6 Modelagem do manipulador

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1 Modelage do anpulador Nete apítulo, preraente a neáta do anpulador é etudada. neáta dreta do anpulador é apreentada e, e eguda, a neáta nvera é alulada. pó onlur o etudo neáto do anpulador, é apreentada ua odelage dnâa. Neta anále, o torque que atua obre o anpulador, e ua plaçõe no ovento, ão analado... Cneáta dreta Na realação de qualquer tarefa, a loalação da etredade do anpulador e relação à ua bae deve er onheda [9]. Na neáta dreta, a varáve da junta ão auda oo onheda, e o problea e reue e enontrar a poção e orentação da etredade do anpulador. Fgura otra u dagraa equeáto do anpulador ontruído para eta dertação, nlundo o tea de oordenada e ada elo egundo a onvenção de Denavt-Hartenberg [9].

2 Fgura Dagraa do eo oordenado Uando o tea de oordenada etabeledo na Fgura, a Tabela apreenta o parâetro de Denavt-Hartenberg (DH) de ada elo do anpulador. Tabela Parâetro de DH Elo a d α a, 9º a, 9º d, 9º 9º d, onde: a oprento da noral ou entre o eo da junta e da junta ; d dtâna entre a orge do tea e a noral ou; α ângulo entre o eo e o eo, na dreção de ;

3 ângulo entre o eo e o eo, eddo na dreção de. partr deta tabela, pode-e ubttur o valore do parâetro de DH para erever a atre hoogênea de tranforação, que relaona a tranlaçõe e rotaçõe entre o tea de oordenada: a a (.) a a (.) (.) l (.) d (.) d (.) onde defne-e ( ) o, ( ) en, ( ) j j o e ( ) j j en. neáta dreta dete anpulador pode er obtda atravé da ultplação deta atre [] para obter a atr hoogênea que relaona o tea da etredade o o da bae (.7)

4 7 loalação da etredade do anpulador pode er etraída da quarta oluna da atr onde o eleento de tranforação hoogênea [9]: q, u v q u v q (.8) u v q q e q defne a poção da etredade e relação ao tea da bae. orentação da etredade pode er obtda atravé do oeno dretore do tea de oordenada da etredade, alulado a partr do vetore untáro u, v e na dreçõe de,, e, repetvaente, vde eq. (.8). pó alular o produto da eq. (.7) e plfar a equaçõe uando algua dentdade trgonoétra, o eleento de ão obtdo: [ ( ) ] ( ) u (.9) [ ( ) ] ( ) u (.) ( ) u (.) [ ( ) ] ( ) v (.) [ ( ) ] ( ) v (.) v ( ) (.) ( ) (.) ( ) (.) (.7) [ a a d d ( )] d q (.8) q [ a a d d ( )] d (.9) q ( ) a (.) d d Co ee eleento alulado, a poção e orentação da etredade a partr do ângulo da junta ão obtda. Logo, a neáta dreta do anpulador é onheda. partr de algun eleento da neáta dreta, e utlando algua propredade geoétra do anpulador, a neáta nvera é alulada a egur.

5 8.. Cneáta nvera O problea da neáta nvera é deternar o valore da varáve da junta dada ua poção e orentação deejada da etredade []. Para u anpulador genéro, ete problea não pou olução analíta. Para o anpulador deenvolvdo, era neeáro reolver o tea de equaçõe (.9)- (.). No entanto, eta equaçõe ão não-lneare e oplea de reolver. Ua olução alternatva, utlando propredade geoétra dee anpulador epeífo, é a ple de er obtda, e apreentada a egur. Fgura otra oo o tea de oordenada da bae e do entro do punho e relaona. Obervando eta fgura, a poção do entro do punho (orge do tea de oordenada ) não depende do ângulo da últa trê junta. Io oorre porque o eo de rotação da últa trê junta e nterepta e u úno ponto., a olução da neáta nvera pode er dvdda e dua parte: obtenção da poção do entro do punho e obtenção da orentação da etredade. Fgura Poção do entro do punho

6 9 Na Fgura, o tea é o tea de oordenada da bae, o ponto P é o entro do punho e o ponto Q é a etredade do anpulador. poção do ponto P uando o tea de oordenada da etredade vale [ d ] T p QP (.) Ea ea poção no tea de oordenada da bae vale e no tea de oordenada da junta reulta e p q d p q d p (.) p q d [ d ] T p (.) Pode-e então alular p uando a atr de tranforação : onde é dada por p p (.) ( a a ) ( a a ) (.) a Multplando-e abo o lado de (.) pela nvera de ( ) p p e, ubttundo a eq.(.) (.) e (.), reulta e p p a a d, obté-e (.) (.7) p a (.8) d p p (.9) onde p, p e p ão dado pela eq. (.). partr da eq. (.9), ua epreão para e função de p e p pode er obtda p tan (.) p partr da eq. (.), é obervado que para ada olução *, ete (ateataente) outra olução * π. Ma, devdo a ltaçõe eâna no

7 7 anpulador, oente a prera olução é válda, a outra não pode er atngda e olão entre o elo. Elevando o do lado da eq. (.7) (.9) ao quadrado, e oando toda a equaçõe, obté-e onde κ κ κ (.) κ p p p a p ad a p a a d partr da eq. (.), a epreão para é obtda: κ en (.) κ undo que * ua olução, onde * π, onlu-e que π * tabé é olução. Fgura otra a dua pobldade de onfguração para a ea poção do ponto P, onheda popularente e outro anpuladore oo otovelo para a (upper elbo) ou otovelo para bao (loer elbo). Fgura Dua oluçõe da junta Devdo à poível olão do otor da junta o o dea elo, oente a olução de onde o otovelo fa para a é poível. E eguda, a eq. (.7) e (.8) ão epandda, obtendo-e µ (.) µ γ µ (.) µ γ

8 7 onde µ a d µ γ γ d p p a p partr da eq. (.) e (.) é obtda ua epreão para o eno do ângulo da junta,, e ua epreão para o eu oeno, : µ γ µ γ (.) µ µ µ γ µ γ (.) µ µ O valore de e ão uado para deternar por ( ) atan, (.7) onde a função atan(a, b) é defnda tal que n a e o b. partr da equaçõe apreentada, dua poíve oluçõe para a junta e dua para junta ão obtda, o que reulta e quatro poíve obnaçõe. Entretanto, devdo a ltaçõe eâna do anpulador anterorente enonada, apena ua olução da neáta nvera é poível de er alançada. Ua ve que e onhee a poção do entro do punho do anpulador e relação à ua bae, é neeáro álulo da orentação da etredade para obter a olução opleta da neáta nvera. Coo, e já fora alulado pela equaçõe anterore, a atr hoogênea é onheda. Eta atr atfa a relação relaonando o tea e (.8) Multplado abo o lado da eq. (.8) pela nvera de Coo o eleento de ( ), obté-e (.9) é gual ao oeno do ângulo da junta,, parte da ultplação do lado dreto da eq. (.9) pode er efetuada para alular

9 7 ete eleento, oo repreentado a egur, onde o eleento que não partpa da ultplação etão uprdo por : (.) partr deta ultplação atral, é poível obter ua epreão para : ( ) o (.) Coo o eleento de é gual a, ele pode er alulado a partr da eq. (.9), oo repreentado a egur: (.) partr deta ultplação atral, obté-e ua epreão para o oeno do ângulo da junta,, válda dede que : (.) atr pou o eleento gual a, portanto a partr da eq. (.9) pode-e erever (.) partr deta ultplação atral, obté-e ua epreão para, válda dede que : (.) partr do valore de e alulado, pode-e alular o valor de : ( ) atan, (.)

10 7 Coo o eleento de é gual a lado dreto da eq. (.9) reulta nete eleento: u u u e, a partr deta ultplação atral, obté-e :, parte da ultplação do (.7) u u u (.8) nalogaente, oo o eleento de é gual a, pode-e erever v v v (.9) E, a partr deta ultplação atral, obté-e : v v v (.) Fnalente, a partr do valore de e alulado, obté-e o valor do ângulo da junta da, : ( ) atan, (.) Devdo ltaçõe eâna da junta, eu epaço de trabalho etá opreenddo entre, aproadaente ± 9. Logo, quando, onlu-e que. Neta tuação ngular, a olução da eq. (.) para não pode er uada. Quando to oorre, apena a dferença entre e pode er oputada, porque o eo e e torna ondente. Ua ve onhedo o oportaento neáto do anpulador, pode-e dervar eu oportaento dnâo, oo derto a egur... Dnâa O deenvolvento do odelo dnâo do anpulador é portante para dvero fn. Prero, u odelo dnâo pode er uado para ular o

11 7 oportaento do anpulador obre vára ondçõe de operação. Segundo, pode er uado para deenvolver etratéga de ontrole a efente. Terero, a anále dnâa do anpulador perte alular toda a força e torque neeáro para egur trajetóra de nteree, e a poder denonar o eu elo, atuadore e ana [9]. equação de ovento para u anpulador eral genéro é derta por [8] onde: n j M q& V G Q para,,..., n. (.) j j V M n n j j q M q j q& jq& (.) G n j j g T J vj (.) Na eq. (.), a atr M é a atr de néra do anpulador, q é o vetor de oordenada generalada da junta, n é o núero de grau de lberdade, V é o vetor o tero aoado a força nera entrífuga e de Corol, torque devdo à força da gravdade atuando na junta, orrepondente a junta, G é o Q é a força generalada J vj é a j-éa oluna da atr Jaobana lnear do elo, j é a aa do elo j, e g é o vetor da aeleração gravtaonal. onde atr M pode er alulada a partr de M n T T ( J J v J I J ) v ω ω (.) J ω é a ub-atr Jaobana aoada à velodade angular do elo, J v é a ub-atr Jaobana aoada à velodade lnear do entro de aa do elo, e I é a atr de néra do elo e relação ao entro de aa, uando o tea de oordenada da bae [8]. projeto, ão aa de ada elo, obtda a partr do oftare CD utlado no, g (.) 7g, (.7)

12 7, 9g (.8), g (.9). g (.). 9g (.) e a atre de néra do elo, e relação a eu repetvo entro de gravdade e uando o tea de oordenada loa de ada junta, ão I,,78,, g.,77 (.),,78,, I,,8,,,,8,8,9, g. (.) I I,,,,9,8,8 g.,9 (.),8, g., (.) I,, g., (.) I,, g.,7 (.7) O vetore que dereve a poção do entro de gravdade do elo, uando o tea de oordenada loal do própro elo, ão,78 r,7,,8 r,78, (.8) (.9)

13 7,9 r,,, r,97, r,7, r,9 (.7) (.7) (.7) (.7) Coo ete anpulador pou apena junta rotatva, a atr alulada a partr de J j v J v pode er j p * (.7) j j onde p * é o vetor que defne a poção do entro de aa do elo, e relação à orge do elo j, erto no tea de oordenada da bae. Ete vetor pode er alulado uando a eq. (.8-.7) e a eq. (.-.). oluna j é defnda oo nula e j >, ua ve que a velodade do entro de aa de u elo de u anpulador eral não depende do ângulo da junta poterore a ele, entre e n. O álulo da força entrífuga e de Corol neeta da dervada para da atr de néra e relação à oordenada da junta. Devdo à quantdade de tero da atr de néra, aproaçõe nuéra da dervada ão alulada. aproaçõe da força entrífuga e de Corol ão alulada por onde q e q V M n n j j q M q j q& jq& (.7) ão nreento pequeno na oordenada da junta e, repetvaente. aproação da dervada o relação q é alulada a partr

14 77 da dferença entre a atr de néra alulada o q q e a atr orgnal, e ea dferença é dvda por M q j q. Eta dervada é etada por M j ( q q ) M ( q ) q j (.7) nalogaente, a dervada o relação a q é etada por M q j M j ( q q ) M ( q ) q j (.77) Dee odo, o etudo da dnâa do anpulador etá opleto. Co a neáta dreta e nvera alulada, o odelo do anpulador propoto etá onluído, e pode er ulado, oo derto no próo apítulo.