J. J. Dias Curto ISCTE: Professor Auxiliar Elizabeth Reis ISCTE: Professora Catedrática

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1 J. J. Dias Curo ISCTE: Professor Auxiliar Elizabeh Reis ISCTE: Professora Caedráica José Paulo Esperança ISCTE: Professor Associado Correspondência: ISCTE Escola de Gesão, *Deparmeno de Méodos Quaniaivos **Deparameno de Finanças e Conabilidade. Complexo INDEG/ISCTE, Av. Prof. Aníbal Beencour, Lisboa, Porugal. Telefone: Fax: dias.curo@isce.p.

2 Teses à forma fraca da eficiência dos mercados: aplicação aos índices PSI0, DAX e DJIA Resumo A hipóese da eficiência dos mercados ainda consiui o paradigma dominane da Teoria Financeira, apesar das enaivas para a sua desiuição em favor do paradigma não linear ensaiadas no início da úlima década do século XX. A forma fraca da eficiência, e endo em cona a grande disponibilidade de informação sobre o comporameno passado dos íulos, é das rês formas de eficiência proposas por Fama (970) aquela que em sido mais esada ao longo do empo. Nese esudo preendemos ambém verificar se os mercados de capiais poruguês, alemão e noreamericano são eficienes na forma fraca. Para isso vamos recorrer a um conjuno de eses esaísicos que permiem deecar esruuras lineares e não lineares enre as axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas. Absrac In he early 90 s several sudies were focused on he finding of a non-linear alernaive o he efficien marke hypohesis. Neverheless, his remained he dominan paradigm of he Financial Theory. Mos ess have been carried ou on he weak form of marke efficiency, one of he hree forms idenified by Fama (970), benefiing from he availabiliy of large daa pools. In his sudy we perform a join es of he weak efficiency of Poruguese, German and US markes. We have based he sudy on several saisical ess aimed a finding linear as well as non-linear srucures among he raes of reurn of he hree sock indexes. Classificação JEL: C5, C5, G, G4 Palavras-chave: Eficiência dos mercados, BDS, Clusers de volailidade, Heeroscedasicidade condicionada, modelos ipo ARCH.

3 . Inrodução Um mercado financeiro é eficiene se o preço correne dos íulos nele ransaccionados reflecir oda a informação disponível (aconecimenos que já iveram lugar ou que é possível anecipar) num deerminado momeno e se o preço se ajusar rapidamene quando surgirem novas informações que não foi possível prever. A hipóese da eficiência informacional dos mercados, apesar de já esar implícia no pensameno de alguns auores nas décadas aneriores: Bachelier (900), Kendall (953), Robers (959) e Samuelson (965), para referir apenas os mais imporanes, apenas foi formalizada por Fama na década de 70. Para Fama, e já anes Robers, os mercados financeiros podem apresenar rês formas de eficiência, dependenes do ipo de informação que os preços dos íulos reflecem em cada momeno. Assim, na forma fraca da eficiência dos mercados, admie-se que a informação hisórica sobre os preços e os volumes ransaccionados de um qualquer íulo individual já esá desconada no preço correne e como al não pode ser uilizada para elevar o ganho poencial de qualquer invesidor. Esa consiui a forma mais aniga da hipóese da eficiência dos mercados e ambém se cosuma designar por hipóese do passeio aleaório, apesar de ecnicamene não esar correco como veremos mais adiane. Na forma semifore da eficiência dos mercados, os preços dos acivos financeiros reflecem oda a informação pública disponível onde se incluem os dados hisóricos sobre o íulo e a informação relevane publicada sobre a empresa (anúncio de resulados, sock splis, emissão de novas acções, ec.), sobre os seus concorrenes e sobre a economia em geral. Quando os preços dos íulos reflecem oda a informação exisene no mercado, incluindo a informação privada que deixou de perencer a um grupo resrio de invesidores, fala-se em eficiência fore dos mercados. A hipóese da eficiência é o supore de oda a eoria quaniaiva dos mercados financeiros e consiui o paradigma dominane da Teoria Financeira desde meados da década de 60. A forma fraca da eficiência, pela disponibilidade de dados hisóricos sobre os íulos, em sido a forma da eficiência mais esada ao longo do empo. 3

4 Para verificar se os mercados financeiros são eficienes na forma fraca, êm sido proposos vários eses ao longo do empo. Os mais anigos são os eses aos coeficienes de auocorrelação e os eses de sequências 3 (runs). Apesar da uilização generalizada, os eses aos coeficienes de auocorrelação só permiem concluir sobre a dependência linear enre as variações sucessivas no preço de uma acção. Quano aos eses de sequências são demasiado rígidos na forma de deerminar a duração dos movimenos de subida ou de descida do preço das acções. Além disso, na própria definição de sequência, não se oma em consideração a magniude das variações quando se passa de uma sequência para oura e se invere o sinal da variação. Na década de 90, a uilização de écnicas esaísicas e de meios informáicos cada vez mais sofisicados, permiiu deecar relações de dependência não linear enre as axas de rendibilidade dos acivos financeiros nalguns dos esudos empíricos realizados, o que punha em causa a hipóese da eficiência dos mercados. Conudo, esas conclusões não se generalizaram a odos os mercados nem a odos os acivos financeiros, quesionando-se para já a emergência de um novo paradigma, como defendem ceros auores (Peers (996), por exemplo). O esudo que agora começa em como moivação principal esar a hipóese da forma fraca da eficiência nos mercados de capiais poruguês, alemão e nore-americano. A escolha deses mercados é jusificada pelo nível de desenvolvimeno e respeciva dimensão: um mercado recene e pouco desenvolvido como é o caso poruguês, um mercado inermédio em ermos de hisória e de desenvolvimeno (mercado alemão) e um mercado alamene desenvolvido e já basane anigo como é o mercado nore-americano. A conribuição dese rabalho pode ser avaliada a dois níveis: a análise comparaiva do mercado de capiais poruguês com dois mercados mais desenvolvidos e a uilização de uma disribuição de Pareo esável não Gaussiana em alernaiva às disribuições Normal, -Suden e GED para modelizar a disribuição condicionada dos erros no modelo GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy) considerado. Quano à esruura do arigo, na próxima secção descrevemos a relação enre a forma fraca da eficiência dos mercados e o modelo do passeio aleaório. Na secção 3 procede-se à caracerização 4

5 dos dados que consiuem o objeco dese esudo. Os eses à hipóese IID são apresenados e calculados na secção 4. Na secção 5 adopa-se um modelo de heeroscedasicidade condicionada ipo ARCH (Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy) para descrever a dependência na variância evidenciada pelas axas de rendibilidade dos índices bolsisas mais represenaivos dos rês mercados. As conclusões são apresenadas na úlima secção.. A forma fraca da eficiência e a eoria do passeio aleaório Se um mercado financeiro é eficiene na forma fraca, um invesidor não pode anecipar a rendibilidade fuura dos íulos baseando-se apenas na sequência de preços passados. Iso significa que não deve exisir relação enre as variações sucessivas no preço de uma acção, ou se exisir é pouco significaiva e não pode ser uilizada para elevar os ganhos poenciais de qualquer invesidor. Os modelos maringale e passeio aleaório são ambos compaíveis com al siuação. Conudo, a versão maringale da eficiência dos mercados apenas pressupõe a independência linear enre as variações sucessivas no preço de uma acção. Apesar disso, nas écnicas esaísicas geralmene uilizadas pelos analisas quaniaivos, considera-se que essas variações são esaisicamene independenes e êm variância finia podendo-se admiir, pelo eorema do Limie Cenral, a hipóese da normalidade das variações diárias, semanais, ec. do preço das acções. Porano, a normalidade da disribuição das variações no preço de uma acção não esá implícia na hipóese da eficiência dos mercados a menos que se considere que os preços das acções seguem um passeio aleaório e que a variância das axas de rendibilidade é finia. Esa é a razão pela qual o modelo do passeio aleaório é geralmene associado à forma fraca da eficiência dos mercados, apesar de ecnicamene não esar correco, uma vez que esa forma de eficiência apenas implica um modelo maringale. Louis Bachelier (900) foi o primeiro a uilizar o modelo do passeio aleaório para descrever o comporameno do preço dos acivos financeiros. Apesar da sua imporância, ese rabalho não desperou grande ineresse por pare dos economisas e acabou por ser redescobero em 959 por Osborne, daí que Fama (965) enha adopado o nome dos dois auores para designar a versão original do modelo do passeio aleaório. No modelo proposo por Fama e Osborne, admie-se que as 5

6 variações no preço de um íulo individual enre ransacções sucessivas são variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas (IID), que as ransacções se disribuem uniformemene por cada período de empo (um dia, uma semana, um mês, ec.) e que a disribuição das variações sucessivas no preço de um íulo em variância finia. Se em cada período de empo o número de ransacções for suficienemene grande, enão a variação do preço por período deverá ser a soma de um grande número de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas. Nesas condições, e pelo eorema do Limie Cenral, pode-se admiir que as variações diárias, semanais ou mensais dos preços êm disribuição normal ou Gaussiana. Quano à variância das disribuições deve ser proporcional ao inervalo de empo respecivo. Por exemplo, se σ é a variância da disribuição das variações diárias, enão a variância da disribuição das variações semanais deverá ser aproximadamene igual a 5σ. A normalidade das variações no preço dos acivos financeiros foi inegrada numa das hipóeses mais imporanes dos modelos clássicos da Teoria Financeira: as axas de rendibilidade simples 4 R ( ) são variáveis aleaórias emporalmene independenes, idenicamene disribuídas e com disribuição normal (IIDN). Esa hipóese, apesar de er permiido a uilização da eoria das probabilidades na modelização das axas de rendibilidade, apresena uma grande limiação: a axa de rendibilidade dos acivos financeiros não pode ser inferior a (00%), represenando a perda oal do invesimeno. Mas ao admiir-se a normalidade das axas de rendibilidade simples, e uma vez que na disribuição normal os valores podem variar enre e +, al pressuposo é violado (esá implício que os rendimenos possam ser inferiores a, mesmo que a probabilidade de al aconecer seja reduzida). Em alernaiva, e para obviar ese problema, admie-se que são as axas de rendibilidade composas coninuamene 5 que verificam a hipóese IIDN (Osborne, 959), o que implica que as axas de rendibilidade simples ( ) enham disribuição lognormal 6, pois r = log + : R ( ) R 6

7 () r IIDN( µ;σ ). Porano, é o logarimo do preço dos acivos financeiros que segue um passeio aleaório e, por conseguine, as axas de rendibilidade composas coninuamene, que correspondem às variações no logarimo dos preços, são variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas com disribuição normal. () ln P = µ + ln P + ε, para =,, e daqui resula que: (3) r = P = ln P ln P = µ + ε ln, em que ε IIDN( 0; σ ). Nese esudo é ambém ese o conceio de rendibilidade que vamos considerar. 3. Propriedades esaísicas das axas de rendibilidade Os dados que consiuem o objeco dese esudo são os valores de fecho diários (não ajusados pelos dividendos) e as axas de rendibilidade composas coninuamene dos rês índices mais represenaivos dos mercados de capiais poruguês, alemão e nore-americano: PSI0 (Poruguese Sock Index), DAX (Deuscher Akienindex) e DJIA (Dow Jones Indusrial Average), respecivamene, calculadas diariamene no período enre 3 de Dezembro de 99 e 3 de Dezembro de 00. A daa inicial coincide com a criação do índice PSI0 no mercado de capiais poruguês. Em geral, os preços dos acivos financeiros e a respeciva volailidade variam muio ao longo do empo: há períodos em que os preços permanecem relaivamene esáveis e ouros períodos em que as variações ocorrem com maior frequência e são por vezes muio acenuadas. Quano às disribuições empíricas das axas de rendibilidade dos acivos financeiros, ambém apresenam ceras caracerísicas em comum: são lepocúricas, assiméricas e evidenciam clusers de volailidade, iso é, a períodos de elevada (reduzida) volailidade sucedem-se geralmene períodos 7

8 de volailidade semelhane, havendo uma endência para a volailidade se concenrar em ceros períodos de empo (Mandelbro, 963). Para já vamos começar por verificar se eses facos esilizados ambém esão presenes nos valores de fecho diários e nas axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas por nós considerados. Os gráficos da figura seguine ilusram a evolução dos rês índices ao longo dos nove anos considerados (os anos são apresenados em abcissa) e permiem concluir que a primeira caracerísica ambém esá presene nos dados analisados: os valores dos índices variam muio ao longo do empo, caracerísica que é comum à generalidade dos preços dos acivos financeiros. Figura : Evolução anual dos índices (em milhares) PIS0 DAX DJIA Máxs: / 4.9,99 e / 4.8,59 Mins: / 8.4,5 e / 6.488,0 Máxs: / 6.7,43 e / 8.064,97 Mins: / 3.896,08 e / 3.788,00 Máx: /.73,00 Mins: / 7.539,07 e / 8.35,8 De seguida preendemos verificar se as disribuições das axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas ambém evidenciam clusers de volailidade. Figura : Evolução das axas de rendibilidade diárias (em %) PIS0 DAX DJIA 8

9 Pelos gráficos da figura anerior podemos concluir que exise uma endência para a volailidade se concenrar em ceros períodos, o que significa que as axas de rendibilidade ambém evidenciam clusers de volailidade: aos períodos de relaiva acalmia sucedem-se geralmene períodos de grande volailidade (sobreudo nos anos de 997 e 998). Concluímos esa breve caracerização dos dados verificando se o faco esilizado mais imporane ambém esá presene na disribuição das axas de rendibilidade diárias dos rês índices bolsisas: o excesso de curose, a assimeria e a consequene rejeição da hipóese da normalidade. Como podemos observar pelos dados da abela seguine, as disribuições das axas de rendibilidade diárias são lepocúricas e assiméricas, o que significa que exise uma maior concenração de observações no cenro e nas abas quando comparadas com a disribuição normal, e que ende a haver uma maior, se bem que ligeira, concenração de observações à direia da média pois odas as disribuições são assiméricas negaivas. Os valores dos coeficienes de assimeria e de curose são ambos esaisicamene diferenes dos valores caracerísicos de uma disribuição normal (0 e 3, respecivamene) e o valor da curose é superior a 3 o que significa que as disribuições são lepocúricas e, por conseguine, evidenciam um excesso de curose em relação à disribuição Gaussiana. Tabela : Medidas de esaísica descriiva das axas de rendibilidade PSI0 DAX DJIA Nº de observações Média 0, , , Mediana 0, , ,06639 Máximo 6,9459 6, , Mínimo -9, ,8300-7, Variância,7006,830579,0597 Desvio-padrão,0380,35989,00578 Assimeria -0, ,480-0,5390 Assimeria esandardizada -,789-9,4-0,347 Curose 0,6450 6,4364 8,4740 Curose esandardizada 73,400 33,430 50,956 9

10 O carácer lepocúrico da disribuição das axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas ambém é evidenciado pelos hisogramas que são apresenados na figura seguine. Figura 3: Hisograma com sobreposição da curva normal PSI0 DAX DJIA Por úlimo decidimos realizar rês eses de aderência para avaliar a bondade do ajusameno da disribuição normal às rês disribuições empíricas. Os resulados obidos são apresenados na abela seguine (os valores são odos esaisicamene significaivos a %). Tabela : Teses à normalidade da disribuição das axas de rendibilidade J-B K-S A-D PSI0 55,068 3,970 35,059 DAX 06,3,607 3,688 DJIA 703,56,88 7,690 J-B: Jarque-Bera, K-S: Kolmogorov-Smirnov Z e A-D: Anderson-Darling. As conclusões, endo em cona o valor dos eses e as probabilidades associadas (0,000), ambém aponam para uma rejeição clara da hipóese da normalidade. Porano, as disribuições das axas de rendibilidade diárias dos rês índices bolsisas PSI0, DAX e DJIA evidenciam clusers de volailidade, são lepocúricas e assiméricas. Eses facos esilizados das disribuições empíricas das axas de rendibilidade dos acivos financeiros ambém já inham sido deecados nouros esudos empíricos aplicados ao mercado de capiais poruguês: Garcia (99), Soares (994), Afonso e Teixeira (997 e 998), Gama (998), Godinho (999) e Curo (00a); às axas de câmbio do escudo (ao incero) em relação ao marco alemão (Nicolau, 0

11 999); ao índice alemão DAX: Barndorff-Nielsen (995), Lux (996) e Jaschke (000); e ao índice nore-americano DJIA: Fama (965), de Lima (998), Pandey (998), Rachev e Minik (000). 4. Teses à hipóese IID Ao longo dos empos êm sido desenvolvidas várias écnicas esaísicas 7 para aferir da relação de dependência enre as variações sucessivas no logarimo do preço das acções. As duas mais anigas são o ese aos coeficienes de auocorrelação e o ese de sequências (runs) ambos aplicados às axas de rendibilidade. Apesar da sua uilização generalizada (Fama, 965 e 970) eses eses só permiem concluir acerca da dependência linear enre as variações sucessivas no preço de uma acção. Conudo, se as axas de rendibilidade forem geradas por um processo caóico ou por um processo ipo ARCH devem apresenar relações de dependência não linear que as écnicas esaísicas clássicas não conseguem deecar (Pandey e al., 998). Conudo, a hipóese da eficiência dos mercados só é posa em causa se os dados forem gerados por um processo caóico, pois a dependência na variância que esá implícia num processo ipo ARCH é consisene com um modelo maringale. Para verificar se as axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas exibem dependência linear, vamos recorrer aos dois eses clássicos já referidos aneriormene. Se a hipóese nula for rejeiada concluímos pela ausência de esruuras lineares, mas isso não significa que os dados não apresenem ouro ipo de dependência. Na abela seguine são apresenados os valores dos coeficienes de auocorrelação e os respecivos desvios-padrão com a correcção de heeroscedasicidade sugerida por Diebold (988).

12 Tabela 3: Coeficienes de auocorrelação e desvios-padrão corrigidos Lag PSI0 DAX DJIA 0,89* (0,038) 0,03 (0,098) 0,03 (0,036) 0,005 (0,034) -0,04 (0,030) -0,04 (0,0303) 3 0,033 (0,0303) 0,005 (0,03) -0,08 (0,07) 4 0,056 (0,095) 0,037 (0,099) 0,0 (0,067) 5 0,05 (0,063) -0,006 (0,084) -0,04 (0,034) 6-0,03 (0,0307) -0,049 (0,0304) -0,00 (0,047) 7 0,0 (0,03) -0,07 (0,0308) -0,0 (0,098) 8 0,039 (0,039) 0,07 (0,083) -0,08 (0,058) 9 0,00 (0,08) -0,04 (0,09) 0,03 (0,068) 0 0,03 (0,093) 0,006 (0,06) 0,048** (0,045) 0 0,0 (0,05) 0,065 (0,06) 0,003 (0,045) 30 0,0 (0,07) 0,034 (0,067) -0,0 (0,04) 40-0,005 (0,079) 0,00 (0,03) -0,04 (0,08) 50-0,007 (0,03) -0,004 (0,047) -0,03 (0,055) Box-Pierce Q(50) ajusado 85,4* p-value = 0,004 60,6 p-value = 0,57 6, p-value = 0,530 Tese de Runs Z -7,385* -0,0 0,7 p-value = 0,0000 p-value = 0,90 p-value = 0,8 Enre parênesis esão os desvios-padrão com correcção de heeroscedasicidade. * Esaisicamene significaivo a %; ** Esaisicamene significaivo a 5%. Ouros coeficienes de auocorrelação esaisicamene significaivos (ao nível de 5%): PSI0: Lags 4, 5, 5 e 4; DAX: Lags 0 e 8 e DJIA: Lag 7. Os resulados obidos demonsram que as axas de rendibilidade diárias dos índices alemão e nore-americano são linearmene independenes, pois apenas dois dos primeiros cinquena coeficienes de auocorrelação são esaisicamene significaivos e, em consequência, não se rejeia a hipóese nula nos eses de Box-Pierce e de Runs, podendo-se admiir que as axas de rendibilidade foram geradas por um processo ruído branco. Quano ao índice PSI0, apesar de esaisicamene não se poder concluir que as axas de rendibilidade são linearmene independenes, uma vez que cinco dos coeficienes de auocorrelação são esaisicamene significaivos 8 e a hipóese nula é rejeiada em ambos os eses, o valor absoluo dos coeficienes de auocorrelação é demasiado pequeno para consiuir uma base sólida de um qualquer sisema de negociação lucraivo. Aliás, apenas 3,56% da variação oal na axa de rendibilidade do período correne é explicada pela axa de rendibilidade do período anerior e,

13 quando se consideram desfasamenos maiores, a percenagem da variação oal explicada pelas axas de rendibilidade passadas é praicamene nula. Para Fama (970), em amosras com a dimensão daquelas por nós consideradas, o faco dos coeficienes de auocorrelação serem esaisicamene significaivos não consiui necessariamene uma base para rejeiar a hipóese da eficiência dos mercados. Porano, podemos concluir que a dependência linear enre as axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas não é esaisicamene significaiva ou enão, apesar de esaisicamene significaiva, é demasiado pequena para poder ser uilizada na previsão das axas de rendibilidade fuuras. Se ficarmos por aqui quano à análise da esruura das axas de rendibilidade, podemos admiir que os mercados são eficienes, pelo menos na forma fraca (Fama, 970 e 99). Tal como referimos aneriormene, mesmo que a dependência linear seja pouco significaiva, como não se pode admiir a normalidade da disribuição das axas de rendibilidade diárias, ambém não se pode concluir que sejam independenes. A seguir vamos enar idenificar esruuras não lineares nas axas de rendibilidade diárias dos rês índices bolsisas. Fama já havia admiido em 970 que a exisirem relações de dependência não linear enre os movimenos dos preços das acções, podiam ser aproveiadas lucraivamene em ceras esraégias de negociação, sem que a auocorrelação na sequência de variações fosse esaisicamene diferene de zero. Fama analisou algumas esraégias baseadas no filro de Alexander, endo concluído que nenhuma delas se raduzia em rendibilidades superior à de uma esraégia de comprar e maner (buy-and-hold) que é sugerida pela hipóese da eficiência dos mercados. Conudo, as limiações da écnica uilizada e os conhecimenos disponíveis, não lhe permiiram irar conclusões definiivas sobre a dependência não linear nas axas de rendibilidade. Mais recenemene êm sido desenvolvidos vários eses para aferir sobre ese ipo de dependência. Os dois eses mais comuns com aplicações às Finanças são: o ese BDS (Brock, Decher e Scheinkman, 987 e 996) e o ese Bispecral de Hinich 9 (Hinich, 98). 3

14 No ese BDS admie-se em hipóese nula que as axas de rendibilidade são variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas sem que a hipóese alernaiva seja especificada. Por isso, a rejeição da hipóese nula pode ser explicada pela presença de relações lineares ou não lineares esaisicamene significaivas enre as observações geradas por deerminado processo: a rejeição da hipóese nula é consisene com qualquer ipo de dependência que pode resular de um sisema linear esocásico, de um sisema não linear esocásico ou de um sisema não linear deerminísico (Hsieh, 989). Quando se uiliza o ese BDS para deecar esruuras não lineares, deve começar-se por remover a dependência linear aravés de um procedimeno habiual que consise em esimar um modelo ARMA (Auoregressive Moving Average): p q = 0 i i θ i i i= i= (4) r β + β r + u + u. Para deerminar as ordens p e q preendemos recorrer à meodologia de Box-Jenkins consruindo as funções de auocorrelação e de auocorrelação parcial esimadas para as axas de rendibilidade diárias dos rês índices bolsisas. Só depois é que se aplica o ese BDS aos resíduos filrados linearmene. Valores elevados do ese, e uma vez removidas as esruuras lineares, evidenciam a presença de relações não lineares esaisicamene significaivas. Se a evenual dependência linear enre as axas de rendibilidade não for removida, não se pode concluir que a rejeição da hipóese nula no ese BDS se fique a dever à presença de relações do ipo não linear. Para o índice PSI0, e aendendo à represenação gráfica das duas funções aneriores, que não apresenamos no arigo por serem duas represenações riviais, esimámos rês modelos: AR(), MA() e ARMA(,) e opámos pelo modelo AR() pois é aquele que maximiza o valor do logarimo da função de verosimilhança. Quano aos índices DAX e DJIA as funções de auocorrelação e de auocorrelação parcial sugerem, al como já haviamos referido aneriormene, um processo ruído branco não evidenciando quaisquer esruuras lineares. 4

15 Com o objecivo de deecar possíveis esruuras não lineares enre as axas de rendibilidade diárias dos rês índices bolsisas, aplicamos de seguida o ese BDS 0 aos resíduos da auoregressão esimada, considerando diferenes valores para m e ε, em que m é a dimensão de imersão (embedding dimension), ε é uma medida da disância enre os vecores m-dimensionais e σ é o desvio-padrão dos resíduos. Os resulados obidos são apresenados a seguir. Tabela 4: Tese BDS para o índice PSI0 m ε σ 0,50 0,75,00,5,50 9,90 9,48 9,3 8,99 8, ,8 9,35 8,90 8,06 8, ,85 46,3 44,0 4,9 4,3 5 49,84 74,8 65,69 65,40 64,75 Tabela 5: Tese BDS para o índice DAX m ε σ 0,50 0,75,00,5,50 0,30 9,9 9,68 9,33 9,39 3 9,05 0,70,8,30,48 4 0,58 3,50 5,94 5,7 6,93 5 3,48,7 3,8 5,8 9,59 Tabela 6: Tese BDS para o índice DJIA m ε σ 0,50 0,75,00,5,50 5,67 6,9 6,75 6,77 6,96 3 0,0 8,36,7 0,4 0,9 4 0,5 4,48,0,0 3,07 5 4,96 9,03 5,5 4,4 8,69 Todos os valores do ese BDS são esaisicamene significaivos a % o que demonsra que as axas de rendibilidade diárias dos rês índices bolsisas rejeiam claramene a hipóese IID e, uma vez aplicado o filro linear, esa decisão deve ficar a dever-se à exisência de relações não lineares esaisicamene significaivas. O ese de McLeod-Li (983) ambém cosuma ser uilizado para deecar a presença de relações não lineares e baseia-se nas esaísicas de Box-Pierce e de Ljung-Box aplicadas ao quadrado dos resíduos filrados linearmene (ou mesmo ao quadrado das axas de rendibilidade). A 5

16 seguir apresenam-se a função de auocorrelação e o valor dese ese para o quadrado dos resíduos: Figura 4: Funções de auocorrelação e ese de McLeod-Li PSI0 DAX DJIA Q (50)= 893,4 (0,000) Q (50)= 543,96 (0,000) Q (50)= 587,05 (0,000) Os valores enre parênesis são as probabilidades associadas ao valor do ese (p-value). As funções de auocorrelação e o valor do ese de McLeod-Li ambém sugerem a exisência de relações não lineares esaisicamene significaivas enre as axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas. Conudo, e uma vez que a hipóese nula é rejeiada em ambos os casos, ese ese não permie disinguir se as axas de rendibilidade foram geradas por um processo não linear esocásico ou deerminísico. Para Hsieh (989 e 99) podem-se disinguir dois ipos de dependência não linear nos erros filrados linearmene ( u ): (5) Dependência não linear adiiva: + f ( r r,..., u, u,... ) u ε, =, (6) Dependência não linear muliplicaiva: f ( r r,..., u, u,... ) u ε, =, em que ε é uma variável aleaória IID com média zero e independene dos valores passados de r e u ; e f ( ) é uma função não linear qualquer para um valor finio de k. Uma relação não linear adiiva pode significar que as axas de rendibilidade foram geradas por um processo não linear esocásico do ipo não linear de Médias Móveis (NMA) de Robinson (977), Threshold Auoregressivo (TAR) de Tong e Lim (980), Bilinear de Granger e Andersen (979), 6

17 enre ouros; ou ainda, podem er sido geradas por um processo não linear deerminísico (ou caóico) quando ε = 0 e que consiui um caso paricular de dependência não linear adiiva. Ese ipo de dependência posula que a não linearidade é ransmiida apenas pela média do processo e daí a designação de modelos não lineares em média. Se as axas de rendibilidade forem geradas por um processo caóico, he implicaion would be ha profiable, nonlineariy-based rading rules exis, a leas in he shor run and provided he acual generaing mechanism is known (Barne e Serleis, 998), pondo em causa a hipóese da eficiência fraca dos mercados. Por ouro lado, se relação não linear for do ipo muliplicaivo, (6) represena um processo não linear esocásico de heeroscedasicidade condicionada, que inclui os modelos ipo ARCH como casos pariculares, não se pondo em causa a hipóese da eficiência dos mercados. Nese ipo de modelos a não linearidade é ransmiida pela variância do processo e daí a designação de modelos não lineares em variância. A designação modelos de heeroscedasicidade condicionada jusifica-se pelo faco de se admiir que a volailidade, medida pela variância condicionada, pode variar ao longo do empo e é explicada em grande medida pela volailidade ocorrida em períodos aneriores. Porano, impora verificar que ipo de dependência, adiiva ou muliplicaiva, é evidenciada pelos resíduos filrados linearmene. Uma vez que a dependência não linear muliplicaiva implica que: E u r r u u, (7) (,,...,,,...) 0 = enquano que a dependência não linear adiiva implica que: E u r r u u, (8) (,,...,,,...) 0 Hsieh (99) baseou-se nesas duas hipóeses para desenvolver um ese que permie, na presença de relações não lineares, discriminar os dois ipos de dependência. Em hipóese nula admie-se que os dados evidenciam uma dependência do ipo muliplicaivo. Na abela seguine são apresenados os valores do ese para diferenes valores de i e j (de a 6). 7

18 Tabela 7: Resulados do ese de Hsieh Lag (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) (,) (,3) PSI0 0,800 (0,058) 0,357 (0,059) 0,03037 (0,05) -0,09 (-0,004) 0,5373 (0,075) -0,043 (-0,0) 0,79 (0,036) -0,058 (-0,004) DAX 0,06530 (0,07) 0,0339 (0,00) -0,045 (-0,009) 0,04339 (0,030) 0,08989 (0,0453) -0,0503 (-0,03) 0,0783 (0,05) 0,0650 (0,04) DJIA 0,0664 (0,089) 0,0355 (0,035) 0,07740 (0,035) 0,03038 (0,044) -0,0045 (-0,00) 0,0436 (0,00) -0,06 (-0,0) 0,05986 (0,05) Lag (,4) (,5) (,6) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,4) PSI0 0,05668 (0,0) 0,0547 (0,05) 0,0383 (0,03) -0,066 (-0,006) 0,07855 (0,0379) -0,03 (-0,036) 0,06004 (0,04) -0,0398 (-0,008) DAX 0,0534 (0,00) 0,045 (0,0089) 0,06766 (0,00) -0,034 (-0,08) 0,077 (0,0048) -0,0575 (-0,03) -0,0706 (-0,00) 0,06964 (0,040) DJIA -0,054 (-0,0) 0,03 (0,040) -0,06 (-0,0) -0,0 (-0,004) -0,056 (-0,05) 0,800 (0,058) 0,0030 (0,0063) 0,03848 (0,0085) Lag (4,5) (4,6) (5,5) (5,6) (6,6) PSI0 0,40 (0,0574) -0,05 (-0,033) -0,055 (-0,05) -0,085 (-0,03) 0,04585 (0,0074) DAX 0,0364 (0,04) -0,09 (-0,009) -0,055 (-0,053) -0,0386 (-0,06) 0,04673 (0,009) DJIA -0,9-0,0789 0,0570 0,0570-0,06 Os ermos (-0,034) r eee, ( i j) (-0,038) (0,044) (0,044) (-0,003) são apresenados no opo de cada célula. Enre parênesis: os rácios r ( i j) Vˆ eee ( i, j), 3. Uma vez que nenhum dos coeficienes é esaisicamene significaivo (os rácios são odos praicamene nulos) podemos concluir que a dependência não linear é do ipo muliplicaivo nos rês índices bolsisas e, porano, a dependência não linear deecada pelo ese BDS deve ser ransmiida pela variância. O ese do Muliplicador de Lagrange de Engle (Engle, 98) pode ser uilizado para esar a presença de heeroscedasicidade condicionada e a evidência do efeio ARCH, admiindo-se que a variância de um período esá relacionada com a variância de períodos aneriores: (9) LM = nr, 8

19 em que n é o número de observações e auxiliar: R é o coeficiene de deerminação da regressão (0) u ˆ γ + γ uˆ + γ uˆ γ uˆ + v = 0 q q e uˆ são os resíduos filrados linearmene elevados ao quadrado. Se a hipóese nula que susena a não exisência do efeio ARCH for verdadeira, ese ese em disribuição assimpóica do qui-quadrado com q graus de liberdade: χ ( q), em que q é o número de desfasamenos considerados. Como se desconhece a ordem do processo ARCH, vamos considerar um valor arbirário, por exemplo q = 0, e calcular o valor do ese do muliplicador de Lagrange de Engle. Os resulados são apresenados na abela seguine. Tabela 8: Resulados do ese do muliplicador de Lagrange de Engle ARCH-LM p-value PSI0 DAX DJIA 76,9 34,8 0, (0,000) (0,000) (0,000) Uma vez que a probabilidade associada ao valor do ese (0,000) é claramene inferior ao nível de significância de 0,0, rejeia-se a hipóese nula, o que significa que a presença do efeio ARCH é claramene suporada pelas axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas, evidenciando uma fore presença de heeroscedasicidade condicionada, caracerísica que é comum à generalidade dos acivos financeiros. Impora pois verificar se um modelo ipo ARCH consegue capurar e descrever as relações de dependência na variância condicionada e se é capaz de explicar a não linearidade evidenciada pelas axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas. 9

20 5. Modelização dos clusers de volailidade Para idenificar as ordens dos processos ipo ARCH vamos recorrer à meodologia de Box- Jenkins, começando por esimar a função de auocorrelação parcial de u e por represená-la graficamene. Se exisir uma queda brusca para zero a parir da ordem q+, sugere-se um processo ARCH(q). Se o valor das esimaivas ender lenamene para zero, vamos admiir que as axas de rendibilidade foram geradas por um processo GARCH(,), pois Bollerslev e al. (99) e Bera e Higgins (993) sugerem que na maior pare das aplicações financeiras um modelo dese ipo é suficiene para modelizar a variância condicionada dos erros. Figura 5: Funções de auocorrelação parcial PSI0 DAX DJIA Aendendo às represenações gráficas aneriores podemos concluir que a ordem dos processos ARCH deverá ser 8, 7 e 7, para os índices PSI0, DAX e DJIA, respecivamene. Pela ordem ser ão elevada em cada um dos casos, e endo em cona o princípio da parcimónia e a consaação dos auores aneriores, decidimos esimar apenas o modelo GARCH(,) para os rês índices bolsisas. Os modelos a esimar são os seguines: Tabela 9: Equações da média e da variância condicionadas PSI0 r + u = β 0 + β r DAX e DJIA r + = β 0 u σ = α 0 + αu + δσ σ = α 0 + αu + δσ 0

21 Anes da esimação dos parâmeros, vamos apresenar de forma resumida as caracerísicas mais imporanes de um modelo GARCH( p, q). Assim, um modelo de regressão linear com efeio GARCH de ordem p e q, pode ser apresenado da seguine forma: () y = x β + u, () u = ε σ, q p = + 0 i i i= i= (3) + σ α α u δ σ, i i em que: y é a variável dependene, x é um vecor de variáveis explicaivas e β é um vecor de parâmeros desconhecidos; E( ε ) = 0, ( ) = VAR ε, u N( 0 σ ) informação disponível no período ; Φ 4 e Φ { u } ; u,,... represena a = As resrições α 0 > 0, α i 0 para i =,,..., q e δ j 0 para j =,,..., p são imposas para assegurar que a variância condicionada é não negaiva; O efeio GARCH é descrio pela úlima equação. A moivação principal do processo GARCH é que (3) pode se expressa por: σ = α + A L u + B L σ (4) ( ) ( ) 0 em que A q ( L) p = α L + α L α e B( L) = δ L + δ L δ são polinómios em ql pl L, o operador de desfasameno. E daqui resula que: α 0 A L * (5) σ = + u = α 0 + γ iu i. B B L () ( ) ( ) = i

22 Esa úlima equação permie concluir que um processo GARCH( p, q) é um processo ARCH de ordem infinia: ARCH( ). Apesar das resrições em (3) serem suficienes para assegurar que a variância condicionada é não negaiva, Nelson and Cao (99) demonsraram a parir da represenação de em (5) que as condições mais fracas α 0 e 0 σ * 0 > a posiividade de. Expressando e α γ para i =,,..., * 0 i σ, são suficienes para assegurar γ i em ermos dos parâmeros originais do modelo GARCH, Nelson and Cao demonsraram que as duas úlimas condições não pressupõem a verificação de odas as condições em (3). Esas condições permiem que alguns parâmeros sejam negaivos a menos que p = q =. Quando q i= p α i + δ j j= < o processo é esacionário em senido lao e os segundos momenos da disribuição não condicionada são finios. Nese caso a previsão a s períodos da variância condicionada aproxima-se da variância não condicionada à medida que s aumena: E σ σ à medida que s. (6) ( ) +s Conudo, em vários esudos empíricos obiveram-se valores para a soma dos coeficienes esimados muio próximos de um. Esa siuação ocorre geralmene em sucessões cronológicas cuja frequência das observações é elevada (axas de rendibilidade diárias, por exemplo). q Quando α i + δ j = o modelo é inegrado na variância e Engle e Bollerslev (986) i= p j= designaram-no por modelo IGARCH (Inegraed GARCH). A consequência mais imporane do modelo IGARCH é que a variância da disribuição não condicionada é infinia e porano o processo é não esacionário em senido lao. Para Nelson (99) ainda é possível que o processo gerador de u seja esacionário em senido esrio uma vez que a densidade não condicionada de é a mesma para qualquer. u

23 O modelo IGARCH faz pare de uma classe mais vasa de modelos que parilham a propriedade da persisência na variância, iso é, a informação correne é imporane na previsão da variância condicionada para odos os períodos fuuros. Para ilusrar esa consequência do modelo, considerese o caso mais simples IGARCH(,): ( ) (7) σ = α 0 + αu + α σ, em que 0 < α <. Nese caso paricular a previsão da variância condicionada a s períodos é sempre influenciada pela variância condicionada do período : a informação presene é imporane para sempre na previsão da variância condicionada (o efeio é persisene) e como al os choques nunca serão esquecidos (Engle e Bollerslev, 986). E σ = sα + σ (8) ( ) + s 0. Impora ainda referir a relação enre o modelo GARCH e a hipóese da eficiência dos mercados. A inexisência de correlação serial é uma caracerísica imporane dos processos GARCH. Para i zero:, os valores das funções de auocovariâncias de um processo GARCH( p, q) são odos iguais a (9) ( u u ) E[ E( u u Φ )] = E[ u E( u Φ )] 0 E. i = i i = Uma vez que um processo GARCH é serialmene não correlacionado, as observações passadas não podem ser uilizadas para alerar as predições ópimas e, por conseguine, a presença dese ipo de processo não represena a violação da hipóese da eficiência dos mercados (Bera e Higgins, 993). Para esimar os parâmeros dos modelos preendemos recorrer ao méodo da máxima verosimilhança e vamos começar por admiir a normalidade da disribuição condicionada. Os resulados são apresenados a seguir e foram obidos direcamene a parir do sofware Economeric Views: EVIEWS. 3

24 Tabela 0: Resulados da esimação do modelo GARCH(,) com disribuição normal PSI0 DAX DJIA β 0 0,0333 (0,084) 0,079 (0,06) 0,0695 (0,069) β 0,0 (0,04) α 0,08 (0,005) 0,08 (0,0049) 0,05 (0,004) 0 α 0,946 (0,0) 0,093 (0,0097) 0,090 (0,0070) δ 0,805 (0,0089) 0,8939 (0,006) 0,909 (0,0080) L -.870, , ,57 AICC 5.753,4 7.39, ,7 SBC 5.74, 7.309, ,6 α + δ,05 0,986 0,9930 LR,96 5,80 0,9 Noa: LR é o ese do rácio a de verosimilhanças para a resrição α + δ = LR = ( ln L, em que e SR ln L CR ) χ ln L ln L é o valor máximo () SR CR para o logarimo da função de verosimilhança dos modelos sem e com a resrição, respecivamene.. Como se pode consaar, o resulado da soma ˆ α + δˆ esá muio próximo do valor nos rês modelos esimados podendo-se admiir que as esimaivas para os parâmeros não verificam a condição de esacionaridade de segunda ordem: ˆ α + ˆ δ <. Ese resulado sugere a uilização de um modelo inegrado na variância para descrever as axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas. O ese do rácio de verosimilhanças ambém apona nese senido quando se consideram níveis de significância de 5% (PSI0 e DAX) e de % (DJIA). Em ambos os casos admie-se como válida a resrição considerada em hipóese nula: α + δ =. De seguida vamos esimar novamene o modelo GARCH(,) impondo esa resrição. 4

25 Tabela : Resulados da esimação do modelo IGARCH(,) com disribuição normal PSI0 DAX DJIA β 0 0,084 (0,046) 0,075 (0,05) 0,069 (0,067) β 0, (0,005) α 0 0,049 (0,000) 0,080 (0,007) 0,0087 (0,004) α 0,786 (0,0090) 0,09 (0,000) 0,0956 (0,0074) δ 0,84 (,339) 0,897 (0,6803) 0,9044 (0,349) L -.87, , ,49 AICC 5.756, , ,0 SBC 5.744,6 7.35, ,99 Os resulados da esimação são muio semelhanes enre os modelos com e sem resrição, daí que mais adiane acabemos por esimar apenas o modelo GARCH(,). Para concluir se o modelo esimado consegue capurar os clusers de volailidade evidenciados pelas axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas, aplicámos o ese de McLeod-Li aos resíduos esandardizados de cada um dos índices: z = σˆ, em que são os resíduos calculados a e e parir da equação da média e σˆ é o desvio-padrão esimado. Os resulados obidos são apresenados na abela seguine. Tabela : Tese de McLeod-Li Q (0) Índices GARCH(,) IGARCH(,) PSI0 9,64 (0,47) 7,98 (0,588) DAX 9,54 (0,976) 9,63 (0,975) DJIA,75 (0,94),7 (0,947) Q (0) é o valor da esaísica de Box-Pierce para os primeiros 0 coeficienes de auocorrelação do quadrado dos resíduos esandardizados. Enre parênesis é apresenado o p-value associado ao valor dos eses. Como se pode consaar, não se rejeia a hipóese nula (a probabilidade associada é sempre superior a 0,05). Iso significa que os resíduos esandardizados não evidenciam dependência de segunda ordem. Por conseguine, podemos admiir que o modelo esimado é capaz de capurar e de 5

26 descrever a dependência na variância condicionada evidenciada pelas axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas ao longo do empo. Por fim, impora verificar a hipóese da normalidade admiida no início para a disribuição condicionada dos erros. Na abela seguine apresenam-se algumas medidas de esaísica descriiva e o valor do ese de Jarque-Bera para os resíduos esandardizados. A curose coninua basane acima do valor 3 da disribuição normal e o valor do ese JB apona para uma rejeição clara da hipóese da normalidade. Quer iso dizer que a disribuição dos resíduos esandardizados ainda é lepocúrica e, como al, o modelo GARCH por nós considerado não conseguiu capurar oda a lepocurose da disribuição não condicionada. Tabela 3: Normalidade dos resíduos esandardizados Índices GARCH(,) IGARCH(,) PSI0 Assimeria -0, ,058 Curose 5,3790 5,3736 JB 55,5 (0,00) 53,54 (0,00) DAX Assimeria -0,3368-0,36 Curose 4,64 4,8445 JB 68,69 (0,00) 98,0 (0,00) DJIA Assimeria -0,5375-0,5333 Curose 4,9545 4,89796 JB 455,78 (0,00) 447,9 (0,00) Noa: JB é o valor do ese de Jarque-Bera. Os p-value são apresenados enre parênesis. Face a esa consaação empírica, várias disribuições não normais êm sido consideradas para modelizar a variância condicionada dos erros. As mais uilizadas foram a disribuição -Suden sugerida por Bollerslev (986) e a Generalized Error Disribuion (GED) admiida por Nelson (99). Mais recenemene a disribuição de Pareo esável em merecido ambém algum desaque com os rabalhos de Minik, Paolella e Rachev (003, 000 e 997). De seguida preendemos ensaiar esas rês disribuições em alernaiva à disribuição normal. Os resulados obidos são apresenados na abela seguine. 6

27 Tabela 4: Esimaivas para as disribuições condicionadas: GARCH(,) Índices Disrib. β 0 α β 0 α δ Sk As V PSI0 Normal 0,0333 0,0 0,08 0,946 0,805,0000,05 DP 0,084 0,04 0,005 0,0 0,0089 -Suden 0,033 0,44 0,0 0,943 0,83 6,0374,065 DP 0,038 0,0 0,0033 0,04 0,056 0,748 GED 0,068 0, 0,07 0,95 0,887,3394,039 DP 0,034 0,00 0,0036 0,094 0,050 0,0455 Esável 5 0,0307 0,59 0,049 0,50 0,8405,8553-0,099 0,98 DP 0,00 0,086 0,009 0,0078 0,08 0,06 0,0975 0,004 DAX Normal 0,079 0,08 0,093 0,8939,0000 0,986 DP 0,06 0,0049 0,0097 0,006 -Suden 0,0867 0,060 0,078 0,954 9,6367 0,9935 DP 0,08 0,006 0,06 0,06,599 GED 0,0867 0,03 0,0857 0,9038,5693 0,9895 DP 0,09 0,0064 0,0 0,035 0,0584 Esável 0,0679 0,00 0,0588 0,9058,8977-0,459 0,9759 DP 0,00 0,009 0,0078 0,08 0,06 0,0975 0,0034 DJIA Normal 0,0695 0,05 0,090 0,909,0000 0,9930 DP 0,069 0,004 0,0070 0,0080 -Suden 0,0785 0,0079 0,0650 0,99 6,8566 0,994 DP 0,059 0,008 0,00 0,007 0,8779 GED 0,0739 0,0094 0,0750 0,98,3983 0,993 DP 0,056 0,003 0,00 0,09 0,0486 Esável 0,0596 0,006 0,0497 0,935,95-0,956 0,9909 DP 0,003 0,003 0,0005 0,008 0,0089 0,0063 0,0099 DP: desvios-padrão, Sk: achaameno (nas disribuições e GED são os graus de liberdade), As: Assimeria e V: medida da persisência na variância. Com base na informação anerior, podemos reirar duas conclusões imporanes. Primeiro, odos os coeficienes são esaisicamene significaivos independenemene da disribuição eórica considerada. Segundo, odos os modelos esimados êm valores para a medida da persisência na volailidade muio próximos de. A medida da persisência na volailidade apresenada na coluna V indica a velocidade e a inensidade com que os choques ocorridos num deerminado período se reflecem na volailidade dos períodos seguines. Assim, se o valor da medida for inferior a, isso significa que o efeio dos choques sobre a volailidade condicionada vai perdendo inensidade ao longo do empo (dies ou over ime). Um valor pero de é indicaivo de um modelo inegrado na variância, o que significa que os choques êm um efeio persisene na volailidade condicionada ao 7

28 longo do empo. Para Rachev e Minik (000) um valor superior ou igual a para a medida da persisência implica que a variância seja um processo explosivo. As medidas da bondade do ajusameno para os modelos esimados, considerando diferenes disribuições eóricas para os erros, são apresenadas na abela seguine: Tabela 5: Medidas da bondade do ajusameno Medida Disribuição PSI0 DAX DJIA L Normal -.870, , ,57 -Suden -.807,6-3.67, ,5 GED -.84, ,3 -.95,80 Esável -.807, ,7 -.93,43 AICC Normal 5.753,4 7.3, ,8 -Suden 5.68, , ,07 GED 5.64, , ,65 Esável 5.63,5 7.66, ,9 SBC Normal 5.74, 7.309, ,6 -Suden 5.64, , ,04 GED 5.68,73 7.7, ,6 Esável 5.65, , ,88 L é o valor máximo para o logarimo da função de verosimilhança. AICC é o criério de informação de Akaike 6 corrigido e SBC é o criério de informação de Schwarz. Os rês criérios aneriores favorecem a disribuição -Suden no caso do índice PSI0 (apesar das diferenças para a disribuição de Pareo esável não serem muio imporanes) e a disribuição de Pareo esável nos índices DAX e DJIA. As disribuições Normal e GED parecem ser claramene preeridas em favor da disribuição de Pareo esável e -Suden para modelizar a disribuição condicionada das axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas. De seguida vamos calcular as disâncias de Kolmogorov 7 (KD) e de Anderson-Darling 8 (AD) para as duas disribuições mais favorecidas pelos rês criérios aneriores, considerando os resíduos esandardizados de cada um dos modelos. Os resulados são apresenados na abela seguine. 8

29 Tabela 6: Medidas da bondade do ajusameno Medida Disribuição PSI0 DAX DJIA KD -Suden 0,059 0,040 0,046 Esável 0,054 0,034 0,005 AD 0 -Suden 0,4 0,59 0,49 Esável 0,0400 0,0495 0,0438 AD -Suden 0,44 0,56 0,40 Esável 0,0393 0,046 0,049 AD -Suden 0,4 0,53 0,40 Esável 0,0387 0,043 0,044 Os valores das disâncias de Kolmogorov e de Anderson-Darling favorecem a disribuição de Pareo esável inclusive no índice PSI0. Apesar de não se poder concluir que as diferenças enre as duas disribuições são esaisicamene significaivas, como o valor da esaísica AD é basane inferior na disribuição de Pareo esável, podemos afirmar que, pelo menos nas abas da disribuição condicionada, esa disribuição é mais adequada do que a disribuição -Suden para descrever as axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas. Porano, as disribuições -Suden ou de Pareo esável para o índice PSI0, uma vez que os criérios não são unânimes na escolha de uma delas, e a disribuição de Pareo esável para os índices DAX e DJIA, são mais adequadas do que as disribuições normal e GED para descrever a disribuição condicionada dos erros. Para concluir se a heeroscedasicidade condicionada capurada pelo modelo GARCH(,) é suficiene para explicar a não linearidade evidenciada pelas axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas, a meodologia a adopar é a seguine. Primeiro, impora verificar se o modelo conseguiu capurar os padrões de volailidade evidenciados pelas axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas. Para responder a ese propósio preendemos calcular os coeficienes de auocorrelação dos resíduos esandardizados elevados ao quadrado e represená-los graficamene (Engle, 995 e Rachev e Minik, 000). Se os valores obidos para os coeficienes de auocorrelação forem esaisicamene significaivos, isso significa que os resíduos esandardizados ainda apresenam 9

30 clusers de volailidade e, por conseguine, o modelo considerado não conseguiu capurar oda a dependência nos segundos momenos evidenciada pelas axas de rendibilidade. Conudo, se não exisir dependência de segunda ordem, isso não implica necessariamene que os resíduos esandardizados sejam IID. Para verificar se os resíduos esão isenos de qualquer ipo de esruuras não lineares, preendemos recorrer ao ese BDS (Hsieh, 99) apesar das suas limiações quando aplicado aos resíduos dos modelos ipo ARCH. Na figura seguine apresenamos o correlograma para o quadrado dos resíduos esandardizados de cada um dos rês índices bolsisas. Figura 6: Correlogramas e ese de McLeod-Li 9 (-Suden) PSI0 DAX DJIA Q (0)= 0,53 (0,45) Q (0)= 9,53 (0,98) Q (0)= 3,68 (0,846) Figura 7: Correlogramas e ese de McLeod-Li (Pareo esável) PSI0 DAX DJIA Q (0)= 9,496 (0,078) Q (0)= 7,59 (0,64) Q (0)= 7,845 (0,598) Enre parênesis enconra-se o p-value associado ao valor do ese. Tendo em cona as represenações gráficas da figura anerior, podemos concluir que nenhum dos coeficienes de auocorrelação é esaisicamene significaivo e, por conseguine, o modelo GARCH(,) consegue descrever a maior pare da correlação serial evidenciada pela média e pela variância condicionadas das axas de rendibilidade. Porano, podemos concluir que os resíduos 30

31 esandardizados não evidenciam clusers de volailidade e que o modelo conseguiu capurar os padrões de volailidade evidenciados pelos rês índices bolsisas. Para deecar ouros ipos de dependência não linear, preendemos recorrer ao ese BDS 0 para verificar se os resíduos esandardizados do modelo GARCH(,) podem ser considerados IID. A verificar-se esa suposição, é pouco provável que as axas de rendibilidade enham sido geradas por algum processo deerminísico, uma vez que o modelo por nós considerado é capaz de capurar grande pare da dinâmica não linear das axas de rendibilidade. Nas abelas seguines apresena-se o valor do ese BDS considerando ε = 0, 5σ. Tabela 7: Tese BDS aplicado aos resíduos esandardizados (-Suden) m PSI0-0,48-0,4-0,66-0,3-0,36-0,388-0,43-0,443-0,47 DAX -0,4-0,6-0,37-0,4-0,5-0,597-0,66-0,75-0,787 DJIA -0,98 0,048 0,034 0,05-0,004-0,046-0,05-0,65-0,5 Tabela 8: Tese BDS aplicado aos resíduos esandardizados (Pareo esável) m PSI0 0, 0,086-0,03-0,48-0,34-0,33-0,390-0,46-0,55 DAX -0,5-0,49-0,53-0,7-0,67-0,7-0,88-0,30-0,367 DJIA 0,04 0,60 0,588 0,50 0,475 0,40 0,349 0,77 0,07 Como se pode consaar, os valores do ese BDS esão muio próximos de zero, podendo-se admiir, endo em cona o valor de ε por nós considerado, que os resíduos esandardizados são IID, o que significa que o modelo de heeroscedasicidade condicionada consegue capurar a maior pare da dependência não linear evidenciada pelas axas de rendibilidade dos rês índices bolsisas. Esa conclusão parece rejeiar a possibilidade das axas de rendibilidade erem sido geradas por alguma forma de caos e, uma vez que a versão maringale da eficiência dos mercados admie a dependência na variância, podemos considerar que os rês mercados de capiais são eficienes. Esa capacidade para os modelos de heeroscedasicidade condicionada descreverem uma grande pare da esruura não linear evidenciada pelas axas de rendibilidade dos acivos financeiros 3