Aplicação do Teorema de Pitágoras

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1 A UA U L L A Apicação do Teorema de Pitágoras Para pensar Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada num muro. O pé da escada está afastado 3 m da base do muro. Qua é a atura, no muro, que a escada acança? Nossa aua Para resover esse probema, usaremos uma propriedade muito importante dos triânguos retânguos que foi estudada na aua anterior. Ea é conhecida como Teorema de Pitágoras e diz o seguinte: Em todo triânguo retânguo, o quadrado da medida da hipotenusa é igua à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Observe o seguinte triânguo retânguo: C B A A hipotenusa é o ado maior do triânguo, BC. A hipotenusa pode ser identificada também como o ado oposto ao ânguo reto do triânguo. Os outros ados, AB e AC, são chamados de catetos. Esses nomes, hipotenusa e cateto, são usados apenas para indicar os ados do triânguo retânguo. O Teorema de Pitágoras se apica a todos os triânguos retânguos. Portanto, uma maneira rápida e simpes de saber se determinado triânguo é retânguo quando conhecemos apenas as medidas de seus ados é apicar o Teorema de Pitágoras.

2 EXEMPLO 1 Verifique se o triânguo cujos ados medem 10 cm, 24 cm e 26 cm é retânguo. A U L A Eevando ao quadrado as medidas dos dois ados menores, os catetos, e somando os resutados, temos: 10²² + 24²² = = 676 Eevando também ao quadrado a medida da hipotenusa: 26²² = 676 Verificamos que: 26²² = 10²² + 24²². Logo, este triânguo é retânguo. Veja, agora, outras apicações do Teorema de Pitágoras. EXEMPLO 2 O ado de um quadrado mede. Quanto mede a diagona desse quadrado? Você já sabe que a diagona do quadrado é o segmento de reta que iga dois vértices não consecutivos. Não se esqueça também de que o quadrado tem os quatro ados iguais e os quatro ânguos retos. Ao traçar uma diagona, o quadrado fica dividido em dois triânguos retânguos iguais. A diagona é a hipotenusa, e os ados do quadrado, os catetos. d Na figura ao ado, destacamos um dos triânguos. Assinaamos a diagona com a etra d. Vamos apicar o Teorema de Pitágoras para determinar o vaor de d (medida da diagona): ² d² = 5² + 5² d² = d² = 50 _ d = 50 O resutado 50 é um número irraciona: tem uma infinidade de casas decimais sem ser periódico. Não eiste nenhum número natura que eevado ao quadrado seja igua a 50. Portanto, o resutado do probema ficará indicado por 50. Usando a máquina de cacuar, obtemos um resutado aproimado com duas casas decimais. A diagona do quadrado de ado é igua a 50 ou 7,07 cm, aproimadamente.

3 A U L A EXEMPLO 3 Num osango, as diagonais medem 16 cm e 12 cm. Determine a medida do ado do osango. O osango é um quadriátero que possui os quatro ados iguais. Suas diagonais são diferentes entre si e perpendicuares, isto é, cortam-se ao meio formando quatro ânguos retos. 8 6 Observe na figura acima que, ao se cruzarem, as diagonais dividem o osango em quatro triânguos retânguos. Em cada um dees os catetos medem 8 cm e 6 cm, pois cada cateto é a metade de uma diagona. Veja que chamamos a hipotenusa do triânguo de, representando a medida do ado do osango que vamos cacuar. Apicando Pitágoras, temos: ²² = 8²² + 6²² ²² = ²² = 100 = 100 _ = 10 Logo, o ado do osango mede 10 cm. EXEMPLO 4 Um triânguo isóscees tem 16 cm de atura e 12 cm de base. Determine a medida dos outros dois ados Vamos embrar que o triânguo isóscees possui dois ados iguais e um diferente, chamado base. Quando traçamos a atura do triânguo em reação à base ea forma dois triânguos retânguos iguais, onde um dos catetos é a atura (16 cm), o outro mede metade da base (6 cm) e a hipotenusa é um dos ados iguais do triânguo isóscees, cuja medida é desconhecida ().

4 Assim, apicando Pitágoras: ²² = 16²² + 6²² ²² = ²² = 292 ²² = 292 A U L A A medida dos ados iguais do triânguo isóscees é aproimadamente. 292 cm ou 17,08 cm EXEMPLO 5 Num triânguo equiátero cujo ado mede 8 cm, quanto mede a atura? 8 cm 4 cm 8 cm Da mesma forma que no triânguo isóscees, ao traçarmos a atura formamse dois triânguos retânguos iguais, onde um dos catetos é a atura () que não conhecemos a medida, o outro mede metade do ado (4 cm) e a hipotenusa é o ado do triânguo equiátero (8 cm). Apicando o Teorema de Pitágoras: 8²² = ² ² + 4²² 64 = ² = ²² (embre-se da Aua52) 48 = ² _ = Ö48 A atura do triânguo retânguo de ado 8 cm é, portanto, 48 cm ou 6,92 cm aproimadamente. Vamos agora resover o probema sugerido no início da aua que é, também, uma interessante apicação prática do Teorema de Pitágoras. Observe: 5 m 5 33 mm

5 A U L A Ao encostar no muro, a escada forma um triânguo retânguo onde: o comprimento da escada é a hipotenusa do triânguo (5 m); a distância do pé da escada à base do muro é a medida de um dos catetos do triânguo (3 m); a atura que a escada acança no muro é a medida do outro cateto (), que não conhecemos. Apicando Pitágoras: Eercícios 5²² = 3² + ²² (apicando ² a operação inversa da adição, a subtração) 25 = 9 + ²² ² 25-9= ²² ² ²² ² =16 _ = Ö16 _ = 4 A atura que a escada acança no muro é de 4 cm. Eercício 1 Verifique se o triânguo cujos ados medem 13 cm, 12 cm e é um triânguo retânguo. Eercício 2 Apicando o Teorema de Pitágoras, determine as medidas indicadas: a) b) Eercício 3 As diagonais de um osango medem 18 cm e 24 cm. Cacue a medida do ado desse osango. Eercício 4 Cacue a medida da diagona de um retânguo cujos ados medem 36 m e 27 m. Eercício 5 Cacue a medida da diagona do quadrado cujo perímetro mede 24 cm. Eercício 6 As diagonais de um osango medem 6 m e 8 m. Qua é o perímetro desse osango?