Elasticidade aplicada à Infraestrutura de Transportes

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1 SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO Pó-gradação em Engenhara de Tranporte Eatcdade apcada à Infraetrtra de Tranporte CAP MONIZ DE ARAGÃO DEFORMAÇÕES: Campo de deocamento; Componente de deformação; Reaçõe deformação-deocamento; Deformação near epecífca nma dreção qaqer; Deformaçõe Prncpa. Referênca bbográfca: Introdção à Teora da Eatcdade, Vaça, S. F., Taborda Garca, L. F., COPPE/UFRJ, 4ª Ed., 000. Theor of Eatct, Tmohenko, S. P., Gooder, J.N., McGraw- H Cac Tetbook Ree Sere, 3 rd Ed., 970.

2 Deformaçõe: Campo de deocamento Soctaçõe eterna atando em m corpo deformáve: Mdança de forma e dmenõe Confgração nca ndeformada Confgração fna deformada

3 Deformaçõe: Campo de deocamento Um ponto A do corpo, qe na confgração nca tem a coordenada,,, ofre m deocamento, e paa para a poção A*. (,, )wv,, vw,,,, ( ( v) ) ( w) A coordenada A* ão então dada por, v, w, e o CAMPO DE DESLOCAMENTOS determnado pea fnçõe, v, w.

4 Deformaçõe: Campo de deocamento Obervaçõe: Tendo em vta a contndade do ódo no proceo de deformação, a fnçõe ecaare, v, w devem er contína e nívoca. O campo de deocamento pode er decompoto em da parcea: Movmento de corpo rígdo (tranação do ponto) Deocamento com mdança de forma e dmenõe do corpo (aongamento, encrtamento) O movmento do corpo rígdo pode er empre emnado medante a ntrodção adeqada de vínco. E: Deocamento com mdança de dmenõe Movmento de Corpo rígdo F

5 Componente de Deformação Deformação (tran) Deformação near epecífca Aongamento reatvo Deformação no ponto A e na dreção : Reação entre o aongamento ofrdo peo egmento eementar e o e comprmento nca, ao paar da confgração nca para a deformada. * * * A B AB d d * d d AB d ( )

6 Componente de Deformação t Dtorção Deformação angar (hearng tran) Dtorção no ponto A aocada à dreçõe, t : t π C * ˆ* A B * Redção do ângo orgnaramente reto entre AB e BC.

7 Componente de Deformação O etado de deformação em m ponto A fca competamente determnado e forem conhecda a componente de deformação (near e angar) em trê dreçõe ortogona. Referndo-e ao tema carteano goba, tem-e a egnte componente de deformação:,,,,, De forma anáoga ao etado de tenõe, conhecda ea componente é poíve cacar a deformação near nma dreção qaqer, o a deformação angar aocada a m par de dreçõe ortogona qaqer no ponto A.

8 Componente de Deformação A deformação em todo o corpo fca determnada conhecendo-e o campo de deformaçõe, o ea, a componente de deformação como fnçõe de poção: (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, )

9 Deformaçõe: notação ndca Na notação ndca pode-e defnr a poção do ponto apó a deformação como: ξ ξ (, ), 3 3,ξ 3 ξ 3 A* o nveramente por: ( ξ, ξ, ) ξ3 3 A ξ,ξ ξ,ξ ξ Coordenada Eerana Coordenada Lagrangana

10 Deformaçõe: notação ndca Como a coordenada Eerana,, 3 ξ, a dferenca tota ão: podem er ecrta em fnção de d ξ ξ ξ ξ d d d ξ d ( ξ, ξ, ) Anaogamente, faendo-e:, obtém-e: ξ3 d ξ dξ

11 Deformaçõe: notação ndca O comprmento d do egmento AB fca então: 3 d d d d d d Na confgração deformada, temo anaogamente: d * 3 dξ dξ dξ dξ d ξ d * ξ ξ k d d k

12 Deformaçõe: notação ndca Qantfcando-e a varação de comprmento do egmento atravé da dferença entre o qadrado do egmento, apó e ante da deformação, tem-e: d * d d * d ξ ξ d k d k d {{ d δd δkdk 443 ξ ξ δ k d k δ k d d d k k [Eq. ] ξ ξ k δ k éo TENSOR DEFORMAÇÃO DE GREEN, epreo em fnção da coordenada Lagrangana

13 Reaçõe Deformação Deocamento ξ Denomnando-e de a componente do deocamento de m ponto A, tem-e a egnte reação entre a coordenada: ξ,ξ A ξ A* eprmndo também o deocamento em fnção da coordenada Lagrangeana, pode-e obter:,ξ (, ), 3 ξ { ξ [Eq. ]

14 Reaçõe Deformação Deocamento Sbttndo-e a Eq. na Eq., obtém-e a epreão do Tenor de Green em fnção do deocamento: k k k k δ δ δ k k k k k k k k k k δ δ δ δ δ

15 Reaçõe Deformação Deocamento Smpfcação para peqena mdança de confgração Conderando a cae de probema em qe a dervada do deocamento em reação à coordenada ão mto peqena em reação à ndade: k k <<, << ξ o termo qadrátco na eqação do tenor deformação e tornam de ordem nferor em reação ao neare, podendo er depreado. Aém do, paa a er rreevante qe a dervada do deocamento eam cacada para m certo ponto na a poção nca o fna, não endo neceáro portanto e dtngr entre coordenada Lagrangeana e Eerana na epreõe da componente da deformação. Tem-e am: ( ),,

16 Reaçõe Deformação Deocamento Lneare Na notação agébrca a:...,,...,,,,,,,,,, 3 3 w v w v w v w v é o aongamento reatvo da proeção em de m egmento eementar orgnamente na dreção. é o aongamento reatvo de m egmento eementar na dreção.

17 Reaçõe Deformação Deocamento (coordenada carteana) Seam (A*), (B*), (C*) a proeçõe de A*, B*, C* no pano. Logo: O deocamento (de prmera ordem) na dreção do ponto B é ga a: d devdo ao amento de d da fnção com o amento da coordenada

18 Reaçõe Deformação - Deocamento Seam (A*), (B*), (C*) a proeçõe de A*, B*, C* no pano. Logo: * * d d co ( A )( B ) φ v * * d v d v co π φ ψ enφ enψ ( A )( C ) ψ * * * ( C )( Â )( B ) v d ( A * )( B * ) d ( A * )( C * )

19 Reaçõe Deformação - Deocamento Hpótee de peqena mdança de confgração; Componente de deformação conderada mto peqena em preença da ndade; * * * * ( A )( B ) A B d( ) * * * * ( A )( C ) A C d( ) π * * * π * * * ( C )( Â )( B ) C Â B enφ φ; coφ enψ ψ; coψ

20 Reaçõe Deformação - Deocamento Reecrevendo-e a eqaçõe, tem-e: ( * )( * d d A B ) coφ d( ) v d v d v ( * )( * A C ) coψ v d( ) v π φ ψ φ enφ ψ enψ * * * ( C )( Â )( B ) φ ψ v d v d v * * ( A )( B ) d( ) d d * * ( A )( C ) d( ) v Com a proeçõe no otro do pano carteano, ão obtda a dema epreõe da reaçõe deformaçãodeocamento.

21 Deformação near nma dreção qaqer Na fgra abao, m egmento eementar PQ de comprmento d e dreção é repreentado na a confgração nca. co-eno dretore: d d d m d d n d

22 Deformação near nma dreção qaqer Apó a deformação o egmento paa para a poção P*Q* de comprmento d*. A proeçõe do deocamento p e q obre a dreção ão dada por: r ( ) vm wn P P ( ) ( ) d Q P d d co-eno dretore: d d d m d d n d

23 Deformação near nma dreção qaqer Conderando-e a hpótee de peqena mdança de confgração: d d d d d d d d * d d Deenvovendo a dervada drecona da fnção na dreção...

24 Deformação near nma dreção qaqer Obtém-e fnamente: m n m n A epreão no dá a deformação near em torno de m ponto em ma dreção qaqer (defnda peo e co-eno dretore) em fnção da deformaçõe neare egndo o eo coordenado e da dtorçõe no pano coordenado. Vê-e am qe a deformaçõe egndo trê eo coordenado ão fcente para defnr o etado de deformação em torno de m ponto qaqer (am como na tenõe). mn Na notação ndca temo:

25 Deformação near nma dreção qaqer { } n m ( ) ( ) ( ) d d n d d m d d, co, co, co co-eno dretore: n m n m n m T T

26 Deformação near nma dreção qaqer Anaogamente, pode-e demontrar qe a dtorção entre da dreçõe e t pode er coocada como: t t mmt nnt ( mt m t ) ( n n ) ( m n n m ) t t t t Na notação ndca temo: t t

27 Deformaçõe Prncpa Pode-e motrar pea anáe da epreõe anterore de deformação near e dtorção egndo dreçõe arbtrára, o pea propredade do Tenore, qe o Tenor deformação egndo trê nova coordenada,, pode er coocado como: '' '' '' '' '' '' '' '' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

28 Deformaçõe Prncpa Ta como na anáe de tenõe, pode-e conderar por hpótee qe nm ponto de m ódo em etado de deformação etem trê dreçõe ortogona (prncpa) em reação à qa a dtorção é na. A deformaçõe neare em ta dreçõe ão a deformaçõe prncpa:, 3, ( ) 3 Pea propredade do tenore, a trê dreçõe prncpa (ortogona) correpondem à repreentação do tenor deformação egndo ma matr dagona. Logo, a raíe da eqação caracterítca do tenor de deformaçõe correpondem à deformaçõe prncpa, e e coefcente ão denomnado de nvarante do etado de deformação.

29 Deformaçõe Prncpa { } n m e Sea a dreção e ma dreção onde há apena deformaçõe neare, em dtorçõe: ', ', ', ', ', ', ', ', ', e e e ', ', ', ', ', ', ', ', ', ( ) 0 R e I

30 Deformaçõe Prncpa ( ) 0 e I det 0 e e e 0 J J J 3 e e 3 e 3 J 3 3 J 3 3 J

31 Deformaçõe Prncpa: ódo otrópco Tenõe Prncpa, Deformaçõe prncpa, Dreçõe Prncpa

32 Deformaçõe Prncpa: ódo otrópco Tenõe Prncpa, Deformaçõe prncpa, Dreçõe Prncpa

33 Deformaçõe Prncpa: ódo otrópco Tenõe Prncpa, Deformaçõe prncpa, Dreçõe Prncpa

34 Deformaçõe Prncpa: ódo otrópco Tenõe Prncpa, Deformaçõe prncpa, Dreçõe Prncpa

35 Roeta de Deformaçõe ( ) OB

36 Compatbdade de Deformaçõe w v w v w v 3 3 v 3 3 v 0 é preco garantr a ntegrabdade da reaçõe deformaçõe-deocamento; obtenção de m campo de deocamento cnematcamente admíve, repreentado por fnçõe contína e nívoca; preervação do meo ódo no proceo.

37 Compatbdade de Deformaçõe Eqaçõe de compatbdade:

38 Bbografa Compementar Propredade do Tenore: Redd, J.N., Energ Prncpe and Varaton Method n Apped Mechanc, John We & Son, nd Ed., 00 (Capíto.3) Deformaçõe na notação ndca: Taborda, L. F., Eatcdade Não-near Círco de Mohr Beer Johnton, Retênca do Matera Re, Mecânca do Matera