UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA

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1 UNVRSDAD D SÃO PAULO SOLA POLÉNA Departamento de ngenhara de trutura e Geotécnca URSO BÁSO D RSSÊNA DOS ARAS FASÍULO Nº Flexão reta H. Brtto.00

2 FLXÃO RA ) Quadro geral da flexão Uma barra etá ujeta a flexão quando há momento fletor atuante. Um panorama geral do problema da flexão é dado no quadro abaxo: F LXÃO FLXÃO SPLS (, V) (V 0 (V 0 excêntrca) Flexão pura) FLXÃO OPOSA (, V, N) tração ou compreão RA OBLÍQUA (FS.. R.) RA OBLÍQUA (F. S. O.) (F.. R.) (F.. O.) Nete facículo vamo etudar, numa prmera etapa, a flexão mple reta (F.S.R.), tendo como cao partcular, quando V 0, a flexão pura. m eguda acrecentaremo a força normal, abordando a flexão compota reta (F..R.), a qual, por ua vez, apreenta como cao partcular, quando V 0, a tração ou compreão excêntrca. No próxmo facículo etudaremo a flexão oblíqua. Algun lvro chamam a flexão reta de flexão normal e a flexão oblíqua de flexão devada. Na parte fnal há um anexo que conte numa ntrodução ao etudo da vga compota, ou eja, vga conttuída de do ou ma matera.

3 Parte Flexão mple reta ) Flexão Pura Na flexão pura o únco eforço olctante que atua na eção tranveral é o momento fletor. De acordo com a hpótee de Naver, a eçõe tranvera, que ão plana e perpendculare ao exo ante da deformação, contnuam, apó a deformação, plana e perpendculare ao exo encurvado, conforme a fgura -. Fgura - O exo da vga (exo x) e encurva, aumndo a forma de um arco de círculo, ma mantém o comprmento nalterado, ou eja, ele não e deforma. O exo da vga pertence à fbra neutra, que é a fbra para a qual z 0 (entende-e por fbra todo o ponto da vga que têm a mema ordenada z). Na fbra neutra, portanto, a tenão normal é nula. A fbra tuada abaxo do exo ( z > 0 ) e alongam e aquela acma do exo ( z < 0 ) encurtam. A fbra ma traconada é a de baxo e a ma comprmda a de cma. Depreza-e nete etudo a deformação da eção tranveral no eu própro plano, ou eja, upõe-e nulo o coefcente de Poon do materal (ν 0). A hpótee de eção plana gnfca que a deformaçõe longtudna ε da dvera fbra varam lnearmente ao longo da altura, valendo zero no exo, de acordo com a fgura - (que repreenta a vta lateral de um elemento da vga, ante e apó a deformação):

4 ε κ z Fgura A expreão ε κ z é conhecda como equação de compatbldade. No facículo 7, quando etudarmo a lnha elátca, veremo que o parâmetro κ repreenta a curvatura da vga (lnha elátca é a curva em que e tranforma o exo da vga, apó a deformação). A flexão é reta quando a nterecção do plano de ação do momento fletor (que é o plano onde a vga e deforma, ou eja, é o plano x-z) e o plano da eção tranveral concde com um do exo centra prncpa da eção, e oblíqua em cao contráro. omo o vetor momento é empre perpendcular ao repectvo plano de ação, reulta que, na flexão reta, o vetor momento é paralelo a um do exo centra prncpa da eção tranveral. ombnando a hpótee de Naver com a le de Hooke, reulta que a tenõe norma varam lnearmente ao longo da altura (fgura -), valendo zero na fbra neutra, o que e conhece como hpótee de Bernoull. A tenão normal na eção é dada pela fórmula fundamental da Retênca do atera: z endo y o momento de nérca da eção em relação ao exo horzontal Gy (a flexão e dá ao redor do exo Gy). demontração: De acordo com a fgura -, o exo Gz é de metra, e, portanto, central prncpal. le repreenta o traço do plano de ação do momento no plano da eção tranveral.

5 Fgura A hpótee de que cte. na fbra B B é báca: a tenão normal não vara com a abca y. ta hpótee, em a qual não extra a Retênca do atera, fo amplamente confrmada em enao de laboratóro e em mulaçõe numérca. hamam-e de t e t a dtânca (potva) da fbra ma afatada (uperor e nferor) da lnha neutra (LN), que é a lnha horzontal que contém o centróde. A tenõe norma extrema ão chamada de (na fbra uperor, máxma compreão) e (na fbra nferor, máxma tração). No tema de referênca adotado, o exo Gx é o exo da vga, não ndcado na fgura (é perpendcular ao papel e etá ando da fgura). O momento fletor é etatcamente equvalente à tenõe norma. le não exte, fcamente falando. O que exte, na realdade, ão a tenõe, e o materal rete (ou não) a ea tenõe. O momento fletor é um ente fctíco, ntermedáro entre o eforço externo e a tenõe, concebdo para facltar o dmenonamento (Prof. Déco de Zagott). Para demontrar a fórmula fundamental, ncalmente ntroduz-e a equação de compatbldade ( ε κ z ) na Le de Hooke: ε κ z A egur ntroduzmo a equvalênca etátca. m prmero lugar, fazendo gual a zero a reultante da tenõe, podemo confrmar que o exo y paa pelo centróde: da N 0 κ z da κ Q y 0 Q y 0 A A agora, gualando o momento fletor ao momento gerado pela tenõe, obtém-e a curvatura: 5

6 ( da) z κ z da κ A A κ am, fnalmente: κ z z c.q.d. ) ódulo de retênca Na lnha neutra (LN), como fo vto, a tenão vale zero: Sejam 0 z 0 (equação da lnha neutra) e a tenõe norma admíve à tração e à compreão, repectvamente (conderada potva). No problema de dmenonamento, a ntrodução da egurança leva à egunte condçõe (fgura -): t W W ( t ) W W No problema de verfcação deve-e comprovar que: W W Na expreõe acma, a grandeza W e t W t ão conhecda como módulo de retênca à flexão da eção tranveral. O módulo de retênca dependem apena da geometra, e ão meddo em m (no S..). O módulo de retênca têm um gnfcado fíco batante claro. Fxada uma tenão admível, ou eja, fxado o materal da vga, o momento máxmo a que a eção pode retr, 6

7 com egurança, é proporconal ao módulo de retênca correpondente, jutfcando am a denomnação. Obervação: Seçõe ma efcente e econômca (ma retente com a mema área) têm maor W, ou eja, maor quantdade de materal afatado da lnha neutra, po o momento de nérca aumenta ma rápdo do que a dtânca t ( W ). A fgura - motra dua eçõe de mema área t A a. ( ) Fgura A eção retangular tem um módulo de retênca gual ao trplo da eção quadrada: Seção quadrada: a a W a 6 a Seção retangular: ( a) a a W a Pela mema razão, quando a flexão pode ocorrer em qualquer dreção (pote, etaca, etc..), eçõe vazada ão ma retente que a chea de mema área. Na fgura -5 a dua eçõe têm a mema área ( A πr ), ma o módulo de retênca da eção vazada é maor que o da eção chea: acça: πr W R πr Vazada: π 5R R π R 9 W 5R π R 5 7

8 Fgura 5 ) ao geral de eção tranveral Na dedução que e fez da fórmula fundamental, upô-e que o exo vertcal era de metra. Quando não há nenhum exo de metra na eção (fgura -6), é preco que não apareça o momento parata (Prof. Vctor de Souza Lma): p ( da) 0 p y A antendo a hpótee anterore, vem: Fgura 6 y z da y z da 0 p yz A A condção que ó prevalece quando o momento centrífugo yz for gual a zero, ou eja, quando o tema de referenca for aquele formado pelo exo centra prncpa de nérca. Portanto, a fórmula fundamental ó vale nete tema epecal de exo. 0 8

9 5) Flexão Smple Reta Quando há uma força cortante V na eção, além do momento fletor, a hpótee de Naver não vale ma, to é, a eçõe empenam, dexando de er plana. A deformaçõe, no entanto, contnuam endo lneare, como motra a fgura -7. Am, a conderaçõe feta até aqu, relatva à tenõe norma no cao da flexão pura, não e alteram na flexão mple. m outra palavra: a preença da força cortante não altera a dtrbução da tenõe norma cauada pelo momento fletor. a a recíproca não vale: a extênca de um momento fletor faz com que a dtrbução da tenõe de calhamento na eção, devda à força cortante, eja varável, to é, τ ( V ), como erá vto no facículo 6. A 6) xemplo de aplcação Fgura 7 º exemplo) Defnr a eção tranveral da vga da fgura -8 para a forma de eção motrada. omparar o conumo de materal no dvero cao. (ão dada a tenõe admíve: 80 kgf / cm ) Fgura 8 9

10 Reolução: p L 8 ( 500) máx O módulo de retênca neceáro vale: 8.50 kgf cm πd πd a) W 90,65 d 5,85 cm 6 d a a b) W 90,65 a,8 cm a 6.50 W 80 90,65 cm c) ( b) b W b b 90,65 b 6,86 cm δb b bδ δb b 80 d) ( ) 7b 7b W 80 b 90 90,65 b 7, cm e) ( 0,8c) c 0,09c W 0,09c 0,098c c 90,65 c 5,8 cm omparação do conumo (por meo da área): a) b) c) d) πd A 97, cm A a A b 76, cm, cm b A bδ 58,65 cm 5 A c 0,8c 0,6c 90, cm e) ( ) Portanto, a eção ma econômca é a eção, do tem d), enquanto que a ma dpendoa é a eção crcular macça, reultado já eperado. 0

11 º exemplo) Para a tora de madera da fgura -9, de dâmetro D, qua o valore de B e H que reultam na vga ma retente? Fgura 9 BH BH B Reolução: W ( D B ) H dw 0 D B 0 db 6 6 BD B 6 B D D 6 H D B H Obervação: é poível também reolver ete problema uando multplcadore de Lagrange (problema de extremo condconado). º exemplo) Achar a altura raconal h da eção da fgura -0, para a relação: Fgura 0

12 Reolução: Altura raconal de uma eção, para um dado materal, é aquela altura para a qual a tenõe extrema concdem com a tenõe admíve do materal. Da condção da altura er a raconal reulta que: t t. A outra condção a er mpota é que o momento etátco da fgura eja nulo em relação ao exo horzontal y: t t Q y ( )( t ) + ( )( t ) + 8( )( t ) 0 ntroduzndo t t na expreão acma, obtém-e dua oluçõe poíve: t 9t t t,5 t t 9 h cm,5 h 6 cm * º exemplo) Achar a reultante F da tenõe de tração na regão hachurada A * da eção da fgura -. Fgura Reolução: ( 0) cm F * ( 600) * da z da Q y 5 A * A* kn 5º exemplo) Para a vga da fgura -, achar o valor mínmo neceáro para a dmenão a.

13 São dada a tenõe admíve do materal que compõe a vga: 5 kgf / cm e 75 kgf / cm. Deprezar o peo própro da vga. Fgura Reolução: A caracterítca geométrca da eção tranveral ão a egunte, em função da ncógnta a (verfcar o cálculo): t 5a, t 7a,. 960 a, 9 W a e W 80 a O dagrama de momento fletore pode er traçado, e o reultado e encontra na fgura -. A eçõe tranvera canddata à eção crítca ão a eção do apoo da dreta e a eção a meo vão. Vamo verfcar o que acontece na fbra uperor e nferor dea dua eçõe. Seção do apoo da dreta (. 000 kgf cm, tração em cma): W a ( ) 5 a, 5 cm W a ( ) 75 a 8, cm Seção do meo vão ( kgf cm, tração em baxo): W a ( ) 75 a 86, cm

14 W a ( ) 5 a cm Obervando o quatro reultado acma, vemo que a repota do problema é a cm, porque ete é o menor valor que atfaz multaneamente à quatro condçõe. Am, o ponto crítco da vga tua-e na fbra nferor da eção do meo vão. 6º exemplo) Dpõem-e de barra prmátca de madera, de eção retangular (8 x cm ), e comprmento gual a metro. om ela podem er montada pelo meno vga dferente, cuja eçõe tranvera etão motrada na fgura -. Pede-e o valor máxmo admível para a carga P, em cada cao. É dada a tenão normal admível da madera: 60 kgf / cm (tração ou compreão). Deprezar o peo própro da vga. Fgura Reolução: 00 P W P 05, W 60 ASO t (cm) (cm ) W (cm ) P máx (kgf) , , , omentáro obre o cao

15 omo há exo de metra, qualquer exo central é prncpal de nérca. O centróde da eção concde com o centróde do trângulo eqülátero tuado no núcleo da fgura. alcula-e o momento polar de cada peça (o qual é a oma do momento de nérca), e tranlada-e para o centróde geral, uando o teorema de Stener. ultplca-e o reultado por e tem-e o momento polar da eção compota. Dvde-e o momento polar da eção por e tem-e o momento de nérca. Para achar o módulo de retênca, lembrar que a fbra uperor é a ma olctada ( W < W, já que t > t ). 7) Braço de alavanca da tenõe (ete tem é opconal numa prmera letura) Seja, na fgura -, uma eção ujeta a um momento fletor. Fgura A reultante da tenõe de tração e compreão ão dada por: F F da zda Q A A da z da Q A A endo A a área traconada da eção (abaxo da LN) e A a área comprmda (acma da LN). omo a relação entre o repectvo momento etátco é: Q Q Q, egue-e que: F F F Q 5

16 Por outro lado, gualando o momento, obtêm-e: F F d d Fd Fd z( da) z da A A z( da) z da A A Somando a dua expreõe acma, membro a membro, obtém-e: F ( d + d ) ( + ) ou F d ambém e pode ecrever, conderando que F Q : d d F d d F d Q Q + + d Q d Q O braço de alavanca d é uma grandeza que depende apena da geometra da eção tranveral. É deejável que a eção tenha o maor braço de alavanca poível, po o e traduz em efcênca no combate a momento fletore. xemplo de lutração: onderando-e um trângulo ócele de bae b 6 cm e altura h 8 cm, pode-e ecrever: 6( 8) 0.59 cm, Q ( )( ).096 cm 6 d 7 cm Q O cálculo também levam a (verfcar): d 6 cm e d cm Q Q 6

17 Parte Flexão compota reta 8) Flexão ompota Reta Quando há, além do momento fletor, uma força normal (de tração ou compreão), podemo ecrever, pelo Prncípo da Superpoção do feto: N + A z A preença da força normal faz com que a lnha neutra (LN) ofra uma tranlação para cma ou para baxo, conforme a natureza da força normal. A equação da lnha neutra dexa de er z 0 e paa a er ecrta como ( 0 ): z N A A ntrodução da egurança e faz pela expreõe: N N + t + + ( t ) A A W A A W N N ao partcular Quando o momento fletor é contante ao longo da barra, a força cortante vale zero. Nete cao, a flexão compota reta paa a e chamar tração ou compreão excêntrca, conforme o nal da força normal (fgura -5). A dtânca do ponto de aplcação da força normal até o centróde e chama excentrcdade ( e ). omo a flexão é reta (e não oblíqua), a excentrcdade é paralela a um do exo centra prncpa de nérca. 7

18 Fgura 5 º exemplo) O materal da vga da fgura -6 tem a egunte tenõe norma admíve: 0 e 00 kgf / cm. A força P etá aplcada obre o exo de metra da eção, abaxo do centróde. Pedem-e: a) valor máxmo poível da excentrcdade e b) valor da força P (para e calculado no tem anteror) que permte aplcar a maor carga q. Qual é ete maor valor de q? Fgura 6 8

19 Reolução: om a notação da fgura -, temo, apó algun cálculo (o etudante deve verfcar a exatdão dete reultado): t cm, t 5 cm, Seção do apoo: A 60 cm, 5.90 cm ( e) ( 5) 0 P P + e 9,8 cm ( 9,8 ) ( ) 00 P P + P kgf Seção a meo vão: q 0 + ( 5) q 5,9 kgf / cm q 00 + ( ) q 7,8 kgf / cm (repota) º exemplo) A eção da fgura -7 etá ujeta a uma tração excêntrca. Achar o valor da dtânca x para que a lnha neutra (LN) fque na poção ndcada. Fgura 7 9

20 Reolução: com a notação da fgura -, temo, apó fazer algun cálculo: t 50 cm, t 0 cm, A 8.00 cm, cm Para a lnha neutra podemo ecrever: P P e + ( 65) e 0 cm x 0 cm Oberve-e que o reultado não depende do valor da carga P. 0

21 ANXO Vga compota Vga compota ão vga conttuída por do ou ma matera. te anexo conte numa ntrodução ao etudo da vga compota ujeta à flexão mple reta. omo exemplo de aplcação na engenhara aeronáutca, temo a chamada vga-anduíche, que ão formada por dua placa metálca atuando como mea de tração e compreão, eparada entre por um materal leve de enchmento. São elemento etrutura de boa retênca e rgdez, e de baxímo peo, como convém na avação. Na engenhara cvl temo a chamada vga mta de concreto e aço, uada na contrução de ponte. Na fgura -8 apreentamo, como exemplo numérco, a eção de uma vga compota por do matera () e (), e ujeta a um momento fletor kgf cm. O módulo de elatcdade valem: / cm kgf e / cm kgf. Fgura 8 Na vga compota veremo que o exo horzontal y, que defne a lnha neutra ( 0), já não paa ma pelo centróde da eção. ntretanto, a hpótee de Naver contnua valendo, to é: a eçõe e mantém plana, e a deformaçõe ão dada pela equação de compatbldade: ε κ z onde κ é a curvatura da vga. ntroduzndo a compatbldade na Le de Hooke, para ambo o matera, obtemo:

22 ε κ z ε κ z omo não há força normal, a reultante da tenõe deve er nula: da + da A 0 A z da + z da 0 ou ( Q y ) + ( Q y ) 0 A A A equação acma no permte achar a poção do exo horzontal y. la quer dzer que a oma do momento etátco da dvera regõe, ponderado pelo correpondente módulo de elatcdade, vale zero. endo a poção do exo horzontal, podemo gualar o momento em relação a ele, obtendo a curvatura da vga na eção em etudo: ( da) + z ( da) z κ z da + κ z da A A A A κ + A curvatura κ governa a deformaçõe da vga. la é, como veremo, fundamental na determnação da equação da lnha elátca (facículo 7). Fnalmente, a tenõe fcam: κ z z + κ z z + O proceo de cálculo e etende naturalmente quando há ou ma matera. Quando a vga é conttuída por apena um materal, a expreõe acma mplfcam-e e e tranformam naquela já conhecda ( ): z da 0, A κ, z xemplo de aplcação

23 Voltando à eção da fgura -8, devemo, em prmero lugar, achar a poção do exo horzontal y, por meo da egunte condção: ( Q ) + ( Q ) 0 y y A área ão A 6 ( 60) 960 e A 6 ( ) 8 cm fgura -8, a dtânca d é calculada como: ( 960) ( d 5) ( 8) ( d ) 0 cm. Portanto, de acordo com a d 6 cm O am chamado produto de rgdez equvalente fca: ( 60) ( ) ( 8) kgf cm, ( ) A tenõe ão dada, em função da ordenada z, por: ( ) z z (materal ) + z 5 z (materal ) + No ponto A : ( ) 58 7 kgf / cm No ponto B: ( ) 6 kgf / cm ( ) 0 kgf 5 / cm No ponto : 5 ( 6) 90 kgf / cm No ponto B, nterface de eparação entre o do matera, há uma decontnudade no dagrama de tenõe, apear da deformaçõe erem contínua. Obervação: xte um proceo de cálculo alternatvo, o qual pode er deduzdo da expreõe acma, que utlza a chamada eção homogenezada, to é, a eção modfcada conttuída de apena um materal, que pode er, no cao do exemplo, o materal () ou o materal (). A egur faremo uma rápda expoção dee método.

24 étodo da eção homogenezada Na eção da fgura -8, ecolhe-e qualquer um do do matera para homogenezar a eção. Vamo eleger, por exemplo, o materal (). alcula-e então o egunte coefcente: n A condção uada para determnar o exo horzontal fca: ( Q ) + ( Q ) 0 ( ) n ( Q ) 0 y y e a tenõe paam a er dada por: Q y y + (a) z z + n (b) + z n z + n (c) + O exame da expreõe (a), (b) e (c) ugere que a eção homogenezada eja formada pela regão conttuída pelo materal () acrecentada à regão formada pelo materal (), tendo eta últma multplcada a ua dmenõe horzonta pelo fator n. Determnam-e a caracterítca geométrca da eção homogenezada, bem como a tenõe, como e fara normalmente no cao de um materal únco. Fnalmente, a tenõe na eção real erão, na regão (), a mema da eção homogenezada, e, na regão (), a da eção homogenezada multplcada pelo fator n. Na fgura -9 motra-e a eção homogenezada com bae no materal ().

25 Fgura 9 O fator n vale: n e a caracterítca geométrca da eção homogenezada ão : t 6 cm, t 58 cm, cm + notemo que + n enõe na eção homogênea: No ponto A: ( 58) ( 58) 7 kgf / cm No ponto B: ( ) ( ) 6 kgf / cm No ponto : ( 6) ( 6) 78 kgf cm / 5

26 enõe na eção real: No ponto A : No ponto B: 7 kgf / cm 6 kgf / cm 0 kgf / cm No ponto : 90 kgf / cm étodo da eção homogenezada Generalzação Quando há váro matera dferente, podemo generalzar o método da eção homogenezada. Prmero ecolhe-e um qualquer do matera para compor a eção homogenezada (o materal ecolhdo é chamado de materal bae). A eção homogenezada é então obtda da eção orgnal multplcando-e, para cada materal ( ), a dmenõe horzonta pelo índce: n bae m eguda determnam-e a caracterítca geométrca da eção homogenezada (poção do centróde e momento de nérca). A poção do centróde erá empre a mema, ndependentemente do materal ecolhdo como bae. O momento de nérca da eção homogenezada erá chamado de momento de nérca equvalente ( eq ), e é gual ao produto de rgdez equvalente dvddo pelo módulo de elatcdade do materal bae: eq ( ) bae eq + + L + +L bae Fnalmente, a tenõe na eção orgnal erão dada, para o materal ( ), na fbra de ordenada z, pela expreão: eq bae z 6