x xz x y z x y xz z xz xz y z xz x xz (36 Por aspectos geométrcos da Fgura 8, deduz-se que o desocamento deformacona do nó é dado por ( d, v cr e w cr, enquanto que, para o nó, tem-se d d que d (, v cr d e w cr d. A segur, após um breve desenvovmento agébrco, utzando as equações (34, (35 e (36, demonstra-se essas dentdades para o nó do eemento. d v cr d w cr d x X y Y z Z x y + X Y xz XZ xz z xz + Z XZ + x y z x y xz z xz XZ y z xz + Y Z XZ xz y z xz x xz x xz X XZ u v w X Y Z + (37 d ( x X X ( y Y Y (z Z Z x u y v z w x (X + u y (Y + v z (Z + w + X + Y + Z (38 x +y +z + X +Y +Z + + (

16 78 W. Tayor Matas e. Mendes v cr ( x y d + X Y xz X XZ ( xz XZ Y ( y z xz + Y Z XZ Z + + x y u xz xz v + y z w xz x y xz (X + u xz (Y + v + y z xz (Z + w X Y XZ + + Y XZ Y Z XZ x y xz xz y + y z xz X Y XZ + Y XZ Y Z XZ y xz (x + z xzy Y XZ (X + Z + Y XZ y xz xz y xz Y XZ XZ + Y XZ y xz y xz Y XZ + Y XZ (39 w cr ( z d + Z xz X XZ ( x X xz Z XZ + z u xz x w xz z xz (X + u x xz (Z + w X Z XZ + X Z XZ (4 z x xz x z xz X Z XZ + X Z XZ Nas próxmas seções obtém-se o vetor de forças nternas e a matrz de rgdez tangente através das dervadas prmera e segunda da energa de deformação em reação aos desocamentos, expressos em reação à base e, respectvamente. Desta manera, cacuam-se as dervadas prmera e segunda de ( + u + v + w em reação aos desocamentos ocas (u,v, w,u, v,w. Os co-senos dretores do eemento na confguração co-rotaconada em reação a confguração ndeformada são dados por: c +u x, c v y e c w z. evando em conta as defnções de, c, x c e y c, e que, z c x + c y + c, estas z dervadas se expressam como ] T [ c u x c y c c z x c c (4 y z

17 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 79 u u (c + c c y z x c c y x c (c + c c z y z x c c y x c z c x c (c + c c y x z y c c z x c (c + c c y x z y c z (c + c c y z x c c y x c (c + c c z y z x c c y x c z c xc y (c x + c z c yc z c xc y (c x + c z c yc z c x c c z y c (c + c c z x y x c c z y c (c + c z x y c xc z c yc z (c + c c x y x c c z y c (c + c z x y Vetor de forças nternas do eemento de treça 3D Admte-se que a energa de deformação armazenada no emento entre as confgurações co-rotaconada e deformada seja dada por U EA ε dx. Note-se que se está ut- zando a confguração co-rotaconada para o cácuo da energa de deformação. Assume-se que ε (4 seja a medda de deformação, sendo que, ε u u. Portanto, cacuando a dervada prmera de U e utzando a equação (4, obtém-se o vetor de forças nternas, cuja expressão é dada por c x f U u c y ε EA ε u dx EA ε u N c z c x (43 c y c z onde N EA ε é o esforço axa. Para expressar o vetor de forças nternas em coordenadas gobas utza-se a matrz de rotação dada em (, ta que, f Q T f. Matrz de rgdez tangente do eemento de treça 3D Obtém-se a matrz de rgdez tangente do eemento a partr da dervada segunda da energa de deformação, ou através da dervada prmera do vetor de forças nternas, em reação aos desocamentos nodas. embrando que ε u u e ǫ u u u u e usando a equação (4, tem-se que K U u u f u K EA [ EA ε u ε u + EA ε ε u u ] dx u u + N u u (44 K K M + K G

18 8 W. Tayor Matas e. Mendes com K M EA c x c x c y c x c c y x c c z x c y c x c c z y c c z z c x c x c y c x c y c y c c z x c c y y c x c c y x c c z x c y c x c c z y c c z z c x c z c y c z c x c c z y c c z z c x c y c y c c z x c c y y c x c z c y c z c x c c z y c c z z K G N (c + c c y z x c c y x c (c + c c z y z x c c y x c z c x c (c + c c y x z y c c z x c (c + c c y x z y c z (c + c c y z x c c y x c (c + c c z y z x c c y x c z c xc y (c x + c z c yc z c xc y (c x + c z c yc z c x c c z y c (c + c c z x y x c c z y c (c + c z x y c xc z c yc z (c + c c x y x c c z y c (c + c z x y onde é o produto aberto ou dádco. K M é a matrz de rgdez matera. K G é a matrz de rgdez geométrca. Para obter a matrz de rgdez tangente em coordenadas gobas utza-se a matrz de rotação defnda em (, ta que, K Q T K Q. EEMENTO DE VIGA D Para descrever a cnemátca co-rotacona do eemento de vga D, adota-se um sstema de coordenadas gobas cuja base ortonorma é dada por (e,e,e 3. Para expressar as varáves cnemátcas na confguração ndeformada utzam-se as coordenadas materas (X, Y, Z, enquanto que, na confguração deformada usam-se as coordenadas espacas (x,y,z. Consdere, agora, um corpo deformáve dscretzado por um eemento de vga D com dos nós, stuados em suas extremdades, cujas coordenadas na confguração ndeformada são dadas por X (X,Y e X (X,Y, conforme mostra-se na Fgura 9. O comprmento da barra em C O é X + Y, com X X X e Y Y Y. Nesta confguração é fxado, no centróde do eemento, um sstema de coordenadas ocas cuja base ortonorma é dada por (e,e,e. Observe que α é o ânguo de ncnação do eemento 3 em C O com reação ao exo (X, x, e que, cosα X e senα Y. Após o corpo sofrer transações e rotações de corpo rígdo e deformaconas, este ocupa uma posção dada peas coordenadas espacas de seus nós, que se expressam como x (x,y e x (x,y, respectvamente. A confguração deformada é defnda por estas coordenadas como pode ser observado na Fgura 9. Por outro ado, as coordenadas espacas nodas podem ser escrtas em função dos desocamentos nodas como x X +u e x X +u, respectvamente. Consdera-se que o comprmento da barra na confguração deformada é dado pea secante que une os nós do eemento. Portanto, pode-se escrever que x + y, com x x x (X +u (X +u X +u e y y y (Y +v (Y +v Y +v, sendo u u u e v v v, as componentes dos desocamentos nodas em reação à base e. Por fm, pode-se escrever que (X + u + (Y + v. Na confguração deformada a ncnação da reta secante, que une os nós do eemento, em reação ao exo (45

19 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 8 (x, y e (X, Y C u C R α φ ψ C O (X, Y v e α x X Y, y x X e e u X, x Fgura 9. Cnemátca co-rotacona do eemento de vga D u u u ψ X + u (x, y Y + v e e u v v v u φ v u + u Y, y e e X, x Fgura. Componentes dos desocamentos nodas em reação às bases e e e (X, x, é dada peo ânguo ψ. O co-seno e o seno deste ânguo são dados por cosψ x e senψ y. Aternatvamente, conforme mostra-se na Fgura, esse comprmento pode ser expresso como ( + u + v, sendo u u u e v v v, as componentes dos desocamentos nodas em reação à base e. Para dentfcar as transações e rotações de corpo rígdo defne-se uma confguração co-rotaconada que acompanha a confguração deformada do corpo. O centróde desta confguração concde com o ponto médo da reta secante que une os nós do eemento, conforme mostra-se na Fgura 9. É fxada no centróde da confguração co-rotaconada um sstema de coordenadas ocas cuja base ortonorma é dada por (,ecr,ecr. Observe que φ é o ânguo entre o versor ecr, em C, e o versor 3 R e, em C O. Este ânguo representa a rotação de corpo rígdo entre as confgurações C R e C O. De acordo com a Fgura, o co-seno e o seno deste ânguo são dados por cosφ +u e senφ v, respectvamente. Por outro ado, conforme mostra-se na Fgura 9, a reação entre os ânguos α, ψ e φ é dada por ψ α + φ.

20 8 W. Tayor Matas e. Mendes As reações entre as bases ortonormas e, e e, são dadas peas matrzes de rotação defndas peas equações (, ( e (3. Descrevem-se aqueas matrzes, agora, em função dos ânguos α, φ e ψ do segunte modo e cosα senα e e senα cosα e e e Qe (46 e 3 3 e cr cosφ senφ 3 3 e senφ cosφ e e 3 cosψ senψ e senψ cosψ e e 3 Q e (47 ecr ˆQe (48 Substtundo a equação (46 na equação (47 chega-se a Q Qe. Comparandose este resutado com a equação (48, concu-se que ˆQ Q Q. Por outro ado, esta reação pode ser obtda evando em consderação as seguntes reações trgonométrcas: cosψ cos(α + φ cosαcosφ senαsenφ e senψ sen(α + φ senαcosφ + senφcosα. Movmento deformacona de uma partícua Para descrever o movmento de uma partícua arbtrára do eemento de vga D, ncamente, os vetores de desocamentos e de posção serão expressos em reação à base e defnda na confguração ndeformada. Será consderado como componente destes vetores o grau de berdade rotacona cuja dreção é perpendcuar ao pano que contêm o eemento de vga D, portanto, podendo ser expresso, ndstntamente, em reação aos versores e 3, e 3 e, respectvamente. Seja uma partícua P de coordenadas (X, Y 3 P P,β em C, onde P O β P é o ânguo entre o vetor X e o versor e, conforme mostra-se na Fgura. Em seguda, P esta partícua move-se ao ponto P cr de coordenadas (X cr cr,y P P,βcr em C P R, onde βcr é o P ânguo entre o vetor X cr e o versor ecr. Como entre as confgurações C e C P O R há somente desocamento de corpo rígdo segue que X P Xcr e P β P βcr. Posterormente, esta P mesma partícua, desoca-se ao ponto P d de coordenadas (x,y,θ em C, onde P θ é a P rotação tota, obtda peo somatóro da rotação de corpo rígdo φ com a rotação deformacona θ, sto é, θ φ + P d P θ. A nterpretação geométrca deste somatóro pode ser P d C O e X P P e β p u o x r u C R C X cr p P cr βcr u d p φ x P d θ P θ Pd φ Y, y e e X, x Fgura. Movmento deformacona de uma partícua do eemento de vga D

21 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 83 vsuazada na Fgura. Devdo ao movmento de corpo rígdo entre as confgurações C O e C R, e evando em conta a equação (47, o vetor posção da partícua P em C R pode ser expresso em função da base e T como Xcr P Q X. Por outro ado, a posção da partícua P P em C R, em reação ao sstema de referênca oca defndo em C O, é dado por β cr P x r y r x r u + Xcr P u + T Q X P u cosφ senφ + φ v φ + senφ cosφ onde u é o desocamento de corpo rígdo do centróde do eemento entre as confgurações ndeformada e co-rotaconada. De acordo com a Fgura, a posção da partícua P na confguração deformada é dada por x y θ P x X + u P X P u Y P + v θ P β P β P onde u é o desocamento da partícua entre as confgurações C O e C. Este desocamento pode ser decomposto em uma parte deformacona u e em uma parte correspondente ao d movmento de corpo rígdo u, ta que, r u u + u. Novamente, como pode ser vsto na d r Fgura, a parte deformacona deste desocamento é dada pea segunte expressão X P Y P β P (49 (5 u d v d θ P d u x x d r x x r y y r φ θ P (5 Substtundo as equações (49 e (5 em (5, obtém-se o movmento deformacona da partícua P entre as confgurações co-rotaconada e deformada, que se expressa como u d (I Q T X P + (u u (5 Por outro ado, o movmento deformacona pode ser expresso no sstema de coordenadas oca da confguração deformada, sto é, em reação à base. evando em consderação a equação (47, tem-se que d Q u. Portanto, a equação (5 pode ser reescrta como d d (Q IX P + Q (u u (53 Fnamente, pode-se escrever o movmento deformacona da partícua P na confguração deformada, usando a posção que esta partícua ocupava em C O, o desocamento do centróde do eemento e o desocamento de P expressos em coordenadas gobas. Desta manera, evando em conta a equação (46, obtém-se as seguntes reações: X P QX p, u Qu e u Qu. Usando estas reações na equação (53, chega-se a d (Q Q QX P + Q Q(u u (54

22 84 W. Tayor Matas e. Mendes e e X α X d θ θ d φ C u C O u C R u Xcr Xcr α φ ψ d θ θ d φ X Y, y X e e X, x Fgura. Movmento deformacona do eemento de vga D Por útmo, tendo em conta a equação (48 e a reação ˆQ Q Q, obtém-se que d ( ˆQ QX P + ˆQ(u u (55 Note que a equação (55 é dêntca às equações ( e (3 porque para sódos dscretzados com eementos fntos que possuam graus de berdade transaconas e apenas um grau de berdade rotacona, perpendcuar ao pano que contem o sódo, a extração do movmento deformacona é obtda por reações agébrcas smpes. Movmento deformacona do eemento de vga D Para obter o movmento deformacona do eemento de vga D serão tomados os desocamentos do centróde e dos nós do eemento. De acordo com a Fgura, consdera-se que entre as confgurações C O e C R, o centróde do eemento sofre somente desocamentos de corpo rígdo. Por outro ado, os desocamentos dos nós e é composto por movmentos deformaconas e de corpo rígdo entre as confgurações C O e C. Note que os nós estão stuados sobre o exo oca e em C O, e sobre o exo oca ecr em C, portanto, os ânguos β e R P βcr P serão nuos, respectvamente. A posção dos nós do eemento na confguração ndeformada, descrta em coordenadas gobas, é dada por { } { } X X (X X X (X X { X X } (X X (Y Y (X X (Y Y X Y X Y (56

23 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 85 Por aspectos geométrcos dados na Fgura, pode-se observar que a parte transacona do movmento do centróde do eemento é dado pea méda de suas transações nodas, sto é, u t (u t + u t. Incundo, agora, as rotações como a tercera componente desses vetores. Os desocamentos nodas e do centróde do eemento, expressos em coordenadas gobas, podem ser defndos como u u u v θ, u u v θ, u (u + u v φ (v + v (57 φ com θ φ + θ d e θ φ + θ d, conforme mostra-se na Fgura. Onde θ é a rotação tota do nó, θ d é a rotação deformacona do nó, θ é a rotação tota do nó, θ d é a rotação deformacona do nó e φ é a rotação de corpo rígdo do eemento. Desta manera, as rotações deformaconas dos nós do eemento são dadas por: θ d θ φ e θ d θ φ. Portanto, a reação entre os desocamentos nodas e o desocamento do centróde do eemento são expressos, em forma vetora, como { } u u u u u v θ u v θ (u + u (v + v φ (u + u (v + v φ (u u (v v θ φ (u u (v v θ φ u Consdere que a partícua P possa ocupar a posção do nó, e em seguda, a posção do nó. Desta manera, evando em conta as equações (55, (56 e (58, o movmento deformacona do eemento se expressa como d v cr d θ cr d d v cr d θ cr d [ ˆQ Q ˆQ Q ] X Y X Y + [ ˆQ ˆQ ] u onde Q é a matrz de rotação defnda em (46. Esta matrz rotacona os vetores de posção e de desocamentos do sstema goba de referênca para o sstema oca de referênca defndo na confguração ndeformada. A matrz ˆQ, dada pea equação (48, rotacona esses vetores do sstema goba para o sstema oca de referênca defndo na confguração co-rotaconada. Por nspeção geométrca da Fgura, deduz-se que o desocamento deformacona do nó é dado por ( d, v cr e θ cr θ d d d, enquanto que, para o nó tem-se que d (, v cr d e θ cr d θ d. Nas seções anterores, para os desocamentos v θ d u v θ d v θ d u v θ d (58 (59

24 86 W. Tayor Matas e. Mendes transaconas, demonstrou-se as reações descrtas acma. A segur, utzando as equações (46, (48 e (59, chega-se às seguntes expressões u d cosψ v senψ X (cosψ cosα Y (senψ senα u d cosψ + v senψ + X (cosψ cosα + Y d + d (senψ senα d d u cosψ + v senψ + X (cosψ cosα + Y (senψ senα (6 Anda utzando a Fgura, pode-se defnr o movmento deformacona do eemento devdo as transações como d. A segur demonstra-se que esta reação, também, d d pode ser expressa como d, embrando que as defnções dos senos e co-senos dos ânguos α e ψ foram dadas no níco desta seção. d d d u cosψ + v senψ + X (cosψ cosα + Y (senψ senα u ( X +u + v ( Y +v + X ( X +u X + Y ( Y +v Y X u +u + Y v +v + X +X u X + Y +Y v X +X u +u + Y +Y v +v X +Y Y (X +u + (Y +v (6 A reação ânguar ψ α + φ, ou φ ψ α, fo defnda no níco desta seção, e cuja nterpretação geométrca está dada nas Fguras 9 e, pode ser utzada para obter as rotações deformaconas dos nós do eemento em função dos desocamentos gobas. Desta manera, embrando que θ cr θ d φ e θ cr θ d φ. Substtundo φ nessas expressões, pea reação dada acma, as rotações deformaconas podem ser escrtas como θ cr θ d ψ + α e θ cr θ d ψ + α. Por outro ado, estas expressões podem ser escrtas em função das transações como θ cr d θ tan ( Y +v X +u + tan ( Y X θ cr d θ tan ( Y +v X +u + tan ( Y X com X + u e X Portanto, o movmento deformacona do eemento de vga D será defndo pea deformação transacona d(u,v,u,v e peas rotações deformaconas θ cr d (u, v,θ,u,v e θ cr (u d,v,u,v,θ. Nas próxmas seções, serão obtdos o vetor de forças nternas e a matrz de rgdez tangente através das dervadas prmera e segunda do funcona da ener-. Portanto, a dervada d ga de deformação, que é escrto em função das varáves d, θ cr d e θ cr prmera de d, θ cr e θ cr d por (6 d em reação aos desocamentos gobas, (u,v,θ,u,v,θ, é dada

25 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 87 δu δd c ψ s ψ s ψ δv δθ cr δθ d s ψ / / s ψ / / δu δθ cr s d ψ / / s ψ / / δv δθ onde cosψ e s ψ senψ. Por outro ado, evando em conta as equações (6, (6 e (63, as dervadas segundas dos desocamentos deformaconas podem ser defndas por s s ψ ψ s s ψ ψ s ψ c s ψ ψ c ψ d u u s s ψ ψ s s ψ ψ s ψ c s ψ ψ c ψ s ψ c s s ψ ψ ψ s (64 c ψ ψ c s s ψ ψ ψ s c s ψ ψ ψ θ cr d u u cr θ d u u s ψ s c s ψ ψ ψ c s ψ ψ s c s ψ ψ ψ c s s ψ ψ ψ (63 Esforços resutantes do eemento de vga D Os eforços resutantes do eemento de vga D na confguração deformada são N, V, M e M, sendo N o esforço norma, V o esforço cortante e M e M os momentos fetores nos nós e do eemento, respectvamente. Os esforços norma e cortante são consderados constantes enquanto que o momento vara nearmente ao ongo do eemento. Estes esforços resutantes, com as respectvas convenções de snas, são mostrados na Fgura 3 d/ θ d M d/ N V C C R V N M θ d Fgura 3. Deformações e esforços secconas do eemento de vga D

26 88 W. Tayor Matas e. Mendes apresentada a segur, sendo obtdos a partr das respectvas deformações 3, de acordo com as seguntes equações N EA ε EA d; V M +M M EI (θ cr d + θ cr d ; M EI (θ cr d + θ cr d 6EI (θ cr d + θ cr d sendo E o móduo de eastcdade ongtudna do matera, A a área da seção transversa e I o momento de nérca da seção transversa. Energa de deformação do eemento de vga D A energa de deformação da vga, consderando-se apenas deformações nfntesmas e, portanto, sem evar em conta o ocopamento dos efetos dos esforços axas e de fexão, pode ser expressa como a soma da energa de deformação axa U A mas a energa de fexão U F, ou seja, U U A + U F. Desta manera, adotam-se as seguntes expressões defndas em 4 U A EA ε EA d ( U F EI θ cr d + θ cr d θ cr d + θ cr Vetor de forças nternas do eemento de vga D d (65 (66 O vetor de forças nternas f é obtdo pea dervada prmera do funcona da energa de deformação U em reação aos desocamentos gobas u, sto é, f U u. Portanto, utzando as equações (63, (65 e (66, chega-se às seguntes expressões ( ( f F EI u ( f A EA u d EA d d u N d u N [ s ψ s ψ ] T θ cr d + θ cr d θ cr d + θ cr d ( EI θ cr u + θ cr d u θcr cr θ d d d + θ cr cr θ d d u + θcr cr θ d d u f F [ V s ψ V M V s ψ V M ] T (67 Por fm, o vetor de forças nternas é obtdo pea soma das contrbuções dos esforços axa e de fexão, sto é, f f A + f F. Matrz de rgdez tangente do eemento de vga D A matrz de rgdez tangente é obtda pea dervada segunda do funcona da energa de deformação U em reação ao vetor de desocamentos gobas u, ou de forma smar através da dervada prmera do vetor de forças nternas f, ou seja, K U u f u K + K. M G Portanto, dervando as expressões de f A e f F, dadas na equação (67, obtém-se que ( f F u EI (θ cr + θ cr d + (θ cr d + θ cr ( f A u EA d u d u + d d u u cr θ d d cr θ d d cr u u + θ d u θ cr d u + θ cr d u θ cr d u + cr u u + θ d u θ cr d u + θ cr d u θ cr d u (68

27 Uma abordagem unfcada da formuação co-rotacona para eementos de treça D, treça 3D e vga D 89 Usando as dervadas prmeras e segundas das deformações d, θ cr e θ cr, dadas peas d d equações (63 e (64, na equação (68, chega-se às seguntes expressões K M ( ( EA c ψ + EI EA s ψ EI s ψ ( EA EI s ψ 6EI s ψ ( EA s ψ + EI 6EI ( EA ( c ψ EI s EA + ψ EI s ψ ( EA + EI s ψ ( EA s ψ EI 6EI s ψ 6EI 6EI s ψ 6EI 4EI 6EI s ψ 6EI EI ( EA ( c ψ EI s EA + ψ EI s ψ ( EA + EI s ψ ( EA s ψ EI 6EI s ψ 6EI ( ( EA c ψ + EI EA s ψ EI s ψ ( EA EI s ψ 6EI s ψ ( EA s ψ + EI 6EI 6EI s ψ 6EI EI 6EI s ψ 6EI c ψ 4EI ( ( ( N s ( ψ V s ψ c N ψ s ψ + V (cψ sψ N s ψ + V s ψ c N s ψ ψ V (cψ sψ ( ( ( ( N s ψ + V (cψ sψ N c ψ + V s ψ c N s ψ ψ V (cψ sψ N V s ψ c ψ K G ( ( ( N s ψ + V s ψ c N s ψ ψ V (cψ sψ N s ( ψ V s ψ c N ψ s ψ + V (cψ sψ ( ( ( N s ψ V (cψ sψ N c ψ V s ψ c ( N ψ s ψ + V (cψ sψ N c ψ + V s ψ c ψ (69 Note que a rotação de corpo rígdo do eemento e suas rotações deformaconas, defndas na equação (6, aém do vetor de forças nternas, dado pea equação (67, e da matrz de rgdez tangente, dada pea equação (69, são cacuados em função dos desocamentos nodas expressos em coordenadas gobas. CONCUSÕES Ao defnr-se as transformações ortogonas entre os dstntos sstemas de coordenadas utzados para descrever a cnématca co-rotacona fo possíve unfcar o procedmento agébrco para a separação entre o movmento de corpo rígdo e o movmento deformacona. Demonstrou-se neste trabaho que a descrção do movmento deformacona de um sódo utzando a formuação co-rotacona é obtda anatcamente quando este sódo é dscretzado por eementos fntos com graus de berdades transaconas, e com, no máxmo, um grau de berdade rotacona por nó. Cabe destacar como prncpa vantagem da formuação corotacona, o desacopamento entre os efetos ocas e gobas. Pode-se ncur como efetos ocas, em regme de deformações nfntesmas, por exempo, os modeos consttutvos da pastcdade, os modeos da mecânca da fratura e modeos de dano. Por outro ado, os efetos gobas decorreram do movmento de corpo rígdo do sódo, possbtando, por exempo, a anáse da estabdade do equíbro, a detecção de snguardades na matrz de rgdez tangente do eemento, a formuação de agorítmos de busca de trajetóras secundáras de equíbro. Entretanto, para que esta formuação se dfunda na comundade de métodos numércos apcados a engenhara, é necessáro que a mesma possa superar aguns obstácuos, tas como, a apcação de métodos mpíctos para ntegração no tempo do tensor de rotações fntas na anáse dnâmca não-near.

28 9 W. Tayor Matas e. Mendes REFERÊNCIAS B.M. Fraejs de Veubeke, The dynamcs of fexbe bodes, Int. J. Engneerng Scence, Vo. 4, pp , (976. C.C. Rankn y F.A. Brogan, An eement ndependent corotatona procedure for the treatment of arge rotaton, ASME J. Pressure Vesse Technoogy, Vo. 8, pp , ( C.A. Feppa y B. Haugen, A unfed formuaton of sma-stran corotatona fnte eements: I. Theory, Comput. Methods App. Mech. Engrg., Vo. 8, pp. 3 5, (5. 4 J. Argyrs, An excurson nto arge rotatons, Comput. Methods App. Mech. Engrg., Vo. 3, pp , (98. 5 C.C. Rankn y B. Nour-Omd, The use of projectors to mprove fnte eement performance, Computers and Structures, Vo. 3, pp , ( M.A. Crsfed, A consstent corotatona formuaton for nonnear three-dmensona beam eements, Comput. Methods App. Mech. Engrg., Vo. 8, pp. 3 5, (99. 7 J.M. Pajot y K. Maute, Anaytca senstvty anayss of geometrcay nonnear structures based on the co-rotatona fnte eement method, Fnte Eements n Anayss and Desgn, Vo. 4, pp. 9-93, (6. 8 B. Nour-Omd y C.C. Rankn, Fnte rotaton anayss and consstent nearzatons usng projectors, Comput. Methods App. Mech. Engrg., Vo. 93, pp , (99. 9 B. Skaerud y B. Haugen, Coapse of thn she structures-stress resutant pastcty modeng wthn a co-rotated ANDES fnte eement formuaton, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vo. 46, pp , (999. N. Stander y E. Sten, An energy-conservng panar fnte beam eement for dynamcs of fexbe mechansms, Engneerng Computatons, Vo. 3, N 6, pp. 6 85, (996. H.G. Zhong y M.A. Crsfed, An energy-conservng co-rotatona procedure for the dynamcs of she structures, Engneerng Computatons, Vo. 5, N 5, pp , (998. J. Saomon, A.A. Wess y B.I. Wohmuth, Energy conservng agorthms for a co-rotatona formuaton, SIAM J. Num. Ana., Vo. 46, pp , (8. 3 H.B. Harrson, Computer methods n structura anayss, Prentce Ha, ( C.A. Feppa, Nonnear fnte eement methods, ecture notes for the course nonnear fnte eement methods, Center for Aerospace Structures, Unversty of Coorado, Bouder/USA, (.