ser modeladas como redes lineares de dois acessos (figura 4.1);

Transcrição

1 4 Repota em emfrequênca Funçõe de de Tranferênca n A rede de nteree, para o etudo deenvolvdo na dcplna, podem er modelada como rede lneare de do aceo fgura 4.; V V o T Fgura 4. Rede lnear de do aceo. na Função de Tranfênca, T, de uma rede é a razão entre a tenão de aída, V o, e a tenão de entrada, V. VO T V Octávo Pácoa Da 8

2 Funçõe de de Tranferênca n Uma vez obtda a função de tranfênca, T, a anále do comportamento da rede para a frequênca fíca é feta com bae na ubttução de por w. A função de tranferênca, Tw, que reulta daquela ubttução, é em geral uma quantdade complexa, cua ampltude, Tw, é a ampltude da repota, ou tranmão, e o ângulo, a, é a fae Fw, da repota da rede. Em geral, para a rede de nteree para o preente etudo, a função de tranferênca pode er exprea como a razão entre do polnómo, N T to é, D T a + a m m m n n + bn m a b Octávo Pácoa Da 82

3 Funçõe de de Tranferênca n O grau, m, do polnómo numerador, N é menor do que o grau, n, do polnómo denomnador, D; n O coefcente de N e D ão número rea; n O grau, n, do polnómo denomnador, D, repreenta a ordem da rede. n Numa rede etável, to é, uma rede que não gera na por própra, o pólo têm a parte real negatva. n Por ntermédo da factorzação do polnómo, N e D, a função de tranferênca, T, podeer exprea por, T a m z z 2 p p 2... z m... p n Octávo Pácoa Da 83

4 Funçõe de de Tranferênca cont. onde, n a m é uma contante multplcatva; n z, z 2,...,z m, ão o zero da função de tranferênca ou zero de tranmão; n p, p 2,...,p n, ão o pólo da função de tranferênca ou modo natura; n A função de tranferênca fca completamente epecfcada por ntermédo do conhecmento do valor da contante multplcatva, e da localzação do eu pólo e zero; n um zero magnáro puro produz um zero de tranmão em ww Z n zero rea não produzem tranmão nula; n para f, a função de tranferênca pode er aproxmada por, am T nm e am, T tem n-m zero no. Octávo Pácoa Da 84

5 Funçõe de de Tranferênca cont. n A expreão geral da função de tranferênca da rede de ª ordem tem a forma, a + a T + que para o tpo LP, e exprea por, T a + e para o tpo HP, pode er repreentada por, T a + Octávo Pácoa Da 85

6 Octávo Pácoa Da 86 Dagrama de Bode Dagrama de Bode n Tendo em conta que, no domíno função de tranferênca de uma rede pode er repreentada pela expreão, n m p z K D N T a qual, para a frequênca fíca, w, toma a forma, n m p z K T

7 Octávo Pácoa Da 87 Re Im Re Im n m p p tg z z tg Φ Re Im T T tg Φ + n m p z k G log 2 log 2 log 2 log 2 T G e defnndo ganho da rede, em db, por ntermédo da expreão, obtém-e, e da expreão da fae da rede, Dagrama de Bode Dagrama de Bode pode am, conclur-e que, com, m n p z K T

8 Dagrama de de Bode Bode cont. O cálculo exacto da ampltude e da fae por ntermédo deta expreõe, revela-e um proceo muto trabalhoo, que para a maora do cao pode er evtado atravé da utlzação do eu cálculo aproxmado com bae no Dagrama de Bode. O Dagrama de Bode conttuem uma técnca mple para eboçar o comportamento aproxmado da ampltude e da fae de uma rede, cua nformação e encontra contda na ua função de tranferênca T. O método fo deenvolvdo por H. Bode, endo partcularmente útl para o cao em que o zero e o pólo ão rea. Na forma factorzada o polnómo do númerador, N, e do denomnador, D, da função de tranferênca, T, da rede, podem er contruído com bae no termo, a um termo contante k; b o factor ; c o factor +a. Octávo Pácoa Da 88

9 Dagrama de de Bode Bode cont. Tendo em conta que, m G 2 log k + 2 log z 2 log n p e que, Φ m tg Im Re z z n tg Im Re p p o problema de traçar o gráfco aproxmado para a ampltude de, T, to é, o Dagrama de Bode para a ampltude e fae, reduz-e ao etudo da contrbução, para aquele omatóro, do termo elementare que formam a função de tranferênca. Octávo Pácoa Da 89

10 Dagrama de de Bode Bode cont. a o termo contante, k A anále da contrbução dete factor é feta da mema forma, quer ele faça parte do númerador ou do denomnador da função tranferênca T, uma vez que, e o termo contante fgurar no denomnador, pode faclmente er tranferdo para o númerador. a ampltude de 2 log k é potva e k > fgura 4.2; a ampltude de 2 log k é negatva e k < fgura 4.3; a fae de k é º e k> fgura 4.4; a fae de k é 8º e k< fgura 4.5. Octávo Pácoa Da 9

11 Dagrama de de Bode Bode cont. G [db] G [db] k > k < 2 log k [ rad / ] [ rad / ] 2 log k Fgura 4.2 Contrbução de k > para a ampltude de T. Fgura 4.3 Contrbução de k < para a ampltude de T. Octávo Pácoa Da 9

12 Dagrama de de Bode Bode cont. Φ [º] Φ [º ] k < k > [ rad / ] [ rad / ] Fgura 4.4 Contrbução de k para a fae de T. 8 Fgura 4.5 Contrbução de k < para a fae de T. Octávo Pácoa Da 92

13 Dagrama de de Bode Bode cont. b o factor,, como pólo comportamento do módulo fgura 4.6 T ; T ; T T 2 log 2 log db comportamento da fae fgura 4.7 Φ tg ImT ReT tg Φ Φ tg Φ 9º Octávo Pácoa Da 93

14 Dagrama de de Bode Bode cont. 2log, 2 2 2log 2 G [db] T m 2dB / década 6 Φ [º ] db / otava m 2dB / década [ rad / ], [ rad / ] 9 Fgura 4.6 Contrbução de, como pólo, para a ampltude de T. Fgura 4.7 Contrbução de, como pólo, para a fae de T. Octávo Pácoa Da 94

15 Dagrama de de Bode Bode cont. b 2 o factor,, como zero comportamento do módulo fgura 4.8 comportamento da fae fgura 4.9 T ; T Φ tg ImT ReT T 2 log 2 log db Φ tg Φ tg + Φ + 9º Octávo Pácoa Da 95

16 Dagrama de de Bode Bode cont. 2 log, 2 2 2log 2 T m 2dB / década 6 db / otava G [db] Φ [º ], [ rad / ] 9 m 2dB / década [ rad / ] Fgura 4.8 Contrbução de, como zero, para a ampltude de T. Fgura 4.9 Contrbução de, como zero, para a fae de T. Octávo Pácoa Da 96

17 Dagrama de de Bode Bode cont. c o factor, +a, como pólo Se o factor, +a, é um pólo então, T ; T + a comportamento do módulo fgura 4. + a w << a T a T 2 log a db a db w >> a T T 2 log db db Octávo Pácoa Da 97

18 Dagrama de de Bode Bode cont. G [db] 2log a m 2dB / década,a a [ rad / ] Fgura 4. Contrbução de +a, como pólo, para a ampltude de T. Octávo Pácoa Da 98

19 Dagrama de de Bode Bode cont. comportamento da fae fgura 4. ImT Φ tg ReT w << a w >> a T Φ tg a a T tg Φ Φ tg Φ º Φ tg Φ 9º Octávo Pácoa Da 99

20 Dagrama de de Bode Bode cont. Φ [º],a a a [ rad / ] 45 9 Fgura 4. Contrbução de +a, como pólo, para a fae de T. Octávo Pácoa Da

21 Dagrama de de Bode Bode cont. c 2 o factor, +a, como zero Se o factor +a for um zero então, T + a; T + a comportamento do módulo fgura 4.2 w << a w >> a T a T T α db db 2 log a T 2 log db db Octávo Pácoa Da

22 Dagrama de de Bode Bode cont. G [db] m 2dB / década 2 log a,a a [ rad / ] Fgura 4.2 Contrbução de +a, como zero, para a ampltude de T. Octávo Pácoa Da 2

23 Dagrama de de Bode Bode cont. comportamento da fae fgura 4.3 ImT Φ tg ReT w << a w >> a T a T tg Φ a Φ tg Φ tg Φ º Φ tg + Φ 9º Octávo Pácoa Da 3

24 Dagrama de de Bode Bode cont. Φ [º] 9 45 m 45º / década, a a a [ rad / ] Fgura 4.3 Contrbução de +a, como zero, para a fae de T. Octávo Pácoa Da 4

25 Dagrama de de Bode Bode cont. nfluênca no módulo reumo pólo ntroduz uma redução do ganho com um declve de -2 db/década; zero ntroduz um aumento do ganho com um declve de + 2 db/década; pólo duplo ntroduzem um declve no ganho de - 4 db/década; zero duplo ntroduzem um declve no ganho de + 4 db/década. nfluênca na fae reumo pólo ntroduz um devo na fae com um declve de - 45º/década até ao máxmo de -9º com níco em,w e fm em w ; zero ntroduz um devo na fae com um declve de + 45º/década até ao máxmo de +9º com níco em,w e fm em w ; pólo duplo ntroduzem um declve no devo da fae de - 9º/década até ao máxmo de -8º com níco em,w e fm em w ; zero duplo ntroduzem um declve no devo da fae de + 9º/década até ao máxmo de +8º com níco em,w e fm em w.. Octávo Pácoa Da 5

26 Dagrama de de Bode Bode cont. n Exemplo 4. Eboce o dagrama de Bode para a ampltude e para a fae de uma rede com a egunte função de tranferênca, Reolução T T T Para eboçar o comportamento da repota da rede quanto à ampltude, é uual colocar-e, por convenênca, o factor +a na forma +/a T T Octávo Pácoa Da 6 5

27 Dagrama de de Bode Bode cont. comportamento do módulo G [db] [ rad / ] Octávo Pácoa Da 7

28 Dagrama de de Bode Bode cont. comportamento da fae Φ [º] [ rad / ] Octávo Pácoa Da 8

29 Dagrama de de Bode Bode cont. n Exercíco 4. Motre que a função de tranferênca T da rede de ª ordem repreentada na fgura 4.4, pode er dada pela expreão, CR T + C R // R 2 Fgura 4.4 Fgura para p exercíco 4.. Octávo Pácoa Da 9

30 Dagrama de de Bode Bode cont. n Exercíco 4.2 Um crcuto de ª ordem, tem o ganho de em dc, o ganho de para e o pólo em khz. Determne a ua função de tranferênca, T. Solução: T + 2π + 2π 5 4 n Exercíco 4.3 Um amplfcador de acoplamento drecto tem o ganho em dc e a frequênca de queda de 3 db localzada em khz. Determne, a a função de tranferênca T; b o produto ganho-largura de banda GB. Soluçõe: a T ; b 8 Hz + 5 2π Octávo Pácoa Da