SEM0 M Aul u a l a 14 Sistema de Múltiplos Corpos Sistema Pro r f. D r. r Ma M r a c r elo l Becker SEM - EESC - USP

Transcrição

1 SEM4 - Aua 4 Sistema de Mútipos Corpos Prof. Dr. Marceo ecker SEM - EESC - USP

2 Sumário da Aua ntrodução Sist. Muti-corpos no Pano Sist. Muti-corpos no Espaço Princípio de Jourdain Apicações /67

3 ntrodução Objetivos:» Reembrar o procedimento do cácuo de veocidades e aceerações de sistemas de Mútipos corpos;» Apresentar uma apicação do procedimento de obtenção das equações de equiíbrio dinâmico e das variáveis nea contidas. 3

4 Sumário da Aua ntrodução Sist. Muti-corpos no Pano Sist. Muti-corpos no Espaço Princípio de Jourdain Apicações 4/67

5 Apresentação do Mecanismo 5

6 Cinemática do Mecanismo. - Sistemas de Referência. - Matrizes de transformação.3 - Escrevendo os ânguos em função do ânguo de acionamento.4 - Veocidades e Aceerações dos Sistemas Móveis.5 - Veocidades e aceerações em reação ao Sistema nercia 6

7 . Sistemas de Referência Nome Tipo Eixos Cursores Origem nercia X, Y, Z i, j, k Centro do disco Móve X, Y, i, j, Z k ee Centro do disco, soidário a Móve X, Y, Z i, j, k Ponto, soidário ao corpo (braço) 3 Móve X 3, Y 3, Z 3 i 3, j 3, k 3 Ponto, soidário ao corpo 4 (pênduo) Obs: Nenhum sistema móve foi utiizado para descrever o movimento do corpo 3 (pistão) pois este é facimente descrito (transação pura) através do inercia. 7

8 . Matrizes de Transformação Sistema para base (Rotação em θ) cosθ sinθ T θ θ θ sinθ cosθ s T θ s θ > nesta posição 8

9 . Matrizes de Transformação Sistema para base (Rotação negativa em torno de Z, T cos sin sin cos com ânguo ) s T s > nesta posição 9

10 . Matrizes de Transformação Sistema para base 3 (Rotação positiva em torno de Z, cosψ sinψ T ψ ψ ψ sinψ cosψ com ânguo ψ) 3 s T ψ s ψ > nesta posição

11 .3 Escrevendo os ânguos em função do ânguo de acionamento r h θ h sin θ h r sinθ r sin h r sinθ r arcsin sinθ

12 .4 Veocidades dos Sistemas Móveis Corpo Vaores conhecidos ω θ ω pois θ é constante.

13 .4 Veocidades dos Sistemas Móveis Corpo Vaores desconhecidos. Sabe-se que o corpo gira em torno de Z, no pano XY ncógnitas: e Duas possíveis souções: Peas reações trigonométricas (triânguo); Equações de veocidade e aceeração absoutas de uma base móve. 3

14 Corpo θ cos r r Definição das grandezas na forma vetoria (em reação ao Sistema nercia).4 Veocidades dos Sistemas Móveis 4 θ θ. sin r r r T r r T cos. sin T T ψ ψ ψ cos. 3 3 sin T T

15 .4 Veocidades dos Sistemas Móveis Cácuo das veocidades Do Sistema : (Veocidade absouta do ponto A, fixo no disco): v A { vo + ω roa + vre OA ω 3 r OA () v O pois a veocidade do Ponto O é zero v Re OA pois não há movimento reativo entre A e O (corpo rígido) 5

16 .4 Veocidades dos Sistemas Móveis Cácuo das veocidades Do Sistema : (Veocidade absouta do ponto A, fixo no braço): v A v + ω 3 + vre A v + ω () guaando () e (), tem-se: ω r OA v + ω 6

17 Cácuo das veocidades Escrevendo na forma matricia: k j i v k j i.4 Veocidades dos Sistemas Móveis 7 cos cos + θ θ θ sin sin r r Resovendo os determinantes: + θ θ θ θ cos cos sin v r sin r

18 .4 Veocidades dos Sistemas Móveis Cácuo das veocidades Reescrevendo na forma matricia, em função das incógnitas sin v θ r sin θ cos r θ cos θ cuja soução é: v r θ sinθ sin r θ cosθ cos sin cos r θ sin( θ + ) cos r θ sinθ r θ cosθ sin cos r θ cosθ cos 8

19 .4 - Aceerações dos Sistemas Móveis Cácuo das aceerações Do sistema : (aceeração absouta do ponto A, soidário ao disco): a A a O ω { ao + ω ω r ω r +. ω 3 vre + are 3 pois não existe movimento reativo entre o ponto O e a origem do Sist. nercia r pois ω constante v Re a Re pois a veocidade reativa do Sistema nercia com reação a ee mesmo é zero. pois a aceeração reativa do Sistema nercia com reação a ee mesmo é zero. 9

20 .4 - Aceerações dos Sistemas Móveis Cácuo das aceerações Do sistema : (aceeração absouta do ponto A, soidário ao braço): a ω A a + ω ω + +. ω + 3 vre 3 are Como o ponto A é o mesmo para os dois corpos, pode-se iguaar as aceerações: ω ω r a + ω ω + ω

21 Cácuo das aceerações Matriciamente + + cos cos cos θ θ θ θ θ sin sin k j i a r sin r k j i.4 - Aceerações dos Sistemas Móveis θ θ θ θ sin r sin r + θ θ θ θ sin sin r r a sin cos cos cos Cuja soução θ θ θ θ θ θ cos ) cos( cos cos ) ( ) cos cos ( r sin sin sin r sin r a + + θ θ θ θ θ θ cos cos ) ( ) cos cos ( sin sin r sin sin sin r r +

22 Cácuo das aceerações Do sistema 3: (aceeração absouta do ponto 3, que é a mesma da massa do pênduo): { { Re Re P a v a a ψ ψ ψ ψ.4 - Aceerações dos Sistemas Móveis { { Re Re P cos cos ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ sin k j i sin k j i a a P cos cos ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ sin sin a a P + cos. 3 ψ ψ ψ ψ ψ sin a a a T a P P ase nercia ase 3

23 Dinâmica do Mecanismo Diagramas de corpo ivre Corpos e modeados como corpos rígidos Para cada corpo rígido no pano, tem-se 3 equações de equiíbrio dinâmico (duas de força e uma de momento). 3

24 Dinâmica do Mecanismo Diagramas de corpo ivre Corpos 3 e 4 modeados como partícuas Para cada partícua no pano tem-se duas equações de equiíbrio dinâmico (equações de força) 4

25 Dinâmica do Mecanismo ncógnitas: M, 3 F X, F Y, F X, FY, F3 X, F Y, N, T equações (três do corpo, três do corpo, duas do corpo 3 e duas do corpo 4): a restante se refere ao movimento do pênduo, montado na manivea. 5

26 Do corpo 4 - pênduo (base 3): Forças atuantes: cos ψ ψ ψ sin g m g m P T P g m P Dinâmica Dinâmica do Mecanismo do Mecanismo ψ ψ ) ( 3 T T

27 Dinâmica do Mecanismo Do corpo 4 - pênduo (base 3): ª Lei de Newton (base 3): i F m a m4g cosψ T m 4 g sin ψ + m a cosψ ψ a sinψ + 3 i 4 3 P 4 ψ Resovendo o sistema de equações: ª - Equação de movimento do pênduo: m ( 4 ψ + m4 a + g) sinψ (eq. diferencia não inear) Soução numérica 7

28 Dinâmica do Mecanismo Do corpo 4 - pênduo (base 3): ª Lei de Newton (base 3): Re-arranjando r θ cos( θ + ) + ψ + + g cos sinψ r sinθ arcsin θ θ r cos cos 8

29 Dinâmica do Mecanismo Do corpo 4 - pênduo (base 3): ª Lei de Newton (base 3): ª - Equação da força T em função da posição anguar ψ: [ ( g a )cos ψ + ψ ] T m 4 cos ψ Ou seja, para cacuar T precisa-se resover (numericamente) a equação diferencia não inear para ψ. 9

30 Do corpo 3 massa concentrada na extremidade do braço (base nercia): Forças atuantes 3 3 g m P N N Dinâmica Dinâmica do Mecanismo do Mecanismo 3 3 ψ ψ ψ cos. 3 3 sin T T T T T T T T N N ) ( y x F F F Reação Ação

31 ª Lei de Newton (base nercia): + ψ ψ + + cos y x i a m F F T sin T N m g a m F Dinâmica Dinâmica do Mecanismo do Mecanismo 3 i São três incógnitas (N, F 3x, F 3y ) para duas equações. Utiizar-se-á o corpo para competá-as.

32 Dinâmica do Mecanismo Do corpo braço (base nercia): Forças atuantes P mg F ( F ) F x y F3 F ( F ) 3 x 3 y Reação Ação 3

33 Do corpo braço (base nercia): ª Lei de Newton (base nercia): * y x y x y x i a a m F F F F m g a m F Dinâmica Dinâmica do Mecanismo do Mecanismo 33 i * a a aceeração do centro de massa do braço, cacuada como sendo: ω + ω ω + * * * y x a a a a / cos / * sin o que aumenta mais duas eq. de equiíbrio dinâmico

34 Do corpo braço (base nercia): Como o comportamento do corpo é de corpo rígido, acrescenta-se as equações de rotação. Utiizando Euer com o somatório de forças em reação ao ponto : Dinâmica Dinâmica do Mecanismo do Mecanismo 34 * P ) F (- a ). ( ). ( a H ) H ( M cm n i cm m r dt d m r dt d i H quantidade de movimento anguar

35 Dinâmica do Mecanismo Do corpo braço (base nercia): Cacuando em reação ao centro de massa e usando o Teorema dos Eixos paraeos para transadar as inércias do centro de massa para o ponto, obtém-se: O xx yy zz Somando-se as duas equações de equiíbrio dinâmico do corpo às 3 do corpo 3, tem-se 5 equações que permitem cacuar: N, F3 x, F3 y, F x, F y 35

36 Do corpo disco (base nercia): Forças e momentos atuantes P m g F y x F F Dinâmica Dinâmica do Mecanismo do Mecanismo 36 y F F y x F F M M

37 ª Lei de Newton (base nercia): + + a F 3 * m F F F F m g m y x y x i i Dinâmica Dinâmica do Mecanismo do Mecanismo 37 Como o comportamento do corpo é de corpo rígido, acrescenta-se as equações de rotação. { M F r a ). ( ). ( M O cg O O O n i O m r dt d i + + θ θ + θ 3 Utiizando Euer com o somatório de momentos em reação ao ponto O:

38 Sumário da Aua ntrodução Sist. Muti-corpos no Pano Sist. Muti-corpos no Espaço Princípio de Jourdain Apicações 38/67

39 Sist. Muti-corpos no Espaço GROSCÓPO Apicação dos Ânguos de Euer na modeagem do movimento: Equações de Movimento Reações Dinâmicas (O momento da força peso e anuado devido aos momentos de reação apicados peos mancais sobre o rotor) 39

40 Método de Newton-Euer Giroscópio Definição de sistemas de referência inercia e móveis Ψ Precessão Θ Nutação Φ Spin 4

41 Método de Newton-Euer Giroscópio Sistema inercia - base X, Y, Z no corpo Sistema móve - base X, Y, Z no corpo Sistema móve - base X, Y, Z no corpo Corpo V, rotor do giroscópio Ω Corpos 4

42 Método de Newton-Euer Giroscópio Rotação e Matrizes de transformação de coordenadas Precessão Nutação Spin 4

43 Método de Newton-Euer Giroscópio Veocidade anguar absouta dos sistemas móveis de referência; 43

44 Método de Newton-Euer Giroscópio Veocidade anguar absouta dos corpos,, V Giroscópio 44

45 Método de Newton-Euer Giroscópio Aceeraç ão anguar absouta dos corpos,, V 45

46 Método de Newton-Euer Giroscópio Veocidade inear absouta do centro de massa dos corpos,, V Aceeração inear absouta do centro de massa dos corpos,, V 46

47 Método de Newton-Euer Reações Dinâmicas Diagrama de corpo ivre 47

48 Método de Newton-Euer Reações Dinâmicas Equiíbrio Dinâmico 48

49 Método de Newton-Euer Momentos gerados peas forças Reativas 49

50 Método de Newton-Euer Equiíbrio de Euer 5

51 Método de Newton-Euer Reações Dinâmicas Equiíbrio Dinâmico 5

52 Método de Newton-Euer Reações Dinâmicas Equiíbrio Dinâmico 5

53 Método de Newton-Euer Reações Dinâmicas Momentos gerados peas forças Reativas 53

54 Método de Newton-Euer Reações Dinâmicas Momentos gerados peas forças Reativas 54

55 Método de Newton-Euer Equiíbrio de Euer 55

56 Método de Newton-Euer Equiíbrio de Euer 56

57 Método de Newton-Euer Reações Dinâmicas Equiíbrio Dinâmico 57

58 Método de Newton-Euer Reações Dinâmicas Momentos gerados peas forças Reativas 58

59 Método de Newton-Euer Equiíbrio de Euer 59

60 Método de Newton-Euer Reações Dinâmicas 6

61 Método de Newton-Euer Resovendo o sistema de equações Agrupando todas as equações, chega-se a um sistema de 8 equações. Têm-se 5 incógnitas, que são as forças dinâmicas de reação nos pontos A,, C, D e E; As três equações restantes são as equações diferenciais para os ânguos de precessão, nutação e spin; 6

62 Método de Newton-Euer Equações de Movimento 6

63 Método de Newton-Euer Equações dos Ânguos 63

64 Método de Newton-Euer Equações dos Ânguos 64

65 Método de Newton-Euer Simuações Experimenta Spin Experimenta Spin Simuação Experimenta Spin Experimenta Spin Simuação 65

66 Sumário da Aua ntrodução Sist. Muti-corpos no Pano Sist. Muti-corpos no Espaço Princípio de Jourdain Apicações 66/67

67 Princípio de Jourdain Equações de Movimento sem o Cácuo das Reações Dinâmicas Princípio do trabaho Virtua D`Aembert As forças e momentos apicados sobre um corpo rígido podem ser divididos em : Passivos Ativos 67

68 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Passivas São aqueas que não reaizam trabaho, como é o caso das forças e momentos de reação R e MR; Ativas São aqueas que reaizam trabaho FE e ME; 68

69 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Num pano onde um corpo é obrigado a reaizar determinada trajetória, a reação norma do pano sobre o corpo estará sempre perpendicuar à sua trajetória. Por isso a força norma não reaiza trabaho e é chamada e força perdida ou passiva ; 69

70 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Reescrevendo a equação de Newton- Euer 7

71 Princípio de Jourdain Forças e Momentos De outra forma temos 7

72 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Mutipicando agora peos vetores de desocamento Ι s e ξvirtua que estão na direção do movimento, e conseqüentemente são perpendicuares às forças e momentos de reação; 7

73 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Somando-se o trabaho virtua reaizado peas forças e momentos de reação temos: 73

74 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Fazendo o uso agora dos vetores de veocidade virtua, ξ Ι s e tem-se o princípio da potência formuado por Jourdain; 74

75 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Sabe-se que os vetores ξ Ι s e devem respeitar as condições de víncuo, ou seja, estes vetores só variam nas direções em que se têm graus de iberdade; 75

76 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Defini-se então o vetor q, composto peas coordenadas dos graus de iberdade do sistema mecânico; Mas os movimentos de um corpo rígido ivre (sem víncuos) no espaço são descritos por 6 coordenas: 3 de transação de 3 de rotação; 76

77 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Logo: { q q q q q q } T q ou q { q q q q q q } T

78 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Sabe-se que esses vetores de veocidade só variam nas direções dos graus de iberdade do corpo. Logo, os mesmos podes ser obtidos quando as derivadas dos mesmos em reação aos graus de iberdade do sistema são cacuadas. Essa ferramenta é denominada de Jacobiano; 78

79 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Jacobiano de Transação 79

80 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Jacobiano de Rotação 8

81 Princípio de Jourdain Forças e Momentos Substituindo esse Jacobianos na equação do princípio da potência temos a formuação de Jourdain; 8

82 Usando o Método de Jourdain Sistemas de Corpos Rígidos - Giroscópio O objetivo deste exempo é iustrar a apicação do princípio de Jourdain para a obtenção das equações diferenciais de movimento do Giroscópio sem que seja necessário a representação e cácuo das forças de reação entre os vário corpos; 8

83 Usando o Método de Jourdain Giroscópio 3 equações responsáveis por descrever o comportament o dos ânguos de precessão, nutação e spin; 83

84 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Veocidade anguar absouta dos sistemas e 84

85 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Veocidade anguar absouta dos corpos,, V Jacobiano 85

86 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Aceeração anguar absouta dos corpos,, V 86

87 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Veocidade Linear absouta dos corpos,, V Aceeração Linear absouta dos corpos,, V 87

88 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Vetor q formado peas coordenadas mínimas de veocidade dos corpos; 88

89 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Jacobiano de Transação do corpo ; 89

90 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Jacobiano de Transação do corpo ; 9

91 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Jacobiano de Transação do corpo V; 9

92 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Jacobiano de Rotação do corpo ; ω 9

93 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Jacobiano de Rotação do corpo ; 93

94 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Jacobiano de Rotação do corpo V; 94

95 Usando o Método de Jourdain Giroscópio As únicas forças externas apicadas sobre os corpos,, V são as forças peso; 95

96 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Com o auxíio do tensor de inércia dos corpos, e V, substituindo os termos na equação; 96

97 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Temos então: 97

98 Usando o Método de Jourdain Giroscópio Substituindo os Jacobianos nas equações anteriores e resovendo os respectivos produtos escaares e vetoriais chega-se então às 3 equações diferenciais de movimento; 98

99 Usando o Método de Jourdain Giroscópio soando-se as aceerações, tem-se: 99

100 Usando o Método de Jourdain Giroscópio E também:

101 Sumário da Aua ntrodução Sist. Muti-corpos no Pano Sist. Muti-corpos no Espaço Princípio de Jordain Apicações /67

102 Apicações em Satéites Satéite Nesse item, o método Newton-Euer-Jourdain é apicado a um sistema mecânico de corpos rígidos, distante da grande maioria de nos estudantes; O sistema em questão é composto por um corpo principa e 3 rotores internos dispostos ortogonamente entre si.

103 Apicações em Satéites Satéite O modeo mecânico para o satéite é apresentado a seguir. É caramente visíve os 4 corpos que o compõem; 3

104 Apicações em Satéites Satéite O satéite, que representa um sistema de mútipos corpos sem equações de víncuo, apresenta 6 graus de iberdade, sendo 3 desocamentos ineares, que definem sua órbita em torno da terra, e 3 rotações em torno de seu centro de massa, que definem sua atitude; 4

105 Apicações em Satéites Satéite Os ânguos que definem a atitude do satéite são apresentados na figura, juntamente com os sistemas de referência; φ φ φ3 5

106 Apicações em Satéites Órbitas Órbitas descritas por vetores ortogonais ao centro de cada face do satéite. Estas trajetórias são resutados das simuações em que apenas um rotor interno na direção X3 esta em funcionamento; ϕ R 3 [ rad] e ϕ R3 35 [ rad / s] 6

107 Apicações em Satéites Órbitas Perturbação: ϕ ϕ ϕ ϕ 3 ϕ ϕ [ rad / s] [ rad / s] [ rad ],[ rad / s] 3 7

108 Apicações em Satéites Órbitas Perturbação: ϕ ϕ ϕ ϕ 3 ϕ ϕ [ rad / s] [ rad ],[ rad / s] [ rad / s] 3 8

109 Apicações em Satéites Órbitas Perturbação ϕ ϕ ϕ ϕ 3 ϕ ϕ [ rad / s] [ rad ] [ rad / s],[ rad / s] 3 9

110 Apicações em Satéites Simuações Experimenta Simuação Experimenta Simuação