Crescimento e Ciclos FEUC

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1 Cresimeno e Cilos FEUC 3 O modelo de resimeno ópimo de Ramsey -Cass-Koopmans (RCK) 3.1 Inrodução 3.2 Cresimeno ópimo Uilidade ineremporal Opimização dinâmia Análise da fórmula da axa de resimeno ópimo do onsumo per apia das famílias Função uilidade marginal insanânea om elasiidade onsane 3.3 Modelo RCK segundo Barro&XavierSala-i-Marin Hipóeses Comporameno opimizane das famílias Comporameno opimizane das empresas Condição froneira Análise qualiaiva da solução de SSG Diagrama de fase Pono de equilíbrio de SSG: pono de sela Análise quaniaiva de SSG Linearização do sisema Resolução do sisema Exemplifiação numéria Dinâmia de ajusameno da axa de poupança Poupança de SSG Função poupança Efeio de subsiuição ineremporal e efeio rendimeno Exeríios de dinâmia omparada Variações de g Variações de ρ Adelaide Duare 21/4/23 1

2 3.1 - Inrodução Os modelos de resimeno esudados aé agora são modelos de resimeno exógeno om axa de poupança exógena. Esa úlima hipóese signifia que as deisões das famílias sobre o emprego do seu rendimeno para o seu horizone emporal de vida não foi onsiderado nos modelos de resimeno aé agora esudados. A onsideração daquelas deisões no modelo de RCK implia, em primeiro lugar, que a raionalidade eonómia subjaene ao omporameno das famílias seja onsiderada expliiamene pelo modelo; em segundo lugar, a axa de poupança passa a ser uma variável endógena do modelo. O modelo de RCK é um modelo anónio de resimeno ópimo, om um horizone emporal de vida infinio, foi elaborado de forma independene por Ramsey (1928), Cass (1965) e Koopmans (1965). Ao onrário dos modelos esudados aneriormene, ese modelo em uma naureza normaiva já que as rajeórias de equilíbrio das variáveis endógenas e o pono de equilíbrio de SSG são o resulado de deisões ópimas das famílias e empresas. Foi por essa razão que no final da déada de 6 e na déada de 7 eses modelos fizeram pare da agenda de invesigação de Eonomia do Cresimeno. Com o ressurgimeno da Eonomia do Cresimeno na déada de 8, o ineresse renovado por ese ipo de modelos é ambém normaivo mas o quadro de análise alarga-se, já que o papel do Esado é esudado no seio de modelos de resimeno ópimo endógeno. No que se segue, iremos apresenar de forma resumida o modelo de RCK seguindo Barro&Sala-i-Marin(1965). 3.2 Cresimeno ópimo Iniiaremos a nossa análise pelo esudo do omporameno opimizane das famílias supondo que o seu horizone de vida é infinio. Traa-se pois de esudar o problema da maximização da uilidade em dinâmia, supondo nese aso que o horizone emporal é infinio. Em esáia, a família maximiza a sua uilidade no período orrene, maximizando o onsumo, endo em ona a sua resrição orçamenal. Sendo o horizone emporal infinio, a família maximiza a sua uilidade para o onjuno de períodos onsiderados, ou seja, maximiza o onsumo ineremporal endo em ona a sua resrição orçamenal ineremporal. Cada família possui indivíduos que rabalham e que maximizam a sua uilidade endo em ona a geração aual mais nova e as gerações fuuras de desendenes. A família em assim uma vida infinia apesar dos seus membros erem uma vida finia. A onsideração da família om um horizone emporal infinio supõe que o omporameno dos pais seja em pare alruísa em relação aos seus desendenes: A família imoral orresponde a indivíduos om uma vida finia que esão ligados enre si aravés de uma esruura operaiva de ransferênias inergeraionais que se baseiam no alruismo Barro&Sala-i-Marin, 1995, pp.6. Adelaide Duare 21/4/23 2

3 3.2.1 Uilidade ineremporal Cada indivíduo adulo, membro da família, proura maximizar o seu onsumo ao longo do empo, assim omo o das gerações fuuras, e valoriza em pare o onsumo presene, é um pouo egoísa, por isso desona à axa ρ (axa de preferênia emporal pelo onsumo presene), o onsumo fuuro. Consideremos que ada família rese à axa n e que a dimensão das famílias para é L()1. Função uilidade insanânea A função uilidade insanânea é a função uilidade definida para uma daa (período). A uilidade oal insanânea é uma função bem omporada, a uilidade oal insanânea rese de forma deresene. (3.1) U C ( ) > om U ( ) > e U ( ) < A função pode ser resria onsiderando a uilidade oal per apia. C( ) U C( ) e u (3.2) L L u >, u > e u < A função uilidade oal resula da soma das uilidades oais insanâneas ao longo do horizone emporal infinio. Sendo a axa de preferênia emporal pelo onsumo presene posiiva, a uilidade em é aualizada à axa ρ. Consideremos que o empo é disreo e façamos a represenação da função de uilidade oal ineremporal. (3.3) U u ( ) ( 1) ( 2) u u u ρ 1+ ρ 1+ ρ Se ρ apresenar um valor reduzido enão, (1 + ρ) e ρ Podemos agora apresenar a função de uilidade ineremporal de ada família no empo onínuo, para o efeio devemos definir o inegral próprio, de zero a mais infinio, que orresponde à soma da uilidade oal insanânea do período aualizada à axa ρ e onsidere-se por hipóese simplifiada que a axa de resimeno da família é zero. (3.4) ρ U u e d Se a axa de resimeno da família for superior a zero, n>, enão a fórmula anerior é resria da seguine forma. U u e d ( n ρ) (3.5) Opimização dinâmia Na posse da função de uilidade ineremporal, vamos agora resolver o problema da opimização da uilidade ineremporal das famílias. Para o efeio, vamos onsiderar uma eonomia de merado muio simples, em que há famílias e empresas, não há esado e a eonomia é fehada. Cada família deide o que onsumir a parir do produo orrene endo em ona a sua resrição orçamenal. Cada família reebe rendimenos no período orrene sob a forma de salários em roa dos serviços do rabalho e juros que Adelaide Duare 21/4/23 3

4 orrespondem à remuneração dos aivos das famílias, numa eonomia fehada. A axa de variação dos aivos das famílias no período orrene é igual aos rendimenos da família menos o onsumo. O que não é onsumido é invesido e a axa de variação dos aivos da família deve igualar a axa de variação do so de apial per apia da eonomia. (3.6) ρ max U u e d sa. : f δ ondição froneira 1 ondições iniiais. Para a resolução do problema de opimização dinâmia omeça-se por onsruir a função valor aual do hamiloniano. ρ (3.7) H(,, λ ) u( ) e + λ f ( ) δ A função valor aualizado do hamiloniano obém-se adiionando à função valor aualizado da uilidade, o mulipliador de Lagrange (λ ) vezes o membro esquerdo da equação dinâmia. (λ ) represena o valor aualizado do rendimeno (do apial). Represena o valor aualizado () de uma unidade adiional de rendimeno de expresso em unidades de uils, ou de forma equivalene, já que a variação dos aivos das famílias é igual à variação do so de apial per apia, represena o valor aualizado (para ) de uma unidade adiional de apial de expresso em unidades de uils. Condições de 1ª ordem: H (3.8) Deduz-se a expressão da derivada parial da função valor aualizado do Hamiloniano em ordem a à variável de onrolo e iguala-se a zero. H (3.9) + λ Deduz-se a expressão da derivada parial da função valor aualizado do hamiloniano em ordem à variável de esado e iguala-se ao negaivo da derivada do mulipliador relaivamene ao empo. H ρ (3.1) H u ( ) e λ (3.11) H λ f ( ) δλ f ( ) δ λ λ λ δ A equação (3.12) é denominada a regra de poupança ópima de Ramsey. Se logarimizarmos e derivarmos em ordem ao empo a equação (3.1), obemos: (3.12) f ( ) 1 A ondição froneira só será esudada mais arde. Do pono de visa eonómio garane um omporameno opimizane das famílias no final do horizone emporal; do pono de visa da resolução do modelo, a ondição froneira a par das ondições iniiais permiem que o sisema de duas equações difereniais seja deerminado. Mais à frene, esudaremos a ondição froneira. Adelaide Duare 21/4/23 4

5 (3.13) u ( ) u ( ) ( ρ ) ln u( ) d lnλ d λ ρ λ A equação anerior é resria para obermos no primeiro ermo do membro esquerdo da equação (3.14), a expressão da elasiidade da uilidade marginal relaivamene ao onsumo. Para o efeio muliplia-se e divide-se o primeiro ermo pelo onsumo per apia orrene e por (-1). u ( ) λ ρ u ( ) λ (3.14) λ Eliminando das equações (3.11) e (3.13), obemos a axa de λ resimeno ópimo do onsumo per apia. ( ) f δ ρ (3.15) u ( ) u ( ) Podemos ambém onsiderar que n>, nese aso as equações (3.6), (3.7), (3.1), (3.11), (3.13), (3.14) e (3.15) são resrias: (3.16) ( n ρ ) max U u e d ( δ ) sa. : f + n Consrói-se a função valor aualizado do hamiloniano. (3.17) ( n ρ ) H,, λ u e + λ f ( f) ( δ + n) H ( n ρ ) (3.18) H u ( ) e λ (3.19) H λ f ( ) δ nλ f ( ) δ n λ Se logarimizarmos e derivarmos em ordem ao empo a equação (3.18), obemos: ln u( ) d ( n ρ ) lnλ + d (3.2) u ( ) λ + n ρ u ( ) λ A equação anerior é resria para obermos no primeiro ermo do membro esquerdo da equação (3.21), a expressão do negaivo da elasiidade da uilidade marginal relaivamene ao onsumo. Para o efeio muliplia-se e divide-se o primeiro ermo pelo onsumo per apia orrene e mulipliam-se ambos os membros por (-1). Adelaide Duare 21/4/23 5

6 (3.21) u ( ) λ n ρ u ( ) λ + λ Eliminando das equações (3.19) e (3.21), obemos a axa de resimeno λ ópimo do onsumo per apia. (3.22) u ( ) n + ρ f δ n u ( ) f n n f u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) ( ) δ + ρ δ ρ f δ ρ ( ) Regra geral, a elasiidade da uilidade marginal relaivamene ao onsumo é variável, dependendo do nível de onsumo orrene Análise da fórmula da axa de resimeno ópimo do onsumo per apia das famílias A axa de resimeno ópimo do onsumo per apia é igual ao ráio, axa de renabilidade líquida do invesimeno menos a axa de preferênia pelo onsumo presene/o simério da elasiidade da uilidade marginal relaivamene ao onsumo. O numerador da fração exprime o inenivo ao onsumo fuuro, quano mais elevada for a axa de renabilidade líquida do invesimeno relaivamene à axa de preferênia emporal pelo onsumo presene, maior será o inenivo a poupar no presene. O denominador represena o negaivo da elasiidade da uilidade marginal relaivamene ao onsumo. Quano mais elevada for a elasiidade em valor absoluo, maior será o inenivo ao onsumo presene porque à medida que o onsumo aumena, a uilidade marginal derese rapidamene. A axa de resimeno ópimo do onsumo per apia é posiiva, nula, negaiva se a axa de renabilidade líquida do invesimeno per apia for superior, igual ou inferior à axa de preferênia emporal pelo onsumo presene. Em equilíbrio de SSG aquela axa deverá ser nula, na ausênia de progresso énio Função uilidade marginal insanânea om elasiidade onsane A espeifiação que uilizaremos para a função de uilidade oal insanânea é a função uilidade om elasiidade onsane. Traa-se de uma função muio simples uja elasiidade da uilidade marginal relaivamene ao onsumo não depende do nível de onsumo. Adelaide Duare 21/4/23 6

7 (3.23) u ; u( ) e u ( ) 1 1 ( 1 ) E uja elasiidade é onsane e o seu simério é igual a. 1 (3.24) εu( ), Tendo em ona esa função de uilidade, a fórmula da axa de resimeno ópimo do onsumo ransforma-se em: (3.25) f ( ) δ ρ Se onsiderarmos agora que exise progresso énio e que ese é exógeno e rese à axa g, a fórmula da axa de resimeno do onsumo ópimo per apia é resria em ermos do onsumo em unidades de rabalho efiiene e obemos: (3.26) f ( ) δ ρ g g Comporameno opimizane das empresas As empresas produzem um únio bem e uilizam os serviços do apial que é propriedade das famílias. Em roa, as empresas pagam às famílias uma renda pela remuneração dos serviços do apial. A axa de renabilidade líquida de uma unidade de apial será igual a R-δ; omo as famílias podem fazer emprésimos enre elas, onsiderando o apial e os emprésimos subsiuos perfeios, a xa de renabilidade líquida do apial será igual à axa de juro r. (3.27) R δ r R r+δ As empresas maximizam os luros: maxπ max F K,L, (r +δ)k wl (3.28) [ ] { g } max AL f() (r +δ) we Condições de maximização de 1ª ordem: K Y AL AL.f() AL.f () (3.29) K K K 1 AL.f () f() AL (3.3) Π Y (r +δ ) K K f() r+δ A produividade marginal é igual à axa de renabilidade brua do apial. Adelaide Duare 21/4/23 7

8 f() (3.31) r+δ Analisemos agora a ondição de 1ª ordem relaivamene ao faor rabalho e para o efeio, expliiemos a fórmula da produividade marginal do rabalho. Y ALf() f() f()a L K (3.32) Y g f() f()e om A 1 L ou ainda: g { ( AL) f() (r +δ) we Π Π } L L L Π g (3.33) A f() (r +δ ) we + L AL f() (r +δ ) L L E assim virá: g (3.34) w f() f()e Tenhamos agora em ona a resrição orçamenal das famílias: (3.35) a w + ra na A axa de variação insanânea dos aivos das famílias é igual aos salários mais a remuneração dos aivos menos o onsumo menos o valor dos aivos afeado aos que nasem. Tenhamos em ona as equações (3.31),(3.34) e (3.35) e ainda a equação de definição do so de apial em unidades de efiiênia em função do so de apial per apia e iguale-se a axa de variação dos aivos à axa de variação do so de apial per apia. g (3.36) a e Derivando em ordem ao empo (3.36) obém-se: (3.37) g g a e + ge Iguala-se o 2º membro de (3.37) ao 2º membro de (3.35) e subsiui-se r e w pelas suas respeivas expressões: (3.38) g g g g g g e + ge f() f() e + re ne-e Eliminando e g e resolvendo em ordem a obém-se: (3.39) f() (g +δ+ n)- Adelaide Duare 21/4/23 8

9 Traa-se da equação dinâmia do modelo de RCK relaiva à variável de esado Condição froneira Analisemos agora a ondição froneira. lima λ (3.4) O valor dos aivos das famílias deve ender para zero quando diverge para infinio. Tal signifia que um indivíduo que opimiza a sua uilidade não gosaria de er aivos om valor posiivo no fim da sua vida porque isso signifiaria que se esses aivos ivessem sido uilizados no passado, a sua uilidade eria aumenado. A parir da equação de Euler do modelo, resolve-se a equação diferenial em relação ao empo. Traa-se de uma equação diferenial linear om oefiiene variável r( λ ). O faor de inegração é nese aso (3.41) E obém-se: dln λ d [ r( λ) ndv ] d dln λ d [ r( λ) ndv ] d [ ] lnλ r( λ) ndv+ ons e [ r( λ ) n ] dλ. (3.42) [ ] r( λ) n dv e λ λ Subsiua-se em (3.4) o preço sombra de pela sua expressão: [ r( λ) n ] dv lima λ e Como o preço sombra para é posiivo, podemos não onsiderá-lo na equação anerior.e virá: (3.43) [ r( λ) n ] dv lima e Subsiuindo a() por () obemos uma nova expressão para a ondição froneira. (3.44) [ r( λ) n g ] dv lim e (3.45) [ r ( λ ) n g ] dv lim lime r g n λ > + Adelaide Duare 21/4/23 9

10 Se subsiuirmos r(λ) pela sua expressão de equilíbrio, obém-se (3.46) f() δ> g + n A ondição froneira exige que a axa de renabilidade do invesimeno líquido seja superior à axa de resimeno do so de apial Análise qualiaiva da solução de SSG O esudo do equilíbrio de SSG aravés da análise qualiaiva supõe a onsrução das urvas demaradoras do plano de fase. Esas urvas são obidas aravés das equações dinâmias do modelo, igualando a zero as respeivas axas de resimeno das variáveis apial e onsumo medidas em unidades de rabalho efiiene. Apresena-se ambém a relação de ordem enre a soma de parâmeros do modelo, deduzida a parir da ondição froneira e que permiirá, poseriormene, siuar o pono de equilíbrio de SSG relaivamene ao pono de equilíbrio da regra de ouro da aumulação de apial. As equações dinâmias do modelo de RCK são as seguines: (3.47) f( ) ( n+ g + δ ) (3.48) 1 f δ ρ g E a parir ondição froneira obém-se a seguine inequação que nos diz que a axa de renabilidade líquida do so de apial é superior à axa de resimeno do so de apial: (3.49) f ( ) δ > g + n E endo em ona a equação anerior virá: (3.5) ρ + g > g + n A função (3.51) ( + + δ ) f n g A função aima dá-nos as ombinações de, para as quais a axa de resimeno do so de apial em unidades de rabalho efiiene é nula. Esa função resula da diferença enre a função de produção e a rea que a inersea no pono (,) e no pono para o qual o onsumo em unidades de efiiênia é nulo e o so de apial em unidades de efiiênia é máximo. A função apresena um máximo. Façamos a represenação gráfia. Adelaide Duare 21/4/23 1

11 f ( ) ( n + g +δ ) m a x A função (3.52) Gráfio 1 Curva demaradora f ( ) δ + ρ + g A função aima dá-nos as ombinações de, para as quais a axa de resimeno do onsumo em unidades de rabalho efiiene é nula. A produividade marginal do apial é onsane seja qual o valor do onsumo em unidades de rabalho efiiene. Façamos a represenação gráfia. max Diagrama de fase Analisemos agora a dinâmia de. Gráfio 2 Linha demaradora Adelaide Duare 21/4/23 11

12 b e a Gráfio 3 Dinâmia de A linha demaradora divide o plano em duas regiões, na região da direia o onsumo em unidades de rabalho efiiene diminui, na região da esquerda o onsumo em unidades de rabalho efiiene aumena. Tomemos o pono a para mosrarmos que na região da direia a axa de resimeno do onsumo em unidades de rabalho efiiene diminui e, para o efeio, enhamos em ona a expressão da axa de resimeno do onsumo em unidades de rabalho efiiene: a > e f a < f e f a < δ + ρ + g 1 (3.53) f a ( δ + ρ + g) < f a ( δ+ ρ + g) < < O esudane pode proeder de forma análoga relaivamene ao pono b. Analisemos agora a dinâmia de. b e a Gráfio 4 Dinâmia de A linha demaradora divide o plano em duas regiões, na região inerior à urva demaradora, o so de apial em unidades de rabalho efiiene aumena; pelo onrário, na região exerior à urva de maradora, o so de apial em unidades de rabalho efiiene diminui. Tomemos o pono a para mosrarmos Adelaide Duare 21/4/23 12

13 que na região inerior à urva, a axa de resimeno do so de apial em unidades de rabalho efiiene diminui e para o efeio omparemos om o pono e e enhamos em ona a expressão da axa de resimeno do so de apial em unidades de rabalho efiiene. (3.54) ( δ ) ( δ ) a < b a < f( ) n+ g + ae, a ae, ae, ae, ae, f ( ) n+ g + > O esudane pode fazer um exeríio análogo para o pono b. Esamos agora em ondições para onsruir o diagrama de fase do modelo de RCK. Para o efeio, apresenamos num mesmo gráfio as urvas demaradoras e as dinâmias onjunas de e nas quaro regiões em que o plano foi divididdo. II I III IV Gráfio 5 Diagrama de fase do modelo de RCK Pono de equilíbrio de SSG: pono de sela A dinâmia de e expressa no gráfio 5, mosra que o pono de equilíbrio de SSG é um pono de sela. É um pono de equilíbrio insável. Se a eonomia se enonrar em desequilíbrio na vizinhança do pono de sela, só a ele reornará se se enonrar sobre o ramo esável. O ramo esável é a rea que se enonra nas regiões I e III do plano e que passa pelo pono de equilíbrio de SSG, ver gráfio 6. Adelaide Duare 21/4/23 13

14 II I III IV Gráfio 6 Pono de equilíbrio de sela Podemos agora analisar geomeriamene o que aoneerá se a eonomia se enonrar numa das quaro sub-regiões. II I III IV Gráfio 7 Trajeórias de desequilíbrio Como mosra o gráfio 7, qualquer que seja a região em que se enonre a eonomia, esa afasa-se do pono de equilíbrio de SSG, exepuando se se enonrar sobre o ramo esável da eonomia Análise quaniaiva de SSG Apresena-se de seguida a log-linearização do sisema de equações difereniais do modelo de RCK o que nos vai permiir deerminar a solução do sisema Log-linearização do sisema Faz-se uma aproximação de primeira ordem de Taylor na vizinhança do equilíbrio de SSG e definem-se as variáveis em logarimos no sisema de duas Adelaide Duare 21/4/23 14

15 equações dinâmias do modelo de RCK. A função de produção onsiderada é a Cobb-Douglas (3.55) f() (n + g +δ ) 1 f() δ ρ g Ou ainda, omando o logarimo das variáveis, obemos: (3.56) dln dln d d ( ln ln ) ln ln + d ln ln dln ln ln ln ln dln dln d ln ln + ln ln d ln ln d dln (3.57) ln ln ln ln Esreva-se agora as expressões das derivadas pariais das axas de resimeno do so de apial em unidades de rabalho efiiene e do onsumo em unidades de rabalho efiiene em relação ao logarimo do so de apial em unidades de rabalho efiiene e em relação ao logarimo do onsumo em unidades de rabalho efiiene. (3.58) dln dln dln dln d d d d ln ln (3.59) dln dln dln dln d d d d ln ln E endo em ona a 1ª equação do sisema (3.55), obemos: Adelaide Duare 21/4/23 15

16 dln d f() (3.6) f() + ln Deermina-se depois a derivada no pono de SSG. dln d f() (3.61) f() + ln ln ln ln ln (3.62) dln d ln f() (n g ) + +δ ln ln ln ln (3.63) dln d ln ( ρ+ g +δ) (n + g +δ) ln ln E finalmene obém-se: dln d (3.64) ln ρ n (1 g) ln ln Proede-se de forma análoga relaivamene ao álulo da derivada parial da axa de resimeno do so de apial em unidades de rabalho efiiene relaivamene ao logarimo do onsumo em unidades de rabalho efiiene. (3.65) dln d ln Adelaide Duare 21/4/23 16

17 (3.66) dln d ln f() (n+ g +δ) ln ln Tendo em ona a espeifiação da função de produção, obemos: (3.67) dln d f() ( ρ+ g +δ) + (n+ g +δ ) + (n+ g +δ) ln α α ln ln E a aproximação linear à axa de resimeno do so de apial em unidades de efiiênia é dada por: (3.68) dln d [ ρ n (1 )g ]( ln ln ) + ( ρ+ g +δ) (n g ) ( ln ln ) δ α dln Proedamos de forma análoga relaivamene a : d dln d 1 1 (3.69) f() g } f() δ ρ ln Tendo em ona a espeifiação da função de produção vem: dln d 1 g (3.7) ρ+δ+ ( α 1)f ( ) (1 α) ln ln ln Deduza-se agora a expressão da derivada parial da axa de resimeno do onsumo em unidades de rabalho efiiene relaivamene ao logarimo do onsumo em unidades de rabalho efiiene. Adelaide Duare 21/4/23 17

18 dln d 1 (3.71) f() g ρ+δ+ } ln dln ρ+ g (3.72) (1 α) +δ ln ln +. ln ln d As equações (3.68)e (3.7) formam o sisema de equações difereniais loglinearizadas do modelo de RCK que pode ser esrio na forma mariial abreviada. dln n+ g +δ ( ρ+ g +δ) ln n (1 g) d ρ α (3.73) dln (1 α)( ρ+ g +δ) ln d Esreva-se a expressão do deerminane da mariz araerísia (A), a mariz dos oefiienes de (3.73): ( ρ+ g +δ) ( ρ+ g +δ)(1 α) (3.74) dea (n + g +δ) α (3.75) ρ+ g > n+ g δ<1 dea< O fao do deerminane da mariz araerísia ser negaivo, implia que a equação araerísia enha duas raízes reais, uma posiiva e oura negaiva. Nese aso, o pono de equilíbrio é um pono de sela. Esreva-se a equação araerísia: n+ g +δ ρ+ ( g +δ) ρ n (1 g) ϕ α (3.76) (1 α)( ρ+ g +δ) ϕ Façamos: (3.77) ρ n (1 g) ξ E resolva-se a equação (3.76), equação de 2º grau em ϕ. 2 ( ρ+ g +δ) ( ρ+ g +δ)(1 α) (3.78) ϕ ξϕ (n + g +δ ) α Ε ujas soluções são: (3.79) ϕ i ( ρ+ g +δ) ( ρ+ g +δ)(1 α) 4 (n g ) α 2 ξ± ξ + + +δ 2 Adelaide Duare 21/4/23 18

19 Seja ϕ 1 a raiz posiiva e ϕ 2 a raiz negaiva. A solução log-linearizada para (3.8) (3.81) ln ϕ1 ϕ2 ln ln + ae + ae 1 2 limln ln a 1 oma a forma: A onsane a 2 é deerminada pela ondição iniial e a 1 :pela ondição froneira. (3.82) Para a a ln ln 1 2 E subsiuindo em (3.8) obém-se: ϕ2 (3.83) ln ln + ln ln e Ou ainda: β (3.84)? β ln ln 1 e + lne Onde β represena a veloidade de onvergênia e é o simério da raiz negaiva. Tendo em ona (3.79) e (3.83), obém-se: ( ρ+ g +δ) ( ρ+ g +δ)(1 α) 2 ξ + 4 (n + g +δ) ξ α (3.85) β 2 Podemos ambém ober a solução para lny endo em ona a espeifiação da FP em logarimos: (3.86) β β lny αln 1 e +αln e β lny lny 1 e + lnye E para T-, virá: (3.87) lny lny β β β ( 1 e ) ( 1 e ) lny lny T T T Exemplifiação numéria Vamos agora apresenar o exemplo numério relaivo modelo de RCK de Barro &la-i-marin e para o efeio a linearização não omará as variáveis em logarimos. O sisema de equações é enão o seguine: Adelaide Duare 21/4/23 19

20 (3.88) (.3.6) 1.6 lime Tomemos as duas primeiras equações do sisema, igualemos a zero as axas de resimeno insanâneas e deerminemos a solução de SSG..3 1 (3.89).7 (.3.6) 2 Linearização do sisema: d d d d d (3.9) ( ) + ( ) d (3.91) d d d d d d ( ) + ( ) (3.92).7 d d.3 ( 1) (3.93) d d.21 ( 1) + (.3.6) ( 2) E finalmene obemos o sisema de RCK linearizado: d d (3.94) d d Adelaide Duare 21/4/23 2

21 A solução geral é do ipo: ϕ1 ϕ2 + bv e + bv e (3.95) ϕ1 ϕ2 + bv 1 21e + bv 2 22e Para obermos a solução exaa, emos em primeiro lugar que deerminar os valores próprios da mariz dos oefiienes (A); em segundo lugar emos que deerminar os veores próprios à direia da mariz dos oefiienes (v (i) ) e finalmene deerminamos os valores das onsanes (b 1 e b 2 ). Deerminação dos valores próprios da mariz A: (3.96) (3.97) ϕ 1 A A-ϕI.4.4 ϕ 2 de(a-ϕi) ϕ.6ϕ+.4 Deerminação das raízes: 2.6 ± (.6) ±.14 (3.98) ϕ1,2 2 2 Seja ϕ 1 a raiz posiiva e ϕ 2 a raiz negaiva: (3.99) ϕ1.1 ϕ Deerminação do veores próprios à direia da mariz A: Deermine-se em primeiro lugar o veor próprio à direia da mariz A assoiado ao valor próprio posiivo: (1) v11 (3.1) A.1 I v.4.1 v 21 O sisema de equações é o seguine: v11 (3.11).4.1 v 21 Resolvendo o sisema obém-se: v11 1 (3.12) v 21.4 Deerminemos agora o veor próprio à direia da mariz A assoiado ao valor próprio negaivo: (2) v12 (3.13) A+.4 I v.4.4 v + 22 Adelaide Duare 21/4/23 21

22 O sisema de equações é o seguine: v12 v12 (3.14).4.4 v 22 v + 22 Resolvendo o sisema obém-se: v12 1 (3.15) v 22.1 Formemos a mariz dos veores próprios à direia de A, V: v11 v (3.16) V v21 v Formemos a mariz diagonal ujo elemeno genério da mariz diagonal é i e ϕ : ϕ1 e (3.17) E ϕ 2 e b1 E seja b o veor oluna das onsanes: b b 2 Solução do sisema: 1 ϕ v11 v12 b1 (3.18) e + ϕ2 v21 v 22 e b 2 E subsiuindo as variáveis pelos seus respeivos valores obemos: (3.19) e b e b 2 Deerminação das onsanes: Façamos e obemos: (3.11) Ou ainda: b b b + b b + b (3.111) 2.4b1+.1b2 Tendo em ona a ondição froneira, podemos deerminar b 1 :.6 ϕ1 ϕ2 (3.112) lime 1+ be 1 + be 2 omo ϕ1 > b1 E endo em ona a 3ª equação de (3.88) virá: Adelaide Duare 21/4/23 22

23 (3.113) b 2 9 A solução exaa é assim a seguine: (3.114) (3.115) 1 9e 2.9e.4.4 Represenação gráfia de e : 1 1 Gráfio 8 Função O so de apial em unidades de rabalho efiiene ende assimpoiamene para o seu valor de SSG (1, no exemplo numério), resendo de forma deresene. Represenação gráfia de : Gráfio 8 Função O onsumo em unidades de rabalho efiiene ende assimpoiamene para o seu valor de SSG (2, no nosso exemplo numério), resendo de forma deresene. Adelaide Duare 21/4/23 23

24 3.3.7 Dinâmia de ajusameno da axa de poupança de SSG Vamos agora deduzir a função poupança a parir da função onsumo e a expressão da poupança de SSG a parir das expressões de SSG do onsumo e do so de apial em unidades de rabalho efiiene a fim de podermos analisar a rajeória de ajusameno da axa de poupança a uma siuação de SSG. As deduções aima referidas omam a Cobb-Douglas omo espeifiação da função de produção. Queremos saber qual vai ser a dinâmia da axa de poupança quando a eonomia se araeriza por um so de apial em unidade de efiiênia iniial que é inferior ao so de apial em unidades de efiiênia de SSG. Esa quesão deve ser oloada já que no modelos de RCK, a axa de poupança é deerminada endogenamene, e em geral deveremos er variações da axa de poupança na fase de ajusameno à siuação de SSG. Por ouro lado, mesmo que a axa de poupança seja onsane é neessário deerminar o orreo valor que esá dependene dos parâmeros do modelo Poupança de SSG Tendo em ona a espeifiação da FP, podemos definir a função axa de poupança: (3.116) α f ( ) A s Em siuação de SSG virá: f ( ) f( ) (3.117) s 1 f ( ) Tenhamos em ona o sisema (3.55) e façamos a subsiuição de e f( ) pelas expressões respeivas de SSG: f( ) ( n+ g+ δ ) (3.118) s 1 1 ( n+ g + δ ) f ( ) f( ) f( ) Com a Cobb-Douglas, virá: α (3.119) f( ) f ( ) E subsiuindo na equação aima obemos: α s ( n+ g+ δ) ; omo f ( ) ρ+ δ + g (3.12) f ( ) ( n+ g+ δα ) s ρ + δ + g Adelaide Duare 21/4/23 24

25 Tendo em ona a ondição froneira, a axa de poupança de SSG é inferior à pariipação do apial físio no produo. (3.121) ρ + δ + g > n+ δ + g s < α Analisemos agora a evolução da axa de poupança. (3.122). z f ( ) 1 γ f( ) z f( ) s z z. ( ) z ( ) α γ f ( ) z f( ) f f. z α z γ Subsiuindo a axa de resimeno do onsumo em unidades de rabalho efiiene e a axa de resimeno do so de apial em unidades de rabalho efiiene pelas respeivas expressões, obemos: (3.123) ou ainda: (3.124) e virá: (3.125) z 1 γ f δ ρ g α + α + α n+ g+ δ z f ( ) z 1 f ( ) f ( ) γ f δ ρ g α α α( n g δ) z α f( ) α z 1 γ f δ ρ g f ( ) zf ( ) α( n g δ) z z 1 1 γ f z 1 [ δ ρ g] α( n g δ) z α n+ g+ δ z γ δ ρ 1 1 s f z + ( + + g)( s ) δ + ρ + g z O omporameno de z vai depender da relação de ordem enre a axa de poupança de SSG e o inverso do negaivo da elasiidade da uilidade marginal relaivamene ao onsumo. Tendo em ona a equação anerior rês asos se podem dar: Adelaide Duare 21/4/23 25

26 (3.126) 1 1 s 1 1 > < z < 1 1 1) s γ z, 2) γ, 3) s < γ > z >, Consideremos o aso 1), se a axa de poupança de SSG é igual a, a proporção do onsumo no produo é onsane, qualquer que seja e a axa de resimeno da proporção do onsumo no rendimeno é onsane, logo a axa de poupança maner-se-á onsane. Consideremos agora o aso 2), se a axa de poupança de SSG é superior a, a proporção do onsumo no produo é inferior a qualquer que seja, e a axa de resimeno da proporção do onsumo no rendimeno é negaiva, qualquer que seja, logo a axa de poupança reserá. Consideremos agora o aso 3), se a axa de poupança de SSG é inferior a, a proporção do onsumo no produo é superior a qualquer que seja, a axa de resimeno da proporção do onsumo no rendimeno é posiiva, qualquer que seja, logo a axa de poupança diminuirá. Podemos assim resumir os rês asos desrios: (3.127) ) s s s s 2) s > s >, s > 3) s < s <, s < Podemos represenar grafiamene a função poupança para ada um dos rês asos e virá: s s s 1 Gráfio 9 Possíveis dinâmias de ajusameno de s para s quando < Adelaide Duare 21/4/23 26

27 Efeio de subsiuição ineremporal e efeio rendimeno Que signifiado aribuir ao aso em que a axa de poupança derese (rese) quando a eonomia se enonra numa fase de ransição omo a desria na seção anerior? A evolução da axa de poupança vai depender da imporânia onjugada de dois efeios: o efeio de subsiuição ineremporal e o efeio rendimeno. Defina-se o efeio de subsiuição ineremporal de uma desida da axa de renabilidade do apial para riqueza dada. A desida do uso do onsumo orrene relaivamene ao onsumo fuuro leva as famílias a aumenarem o seu onsumo orrene. É o ipo de efeio de subsiuição ineremporal que se adequa om o aso que em vindo a ser raado. Com efeio, à medida que o so de apial em unidades de efiiênia aumena, a produividade marginal diminui, o que leva a uma diminuição da axa de renabilidade do apial é o que onsiui um desinenivo à poupança. Se mais nenhum efeio se fizesse senir, poderíamos afirmar que a evolução da poupança seria negaiva. Mas devemos er em ona um ouro ipo de efeio, o efeio rendimeno. Definase o efeio rendimeno. O efeio rendimeno de uma desida da axa de renabilidade do apial é uma diminuição do onsumo das famílias em odos os períodos. A evolução da axa de poupança vai depender do peso respeivo dos dois efeios. Assim, se <1 o efeio de subsiuição ineremporal é fore, se >1 o efeio de subsiuição ineremporal é frao, domina o efeio rendimeno e finalmene se 1, os dois efeios anelam-se. Podemos agora ilusrar a análise anerior onsiderando os seguines valores para os parâmeros: ρ.2; δ.5; n.1; g.2 Hipóese 1 represena o apial físio, logo α.3 Deerminemos al que o inverso seja igual à axa Adelaide Duare 21/4/23 27