Telmo Egmar Camilo Deifeld. Aplicação de um Elemento Finito de Cabo à Modelagem Numérica da Protensão Sem Aderência.

Transcrição

1 emo Egmar Camo Defed Apcação de um Eemento Fnto de Cabo à Modeagem umérca da Protensão Sem Aderênca. Área de concentração: Engenhara de Estruturas Orentador: Prof. Dr. Ruy Marceo de Oera Pauett São Pauo

2 emo Egmar Camo Defed Apcação de um Eemento Fnto de Cabo à Modeagem umérca da Protensão Sem Aderênca. Dssertação apresentada à Escoa Potécnca da Unersdade de São Pauo para a obtenção do títuo de Mestre em Engenhara. Área de concentração: Engenhara de Estruturas Orentador: Prof. Dr. Ruy Marceo de Oera Pauett São Pauo

3 FICHA CAALOGRÁFICA Defed, emo Egmar Camo Apcação de um eemento fnto de cabo à modeagem numérca da protensão sem aderênca. São Pauo,. p.9 Dssertação (Mestrado) Escoa Potécnca da Unersdade de São Pauo. Departamento de Engenhara de Estruturas e Fundações.. Modeagem numérca da protensão não aderente. Eemento fnto de cabo.eemento de macaco 4.Protensão não aderente I. Unersdade de São Pauo. Escoa Potécnca. Departamento de Engenhara de Estruturas e Fundações II. t

4 À mnha mãe eresa.

5 AGRADECIMEOS A Deus, por tudo o que Ee é na mnha da. Ao professor Ruy Marceo Pauett, pea orentação deste trabaho. Ao professor Pauo de Mattos Pmenta, peas aosas contrbuções. Ao professor Hdek, pea orentação nca deste trabaho. A CAPES, pea bosa de estudos concedda para a reazação deste trabaho. A Rose, peo ncento e apoo sem meddas, peo carnho e atenção dspensados, peo auxío na resão do texto, pea compreensão... A mnha famía, peo apoo e compreensão. Ao rshna, peo apoo contínuo, peo coegusmo e, prncpamente, pea amzade. Ao Campeo, pea ajuda sempre precsa. Aos demas coegas de aboratóro, peas númeras contrbuções, peo coegusmo e peas amzades proporconadas. A Eane e a Mary, pea dsponbdade constante, pacênca e boa ontade na soução de probemas. A Aessandra, pea resão do texto, peo apoo e pea conênca no apartamento. Aos demas coegas de apartamento ao ongo deste período, pea camaradagem e parcera. Em especa ao Dane, pea forma que me hospedou no apartamento.

6 I S U M Á R I O LISA DE FIGURAS LISA DE ABELAS LISA DOS PRICIPAIS SÍMBOLOS RESUMO ABSRAC IRODUÇÃO... FORMULAÇÃO DOS ELEMEOS FIIOS DE CABO E DE MACACO MÉODO DE EWO ELEMEO FIIO DE CABO IDEAL Matrz de rgdez tangente do eemento fnto de cabo dea.... ELEMEO FIIO DE CABO COSIDERADO ARIO Les de atrto Matrz de rgdez tangente do eemento fnto de cabo consderando atrto Caso em que o eemento escorrega com > Caso em que o eemento escorrega com < Caso em que o eemento de cabo não escorrega..... Casos mtes e snguares do eemento de cabo com atrto ELEMEO DE MACACO... 7 IMPLEMEAÇÃO COMPUACIOAL PEFSYS...4. IMPLEMEAÇÃO DOS ELEMEOS FIIOS O PEFSYS Eemento de cabo consderando atrto Impementação do eemento de macaco APLICAÇÃO DOS ELEMEOS DE CABO E DE MACACO À MODELAGEM DE PEÇAS DE COCREO PROEDIDO SEM ADERÊCIA CASOS ELEMEARES Prmero caso Segundo caso ercero caso Quarto caso Qunto caso... 6

7 II 4. COCREO PROEDIDO Concetos báscos Aspectos geras Perdas medatas da força de protensão Acomodação das cunhas de ancoragem Encurtamento eástco do concreto Atrto Protensão sem aderênca Modeagem numérca de estruturas com protensão sem aderênca Exempos de modeagem numérca de estruturas com protensão sem aderênca Prmero exempo Segundo exempo COCLUSÕES... 9 REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS

8 III LISA DE FIGURAS Fgura - Esquematzação do Método de ewton para um probema undmensona... 9 Fgura - Eemento de cabo dea... Fgura - Eemento de cabo deszando sobre um eto curo... 5 Fgura 4 - rânguo de forças do eemento de cabo... 6 Fgura 5 - Eemento de cabo com atrto passando por um eto curo... 8 Fgura 6 - Decomposção da força do nó - eemento de cabo não-dea... Fgura 7 - Eemento dupo de treça... Fgura 8 - Estrutura básca do PEFSYS... 4 Fgura 9 - Esquema da etura de dados para cada maha... 4 Fgura - Esquema para a caracterzação do probema Fgura - Esquema representato da combnação do procedmento ncrementa com o Método de ewton Fgura - Eemento de cabo sujeto a uma força segudora, com gro de 6 o... 5 Fgura - rajetóra do nó do eemento da Fgura para os caso de atrto com µ, e µ, Fgura 4 - Varação de F X e F Y em função do ânguo β Fgura 5 - Reações de apoo no nó em função do ânguo β Fgura 6 - Reações de apoo no nó em função do ânguo β Fgura 7 - Reação entre os móduos da força de atrto e da força de protensão Fgura 8 - Confguração nca do eemento de cabo do segundo caso Fgura 9 - Reação entre o móduo da força apcada horzontamente e o desocamento horzonta no nó Fgura Confguração nca do exempo para teste do eemento de macaco Fgura Confgurações nca e deformadas do exempo teste do eemento de macaco 57 Fgura Confguração nca do quarto caso Fgura Força (), em cada trecho do cabo, para dferentes coefcentes de atrto Fgura 4 - Confguração nca da estrutura do qunto caso... 6 Fgura 5 Vga smpesmente apoada com cargas transersas e força de protensão apcada com excentrcdade, dagramas de tensões para a seção centra... 6 Fgura 6 - Vga protendda com cabo excêntrco Fgura 7 Esquema de representação das perdas por atrto e acomodação das cunhas de ancoragem no cabo de protensão... 7 Fgura 8 - Esquema de dscretzação de uma ga protendda smpesmente apoada com dos ãos... 76

9 IV Fgura 9 - Confguração nca da estrutura do prmero exempo Fgura - Mahas usadas no prmero exempo Fgura - Desocamentos ertcas do exo da ga maha Fgura - Desocamentos ertcas do exo da ga maha Fgura - Desocamentos ertcas do exo da ga maha Fgura 4 - Forças correspondentes - maha... 8 Fgura 5 - geometra e carregamentos da ga do exempo... 8 Fgura 6 - Desocamentos ertcas do exo da ga - prmera maha, com atrto nuo Fgura 7 - Desocamentos ertcas do exo da ga - prmera maha, consderando o atrto Fgura 8 - Desocamentos ertcas do exo da ga - segunda maha, com atrto nuo Fgura 9 - Desocamentos ertcas do exo da ga - segunda maha, consderando o atrto Fgura 4 - Desocamentos ertcas do exo da ga - tercera maha, com atrto nuo Fgura 4 - Desocamentos ertcas do exo da ga - tercera maha, consderando o atrto 87 Fgura 4 - Varação da força de protensão no cabo sem atrto consderando-se os dferentes casos de carregamento Fgura 4 - Força de protensão ao ongo do cabo quando a força de protensão é apcada. 89 Fgura 44 - Força de protensão ao ongo do cabo quando o carregamento é apcado Fgura 45 - Força de protensão ao ongo do cabo quando o carregamento é apcado Fgura 46 - Força de protensão ao ongo do cabo quando o carregamento é apcado... 89

10 V LISA DE ABELAS abea - Vaores mínmos de F Z para que o cabo escorregue abea - Força de protensão () ao ongo do cabo, cacuada numercamente, para dferentes coefcentes de atrto abea - Desocamentos e rotações dos nós da estrutura representada na Fgura abea 4 - Desocamentos e rotações dos nós da estrutura representada na Fgura... 8

11 VI LISA DOS PRICIPAIS SÍMBOLOS A D E c G k Área da seção transersa Matrz dos coefcentes de rgdez consttuta Móduo de eastcdade ongtudna do concreto Móduo de eastcdade transersa Matrz tangente de um eemento coefcente de perda, por metro, proocada por curaturas não ntenconas no cabo de protensão Comprmento do eemento Comprmento do trecho do eemento Comprmento do trecho do eemento Comprmento do eemento ndeformado _ Comprmento do trecho do eemento ndeformado _ Comprmento do trecho do eemento ndeformado Comprmento nca do eemento _ Comprmento nca do trecho do eemento Comprmento nca do trecho do eemento _ U X α β Força norma atuante na seção transersa Força de protensão nca no eemento Vetor dos desocamentos do nó do eemento Coordenadas do nó Ânguo formado peos dos trechos de um eemento de cabo ânguo compementar de α µ Coefcente de atrto Versor drecona do exo do eemento Versor drecona do trecho do eemento (,) Operador gradente

12 VII RESUMO este trabaho é apresentada a formuação de um eemento fnto de cabo dea, dscutndo-se, posterormente, aguns aspectos reatos à formuação e à mpementação computacona de um eemento de cabo que consdera o atrto. Propondo-se, anda, a formuação de um outro eemento capaz de, num prmero momento, efetuar a protensão de um cabo e, num segundo momento, smuar a ancoragem do mesmo. Aguns casos eementares são apresentados com o ntuto de exporar as propredades destes eementos. São, também, dscutdas agumas apcações dos mesmos na modeagem de estruturas com protensão não aderente, mas especfcamente, em gas de concreto protenddo.

13 VIII ABSRAC hs work consders an dea cabe fnte eement formuaton, whch was frst presented by Aufaure, foowed by some theoretca and computatona aspects of a cabe eement ncudng frcton. A new fnte eement wth both prestressng and anchoragng capabtes s then proposed. he modes presented were a coded n a nonnear space-frame fnte eement program, and many exampes of unbonded prestressed concrete beams were nestgated n order to eauate eements features.

14 Introdução Este trabaho fo desenodo com o ntuto de fornecer um estudo sobre a apcação de um eemento fnto de cabo na modeagem numérca de estruturas com protensão sem aderênca notadamente aqueas estruturas em que se emprega o concreto protenddo. Apresentam-se, ncamente, agumas consderações báscas sobre a modeagem numérca de estruturas por eementos fntos. rata-se de uma rápda abordagem sobre o campo de apcações do Método dos Eementos Fntos - MEF, o seu uso na resoução de estruturas, suas prncpas antagens e os cudados necessáros para o seu correto emprego. O MEF é um método de resoução de modeos matemátcos. Um dos métodos usados para resoer probemas matemátcos é o Método de ewton. É da adoção deste método, para a resoução de sstemas nãoneares, que se dera o conceto de matrz de rgdez tangente. O entendmento deste conceto é necessáro à correta utzação do MEF como método de resoução de estruturas de comportamento não-near. a seqüênca, apresenta-se a formuação de aguns eementos fntos que serão usados na modeagem de estruturas com protensão sem aderênca. A prmera formuação a ser apresentada é a do eemento de cabo dea (sem atrto), cuja formuação fo ncamente proposta por Aufaure [Aufaure, 99]. Este eemento fo desenodo para anasar o comportamento mecânco dos cabos usados nas nhas de transmssão eétrca, durante a fase de construção. Estes cabos passam por poas de sustentação e soamento das torres de transmssão.

15 Posterormente, apresenta-se a formuação do eemento de cabo que consdera o atrto [Pauett, 995]. Para tanto, faz-se necessára uma dscussão sucnta da e de atrto proposta por Couomb, a qua é usada na formuação. Este eemento é uma generazação do eemento apresentado por Aufaure. Pauett apresentou a formuação do eemento de cabo para o caso em que este escorrega, em reação ao seu eto, numa dada dreção e ndcou o cácuo da matrz de rgdez do eemento quando este escorregar na dreção oposta. Mostra-se ser erdadera esta afrmação e apresenta-se a formuação do eemento para o caso em que ee não escorrega. Faz-se, anda, uma dscussão sobre os casos mtes e snguares deste eemento. Esta dscussão compreende o estudo do comportamento do eemento quando ocorre sua retfcação ou o competo dobramento sobre s mesmo. As dfcudades encontradas ao smuar numercamente a apcação da força de protensão, e posterormente a ancoragem do cabo, earam-nos a propor a formuação de um eemento fnto especa. Este eemento dee ser capaz de smuar, num prmero nstante, a ação de um macaco hdráuco, e, num segundo momento, a ancoragem do cabo. Enquanto funconar como macaco hdráuco, ee dee apcar a força de protensão ao cabo e a correspondente reação à estrutura. a ancoragem ee dee mpedr o desocamento reato entre a extremdade do cabo e o ponto da estrutura onde este dee ser ancorado. Este eemento será denomnado aqu como eemento de macaco. A formuação do eemento de macaco fo desenoda a partr da formuação de um eemento de barra, apresentado por Pmenta [Pmenta, 999a]. Este útmo tem sua formuação baseada na teora gera de barras retas sob não-neardade geométrca sem a consderação do empenamento. Apresentam-se, neste trabaho, apenas as aterações necessáras a esta formuação para o funconamento do eemento de macaco. Os eementos fntos, acma ctados, foram mpementados no programa PEFSYS [Pmenta, 998]. rata-se de um programa computacona

16 em desenomento, que tem um propósto acadêmco de ensno e pesqusa. Apresenta-se, neste trabaho, uma descrção sucnta da estrutura deste programa. As mpementações dos eementos fntos de macaco e do eemento de cabo com atrto são, então, dscutdas. Apresenta-se agumas consderações necessáras a estas mpementações e as dfcudades encontradas no desenomento das mesmas. Apresentam-se, na seqüênca, exempos que procuram, num prmero momento, adar as mpementações computaconas reazadas e exporar as característcas de cada eemento fnto mpementado. um segundo momento, busca-se mostrar agumas apcações destes eementos na modeagem de peças de concreto protenddo sem aderênca. Portanto, antes destes útmos exempos, cabe uma dscussão básca do funconamento do concreto com protensão não aderente.

17 4 Formuação dos eementos fntos de cabo e de macaco Os métodos de anáse estrutura podem ser anaítcos ou numércos. Os métodos anaítcos, apesar de apresentarem souções fechadas e de grande utdade, são muto mtados em apcações mas compexas. Os métodos numércos, por sua ez, caracterzam-se por apresentarem souções aproxmadas para uma aredade maor de probemas estruturas. Dos métodos numércos o que apresentou maor eoução fo o método matrca, notadamente o dos eementos fntos baseado em desocamentos [Pmenta, 999a]. Apesar de o prmero campo de apcação do MEF ter sdo a anáse estrutura, ee é apcado também a probemas das mas dersas naturezas. Esta grande escaa de apcação do método se dee a uma sére de antagens por ee apresentadas [Logan, 99]. Dentre eas a capacdade para: modear corpos de formas rreguares com facdade; acetar condções genércas de carregamento; modear corpos consttuídos de áros materas dferentes; trabahar com dersos tpos de condções de contorno; arar o tamanho dos eementos de forma a empregar eementos menores, quando se fzer necessáro;

18 aterar facmente, e a baxo custo, o modeo em estudo, permtndo a anáse de eentuas aternatas a este; ncur efetos dnâmcos; abranger probemas com comportamento (geométrco e matera) nãonear. Ao ser formuado para anáses computaconas, o método numérco dos eementos fntos tornou áe a resoução de uma casse de probemas antes tratados apenas de manera empírca e cujas souções anaítcas são de dfíc acance. O método é capaz de gerar respostas satsfatóras em grande parte dos casos. os probemas prátcos da mecânca, os programas computaconas conseguem resoer sstemas de equações com grande número de ncógntas, partndo de dados sobre a geometra, a reooga e o carregamento apcado na estrutura. Coném ressatar que o MEF é um método de resoução de modeos matemátcos, enquanto que os probemas que desejamos resoer (sejam ees estruturas ou não) são probemas físcos. A transposção do probema físco para o probema matemátco, ou seja, a expressão dos probemas físcos em termos matemátcos, requer a adoção de hpóteses. Estas hpóteses conduzem às equações dferencas que regem o probema matemátco. Desta forma, o MEF resoe excusamente o modeo matemátco escohdo, com as grandezas e fenômenos nee contdos. O modeo matemátco representato da readade físca dee conter todas as nformações necessáras à soução por eementos fntos, referentes aos fenômenos que o modeo quer capturar. As hpóteses adotadas terão, portanto, um caro refexo na natureza da resposta encontrada, a qua abordará, ou não, determnado aspecto do probema físco [Bathe, 996]. É mpossíe expressar matematcamente todos os mecansmos e parâmetros enodos num probema físco, mesmo quando usado um modeo matemátco mas refnado. Procura-se, então, uma resposta aproxmada, mas que seja sufcentemente precsa para os fns de projeto. 5

19 6 Os resutados obtdos com o processamento não deem ser acetos como aores nquestonáes. Peo contráro, uma anáse crítca será sempre necessára e essenca para a obtenção de bons resutados. A confabdade das respostas é erfcada pea nterpretação das mesmas - que deem ser fscamente consstentes, edencando possíes fahas ou erros, e, prncpamente, pea comparação dos resutados com uma soução anaítca, exata ou aproxmada. É mportante que a soução anaítca seja preamente conhecda.. Método de ewton O Método de ewton (ou Método de ewton-raphson como também é conhecdo) é um método de resoução de probemas matemátcos. É da adoção deste método para a resoução de sstemas não-neares que se dera o conceto de matrz de rgdez tangente. É apresentada a segur uma rápda descrção do método. Consdere a função etora: g g n g : V ( u) f V E n f I () onde f E é um etor n dmensona das forças externas que atuam sobre os n graus de berdade de um sstema estrutura dscreto, f I o etor correspondente aos esforços nternos deste mesmo sstema estrutura, e g ( u) o etor que contém as forças resduas. Seja um ponto n m u V a soução de g( u) V e u u δu uma estmata nca de u, ta que g ( u ). O probema estátco deste sstema u u V, n estrutura consttu em encontrar o etor de desocamentos ( x) x V ta que

20 7 g ( u ) () Se g ( u) for contínua numa znhança de u que contém u, expandndo-se numa sére de ayor e, por admtr que os termos de ordem superor sejam pequenos em reação ao termo de prmera ordem, (suposção áda para δ u sufcentemente pequeno), tem-se: Ou na forma compacta ( u) g g ( u ) δu u () u ( u ) g ( u) u g δ u (4) onde é o operador gradente, defndo por: u u,.., u n (5) A derada de Gâteaux de g ( u), no ponto u, na dreção do etor δ u, é defnda por: δg d dt ( u ) g( u) δu g( u tδu) u t m t g ( u tδu) g( u ) t (6) Se g ( u) for dferencáe em u, exstem as deradas dreconas em todas as dreções, ou seja, δ u (a recíproca não é necessaramente erdadera). Fazendo-se uma escoha aproprada para u ( t), ta como u() t u tδu tem-se g( u tδ u) g( u( t) ), consderando a regra da cadea, tem-se que, d dt g ( u() t ) t g ( u ) u g δu u u δu g ( u) δu u (7) quando u u( ).

21 Os esforços nternos dependem, de forma genérca, dos desocamentos. Admtndo-se, sem perda de generadade (no que dz respeto à obtenção da matrz de rgdez tangente dos eementos apresentados nesta dssertação), a ndependênca dos esforços externos com reação aos desocamentos e consderando (), reescree-se () (para economa de notação faz-se f I f ) como: 8 g ( u ) f f ( u) E (8) Se det( g ( u) ) de uma estmata nca u, de forma que:, pode-se determnar um processo terato, a partr u u δ u u δu k (9) k onde o ncremento δ u é determnado da forma [ g( u) ] g( u ) δ u u () até o equíbro das forças externas e nternas correspondente a todos os graus de berdade, consderando uma certa toerânca, ou seja, até que ( u ) g( u ) g. A matrz de rgdez tangente da estrutura, para uma certa confguração u, é defnda como f u () Para um probema undmensona, o Método de ewton pode ser esquematzado como mostrado na Fgura. Uma outra descrção do Método de ewton é encontrada em Crsfed [Crsfed, 994]. Fcou conhecdo como Método de ewton Modfcado a combnação do Método de ewton com o processo terato de souções. Dde-se o carregamento tota em n ncrementos de carga. Em cada ncremento de carga é apcado o Método de ewton, sendo usado como aor nca deste

22 ncremento os desocamentos da soução encontrada no ncremento anteror. O aor de u é arbtrado (normamente nuo). Este procedmento mehora a conergênca da resoução do probema. 9 Fgura - Esquematzação do Método de ewton para um probema undmensona. Eemento fnto de cabo dea Fo apresentado, prmeramente, o eemento de cabo dea, ou seja, eemento que não consdera o efeto do atrto e depos o eemento de cabo apresentado por Pauett. A escoha deste procedmento não fo reazada em função de o eemento que consdera o atrto ter sdo deduzdo a partr dee, mas também porque é conenente a mpementação separada dos dos eementos. Esta conenênca se dee ao fato de a matrz de rgdez tangente do eemento de cabo sem atrto ser numercamente gua a matrz do eemento que consdera o atrto, quando o coefcente de atrto for zero. O esforço computacona para a montagem da prmera é menor do que para a útma. Aém dsso, outras razões fcam edencadas quando, no tem.., cta-se os casos em que ocorre a retfcação do cabo e o dobramento sobre s mesmo.

23 .. Matrz de rgdez tangente do eemento fnto de cabo dea Consdere um eemento de cabo dea (cabo passando sobre um eto curo escorregando sem a presença de atrto), como na Fgura (a). Aos trechos () e () [er Fgura (b)] tem-se assocados os etores X U ( X ) X U ( X ) U () U onde X, X e X são as coordenadas dos nós, e, respectamente, na confguração orgna, enquanto que U, U e U expressam os desocamentos destes nós a partr da confguração orgna. Os comprmentos são determnados por () Fgura - Eemento de cabo dea Os ersores dreconas dos trechos () e () são: (4) O comprmento tota do eemento de cabo é a soma e o seu comprmento ndeformado é, enquanto que o comprmento nca, admtndo-se uma protensão nca, é. Peo fato de a tensão ter o mesmo aor em ambos os trechos (propredade de um eto sem

24 atrto) a deformação específca também é a mesma ao ongo de todo o comprmento do eemento de cabo e é expressa por ε (5) A deformação específca ε pode ser obtda atraés de ε. Assumndo que o matera seja eástco near, a força norma no cabo é expressa por [ ] EA ε α (6) onde E - móduo de eastcdade do matera; A - área da seção transersa do cabo; - aração da temperatura méda do cabo, e α - coefcente de expansão térmca. EA ε α. A força norma também pode ser expressa por [ ] são: As forças nodas que agem no eemento, consderando (4) e, (6) f f f ( f ) (7) f e o etor das forças nodas f é defndo por e o etor dos desocamentos ncrementas δ U por f f f (8) f δu δ U δu (9) δu podendo-se defnr, então, a matrz de rgdez tangente do eemento ta que

25 δ f δu () onde δ f é a derada drecona do etor das forças nodas, cacuada pea derada de Gâteaux [er equação (6)]. Indca-se com uma barra as grandezas que são cacuadas na confguração ( u tδu). A matrz de rgdez partconada segundo as componente dos etores δ f e δ u é expressa por δ f δ f δ f δu δu δu () ou, na forma compacta, δ f j jkδu k () onde a submatrz noda ( ) j jk é cacuada a partr da derada drecona da força f agndo no nó j, na dreção do desocamento do nó k ( ) u. k A componente δ fornece a prmera nha de submatrzes k : f d d d δ f f dt t dt t dt dt () t t d onde a prmera derada é um escaar e a segunda um etor. A prmera parcea da derada é determnada por: d dt t EA d dt EA [( ) ] [ ( δu δu ) ( δu δu )] t (4) onde e α não dependem de t.

26 A derada t dt d resuta em ( )( ) u u I δ δ t dt d (5) Substtundo (4) e (5) em, () tem-se ( ) ( ) [ ] ( )( ) u u I u u u u f δ δ δ δ δ δ δ EA (6) Como u u δ δ, e dem para as expressões anáogas, pode-se reagrupar os termos da expressão (6) u I u u I f δ δ δ δ EA EA EA EA (7) com o que fca defnda a prmera nha de submatrzes da matrz de rgdez tangente, ou seja: ( ) I EA EA (8) As segunda nha de submatrzes é obtda por permutação de índces da equação (8). A tercera nha de submatrzes é obtda por meo do equíbro de forças, ou seja ( ). Denota-se, por concsão:

27 4 M M M M M I I M M (9) tem-se, então, a matrz de rgdez competa expressa por: EA EA M M M EA M M Sm. ( ) ( ) ( ) (). Eemento fnto de cabo consderando atrto a formuação do eemento fnto de cabo consderando atrto [Pauett, 995] as forças atuantes foram decompostas em uma parcea dea, dada pea formuação de um eemento de cabo dea (sem a consderação do atrto), e uma outra parcea não dea, representando o efeto do atrto no cabo. Este eemento fnto é uma generazação daquee apresentado por Aufaure [Aufaure, 99], desenodo para anasar o comportamento mecânco de cabos, usados nas nhas de transmssão eétrca, durante a fase de construção, que passam por poas de sustentação dos mesmos e soamento das torres de transmssão. A matrz de rgdez tangente da estrutura é partconada segundo as componentes dos etores das deradas dreconas do etor das forças nodas e do etor dos desocamentos ncrementas. Com esta partção, derando-se duas componentes do etor das deradas dreconas do etor das forças nodas obtém-se as duas prmeras nhas de submatrzes da

28 5 matrz de rgdez tangente. A tercera nha de submatrzes é obtda por equíbro de forças. Entretanto, antes de ser descrta a formuação do eemento de cabo consderando o atrto, é necessáro que se faça uma abordagem, contextuazada, sobre o atrto em s... Les de atrto A forma cássca de cacuar o atrto fo proposta por Couomb. A equação é obtda consderando-se a dferença de forças que surge entre as extremdades de um eemento de cabo quando este desza sobre um eto curo. Esta equação tem uma forma exponenca. Para a apresentação da e de atrto de Couomb, consdera-se, ncamente, um pequeno, mas fnto, trecho de um cabo curado em torno de um eto, como na Fgura. Fgura - Eemento de cabo deszando sobre um eto curo Dedo ao atrto exstente entre o cabo e o eto curo, as forças atuantes nas extremdades do cabo não têm o mesmo móduo. A força de atrto é gua a µ ( f µ ) F, onde µ é o coefcente de atrto entre o a F cabo e o eto. O trânguo de forças representato do equíbro da forças, para o eemento de cabo de comprmento s, é como na Fgura 4. Para pequenos ânguos α, pode-se afrmar que α. Assm, F consderando o equíbro de forças horzontas no eemento de cabo s, temse:

29 6 Fgura 4 - rânguo de forças do eemento de cabo α α cos f a ( ) cos () α f a cos () Para pequenos aores de α α, tem-se que cos. Daí µ α () Fazendo-se s, tem-se então d dα µ (4) A soução desta equação dferenca ordnára é µ α ( α ) e ou µ α e (5) onde e são as forças nas extremdades do cabo (com > um cabo submetdo a uma defexão α. ), para Este processo pode ser repetdo para todas as curaturas ao ongo do cabo, sejam eas ertcas ou horzontas, obtendo-se a equação (6) para o aor da força em um ponto quaquer depos de m curaturas. m µ α n m e (6) As equações () a (6) não consderam o efeto do deso da banha em reação a sua posção teórca. Esses desos, ocasonas e ndesejados, são construtos, e se manfestam tanto em trechos retos quanto em curos.

30 7 Para efeto de cácuo ees são assmados às arações anguares por metro near de cabo [Husrt, 988]. Assm, a equação (6) será rescrta como ( x) µ n α k n e m m L ( x) (7) onde k é um coefcente com undade m -. O aor de k depende da banha usada, da rugosdade da superfíce nterna desta, e da certeza que se tem de que a sua posção rea na peça está sufcente próxma daquea presta em projeto. A maora dos estudos pubcados até hoje enoendo forças que surgem do contado entre duas superfíces, consderam a e de atrto de Couomb. o entanto, o estudo de probemas mas compexos exge o desenomento de teoras mas sofstcadas. Dedo à semehança exstente entre os fenômenos que enoem a teora da pastcdade e as forças de atrto, é de grande aa estudar de forma conjunta os probemas que enoem estas grandezas. A anaoga entre estas grandezas pode contrbur para um aanço mas rápdo no desenomento de teoras reaconadas com o atrto, uma ez que os estudos dreconados à pastcdade se encontram num estágo mas aançado. Curner [Curner, 984] apresentou um dos prmeros trabahos que contempam esta nha de racocíno. A teora desenoda por ee é áda para pequenos desocamentos. Um método de acréscmos para a formuação Lagrangeana, que consdera grandes deszamentos de corpos b-dmensonas, fo proposto por Heegaard et. a [Heegaard, 994]. A formuação de uma teora para o atrto, compatíe com a mecânca do contínuo, dee consderar não somente a força norma à superfíce de contato, mas também dee contempar outros fatores, tas como: a

31 8 rugosdade nca das superfíces em contato, o desgaste das mesmas, a aderênca entre eas e a temperatura. este trabaho emprega-se somente à formuação proposta por Couomb... Matrz de rgdez tangente do eemento fnto de cabo consderando atrto Consderando-se o probema em que um cabo passa por um eto curo, agora com a presença de atrto. Seja α o ânguo entre os trechos do cabo dos dos ados do eto, β o seu compemento e µ o coefcente de atrto estátco entre o cabo e a superfíce do eto em contato com o cabo (Fgura 5). O ânguo β é também a abertura anguar do trecho do eto em contato com o cabo. Fgura 5 - Eemento de cabo com atrto passando por um eto curo Consderando a e de atrto proposta por Couomb [er equação (5)], as forças normas e (Fgura 5) guardam entre s, no equíbro, a reação η e µβ (8)

32 9 A reação acma depende apenas do ânguo de abertura do trecho em contato e do coefcente de atrto, sendo ndependente do dâmetro do trecho do eto em contato com o cabo. Essa ndependênca nos permte empregá-a em probemas de cabos com atrto. Obsera-se três possíes stuações para a reação entre as forças normas em cada extremdade do eemento de cabo: µβ a) ( e ) > - o cabo escorrega, em reação ao eto, para a esquerda [Fgura 5] até encontrar a condção de não escorregamento, ou seja η ; b) > µβ - o cabo escorrega, em reação ao eto, para a dreta e [Fgura 5] até encontrar a condção de não escorregamento, e c) e µβ < < e µβ - o cabo não escorrega.... Caso em que o eemento escorrega com > Para o caso em que o equíbro se dá após o escorregamento, consdera-se o eemento de cabo não-dea da Fgura 6. Os ersores dreconas dos dos trechos do cabo são cacuados como em (4). Sendo e as normas agndo nos dos trechos do cabo, o etor de forças nodas agndo num eemento em equíbro é obtdo, portanto, por: f f f f ( ) (9) As forças f, f e f são, necessaramente, copanares. Porém, enquanto que no caso do eemento de cabo dea a força f tnha a dreção da bssetrz do ânguo α (Fgura 6), no caso do cabo não-dea f terá

33 também uma componente norma à bssetrz. A força no nó será, então, decomposta em: Fgura 6 - Decomposção da força do nó - eemento de cabo não-dea n f f f (4) A componente f tem a dreção da bssetrz de α enquanto que n f é norma a esta dreção (Fgura 6). A prmera parcea corresponde ao caso dea, ao passo que a segunda é a componente sustentada peo atrto. Esta decomposção ndca que quando o atrto for nuo tem-se f f. A parcea f sustenta uma tração constante em ambos os trechos do cabo. A deformação ε, assocada a esta norma, para um matera eástco near, é dada por: ε (4) (onde o sub-índce refere-se a confguração ndeformada) ta que: [ ε α ] EA ε (4) onde ε (4) EA

34 sendo que é a força de protensão nca. A equação (4) também pode ser escrta por [ ] EA ε α (44) onde ε ε ε (45) Adotando-se uma deformação específca aração térmca, tem-se: ε, correspondente à ε α (46) EA * ε ε ε ε ε ε (47) * EAε (48) As defnções omtdas são anáogas às efetuadas para o caso de eemento de cabo dea. As normas, nos trechos () e (), podem ser escrtas da segunte forma: * n ( ε ) n EA ε (49) * n ( ε ) n EA ε (5) Como f tem a dreção da bssetrz do ânguo α e n f tem a dreção da bssetrz de β, decorre que n ε e n ε são guas em móduo. n n ε ε n ε (5) Lembrando que > e consderando (5) em (49) e (5), e substtundo estas em (4), tem-se:

35 ε ( η ) ( η ) ε * n (5) e as normas [(49) e(5)], consderando anda (48), podem ser escrtas como: η η (5) η (54) Ao ntroduzr as equações acma em (9) e empregando-se procedmento anáogo ao reazado para o eemento de cabo dea, obtêm-se a matrz de rgdez tangente do eemento de cabo consderando o atrto. A matrz de rgdez tangente satsfaz a equação δ f δu (55) onde δ f é a derada drecona [equação (6)]. Consderando, ncamente, somente a prmera nha de submatrzes, conforme a partção δ f δu, ou seja, j j δf jδu j (56) e ndcando com uma barra as grandezas cacuadas na confguração ( u tδu), consdera-se as equações (5) e (4) para escreer o etor das forças nodas f como f η η η f η (57) A derada de Gâteaux é expressa, então, por: d η η d δ f f f dt η t dt (58) η t A segunda parcea da derada que aparece na equação corresponde a derada descrta em (8), reaconada ao caso do eemento de cabo dea.

36 Resta encontrar a prmera derada da equação, ou seja, o escaar t dt d A η η. ( ) ( ) ( ) ( ) t t t dt d dt d dt d A η η η η η η η (59) onde µ β η e, sendo que β é cacuado na confguração ( ) u δu t. Logo ( ) ( ) ( ) ( ) t t dt d Sn dt d e A β η µη β η µ µβ (6) onde η µβ e e ( ) b ArcCos β, sendo b. em-se que ( ) t t t t t dt d dt d dt d dt d dt d (6) Usando as equações (5) e (6), e anáogas, pode-se escreer A como: ( )( ) ( )( ) u u I u u I δ δ ξ δ δ ξ A (6) onde ( ) ( ) β η µη ξ Sn (6) Reescree-se (58), consderando (6) e embrando que f, como: ( )( ) ( )( ) t dt d f u u I u u I f η η δ δ ξ δ δ ξ δ (64) Reagrupando os termos, e consderando a parcea correspondente ao cabo dea (7) na equação acma, tem-se:

37 4 ( ) ( ) ( ) ( ) u I I I u I u I I f δ η η ξ ξ δ η η ξ δ η η ξ δ EA EA EA EA (65) ou anda, reagrupando os termos, j j j n j u u f δ η η δ δ (66) onde, consderando as defnções de (9), ( ) n n n n n M M M M ξ ξ (67) e os aores de j são os apresentados em (8). A prmera nha de submatrzes fca então determnada: ( ) n n η η η η (68) Para determnar a segunda nha de submatrzes consdera-se a força agndo no nó, tomando a derada drecona em reação aos desocamentos ncrementas: j u j f δ δ (69)

38 5 e ndcando com uma barra as grandezas cacuadas na confguração ( u tδu), assm como feto para f, tem-se que o etor das forças nodas f é descrto por f η f η (7) e a derada de Gâteaux é dada por δ d d f f f dt η η t dt t (7) Sabendo que d dt f δf t, a equação (7) pode ser também expressa por δf d dt η t f δf η (7) onde a derada d dt η a menos o aor de A (6). ( η ) t t d dt η é, conforme sto em (59), gua Consderando o aor de A, e embrando que f, (7) pode ser escrta como: δ f ξ ξ ( I )( δ u δ u ) ( I )( δ u δ u ) δf η (7) Lembrando que cabo dea, ou seja, δ f representa a segunda nha de submatrzes do δ f j, e consderando anda as defnções apresentadas em (9), tem-se: δf η n j j δu j (74) n onde as submatrzes estão defndas a segur: j

39 6 n n n ξ ξ n n ( ) M M M M (75) com o que fcam defndas as submatrzes que compõe a segunda nha da matrz de rgdez tangente, sto é, n n η η ( ) (76) Peo equíbro de forças tem-se que ( δf δ ) δ f f (77) ou, consderando as defnções de δ f e δ f : [( ) δu ( ) δu ( ) δ ] δ f u (78) de onde ( ) ( ) ( ) (79) Pode-se, então, escreer a matrz de rgdez tangente do eemento de cabo consderando o atrto quando ocorre escorregamento para o caso em que > como sendo n η η η η ( ) n ( ) ( ) ( ) ( ) η η n n (8)

40 7... Caso em que o eemento escorrega com < Pauett [Pauett,995] obserou que para determnar a matrz de rgdez tangente, no caso em que ocorre o escorregamento na condção que <, basta permutar os coefcentes que mutpcam as parceas correspondentes ao caso dea ( ) sna das parceas não-deas da mesma. j, da matrz da equação (8) e trocar o oamente consderando a equação proposta por Couomb [equação (5)], a reação entre as normas que atuam nos trechos a esquerda e a dreta do eemento, e, respectamente, (er Fgura 5) é dada, no equíbro, por: η e µβ (8) Ao soar η da equação (8), consderando-se as equações (49) e (5), embrando que >, tem-se que a equação (5) pode ser rescrta como >. ε ( η) ( η ) ε * n (8) As defnções omtdas são anáogas às fetas para o caso em que As normas [(5) e (54)], consderando anda (48), serão reescrtas como: η (8) η η (84) oamente ndcando com uma barra as grandezas cacuadas na confguração ( u tδu), consdera-se equações (8) e (49) para escreer o

41 8 etor das forças nodas f correspondente a prmera nha de submatrzes j u j f δ δ, tem-se que f f η η (85) A derada de Gâteaux (6) é expressa, então, por: t t dt d dt d f f f η η δ (86) A segunda parcea da derada que aparece descrta em (), reaconada ao caso do cabo dea, resuta na equação (8). Resta encontrar a prmera derada da equação, ou seja, um escaar ' t dt d A η. ( ) ( ) ( ) ' t t dt d e dt d A β η µ η η µβ (87) onde µ β η e, sendo que β é cacuado na confguração ( ) u δu t. Ou seja, A A ', onde A é dado por (6). Reescreendo (86), consderando o aor de ' A e embrando que f, tem-se: ( )( ) ( )( ) t dt d f u u I u u I f η δ δ ξ δ δ ξ δ (88) Onde ( ) ( ) β η µη ξ Sn (89) Ao reagrupar os termos, tem-se j j j n j u u f δ η δ δ (9) onde, consderando (9),

42 9 n n n ξ ξ M M n n ( ) M M (9) e os aores de j são os apresentados em (8). A prmera nha de submatrzes fca então determnada: n n ( ) η η (9) Para determnar a segunda nha de submatrzes consdera-se a força agndo no nó, tomando a derada drecona em reação aos desocamentos ncrementas: δf jδu j (9) e ndcando com uma barra as grandezas cacuadas na confguração ( u tδu), assm como feto para f, tem-se que o etor das forças nodas f é dado por f η η η f η (94) e a derada de Gâteaux é expressa por d η η d δ f f f dt η t dt (95) η t Sabendo-se que d dt f δf t (cabo dea), que a derada d dt η η t é, conforme sto em (59), gua ao aor de A (6) e embrando que f, a expressão (95) pode ser escrta como:

43 δf ξ ξ η ( I )( δu δu ) ( I )( δu δu ) δf η (96) Lembrando que cabo dea, ou seja, δ f representa a segunda nha de submatrzes de δ f k, e consderando anda as defnções apresentadas em (9), tem-se: δf η η n k k δu k (97) onde as submatrzes n k estão defndas a segur: n n n ξ ξ M M n n ( ) M M (98) com o que fcam defndas as submatrzes que compõe a segunda nha da matrz de rgdez tangente, sto é, n n ( ) η η η η (99) Peo equíbro de forças tem-se ( δf δ ) δ f f () ou, consderando as defnções de δ f e δ f : [( ) δu ( ) δu ( ) δ ] δ f u () de onde

44 ( ) ( ) ( ) () Pode-se, então, escreer a matrz de rgdez tangente do eemento de cabo consderando o atrto quando ocorre escorregamento para o caso em que < como sendo n η η η η ( ) n n ( ) ( ) ( ) ( ) η η n () com o que confrma-se a afrmação de Pauett.... Caso em que o eemento de cabo não escorrega Quando a dferença entre as forças atuantes nas extremdades do cabo não é, em móduo, maor do que a força de atrto entre as superfíces, o eemento de cabo com atrto comporta-se como o encadeamento de dos eementos de treça. Consdere um eemento dupo de treça, como mostra a Fgura 7. Como no caso do eemento de cabo, os etores assocados aos trechos () e () são X U ( X ) X U ( X ) U U (4) onde X, X e X são as coordenadas dos nós, e, respectamente, na confguração orgna, e U, U e U expressam os desocamentos dos mesmos nós a partr da confguração orgna. Os comprmentos são noamente determnados por

45 Fgura 7 - Eemento dupo de treça (5) e respectos ersores dreconas (6) O comprmento tota do eemento de cabo é a soma, o seu comprmento ndeformado é, enquanto que o comprmento nca, admtndo-se uma protensão nca, é. A deformação específca de cada trecho é obtda por ε _ ε (7) _ Assumndo que o matera seja eástco near, a força norma em cada trecho do eemento é expressa por EA EA [ ε α ] [ ε α ] (8) onde são: E - móduo de eastcdade do matera; A - área da seção transersa do cabo; - aração da temperatura méda do cabo, e α - coefcente de expansão térmca. As forças nodas que agem no eemento, consderando (6) e (8),

46 f f f ( f ) f (9) o etor das forças nodas f é defndo por o etor dos desocamentos ncrementas δ U por f f f () f δu δ U δu () δu e a matrz de rgdez tangente do eemento é ta que δ f δu () onde δ f é a derada drecona do etor das forças nodas, cacuada pea derada de Gâteaux (6) e, noamente, a barra ndca que as grandezas são cacuadas na confguração ( u tδu), ou seja: ( X U tδ ) X U u t δu ( X U tδ ) X U u t δu () (4) (5) ε _ ε (6) _ EA[ α ] EA[ α ] ε ε (7)

47 4 f f f ( f f ) (8) f f f (9) f A matrz de rgdez partconada segundo as componentes dos etores δ f e δ u é expressa por δ f δ f δ f δu δu δu () ou, na forma compacta, δ f δu () j jk k onde a submatrz noda ( ) j jk é cacuada a partr da derada drecona da força f agndo no nó j, na dreção do desocamento do nó k ( ) u. A componente δ f fornece a prmera nha de submatrzes k : d d d δ f f dt t dt t dt dt () t t onde a prmera parcea da derada é um escaar e a segunda é um etor. d A prmera parcea da derada é determnada por: k d dt t d dt EA _ EA ( ) [ ( δu δu )] _ t _ () onde consdera-se que _ e α não dependem de t. O cácuo do etor é o mesmo utzado para o caso do eemento de cabo, ou seja,

48 5 ( )( ) u u I δ δ t dt d (4) Substtundo () e (4) em (9), tem-se ( ) [ ] ( )( ) [ ] _ u u I u u f δ δ δ δ δ EA (5) Como u u δ δ, e dem para as expressões anáogas, é possíe reagrupar os termos da expressão acma u I u I f δ δ δ EA EA (6) Desta forma fca defnda a prmera nha de submatrzes da matrz de rgdez tangente, ou seja: _ I EA (7) De forma anáoga determna-se a segunda nha de submatrzes: _ I EA (8) A tercera nha de submatrzes obtém-se peo equíbro das forças, ou seja, ( ).

49 Adotando-se as defnções de (9), a matrz de rgdez competa do eemento será expressa por: 6 EA M M _ EA M M _ Sm. (9).. Casos mtes e snguares do eemento de cabo com atrto A equação (6), termo que faz parte das parceas não deas da matrz de rgdez tangente do eemento de cabo que consdera o atrto, sugere a exstênca de casos snguares quando o ânguo β assumr o aor zero ou π. Faz-se necessáro estudar o comportamento dos eementos da matrz na znhança destes aores. Ao cacuar os mtes da parcea não-dea da matrz de rgdez tangente quando β e β π, obtêm-se: m n n β β π () m Como o aor da parcea dea da matrz de rgdez tangente está defndo para quaquer aor de β, e os aores dos coefcentes que mutpcam os termos desta parcea tornam-se untáros quando β, temse que β () m Quando β π é necessáro consderar o aor de cada coefcente mutpcador dos eementos da parcea dea da matrz. Assm sendo, para o

50 caso em que o eemento escorrega com > [er equações (68) e (75)], tem-se que m β π m β π j j η ( η) ( η) j j 7 () A tercera nha de submatrzes é obtda peo equíbro de forças. A matrz de rgdez tangente do eemento fca expressa por η η η η ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) η η () Para o caso em que o eemento escorrega com > os coefcentes que aparecem em () são permutados entre s [er equações (9) e (99)] e a matrz de rgdez tangente é, então, expressa por η η η η ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) η η (4) em-se como casos snguares do eemento de cabo, com ou sem atrto, os casos em que um dos comprmentos dos trechos, ou ambos, assumem aores nuos. Este probema pode se contornado com o rearranjo da maha toda ez que o comprmento de um dos trechos do cabo, ou, tender a zero..4 Eemento de macaco As dfcudades encontradas ao smuar numercamente a apcação da força de protensão, e a posteror ancoragem do cabo, nos earam a formuação

51 8 de um eemento fnto. Este eemento sera capaz de smuar, num prmero nstante, a ação de um macaco hdráuco e, num segundo momento, a ancoragem do cabo. Apcar a força de protensão no cabo e a força correspondente na estrutura, é função do eemento na condção de macaco. Impedr o desocamento reato entre a extremdade do cabo e o ponto da estrutura onde o cabo dee ser ancorado, é função do eemento na condção de ancoragem. O processo normamente usado para a smuação da ação do macaco de protensão, e posteror ancoragem do cabo peas cunhas de ancoragem, consste apenas na apcação de uma força na extremdade do cabo, cujo móduo é gua à protensão desejada e cuja dreção é tangente ao traçado do cabo na extremdade correspondente à apcação da carga. O sentdo dee ser ta que a força apcada ao cabo seja de tração. Uma outra força de mesmo móduo e dreção, mas com sentdo oposto é apcada à estrutura de concreto. Esta smuação é efcente apenas na fase de apcação da força de protensão, ou seja, expressa de forma satsfatóra as forças que um macaco de protensão apca, tanto ao cabo de protensão, quanto à estrutura. o entanto, é uma forma nadequada de abordar o probema quando se quer representar o efeto da ancoragem do cabo na estrutura. Isto se dee ao fato de que a smpes apcação de forças nas extremdades do cabo e na estrutura não garante a ndesocabdade reata entre a extremdade do cabo e o ponto da estrutura onde está sendo apcada a força de compressão. É, portanto, necessáro garantr que o desocamento reato entre o ponto matera da estrutura, onde é feta a ancoragem do cabo, e o ponto matera do cabo que está em contato com o referdo ponto da estrutura, seja zero ou peo menos sufcentemente pequeno, no nstante fna da apcação da força de protensão. Desta forma não ocorre nterferênca na aração de tensões que ocorre ao ongo do cabo, bem como no restante da estrutura, quando for apcado um carregamento externo.

52 9 Para que um eemento possa satsfazer estas dferentes condções, este dee apresentar comportamentos dstntos em correspondênca as duas fases da protensão do cabo: a prmera fase, enquanto apca a força de protensão, o eemento dee defomar-se ao ongo de seu exo sem restrções. a segunda fase, ou seja, quando smuar a ancoragem do cabo, o eemento deer ser rígdo o sufcente para apresentar deformações desprezíes. Isso é possíe se a rgdez axa eemento for aráe, ou mehor, se enquanto agr como macaco hdráuco apresentar uma rgdez axa muto pequena, para que os esforços nternos sejam pequenos, e quando a sua condção for defnda como a de uma ancoragem sua rgdez axa seja sufcentemente grande para que sua deformação ongtudna seja pequena Estas condções são satsfatoramente atenddas por um eemento de treça, fazendo-se as consderações necessáras. o entanto, o eemento proposto dee também consderar o gro que a estrutura pode sofrer no ponto em que ee está acopado à mesma, seja este gro causado pea ação da força de protensão ou não. O eemento de macaco não fete nem torce, e portanto, rgorosamente faando, a rgdez à fexão, à torção e à dstorção são nfntas, enquanto que a rgdez axa ora dee ser nua, ora nfnta. o entanto, para tomar partdo da mpementação computacona já dsponíe para o eemento de barra, a formuação do eemento, ora apresentado, basea-se na teora gera de barras retas sob não-neardade geométrca sem a consderação do empenamento apresentada por Pmenta [Pmenta, 999a]. A hpótese cnemátca desta teora supõe que as seções transersas ortogonas ao exo da barra permaneçam panas e ndeformáes durante o momento. A matrz de rgdez do eemento de barra apresentado por Pmenta [Pmenta, 999a] é dada por

53 4 ( ) B DB( ) ( ) G( ) L dζ C G dζ L dζ (5) onde ˆ ( ζ ) é a matrz de nterpoação, e B são operadores dferencas matrcas. Os tensores G e L caracterzam os efetos geométrcos dos esforços nternos e externos, respectamente, atuantes no eemento. As parceas C, G e L são, respectamente, as contrbuções consttuta, geométrca e de carregamento da matrz de rgdez tangente. A determnação de cada um destes eementos é dada por Pmenta [Pmenta, 999a] e a sua apresentação está fora do escopo desta dssertação. Uma representação satsfatóra do processo de protensão acma esboçado pode ser obtda smpesmente adaptando-se a matrz de reações consttutas D, que para o eemento de ga pode ser expressa, no sstema oca da barra, admtndo-se a hpótese de pequenas deformações, como GA GS GA GS EA ES ES D. (6) EJ EJ Sm. EJ GJ Para o eemento de macaco, defne-se uma noa matrz consttuta na forma

54 4 k k k k k k k D (7) k k Sm. k k onde k - coefcente de rgdez axa arbtraramente pequeno quando o eemento ester apcando a força de protensão e arbtraramente grande quando sua função for a de ancoragem; k - coefcente de rgdez arbtraramente grande ncdndo sobre a fexão, a dstorção e a torção do eemento, bem como de seus efetos cruzados. Cacuam-se os esforços nternos do eemento de barra atraés dos desocamentos dos seus nós. Para o caso do eemento de macaco estes esforços são cacuados da mesma manera, com exceção da força axa quando este eemento ester atuando na condção aqu defnda como prmera fase. Para esta stuação, arbtra-se uma força de tração sobre o eemento, cujo móduo é o da força de protensão a ser apcada peo eemento à estrutura.

55 4 Impementação Computacona Os eementos fntos descrtos no Captuo foram mpementados computaconamente no PEFSYS. Faz-se, neste capítuo, uma bree apresentação deste programa e, posterormente, uma dscussão sobre a mpementação dos eementos.. PEFSYS O PEFSYS [Pmenta, 998] é um programa computacona que usa eementos fntos em anáse não near, estátca e dnâmca, de estruturas, com apcação na anáse da estabdade em edfícos atos. rês cnemátcas são permtdas na teora mpementada: abordagem near do probema, consderação de efetos de segunda ordem e uma anáse geometrcamente exata da estrutura. As propredades do concreto, armado ou protenddo, são erfcadas de acordo com a norma brasera. A estrutura do programa está ustrada nas Fguras 8 a.

56 4 Fgura 8 - Estrutura básca do PEFSYS Fgura 9 - Esquema da etura de dados para cada maha

57 44 Fgura - Esquema para a caracterzação do probema O método de resoução de sstemas mpementado no PEFSYS é o método de ewton. O carregamento da estrutura pode ser feto em dersas etapas. Em cada etapa, as cargas são apcadas de uma forma ncrementa. A estrutura é resoda, para cada ncremento de carga, atraés de um processo terato. O número de terações depende da taxa de conergênca da soução do probema. A Fgura ustra o método mpementado. Fgura - Esquema representato da combnação do procedmento ncrementa com o Método de ewton

58 . Impementação dos eementos fntos no PEFSYS 45 Dscute-se, agora, a mpementação computacona dos eementos fntos apresentados nesta dssertação. A formuação do eemento de cabo dea já estaa mpementada no PEFSYS quando ncou-se este trabaho. Foram fetos apenas aguns ajustes nas suas rotnas, não cabendo aqu, portanto, uma dscussão sobre ta mpementação... Eemento de cabo consderando atrto A mpementação computacona da formuação do eemento de cabo consderando o atrto exge aguns cudados especas. Isto se de ao fato de que ea necessta não apenas que seja defndo um crtéro de escorregamento do cabo, mas também que seja conhecdo o sentdo do mesmo, quando este ocorre. Como sto no tem., o cácuo da matrz de rgdez tangente do eemento depende destas nformações. A dfcudade maor, porém, está em defnr o momento exato, durante a execução do programa, em que estas nformações deem ser obtdas. Esta dfcudade se torna mas expícta ao embrar-se que quaquer acréscmo de carga pode proocar uma mudança na condção de escorregamento de um cabo, seja ea uma carga externa, força de protensão, ou mesmo uma aração de temperatura. As arações possíes na condção de escorregamento de um eemento de cabo são: a) um eemento de cabo, que antes não escorregaa, passa a escorregar numa determnada dreção; b) um eemento de cabo, que anterormente escorregaa numa determnada dreção, dexa de escorregar; e

59 46 c) nersão do sentdo de escorregamento de um eemento. É precso consderar, anda, o fato de que uma ez defndos a condção e o sentdo de escorregamento do eemento, dee-se mantê-os (condção e sentdo) constantes durante todas as terações necessáras para a conergênca do método de ewton. Portanto, a condção e o sentdo do escorregamento dos eementos de cabo deem ser obtdos durante a prmera teração de cada acréscmo de carga. É necessáro consderar a possbdade de atngr condções de equíbro que são ncompatíes com o probema físco. Estas stuações podem sem atngdas, por exempo, quando é nertdo o sentdo de escorregamento, de todos os eementos de cabo que escorregam. Se sto ocorrer, o método pode, ou smpesmente não conergr, ou conergr para stuações de equíbro que não condzem com a readade físca. Outra dscussão a ser feta dz respeto à condção nca de escorregamento do cabo. Duas hpóteses podem ser consderadas: todos os eementos de cabo escorregam em um certo sentdo, com o coefcente de atrto gua a zero; o coefcente de atrto é nfntamente grande de ta forma, que não há escorregamento do cabo. Adotando-se como erdadera a prmera hpótese de escorregamento, pode-se estar sujeto à ncoerênca de admtr o escorregamento em stuações em que ee não ocorre. Se, nesta stuação, as condções de escorregamento dos eementos de cabo forem erfcadas em cada uma das terações, percebe-se que o método conduz a uma aternânca no sentdo de escorregamento do cabo, a cada teração subseqüente. Consderando a concusão anteror de que a condção e o sentdo de escorregamento dos eementos de cabo deem ser erfcados apenas na prmera teração de um ncremento de carga ao se adotar esta hpótese como condção nca do

60 47 escorregamento, ou não será acançada a soução do probema, ou esta poderá ser fscamente nacetáe. Consderando a anaoga do probema do atrto com a pastcdade, mpementou-se o eemento de cabo com a condção nca de não escorregamento. Durante a prmera teração de cada ncremento de carga é determnado o sentdo de escorregamento para cada eemento de cabo, caso a condção de escorregamento seja satsfeta para uma parcea, ou anda para a totadade dos eementos. Isto é feto de forma terata, ou seja, ncamente todos os eementos de cabo funconam como eementos dupos de treça. Se ao fna da teração houer um eemento (ou mas) em que a condção de escorregamento é atngda, atera-se a condção de escorregamento do(s) mesmo(s) e a teração é repetda. Este procedmento é feto até a condção de escorregamento permanecer naterada para todos os eementos de cabo ao fna das duas útmas repetções da teração... Impementação do eemento de macaco A mudança de comportamento do eemento de macaco, ao passar da condção de macaco para a de ancoragem, se dá pea aração da sua rgdez axa. É necessáro defnr aores desta rgdez para o eemento de ta forma que satsfaçam a sua condção de funconamento sem, contudo, ear a probemas de condconamento da matrz de rgdez goba da estrutura. Quando, por outro ado, o eemento ester apcando a força de protensão, a rgdez axa dee assumr aores arbtraramente pequenos (mas não nuos). Os demas coefcentes de rgdez deem satsfazer as mesmas condções exgdas para a rgdez axa no caso em que a condção de funconamento do eemento é a de ancoragem. Um outro cudado que dee ser tomado na mpementação computacona é com reação ao aor do comprmento nca do eemento. Quando a função do eemento for a de ancoragem, o seu comprmento nca

61 passa a ser o comprmento obtdo no fna do processo de apcação da força de protensão. 48

62 49 4 Apcação dos eementos de cabo e de macaco à modeagem de peças de concreto protenddo sem aderênca este capítuo apresentam-se aguns exempos, que procuram, num prmero momento, adar as mpementações computaconas reazadas neste trabaho e exporar as característcas de cada eemento fnto mpementado. um segundo momento, buscam mostrar agumas apcações destes eementos na modeagem de peças de concreto protenddo sem aderênca. Para ta é necessáro, prmeramente, consderar os aspectos báscos da protensão não aderente. 4. Casos eementares este tem procura-se edencar as característcas dos eementos fntos apresentados no Capítuo. Para ta, comparara-se, sempre que possíe, o comportamento dos mesmos, nas mas dersas stuações. Esta anáse pode ncur stuações smpes ou mesmo casos extremos.

63 5 4.. Prmero caso Este prmero exempo numérco é composto por apenas um eemento de cabo. Os coefcentes de atrto usados são µ, e µ, 5. A área da seção transersa do cabo é de,. -4 m e o móduo de eastcdade 5 ongtudna do matera é de 7, GPa. A ntensdade da força é de,.. A confguração nca do eemento está ustrada na Fgura a, onde o trecho está dobrado sobre o trecho, ou seja, θ. Apca-se uma força segudora que faz o trecho do cabo grar no sentdo ant-horáro, arando θ de zero a π, como ndcado na Fgura b. Fgura - Eemento de cabo sujeto a uma força segudora, com gro de 6 o A trajetóra do nó, dada peo programa, para os dos casos (cabo com µ, e com µ, 5) está mostrada na Fgura. esta fgura obsera-se o comportamento do eemento de cabo com a aração do ânguo. É possíe comparar os aores obtdos consderando os dos aores do coefcente de atrto. Recordando a defnção do ânguo β (tem.),

64 erfca-se numercamente a expressão (), ou seja, quando β o comportamento do eemento do cabo com atrto se aproxma ao do eemento de cabo sem atrto. Quando 5 β π a nfuênca do atrto tende ao seu máxmo, e, conseqüentemente os desocamentos do nó do cabo, ao consderar o atrto, são menores, quando comparados com os aores obtdos sem a consderação do atrto. Fgura - rajetóra do nó do eemento da Fgura para os caso de atrto com µ, e µ, 5. A Fgura 4 mostra a aração da força apcada ao nó em cada uma das dreções (x e z) com a aração do anguo θ. Esta dstrbução nos mostra que o móduo desta força é constante. As reações de apoo no nó, nas duas dreções e para os dos casos ( µ, e µ, 5), estão representadas na Fgura 5. Obsera-se que a reação na dreção x, é sempre nua, ndependente do fato de eemento consderar ou não o efeto do atrto, como era esperado. o entanto o efeto do atrto é perceptíe na reação de apoo na dreção do exo z. O aor da reação correspondente ao caso sem atrto é sempre constante, enquanto que para o caso com atrto este aor ca exponencamente quando β afasta-se de π tanto para um ado quanto para o outro (embrando que β π corresponde ao cabo retfcado).

65 5 Fgura 4 - Varação de ânguo β. F X e F Y em função do Fgura 5 - Reações de apoo no nó em função do ânguo β. Fgura 6 - Reações de apoo no nó em função do ânguo β. a Fgura 6 são apresentadas as reações de apoo que surgem no nó. Pode-se obserar na dreção x a reação tem sempre o mesmo móduo

66 da componente F X da força apcada no nó, ndependente do fato do eemento consderar ou não o efeto do atrto. o entanto o efeto do atrto torna-se bem síe comparando-se as reações na dreção do exo z. A dferença obserada entre os casos com e sem atrto é o aor da força de atrto. Obsera-se na Fgura 7, como esperado, que a reação entre os móduos da força de atrto e a da força de tração apcada ao nó, cresce exponencamente a medda que β se afasta de π. Para o caso apresentado tem-se que esta reação atnge o aor máxmo de 54,4% quando β, ou β π. Em outras paaras, a força que surge dedo ao efeto do atrto acança 45,59% da força apcada. 5 Fgura 7 - Reação entre os móduos da força de atrto e da força de protensão. Coném ressatar aqu os reas objetos e as mtações da adade deste exempo. Concusões precptadas podem ser tradas se sto não for eado em conta. Pretenda-se apenas mostrar o comportamento dos eementos de cabo, com ou sem atrto, com a aração do ânguo β. Poder-se-a concur, por exempo, pea não nfuênca do rao da poa fxa no nó. o entanto, em casos reas sso nem sempre pode ser assumdo. A formuação do eemento não consdera a rgdez do cabo a fexão. Isso permte que o anguo β assuma aores quasquer. o entanto, fscamente, para casos em que o rao da poa for muto pequeno, ocorrem

67 54 deformações pástcas ao ongo do trecho curo do cabo. Aém dsso, deese consderar os mtes da adade da e de Couomb referentes aos aores mínmos do rao de curatura. Estrtamente faando, não é áda a smuação apresentada neste exempo para aores de β próxmos a zero e a π. Obsera-se, anda, que para a reprodução físca do exempo haera necessdade de mas uma poa fxa no nó. Caso contráro o eemento permanecera retfcado quando β > π. 4.. Segundo caso oamente é apresentado um exempo com apenas um eemento de cabo. Fxadas as extremdades, apca-se, ncamente, uma força no nó centra do eemento. Esta força está no mesmo pano do eemento e tem a dreção perpendcuar à reta que ga suas extremdades ( F X ). Posterormente apcase uma outra força ( F Z ), também copanar, porém com dreção perpendcuar a prmera. A Fgura 8 mostra a confguração nca do eemento e as forças apcadas. Fgura 8 - Confguração nca do eemento de cabo do segundo caso O aores do coefcente aram de µ, a µ, 5. A área da seção transersa do cabo é de,. - m e o matera que o consttu tem móduo de eastcdade ongtudna GPa. A ntensdade das forças F X e F Z é de,. 5.

68 O objeto deste exempo é obserar o desocamento do nó a medda em que o móduo de F Z aumenta. Mas especfcamente, erfcar o aor do móduo de F Z para o qua o eemento começa a escorregar, para os dersos coefcente de atrto. Anatcamente estes aores podem ser determnados em função da geometra (ânguo entre os trechos), do coefcente de atrto e do móduo de F X. Consderando as defnções da Fgura 8 e a equação (5), eando em conta o sentdo de escorregamento, tem-se: F F F Z Z X Sn Cos µβ ( γ )( e ) µβ ( γ )( e ) 55 (8) onde - norma que atua no trecho do cabo (entre os nós e ); - norma que atua no trecho do cabo, e π β γ ( β como defndo na Fgura 5) Ddndo-se F Z por F X, obtêm-se a expressão: F Z µβ ( e ) FX ( e π β A µβ (9) abea - Vaores mínmos de F Z para que o cabo escorregue µ F ( k ),,5 7,85, 5,676,5,454,,6,5 8,77, 46,7 A Fgura 9 mostra as curas que reaconam os desocamentos do nó na dreção do exo z, para os aores dos coefcentes de atrto consderados. a abea estão transcrtos os aores dos móduos de F Z Z

69 56 em que o eemento nca o seu escorregamento em reação ao nó. Estes aores foram cacuados por meo da equação (9). Verfca-se uma concordânca entre os aores obtdos numérca (peo PEFSYS) e anatcamente. Fgura 9 - Reação entre o móduo da força apcada horzontamente e o desocamento horzonta no nó. 4.. ercero caso este exempo busca-se estudar o comportamento do eemento de macaco, exporando suas característcas em stuações extremas. Apresenta-se uma estrutura composta por uma ga, um eemento de barra extremamente rígdo, um eemento de cabo dea e, obamente, o eemento de macaco. A confguração nca está ustrada na Fgura. A ga tem uma seção transersa de, m,, móduo de eastcdade ongtudna,86. m 8 E e móduo de eastcdade transersa 7,75. m 8 G e seu comprmento é m. O cabo tem uma seção transersa de área A 4,. m e o seu matera tem E,. m. O eemento rígdo tem comprmento peo macaco é F p 7k. 5m. A força de protensão a ser apcada

70 57 Fgura Confguração nca do exempo para teste do eemento de macaco Fgura Confgurações nca e deformadas do exempo teste do eemento de macaco A força de protensão é reatamente ata e as propredades da ga he proporconam a possbdade de grandes deformações. Com a apcação da toda a força de protensão peo macaco, a deformada da ga deerá ser A escaa horzonta desta fgura é aproxmadamente gua à escaa ertca, podendo, portanto, ocorrer pequenas dstorções.

71 58 uma cura com concadade otada para cma. A perpendcuardade entre o eemento rígdo e a extremdade ga deerá ser mantda. Este eemento sofrerá apenas um momento de corpo rígdo. O eemento de macaco, por sua ez, deerá permanecer perpendcuar ao exo do eemento rígdo e sofrer um aongamento near ao ongo de seu exo. A Fgura mostra as confgurações nca e deformadas da estrutura. A prmera confguração deformada corresponde à apcação da metade da força de protensão. A segunda corresponde ao fna da apcação da protensão. Verfca-se o comportamento esperado para o eemento de macaco, mesmo em grandes desocamentos e grandes rotações Quarto caso O objeto deste exempo é estudar a aração da força de protensão ao ongo de um cabo, consderando áros aores do coefcente de atrto. A confguração nca do probema está representada na Fgura. O móduo de eastcdade adotado é de 7, GPa e a área da seção transersa do cabo é de,. -4 m. A força de protensão apcada peo macaco no nó 9 é de. A undade de comprmento é o metro. Os aores da força de tração em cada trecho do cabo (er defnções na Fgura ), obtdos numercamente, podem ser stos no gráfco da Fgura. Os aores do coefcente de atrto µ aram de, a,. a abea estão transcrtos os aores cacuados anatcamente. Os aores de tensão no cabo de protensão cacuados de forma numérca concordam com os correspondentes aores cacuados anatcamente.

72 59 Fgura Confguração nca do quarto caso Fgura Força (), em cada trecho do cabo, para dferentes coefcentes de atrto. abea - Força de protensão () ao ongo do cabo, cacuada numercamente, para dferentes coefcentes de atrto recho µ, µ, 5 µ, µ, 5 µ, µ, 5 µ,

73 Qunto caso Consderando um caso smpes, estudam-se agumas nfuêncas do coefcente de atrto do cabo de protensão nos desocamentos dos nós de uma estrutura. A confguração nca deste exempo está representada na Fgura 4. O móduo de eastcdade do cabo de protensão é de GPa e a área da seção transersa do mesmo é de 4,. m. A força de protensão apcada peo macaco no nó 5 tem a ntensdade de k e o móduo da força F de k. As dmensões da seção transersa estão na referda fgura, sendo que a undade de comprmento usada é o metro. Fgura 4 - Confguração nca da estrutura do qunto caso este caso, optou-se por consderar atrto somente no prmero eemento de cabo. A opção por um eemento de cabo sem atrto junto ao eemento de macaco possbta a coocação deste útmo sempre numa posção ta que o seu exo fque na dreção do exo da ga, sem que haja necessdade de cacuar a tangente ao cabo para determnar as coordenadas da extremdade re do macaco. Os desocamentos e rotações obtdos numercamente para cada nó da estrutura estão expostos na abea. Ao obserar esta tabea erfca-se a nfuênca do atrto nos desocamentos ertcas, como também na perda da smetra da estrutura. A comproação desta perda é obtda peo fato de que

74 os desocamentos horzontas dos nós da metade esquerda são menores, em móduo, do que os dos correspondentes nós da metade dreta. abea - Desocamentos e rotações dos nós da estrutura representada na Fgura 4 6 Carregamento Protensão ó Sem atrto Com atrto ( µ,5) x z R y x z R y.e 7.78E-5 5.9E-4.E 5.5E-5.9E-4.6E E- 4.9E-.7E-4 5.5E-5 5.9E-5.4E-.4E-.E.6E-.4E-.E 4.E -7.78E-5-5.9E-4.E -7.78E E-4 5.E.4E-.E.E.E-.E 6.59E-4.E 4.57E-.7E-4.E 4.E-5 Protensão carga ertca.e 7.78E-5-5.8E-4.E 5.5E-5-7.8E-4 -.9E-4 -.E- -.75E- -.E-4 5.5E-5 5.9E-5 7.E-4 8.8E-4.E 4.77E-4 6.9E-4.E 4.E -7.78E-5 5.8E-4.E -7.78E- 6.4E-4 5.E.64E-.E.E.E-.E 6 -.9E-4.E -.6E- -.E-4.E 4.E-5 É mportante ressatar que os aores de desocamentos e rotações obtdos neste exempo podem ser comparados apenas reatamente. Para que possam ser comparados de forma absouta, seja com aores anaítcos, seja com aores de modeos mas refnados, ou mesmo aores expermentas, um grau de dscretzação maor da ga dee ser consderado. 4. Concreto protenddo A protensão consste em ntroduzr um estado préo de tensões capaz de mehorar a resstênca ou o comportamento de uma estrutura, sob dersas condções de carregamento. Este sstema construto tem encontrado mutas apcações estruturas, assocadas ao aço, madera, concreto e outros materas. O concreto protenddo, por razões técncas e econômcas, tem sdo o matera mas utzado em apcações prátcas da protensão.

75 6 O concreto protenddo é a mas recente, das mas mportantes formas de construr, ntroduzda na engenhara estrutura. A déa da protensão não é noa. Ao ongo da czação humana são mutos os exempos de estruturas smpes em que se cram tensões préas (em gera de compressão) para se opor às tensões a serem geradas peo carregamento ou uso futuro. São tradconas os processos construtos do barr e da roda de raos. Em ambos cooca-se uma cnta metáca externa aquecda (datada), de dâmetro menor do que o formado peas maderas a serem reundas. Ao esfrar, a cnta prooca um esforço de compressão entre as partes de madera. Quando utzados, tanto o barr quanto a roda, sofrerão um esforço de tração, produzndo um aío nas tensões de compressão que haam sdo cradas preamente. o concreto, com sua característca de baxa resstênca à tração, a déa de se crar esforços préos de compressão surgu pouco depos da concepção do concreto armado. A ntenção é crar um campo de tensões de compressão no concreto, de ta forma que as tensões de tração proocadas peo carregamento externo sejam superpostas às tensões préas de compressão. Assm, antes que apareçam tensões de tração no concreto, deerão ser anuadas as tensões de compressão apcadas pea protensão. 4.. Concetos báscos o concreto armado conencona, o aço é utzado para absorer os esforços de tração, cabendo ao concreto resstr aos esforços de compressão. Anasando-se uma seção quaquer de uma peça de concreto armado, pode-se pensar, num prmero momento, que smpesmente com a mehora progressa da quadade dos materas é possíe acançar maores tensões, tanto no aço quanto no concreto. Isto sera sufcente para aumentar a capacdade de carga út da seção. o entanto, com o aumento de tensões na armadura, aumenta-se também a abertura das fssuras no concreto, dmnundo-se, com sso, a efcênca da proteção do aço contra a corrosão.

76 O campo de apcação do concreto armado fca, então, mtado pea fssuração. Isto não permte o aproetamento racona dos materas de eeada resstênca que a ndústra pode produzr de forma economcamente áe. Com a protensão anua-se, ou dmnu-se drastcamente, as tensões de tração no concreto, de modo a emnar, ou a controar, a abertura de fssuras. Esta redução pode ser exempfcada com o esquema mostrado na Fgura 5. Esta fgura mostra uma ga smpesmente apoada, submetda a uma carga unformemente dstrbuída q e a uma força de protensão apcada com uma excentrcdade e p em reação ao exo da ga. 6 F p a) mostra o esquema de carregamento da ga, sua seção transersa e as condções de contorno; b) dagrama retanguar da protensão supostamente centrada; c) dagrama near dedo à excentrcdade da protensão; e ; d) dagrama da protensão com excentrcdade ( ) p e) repetção do dagrama (d) f) dagrama near da soctação M q das cargas transersas ( q ); e g) dagrama tota de tensões de protensão soctação das cargas de serço. Fgura 5 Vga smpesmente apoada com cargas transersas e força de protensão apcada com excentrcdade, dagramas de tensões para a seção centra Fgura extraída de [Pfe, 98], pág. 8.

77 64 este exempo a força de protensão é apcada com uma excentrcdade p e, medda a partr do centro de gradade de seção transersa (CG). As tensões causadas pea protensão [dgrama d)] estão expressas por duas parceas: a prmera [dgrama b)] reata à compressão smpes, e a segunda [dagrama c)], deda ao momento p P e F. :.. W e A F W e F A F W e A F W e F A F p c P p P c P cp p c P p P c P cp σ σ. A prmera expressão é a tensão na fbra nferor e a segunda a tensão na fbra superor da seção transersa do meo do ão. A soma dos gráfcos (e) e (f), onde (f) representa as tensões dedo às cargas de serço, nos dá o dagrama fna de tensões. o caso de protensão competa, este dagrama dee satsfazer as expressões: c q p c P c q p c P c W M W e A F W M W e A F σ σ σ onde c σ é o aor de tensão admssíe do concreto. O conceto de protensão como uma força externa apcada, no caso de protensão competa, nos permte consderar a seção de concreto como matera homogêneo. Essa anáse é, geramente, feta de modo conencona, admtndo-se que o concreto seja um matera homogêneo e eástco. 4.. Aspectos geras O concreto protenddo apresenta mutas antagens técncas e econômcas sobre os dersos materas que concorrem com ee na soução

78 65 de probemas estruturas. Pode-se ctar: o emprego de aços de ata resstênca; a emnação, ou redução, das tensões de tração em serço; a redução das dmensões da seção transersa; a dmnução da fecha; a maor resstênca à fadga e possbdade de desenomento de métodos construtos. São áras as cassfcações do concreto protenddo. De uma forma generazada, é cassfcado em pré-tração e pós-tração. Esta cassfcação consdera o momento em que a força de protensão é apcada ao cabo em reação a concretagem da peça. Consderando os tpos de aderênca, o concreto protenddo também pode ser cassfcado em [BR 797, 989]: concreto protenddo com aderênca; concreto protenddo com aderênca posteror e concreto protenddo sem aderênca. A BR 797 cassfca, anda, os tpos de protensão, reaconando-os com os estados mtes de utzação (ou em serço ) referentes à fssuração, emprega as combnações de ações estabeecdas na BR 868 na determnação das soctações referentes a esses estados mtes. A protensão é, então, cassfcada em competa, mtada e parca. As armaduras usadas em concreto protenddo, segundo a BR 997 [BR 797, 989] são cassfcadas em: armadura de protensão - aquea consttuída por barras ou fos soados, por cordões (cordoahas) formados por fos enroados, ou por fexes compostos por fos ou cordões paraeos - e armadura passa - quaquer armadura não utzada para produzr forças de protensão. Os aços de protensão deem ter: resstênca eeada; boa ductdade; pequena sensbdade à corrosão, especamente à corrosão sob tensão; toerâncas pequenas em reação aos aores da seção transersa; comprmentos grandes de fabrcação; e, para o caso de protensão em bancada e ancoragem por aderênca, oferecer resstênca de aderênca eeada [Leonhardt, 98]. A armadura passa (ou supementar) [Pfe, 98] tem as funções de: emnar, ou reduzr, a fssuração proocada por retração do concreto;

79 66 aumentar o momento de fssuração da ga; no caso de momentos superores ao de fssuração, auxar os cabos aderentes no controe da abertura de fssuras; e, aumentar o momento fetor de ruptura da seção. O concreto usado em estruturas de concreto protenddo é caracterstcamente de maor resstênca do que o usado em concreto armado. Dferentes móduos de eastcdade, capacdade de deformação e resstêncas deem ser eados em conta peo projetsta. O conceto de estado mte enoe a dentfcação de áros fatores que afetam a conenênca de uma estrutura em satsfazer o propósto para o qua ea fo projetada. Se quaquer um dos fatores que determnam os estados mtes não for satsfeto, a estrutura é tda como reproada. As conseqüêncas da não acetação da estrutura, no entanto, aram consderaemente, entre os estados mtes, e sto pode ser consderado peo uso de dferentes fatores de segurança para cada estado mte [Husrt, 988]. De uma manera gera, os estados mtes são cassfcados da segunte manera [Fusco, 976]: Estados Lmtes Útmos (ELU) correspondem ao aor máxmo da capacdade de suporte da estrutura. Estados Lmtes em Serço (ELS) decorrem de crtéros de utzação norma ou de durabdade. A defnção de ELU está assocada com uma stuação de coapso da estrutura, sto é, com a perda de sua capacdade portante. A segurança das estruturas de concreto protenddo, segundo a BR 797, dee ser erfcada em reação aos seguntes estados mtes útmos: a) estado mte útmo de perda do equíbro, goba ou parca, consderada a estrutura um corpo rígdo; b) estado mte útmo de transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sstema hpostátco; O termo Estado Lmte Utzação também é usado. o entanto o termo ELS é uma tendênca para a unformzação de concetos no meo técnco.

80 67 c) estados mtes útmos dedos a soctações normas; d) estados mtes útmos dedos a soctações tangencas; e) estado mte útmo de nstabdade por deformação. o ELS os fatores mas consderados são as deformações e as fssuras. A BR 797 recomenda a erfcação dos seguntes estados mtes de utzação: a) estado mte de descompressão; b) estado mte de formação de fssuras; c) estado mte de abertura das fssuras; d) estado mte de deformações excessas; e) estado mte de compressão excessa. Outros fatores também podem ser consderados, como a durabdade e a bração. Os prncpas fatores que nfuencam na durabdade das estruturas de concreto protenddo são: a proporção da mstura do concreto; o recobrmento do aço; e a njeção de nata de cmento na banha (na póstensão). A bração é mportante em estruturas que suportam carregamentos capazes de proocar brações com freqüênca gua a, ou próxma da, freqüênca natura da estrutura. 4.. Perdas medatas da força de protensão São áros os fatores que contrbuem para as perdas da força de protensão nca, apcada por sstemas de macacos hdráucos. Agumas destas perdas são medatas (acomodação das cunhas de ancoragem, encurtamento eástco do concreto e atrto) e afetam a força de protensão assm que esta é apcada à estrutura de concreto. Outras perdas ocorrem graduamente com o tempo (retração e fuênca do concreto, reaxação do aço) e são dtas progressas [Husrt, 988].

81 68 As anáses fetas neste trabaho não contempam os efetos dependentes do tempo. Portanto, no que se refere a perdas de protensão, têm-se partcuar nteresse nos efetos produzdos peas perdas medatas Acomodação das cunhas de ancoragem Geramente a ancoragem do cabo é feta por encunhamento nddua das cordoahas. O cabo pode sofrer um pequeno recuo durante o processo de transferênca da força de protensão do macaco para o sstema de ancoragem. Isto é conhecdo como perda por ancoragem. Ea atnge um certo comprmento do cabo, haendo uma reação dreta do comprmento do cabo afetado com o aor desta perda. Este processo mpca na mobzação de forças de atrto que agem em sentdo contráro àqueas da operação de protensão. O aor exato desta perda depende do tpo da ancoragem usada e é usuamente especfcada peo fabrcante. Um aor típco deste recuo é de 5mm [Hurst, 988] Encurtamento eástco do concreto O encurtamento eástco do concreto na protensão pode ser facmente entenddo anasando-se uma ga com uma excentrcdade do cabo e constante ao ongo do comprmento da ga, como na Fgura 6. Ao níe do cabo, a deformação do concreto dee ser gua a deformação no cabo de protensão. o caso de cabo não aderente, a soma das deformações no concreto dee ser gua a soma da deformações do cabo ao ongo de seu comprmento. Fgura 6 - Vga protendda com cabo excêntrco

82 Segundo [Hurst, 988] a aração da tensão no concreto dedo ao encurtamento eástco é dada por 69 σ P cs α σ P σ p σ P e α A A P c p r P M e I P (4) onde: α P c E E p c E móduo de eastcdade ongtudna do concreto E móduo de eastcdade ongtudna do cabo de protensão p σ p tensão nca no cabo A c área da seção transersa de concreto A Área da seção transersa do cabo de protensão p r rao de gração; r M momento atuante na seção antes da protensão I momento de nérca e excentrcdade do cabo P I A c Para uma peça pós-tensonada, com um únco cabo, ou com áros cabos tensonados smutaneamente, não há perda da força de protensão por encurtamento eástco, sto que o processo de traconamento dos cabos é feto até que seja acançada a força de protensão desejada. o caso mas econômco e usua, os cabos são tensonados seqüencamente. Após o prmero cabo, o tensonamento de quaquer cabo subseqüente reduzrá a força nos já ancorados, com exceção do útmo, que não sofrerá perdas por encurtamento eástco. o caso de cabos pré-tensonados, é assumdo que a força tota é transferda para a peça de uma únca ez e que a perda por encurtamento eástco é α Pσ P. os cabos sem aderênca, a força de protensão efeta arará com o carregamento na estrutura, efeto este usuamente gnorado em projetos.

83 Atrto Em estruturas pós-tensonadas exste atrto entre o cabo de protensão e a superfíce nterna da banha durante a apcação da força de protensão. A magntude deste atrto depende da forma do duto e do tpo de cabo usado. Há dos mecansmos báscos que produzem atrto: um é a curatura mposta ao cabo para se obter o perf desejado, o outro, netáe e não ntencona, é o deso da banha em reação a sua posção teórca (fata de neardade, fecha entre pontos de suspensão). A BR 797, no tem sugere a equação (4) para o cácuo das perdas de protensão por atrto em estruturas pós-tensonadas. µ ( k. x) f a ( x) p [ e α σ ] (4) onde: ( x) f a perda da tensão de protensão no cabo na seção de abscssa x; σ p tensão máxma apcada à armadura peo equpamento de tração; µ coefcente de atrto aparente entre cabo e banha; α soma dos ânguos de deso prestos, no trecho compreenddo entre as abscssas e x; k coefcente de perda por metro proocada por curaturas não ntenconas no cabo. Exstem dos efetos adconas do atrto que podem ocorrer. O prmero surge quando os cabos passam pea ancoragem. Este efeto é pequeno, contudo, da ordem de % e é usuamente coberto peo cácuo das perdas por atrto na banha, que tende a ser conserador. O segundo efeto é uma pequena quantdade de atrto nos própros macacos, entre o pstão e sua enotóra. Ee faz com que a força de protensão apcada no cabo seja menor do que a ndcada pea pressão hdráuca e é usuamente determnado peo processo de fabrcação do macaco e a compensação feta ao cabrar a tensão de etura [Hurst, 988]. As perdas por atrto afetam somente estruturas pós-tensonadas e aram ao ongo do comprmento da peça. Assm a força de protensão

84 7 resutante na pós-tensão não ara somente com o tempo, mas também com a posção ao ongo do desenomento do cabo. As perdas da força de protensão, dedo ao atrto e à acomodação das cunhas de ancoragem, ao ongo do comprmento do cabo, podem ser representadas como na Fgura 7. Fgura 7 Esquema de representação das perdas por atrto e acomodação das cunhas de ancoragem no cabo de protensão 4..4 Protensão sem aderênca Quando a aderênca entre o concreto e o cabo de protensão é emnada, ou artfcamente reduzda a um mte máxmo atngíe na prátca, o termo sem aderênca é usado. Os termos banha engraxada e cabo não aderente também são encontrados na teratura, referndo-se à protensão sem aderênca. Város pesqusadores ([Akhar, 99], [Aouche, 998], [Campbe,99], [Chakrabart,994a]. [Chakrabart, 994b], [Du, 985], [Gongchen, 988], [Haraj, 99], [Haraj, 99b], [aaman, 99a], [aaman, 99b]) tem otado seus estudos, expermentas e/ou teórcos, para o entendmento das propredades e dos fenômenos que enoem estruturas protenddas com protensão sem aderênca.

85 7 O crescente uso de cabos não aderentes em estruturas protenddas se dee à smpcdade de operação e ao seu baxo custo untáro, comparado com cabos aderentes. O processo de enchmento, com nata de cmento, da banha do cabo de protensão com aderênca posteror é caro e trabahoso. Uma das antagens do uso de cabos não aderentes é a emnação desta etapa de execução, tornando-se uma aternata de operação fác e de menor custo. Outras antagens do uso de cabos não aderentes podem ser ctadas, dentre eas: dmnução das perdas por atrto; maor facdade e rapdez na coocação das cordoahas nas formas; o aço de protensão já chega ao cantero protegdo pea graxa e pea banha; e a possbdade de uma maor excentrcdade, que é mportante em ajes fnas. A anáse de estruturas protenddas, ou parcamente protenddas, com cabos não aderentes oferece um grau de dfcudade maor em comparação à anáse de estruturas com protensão aderente. Segundo aaman [aaman,99a], o fato de o cabo ser ou não aderente, ntroduz mudanças pouco sgnfcatas no comportamento da estrutura. o entanto, esta afrmação não é erdadera quando o ELU da estrutura for consderado. O momento resstente da seção é, geramente, menor quando comparado com o uso de cabos aderentes. Isto se erfca peo fato de não haer compatbdade de deformações, seção a seção, entre o aço de protensão e o concreto. A fata de aderênca nos permte afrmar apenas que a deformação tota do cabo tem o mesmo aor da soma das deformações que ocorrem ao ongo da peça de concreto. A nfuênca da dstrbução das deformações é percebda peas necessdade de um acréscmo na quantdade de armadura passa, em reação a protensão aderente, tendo como causa o menor aproetamento do aço de protensão. As tensões no cabo não aderente dependem das deformações em toda a peça. Estas tensões não podem ser determnadas smpesmente pea anáse da seção transersa, pos, como já dto, não há compatbdade de deformações. O acréscmo de tensão é, então, determnado por uma anáse

86 7 das deformações em toda a estrutura. Isto é ádo tanto para os regmes eástcos e neástcos, quanto para o ELU [aaman, 99b]. Para determnar o momento resstente útmo é necessáro cacuar as tensões no cabo de protensão no ELU. A anáse da estrutura no ELU exge um estudo mas aprofundado, consderando, ncuse o comportamento pós-crítco da estrutura. o entanto, no âmbto deste trabaho, serão abordados apenas casos que se encontram no regme eástco da estrutura Modeagem numérca de estruturas com protensão sem aderênca Ao se tratar da modeagem numérca dos efetos da protensão nas estruturas de concreto protenddo, erfca-se que a maor parte das formuações apresentadas até agora ([Akhar, 99], [Chakrabart, 994a], [Chakrabart, 994b], [Du, 985], [Gongchen, 988], [Haraj, 99], [Haraj, 99a], [Haraj, 99b], [Inomata, 987], [aaman, 99b], [Roca, 99a], [Roca, 99b], [Schrefer, 98], dentre outras) foram desenodas como uma extensão dos modeos exstentes para a anáse de estruturas de concreto armado. Desenoer modeos numércos que expressem o comportamento não near de estruturas de concreto armado tem sdo o objeto de mutos pesqusadores, dentre ees ha [ha, 999], Majorana [Majorana, 98] e Wood [Wood, 977]. Mutos destes modeos numércos são fetos acopandose a formuação dos desocamentos do modeo de eementos fntos a um conjunto de modeos consttutos parcas para os prncpas aspectos do comportamento não near dos materas, tas como a reação tensãodeformação, a ncação e a propagação de fssuras no concreto, a aderênca entre a armadura e o concreto, fenômenos que dependem do tempo - fuênca e encurtamento do concreto -, dentre outros. Estes modeos ncuem os efetos não neares geométrcos, causados por grandes desocamentos, pea ntrodução das condções de equíbro na geometra da estrutura na

87 confguração deformada e também pea consderação dos termos quadrátcos das equações de compatbdade dos desocamentos. Baseado na formuação dos desocamentos do método dos eementos fntos, Roca et. a [Roca, 99] desenoeu um trabaho onde fo descrta uma formuação para ncur o efeto da protensão na utzação de modeos numércos. Estes modeos consderam a anáse não near geométrca e matera, nstantânea e ao ongo do tempo, em gas, ajes e cascas de concreto armado. Com o objeto de obter um níe máxmo de automatzação e uma boa consstênca com o método dos eementos fntos o autor consdera de manera únca os aspectos geométrcos e mecâncos da protensão. A força de protensão é substtuída por forças nodas equaentes e apcadas nos correspondentes nós dos eementos de concreto. A e de atrto consderada neste trabaho é a e de Couomb. Para o cácuo das deformações dos cabos não aderentes, é neggencado o atrto entre o cabo e a banha, resutando numa deformação unforme ao ongo do cabo. Conseqüentemente a tensão atuante no cabo é tda como constante. Para obter a matrz de rgdez do cabo não aderente, o autor sugere o uso de uma aproxmação aderentes. x p, x onde p é a matrz de rgdez de cabos Esta formuação é baseada em um tratamento dscretzado do cabo de protensão, onde a geometra do cabo e os efetos mecâncos são ntroduzdos por meo do método dos desocamentos no método dos eementos fntos. Esta consstênca, juntamente com a consderação da mpementação prátca, torna possíe o uso da formuação proposta para ncur o tratamento numérco de cabos em mutos modeos numércos exstentes, preamente desenodos para estudo do concreto armado. koc et. a [koc, 997] apresentou um modeo numérco para a anáse não near de estruturas de concreto pós-tensonadas, parca ou totamente protenddas. Este modeo consdera perdas por atrto, perdas na zona de ancoragem, causadas pea deformação do concreto e perdas causadas peo encurtamento near ou não near do concreto. Os cabos de 74

88 75 protensão e a armadura passa são modeados por eementos fntos soparamétrcos de três nós. A nfuênca da protensão no concreto é modeada pea dstrbução de cargas normas e tangencas ao ongo do cabo. Os modeos numércos para smuação da protensão sem aderênca contempam a anáse do contato entre materas. Consdera-se a possbdade de desocamentos reatos entre as superfíces de dferentes eementos, que ncamente estão, ou estarão durante agum tempo abrangdo pea anáse, em contato entre s. a modeagem de uma estrutura que contenha eementos com eementos de cabo é necessáro dexar bem caro como é feta a nteração entre os eementos de cabo e os demas eementos da estrutura. Faz-se necessáro expctar o processo de transmssão de esforços entre os dferentes eementos e também a consderação da compatbdade das deformações. este trabaho, ao modear-se estruturas protenddas com eementos de cabo, usa-se eementos de ga dotados de grande rgdez à fexão e à tração/compressão, para defnrmos o traçado do cabo e fazer as nterações entre este e a estrutura. Conecta-se uma das extremdades de um eemento rígdo ao nó centra de um eemento de cabo e a outra ao correspondente nó da estrutura. Com sto fcam garantdas a transmssão de esforços e a ncuação dos desocamentos entre os nós ntergados. A Fgura 8 mostra um esquema de modeagem de uma ga protendda com dos ãos.

89 76 Fgura 8 - Esquema de dscretzação de uma ga protendda smpesmente apoada com dos ãos 4..6 Exempos de modeagem numérca de estruturas com protensão sem aderênca Para estudar o comportamento de gas com protensão sem aderênca, apresentam-se dos exempos. As anáses são fetas no regme eástco das estruturas. Conforme menconado anterormente, apenas perdas medatas da protensão são consderadas. Em cada exempo, apenas um cabo de protensão é usado. Com sto não ocorrem perdas por encurtamento eástco do matera. O eemento de macaco anda não permte consderar as perdas por ancoragem do cabo de protensão. Por esta razão, o aor da força de protensão apcada corresponde à tensão na extremdade do cabo após as perdas por acomodação das cunhas de ancoragem Prmero exempo este caso anasa-se o comportamento de uma ga com cabos externos, como representado na Fgura 9. O cabo de protensão tem móduo de eastcdade ongtudna de E GPa e área da seção transersa de A 4,.. A seção m transersa da ga tem área de,x, m, o móduo de eastcdade do

90 77 matera da ga é de E, GPa e o móduo de eastcdade transersa é de E,5 GPa A força de protensão é de k e a ntensdade da força F é de k. A undade de comprmento é o metro. Consdera-se dos coefcentes de atrto: µ, e µ, 5. Fgura 9 - Confguração nca da estrutura do prmero exempo Para estudar este caso usou-se as três mahas da Fgura. O carregamento fo reazado em duas etapas, para todas as mahas. a prmera etapa apcou-se apenas a força de protensão, e na segunda as cargas ertcas. Fgura - Mahas usadas no prmero exempo.

91 78 a maha têm-se apenas eementos de gas, eementos de cabo, eementos rígdos e o eemento de macaco. O prmero eemento de cabo é um eemento dea. Obsera-se que nesta maha são usados poucos eementos. Portanto, os resutados obtdos atraés dea deem serr apenas como ndcato do comportamento da estrutura. A Fgura mostra os desocamento ertcas do exo da ga obtdos com esta dscretzação. Fgura - Desocamentos ertcas do exo da ga maha Verfca-se que a deformação da ga é maor, na etapa nca, para o caso em que o atrto é nuo, enquanto que para a segunda etapa a deformação é maor quando se consdera o atrto. Este resutado está de acordo com o comportamento esperado para gas protenddas sem aderênca. Comparando as mahas e, erfca-se que na segunda dferencase da prmera apenas por consderar mas eementos de ga. Os resutados obtdos com esta maha estão mostrados na Fgura.

92 79 Fgura - Desocamentos ertcas do exo da ga maha Obsera-se uma mehora nos resutados, comparando-os com os resutados obtdos com a maha. A deformada do exo da ga apresenta a curatura esperada. o entanto anda não é caramente obserada a perda de smetra da estrutura esperada quando o atrto é consderado. Isso se dee ao fato de que são usados apenas dos eementos rígdos para a transmssão de esforços e desocamentos entre o cabo e a ga. a maha usou-se a mesma quantdade de eementos de ga que na maha. o entanto foram usados mas eementos de cabo e rígdos. Os resutados obtdos com esta maha estão mostrados na Fgura. Fgura - Desocamentos ertcas do exo da ga maha Com a maha, a ga apresentou o comportamento esperado de uma ga com cabos nternos. Isto se dee peo uso de áros eementos de cabo e de eementos rígdos. A perda de smetra da estrutura pea consderação do atrto é tornou-se bem síe com esta maha. Obsera-se, anda, que a deformada da ga apresenta uma concadade otada para baxo no trecho

93 correspondente ao ão centra depos da apcação das cargas ertcas. Este efeto é semente percebdo para o caso sem atrto da maha. Porém, na maha, este comportamento tornou-se mas edente. Uma manera de entender este efeto é consderar a substtução de eementos da estrutura por forças equaentes, como na Fgura 4 - Forças correspondentes - maha. o tem (a) desta fgura o cabo de protensão da maha fo substtuído peas forças estatcamente equaentes F, F e F. A partr destas encontrou-se as resutantes F R e F R. o tem (b), as resutantes são desocadas para os nós correspondentes na ga, e apcase, nestes nós, os momentos M e M. Estes momentos são causados peas forças equaentes, consderadas na posção anteror [tem (a)]. Consderando-se este carregamento estatcamente equaente aos esforços apcados à ga peos eementos rígdos, fca caramente justfcada a concadade da ga neste ão. 8 Fgura 4 - Forças correspondentes - maha Este mesmo procedmento pode ser apcado à maha. É mportante ressatar que este efeto tornou-se mas edente peo fato de ter-se usado móduos de eastcdade ongtudna e transersa

94 8 pequenos. Em estruturas correntes, normamente este efeto não é obserado. A confrmação destes resutados pode ser reazada por uma soução anaítca ou pea resoução do probema usando-se outro programa computacona equaente A abea 4 mostra os aores dos desocamentos e rotações dos nós do exo da ga obtdos com tercera maha. Obsera-se aores dferencados para os desocamentos ertcas dos nós smetrcamente opostos para o caso em que o eemento de cabo consdera o atrto. Isto se dee ao fato de a protensão ser apcada em uma extremdade do cabo apenas, o que faz com que as tensões ao ongo do cabo dmnuam da esquerda para a dreta, dedo ao efeto do atrto.

95 8 abea 4 - Desocamentos e rotações dos nós da estrutura representada na Fgura Carregamento ó Sem atrto Com atrto ( µ,5) x z R y x z R y Protensão Protensão carga ertca,e,e,4e-,e,e,7e-,5e- -,55E-4,4E-,E,E,7E- 6,9E- -,E-4,E-,76E- -,48E-4,5E- 4 9,8E- -4,99E-4,9E- 5,8E- -,4E-4,7E- 5,8E- -6,88E-4,E- 7,77E- -4,69E-4 9,5E- 6,9E- -8,88E-4 7,7E- 9,8E- -6,4E-4 7,78E- 7,5E- -,E- 4,85E-,4E- -8,9E-4 5,6E- 8,6E- -,E-,66E-,4E- -,E-,4E- 9,6E- -,54E- -,66E-,9E- -,8E- 4,8E-4 4,5E- -,76E- -4,85E-,7E- -,6E- -,4E- 4,9E- -,97E- -7,7E-,E- -,5E- -4,55E- 4,8E- -,7E- -,E-,7E- -,68E- -6,6E- 4 9,8E- -,6E- -,9E- 9,5E- -,8E- -8,5E- 44 6,9E- -,54E- -,E- 7,5E- -,94E- -9,49E- 45,5E- -,7E- -,4E- 4,8E- -,5E- -,E-,E -,86E- -,4E-,45E- -,6E- -,8E-,E,E -,9E-,E,E -,6E- -8,E-4-6,5E-4 -,64E- -9,55E-4-6,9E-4 -,6E- -,68E- -,7E- -,E- -,E- -,44E- -,6E- 4 -,55E- -,6E- -,6E-4 -,E- -,9E- -,E- 5 -,46E- -,E- 8,5E-4-4,5E- -,5E- -,E- 6-4,4E- -,99E-,E- -5,9E- -4,7E- -,6E- 7 -,99E- -5,4E-,4E- -5,E- -5,E- -,6E- 8 -,E- -6,4E-,E- -5,E- -6,4E- -,6E- 9 -,E- -7,7E- -9,97E-4-5,7E- -7,45E- -,4E- 4 -,98E- -8,7E- -,9E- -6,8E- -8,4E- -,94E- 4-4,4E- -9,4E- -,E- -8,8E- -9,4E- -,57E- 4 -,44E- -,4E- -8,56E-4-6,9E- -,E- 5,6E-4 4 -,5E- -,E-,48E-4-5,45E- -,E-,49E- 44 -,66E- -,E- 9,84E-4 -,79E- -,8E- 4,6E- 45-8,4E-4 -,8E-,59E- -,94E- -,4E- 5,4E-,E -,4E-,85E-,E -,9E- 5,8E-

96 Segundo exempo este exempo anasa-se o comportamento de uma ga protendda com cabos não aderentes. A geometra e o carregamento estão defndos na Fgura 5. A geometra e o traçado do cabo de protensão são smétrcos em reação à seção transersa do apoo centra. O cabo de protensão tem área da seção 4 transersa de A 5,. m e móduo de eastcdade ongtudna de E GPa. A seção transersa da ga tem área de,x,5 m, o móduo de eastcdade do matera da ga é de E, GPa e o móduo de eastcdade transersa é de E,5 GPa. A undade de comprmento é o metro. Consdera-se dos coefcentes de atrto: µ, e µ, 5. A força de protensão é de,. k, a da força F tem ntensdade de k e a carga unformemente dstrbuída q,5 k m. Fgura 5 - geometra e carregamentos da ga do exempo

97 84 A ga fo submetda a quatro combnações de carregamento:. protensão: somente a força de protensão;. prmero carregamento: protensão no cabo, carga unformemente dstrbuída todas as cargas concentradas;. segundo carregamento: protensão no cabo, carga unformemente dstrbuída e cargas concentradas apcadas no segundo ão; e 4. tercero carregamento: protensão no cabo, carga unformemente dstrbuída e cargas concentradas apcadas no prmero ão. A dstrbução do prmero, do segundo e tercero carregamentos está representada na Fgura 5. rês mahas foram construídas para a anáse desta ga. A ancoragem ata fo defnda como a da extremdade esquerda do cabo. O eemento de cabo conectado ao macaco é, para todas as mahas, um eemento dea. Este procedmento permte que o macaco seja coocado na posção horzonta sem que ocorram perdas por atrto neste eemento. A antagem deste procedmento é o fato de não ser necessáro o cácuo da tangente ao cabo nesta extremdade. O número de eementos e nós usados em cada maha é:. prmera maha: eementos de ga, eementos de cabo, 9 eementos rígdos, um eemento de macaco e nós;. segunda maha: 8 eementos de ga, 8 eementos de cabo, 5 eementos rígdos, um eemento de macaco e 5 nós; e. tercera maha: 4 eementos de ga, eementos de cabo, eementos rígdos, um eemento de macaco e 99 nós. Os desocamentos ertcas do exo da ga obtdos a partr da prmera maha, sem e com atrto, estão representados nas Fgura 6 e Fgura 7.

98 85 Fgura 6 - Desocamentos ertcas do exo da ga - prmera maha, com atrto nuo Fgura 7 - Desocamentos ertcas do exo da ga - prmera maha, consderando o atrto Apesar da smpcdade da prmera maha, aguns aspectos mportantes são obserados: a perda de smetra da estrutura dedo ao atrto, e a dentfcação dos carregamentos mas desfaoráes à estrutura. Anasando-se os gráfcos das referdas fguras dentfca-se facmente que os segundo e tercero carregamentos causam maores defexões na ga, sendo, portanto mas crítcos. Percebe-se, anda, uma pequena dferença no aor das fechas máxmas do prmero e segundo ãos para o prmero carregamento quando o atrto é consderado. Os desocamentos ertcas do exo da ga obtdos a partr da segunda maha estão representados nas Fgura 8 e Fgura 9.

99 86 Fgura 8 - Desocamentos ertcas do exo da ga - segunda maha, com atrto nuo Fgura 9 - Desocamentos ertcas do exo da ga - segunda maha, consderando o atrto Obsera-se que os efetos menconados na anáse da prmera maha tornam-se mas síes na segunda maha, nos casos sem ou com atrto. Aém dsso, nota-se uma pequena dferença entre a fecha máxma no prmero ão quando é apcado o tercero carregamento e a fecha máxma no segundo ão quando é apcado o segundo carregamento. O mesmo quando comparadas a fecha máxma no prmero ão, com a estrutura submetda ao segundo carregamento, e a fecha máxma no segundo ão, quando a estrutura for submetda ao tercero carregamento. o entanto, estes efetos só surgem quando o atrto é consderado, conforme esperado.

100 87 As Fgura 4 e Fgura 4 representam os desocamentos ertcas do exo da ga obtdos a partr da tercera maha sem e com atrto, respectamente. Fgura 4 - Desocamentos ertcas do exo da ga - tercera maha, com atrto nuo Fgura 4 - Desocamentos ertcas do exo da ga - tercera maha, consderando o atrto Os resutados obtdos com esta maha são semehantes aos encontrados com as mahas anterores. Porém, os efetos são obserados com maor careza. As dferenças entre os aores dos desocamentos obtdos com as segunda e tercera mahas são pouco sgnfcatas, não justfcando um maor grau de refnamento da maha. Anasa-se, então, a aração da força de protensão no cabo, usandose a tercera maha.

101 88 em-se que a força de protensão é constante ao ongo do cabo quando é desconsderado o efeto do atrto. Compara-se, então, as arações da força de protensão para os dferentes casos de carregamento. Esta aração é reaconada ao aor da tensão de protensão apcado peo macaco. Obsera-se um aumento de 4,5% no aor da tensão do cabo quando o prmero carregamento, e de 7,4% para os segundo e tercero carregamento. A Fgura 4 mostra um gráfco que compara estes aores. Fgura 4 - Varação da força de protensão no cabo sem atrto consderando-se os dferentes casos de carregamento Quando a presença do atrto é consderada, a força de protensão ara ao ongo do comprmento do cabo. Mostram-se, a segur, os aores desta força ao ongo do cabo para os casos de carregamento consderados. A Fgura 4 mostra a força de protensão ao ongo do cabo, quando apenas a protensão for apcada. a Fgura 44 é mostrada a força de protensão ao ongo do cabo, quando o carregamento é apcado. O gráfco da Fgura 45 mostra a força de protensão ao ongo do cabo, quando o carregamento é apcado. a Fgura 46 é mostra-se a força de protensão ao ongo do cabo, quando o carregamento é apcado.

102 89 Fgura 4 - Força de protensão ao ongo do cabo quando a força de protensão é apcada Fgura 44 - Força de protensão ao ongo do cabo quando o carregamento é apcado Fgura 45 - Força de protensão ao ongo do cabo quando o carregamento é apcado Fgura 46 - Força de protensão ao ongo do cabo quando o carregamento é apcado